MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 02 - INÉRCIA

Prévia do material em texto

30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 1
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 02 – REVISÃO - INÉRCIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Profa. Eliane Justino
INÉRCIA
� É uma propriedade física da matéria, e segundo a relatividade
(princípio que afirma que o movimento, ou pelo menos o movimento
retilíneo uniforme, tem algum significado quando comparado com
algum outro ponto de referência), também da energia.
� Considere um corpo não submetido à ação de forças ou submetido a
um conjunto de forças de resultante nula, nesta condição esse corpo
não sofre variação de velocidade.
� Isto é, se está parado, permanece parado, e se está e movimento,
permanece em movimento e a sua velocidade se mantêm constante.
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 2
INÉRCIA
� Tal princípio formulado pela primeira vez por Gallileu e, posteriormente,
confirmada por Newton.
� É conhecido como Primeiro Princípio da Dinâmica (1ª Lei de Newton)
ou Princípio da Inércia.
� Varia de corpo para corpo e depende da massa dos corpos.
� Corpo com massa elevada, maior inércia.
� Corpo com massa pequena, menor inércia.
MOMENTO DE INÉRCIA
� Mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de
rotação.
� Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será
fazê-lo girar.
� Contribui mais para a elevação do momento de inércia a porção da
massa que está afastada do eixo de giro.
� Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que
gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que
este.
� Unidade: SI – kg.m2
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 3
MOMENTO DE INÉRCIA
� Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é
conhecida como Momento de Inércia do respectivo corpo.
� O módulo de velocidade de uma partícula em um corpo rígido rodando
em torno de um eixo fixo é:
� v = r . ω (1)
� Onde r é a distância ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular.
� A Energia Cinética de uma partícula de massa m é:
(2)2
2
1
mvEc =
MOMENTO DE INÉRCIA
� Substituindo a Eq. (1) na Eq. (2) tem-se que:
(3)
� Assim para um corpo rígido, a energia cinética rotacional será a soma
das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo:
(4)
� Onde o termo entre parênteses se refere ao modo como a massa se
distribui em torno do eixo de rotação, e é um valor constante para uma
dada geometria e eixo de rotação.
( ) ( ) 222
2
1
2
1
ωω mrrmEc →=








= ∑
n
i
iirmEcr
22
2
1
ω
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 4
MOMENTO DE INÉRCIA
� O termo entre parêntese que aparece na Eq. 4 é chamado de Momento
de Inércia do corpo, e é representado pela letra I, portanto:
(5)
(6)
� Se o corpo rígido for constituído por um elevado número de partículas
adjacentes, este cálculo é feito através de uma integral em ordem de
massa.
∑=
n
i
iirmI
2
2
2
1
ωIEcr =
dmrI ∫=
2
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
� O Momento de Inércia de área ou Momento de Segunda Ordem de
Área é uma propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem
relação coma resistência à deformação.
� Seja uma superfície genérica de área A e um sistema de coordenadas
ortogonal x y.
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 5
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
� Considerando que o Momento de Inércia deste corpo é dado por:
(7)
� Sendo este corpo homogêneo, tem-se:
(8)
� E de espessura constante, portanto:
(9)
� Substituindo a Eq, (9) em (7)
(10)
dmrI ∫=
2
dVdm ρ=
edAdm ρ=
( )dAreI ∫= 2ρ
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
� O termo entre parêntese é conhecido como Momento de Inércia de
Área ou Momento de Segunda Ordem de Área, representada
geralmente pela letra J. portanto:
� Os Momentos de Inércia de Área em relação a cada eixo são dados
por:
dArJ ∫=
2
dAyJ x ∫=
2
dAxJ y ∫=
2
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 6
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
� Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um
eixo qualquer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o
momento de inércia desse corpo em relação a qualquer eixo paralelo ao
primeiro eixo considerado.
� Se a distância entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM
for o seu momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo
centro de massa, teremos o momento de inércia I mencionado:
(11)
� Para demonstrar essa equação vamos considerar um corpo de formato
qualquer.
2
MHII CM +=
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
� O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao papel, que 
cruza com a origem do referencial (xy) e que passa pelo centro de 
massa é ICM.
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 7
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
(12)
� Onde dm é um elemento de massa (representado pelo pequeno círculo) 
localizado pelo vetor posição . 
� E:
dmRICM ∫=
2
)13(ˆˆ
222
yjxiR +=
)14(ˆˆ
222
ybxaH +=
( ) ( ) )15(ˆˆ 222 byjaxir −+−=
R
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
� Para calcular o outro momento de inércia vamos considerar um 
segundo referencial (x'y') e um segundo eixo que passe pela origem 
desse referencial e seja perpendicular ao papel. 
� O momento de inércia em relação a esse segundo eixo é: 
� Mas:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
)16(
2
2222222
∫∫∫ +−+++=−+−== dmbyaxbayxdmbyaxdmrI
( ) )17(222 CMIdmRdmyx ∫∫ ==+
( ) )18(2222 MHdmHdmba ∫∫ ==+
30/03/2011
Eliane Justino - Curso de Engenharia 
Civil - UFG/Catalão 8
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
� Onde nas duas últimas equações utilizamos a premissa inicial que o 
centro de massa seria escolhido como origem do referencial, e desse 
modo XCM = YCM = 0 .
� Coletando os resultados das Eqs. 17, 18, 19 e 20 e substituindo na Eq. 
(16), tem-se:
)20(0222
)19(0222
===
===
∫∫
∫∫
MbYydmbbydm
MaXxdmaaxdm
CM
CM
)21(
2MHII CM +=
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
� A Eq. 21 é o teorema dos eixos paralelos para o Momento de Inércia.
� Se considerarmos este teorema para o Momento de Segunda Ordem da 
área, tem-se; 
)22(
2AHJJ CM +=