Mecanica dos Materiais II

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estática e mecânica 
dos materiais
Beer | Johnston | deWolf | mazurek
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dos materiais
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Beer
Johnston
deWolf
mazurek
Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livros-texto, 
Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes 
áreas da engenharia – a estática e a mecânica dos materiais – permitindo que 
os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter-
minado problema de maneira coesa, simples e lógica.
 Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido 
dos conteúdos que serão trabalhados.
 Os conceitos são introduzidos passo a passo, de forma clara e objetiva.
 Seções opcionais oferecem tópicos avançados.
 As seções Problemas resolvidos são apresentadas em uma única página, 
o que proporciona melhor visualização dos problemas-chave.
 Todos os capítulos oferecem um conjunto de problemas que devem 
ser resolvidos com o auxílio de programas computacionais.
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deste livro.
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Engenharia
bEEr, johnston, dEwolf & mazurEk
Estática e mecânica dos materiais
BEER, JOHNSTON & CORNWELL
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 9.ed.
BEER, JOHNSTON, MAZUREK & EISENBERG
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, 9.ed.
BLANK & TARQUIN
Engenharia Econômica, 6.ed.
BUDYNAS & NISBETT
Elementos de Máquinas de Shigley: Projeto de Engenharia Mecânica, 8.ed. 
*ÇENGEL & BOLES
Termodinâmica: Uma Abordagem da Engenharia, 7.ed.
ÇENGEL & CIMBALA
Mecânica dos Fluidos 
ÇENGEL & GHAJAR
Transferência de Calor e Massa, 4.ed.
CHAPRA & CANALE
Métodos Numéricos para Engenharia, 5.ed.
CHAPRA, S.C.
Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas, 3.ed.
DYM & LITTLE
Introdução à Engenharia: Uma Abordagem Baseada em Projeto, 3.ed.
GILAT, A.
MATLAB com Aplicações em Engenharia, 4.ed. 
HSU, H.P.
Sinais e Sistemas, 2.ed. (Coleção Schaum)
LEET, UANG & GILBERT
Fundamentos da Análise Estrutural, 3.ed.
NAHVI & EDMINISTER
Circuitos Elétricos, 4.ed. (Coleção Schaum)
NAVIDI, W.
Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas
NORTON, R.L.
Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
ROSA, E.S. 
Escoamento Multifásico Isotérmico 
SMITH & HASHEMI
Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais, 5.ed.
TREMBLAY, T.
Autodesk Inventor 2012 e Inventor LT 2012: Essencial 
WHITE, F.M.
Mecânica dos Fluidos, 6.ed.
* Livro em produção no momento de impressão desta obra, mas que muito 
em breve estará à disposição dos leitores em língua portuguesa.
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em língua portuguesa.
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Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
E79 Estática e mecânica dos materiais [recurso eletrônico] /
 Ferdi nand P. Beer ... [et al.] ; tradução: Antônio Eustáquio
 de Melo Pertence ; revisão técnica: Antonio Pertence Júnior.
 – Dados eletrônico. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-165-5
 1. Engenharia mecânica. 2. Mecânica dos materiais. 3. Está-
 tica. I. Beer, Ferdinand P. 
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356 Estática e mecânica dos materiais
Se o carregamento inicial for grande o suficiente para provocar encrua-
mento do material (ponto Cʹ), o descarregamento ocorrerá ao longo da li-
nha CʹD .́ À medida que é aplicada a força reversa, a tensão torna-se com-
pressiva, alcançando seu valor máximo em Hʹ e mantendo-a conforme o 
material escoa ao longo da linha H J́ .́ Notamos que, enquanto o valor má-
ximo da tensão de compressão é menor que σE, a variação total na tensão 
entre Cʹ e Hʹ ainda é igual a 2σE.
Se o ponto K ou Kʹ coincide com a origem A do diagrama, a deforma-
ção permanente é igual a zero e pode parecer que o corpo de prova retor-
nou à sua condição original. No entanto, terão ocorrido alterações inter-
nas, e embora a mesma sequência de carregamento possa ser repetida, o 
corpo de prova romperá sem nenhum aviso após algumas poucas repeti-
ções. Isso indica que as deformações plásticas excessivas às quais o corpo 
de prova estava submetido provocaram uma alteração radical nas caracte-
rísticas do material. Portanto, forças reversas na região plástica raramente 
são permitidas e só podem ocorrer sob condições rigorosamente controla-
das. Essas situações ocorrem no endireitamento de material danificado e 
no alinhamento final de uma estrutura ou máquina.
*9.6 Carregamentos repetidos. Fadiga
Nas seções anteriores, consideramos o comportamento de um corpo de 
prova submetido a uma carga axial. Lembramos que, se a tensão máxima 
no corpo de prova não exceder o limite elástico do material, o corpo de 
prova retornará à sua condição inicial quando a carga for removida. Você 
pode concluir que determinada carga pode ser repetida muitas vezes, des-
de que a tensão permaneça na região elástica. Essa conclusão é correta 
para cargas repetidas algumas dezenas ou mesmo centenas de vezes. No 
entanto, você verá que isso não é correto quando a carga é repetida milha-
res ou milhões de vezes. Nesses casos, ocorrerá a ruptura a uma tensão 
muito menor do que a resistência à ruptura estática, fenômeno conhecido 
como fadiga. Uma falha por fadiga é de natureza frágil, mesmo para ma-
teriais normalmente dúcteis.
A fadiga deve ser levada em conta no projeto de todos os componentes 
estruturais e de máquinas submetidos a cargas repelidas ou flutuantes. O 
número de ciclos de carregamento que se pode esperar durante a vida útil 
de um componente varia grandemente. Por exemplo, uma viga que supor-
ta um guindaste industrial pode ser carregada até dois milhões de vezes 
em 25 anos (cerca de 300 carregamentos por dia de trabalho), um virabre-
quim do motor de um carro será carregado aproximadamente meio bilhão 
de vezes se o carro rodar 300.000 km, e uma pá de turbina pode ser carre-
gada várias centenas de bilhões de vezes durante sua vida útil.
Alguns carregamentos têm natureza flutuante. Por exemplo, o tráfego 
de veículos sobre uma ponte provocará níveis de tensão que flutuarão so-
bre o nível de tensão em razão do próprio peso da ponte. Uma condição 
mais grave ocorre quando há uma inversão completa da carga durante o 
ciclo de carregamento. Por exemplo, as tensões no eixo de um vagão de 
trem são completamente invertidas a cada meia volta da roda.
O número de ciclos de carregamento necessário para provocar a falha 
de um corpo de prova por meio da aplicação de cargas cíclicas pode ser 
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357Capítulo 9 � Tensão e deformação – carregamento axial
determinado experimentalmente para dado nível de tensão máxima. Se for 
executada uma série de ensaios em que se utilizam diferentes níveis de 
tensão máxima, os dados resultantes podem ser colocados em um gráfico 
como uma curva σ-n. Para cada ensaio, devem-se construir uma curva da 
tensão máxima σ como ordenada e o número de ciclos n como abscissa. 
Por causa do grande número de ciclos necessários para a ruptura, o núme-
ro n de ciclos é apresentado em escala logarítmica.
Uma curva típica σ-n para o aço é mostrada na Fig. 9.15. Notamos que, 
se a tensão máxima aplicada for alta, serão necessários relativamente pou-
cos ciclos para causar a ruptura. À medidaque a intensidade da tensão 
máxima é reduzida, o número de ciclos necessário para provocar a ruptura 
aumenta até ser alcançada uma tensão conhecida como limite de resistên-
cia à fadiga, que é a tensão para a qual não ocorre falha, mesmo para um 
número indefinidamente grande de ciclos de carregamento. Para um aço 
de baixo teor de carbono como o aço estrutural, o limite de resistência à 
fadiga é aproximadamente metade do limite de resistência do aço.
Para metais não ferrosos como o alumínio e o cobre, uma curva σ-n 
típica (Fig. 9.15) mostra que a tensão de falha continua a diminuir à medi-
da que aumenta o número de ciclos de carregamento. Para esses metais, 
define-se o limite de resistência à fadiga como a tensão correspondente à 
falha após um número especificado de ciclos de carregamento, por exem-
plo, 500 milhões.
O exame de corpos de prova obtidos de eixos, molas ou de outros 
componentes que falharam em fadiga mostra que a falha foi iniciada em 
uma trinca microscópica ou em alguma imperfeição similar. A cada car-
regamento, a trinca se propagava um pouco. Durante sucessivos ciclos de 
carregamento, a trinca se propagou pelo material até que a quantidade de 
material não danificado fosse insuficiente para suportar a carga máxima, 
ocorrendo falha abrupta por fragilidade. Como a falha por fadiga pode ser 
iniciada em qualquer trinca ou imperfeição, as condições da superfície de um 
corpo de prova têm um efeito importante no valor do limite de resis-
tência à fadiga obtida no ensaio. O limite de resistência à fadiga para cor-
pos de prova usinados e polidos é mais alto do que para os componentes 
laminados ou forjados, ou para componentes corroídos. Em aplicações no 
mar (ou próximo a ele), ou ainda em outras aplicações em que se espera 
que haja corrosão, pode-se prever uma redução de 50% no limite de resis-
tência à fadiga.
Figura 9.15
Número de ciclos de carregamento
Alumínio (2024)
Aço (1020HR)
103
70
140
210
280
350
Te
ns
ão
 (M
Pa
)
104 105 106 107 108 109
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