Terceiro Relatório

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
 
 
 
 
 
Cleiton Junio Pacheco 
Gleidson Gustavo Santos Durães 
Gustavo Chaves Peixoto 
Yago Pacheco de Aquino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO: TEORIA DE CONTATO DE HERTZ EM DEFORMAÇÃO 
PLÁSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contagem 
2021 
2 
 
Cleiton Junio Pacheco 
Gleidson Gustavo Santos Durães 
Gustavo Chaves Peixoto 
Yago Pacheco de Aquino 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE CONTATO DE HERTZ EM DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
 
Relatório referente à terceira prática 
realizada no Laboratório de Tribologia 
no dia 25 de agosto de 2021, cujo tema 
é: Teoria de Contato de Hertz em 
deformação plástica, sendo este 
solicitado pelo Professor Gilmar 
Cordeiro da Silva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contagem 
2021 
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LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1; Dados sobre o material ................................................................................................... 8 
Figura 2; Representação ilustrativa dos valores obtidos ....................................................... 9 
Figura 3; Gráfico Tensão de Engenharia x Deformação de Engenharia ............................. 9 
Figura 4; Valores de carga aplicada, profundidade e diâmetro ........................................... 10 
Figura 5; Gráfico Carga aplicada x Raio .................................................................................... 11 
Figura 6; Gráfico Carga aplicada x Profundidade ................................................................... 11 
 
 
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SUMÁRIO 
 
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................... 3 
RESUMO ............................................................................................................................................... 5 
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 6 
OBJETIVO............................................................................................................................................. 7 
DESENVOLVIMENTO ......................................................................................................................... 8 
Procedimentos e resultados ....................................................................................................... 8 
CONCLUSÃO ..................................................................................................................................... 13 
 
 
 
5 
 
RESUMO 
 
Ao realizar o estudo de contato entre duas superfícies, de forma 
incorreta, tende-se a pressupor que a área de análise é a região de contato entre as 
mesmas, ou seja, realizando o cálculo de área para uma geometria plana. Entretanto, 
o contato real entre duas superfícies está ligado diretamente ao contato entre picos 
de ambas. Ainda que o acabamento superficial realizado pareça estar perfeitamente 
plano, existe um histórico de estrias de acordo com o processo realizado para a sua 
produção. Dessa forma, pode-se afirmar que a área real de contato é muito menor do 
que a área nominal, pois somente os maiores picos das superfícies entram em contato 
uns com os outros. Quando aplicada uma força externa normal à superfície, tem-se 
a deformação dos picos, aumentando proporcionalmente a sua área de contato. 
O físico Heinrich Hertz foi responsável pelas primeiras análises da teoria de 
contato entre dois sólidos. Esta teoria explica o que ocorre quando dois corpos sólidos, 
sob acoplamento geométrico não conforme, são submetidos um estado de tensão 
compreensiva, gerando comportamento elástico em uma pequena área de contato 
Entretanto, para a maioria dos materiais metálicos, esta deformação elástica 
ocorre apenas até deformações de aproximadamente 0,005 𝑚𝑚. O conceito de 
plasticidade está associado aos materiais para os quais a resposta deixa de ser 
elástica, ou seja, embora as deformações continuem processando-se de forma 
imediata, ao se retirar a solicitação estes não voltam às configurações iniciais, 
permanecendo deformados. Tais deformações irreversíveis são as chamadas 
deformações plásticas. 
Palavras-Chave: Hertz, Módulo de Elasticidade, Deformação Plástica. 
6 
 
INTRODUÇÃO 
 
A deformação plástica em uma análise microscópica corresponde ao 
movimento de grandes números de discordâncias, esse processo é denominado 
escorregamento. Porém ao analisar de forma macroscópica corresponde 
simplesmente a uma deformação permanente, resultante dos movimentos de 
discordância. Tendo como enfoque aqui os metais. 
A maioria dos metais é de caráter policristalino, com uma grande quantidade 
de pequenos grãos cristalinos aleatoriamente orientados no espaço. Cada grão 
mostra uma anisotropia de propriedades mecânicas dependendo de sua orientação 
espacial. Os policristais de metais na condição recozida, contudo, se mostram 
aproximadamente isotrópicos em propriedades mecânicas, como resultado de uma 
condição de inúmeros pequenos grãos aleatoriamente organizados. Estes oferecem, 
geralmente, maior resistência à deformação do que cristais simples. 
Muitos fatores são apontados como responsáveis pelas diferenças na 
conformabilidade entre metais simples e policristalinos estruturais, sendo o principal 
os efeitos complexos envolvidos com os contornos de grãos nos policristais. A 
aplicação de força uniaxial de tensões em corpos-de-prova normalizados é o método 
mais frequentemente usado para medir as características mecânicas de metais. 
Também a compressão de corpos-de-prova curtos e cilíndricos, assim como torção 
de corpos-de-prova tubulares de parede fina são ensaios comuns. 
 
 
7 
 
OBJETIVO 
 
Esta prática tem como seu principal objetivo proporcionar um maior 
entendimento dos conhecimentos teóricos envoltos na teoria de contato de Hertz, na 
fase plástica, dando enfoque em ligas metálicas. 
Desta forma, busca-se traçar os gráficos de Tensão de Engenharia x 
Deformação de Engenharia, a parti do coeficiente de encruamento (n) e a constante 
plástica de resistência (K). Com isso, será determinado o limite de escoamento e o 
modulo de Young. Posteriormente serão construindo dois gráficos, a parti da tabela 
contendo informações sobre a liga de Cobre recozido, sendo estes Carga x Raio; 
Carga x Profundidade e estes devem ser comparados com o tópico 2.5.1 – Contact 
Between Surface – Plastic Deformation. 
8 
 
DESENVOLVIMENTO 
 
Procedimentos e resultados 
 
 Devido ao regime letivo remoto, para que se faça possível a realização da 
prática, as medidas foram retiradas pelo professor durante a aula síncrona. Nos quais 
foram fornecidas as tabelas, com todos os valores necessários para realização da 
prática. 
 A realização da prática foi dividida em dois momentos principais. Em um 
primeiro momento foi solicitadotraçar o gráfico Tensão de Engenharia x Deformação 
de Engenharia para a liga de Cobre recozido. Cujos as propriedades fornecidas 
podem ser encontradas na figura 1 logo abaixo. 
 
 Para o gráfico Tensão × Deformação verdadeira a formula que rege até o ponto 
de tensão máxima é: 
𝜎𝑣 = 𝑘. 𝜀𝑣
𝑛 
 Sabe-se que no ponto de tensão máxima o 𝑛 = 𝜀𝑣 portanto para o período do 
gráfico que se deseja calcular a deformação verdadeira máxima será de 0,5. 
Substituindo este valor na formula é possível encontrar o valor de 𝜎𝑣 correspondente 
a este ponto: 
𝜎𝑣 = 𝑘 × 𝜀𝑣
𝑛 → 𝜎𝑣 = 226 𝑀𝑃𝑎 
 
Sabe-se também, que a relação entre Deformação Verdadeira e Deformação 
de Engenharia é dada pela fórmula: 
Material Cobre Recozido
Coeficiente de Encruamento (n) 0,5
Coeficiente de Resistência (k) 320 Mpa
Coeficiente de Poisson 0,35
Módulo de Elasticidade 110 - 120 Gpa
Figura 1; Dados sobre o material 
9 
 
𝜀 = 𝑒𝜀𝑣 − 1 
E da mesma forma com a Tensão Verdadeira e a Tensão de Engenharia temos: 
𝜎𝑣 = 𝑆 × (𝜀 + 1) 
A partir destes dados fez possível a relação entre tensão e deformação real, 
com a tensão e deformação de engenharia. Desta forma utilizando o software Excel 
foi possível estipularmos os valores para 𝑛 entre 0 𝑒 0,5 variando a cada 0,001. Na 
imagem abaixo é possível observar alguns destes valores de forma ilustrativa: 
 
Com os dados obtidos foi plotado o seguinte gráfico, utilizando o software 
SciDavis: 
 
Foi solicitado o cálculo do limite de escoamento e o módulo de Young. Para 
chegar a estes valores utilizamos a teoria do capítulo 6 do livro: Ciência e Engenharia 
de Materiais Uma introdução, Wlliam D. Callister Jr e David G. Rethwisch. Desta forma 
TENSÃO VERDADEIRA TENSÃO DE ENGENHARIA DEFORMAÇÃO VERDADEIRA DEFORMAÇÃO DE ENGENHARIA
0 0 0 0
101,1929 91,5631 0,1 0,1052
143,1084 117,1672 0,2 0,2214
175,2712 129,8441 0,3 0,3499
202,3858 135,6632 0,4 0,4918
226,2742 137,2422 0,5 0,6487
Figura 2; Representação ilustrativa dos valores obtidos 
Figura 3; Gráfico Tensão de Engenharia x Deformação de Engenharia 
10 
 
verificamos que ao considerar o valor da deformação de engenharia 𝜀 = 0,2% é 
possível calcular a deformação verdadeira. A parti da formula: 
 
𝜀𝑣 = ln (𝜀 + 1) 
 
Substituindo o valor na equação obtemos 𝜀𝑣 = 2 × 10
−3. A parti desta 
deformação é possível calcular a tensão de escoamento a parti da fórmula: 
𝜎𝑣 = 𝑘. 𝜀𝑣 
𝑛 → 𝜎𝑣 = 14,3 𝑀𝑃𝑎 
Com estes valores é possível encontrar o Módulo de Young substituindo os 
valores na fórmula: 
𝜎𝑣 = 𝐸. 𝜀𝑣 
𝐸 =
𝜎𝑣
𝜀𝑣
 → 𝐸 = 7,15 𝐺𝑃𝑎 
 
Posteriormente, em um segundo momento, foi fornecido pelo professor os 
valores encontrados a seguir: 
 
 
Material Carga (kgf) profundidade (mm) Diâmetro (mm)
1360 0,22 5,3
1515 0,29 5,5
2220 0,33 6,4
2740 0,46 7,2
Cobre Recozido 
(Ø63,5 x 6,4 mm)
Figura 4; Valores de carga aplicada, profundidade e diâmetro 
11 
 
A partir destes valores, foi pedido que se fossem plotados os seguintes gráficos: 
 
 
 
A parti da análise dos gráficos pode-se perceber que quanto maior a carga, 
maior será a profundidade e o raio de endentação. Isso se pode observa pela própria 
formula da teoria: 
𝑎 = (
3𝑊𝑅
4𝐸∗
)
1
3
 
 
2,3
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
3,7
1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700
CARGA X RAIO 
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700
CARGA X PROFUNDIDADE
Figura 5; Gráfico Carga aplicada x Raio 
Figura 6; Gráfico Carga aplicada x Profundidade 
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Na qual as variáveis 𝑊; 𝑅; 𝑎 estão relacionadas, assim como demonstram os 
gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
CONCLUSÃO 
 
 Em um primeiro momento observamos que os valores de Tensão de 
escoamento e módulo de elasticidade do material Cobre recozido, encontrados a partir 
dos cálculos e teoria, foram bem abaixo dos valores tabelados para este material. 
Acreditamos que isso se deve ao fato do gráfico ter sido gerado apenas com base em 
dados teóricos, sem a utilização de quaisquer informações práticas do experimento 
de ensaio de tração. 
Na segunda parte do experimento foram plotados dois gráficos, ambos em 
função da carga, porém, como estes possuem poucos pontos existe uma dificuldade 
de realizar uma análise mais profunda. Contudo, foi possível identificar que a 
profundidade da penetração e o diâmetro da impressão são diretamente proporcionais 
à carga aplicada.