Guia de Estudos da Unidade 1 - Transferência de Calor

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Transferência de Calor
UNIDADE 1
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TRANSFERÊNCIA dE CAloR
UNIdAdE 1
Introdução à Condução
Condução Unidimensional em Regime Estacionário
Condução Bidimensional em Regime Estacionário
PARA INíCIo dE CoNvERSA
Olá, querido (a) estudante! Como vai?
Nesta unidade, você irá conhecer (ou relembrar) as formas de troca de calor que existem: 
•	 Condução;
•	 Convecção;
•	 Radiação. 
Para isso, esses conceitos serão desenvolvidos de forma bastante didática, de maneira a que você não 
tenha mais dúvidas. 
Inicialmente, você irá entender por que ocorrem as transferências (ou trocas) de calor. Em seguida, serão 
apresentadas formalmente como essas trocas de calor ocorrem (tipos e condições).
Após isso, você estará preparado para se aprofundar no tema de condução de calor, quando faremos uma 
introdução. Para prosseguir, definiremos o que vem a ser um regime estacionário, também conhecido 
como regime permanente, diferenciando-o do que seja regime transiente.
Prezado (a) aluno (a), com a introdução dos conceitos de condução térmica e regime estacionário, você 
estará pronto para desenvolvermos o estudo de condução unidimensional em regime estacionário.
Por fim, você ampliará seus conhecimentos de condução, desenvolvendo as equações necessárias ao 
estudo da condução bidimensional em regime estacionário. Ao longo do texto, há alguns exemplos apli-
cando as equações conceituadas.
Aproveite para aprender e não deixe de consultar o seu livro texto, bem como outros sugeridos sobre o 
assunto.
 
FUNdAMENToS dA TRANSFERÊNCIA dE CAloR
Conceitos fundamentais 
Alguns conceitos fundamentais são necessários à compreensão do fenômeno de transferência de calor. 
Basicamente, esses conceitos derivam da necessidade de sua compreensão: o que é e como ocorre a 
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transferência de calor; quem pode trocar calor; quais as condições necessárias para se poder trocar calor; 
que tipos de transferência de calor existem. Você vai perceber que esses conceitos são bastante simples, 
mas fundamentais.
CAloR
O que vem a ser calor? 
•	 Calor é uma espécie de energia, mas essa energia não costuma ser considerada isoladamen-
te. Assim, este tipo de energia, denominada calor possui um conceito relacionado com o seu 
movimento ou trânsito;
•	 Calor é a energia em trânsito;
•	 Calor é uma forma de energia que é diretamente transferida de um corpo para outro. 
Assim, podemos considerar que a energia só se apresenta na forma de calor durante a sua transferência 
de um corpo para outro.
Transferência de calor
 
voCÊ SABIA?
Uma condição fundamental para que ocorra a transferência de calor entre dois corpos 
é que haja uma diferença de temperatura entre eles.
Já que transferência de calor só ocorre quando entre dois corpos há uma diferença de temperatura, você 
pode perguntar: mas ocorre sempre? E em que sentido ocorre essa transferência de calor? Do corpo mais 
quente para o mais frio? Do corpo frio para o mais quente? Para responder a essas perguntas, continue-
mos nosso estudo.
Primeiro, quando falamos de dois corpos, devemos considerar algumas situações. Por exemplo, se um 
mesmo corpo está inicialmente com uma temperatura mais alta em uma de suas extremidades e, na outra 
extremidade, a temperatura é mais baixa, podemos considerar este corpo como se fossem dois corpos 
com temperaturas diferentes, para efeitos de transferência de calor.
Assim mesmo, também devemos considerar um fluido (seja um líquido como a água, ou um gás como o ar), 
que envolve um dado corpo sólido, como um segundo corpo, quando o fluido e o corpo sólido estão cada 
um com uma temperatura diferente.
Sentido da troca de calor 
Você já deve ter observado que, quando um corpo frio entra em contato com um corpo quente, ambos 
sofrem variação de temperatura. O corpo frio aumenta de temperatura, ao passo que o corpo quente tem 
sua temperatura abaixada. 
???
4
Observe que não podemos dizer que um corpo possui calor. Calor não é uma propriedade dos corpos. Os 
corpos possuem o que chamamos de energia interna, composta normalmente por duas partes, a energia 
térmica e a energia potencial. O conceito de calor não deve jamais ser confundido nem com o conceito 
de energia interna, tampouco com o conceito de energia térmica. Lembre-se que, como já falamos antes, 
“calor é uma energia em trânsito”.
Assim, você está percebendo que o calor é um fenômeno de transferência, e mais, o calor só pode fluir de 
um corpo mais quente para um corpo mais frio, nunca o contrário. Assim, sempre que um corpo mais frio 
entra em contato com um corpo mais quente, terá sua temperatura elevada. E o contrário também ocorre: 
um corpo mais quente, em contato com um corpo mais frio, ao transferir parte de seu calor para o corpo 
mais frio, terá sua temperatura reduzida.
Agora, podemos melhorar nosso conceito de calor:
Calor é uma forma de energia que é diretamente transferida de um corpo mais quente para outro corpo 
mais frio.
Equilíbrio térmico
Essa troca de calor possui limites: um corpo mais quente não pode transferir calor para um corpo mais 
frio indefinidamente, da mesma forma que o corpo mais frio não pode receber todo o calor do corpo mais 
quente. Essa troca se estabelece de forma “equilibrada”. Esse equilíbrio é conhecido como equilíbrio 
térmico:
Quando dois corpos de temperaturas diferentes são colocados próximos um ao outro num mesmo am-
biente, ocorre uma troca de energia térmica entre eles sob a forma de calor. Com o passar do tempo, 
eles tendem a alcançar a mesma temperatura, atingindo um equilíbrio térmico. O corpo que apresentava 
temperatura mais alta perde energia térmica, diminuindo sua temperatura, enquanto o outro corpo ganha 
energia e tem a sua temperatura elevada.(Clausius, 1850) 
Observe que ao perder calor para o corpo frio, o corpo quente tem sua temperatura diminuída até que sua 
temperatura seja igual à temperatura do corpo frio, que vem ganhando parte do calor que o corpo quente 
tinha. O corpo frio aumenta sua temperatura até o limite da temperatura que o corpo quente alcança ao 
perder calor. Se o corpo frio ganhasse muito calor a ponto de, ao final, ficar com uma temperatura superior 
à do corpo quente que perdeu calor, o processo se inverteria, e o corpo que era frio passaria a ser mais 
quente que o que era inicialmente quente. A partir de então, perderia calor até que se restabelecesse o 
equilíbrio térmico.
Apesar do raciocínio do parágrafo anterior poder parecer difícil, basta você entender que dois corpos em 
contato, com temperaturas inicialmente diferentes, alcançarão, após algum tempo, a mesma temperatu-
ra, o que significa que eles alcançarão o denominado equilíbrio térmico.
Finalmente, é interessante relembrar uma lei conhecida como Lei Zero da Termodinâmica ou Princípio 
Zero da Termodinâmica.
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lei Zero da Termodinâmica 
O Princípio Zero da Termodinâmica advém justamente do equilíbrio dos corpos. É conhecida como a lei do 
equilíbrio dos corpos.
Basicamente consiste em dizer que o equilíbrio térmico entre corpos materiais só pode ser atingido quan-
do os mesmos se encontram na mesma temperatura.
Seu conceito formal é o seguinte:
“Se três sistemas se apresentam isolados de qualquer outro universo externo, e, dois sistemas conse-
cutivos estiverem em equilíbrio térmico com o terceiro, então os dois sistemas consecutivos estarão em 
equilíbrio térmico entre si. ”(Clausius, 1850)
 
Figura 1. Sistemas termodinâmicos – SISTEMA ABERTO (troca massa e energia).
Fonte: http://sereduc.com/m0j5XQ
Figura 2. Sistemas termodinâmicos – SISTEMA FECHADO (troca só energia).
Fonte: http://www.telelistas.net/blog/wp-content/uploads/2014/05/gal%C3%A3o1.jpg
 
Figura 3. Sistemas termodinâmicos – SISTEMA ISOLADO (não troca massa, nem energia).
http://sereduc.com/m0j5XQ
http://www.telelistas.net/blog/wp-content/uploads/2014/05/gal%C3%A3o1.jpg
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lEITURAS CoMPlEMENTARES
Para entender isso melhor, recomendamos a leitura e compreensão do significado de 
sistemas termodinâmicos (abertos, fechados e isolados), de acordocom as figuras: 1, 2 
e 3. Essa leitura e compreensão pode não ser absolutamente necessárias, mas ajudará 
você a entender melhor o conceito formal acima citado. Você poderá ler um texto muito 
simples neste link da InfoEscola.
Você também poderá complementar sua leitura sobre o Princípio Zero da Termodinâmi-
ca, lendo um pouco o conteúdo da página do Mundo Educação.
FoRMAS dE TRANSFERÊNCIA dE CAloR 
Há essencialmente três formas possíveis de transferência de calor conhecidas: (Figura 4).
Figura 4. Formas de transferência de calor.
Fonte: http://www.ebanataw.com.br/roberto/conforto/transmissao.jpg
•	 A CONDUÇÃO é a forma de transferência de calor que ocorre entre sólidos ou fluidos. A condução 
está normalmente relacionada com a energia cinética das moléculas dos corpos envolvidos. Conside-
rando que a temperatura de um corpo é proporcional à energia cinética média das partículas de cada 
corpo, pode-se concluir facilmente que a diferença de temperaturas é o fator principal da transferên-
cia de calor por condução;
•	 A CONVECÇÃO ocorre quando a transferência de calor se dá entre a superfície de um corpo e um 
fluido que se movimenta próximo a essa superfície. Este movimento pode ser o resultado da variação 
de densidade que ocorre em partes do fluido, sendo essa diferença de densidade devida a diferentes 
temperaturas do mesmo (conhecida como convecção natural), mas também pode ser o resultado da 
ação de ventiladores ou bombas, que promovem o movimento do fluido sobre a superfície do corpo 
(conhecida como convecção forçada);
http://www.infoescola.com/fisica/lei-zero-da-termodinamica/
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lei-zero-termodinamica.htm
http://www.ebanataw.com.br/roberto/conforto/transmissao.jpg
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•	 A RADIAÇÃO também conhecida como irradiação, é a troca térmica que ocorre entre dois corpos 
quando não há nada entre eles, ou seja, quando entre eles somente há o espaço vazio. Nos dois pri-
meiros casos, condução e convecção, a troca de calor se dá através da troca de energia que se efetua 
entre as moléculas que se tocam. Aqui, entretanto, como não há moléculas que se toquem (lembre-
se: neste caso, consideramos que há espaço vazio entre os corpos), a troca térmica se dá através de 
ondas eletromagnéticas.
Primeira lei da Termodinâmica 
A Primeira Lei da Termodinâmica é conhecida como Lei da Conservação da Energia.
Esta lei relaciona a variação da energia interna ΔE de um sistema com seu fluxo de calor Q e o trabalho 
W realizado ou recebido por este sistema.
 
Figura 5. Convenção de sinais para a Primeira Lei da Termodinâmica.
Fonte: Imagem do autor
Por convenção, o fluxo de calor pode ser positivo (Q > 0, se o sistema recebe calor) ou negativo (Q < 0, se 
o sistema perde calor), assim como o trabalho pode ser considerado positivo (W > 0, quando o trabalho 
é realizado pelo sistema no ambiente que o envolve) ou negativo (W < 0, quando o ambiente é quem 
realiza trabalho sobre o sistema, ou, de outra forma, quando o sistema recebe trabalho das vizinhanças), 
de acordo com a Figura 5.
De acordo com essa lei, a energia total de um sistema se conserva. Seu conceito formal é o seguinte:
“O calor recebido por um sistema é igual à soma entre a variação da energia interna do sistema e o tra-
balho efetuado pelo sistema. ” (Carnot, 1824)
Essa relação é representada pela Eq. 1:
 Eq. 1
É importante lembrar que, apesar de ΔE ser conhecida como variação de energia interna do sistema, de 
maneira que ΔE = Ee – Es (energia interna que entra “menos” a energia interna que sai, de maneira que 
essa variação seja positiva), a energia interna de um sistema não costuma ser determinada, mas apenas 
sua variação. Também podemos dizer que ΔE = Ef – Ei, sendo Ef a energia interna que o sistema possui 
ao final da transformação e Ei a energia interna que o sistema possuía antes. Ambas as variações levam 
ao mesmo resultado.
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Essa variação, demonstrada na Eq. 1, mostra que, para que um sistema tenha sua energia interna modi-
ficada, é preciso ocorrer pelo menos uma das alternativas: ou haver troca de calor (Q) pelo sistema com 
o ambiente (que pode ser outro corpo, inclusive um fluido), resultante da diferença de temperatura entre 
eles; ou que haja realização de trabalho pelo sistema no ambiente (W positivo) ou pelo ambiente no sis-
tema (W negativo).
Dito isto, é fácil perceber que, se não houver realização de trabalho (W = 0), a Eq. 1 se reduz a ΔE = Q.
QUANTIdAdE dE CAloR dE UM CoRPo 
Por outro lado, você sabe que nem todo corpo se aquece ou se esfria da mesma forma. A forma como 
se aquece um corpo (se mais ou menos rápido) depende basicamente de fatores como a massa do corpo 
(todo corpo tem massa m) e o seu calor específico (c).
O calor específico de um corpo é a taxa de transferência que ocorre em um corpo por unidade de massa 
m e por temperatura T, de maneira que a quantidade de calor que um corpo recebe ou perde é dada pela 
Eq. 2, em que ΔT = Tf – Ti (a variação de temperatura do corpo é a diferença entre a sua temperatura final 
Tf e a sua temperatura inicial Ti):
 
 Eq. 2
Mudança de fase 
Em algumas situações, quando um corpo se aquece ou se esfria, o corpo pode experimentar o que cha-
mamos de mudança de fase. Mudança de fase ocorre quando um corpo muda de estado físico (Figura 6).
 
Figura 6. Mudanças de fase dos corpos
Fonte: http://www.soq.com.br/conteudos/em/introducao/index_clip_image015.gif
Nestas circunstâncias, podemos dizer que, durante o processo de mudança de fase, a temperatura do 
corpo se mantém constante, de forma que o calor necessário para realizar a mudança de fase de toda a 
massa do corpo é dado pela Eq. 3, em que L é conhecido como calor latente, que representa a quantidade 
http://www.soq.com.br/conteudos/em/introducao/index_clip_image015.gif
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de energia necessária, por unidade de massa, necessária para a mudança de fase do referido corpo.
 
 Eq. 3
Sistema de unidades 
É importante conhecer as unidades representativas das propriedades estudadas. Sugerimos que você 
consulte o livro texto (Souza, 2016) para um melhor aproveitamento. De qualquer maneira, apresentamos 
as unidades das propriedades até então estudadas.
Sistema Internacional de Unidades (SI):
kg (quilo) = unidade de massa ;
m (metro) = unidade de comprimento;
s (segundo) = unidade de tempo;
J (Joule) = unidade de energia ;
ºC (grau Celsius) = unidade de temperatura;
K (Kelvin) = unidade de temperatura, sendo ;
 = unidade de calor específico (em graus Celsius);
 = unidade de calor específico (em Kelvin);
 = unidade de calor latente;
 (Watt ou Joule/s) = taxa de transferência de calor.
Sistema inglês de unidades 
Apesar de não pertencerem ao SI, algumas unidades do sistema inglês continuam sendo utilizadas, sendo 
interessante que você conheça a conversão dessas unidades em unidades do SI. Neste caso, apresenta-
mos a unidade “calorias” (cal) que representa a unidade de energia do sistema inglês:
1 cal = 4,1868 J
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INTRodUÇÃo À CoNdUÇÃo 
Você já viu que a transferência de calor depende de corpo para corpo. Isso quer dizer que cada corpo 
possui o que chamamos de suas próprias propriedades térmicas.
Também já entendeu que essa transferência somente se dá de um corpo mais quente para um corpo mais 
frio.
Um outro ponto muito importante, já apresentado, é que um corpo (ou fluido) pode apresentar uma região 
mais quente e outra mais fria (geralmente nas extremidades). Quando isso ocorre, temos o que chamamos 
de gradiente de temperatura.
Gradiente de Temperatura 
Formalmente, podemos dizer que:
Gradiente de temperatura é uma grandeza utilizada para descrever a direção e a taxa de variação de 
temperatura em um dado ponto. É uma grandeza expressa em unidades de temperatura por unidades de 
comprimento. 
Sua unidade no SI o K/m (Kelvin por metro).
A temperatura, a rigor, pode variar em diversas direções, de modo que o gradiente térmico pode ocorrer 
em qualquer uma das três dimensões. A Eq. 4 representa este fenômeno:
 Eq. 4
O símbolo∇ é o gradiente, e os termos entre parênteses são derivadas parciais da temperatura em rela-
ção às dimensões x, y e z. Nesta parte do estudo, consideraremos inicialmente gradientes térmicos que 
variem em uma só dimensão, de maneira que a Eq. 4 se reduz a uma derivada simples (não mais parcial, 
por não depender de outras variáveis, mas apenas de x, ou seja, de uma dimensão), representada pela 
Eq. 5:
 Eq. 5
Condutividade Térmica (k) 
Como comentado, cada material possui suas próprias propriedades térmicas. Em nosso estudo, uma pro-
priedade muito importante é a condutividade térmica. Formalmente, podemos dizer que:
“A condutividade térmica é a capacidade de um material conduzir energia térmica. ” Callister, William, 
Materials Science and Engineering - An Introduction (John Wiley & Sons, INC. 2003)
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Caro (a) aluno (a), alguns materiais conduzem energia térmica de forma mais rápida e eficiente que outros. 
Dizemos que esses materiais são bons condutores térmicos ou que possuem uma condutividade térmica 
mais alta. Eles costumam ser utilizados para a fabricação de equipamentos que necessitam dissipar o 
calor de forma rápida. Outros materiais possuem condutividade térmica baixa, sendo normalmente utili-
zados como isolantes térmicos.
A condutividade térmica é uma característica específica de cada material, e dependendo tanto da pureza 
como da própria temperatura na qual esse se encontra (especialmente em baixas temperaturas). Em 
geral, a condução de energia térmica nos materiais, aumenta à medida que a temperatura aumenta. Isso 
quer dizer que a condutividade térmica é uma propriedade que varia conforme a temperatura em que se 
encontra cada material.
No SI, a sua unidade de representação é o W/(m.K), ou seja, o watt por metro e por Kelvin (lembrando que 
o Watt é o mesmo que J/s), pois:
“A condutividade térmica representa a taxa temporal de transmissão de energia, sob a forma de calor, 
através de um material. ”
A condutividade térmica equivale numericamente à quantidade de calor (Q) transmitida por unidade de 
tempo através de um objeto com espessura unitária (L), numa direção normal à área da superfície de sua 
seção reta A, também unitária, devido a uma variação de temperatura unitária (ΔT) entre as extremidades 
longitudinais (Eq. 6).
 Eq. 6
Sugerimos que você consulte seu livro texto para conhecer uma tabela de condutividade térmica, quando 
observará que a condutividade térmica é maior nos sólidos que nos líquidos, que, por sua vez, é maior do 
que nos gases. Lá, você poderá também conhecer, através de uma figura, como a condutividade térmica 
varia em alguns sólidos em função da temperatura.
Resistividade Térmica (ρ) 
Outra propriedade, que advém diretamente do conceito de condutividade térmica, é justamente a 
resistividade térmica, que nada mais é que o oposto ao que foi definido. Dizemos que a resistividade 
térmica é o recíproco da condutividade térmica (Eq. 7).
 
 Eq. 7
Se alguns corpos possuem alta condutividade térmica, possuirão baixa resistivivdade térmica, e vice-
versa.
Tabelas de condutividade térmica podem ser facilmente encontradas em consultas feitas na internet ou 
no google, como vemos por exemplo na Tabela 1.
12
EXEMPlo
Tabela 1. Resistividade de alguns materiais.
Fonte: Adaptação do professor
difusividade Térmica (α)
voCÊ SABIA?
Você sabia que existe outra propriedade importante, no estudo de transferência de calor?
Sim, é a Difusividade Térmica. Ela indica basicamente a velocidade com que o calor se difunde em dado 
material. Seu conceito formal é:
???
13
“A difusividade térmica representa a forma como o calor se difunde através de um material. ” Clauser, C. 
e Huenges, E. (1995) Thermal conductivity of rocks and minerals, Americam Geophysical Union, 3:105-126.
Isto depende, por um lado, da condutividade (k) ou da velocidade de condução da energia térmica no 
interior do material, mas também depende do calor específico (c) e da densidade (ρ) do referido material 
(Eq. 8).
 Eq. 8
 
GUARdE ESSA IdEIA!
Muita atenção neste momento. Você deve ter percebido que os símbolos usuais de 
representação de resistividade e de densidade são os mesmos neste texto: r. Normal-
mente a densidade pode ainda ser representada por d. Como usaremos muito mais a 
propriedade de condutividade (o recíproco da resistividade), então, daqui por diante, 
quando aparecer o símbolo r estaremos nos referindo à densidade do material.
As unidades SI para essas grandezas são:
 = unidade de condutividade térmica (k);
 = unidade densidade (ρ);
 = unidade de calor específico (c);
 = unidade de difusividade térmica (α).
Fluxo de calor (q/A ou q”) 
O conceito formal de fluxo de calor é o seguinte:
“Fluxo de calor a taxa de transferência de calor por unidade de área (A) perpendicular à direção dessa 
transferência, sendo também proporcional ao gradiente de temperatura nessa direção. ” Sistema Inter-
nacional de Unidades : SI. — Duque de Caxias, RJ: INMETRO/CICMA/SEPIN, 2012. 94 p.
O calor tem sido representado pelo símbolo Q, sendo sua unidade no SI uma unidade de energia, ou seja, 
o J (Joule).
Por sua vez, a taxa de calor é uma quantidade de calor transferida por unidade de tempo (valor temporal). 
Sendo, portanto, a taxa de calor uma quantidade de calor temporal, temos (Eq. 9).
14
 
 Eq. 9
Sua unidade no SI é (Watt ou Joule/s).
Considerado o conceito de fluxo de calor, temos pela Eq. 10, representando tal fluxo por q”:
 Eq. 10
A unidade de fluxo de calor pelo SI é (Watt/metro2).
Taxa de energia gerada (por unidade de volume) 
A taxa de energia gerada q por unidade de volume (volume de controle) será representada por . Como 
se uma taxa de energia, sua unidade [ ] = W/m3.
lei de Fourier (equação de condução de calor)
Prezado (a) estudante, como vimos, o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Se esse 
gradiente for unidimensional, como , vamos representá-lo simplesmente por (justamente por 
ser unidimensional) (veja essa proporcionalidade nas Eq. 11):
 Eq. 11 (a)
 Eq. 11 (b)
 
 
GUARdE ESSA IdEIA!
Lembre-se que o símbolo de proporcionalidade (µ) não significa a mesma coisa que o 
símbolo de igualdade (=). Antes, ele significa apenas uma dependência direta de outras 
variáveis ou funções, mas para a igualdade é necessário normalmente alguma (s) outra 
(s) conjectura (s) ou uma expressão constante que a faça ser real partindo das propor-
cionalidades existentes em um determinado conceito estudado.
15
Aqui, estamos usando duas equações, sendo a primeira (Eq. 11.a) a que é usada em seu livro texto (con-
sulte-o), e a segunda (Eq. 11.b) uma equação que pode ser encontrada em outros livros textos, como o 
(Dewitt & Incropera, 2003).
Para que essa proporcionalidade se transforme em uma igualdade, a inserção de uma constante se faz 
necessária. Neste caso, a constante que melhor se adequa é uma propriedade dos materiais que você já 
estudou, a condutividade térmica (k).
É importante lembrar, por outro lado, que, considerando que o gradiente de temperatura é negativo, pois, 
à medida que nos afastamos da fonte de calor, a temperatura é menor (a temperatura final é menor que a 
inicial, logo sua subtração leva a um valor negativo), para que essa igualdade se estabeleça, inseriremos 
também um sinal negativo.
Dessa forma, chegamos à Lei de Fourier:
 Eq. 12 (a)
 
 Eq. 12 (b)
 
EXEMPloS
Exemplo 1
Suponha que você tenha um forno, formado por um material isolante, de seção transversal 20 m2, cuja es-
pessura é de 5,0 cm, que conduza calor a uma taxa de 4,5 kW. Considerando que a sua superfície interna 
se encontra a uma temperatura de 300ºC e ainda que a condutividade térmica do material isolante seja 
de 0,275 W.m-1K-1, determine qual a temperatura da superfície externa.
Solução
Para responder esta questão, usemos a Eq. 12 (a):
Para este caso, considerando a variação de temperatura apenas em uma dimensão, que é a espessura do 
material L, podemos usar a equação Eq. 12 (a) da seguinte forma:16
Isolando ΔT:
Definindo os valores:
 
 
 
 
Aplicando os valores:
 
 
 
 
A temperatura da superfície externa do forno será de 259,09ºC, para as condições indicadas.
Exemplo 2
Admita uma transferência de calor em uma dimensão (unidimensional) por condução, em regime perma-
nente (estacionário), desconsiderando geração interna de calor. Essa transferência se dá em uma parede 
plana com temperaturas T1 e T2 (conforme as situações da tabela que se segue) de espessura 0,3 m. A 
condutividade térmica do material da parede é de 30 W.m−1.K−1. Com estas informações, preencha a 
tabela abaixo:
17
Para preencher esta tabela, precisamos basicamente da Lei de Fourier e sua forma para 
condução unidimensional .
Situação 1:
Situação 2:
 
 
 
18
Situação 3:
 
 
 
 
Situação 4:
 
 
Balanço de energia
Denominamos de balanço de energia a avaliação da energia que entra e que sai de um volume de contro-
le, bem como a energia que pode ser gerada ou consumida dentro desse volume de controle, dentro de 
um dado intervalo de tempo. Consideraremos ainda a energia armazenada, por ocasião do fenômeno, mas 
que o material não sofra mudanças de fase (efeito da energia latente). Finalmente, inicialmente conside-
raremos que o fluxo de calor se somente na direção x:
 
Figura 7. Balanço de energia em um volume de controle.
Fonte: Adaptação do(a)professor (a).
Na Figura 7, o calor que entra no volume de controle é dado por , sendo a barra à direita 
com o x como subscrito justamente a notação representativa de que o calor entra no sentido de x, sendo 
dx a espessura do volume de controle dx.
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O calor que sai do volume de controle é dado por , sendo x+dx a distância percorrida 
pelo calor.
Como já foi visto, a taxa de energia gerada q por unidade de volume (volume de controle) será represen-
tada por . Como se uma taxa de energia, sua unidade [ ] = W/m3, ou J/(s.m3). O calor gerado é obtido 
multiplicando-se pelo volume de controle .
A energia armazenada passa a constituir parte da energia interna, pelo que consideramos então que essa 
energia corresponde à variação da energia interna do material. Essa variação de energia depende do 
variação de temperatura do corpo com o tempo (dT/dt), o calor específico do corpo (c), sua densidade (ρ) 
e, claro, o volume do corpo (A.dx), ou seja .
O balanço de energia (calor neste caso) é dado pelas Eq. 13:
 entra + gerado = armazenado + sai Eq. 13 (a)
 
 Eq. 13 (b)
Querido (a) aluno (a), observe que o sinal negativo no segundo membro da equação é função do gradiente 
de temperatura (diminuição da temperatura à medida que nos afastamos da fonte de calor).
No livro texto é apresentado o desenvolvimento dessa equação em termos de derivadas, levando a Eq. 14.
 
 Eq. 14 (a)
Lembrando do conceito de difusividade térmica, dado pela Eq. 8:
 Eq. 8
Podemos ter também:
 Eq. 14 (b)
A única diferença desta equação para a equação do livro texto é que aqui, como consideramos inicial-
mente o fluxo em apenas uma dimensão, no sentido do eixo x, usamos uma derivada simples. Entretanto, 
a rigor, a equação do livro texto, com derivadas parciais, representa melhor o fenômeno, uma vez que 
estamos falando de “volume de controle”, ou seja, de um corpo tridimensional.
20
Finalmente, para essa dedução se aplicar a corpos tridimensionais, basta que consideremos o gradiente 
de temperatura ∇T (Eq. 15):
 Eq. 15 (a)
 
 Eq. 15 (b)
 
 Eq. 15 (c)
Condições de contorno 
São denominadas condições de contorno as situações necessárias de serem conhecidas para que se 
possa resolver um problema proposto.
Em nosso estudo, você poderá considerar três tipos de condições de contorno possíveis, a Condição de 
Dirichlet, a Condição de Neumann e a Condição de Robin.
A representação da temperatura T nas equações estudadas até então denota que ela é uma função da 
posição e do tempo, ou seja, T = T (x, t).
Condição de dirichlet 
Figura 8. Representação da Condição de Dirichlet.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Também conhecida como condição de contorno de primeira espécie, ocorre quando consideramos que 
a superfície do corpo é mantida a uma temperatura fixa Ts (Figura 8). Exemplos dessa situação ocorrem 
quando a superfície do corpo em questão está em contato com um material que está mudando de fase 
(fusão, ebulição), quando mantém sua temperatura constante, como você sabe.
Neste caso:
 
 Eq. 16
21
Condição de Neumann
 
Figura 9. Representação da Condição de Neumann, para o caso de fluxo de calor finito.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Esta é uma condição de contorno de segunda espécie, ocorrendo com o contato da superfície do corpo 
com uma fonte de calor ou com um isolante (Figura 9).
No caso de uma fonte de calor, temos um fluxo de calor finito, em que:
 Eq. 17 (a)
 
 Eq. 17 (b)
Figura 10. Representação da Condição de Neumann, para o caso de uma superfície isolada (ou adiabática).
Fonte: Imagem do próprio autor.
No caso de uma superfície isolada (ou adiabática, (Figura 10), consideramos que não ocorre troca de calor 
na superfície, de maneira que a variação de temperatura na superfície (x = 0) é nula (Eq. 18).
 Eq. 18
22
Condição de Robin
 
Figura 11. Representação da Condição de Robin.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Trata-se de uma condição de contorno de terceira espécie, que correspondente à existência de troca de 
calor (aquecimento ou resfriamento) por convecção na superfície do corpo (Figura 11).
Neste caso, a variação da temperatura na superfície, depende da temperatura do fluído em condições de 
corrente livre (T∞), bem como da temperatura na superfície do corpo, T (0, t), do coeficiente de transferên-
cia de calor por convecção (h), que é dado em W/(m2.K), dada pela Eq. 19.
 
 Eq. 19
CoNdUÇÃo UNIdIMENSIoNAl EM REGIME ESTACIoNÁRIo 
Agora, caro (a) aluno (a), iremos aplicar os balanços de energia, mais especificamente a equação de 
condução de calor, unidimensionalmente, ou seja, em sistemas de uma só dimensão, e em regime esta-
cionário.
Definido o que vem a ser um regime estacionário, desenvolveremos o estudo da condução de calor sem 
geração de energia, para o que você conhecerá também o conceito de resistência térmica.
Ao final, incluiremos o estudo da condução de calor com geração de energia.
Regime estacionário (ou permanente) 
Dizer que um sistema está em regime estacionário, também conhecido como regime permanente, é o 
mesmo que dizer que suas propriedades são inalteráveis com o tempo, o que vale dizer que qualquer 
derivada temporal será nula, por exemplo .
23
CoNdUÇÃo dE CAloR SEM GERAÇÃo dE ENERGIA 
Consideraremos neste estudo situações de transferência de calor por condução em uma parede plana, em 
um cilindro e em uma esfera.
Parede plana 
 
Figura 12. Fluxo por condução em uma parede plana.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Para uma parede plana (Figura 12), a condução de calor em regime estacionário permite-nos dizer que a 
Eq. 12 (a) pode ser integrada, variando-se entre a posição x = 0, na superfície do corpo, e x = L, L corres-
pondendo à espessura do corpo estudado. Consideraremos ainda que a condutividade térmica do corpo é 
constante na faixa de temperatura avaliada, de T1 a T2, sendo T2 < T1.
 Eq. 12 (a)
 
 Eq. 20
Resistência térmica 
Observe que a Eq. 20 pode ser modificada para representar o calor conduzido em função do quociente da 
variação de temperatura sofrida e um valor “constante” para a situação, bastando dividir o numerador e 
o denominador do segundo membro por –kA (Eq. 21).
 Eq. 21
 
24
Figura 13. Fluxo por condução em duas paredes planas contíguas.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Essa forma permite avaliar uma situação em que paredes contíguas (vizinhas), que possuam a mesma 
área A de contato, mas que possuam condutividades térmicas diferentes. Considere assim, duas paredes 
1 e 2, ambas de áreas A, com espessuras L1 e L2 e condutividades térmicas k1 e k2 respectivamente 
(Figura 13).
Observe que o fluxo de calor(q/A) em qualquer face das paredes é o mesmo, e, uma vez que A é a mesma 
para ambas as paredes, podemos afirmar que q também é o mesmo para ambas as paredes, de maneira 
que, a Eq. 21 pode ser interpretada na Eq. 22:
 Eq. 22
Você pode inicialmente isolar T2 em termos de T1 e T3: 
 
O que leva a:
 
Agora, isolando q:
 
 
Teremos a Eq. 23:
 Eq. 23
25
Observe que os termos 1
1
L
k A
 e 2
2
L
k A
 são como resistências térmicas, pois quanto maior forem, menor 
será a taxa de transferência de calor. Você poderá lembrar que a resistividade térmica é uma propriedade 
dos corpos, sendo o recíproco da condutividade térmica. Comparando a resistividade térmica 
com tais termos, eles se assemelham, sendo a diferença apenas relacionada às dimensões do corpo 
(espessura L e área da seção reta A por onde é o calor transferido). Por isso mesmo é que podemos dizer 
que os termos resistividade térmica e resistência térmica têm algo em comum: quanto maior a resistência 
térmica que um corpo oferece, ou sua a resistividade térmica, menor a taxa de transferência de calor que 
este corpo poderá proporcionar.
Ainda observando os termos 1
1
L
k A
 e 2
2
L
k A
 podemos observar que, quanto maior os valores das condu-
tividades (k1, k2), menores serão estes termos, e, portanto, maior a taxa de transferência de calor. Isso 
também deve ser óbvio, uma vez que já sabemos que, quanto maior a condutividade térmica de um corpo, 
maior sua taxa de transferência de calor.
Finalmente, avaliando as equações 21 a 23, podemos ver que, quanto maior a diferença de temperatura, 
maior a taxa de transferência de calor, o que faz com que possamos considerar essa diferença como po-
tencial térmico.
 
Figura 14. Fluxo por condução em três paredes planas contíguas.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Podemos ampliar esse estudo de maneira que, se você tiver mais paredes (Figura 14), basta somar as 
resistências térmicas, de acordo com as espessuras das paredes e suas condutividades térmicas, para 
poder determinar as temperaturas de entrada na primeira parede e de saída na última parede, e, claro, 
calcular inclusive as temperaturas intermediárias (entre uma parede e outra). 
 
EXEMPloS
Exemplo 3
Considere uma parede plana constituída de uma placa cobre com 2,0 cm de espessura recoberta com uma 
camada de amianto de 2,5 mm e uma chapa de vidro com 4,0 cm. Suponha que essa placa isola um lado 
com 570ºC de seu outro lado com 40ºC. Determine o fluxo de calor (q/A) desta parede. As propriedades 
26
do cobre puro são: densidade 8.954 kg/m3, calor específico 0,38 kJ.kg−1.ºC−1, considere uma condutividade 
térmica média na faixa de temperatura estudada de 380 W.m−1.ºC−1. As propriedades do amianto são: 
densidade 500 kg/m3, calor específico 0,82 kJ.kg−1.ºC−1 e condutividade térmica 0,16 W.m−1.ºC−1. Final-
mente, as propriedades do vidro utilizado são: densidade 2.700 kg/m3, calor específico 0,84 kJ.kg−1.ºC−1 e 
condutividade térmica 0,78 W.m−1.ºC−1.
Solução
Você pode determinar o fluxo de calor (q/A) através da Eq. 12 (a): , considerando dx como 
a espessura L para cada um dos materiais, como na Figura 13. Desta maneira, a equação deve considerar 
as três resistências térmicas dos materiais:
 
Como a área de contato entre os materiais é a mesma, podemos obter o fluxo de área da seguinte forma:
 
 
Vamos observar os valores dados necessários à equação:
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando os valores na equação:
 
 
27
Exemplo 4
Observe que é possível se determinar as temperaturas intermediárias em caso de paredes planas com-
postas de materiais contíguos de diferentes condutividades térmicas. Neste exemplo, procure determinar 
as temperaturas entre a placa de cobre e o amianto (T2), e entre o amianto e o vidro (T3) do Exemplo 3.
Solução
Parte-se de que o fluxo de calor é o mesmo entre cada um dos materiais. Assim, você pode continuar 
usando a Eq. 12 (a), desconsiderando as demais resistências térmicas. Entre o cobre e o amianto:
 
Logo, como você já conhece o fluxo de calor (q/A), para calcular T2:
 
 
 
Para calcular T3:
 
 
28
Observe que é possível calcular T2 ou T3 de outras formas (admitindo outras resistências):
 
 
 
 
 
Com isso, você pode observar que há várias maneiras de se determinar as temperaturas intermediárias, 
em uma parede plana constituída de diversos materiais com áreas de contato iguais, em que se observa 
a transferência de calor por condução transversalmente à estrutura da parede.
distribuição de temperatura 
Rearranjando a Eq. 14, poderemos tê-la assim:
 
 Eq. 14
Como, em regime estacionário , e considerando ainda a ausência de fontes de calor, ou 
seja, :
 
29
 Eq. 24
Lembre-se que a derivada segunda da Eq. 24 pode ser reescrita assim:
 Eq. 25
A Eq. 25 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, cuja solução (curso de cálculo) é:
 
 Eq. 26
No caso de uma parede que possui T1 e T2, quando x = 0 e x = L, respectivamente, teremos que C2 = T1 e 
C1 = (T2 – T1)/L, de maneira que obtemos para o perfil de temperatura (ou distribuição de temperatura) a 
Eq. 27:
 
 Eq. 27
Podemos tirar ao menos duas conclusões pela Eq. 27. A primeira delas é que sendo 
função de x/L. A segunda conclusão é que a Eq. 27 é uma equação de uma reta, em que o coeficiente 
angular é e o coeficiente linear é T1, ou seja, o decaimento de temperatura é linear.
Exemplo 5
Considere uma parede plana de 30 cm de espessura, cuja distribuição de temperatura se dê conforme a 
equação , em que a temperatura seja dada em graus Celsius e x em metros, sendo a 
= 600ºC, b = – 200ºC/m e c = – 40ºC/m2. A parede tem dimensões correspondentes a 2 metros de altura 
por 10 metros de comprimento, e a gera calor, de forma uniforme, correspondente a 600 W/m3. Considere 
ainda que a densidade do material da parede é de 2,0 g/cm3, sua condutividade térmica é de 30 W.m-1.K-1 
e seu calor específico (à pressão constante) é de 5 J.kg-1.K-1.
a)	 Determine a temperatura interna da parede (quente) e a temperatura externa (mais fria) da parede.
b)	 Calcule a taxa de transferência de calor que entra na parede.
c)	 Calcule a taxa de transferência de calor que sai da parede.
d)	 Através do balanço de energia, encontre o valor de energia armazenada pela parede.
e)	 Estime a taxa de variação de temperatura (em relação ao tempo) 10 cm após a entrada de calor na 
parede e 10 cm antes de o calor sair da parede.
30
Solução
Primeiramente, vamos definir os valores:
 
 
 
 
a) Para determinar as temperaturas interna e externa da parede, basta que apliquemos os valores da 
espessura da parede, L, em x = 0 e em x = 30 cm = 0,3 m, na equação de temperatura:
 
b) Usemos a Eq. 12 (a), inicialmente aplicando-a em x = 0 e depois em x = 0,3 m. Entretanto, primeiramen-
te, derivemos dT/dx:
 
 
31
Então, para x = 0:
 (1)
Atenção, observe que não foi necessário transformar ºC em K, pois os valores da distribuição de tempera-
tura é em temos de “variação” por metro ou “variação por metro quadrado”. Assim, se o valor é 200ºC por 
metro, isso corresponde também à variação de 200 Kelvins por metro. Da mesma forma, se o valor é 20ºC 
por metro quadrado, isso também corresponde à variação de 20 Kelvins por metro quadrado.
c) Para x = 0,3 m:
 
 
d) O balanço de energia é dado pelas Eq. 13, em que o calor gerado pode ser dado por :
 
 
 
 
Assim, com o valor dos calores na entrada na saída da parede, calculados nas letras (b) e (c):
 
 
 
 
168000q W=
168 (em 0, ou seja, no início da parede, lado quente)q kW x= =
134400q W=
134,4 (em 0,3 , ou seja, no final da parede, lado mais frio)q kW x m= =
32
e) Para calcular a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo, precisamos das Eq. 14 (b):
 
Por outro lado, é preciso inicialmente determinar 
2
2
d T
dx
, derivando a equação de temperatura 
. Como já obtivemos sua primeira derivada, 
, basta que a derivemos novamente:
 
 
Agora, aplicando os valores conhecidos para x = 10 cm =0,1 m:
 
 
 
E aplicando os valores conhecidos para x = 30 cm = 0,3 m, como a equação não depende da posição x, 
podemos dizer que , o que significa dizer que a taxa de queda de 
temperatura é linear, sendo apenas função do tempo.
33
Cilindro 
 
Figura 15. Fluxo por condução em um cilindro.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Para determinar o fluxo de calor na parede de um tubo cilíndrico, uma mudança de coordenadas se faz 
necessária (Figura 15).
Pretende-se determinar a transferência de calor entre uma região com raio r1 (raio interno) e r2 (raio 
externo), segundo a Eq. 28.
 Eq. 28
Naturalmente, convém lembrar que a própria área de transferência de calor é função do raio do cilindro, 
A = 2πrL. Aplicando esta definição da área na Eq. 28 e integrando-a de r1 a r2 e de T1 a T2, teremos a Eq. 
29, cuja demonstração mais detalhada encontra-se no livro texto, embora com r1 = ri, r2 = re, T1 = Ti e T2 
= Te, sendo os índices i e e correspondentes aos termos interno(a) e externa (e) respectivamente.
 Eq. 29
Podemos reescrever a Eq. 29 de outra forma (Eq. 30), em que o termo representa justamente 
uma resistência térmica.
 
 Eq. 30
Você pode trabalhar com o conceito de resistência térmica, de maneira que, para dois tubos concêntricos, 
com raios r1 (interno), r2 (entre um tubo e outro) e r3 (externo ao tubo mais externo), condutividade térmica 
do tubo mais interno k1 e condutividade térmica do tubo mais externo k2, a Eq. 31 possui termos de resis-
tência térmica correspondentes a e .
34
 Eq. 31
Exemplo 6
Uma tubulação de aço inoxidável, cuja condutividade térmica é 19 W.m−1.ºC−1, possui um diâmetro interno 
de 0,5 cm e um diâmetro externo de 2,0 cm. Para efeitos de dissipação de calor, recobre-se esta tubulação 
com um isolamento 1,0 cm de espessura de condutividade térmica 0,15 W.m−1.ºC−1. Considerando que a 
tubulação serve para conduzir um fluido que mantém sua parede interna a 500ºC, qual deve ser a perda de 
calor por unidade de comprimento já que a parede externa ao isolamento se encontra a 50ºC?
Solução
O sistema envolve coordenadas radiais (tubulação, coordenadas cilíndricas).
Usando a Eq. 31, você pode obter a perda de calor por unidade de comprimento L:
 
Figura 16. Condução de calor em uma tubulação revestida com um Isolamento.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Os dados foram:
 
 
 
 
 
 
 
35
Aplicando à equação:
 
Esfera 
 
Figura 17. Fluxo por condução em uma esfera oca.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Finalmente, podemos também considerar o fluxo de calor de dentro para fora de uma esfera oca (Figura 
17).
Pretende-se determinar a transferência de calor entre uma região com raio r1 (raio interno) e r2 (raio 
externo), segundo a Eq. 28.
 
 Eq. 28
Naturalmente, convém lembrar que a própria área de transferência de calor é função do raio da esfera, 
A = 4πr2. Aplicando esta definição da área na Eq. 28 e integrando-a de r1 a r2 e de T1 a T2, teremos a Eq. 
32, cuja demonstração mais detalhada encontra-se no livro texto, embora com r1 = ri, r2 = re, T1 = Ti e T2 
= Te, sendo os índices i e e correspondentes aos termos interno(a) e externa (e) respectivamente.
 Eq. 32
Podemos reescrever a Eq. 32 de outra forma (Eq. 33), em que o termo representa justa-
mente uma resistência térmica.
 
 Eq. 33
36
Você também pode trabalhar com o conceito de resistência térmica, de maneira que, para duas esferas 
concêntricas, com raios r1 (interno), r2 (entre um tubo e outro) e r3 (externo ao tubo mais externo), condu-
tividade térmica do tubo mais interno k1 e condutividade térmica do tubo mais externo k2, a Eq. 34 possui 
termos de resistência térmica correspondentes a e .
 
 Eq. 34
CoNdUÇÃo dE CAloR CoM GERAÇÃo dE ENERGIA
Neste caso, devemos considerar a geração de calor interna, de maneira que será necessário que a distri-
buição de temperatura seja considerada em todo o volume do corpo considerado.
Parede plana
 
Figura 18. Fluxo por condução em uma parede plana com geração de calor.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Será considerada uma parede plana que possui como temperatura em seu centro T1 e na superfície (am-
bas as superfícies) T2. O centro da parede será considerado como x = 0, crescendo seu valor para as extre-
midades, até alcançar as superfícies, cuja distância do centro será considerada como L (ou seja, a parede 
possui espessura corresponde a 2L).
O balanço de energia dado pela Eq. 14 é:
 Eq. 14
Como estamos ainda tratando de regime estacionário (ou permanente), temos que , de modo 
que, nesta situação o balanço de energia é apresentado na Eq. 35
 
 Eq. 35
37
A Eq. 35 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, cuja solução (curso de cálculo) é:
 Eq. 36
Para determinar as constantes C1 e C2, consideremos as seguintes condições de contorno: na superfície 
1, Ts1 = T(−L); para a superfície 2, Ts2 = T(L). Aplicando estas duas condições na Eq. 36, ao subtrair as 
equações resultantes, obtemos C1, e, ao somá-las, obtemos C2.
 
Então, para esta condição particular, a Eq. 36 fica na forma da Eq. 37:
 
 Eq. 37
Quando as duas superfícies são mantidas à mesma temperatura, TS2 = TS1 = Ts (Eq. 38):
 
 Eq. 38
No caso de uma parede que possui Ts2, quando x = –L ou x = +L, e Ts1, quando x = 0, respectivamente, se TS2 
= TS1 = Ts teremos que C1 = 0 e C2 = T1, a temperatura máxima é encontrada em x = 0 (T0) (Eq. 39) (simetria).
 
 Eq. 39
E o perfil de temperatura (ou distribuição de temperatura) pode também ser apresentado como na Eq. 40:
 
 Eq. 40
Quando uma parede é adiabática (isolada), para uma espessura L, ainda vale a Eq. 38, porém, a tempe-
ratura mais alta ocorre em x = 0, a contar da parede adiabática. Se a espessura for considerada como 2L 
(de −L a +L), a temperatura máxima será encontrada em T(−L), mas a Eq. 38 fica assim modificada (Eq. 41):
 
38
 Eq. 41
Exemplo 7
Admitindo que uma parede plana de espessura 2L = 30 mm e condutividade térmica 40 W.m−1.K−1 gere 
calor volumetricamente na taxa de 6 x 106 W/m3, possuindo ainda uma superfície perfeitamente isolada 
(a −L) e a outra sob temperatura uniforme de 40ºC (a +L), determine (a) o perfil de temperatura da parede; 
(b) a posição na parede em que a temperatura é máxima; (c) o valor da temperatura máxima.
Solução
a) Temos uma parede plana com geração de calor, cabendo, neste caso, o uso da Eq. 37.
 
Figura 19. Condução de calor em uma parede plana isolada em uma das faces com geração de calor.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Aplicando (−L) à equação acima, teremos:
Aplicando (+L), que, por definição da Figura 19, é T0:
Entretanto, neste caso, temos que uma das superfícies é adiabática, ou seja, cabe aqui a Eq. 41:
 
39
Para T(−L):
 
Para T(+L):
 
Subtraindo as duas últimas equações:
 
Atribuindo os valores conhecidos:
 
2 30 0,03L mm m= =
 
b) A posição de maior temperatura é dada por x = −L, próxima à parede adiabática.
c) Como , então, . Esta é a maior temperatura.
Cilindro 
 
Figura 20. Fluxo por condução em cilindro.
Fonte: Imagem do próprio autor.
40
Neste caso, as coordenadas cilíndricas levam a Eq. 14, considerando o regime permanente (Figura 20):
 
 Eq. 14
Como estamos ainda tratando de regime estacionário (ou permanente), temos que , de modo que, nesta 
situação o balanço de energia é apresentado na Eq. 42
 
 Eq. 42
A separação das variáveis da Eq. 42 (considerando a geração de calor e a condutividade térmica unifor-
mes), poderemos integrá-la:
 
 
 Eq. 43
A Eq. 43 também pode ser resolvida por separação de variáveis:
 
 
 
 Eq. 44
No caso de um cilindro que r = 0, , ou seja, em , podemos determinar C1 da Eq. 
43, de forma que C1 = 0.
Na superfície, onde r = r0, a temperatura é T2, pela Eq. 44, obtemos que , uma vez que 
já foi definido que C1 = 0.
41
Nessas condições, a solução particular (para as condições de contorno apresentadas) é apresentada na 
Eq. 45:
 Eq. 45
Considerando, por fim que, no centro, onde chamaremos de T0, em que r = 0:
 Eq. 46Isolando as temperaturas das equações 45 e 46 e subtraindo a Eq. 46 da Eq. 45, chegamos ao perfil de 
temperatura (distribuição de temperatura) dado pela Eq. 47
 
 
 Eq. 47
CoNdUÇÃo BIdIMENSIoNAl EM REGIME ESTACIoNÁRIo 
Há casos em que se deve considerar o fluxo de calor bidimensionalmente, sendo um bom exemplo a con-
dução de calor sobre uma superfície, quando devem ser considerados os efeitos da transferência de calor 
em duas dimensões.
Lembremo-nos da Eq. 15 (b):
 
 Eq. 15 (b)
 
42
MéTodo dE SEPARAÇÃo dE vARIÁvEIS
Figura 21. Fluxo por condução em cilindro.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Consideremos o fluxo de calor em duas dimensões: . Além disso, consideremos o regime 
estacionário: . Finalmente, consideremos que não há calor gerado: . Feitas essas 
considerações, teremos:
 
 Eq. 48
Para a resolução dessa equação diferencial parcial, façamos uma substituição de variáveis, usando as 
temperaturas apresentadas na Figura 21:
 
 Eq. 49
De forma que, derivando adequadamente a Eq. 49:
 
 Eq. 50
Observando a Figura 20, temos as seguintes condições de contorno:
 
 
 
43
É possível obter a solução da Eq. 50 através de separação de variáveis, considerando que a solução a 
ser obtida pode ser expressa por duas funções, uma dependente apenas de x e outra apenas de y. O livro 
texto, bem como Dewitt e Incropera (2003), faz a demonstração da obtenção da solução que se segue, 
obtendo uma solução em forma de série de potências (Eq. 51).
 
 Eq. 51
Método gráfico 
O método gráfico requer uma boa capacidade de desenhar. Ele está bem ilustrado no livro texto.
O fluxo de calor total por unidade de profundidade do material (corpo) a ser estudado é dado pela Eq. 52, 
quando se introduz o fator de forma S.
 
 Eq. 52
Fator de forma 
O fator de forma é o resultado do quociente 
MS
N
= , em que M representa o número de isotermas 
desenhado e N o número de incrementos de temperatura considerado.
O livro texto traz ainda uma tabela apresentando diversos fatores de forma e suas restrições para uso com 
corpos de diversas geometrias.
Resistência térmica 
A resistência térmica da condução bidimensional é dada por 
1
Sk
.
Taxa de transferência de calor 
Se o desenho for construído adequadamente, a Lei de Fourier poderá ser ajustada ao fator de forma (Eq. 
52), obtendo-se a taxa de transferência de calor.
44
Exemplo 8
Determine a temperatura no ponto médio de uma placa de altura 1,0 m e largura 2,0 m com três de suas 
faces mantidas a 50ºC e uma delas mantida a 150ºC (Figura 22).
Figura 22. Condução bidimensional de calor parede plana.
Fonte: Imagem do próprio autor.
 
Solução
Usando as equações 49 e 51, teremos:
Com os valores da questão 2,0 L m= e 1,0 W m= , avaliando o ponto , ou seja, 
para x = 1,0 e y = 0,5:
 
 
Nesta série, se n for par, o somatório é “zero”, pois, por exemplo, para n = 2, em 
.
Para n ímpar, para os 5 primeiros termos da série, n = 1, 3, 5, 7 e 9:
 
45
Usando a Eq. 49:
 
 
 
 
 
PAlAvRAS FINAIS
Meu (minha) caro (a) aluno (a), nesta unidade você viu o conceito de transferência de calor, bem como as 
formas como este fenômeno se dá: condução, convecção e radiação. 
Você também pode se aprofundar o conceito de condução térmica, aplicada a regime estacionário e uni-
dimensional e bidimensional.
Foram ainda apresentados diversos exemplos resolvidos de como podem ser explorados os assuntos 
recém estudados.
 
ACESSE o AMBIENTE vIRTUAl
Para um melhor aprendizado, é muito importante que você realize todas as atividades 
que constam no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). Além delas servirem como 
importantes ferramentas para assimilação do assunto estudado, elas representam 
40% da nota da prova! 
Então não deixe de fazer, e nem deixe para a última hora! No término da unidade, realize as atividades. 
Caso tenha alguma dúvida, entre em contato com o (a) tutor (a)! 
Nos encontramos na próxima unidade.
Até lá!
46
REFERÊNCIAS BIBlIoGRÁFICAS
Britto, H. (2015). Mecânica de fabricação: conceitos, elementos e processos. Tabela de cores para resis-
tores e resistividade dos materiais. Disponível no link. Acesso em 20 Dez. 2015.
Callister, William, Materials Science and Engineering - An Introduction (John Wiley & Sons, INC. 2003)
Carnot, Sadi. “Reflexions sur la puissance motrice dufeu.” Edition critique avec introduction et commen-
taire, augmentee de documents d’archives et divers manuscrits de Carnot par Robert Fox (1824): 273-312.
Clauser, C. e Huenges, E. (1995) Thermal conductivity of rocks and minerals, Americam Geophysical Union, 
3:105-126.
Clausius, Rudolf (1850). On the Motive Power of Heat, and on the Laws which can be deduced from it for 
the Theory of Heat Poggendorff’s Annalen der Physick, LXXIX (Dover Reprint) [S.l.] ISBN 0-486-59065-8
Dewitt, D. P., & Incropera, F. P. (2003). Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Livros Técnicos 
e Científicos (LTC) Editora SA.
Lira, J. C. L. (2006). InfoEscola: Navegando e Aprendendo: Lei Zero da Termodinâmica. Disponível no link. 
Acesso em 20 Dez. 2015.
Santos, L. R. d. (2006). InfoEscola: Navegando e Aprendendo: Refrigeração. Disponível no link. Acesso 
em 20 Dez. 2015.
Silva, D. C. M. d. (2013). Mundo Educação: Lei Zero da Termodinâmica. Disponível no link. Acesso em 20 
Dez. 2015.
Silva, D. C. M. d. (2014). Brasil Escola: Processos de propagação de calor. Disponível no link. Acesso em 
20 Dez. 2015.
Sistema Internacional de Unidades : SI. — Duque de Caxias, RJ: INMETRO/CICMA/SEPIN, 2012. 94 p.
Souza, J. A. L. d. (2016). Transferência de calor. São Paulo (SP): Pearson Education do Brasil.
Vida, C. p. a. (2007). Ciência para a Vida: Origem da Terra. Disponível no link.. Acesso em 20 Dez. 2015.
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http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/lei-zero-termodinamica.htm
http://brasilescola.uol.com.br/fisica/processo-propagacao-calor.htm
http://cienciaparavida.blogspot.com.br/