Micro-Chap8

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Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 8. A equac¸a˜o de Slutsky
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 1 / 38
To´picos cobertos
1 O efeito substituic¸a˜o
2 O efeito renda
3 Sinal do efeito substituic¸a˜o
4 A variac¸a˜o total na demanda
5 Taxas de variac¸a˜o
6 A lei da demanda
7 Exemplos dos efeitos renda e substituic¸a˜o
8 Outro efeito substituic¸a˜o
9 Curvas de demanda compensadas
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Efeito substituic¸a˜o
Quando o prec¸o de um bem varia, ha´ dois tipos de efeitos
I a taxa a` qual podemos trocar um bem por outro varia
I o poder aquisitivo total da renda e´ alterado
Efeito substituic¸a˜o: Se o bem 1 ficar mais barato, temos de dar
menos do bem 2 para comprar o bem 1: a variac¸a˜o no prec¸o do
bem 1 alterou a taxa a` qual o mercado permite que se “substitua”
o bem 2 pelo bem 1
Efeito renda: Ao mesmo tempo, se o bem 1 ficar mais barato, a
nossa renda moneta´ria comprara´ mais do bem 1: o poder
aquisitivo do nosso dinheiro aumentou
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Efeito substituic¸a˜o
Suponhamos que o prec¸o do bem 1 dimimuiu
A reta orc¸amenta´ria gira ao redo do intercepto vertical m/p2
Podemos dividir esse movimento em duas etapas:
1 Girar a reta orc¸amenta´ria tendo como centro a cesta original
F mantendo o poder aquisitivo constante
F mas a renda moneta´ria associada a essa reta e´ diferente
2 Deslocar a reta resultante na direc¸a˜o da nova cesta demandada
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Efeito substituic¸a˜o
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Efeito substituic¸a˜o
Seja x = (x1, x2) a cesta de consumo original adquirida por o
vector de prec¸o p = (p1, p2) com a renda m
m = p1x1 + p2x2
Para que a cesta x permanece na reta orc¸amenta´ria quando o novo
prec¸o do bem 1 e´ p′1, temos que escolher a renda m′ definida por
m′ = p′1x1 + p2x2
Teremos enta˜o
m′ −m = x1(p′ − p) ou ∆m = x1∆p1
As variac¸o˜es da renda e do prec¸o tera˜o sempre a mesma direc¸a˜o
Embora a cesta x esteja acess´ıvel, ela em geral na˜o e´ a compra
o´tima com a reta orc¸amenta´ria girada
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Efeito substituic¸a˜o
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Efeito substituic¸a˜o
Designamos por y a compra o´tima com a reta girada
O movimento de x para y e´ chamado efeito substituic¸a˜o
Ele indica como o consumidor “substitui” um bem por outro
quando o poder aquisitivo permanece constante
∆xs1 = x1(p
′
1, p2,m
′)− x1(p1, p2,m)
O efeito substituic¸a˜o e´ a`s vezes chamado de variac¸a˜o na demanda
compensada
A ide´ia e´ que o consumidor e´ compensado pelo aumento de prec¸o
ao receber dinheiro suficiente para comprar sua antiga cesta
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Exemplo de ca´lculo de efeito substituic¸a˜o
Suponhamos que o consumidor tenha uma func¸a˜o de demanda de
leite com a forma
x1(p1,m) = 10 +
m
10p1
Sua renda original e´ de $120 por semana, e o prec¸o do leite e´ de $3
por litro
Sua demanda de leite sera´ de 10 + 120/(10× 3) = 14 litros
Suponhamos agora que o prec¸o do leite caia para $2 por litro
A esse novo prec¸o, a demanda sera´ de 10 + 120/(10× 2) = 16 litros
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Exemplo de ca´lculo de efeito substituic¸a˜o
Para calcular o efeito substituic¸a˜o, temos de calcular primeiro
quanto a renda tera´ de varia
∆m = x1∆p1 = 14× (2− 3) = −14
O n´ıvel de renda suficiente e necessa´rio para manter constante o
poder aquisitivo e´
m′ = m + ∆m = 120− 14 = 106
A demanda de leite ao novo prec¸o e´
x1(p′1,m
′) = 10 +
106
10× 2 = 15, 3
Dessa forma o efeito substituic¸a˜o sera´
∆xs1 = 15, 3− 14 = 1, 3
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O efeito renda
Analisemos agora a segunda etapa do ajuste de prec¸o: o
deslocamento
Variamos a renda do consumidor de m′ para m enquanto deixamos
os prec¸os fixos em (p′1, p2)
O efeito renda no consumo do bem 1 e´
∆xn1 = x1(p
′
1, p2,m)− x1(p′1, p2,m′)
O efeito renda pode operar em ambos os sentidos: ele tende a
aumentar ou diminuir a demanda do bem 1 (bem normal ou
inferior)
No exemplo dado anteriormente, obtemos o efeito renda
∆x1 = x1(2, 120)− x1(2, 106) = 16− 15, 3 = 0, 7
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Sinal do efeito substituic¸a˜o
O efeito renda pode ser positivo ou negativo, dependendo do se o
bem for normal ou inferior
E o efeito substituic¸a˜o?
Proposition
O efeito substituic¸a˜o sempre se move em sentido contra´rio ao do
movimento de prec¸os
Dizemos que o efeito substituic¸a˜o e´ negativo porque a variac¸a˜o na
demanda devida ao efeito substituic¸a˜o e´ oposta a` variac¸a˜o no prec¸o
Se o prec¸o aumentar, diminui a demanda do bem devido ao efeito
substituic¸a˜o
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Sinal do efeito substituic¸a˜o
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A variac¸a˜o total na demanda
A variac¸a˜o total na demanda, ∆x1, e´ a variac¸a˜o na demanda
devida a` variac¸a˜o no prec¸o, mantida fixa a renda
∆x1 = x1(p′1, p2,m)− x1(p1, p2,m)
Essa variac¸a˜o pode ser dividida em duas: o efeito substituic¸a˜o e o
efeito renda
∆x1 = ∆xs1 + ∆x
n
1
ou
x1(p′1,m)− x1(p1,m) =
[
x1(p′1,m
′)− x1(p1,m)
]
+
[
x1(p′1,m)− x1(p′1,m′)
]
Essa equac¸a˜o e´ chamada identidade de Slutsky
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A variac¸a˜o total na demanda
Se tivermos um bem normal, o efeito substituic¸a˜o e o efeito renda
seguem na mesma direc¸a˜o
Se o prec¸o aumentar, o efeito substituic¸a˜o sera´ negativo: ∆xs1 < 0
O aumento do prec¸o implica uma diminuic¸a˜o da renda no
deslocamento da reta orc¸amenta´ria
No caso de um bem normal, isso provoca a diminuic¸a˜o da
demanda: ∆xn1 < 0
∆xs1 < 0 e ∆x
n
1 < 0 =⇒ ∆x1 = ∆xs1 + ∆xn1 < 0
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A variac¸a˜o total na demanda
Se tivermos um bem inferior, pode acontecer que o efeito renda
seja maior do que o efeito substituic¸a˜o
Nesse caso, o aumento de prec¸o poderia resultar no aumenta de
demanda: E´ o caso perverso do bem de Giffen
Portanto, um bem de Giffen tem de ser um bem inferior
I ou de maneira equivalente, um bem normal e´ um bem comum
Mas um bem inferior na˜o e´, necessariamente, um bem de Giffen
I o efeito renda na˜o somente tem de ter o sinal “errado”
I como ainda tem de ser grande o suficiente para superar o sinal
“correto” do efeito subsituic¸a˜o
Por isso os bens de Giffen sa˜o raros na vida real: eles na˜o teriam
somente de ser bens inferiores, mas muito inferiores
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A variac¸a˜o total na demanda
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Taxas de variac¸a˜o
Conve´m definir ∆xm1 como a negativa do efeito renda:
∆xm1 = x1(p
′
1,m
′)− x1(p′1,m) = −∆xn1
A identidade de Slutsky torna-se
∆x1 = ∆xs1 −∆xm1
Dividindo por ∆p1, teremos
∆x1
∆p1
=
∆xs1
∆p1
− ∆x
m
1
∆p1
Lembre-se que a variac¸a˜o da renda, ∆m, e a variac¸a˜o do prec¸o,
∆p1 esta˜o relacionados pela fo´rmula
∆m = x1∆p1
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Taxas de variac¸a˜o
Substituamos para obter a identidade de Slutsky em termos de
taxas de variac¸a˜o
∆x1
∆p1
=
∆xs1
∆p1
− ∆x
m
1
∆m
x1
O primeiro termo e´ a taxa de variac¸a˜o da demanda a` medida que o
prec¸o se altera, ajustando-se a renda para que ainda seja poss´ıvel
comprar a cesta anterior
∆xs1
∆p1
=
x1(p′1,m′)− x1(p1,m)
∆p1
O segundo termo e´ a taxa de variac¸a˜o da demanda, mantendo-se
os prec¸os fixos e ajustando-se a renda
∆xm1
∆m
x1 =
x1(p′1,m′)− x1(p′1,m)
∆m
x1
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A lei da demanda
A teoria do consumidor parece na˜o ter um conteu´do espec´ıfico: a
demanda pode aumentar ou diminuir tanto quando o prec¸o sobe,
como quando a renda cresce
Vimos que as escolhas geradas pelo consumidor maximizador teˆm
de satisfazer o Axioma Forte da Prefereˆncia Revelada
Agora podemos provar que a teoria do consumidor restringe a
forma como interagem
I as variac¸o˜es da demanda quando os prec¸os variam
I as variac¸o˜es da demanda quando a renda varia
A lei da demanda
Se a demanda de um bem aumenta quando a renda aumenta, a
demanda desse bem tem de diminuir quando seu prec¸o subir
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A lei da demanda
Prova:
Se a demanda aumentar quando a renda subir, teremos um bem
normal
Se temos um bem normal, o efeito substituic¸a˜o e o efeito renda
reforc¸am-se mutuamente
Au aumento do prec¸o certamente reduzira´ a demanda
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Exemplo: complementares perfeitos
O efeito substituic¸a˜o e´ zero: quando giramos a reta orc¸amenta´ria em
volta do ponto escolhido, a escolha o´tima na nova reta orc¸amenta´ria e´
ideˆntica a` escolha na reta anterior
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Exemplo: substitutos perfeitos
O efeito renda e´ zero: na˜o ha´ o que deslocar
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Exemplo: prefereˆncias quase-lineares
O efeito renda e´ zero
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Exemplo: restituic¸a˜o de um imposto
Para reduzir a dependeˆncia americana com relac¸a˜o ao petro´leo
estrangeiro, os poderes legislativos e o executivo dos Estados
Unidos aumentaram os impostos sobre a gasolina
O aumento do custo faria com que os consumidores diminu´ıssem o
consumo e a reduc¸a˜o da demanda reduziria a demanda de petro´leo
estrangeiro
Um imposto direto sobre a gasolina afetaria o bolso dos
consumidores e, por isso, na˜o seria politicamente via´vel
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Exemplo: restituic¸a˜o de um imposto
Sugeriu-se enta˜o, que a receita arrecadada dos consumidores fosse
devolvida sob a forma de pagamentos diretos em dinheiro, ou
atrave´s da reduc¸a˜o de algum outro imposto
Os cr´ıticos dessa proposta argumentaram que a devoluc¸a˜o da
receita do imposto aos consumidores eliminaria o efeito sobre a
demanda, uma vez que os consumidores poderiam utilizar o
dinheiro devolvido para comprar mais gasolina
O que a teoria do consumidor tem a dizer sobre esse plano?
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 26 / 38
Exemplo: restituic¸a˜o de um imposto
Suponhamos que o imposto elevasse o prec¸o da gasolina de p para
p′ = p + t
Suponhamos que o consumidor me´dio respondesse com a reduc¸a˜o
de sua demanda de x para x′
A quantidade de imposto paga pelo consumidor seria:
R = tx′ = (p′ − p)x′
A receita do imposto dependera´ da quantidade real de gasolina
que o consumidor acabe por consumir, x′, e na˜o da quantidade
anteriormente consumida, x
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Exemplo: restituic¸a˜o de um imposto
Se representarmos por y o gasto em todos os outros bens e
fixarmos seu prec¸o em 1, a restric¸a˜o orc¸amenta´ria original sera´
px + y = m
A restric¸a˜o orc¸amenta´ria apo´s o estabelecimento do plano de
restituic¸a˜o do imposto sera´
(p + t)x′ + y′ = m + R
Lembrando que R = tx′ teremos
px′ + y′ = m
Assim a cesta (x′, y′) e´ uma cesta que poderia ter sido adquirida
na restric¸a˜o orc¸amenta´ria original: portanto a cesta (x, y) tem de
ser preferida a (x′, y′)
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Exemplo: restituic¸a˜o de um imposto
O plano de restituic¸a˜o de imposto faz piorar a situac¸a˜o do
consumidor
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Outro efeito de substituic¸a˜o
Para obter o efeito de substituic¸a˜o de Slutsky, giramos a reta
orc¸amenta´ria em volta da cesta original
Suponhamos que rolemos a reta orc¸amenta´ria em torno da curva
de indiferenc¸a
Desse modo, apresentamos ao consumidor uma nova reta
orc¸amenta´ria que tem os mesmos prec¸os relativos que a reta
orc¸amenta´ria final, mas que corresponde a um n´ıvel de renda
diferente
O poder aquisitivo que ele tem sob essa reta orc¸amenta´ria na˜o lhe
permitira´ mais comprar a cesta de bens original, mas sera´
suficiente para comprar uma cesta que e´ exatamente indiferente a`
cesta original
O efeito de substituic¸a˜o de Hicks mante´m constante a utilidade,
em vez de manter constante o poder aquisitivo
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Efeito de substituic¸a˜o de Hicks
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Efeito de substituic¸a˜o de Hicks
O efeito de substituic¸a˜o de Hicks tem de ser negativo
Ele opera na direc¸a˜o contra´ria da variac¸a˜o do prec¸o
Exatamente igual ao efeito de substituic¸a˜o de Slutsky
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Efeito negativo de substituic¸a˜o de Hicks: Proof
Seja x a cesta demanda a prec¸os p = (p1, p2)
Seja y a cesta demanda a prec¸os q = (q1, q2)
Suponhamos que a renda seja tal que o consumidor seja indiferente
entre x e y
Nenhuma das cestas pode ser revelada como preferida a` outra
Utilizando a definic¸a˜o de prefereˆncia revelada, temos as duas
desigualdades seguintes
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Efeito negativo de substituic¸a˜o de Hicks: Proof
p1x1 + p2x2 < p1y1 + p2y2
q1y1 + q2y2 < q1x1 + q2x2
Somando e reordenando, teremos
(q1 − p1)(y1 − x1) + (q2 − p2)(y2 − x2) < 0
Como so´ alteramos o prec¸o do bem 1, ficamos com
(q1 − p1)(y1 − x1) < 0
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Efeitos de substituic¸a˜o
Tanto a definic¸a˜o de Slutsky quanto a definic¸a˜o de Hicks teˆm seu
lugar
A que e´ mais u´til depende do problema em questa˜o
Pode-se demonstrar que para pequenas variac¸o˜es de prec¸o, os dois
efeitos sa˜o praticamente ideˆnticos
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Curvas de demanda
Vimos como a quantidade demanda varia quando os prec¸os variam
em treˆs contextos:
I com a renda fixa: o caso-padra˜o
I com o poder aquisitivo fixo: efeito de substituic¸a˜o de Slutsky
I com a utilidade fixa: efeito de substituic¸a˜o de Hicks
Podemos trac¸ar a relac¸a˜o entre o prec¸o e a quantidade demandada
ao mantermos fixas quaisquer dessas treˆs varia´veis
Isso proporciona treˆs curvas de demanda
I a curva de demanda padra˜o
I a curva de demanda de Slutsky
I a curva de demanda hicksiana, as vezes chamada curva de demanda
compensada
Mostramos que as curvas de demanda de Slutsky e de Hicks sa˜o
sempre de inclinac¸a˜o descendente
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 36 / 38
Apeˆndice
Na definic¸a˜o de Slutsky do efeito substituic¸a˜o, a renda e´ ajustada
para dar ao consumidor dinheiro exatamente suficiente para
comprar a cesta de consumo original
Suponhamos que a cesta original demanda fosse (x1, x2) aos prec¸os
p = (p1, p2) e renda m
A func¸a˜o de demanda de Slutsky diz o que o consumidor
demandaria ao enfrentar um conjunto diferente de prec¸os
p = (p1, p2) e uma renda
p1x1 + p2x2
Ou seja
xs1(p, x) ≡ x1(p, p · x)
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Apeˆndice
Se diferenciarmos essa identidade com respeito a p1, teremos
∂xs1
∂p1
(p, x) =
∂x1
∂p1
(p,m) + x1
∂x1
∂m
(p,m)
Ao rearrumarmos os termos, teremos
∂x1
∂p1
(p,m) =
∂xs1
∂p1
(p, x)− x1∂x1
∂m
(p,m)
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