Aula 8 - Função Exponencial

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Prof.: Joni Fusinato
joni.fusinato@ifsc.edu.br
jfusinato@gmail.com 1
Potenciação
Equação Exponencial
Função Exponencial
Potenciação ou Exponenciação
• Operação usada para simplificar a multiplicação de números 
iguais.
Exemplos: 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16
5 x 5 x 5 = 53 = 125
Definições
Todo número elevado à zero é igual a 1 (exceto se a base for zero)
0 0a 1(com a 0) Exemplo : 2 1  
Todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo
  1 1 1a a Exemplo : 2 2, 0 0
A base 1 elevada a qualquer expoente é igual ao próprio 1
 n 31 1 Exemplo :1 1
     n 3n 3
1 1 1a com a 0 2
a 2 8
 
m
mn 2n
1
a a com n 0. Exemplo : 3 3
Definições
Potência com expoente negativo: inverte-se a base e o sinal do 
expoente.
Potência com expoente fracionário: pode ser transformada em um
radical, ou seja, em uma raiz, onde o numerador e o denominador
do expoente serão respectivamente o índice e o expoente do
radicando.
5
Propriedades da Potenciação
Multiplicação de potências de mesma base: permanece a base e 
soma-se os expoentes.
2m 3 2 3 5n m n Exemplo : 2 .2 2 2 32a .a a    
Divisão de potências de mesma base: permanece a base e subtrai-
se os expoentes.
5
5 3 2
3
m
m n
n
2Exempa a a lo : 2 2 4
2
0.
a
   
Potência de uma potência: multiplica-se os expoentes.
  m n m. 3n 2 3 2. 6Exemplo :(a ) a (2 ) 2 2 64
6
Propriedades da Potenciação
Potência de uma divisão: é igual a divisão desses fatores, cada um 
elevado ao mesmo expoente.
   
 

 
  
 
2 2
2
m m
m
2 2 4Exema a b 0 plo :
3 3
.
b b 9
Potência de uma multiplicação: é igual a multiplicação desses 
fatores, cada um elevado ao mesmo expoente
m m 3 3m 3Exemplo : (2.5) 2 .5 8( x 125 1.00a.b) a .b 0   
7
Resumo das Propriedades e Definições
8
Aplique as propriedades para resolver as potências:
9 6
9 1 7
3 6
1
2
5 5 1
0
2
2 2
6 6 6
5 5
36
2 2 2
7
4
a) .
b) . .
c) .
d)
e) . .
f )
g)



 







2 6
5
7
2
2 5
3
2 2
3
3
2
5
4
2
3
h)
i)
j)
k) ( )
l)


 

   
 

   
 
9
Calcule as potências:
Simplifique as expressões numéricas:
10
Atividades
• Ler a teoria nas páginas 136 a 139.
• Rever os exercícios resolvidos R7 e R8 da pag. 138.
• Exercícios pág. 140 e 141: 22, 23, 24, 25, 27, 28 e 29.
• Para os Ninjas: 30, 31 e 32
Função onde a variável está no expoente e cuja base é sempre maior 
que zero e diferente de um. ƒ: R→R+* / ƒ(x) = ax em que a ∈ R, a > 0 e 
a ≠ 1
x
x
a) f (x) 2
1b) y
2

   
 
x
x
c) y 3.4
2d) f (x)
5

   
 
Exemplos:
Função Exponencial
Gráficos da Função Exponencial
ƒ(x) = ax é crescente se a >1 ƒ(x) = ax é decrescente se 0 < a < 1
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14
Função é decrescente
Aplicações das Funções Exponenciais
 A função exponencial expressa um crescimento ou um
decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza.
Vamos estudar algumas dessas aplicações.
 Na Matemática Financeira: Cálculo dos Juros Compostos.
 Na Biologia: multiplicação de bactérias e vírus.
 Na Química: decaimento radioativo.
http://makeagif.com/i/BDbWXw
Fissão Nuclear
Aplicações das Funções Exponenciais
Antônio aplica R$ 15.000,00 sem fazer novos aportes em Títulos do 
Tesouro Direto Selic a uma taxa anual de 6,50% ao ano.
a) Qual será o saldo no final de 12 meses?
b) Qual o montante a ser resgatado após 3 anos?
Mercado Financeiro: Juros Compostos
M = C.(1+ i)t (Fórmula dos juros compostos) 
Onde:
C = capital
M = montante final
i = taxa de juros (em decimais)
t = tempo de aplicação
a) Após 12 meses = 1 ano
Resolução
M = ?
C = 15.000
i = 6,50% a.a = 0,065 (taxa em decimais) 
t = 12 meses = 1 ano
M = C.(1+ i)t
M = 15.000.(1 + 0,065)1
M = 15.000.(1,065)1
M = 15.975
Saldo após 12 meses = R$ 15.975,00.
b) Montante após 3 anos
Resolução
M = ?
C = 15.000
i = 6,50% a.a = 0,065
t = 3 anos
M = C.(1+ i)t
M = 15.000.(1+ 0,065)3
M = 15.000.(1,065)3
M = 15.000.(1,2079)
M = 18.118,50
Após 3 anos ele terá um saldo de 
R$ 18.118,50
Aplicações das Funções Exponenciais
No dia 5 de agosto de 2010, um desmoronamento bloqueou a saída
da mina San José, no norte do Chile. Desde então, 33 homens ficaram
presos sob a terra, a 622 m de profundidade, recebendo água e
comida por meio de sondas.
Os operários bateram recorde de sobrevivência debaixo da terra,
foram 69 dias de angústia para as famílias.
O resgate, realizado em 14 de outubro de 2010, foi emocionante e
comoveu o mundo. Foi aberto um túnel, pelo qual os mineiros foram
içados um a um, dentro de uma cápsula metálica.
Considere que, após atingir 110 metros de escavação, encontrou-se
uma camada diferente de rochas e a perfuradora precisou ser
trocada por uma nova máquina, mais adequada ao tipo de trabalho a
ser feito. Considere também que a profundidade da escavação do
túnel, após a troca da perfuradora, em metros, seja dada pela
função P(t) = 110 + 2t, em que t representa o número de semanas de
escavação com a nova perfuradora.
a) Qual a profundidade do túnel na 5ª semana de escavação com a
nova perfuradora?
b) Quantas semanas a nova perfuradora precisou para atingir a
profundidade em que estavam os mineiros?
R: 142 metros
R: 9 semanas
A estimativa do número de bactérias de uma cultura pode ser 
previsto pela função: N(t) = 1200.20,4t (tempo em horas).
Após quantas horas teremos 19.200 bactérias?
N(t) = 1200.20,4t
N(t) = 19.200
1200.20,4t = 19200
20,4t = 
19.200/1.200
20,4t = 16
20,4t = 24
0,4t = 4
t = 4/0,4
t = 10 h
A cultura terá 19.200 bactérias após 10 h.
O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na
atmosfera grande quantidade de estrôncio (90Sr) radioativo, cuja
meia-vida é de 28 anos. Supondo que esse isótopo fosse a única
contaminação radioativa e que o local poderá ser considerado
seguro quando a quantidade de 90Sr se reduzir, por desintegração, a
1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser
habitado novamente a partir do ano de:
a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986
A função que relaciona a quantidade de 90Sr presente em função do 
tempo é dado por: 
t
28
0
1N(t) N .
2
   
 
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Atividades
• Ler a teoria nas pag. 142 a 146.
• Rever os exercícios resolvidos: 
pag. 138: R9 e R10.
• Exercícios pág. 148 e 149: 
33, 34, 35, 36, 37, 39 e 42.
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Equação Exponencial
É toda equação que apresenta a variável no expoente com base 
positiva (a > 0) e a ≠ 1.
Propriedade para resolver as Equações Exponenciais
Se ax = at então x = t (a > 0 e a ≠ 1)
Resolução:
 
1
x 3
1
x 2 3
2
x 3
2 4
2 2
2
2
2
x
3




3x - 2 = 34
x – 2 = 4
x = 6
2x = 25
x = 5
2x = 32 3x - 2 = 81 x 32 4
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Atividades
Resolva as equações propostas:
29
https://www.youtube.com/watch?v=JbkngabbeMQ – Conceitos e Propriedades.
https://www.youtube.com/watch?v=KyHQPr7ELF0 – Equações Exponenciais