INTEGRAL-DE-CONVOLUÇÃO

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1 
INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO 
Aplicação na Análise de Circuitos 
1. Caso-Estudo 
Considere o circuito em estado nulo da figura abaixo, onde se pretende obter a tensão nos 
terminais do resistor quando a tensão de entrada tem a forma indicada na mesma figura. 
 
 
2. Resposta ao Impulso na Origem 
Sendo a condição inicial de corrente nula no indutor (Circuito em estado nulo), a transferência 
do circuito para o domínio s resulta na figura ao lado. 
Utilizando-se a regra do divisor de tensão: 
 
  














ss
sH
1
1
1
1
1
 
 
 
No domínio do tempo, a resposta ao impulso será, pois, a função exponencial da figura ao 
lado: 
 
  st,eth t 0  
 
 
 
3. Aplicação da Integral de Convolução 
3.1 Integração Gráfica – Alternativa 1 
A Integral de Convolução para esta alternativa será: 
 
       dtfhty
t
 
0
 
Os limites de integração foram determinados pela natureza causal do circuito e do sinal de 
entrada, pois: 
 
  st,th
st,tf
 
 
00
00


 
 
3.1.1- Preparação das Funções – A resposta ao impulso,  th , experimentará a troca da 
variável independente t por , resultando em: 
 
  s,eh 0    
 
 
 2 
A função de excitação,  tf , deverá ser expressa matematicamente e um exame do formato 
gráfico da mesma resulta em: 
 
 









st,
st,
st,t
tf
 
 
 
100
10520
504
 
Fazendo a transformação de variável de t para (t-): 
 
  
 









st,
st,
st,t
tf
 
 
 
100
10520
504



 
 
 
Transformando os intervalos indicados acima: 
 
 
 
 
101010
105105105
5550



tt
ttttt
ttttt



 
 
 
3.1.2 - Interpretação Gráfica - Graficamente, a troca de variável efetuada na função de 
excitação  tf corresponde aos passos indicados na figura abaixo. 
 
 
a) Troca da variável t por  
 
   τftf  
 
 
b) Inversão da função 
 
   τff   
 
 
c) Avanço de t 
 
   τtff   
 
 
Ao efetuar-se o deslocamento de t, a abscissa dos pontos limítrofes de  tf passam a 
depender de t para que a distâncias entre os mesmos permaneçam sempre 5s: 
 
 
   
 
5105
55


tt
tt
 
 3 
3.1.3 - Aplicação da Integral de Convolução – De acordo com a Integral de Convolução, o 
parâmetro t do limite superior desta integral deverá variar no intervalo  ),0 para que se 
obtenha a resposta do circuito para st 0 . Um exame do comportamento da função de 
excitação,  tf , indica que o intervalo de variação t de deverá ser dividido em três partes para 
se ter em conta as modificações na derivada desta função e assim expressar a resposta do 
circuito adequadamente nestes intervalos. As figuras abaixo ilustram esses intervalos. 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo  s,t 50 
 
 
 
 
 
Intervalo  s,t 105 
 
 
 
 
 
 
Intervalo  s,t  10 
 
 
 
 
Em cada um destes intervalos, deverá ser escolhido um valor intermediário de t para efetuar-
se a Integral de Convolução. 
 
 
Primeiro Intervalo  s,t 50 - Para um valor de t no intervalo  s, 50 , a função de 
excitação  tf ocupará a posição indicada na figura ao 
lado. A Integral de Convolução entre esta função de excitação 
 tf e a resposta ao impulso  h proporcionará conforme 
a figura : 
 
     dtety
t
 

0
4 
 
   14   tety t 
 
 
 4 
 
Segundo Intervalo  s,t 105 - No intervalo  s, 105 , a função de excitação  tf 
ocupará uma posição num valor t do interior do mesmo, tal como 
assinala figura ao lado. A Integral de Convolução entre esta 
função e a resposta ao impulso  h resultará, de acordo com a 
figura: 
 
      dtedety
t
t
t
 




5
5
0
420 
 
    554   tt eety 
 
 
 
Terceiro Intervalo  s,t  10 - Neste intervalo, a função de excitação  tf adotará a 
posição t indicada na figura ao lado. A Integral de Convolução 
entre esta função e a resposta ao impulso  h fornecerá, 
conforme as indicações da figura: 
 
      dtedety
t
t
t
t
 





5
5
10
420 
 
      105 54   ttt eeety 
 
 
 
 
Resposta do Circuito – A resposta do circuito obtida através da aplicação da Integral de 
Convolução será expressa pelas equações abaixo e 
graficamente é apresentada na figura ao lado, 
juntamente com o sinal de entrada. 
 
 
     s,ttety t 5014   
 
      s,teety tt 10554 5   
 
        s,teeety ttt   1054 105 
 
 
 
Como é possível constatar, o sinal de saída não reproduz exatamente o sinal de entrada. 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Resposta
Entrada
 5 
3.2 Integração Gráfica – Alternativa 2 
A Integral de Convolução para esta alternativa será uma comutação da operação anterior: 
 
       dthfty
t
 
0
 
 
3.2.1- Preparação das Funções – A função de excitação  tf sofrerá a troca da variável 
independente t por , resultando em: 
 
 









s,
s,
s,
f
 
 
 
100
10520
504



 
 
A resposta ao impulso,  th , deverá ter, agora, a variável independente t trocada por (t-), o 
que proporcionará: 
 
    st,eth t     
 
Graficamente, esta troca de variável da função resposta ao impulso 
 th , registrada na expressão acima, corresponde, como já foi 
descrito para a alternativa anterior no item 2.1.2, em proceder a uma 
inversão e, em seguida, um adiantamento desta função de t como assinala a figura acima. 
 
 
3.2.2 - Aplicação da Integral de Convolução – Adotando os mesmos procedimentos descritos 
no tópico anterior correspondente, 2.1.3, a variação do parâmetro t no intervalo  ),0 será 
efetuada em três subintervalos para se ter em conta as modificações na derivada da função 
 f . 
 
Primeiro Intervalo  s,t 50 - Na variação t no intervalo  s, 50 , a função resposta 
 th situar-se-á na posição assinalada na figura ao lado. A 
Integral de Convolução entre esta função e a excitação  f e a 
resposta ao impulso  th resultará em: 
 
      dety
t
t  

0
4 
 
   14   tety t 
 
 
Exatamente a mesma resposta obtida na alternativa anterior, como já era esperado. 
 
 
 6 
Segundo Intervalo  s,t 105 - Neste intervalo, a resposta ao impulso  th estará 
posicionada num valor de t no interior do mesmo, tal como 
indicado na figura ao lado. A Integral de Convolução entre esta 
função e a excitação  f , como assinala a figura, resultará em: 
 
        dedety
t
tt
 

5
5
0
204 
 
    554   tt eety 
 
 
Como se verifica, a resposta obtida coincide exatamente com o resultado alcançado com a 
utilização da alternativa anterior de integração. 
 
Terceiro Intervalo  s,t  10 - A função resposta  th , neste intervalo, estará colocada 
na posição t indicada na figura ao lado. A Integral de 
Convolução entre esta função e a excitação  f fornecerá, 
conforme as indicações da figura: 
 
        dedety tt  

10
5
5
0
2024 
 
      105 54   ttt eeety 
 
 
 
Precisamente a mesma resposta oferecida pela alternativa anterior para este intervalo, como 
era esperado. 
 
 
3.3 Integração Analítica – Alternativa 1 
3.3.1- Preparação da Função Excitação – O procedimento analítico para resolução da 
Integral de Convolução consistirá, inicialmente,em expressar as funções resposta ao impulso 
 th e a função excitação do circuito  tf através de equações matemáticas. Para o caso em 
apreço, a resposta ao impulso  th já se encontra nesta forma: 
  st,eth t 0  
 
A função excitação  tf , todavia, encontra-se na forma gráfica, de modo que deverá ser 
convertida para uma expressão matemática única. Conforme a ilustração da figura 
apresentada a seguir, a função  tf poderá ser representada pela soma de duas funções; 
 
      thtgtf  
 
 
 
 7 
 
A função  tg , por sua vez, poderá ser obtida subtraindo-se a rampa com início na origem, 
 tg1 , de idêntica rampa contada a partir de st 5 ,  tg2 , tal como ilustra a figura abaixo. 
 
      tgtgtg 21  
 
Expressando matematicamente as duas funções acima se obtém: 
 
    544  tutttg 
 
A função  th , por seu turno, será determinada também por uma subtração, desta vez, de um 
degrau iniciando-se em st 5 menos um outro degrau com origem em st 10 , a,bos de 
intensidade 20 V, operação ilustrada na figura abaixo: 
 
      ththth 21  
 
Matematicamente: 
      1020520  tututh 
 
A função  th exibirá, assim, a seguinte expressão: 
 
        1020520544  tutututttf 
 
       102042054  tuttuttf 
 8 
3.3.2 - Aplicação da Integral de Convolução – A Integral de Convolução adotada para esta 
resolução será: 
       dthfty
t
 
0
 
 
As funções de excitação  tf e resposta ao impulso  th após a troca da variável t por  e (t-) 
respectivamente tornam-se: 
 
       102042054   uuf 
 
     teth 
 
Substituindo essas expressões na integral obtém-se: 
 
            deuuty
t
t  

0
102042054 
A separando dos termos desta integral fornece: 
 
             
      
C
t
t
B
t
t
A
t
t deudeudety    

000
102042054 
 
A integral A da expressão acima existirá para qualquer valor de  s,t  0 , sendo o seu 
resultado obtido pelo método da integração por partes: 
 
    st,tety tA 014   
 
 
A integral da parcela B será tratada para dois seguintes intervalos de t; [0,5]s e [5,t]s por conta 
da presença do degrau s5 : 
 
              deudeuty
t
tt
B  

5
5
0
42054205 
 
Na primeira integral da direita, como os limites de integração da função da variável  será 
[0,5]s e, neste intervalo o degrau  5tu é nulo, a mesma será igualmente nula. Assim, a 
integral da parcela B reduzir-se-á a segunda integral da direita e existirá somente para st 5 . 
Como o degrau  5tu é unitário para st 5 , esta integral resultará em: 
 
         st,etdety t
t
t
B 564420
5
5
  
 
 
 9 
Tal como no caso anterior, a integral da parcela C será dividida em intervalos de t; [0,10]s e 
[10,t]s, agora devido a presença do degrau  5tu : 
 
              deudeuty
t
tt
C  

10
10
0
10201020 
 
Pela mesma lógica anterior, a primeira integral da direita da expressão acima será nula e a 
integral da parcela C, válida somente st 10 , será: 
 
      st,edety t
t
t
C 10202020
10
10
  
 
 
A superposição dos resultados obtidos aponta que a resposta do circuito deverá ser 
apresentada para três intervalos de tempo: 
 
     
        
          105
5
5410
54105
1450






ttt
CBA
tt
BA
t
A
eeetytyty)t(yst
eetyty)t(ys,t
tety)t(ys,t
 
 
 
 
 
Esses resultados coincidem, como era esperado, com a saída obtida pelo processo da 
integração gráfica. 
 
 
3.4 Integração Analítica – Alternativa 2 
Nesta alternativa, a Integral de Convolução será uma comutação da operação anterior: 
 
       dtfhty
t
 
0
 
 
As funções tratadas anteriormente assumirão, agora, as seguintes formas: 
 
           102042054   tuttuttf 
 
    eh 
 
De modo que a Integral de Convolução tornar-se-á: 
 
             dtuttutety
t
 

0
102042054 
 10 
          
      
C
t
B
t
A
t
dtuedttueddtety  

000
102042054  
 
O primeiro termo da direita da expressão acima A existirá para qualquer valor de t e resultará 
em: 
 
      st,teddtety t
t
A 0144
0
  
 
 
O degrau presente segundo termo da direita, B, está ilustrado na figura abaixo, a qual indica a 
seqüência de operações realizadas em  u até obter-se  5tu . 
 
 
Por conta do degrau, esta integral deverá ser calculada entre os limites 0 e (t-5), e o resultado 
da mesma será válido somente para: 
 
stt 505  
 
Assim: 
        st,etdtety t
t
B 564420
5
5
0
 


 
 
 
Pelo mesmo raciocínio, a integral da parcela C deverá ser efetuada entre os limites 0 e (t-10) 
e sua validade dar-se-á para: 
stt 10010  
 
Procedendo esta integração: 
 
    st,edety t
t
C 10202020
10
10
0
 


 
 , 
 
A resposta do circuito será obtida superpondo-se os resultados obtidos para cada intervalo de 
tempo: 
 
     
        
          105
5
5410
54105
1450






ttt
CBA
tt
BA
t
A
eeetytyty)t(yst
eetyty)t(ys,t
tety)t(ys,t
 
 
 
 
 11 
4. Influência da Resposta ao Impulso 
A resposta que o circuito oferece a um impulso na origem,  th , exerce uma influência 
relevante na forma do sinal de saída, quando uma entrada qualquer,  tf , é imposta ao 
mesmo. A expressão da Integral de Convolução já destaca esse papel: 
 
       dtfhty
t
 
0
 
 
O produto no integrando acima significa que a entrada aplicada ao circuito,  tf , é ponderada 
pela resposta ao impulso,  th , para proporcionar a saída e, por isso, esta última recebe a 
denominação de Função Peso. Para avaliar mais apuradamente esse papel, considere duas 
situações limites para a resposta ao impulso na origem: 
 
a) A resposta ao impulso na origem é também o impulso na origem 
   th   
 
b) A resposta ao impulso na origem é o degrau unitário: 
   tuh  
 
O circuito do caso-estudo será, novamente, utilizado para a análise das condições acima 
especificadas, optando-se pela integração gráfica da Alternativa 1, tópico 3.1, para a obtenção 
da resposta do circuito. 
 
4.1 Caso 1 : Impulso na Origem 
Neste caso, as integrais referentes aos três intervalos do tópico 3.1.3 fornecerão, quando se 
substitui a resposta ao impulso na origem por igual função: 
 
Primeiro Intervalo  s,t 50 
       
0
0
44

   tdtty
t
 
 
  tty 4 
 
Segundo Intervalo  s,t 105 - Como o impulso somente existe na origem, somente o 
primeiro termo, referente a integral nos limites   50 t-, , produzirá resultado, uma vez que, no 
intervalo   t,t 5 , o impulso é nulo. Assim: 
 
     
0
5
5
0
204020



   dtdty
t
t
t
 
 
  20ty 
 
 
 12 
Terceiro Intervalo  s,t  10 - Neste intervalo, como descrito para o caso anterior, as duas 
integrais envolvidas possuem uma função nula, pois o impulso não existe nos limites de 
integração das mesmas,   510  t,t e   t,t 5 . Assim: 
 
     dtdty
t
t
t
t
 


 5
5
10
40200 
 
  0ty 
 
 
Resposta do Circuito – A resposta do circuito, expressa pelas equações abaixo, reproduz 
exatamente o sinal de entrada:   s,ttty 504  
 
   s,tty 10520  
 
   s,tty  100 
 
 
 
. 
 
Esse comportamento mostra que a ponderação do sinal de entrada pela resposta ao impulso 
4.2 Caso 2 : Degrau Unitário 
Para este caso, as integrais nos três intervalos do tópico 3.1.3 proporcionarão quando a 
resposta ao impulso na origem assumir a forma de um degrau unitário: 
 
Primeiro Intervalo  s,t 50 - Como a resposta ao impulso possui o valor unitário no 
intervalo de integração obtém-se: 
         dtdtuty
tt
 
00
44 
 
  22tty  
 
Segundo Intervalo  s,t 105 - Procedendo novamente como no intervalo anterior, ou seja, 
fazendo-se a resposta ao impulso unitária nas duas integrações: 
 
           dtddttuduty
t
t
tt
t
t
 




5
5
05
5
0
420420 
 
  5020  tty 
 
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Entrada
Saída
 13 
 
Terceiro Intervalo  s,t  10 - Como descrito para o intervalo anterior, nas duas integrais 
deste intervalo, a resposta ao impulso é unitária de sorte que: 
 
           dtddttudtuty
t
t
t
t
t
t
t
t
 




 5
5
105
5
10
420420 
 
  150ty 
 
 
Resposta do Circuito – A resposta do circuito será expressa pelas equações abaixo, as quais 
graficamente estão esboçadas na figura ao lado: 
 
 
   s,ttty 502 2  
 
   s,ttty 1055020  
 
   s,tty  10150 
 
 
 
. 
 
Como se observa, a resposta do circuito difere substancialmente do sinal de entrada. 
 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15
Saída
Entrada