Aula 02 - Função de Sobrevivência e Tábua de Vida

Prévia do material em texto

Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
15 
Professora: Tayana Rigueira 
 
DISTRIBUIÇÃO DE SOBREVIVÊNCIA E TÁBUA DE VIDA 
 
A seguir veremos como a distribuição da variável aleatória idade de morte pode ser 
resumida em uma tábua de vida (tábua de mortalidade). Tais tábuas são úteis em 
vários campos da ciência. Consequentemente são várias as notações e nomenclaturas 
desenvolvidas nas profissões que usam tábua de vida. Demógrafos, por exemplo, usam 
tábuas de vida como ferramentas em projeções da população. Neste curso, tábuas de 
vida serão usadas para construir modelos designados a atender a incerteza sobre o 
momento da morte do indivíduo. 
1 – Probabilidade para a Idade de Morte 
Nesta seção vamos formular a incerteza da idade da morte em conceitos de 
probabilidade. 
1.1 – Função Sobrevivência 
Considere um indivíduo recém nascido. A idade de morte desse indivíduo, �, é uma 
variável aleatória do tipo contínua. Seja ���� a função de distribuição de � 
���� = ��� ≤ ��									� ≥ 0 
e seja 
���� = 1 − ���� = ��� > ��						� ≥ 0 
Vamos assumir sempre que ��0� = 0, que implica em ��0� = 1. A função ���� é chamada 
de função sobrevivência. Para qualquer positivo �, ���� é a probabilidade de um recém 
nascido atingir a idade �. A distribuição de � pode ser definida tanto pela função ���� 
como pela função ����. 
Usando as leis de probabilidade, podemos definir as probabilidades sobre a idade de 
morte em termos da função de sobrevivência ou em termos da função de distribuição. 
Por exemplo, a probabilidade de um recém nascido morrer entre as idades � e � �� < �� é 
��� < � ≤ �� = ���� − ���� 
ou 
��� < � ≤ �� = ���� − ���� 
 
 
 
 Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
16 
Professora: Tayana Rigueira 
1.2 – Tempo até a Morte de ��� 
A probabilidade condicional de um recém nascido morrer entre as idades � e �, dado 
que sobrevive a idade �, é 
〈�〉					��� < � ≤ �|� > �� = 	���� − ����1 − ���� = ���� − �������� 
A sobrevida de ���, � − �, pode ser denotado por ����. 
Definindo as probabilidades sobre ����, temos as notações: 
〈�〉				 ��� = ������ ≤ ��						� ≥ 0 
〈�〉				 ��� = 1 − ��� = ������ > ��						� ≥ 0 
A expressão ��� pode ser interpretada como a probabilidade de um indivíduo de idade � 
morrer dentro de t anos, ou seja, ��� é função de distribuição de ����. Por outro lado, ��� pode ser visto como a probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � +�, ou seja, ��� é a função de sobrevivência do indivíduo com idade �. 
Se � = 1, por convenção é omitido o prefixo das notações utilizadas em 〈�〉 e 〈�〉, e tem-se 
que 
�� = ��� !�"í!$%	!&	�!'!&	�	(%))&)	!& �)%	!&	1	' %� 
�� = ��� !�"í!$%	!&	�!'!&	�	'�� *�)	'	�!'!&	� + 1� 
Existe uma notação especial para eventos mais gerais como, por exemplo, indivíduo de 
idade � sobreviver � anos e morrer nos próximos $ anos, isto é, o indivíduo com idade � 
morrer entre as idades � + � e � + � + $. A notação é dada por 
〈+〉				 ���|, = ��� < ���� ≤ � + $� = ���-, − ��� = ��� − ���-, 
Como antes, se $ = 1, o prefixo pode ser deletado em ���|, , obtendo-se ���| . 
A função de sobrevivência de ��� também pode ser escrita da seguinte forma 
��� = �.�-��.� = ��� + ������ 
〈/〉					 ��� = 1 − ��� + ������ 
Neste âmbito, 〈+〉 e seus muitos casos especiais, podem ser expressas como 
���|, = ��� + �� − ��� + � + $����� 
 Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
17 
Professora: Tayana Rigueira 
= ��� + ������ ∗ ��� + �� − ��� + � + $���� + �� 
= ��� ∗ ��-�, 
1.3 – Força de Mortalidade 
A fórmula 〈�〉 expressa, em termos da função de distribuição e da função de 
sobrevivência, a probabilidade condicional de �0� morrer entre as idades � e �, dado que 
sobreviva a idade �. Uma analogia para essa função no momento da morte pode ser 
obtida usando a densidade de probabilidade de morte no momento em que atinge a 
idade �, que é, 〈�〉 com � = � + ∆�, 
��� < � ≤ � + ∆�|� > �� = 	��� + ∆�� − ����1 − ���� 
〈2〉					��� < � ≤ � + ∆�|� > �� ≅ 	 4���1 − ���� 
Para cada idade �, a expressão 〈2〉 fornece a função de probabilidade condicional de � 
na exata idade �, dado que sobrevive a tal idade. Isto é denotado por 5�. Temos que: 
5� = 4���1 − ���� 
〈6〉					5� = −�′������� 
As propriedades de 4��� e 1 − ���� implicam em 5� ≥ 0. 
Em ciências atuariais e estatística, 5� é chamada de força de mortalidade. 
A força de mortalidade pode ser usada para especificar a distribuição de �. Para obter 
esse resultado, usamos a equação 〈6〉 rearrumando-a da seguinte forma 
5� = −!8%*9����:!� 
−5; ∗ !< = !8%*9��<�: 
Integrando essa expressão de � a � + , temos 
− = 5;�->� ∗ !< = 8%* ?
��� + ����� @ = 8%*9 ��> : 
e aplicando a exponencial obtemos 
 Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
18 
Professora: Tayana Rigueira 
〈A〉					 ��> = &�� B− = 5;�->� ∗ !<C 
Às vezes é conveniente reescrever 〈A〉, com � = < − �, como 
��> = &�� D−= 5�-E>. ∗ !�F 
Em particular, usaremos a notação referente a uma vida recém nascida e denotando o 
tempo de sobrevivência por �. Temos então: 
�.� = ���� = &�� D−=5E�. ∗ !�F 
E além disso, 
���� = 1 − ���� = 1 − &�� D−=5E�. ∗ !�F 
e 
�G��� = 4��� = &�� D−=5E�. ∗ !�F ∗ 5� 
�G��� = 4��� = �. ∗ 5�� 
Sejam H��� e *��� a função de distribuição e a função de densidade de probabilidade de ����, respectivamente. Da equação 〈�〉, temos que H��� = ��� . Então, 
〈I〉					*��� = !!� ��� 
*��� = !!� J1 − ��� + ������ K 
*��� = ��� + ������ ∗ ?− �′�� + ����� + ��@ 
*��� = �� ∗ 5�-�� 						� ≥ 0 
Então, �� ∗ 5�-�� !� é a probabilidade de ��� morrer entre � e � + !�, e 
= �� ∗ 5�-�� !�L. = 1 
 Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
19 
Professora: Tayana Rigueira 
Segue da equação 〈I〉 que 
!!� 91 − ��� : = − !!� ��� = �� ∗ 5�-�� 
2 – Tábua de Vida 
Uma tábua de vida normalmente contém, por idades, as funções básicas ��, 8� e !�. 
Antes de trabalharmos com a tábua propriamente dita, consideremos as interpretações 
dessas funções, que estão diretamente relacionadas com a função de probabilidade 
discutida anteriormente. 
� Relações entre as Funções da Tábua 
Já vimos que 
8� = 8. ∗ ���� 
e 
���� = &�� D−=5E�. ∗ !�F 
Notamos então que 
8� = 8. ∗ &�� D−=5E�. ∗ !�F 
Assumimos que 
!� = 8�-� ∗ 5�-�			0 ≤ � ≤ 1 
Outras funções já apresentadas que podem ser escritas de outra forma seguem abaixo. 
� Função M� 
M� = =8�-�!�N. 
� Taxa Central de Mortalidade (� 
(� = O 8�-� ∗ 5�-�!�N. O 8�-�!�N. 
 
 
 Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
20 
Professora: Tayana Rigueira 
� Quantidade de Existência 
�� = = 8�-�!�L. 
� Vida Média 
&�. = O 8�+�!�∞0 8� = = ��� !�
∞
0