Campo Elétrico: Conceitos e Cálculos

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2ºaula
Campo elétrico
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• relacionar as principais características dos campos elétricos às suas linhas de campo;
• calcular o campo elétrico produzido por cargas pontuais e dipolos elétricos; 
• determinar os parâmetros fundamentais para variações das propriedades de campos elétricos. 
Caros(as) alunos(as),
 Nesta segunda aula, veremos como cargas elétricas 
podem reconhecer a presença de uma sobre a outra, em um 
primeiro momento, na seção 1, apresentando os aspectos 
conceituas relacionados ao campo elétrico e suas linhas de campo. 
Em seguida, na seção 2, será demonstrada a expressão para o 
cálculo do campo elétrico gerado por cargas pontuais, para depois, 
na seção 3, definir o campo elétrico gerado por um dipolo elétrico. 
Para isso, estudaremos a influência do momento dipolar elétrico e 
a distância entre estas cargas sobre o aumento ou diminuição do 
campo elétrico.
Bons estudos!
14Física Teórica e Experimental iii
seções de estudo
1 – Conceito de Campo
2 – Campo Elétrico de Cargas Pontuais
3 – Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico
1 - Conceito de Campo
Dadas duas partículas e , a existência de uma sobre 
a outra é constatada devido à existência de elétrico advindo 
de ambas as partículas. Ao aproximarmos a partícula 
da partícula , pode-se afirmar que a partícula 1 “sabe” da 
existência da partícula , por ser afetada pelo campo elétrico 
criado pela partícula naquele ponto. 
Pode ser criada uma analogia entre o campo elétrico e 
os campos de temperatura e de pressão, pois em todos os 
pontos de um local tem-se um determinado valor. Contudo, 
esses campos são escalares, pois a temperatura e a pressão 
são grandezas escalares, enquanto o campo elétrico é um 
campo vetorial, formado por uma distribuição de vetores 
(HALLIDAY et al., 2008). O campo elétrico em um ponto 
de um objeto carregado pode ser definido colocando uma 
carga positiva (carga de prova) neste local e medindo a 
força eletrostática que age sobre esta carga, de modo que 
 é dada por:
A orientação de é a mesma que a da força , onde o 
campo elétrico é representado por um vetor cuja origem é o 
ponto em que a magnitude do mesmo é calculada. O campo 
elétrico em uma região do espaço é definido calculado o 
campo em todos os pontos da região. A unidade de campo 
elétrico no SI é o newton por coulomb ( ). 
Deve-se ressaltar que não analisamos o campo elétrico 
gerado pela carga de prova, mas a influência do campo 
elétrico de uma outra carga elétrica sobre esta carga de prova, 
sendo que este campo existe independente na inserção da 
carga de prova, portanto, admite-se que a carga de prova 
não afeta a distribuição de cargas, afetando o campo elétrico 
que procuramos medir (TIPLER et al., 2014). Veja a figura a 
seguir.
Figura 1 – Campo elétrico gerado por um corpo carregado.
Fonte: Young e Freedman (2014).
O campo elétrico pode ser melhor compreendido 
quando é calculado para uma distribuição de carga e quando 
se conhece a força exercida pelo mesmo sobre uma dada 
carga. Contudo, antes de adentrarmos nestes tópicos, 
devemos compreender o conceito de linhas de campo. O 
cientista Michael Faraday acreditava que as regiões vizinhas de 
um corpo eletricamente carregado eram ocupadas por linhas 
de força, embora atualmente não sejam mais aceitas, trata-se 
de uma forma fácil de visualizar as linhas de campo elétrico 
(BISCÚOLA et al., 1992; YOUNG; FREEDMAN, 2015). 
A orientação de uma linha de campo elétrico retilínea ou 
da tangente de uma linha de campo elétrico não retilínea é 
a mesma do vetor campo elétrico , sendo que o número 
de linhas por unidade de área em um plano perpendicular é 
proporcional ao módulo de . Logo, quanto mais próximas 
as linhas são, maior é a magnitude do campo elétrico. 
Se uma esfera fosse carregada negativamente e 
dispuséssemos uma carga de prova positiva em suas 
proximidades, perceberíamos que a carga seria atraída pela 
esfera com maior intensidade conforme a distância em 
relação a esfera é diminuída (HALLIDAY et al., 2008). Assim 
sendo, se as linhas de campo fossem desenhadas, apontariam 
para o centro da esfera de forma concêntrica e afastando-se 
umas das outras conforme a distância em relação a esfera é 
aumentada. Caso a esfera fosse positivamente carregada, as 
linhas de campo apontariam para fora da esfera, onde uma 
maior distância também implicaria em uma menor intensidade 
do campo elétrico. 
Considerando que as esferas acima sejam partículas 
eletricamente carregadas, temos a seguinte enunciação: as 
linhas de campo elétrico partem das cargas positivas se 
afastando e terminam nas cargas negativas se aproximando. 
Com isso, podemos visualizar que uma placa infinita não-
condutora com uma distribuição uniforme de cargas positivas 
possui linhas de campo elétrico perpendiculares e saindo 
de ambas as superfícies da placa, então quando uma carga 
de prova é aproximada da placa, a força eletrostática sobre 
a carga tende a afastá-la (TIPLER et al., 2014). Este tipo de 
campo elétrico, em que os vetores têm o mesmo módulo 
e orientação em todos os pontos do espaço, é chamado de 
campo elétrico uniforme. 
15
Figura 2 – (a) Linhas de campo elétrica de duas cargas 
positivas. (b) Linhas de campo elétrico de uma carga positiva 
e uma carga negativa com o mesmo valor absoluto.
Fonte: Halliday et al. (2008).
As linhas de campo para duas cargas de mesmo valor 
absoluto, mas com sinais opostos, possuem uma configuração 
conhecida como dipolo elétrico. Geralmente, as linhas de 
campo não são utilizadas de forma quantitativa, mas são 
importantes para a visualização do comportamento do campo 
elétrico. 
2 - Campo Elétrico de Cargas pontuais
O campo elétrico produzido por uma carga pontual a 
uma distância é determinado colocando uma carga de prova 
 nesse ponto, onde age uma força eletrostática , de modo 
que é definido como:
O sentido do campo elétrico é igual ao da força , 
para longe da carga pontual se é positiva e na direção da 
carga pontual se é negativa. A equação mencionada pode 
ser empregada para calcular o campo em qualquer ponto do 
espaço. 
O campo elétrico total produzido por mais de uma carga 
pontual, dada uma carga de prova positiva próxima a 
cargas pontuais , , , é dado pela soma do campo 
elétrico produzido por cada carga pontual, dada as respectivas 
forças eletrostáticas sobre a carga pontual, ou seja:
 
Onde é a força eletrostática total sobre a carga e 
 é o campo elétrico criado somente pela carga pontual . 
3 - Campo Elétrico produzido por um 
Dipolo Elétrico
Dipolo elétrico, por definição, refere-se a duas partículas 
carregadas de mesmo módulo e sinais opostos, situadas a uma 
determinada distância uma da outra. Considerando que essas 
duas partículas estejam alinhadas sobre um eixo , podemos 
mensurar o campo elétrico de um ponto localizado neste 
mesmo eixo, considerando a distância entre o centro do 
dipolo elétrico (metade da distância entre os centros destas 
duas partículas) e o ponto , que pode ser denotada por .
Figura 3 – Campo elétrico e produzido pelas 
cargas e , respectivamente, em que a orientação do 
momento dipolar elétrico é para cima.
Fonte: Halliday et al. (2008).
Conforme a carga positiva e negativa, há diferentes 
efeitos de cada campo elétrico no ponto , de forma que o 
campo elétrico resultante é dado por:
Para e 
, tem-se:
Reagrupando os termos, temos:
Ou, simplificando:
Contudo, como expõe Halliday et al. (2008), a expressão 
frequentemente utilizada para calcular o campo elétrico 
16Física Teórica e Experimental iii
é mais simples, dado que é mais aplicável seu cálculo a 
grandes distâncias do dipolo, isto é, , de forma que 
o denominador do segundo termo da expressão por ser 
aproximado como , onde , então:
Os parâmetros que caracterizam um dipolo elétrico são 
as magnitudes das cargas ( ) e a distância entre as mesmas ( ), 
o produto resulta numa grandeza conhecida como momento 
dipolarelétrico , isto é:
Quando aponta da carga negativa para a positiva, tem-
se o sentido positivo, e quando está orientada para a carga 
negativa, é negativo. Os valores de e não podem ser 
obtidos separadamente quando o campo elétrico é medido 
em locais distantes, apenas . Para como a distância entre 
o centro do dipolo e um ponto qualquer, tem-se que o 
campo elétrico é proporcional a . Um outro aspecto a 
ser mencionado é que a direção do vetor é a mesma que 
, para pontos sobre o eixo do dipolo. 
A maior influência sobre a diminuição ou o aumento 
de um campo elétrico é a variação da distância as partículas. 
A grandes distâncias os dipolos se comportam como um 
par de cargas elétricas de sinais opostos que se cancelam 
(NUSSENZVEIG, 2015; TIPLER et al., 2014). Logo, em 
pontos distantes, pode-se considerar que os campos elétricos 
resultantes destas cargas elétricas se cancelam. 
Exemplo 1
A figura mostra três partículas de cargas , 
 e , todas situadas a uma distância 
 da origem. Determine o campo elétrico total produzido 
na origem pelas três partículas (HALLIDAY et al., 2008, p. 
27).
 
Figura 4 – Cargas puntiformes , e no plano , 
dispostas a um ângulo de em relação ao eixo horizontal, 
com no quadrante esquerdo superior e, e nos 
quadrantes superior e inferior direito, respectivamente.
Fonte: Halliday et al. (2008). 
Solução:
O campo elétrico a uma determinada distância de 
uma partícula carregada é determinado por:
Sabendo que , , e 
, em relação a origem do sistema, podem ser calculados 
os módulos dos campos elétricos no mesmo ponto, gerados 
pelas três cargas, ou seja:
Cargas positivas possuem linhas de campo elétrico no 
sentido de afastamento da carga, enquanto cargas negativas 
possuem linhas de campo no sentido de aproximação. A 
seguir será demonstrada a disposição dos vetores de campo 
elétrico para o presente exemplo. 
Figura 5 – Sentido do campo elétrico produzido pelas 
cargas conforme o sinal positivo ou negativo. 
Fonte: Halliday et al. (2008).
Portanto, o campo elétrico total é dado pela soma dos 
campos elétricos individuais em , veja:
Observe que os campos elétricos se anulam em . 
Exemplo 2
Uma carga puntiforme positiva e uma 
carga puntiforme negativa estão localizadas no 
eixo em e em , respectivamente, como 
demonstrado adiante. Considere as seguintes regiões no eixo 
: região I ( ), região II ( ) e região 
III ( ). Em qual região, ou regiões, há um ponto no 
qual o campo elétrico resultante é igual a zero (TIPLER et al., 
2014, p. 13)?
17
Figura 6 – Posições de duas cargas puntiformes e 
em e , respectivamente, a partir das quais são 
definidas as regiões , e . 
Fonte: Tipler et al. (2014).
Solução:
Embora este exemplo constitua uma análise inteiramente 
teoria, sem a necessidade de mensurar os campos elétricos 
em termos quantitativos, trata-se de um importante exercício 
para que sejam melhor compreendidos exercícios análogos, 
mesmo sem realizar qualquer operação. Interpretando cada 
uma das regiões da imagem acima, inferimos que na região 
I, em razão da maior magnitude e proximidade da carga 
em relação a , é maior que em todos os pontos da 
região I. 
Na região II, os vetores campo elétrico possuem a mesma 
direção em todos os pontos, logo o campo elétrico resultante 
não é nulo. E na região III, em pontos próximos de 
, tem-se uma maior magnitude de ; enquanto em pontos 
mais distantes de , há um enfraquecimento do campo 
elétrico gerado por ; enquanto que uma maior magnitude 
da favorece a existência de . Logo, conforme a 
aproximação ou o distanciamento de em relação a carga 
, o campo elétrico resultante pode ser nulo. 
Exemplo 3
Uma carga puntiforme está na origem 
e uma segunda carga puntiforme está no 
eixo em . Determine o campo elétrico no eixo 
 em (TIPLER et al., 2014, p. 14). 
Figura 7 – Vetores do campo elétrico e no ponto 
, gerados a partir das cargas puntiformes positivas e 
sobre o eixo .
 Fonte: Tipler et al. (2014).
Solução:
Os sentidos dos campos elétricos gerados pelas cargas 
 e estão representados na figura 7. Calculando e :
Para temos duas componentes, empregado a soma 
dos vetores no ponto , desenvolve-se:
Onde e , resultando em:
O módulo de é dado por:
A orientação do campo elétrico resultante é encontrada 
pelo arco tangente a seguir:
O ângulo corresponde ao ângulo entre o vetor campo 
elétrico resultante e o eixo . 
Exemplo 4
A distância entre duas cargas puntiforme 
e é igual a . Denomina-se dipolo 
elétrico um conjunto de duas cargas iguais, porém de sinais 
contrários. Determine o campo elétrico produzido por 
, o campo elétrico produzido por e o campo elétrico 
resultante (YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 19): 
Figura 8 – Dipolo elétrico de cargas iguais, mas sinais 
contrários, com a representação dos pontos , e .
Fonte: Young e Freedman (2014).
18Física Teórica e Experimental iii
(a) no ponto .
Solução:
Calculando os módulos dos campos elétricos no ponto 
, em razão das cargas e :
 
Os campos elétricos e possuem a mesma 
orientação ( ), então o campo elétrico resultante no ponto 
 ( ) é dado por:
Como pode ser visualizado, é orientado da esquerda 
para a direita. 
(b) no ponto .
Solução:
Os módulos dos campos elétricos no ponto , devido 
às cargas e , são:
Na forma vetorial, o campo elétrico resultante no ponto 
 ( ) é:
 
Logo, neste caso é orientado da direita para a 
esquerda. 
(c) no ponto .
Solução:
No ponto , o módulo dos campos elétricos gerados 
pelas cargas e são iguais, onde:
 
Sendo que e dada a simetria 
de suas posições em relação ao ponto , os respectivos 
campos elétricos se cancelam em . Com isso, o módulo do 
campo elétrico em ( ) é:
Portanto, é orientado no sentido positivo do eixo . 
retomando a aula
 
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Vamos, 
então, recordar algumas discussões realizadas ao 
longo das seções? 
1 – Conceito de Campo
 Estudamos que pode ser realizada uma analogia entre 
o campo elétrico e os campos de temperatura e de pressão, 
pois em todos os pontos de um local tem-se um determinado 
valor, contudo, esses campos são escalares e o campo elétrico 
é um campo vetorial. Deve-se ressaltar que não analisamos o 
campo elétrico gerado pela carga de prova, mas a influência do 
campo elétrico de uma outra carga elétrica sobre esta carga de 
prova. A orientação de uma linha de campo elétrico retilínea 
ou da tangente de uma linha de campo elétrico não retilínea 
é a mesma do vetor campo elétrico, sendo que o número 
de linhas por unidade de área em um plano perpendicular é 
proporcional ao módulo. As linhas de campo elétrico partem 
das cargas positivas se afastando e terminam nas cargas 
negativas se aproximando.
2 – Campo Elétrico de Cargas Pontuais
 Apresentada a expressão para o cálculo do campo 
elétrico gerado por uma carga pontual, foi demonstrado o 
método de cálculo do campo elétrico em um ponto qualquer 
do espaço, dado um conjunto de cargas pontuais. O sentido 
do campo elétrico é igual ao da força , para longe da carga 
pontual se é positiva e na direção da carga pontual se é 
negativa. O campo elétrico total produzido por mais de uma 
carga pontual, dada uma carga de prova positiva próxima 
a cargas pontuais , , , é dado pela soma do campo 
elétrico produzido por cada carga pontual.
3 – Campo Elétrico Produzido por um Dipolo 
Elétrico
Dipolo elétrico, por definição, refere-se a duas partículas 
carregadas de mesmo módulo e sinais opostos, situadas a 
uma determinada distância uma da outra. Os parâmetros 
que caracterizam um dipolo elétrico são as magnitudes das 
cargas ( ) e a distância entre elas ( ), o produto resulta 
numa grandeza conhecida como momento dipolar elétrico 
. Quando aponta da carga negativa para a positiva, tem-se o 
sentido positivo e quando está orientada para a carga negativa, 
 é negativo. A direção do vetor é a mesma que , para 
pontos sobre o eixo do dipolo. Contudo, a maior influência 
sobre a diminuição ou o aumentode um campo elétrico é 
a variação da distância as partículas. Em pontos distantes, 
pode-se considerar que os campos elétricos resultantes destas 
cargas elétricas se cancelam. 
19
Vale a pena
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008.
 TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene; MORS, Paulo 
Machado. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
 YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger A. Física 2: 
Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2010.
Vale a pena ler
Campo elétrico. Disponível em: https://www.
fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_2_num_2_63_art_
campoEletrico.pdf. Acesso em: 05 maio 2020.
 Campo elétrico gerado por uma carga 
pontual. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=fZGxOQLk5Lk. Acesso em: 05 maio 2020.
 Dipolo elétrico e campo elétrico uniforme. 
Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=37EZtPD9CSk. Acesso em: 05 maio 2020.
Vale a pena acessar
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