Estat- ¦ística 3.1

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Variância e Desvio Padrão – Dados discretos em tabela de freqüência.
Iremos apresentar o procedimento para o cálculo da variância e do Desvio Padrão, quando os dados discretos estão em forma de tabela de freqüência.
A variância populacional (
) para dados discretos em tabela de freqüência é dada por:
,
onde: N é o número de dados da população, μ é a média populacional, m é o número de valores diferentes de xi e f(xi) é a freqüência de xi .
A variância amostral (S2) para dados discretos em tabela de freqüência é dada por:
,
onde: n é o número de dados da amostra 
 é a média amostral, m é o número de valores diferentes de xi e f(xi) é a freqüência de xi .
�
Procedimento para o cálculo da Variância
O cálculo da variância pode ser facilitado, adicionando-se colunas na tabela de freqüência e realizando os cálculos por etapas.
Exemplo: Calcule a variância dos dados da tabela de freqüência abaixo.
Como a variância depende do valor da média, devemos calcular inicialmente a média.
 A média será dada por: 
, utilizando os dados da tabela abaixo o valor da média será: 
 
Agora podemos montar a tabela para o cálculo da variância.
O valor da variância será dado por: 
O valor do desvio padrão é dado por: 
Variância e Desvio Padrão – Dados contínuos em tabela de classe.
As expressões para a variância são semelhantes às apresentadas no tópico anterior, porém com a substituição de xi pelo ponto médio da classe, 
.
A variância populacional é dada por: 
,
onde: N é o número de dados da população, 
 é o ponto médio da classe k, μ é a média populacional, m é o número de classes e f(xk) é a freqüência da classe ki .
A variância amostral (S2) para dados contínuos em tabela de classe é dada por:
,
onde: n é o número de dados da amostra,
 é o ponto médio da classe k, 
 é a média amostral, m é o número de classes e f(xk) é a freqüência classe k.
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão dos dados apresentados na tabela de classe abaixo.
	Classe
	f(xk)
	1,5 |---- 3,0
	1
	3,0 |---- 4,5
	3
	4,5 |---- 6,0
	4
	6,0 |---- 7,5
	2
	Soma
	10
Como a variância depende do valor da média, devemos calcular inicialmente a média.
A média será dada por: 
, utilizando os dados da tabela abaixo o valor da média será: 
	
	Classe
	f(xk)
	
	
* f(xk)
	1,5 |---- 3,0
	1
	2,25
	2,25
	3,0 |---- 4,5
	3
	3,75
	11,25
	4,5 |---- 6,0
	4
	5,25
	21,00
	6,0 |---- 7,5
	2
	6,75
	13,50
	Soma
	10
	
	48,00
Agora podemos montar a tabela para o cálculo da variância.
	Classe
	f(xk)
	
	
* f(xk)
	
- 
	(
- 
)^2
	(
- 
)^2 * f(xk) 
	1,5 |---- 3,0
	1
	2,25
	2,25
	-2,55
	6,50
	6,50
	3,0 |---- 4,5
	3
	3,75
	11,25
	-1,05
	1,10
	3,30
	4,5 |---- 6,0
	4
	5,25
	21,00
	0,45
	0,20
	0,80
	6,0 |---- 7,5
	2
	6,75
	13,50
	1,95
	3,80
	7,60
	Soma
	10
	
	48,00
	
	
	18,20
O valor da variância será dado por:
Então o desvio padrão amostral é:
S = 
�
EXERCÍCIOS:
1 - As tabelas de freqüência, a seguir, referem-se ao número de acidentes de trabalho que ocorreram por dia em uma indústria. A tabela (a) corresponde aos dados obtidos desde o inicio de operação da indústria, e a tabela (b) corresponde aos dados obtidos durante trinta dias.
a) 
	xi
	f(xi)
	0
	525
	1
	150
	2
	48
	3
	14
	4
	6
	5
	4
	6
	3
	7
	2
b) 
	xi
	f(xi)
	0
	23
	1
	4
	2
	2
	3
	1
Onde a variável x é o número de acidentes de trabalho por dia.
Calcule a média, a variância e o desvio padrão dos dados de cada tabela. Compare a proporção dos dias em que não houve acidentes de trabalho. O que você pode concluir? Com as tabelas acima é possível afirmar a “idade” da indústria?
2 – O controle de qualidade de uma empresa retira amostra de hora em hora. Cada amostra contém 50 peças e verifica-se a quantidade de peças defeituosas em cada amostra. Durante 7 dias foram coletadas 35 amostras e foram obtidos os seguintes dados (número de peças defeituosas por amostras):
0	0	3	1	4	5	0
0	3	1	1	0	0	0
2	2	1	1	2	0	0	
1	1	0	1	3	0	0
1	0	0	0	2	2	3
Monte uma tabela de freqüência.
Calcule Q1, Q3, a média, a mediana, a variância e o desvio padrão desses dados.
3 – Uma empresa decidiu investir em propaganda para aumentar o número de vendas diárias de seu produto. A tabela (a) refere-se aos dados amostrais antes da propaganda e a tabela (b), depois da propaganda.
a)
	Venda 
	Freqüência
	0
	6
	1
	9
	2
	7
	3
	6
	4
	3
	5
	1
b)
	Venda
	Freqüência
	3
	1
	5
	4
	6
	10
	7
	20
	8
	17
	9
	5
Calcule a média de cada uma das distribuições.
Calcule o desvio padrão de cada uma das distribuições
Compare os valores da média e desvio padrão antes e depois da propaganda e discuta sobre a eficácia da propaganda.
4 – Calcule a média, a variância e o desvio padrão dos dados das tabelas de freqüência abaixo. A tabela (a) mostra as notas de todos alunos da turma A e a tabela (b) mostra as notas de todos os alunos da turma B.
a) 
	Notas 
	Nº de alunos
	0,0 |---- 2,0
	3
	2,0 |---- 4,0
	7
	4,0 |---- 6,0
	25
	6,0 |---- 8,0
	10
	8,0 |----10,0
	5
b)
	Notas 
	Nº de alunos
	0,0 |---- 2,0
	1
	2,0 |---- 4,0
	3
	4,0 |---- 6,0
	8
	6,0 |---- 8,0
	12
	8,0 |----10,0
	6
5 – Calcule a média, a variância e o desvio padrão dos dados da tabela de freqüência abaixo, referentes aos salários de 82 funcionários de uma empresa com 1200 funcionários.
	Salário
	Nº de funcionários
	500,00 |---- 700,00
	40
	700,00 |---- 900,00
	25
	900,00 |---- 1200,00
	10
	1200,00 |---- 1700,00
	5
	1700,00 |---- 3100,00
	2
6 – Os dados abaixo são os pesos, em kg, de 25 crianças recém-nascidas:
2,0	2,1	2,3	2,3	2,5
2,6	2,6	2,8	2,9	3,0
3,0	3,1	3,4	3,4	3,4
3,4	3,3	3,4	3,0	3,1
3,5	3,5	3,8	3,9	3,9
a) Monte uma tabela de freqüência em classes e calcule: Q1, Q3, mediana, moda, média, variância e desvio padrão. 
_1283418635.unknown
_1283425122.unknown
_1283425961.unknown
_1283425993.unknown
_1283426302.unknown
_1283426705.unknown
_1283426867.unknown
_1283426272.unknown
_1283425703.unknown
_1283425163.unknown
_1283424795.unknown
_1283424995.unknown
_1283419241.unknown
_1283417736.unknown
_1283418472.unknown
_1283418126.unknown
_1283416565.unknown
_1283416974.unknown
_1283417125.unknown
_1283416496.unknown