Livro de atividades matemática 4 bimestre

Prévia do material em texto

Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
Livro do professor
Livro de
atividades
Volumes 2512
Proporcionalidade 
com mais de duas 
grandezas 15
11
10 Estatística 2
Matemática
9o. ano
Volume 4
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/W
av
eb
re
ak
m
ed
ia
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
2 Livro de atividades 
10
Estatística
As mudanças que acontecem no mundo atual geram e transmitem grandes quantidades de informações e, 
por isso, é importante estarmos preparados para processá-las com rapidez e eficiência. A Estatística nos auxilia 
nessa tarefa: os gráficos são um dos recursos mais utilizados para representar dados, apresentando as informa-
ções de forma organizada, o que facilita nossas conclusões. É raro nos depararmos com algum jornal, revista ou 
site de notícias que não forneça ao menos um gráfico. 
 Gráficos e tabelas utilizados na representação dos 
dados de uma pesquisa
Para a análise adequada de um gráfico, fique atento aos detalhes:
• período a que se refere a pesquisa;
• escolha da amostra pesquisada;
• utilização adequada da escala;
• fonte das informações e data;
• legendas explicitadas corretamente;
• tipo de gráfico usado.
Vamos relembrar os tipos de gráfico mais comuns e identificar seus elementos, bem como observar o tipo 
de gráfico mais apropriado para diversas situações.
Tipos de gráficos
Gráfico de colunas
No gráfico de barras verticais ou de colunas, os va-
lores da variável estão representados no eixo vertical, 
como no exemplo a seguir.
Gráfico de barras horizontais 
No gráfico de barras horizontais, os valores da va-
riável estão representados no eixo horizontal, como 
no exemplo a seguir.
Co
ns
um
o 
(k
W
h)
 
Janeiro
270
260
200
185
170
190
300
250
200
150
100
50
0
Fevereiro Março Abril Maio Junho 
Consumo de energia elétrica de uma residência no 
primeiro semestre Densidade da malha rodoviária pavimentada por país 
(valores em quilômetros para cada 1 000 km2)
25
0 100 200 300 400 500
25
41,6
46
54,3
359,9
438,1
Brasil
Argentina
Canadá
Austrália
Rússia
China
EUA
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
3 Matemática – 9o. ano – Volume 4
Gráfico de setores
O gráfico de setores proporciona uma melhor 
visualização das relações entre as partes e o todo. O 
exemplo a seguir mostra o grau de escolaridade dos 
500 funcionários de certa empresa.
Gráfico de linhas
Para apresentar a evolução dos dados no decor-
rer de um intervalo de tempo, o gráfico de linhas é o 
mais adequado. 
O gráfico a seguir mostra a evolução dos resulta-
dos do Brasil no Programa Internacional de Avalia-
ção de Estudantes (Pisa, na sigla em inglês) de 2006 
a 2015, o qual apresenta a pontuação nas três áreas 
avaliadas: Matemática, Leitura e Ciências. 
Fonte: PISA no Brasil. Disponível em: <http://portal.inep.gov.
br/web/guest/pisa-no-brasil>. Acesso em: 20 maio 2019.
Pictogramas
Os pictogramas utilizam figuras para representar 
quantidades.
No exemplo fictício a seguir, temos a relação das 
quantidades de brinquedos arrecadados pelos alunos 
do 6º. ao 9º. ano de uma escola para que sejam doados 
a uma instituição que atende crianças carentes.
Histogramas
Os dados de uma tabela de classes podem ser 
representados em um histograma, que é um gráfico 
formado por retângulos justapostos (unidos). A largu-
ra de cada retângulo representa a amplitude de cada 
classe e a altura corresponde à frequência da classe.
No exemplo a seguir, temos uma tabela que mos-
tra a renda mensal dos funcionários de uma empresa 
e um histograma que apresenta esses dados.
RENDA MENSAL EM SALÁRIOS MÍNIMOS
Faixa salarial Número de funcionários
1 3 4
3 5 6
5 7 8
7 9 10
9 11 7
11 13 3
1
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3 5 7 9 11 13
N
úm
er
o 
de
 fu
nc
io
ná
rio
s
(fr
eq
uê
nc
ia
)
Faixa salarial (em salários mínimos)
Renda mensal dos funcionários
O símbolo indica um intervalo, fechado à es-
querda e aberto à direita. Por exemplo, 3 5 repre-
senta a classe dos funcionários com renda maior do 
que ou igual a 3 salários mínimos e menor do que 
5 salários mínimos. Também podemos representar 
esse intervalo como [3, 5[.
Corresponde a 4 brinquedos
Corresponde a 2 brinquedos
Corresponde a 1 brinquedo
6.º ano 7.º ano 8.º ano 9.º ano
Quantidade de brinquedos arrecadados por turma
393
412
407
401
377
402
389
405
386
390
370
407
420
410
400
390
380
370
360
340
350
0
2006 2009 2012 2015
N
ot
as
Áreas: Matemática Leitura Ciências
13%
22,6%
8%
42%
14,4%
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior incompleto
Pós-Graduação
Ensino Superior completo
Grau e escolaridade dos funcionários
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
4 Livro de atividades 
 Planejamento de uma 
pesquisa
Um dos papéis da Estatística é apresentar, analisar 
e organizar dados. Contudo, para que a pesquisa re-
flita a realidade de forma confiável, é fundamental a 
existência de métodos eficazes para a coleta dos da-
dos. Dessa forma, o planejamento de uma pesqui-
sa é uma das grandes preocupações da Estatística.
Nesse contexto, é importante relembrarmos algu-
mas definições.
População é qualquer conjunto de indivíduos, ob-
jetos ou ocorrências a respeito do que desejamos 
obter informações. Já a amostra é parte da popu-
lação, ou seja, um subconjunto dessa .população
A pode ser de dois tipos. amostra
• Aleatória: seleciona-se por sorteio uma quanti-
dade determinada de indivíduos da população a 
ser pesquisada. 
• Estratificada: deve-se tomar um estrato que 
seja representativo da população e, para isso, são 
necessários alguns critérios. Esses critérios de-
pendem, entre outras coisas, do que se pretende 
estudar. A deve ter as mesmas caracte-amostra
rísticas da população pesquisada. 
Interpretação e comunicação 
dos resultados
A média aritmética, a e a são moda mediana
chamadas de medidas de tendência central e 
são úteis para a interpretação dos resultados de uma 
pesquisa. A amplitude dos dados também auxilia 
na análise desses resultados. Com essas medidas, 
temos uma boa ideia do que ocorre com um conjun-
to de dados. 
Porcentagem
Em várias situações do cotidiano nos deparamos 
com porcentagem, que é uma razão cujo denomina-
dor é 100. 
Exemplo:
Em uma escola, 70% dos alunos preferem Língua 
Inglesa e 30% preferem Língua Espanhola. Isso signifi-
ca que, em um universo de 100 alunos, 70 alunos pre-
ferem Língua Inglesa, enquanto 30 preferem Língua 
Espanhola.
Quando desejamos calcular porcentagens de 
determinados valores, a ideia principal é considerar o 
todo como sendo 100%. Dessa forma, para encontrar 
25% de certo valor, devemos dividir esse valor por 
100 e multiplicá-lo por 25.
Exemplo:
25% de 400 = 
25
100
400
400
100
25 10 0  
Para obter o valor de determinado produto depois 
de um acréscimo de 25% em seu preço, temos que 
multiplicar seu valor inicial por 1,25 (= 1 + 0,25). Ao 
trocar o acréscimo por um desconto de 25%, deve-
mos multiplicar seu valor por 0,75 ( ).= 1 – 0,25
Atenção! A taxa equivalente a dois aumentos ou 
descontos consecutivos não é simplesmente a soma 
dessas taxas. O mesmo vale para um aumento e um 
desconto consecutivo (ou vice-versa). Veja os exemplos. 
1. Dois aumentos consecutivos de 10% e 30% 
têm o mesmo efeito de um aumento de 43% 
(1,1 · 1,3 = 1,43 = 143% = 100% + ).43%
2. Dois descontosconsecutivos de 10% e 30% 
têm o mesmo efeito de um desconto de 37% 
(0,9 · 0,7 = 0,63 = 63% = 100% – ).37%
3. Um aumento de 20% seguido de um desconto de 
25% têm mesmo efeito de um desconto de 10% 
(1,2 · 0,75 = 0,9 = 90% = 100% – ).10%
4. Um aumento de 25% seguido de um desconto 
de 20% resultam no preço original do produto 
(1,25 · 0,8 = ).1
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
5 Matemática – 9o. ano – Volume 4
Atividades
 Gráficos e tabelas utilizados na representação dos 
dados de uma pesquisa
 1. (ENEM) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de 
imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.
Números da campanha contra a gripe A “H1N1”
Adultos entre 20 e 29 anos
Gestantes
Doentes crônicos
Indígenas
Crianças de 6 meses a 2 anos
Trabalhadores da saúde
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0%
Época. 26 de abr. 2010 (adaptado).
De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe 
A-H1N1 é a categoria de
a) indígenas. 
b) gestantes. 
c) doentes crônicos. 
X d) adultos entre 20 e 29 anos. 
e) crianças de 6 meses a 2 anos.
 2. (ENEM) De acordo com um relatório recente da 
Agência Internacional de Energia (AIE), o merca-
do de veículos elétricos atingiu um novo marco 
em 2016, quando foram vendidos mais de 750 mil 
automóveis da categoria. Com isso, o total de 
carros elétricos vendidos no mundo alcançou a 
marca de 2 milhões de unidades desde que os pri-
meiros modelos começaram a ser comercializados 
em 2011.
No Brasil, a expansão das vendas também se verifica. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas 
no ano de 2016, superando em 360 unidades as vendas de 2015, conforme representado no gráfico.
A média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, foi de
a) b) c) 192. 240. 252. X d) e) 320. 420.
No ano de 2016, houve um aumento de 360 carros em relação a 2015. Como esse aumento é representado por 3 carrinhos, 
podemos afirmar que cada carrinho representa 360 ÷ 3 = 120 unidades vendidas. Assim, a média da produção dos 3 anos é 
120 240 600
3
320
 
 .
Logo, a média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, foi de 320. 
Apenas um pouco mais de 40% dos adultos entre 20 e 29 anos estão imunizados contra a gripe 
A-H1N1. Entre as opções do gráfico, essa é a categoria mais exposta ao vírus da A-H1N1. 
Disponível em: www.tecmundo.com.br. Acesso em: 5 dez. 2017.
Ano
2016
2015
2014
Nº. de carros
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
6 Livro de atividades 
 3. (ENEM) O gráfico compara o número de homicídios por grupos de 100 000 habitantes entre 1995 e 1998 
nos EUA, em estados com e sem pena de morte. 
Ho
m
ic
íd
io
s 
po
r 1
00
00
0
40
30
20
10
 0
1995 1996 1997 1998
ano
Estados com pena de morte Estados sem pena de morte
Carta Capital, 6 de dezembro de 2000.
Com base no gráfico, pode-se afirmar que
a) a taxa de homicídios cresceu apenas nos estados sem pena de morte.
b) nos estados com pena de morte a taxa de homicídios é menor que nos estados sem pena de 
morte.
X c) no período considerado, os estados com pena de morte apresentaram taxas maiores de homicídios.
d) entre 1996 e 1997, taxa de homicídios permaneceu estável nos estados com pena de morte.
e) a taxa de homicídios nos estados com pena de morte caiu pela metade no período considerado. 
 4. (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, 
realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.
Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total – Grande São Paulo – 1985-1996
Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE.
16,0%
14,0%
12,0%
10,0%
8,0%
6,0%
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado,
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. 
X d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.
Incorreto, a maior taxa de desemprego ultrapassou 15%.
Incorreto, a menor taxa de desemprego no período considerado foi observada no ano de 1989.
Incorreto, pois é possível observar que, de 1995 para 1996, a taxa de desemprego aumentou em São Paulo.
Incorreto, pois é possível observar que, de 1988 para 1989, a taxa de desemprego diminuiu em São Paulo.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
7 Matemática – 9o. ano – Volume 4
 5. O gerente de uma pequena sapataria solicitou a um funcionário que fizesse o levantamento da quanti-
dade em estoque de determinada marca de calçados. Para isso, o funcionário deveria considerar a nume-
ração de cada par de calçado. Ele apresentou o seguinte gráfico:
40
30
20
10
0
35 36 37 38 39 40 41 42
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 p
ar
es
 e
m
 
es
to
qu
e
Numeração dos pares de sapatos
O gerente não gostou do gráfico apresentado e afirmou que a escolha não foi apropriada. Qual é o 
tipo do gráfico utilizado? Você concorda com o gerente? Justifique sua resposta.
O gráfico utilizado é um gráfico de linhas. O gerente está certo, pois os gráficos de linha são comumente usados para apresentar a 
evolução dos dados no decorrer de um intervalo de tempo.
 6. (OBMEP) O gráfico mostra a temperatura média e a pre-
cipitação de chuva em Quixajuba em cada um dos meses 
de 2009. Qual das afirmativas abaixo está correta?
a) O mês mais chuvoso foi também o mais quente.
b) O mês menos chuvoso foi também o mais frio.
c) De outubro para novembro aumentaram tanto a 
precipitação quanto a temperatura.
d) Os dois meses mais quentes foram também os de 
maior precipitação.
X e) Os dois meses mais frios foram também os de 
menor precipitação.
 7. (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que 
apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
vendas (R$)
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
mês
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda 
absolutas em 2011 foram
a) março e abril. 
b) março e agosto. 
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro. 
X e) junho e agosto.
6. a) Incorreta. Pela aná- 6. c) Incorreta. De outubro para novembro, a precipitação aumen-
tou, enquanto a temperatura diminuiu. 
300
200
100
mm
30
20
10
˚C
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
lise do gráfico, podemos 
perceber que fevereiro 
foi o mês mais chuvoso, 
enquanto março foi o 
mês mais quente. 
6. b) Incorreta. Podemos per- 
ceber que agosto foi o 
mês menos chuvoso, 
enquanto setembro foi 
o mês mais frio. 
6. d) Incorreta. Os meses mais 
quentes foram janeiro e mar-
ço, enquanto o mês de maior 
precipitação foi fevereiro.
6. e) Correta. Os meses mais frios 
foram agosto e setembro, 
que também foram os meses 
com a menor precipitação.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
8 Livro de atividades 
 8. (ENEM) O gráfico mostra a variação da extensão mé-
dia de gelo marítimo, em milhões de quilômetros qua-
drados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000,2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de 
junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo 
quando termina o verão, em meados de setembro. O 
gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da 
Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espa-
ço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a 
luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasio-
nando derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento 
global em 
a) b) c) 1995. 1998. 2000. d) 2005. X e) 2007.
Planejamento de uma pesquisa
 9. (ENEM) Um sistema de radar é programado para regis-
trar automaticamente a velocidade de todos os veículos 
trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 
veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade 
permitida. Um levantamento estatístico dos registros do 
radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de 
veículos de acordo com sua velocidade aproximada. 
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
a) 35 km/h X b) c) d) e) 44 km/h 55 km/h 76 km/h 85 km/h
5 20 15 30 30 40 40 50 6 60 3 70 1 80
5 15 30 40 6 3 1
4 400            
     
 
1100
44 
Logo, a velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de km/h. 44
10. (ENEM) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no 
qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão 
de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das 
diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. 
No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em 
porcentagem, para cada valor da diária.
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa 
cidade, é
a) b) 300,00. 345,00. X c) d) e) 350,00. 375,00. 400,00.
Vamos calcular a quantidade de hotéis de acordo com o 
valor de cada diária.
Hotéis com diária de R$ 200,00 = 0,25 · 200 = 50
Hotéis com diária de R$ 300,00 = 0,25 · 200 = 50
Hotéis com diária de R$ 4 400,00 = 0, · 200 = 80
Hotéis com diária de R$ 600,00 = 0,1 · 200 = 20
Dispondo em ordem crescente os valores de todas as diá-
rias, teremos que os dois termos centrais serão aqueles que 
ocupam as posições 100 e 101.
Pela análise dos dados, o termo 100 tem valor igual a 
R$ 300,00. Já o termo 101 tem valor igual a R$ 400,00. Como 
a mediana é o valor médio desses dois valores, temos que a 
resposta para o problema é 
300 400
2
350

 .
Logo, o valor mediano da diária para o quarto padrão de 
casal nessa cidade é R$ 350,00. 
Quanto menor a extensão do gelo marítimo, maior o aquecimento, pois o gelo atua como sistema de resfriamento da 
Terra. De acordo com o gráfico, a menor extensão foi observada em 2007.
15
Junho Agosto SetembroJulho
12
9
6
3
Ex
te
ns
ão
 d
e 
ge
lo
 m
ar
íti
m
o
1995
1998
2000
2005
2007
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Ve
íc
ul
os
 (%
)
Velocidade (km/h)
5
15
30
40
6
13
40%
25%
10%
25%
A
C
B
D
Disponível em: <http://sustentabilidade.allianz.com.br>. 
Acesso em: fev. 2012 (adaptado).
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
9 Matemática – 9o. ano – Volume 4
11. (ENEM) O gráfico apresenta a quantidade de 
gols marcados pelos artilheiros das Copas do 
Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
A partir dos dados apresentados, qual a me-
diana das quantidades de gols marcados pe-
los artilheiros das Copas do Mundo?
a) 6 gols 
X b) 6,5 gols
c) 7 gols
d) 7,3 gols
e) 8,5 gols
Primeiro, devemos colocar, em ordem crescente, os números de gols marcados pelos artilheiros de cada uma das edições das 
Copas do Mundo de 1930 a 2006: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11 e 13. Como essa sequência apresenta dois termos 
centrais, 6 e 7, a resposta para o problema é a média aritmética desses valores:
6 7
2
6 5

 , 
Logo, a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo no período fornecido é 6,5 gols. 
12. (ENEM) As notas de um professor que 
participou de um processo seletivo, em 
que a banca avaliadora era composta por 
cinco membros, são apresentadas no grá-
fico. Sabe-se que cada membro da banca 
atribuiu duas notas ao professor, uma re-
lativa aos conhecimentos específicos da 
área de atuação e outra, aos conhecimen-
tos pedagógicos, e que a média final do 
professor foi dada pela média aritmética 
de todas as notas atribuídas pela banca 
avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atri-
buídas ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
a) 0,25 ponto maior. 
X b) 1,00 ponto maior. 
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 pontos menor.
Média original: 
18 16 17 13 14 1 19 14 16 12
10
140
10
14
        
 
Nova média: 
18 16 17 13 14 14 16 12
8
120
8
15
      
 
Portanto, a nova média é 1,00 ponto maior do que a média original.
Quantidades de Gols dos Artilheiros 
das Copas do Mundo
Gols
14
12
10
8
6
4
2
0
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano
20
18
16
14
12
10
4
2
0
8
6
18
16 17
13
14
1
19
14
16
12
Notas (em pontos)
Avaliador A Avaliador B Avaliador C Avaliador D Avaliador E
Conhecimentos 
especícos
Conhecimentos 
pedagógicos
Disponível em: <http://www.suapesquisa.com>. Acesso em: 23 abr. 
2010 (adaptado).
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:21:35
10 Livro de atividades 
13. (ENEM) Os dados do gráfico foram co-
letados por meio da Pesquisa Nacional 
por Amostra de Domicílios.
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 
estudantes foram entrevistados nessa 
pesquisa, quantos deles possuíam te-
lefone móvel celular?
a) 5 513 
b) 6 556 
c) 7 450 
X d) 8 344 
e) 9 536
56% de 14 900 = 0,56 · 14 900 = 8 344
Portanto, 8 344 estudantes possuíam telefone móvel celular. 
14. (ENEM) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, 
da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Ranking do Desmatamento em km2
9º. Amapá
8º. Tocantins
7º. Roraima
6º. Acre
5º. Maranhão
4º. Amazonas
3º. Rondônia
2º. Pará
1º. Mato Grosso
4
136
326
549
766
797
3463
7293
10416
Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o 
desmatamento médio por estado em 2009 está entre
a) 100 km2 e 900 km2.
b) 1 000 km2 e 2 700 km .2
X c) 2 800 km2 e 3 200 km .2
d) 3 300 km2 e 4 000 km2. 
e) 4 100 km2 e 5 800 km .2
Média em 2004: 
4 136 326 54 4 49 766 797 3 63 7293 10 16 23750
2638,89
9 9
       
 
Com aumento de 10,5%, o desmatamento médio por estado em 2009 foi de 2638,89 1,105 2915,97  km2. 
Fonte: IBGE. Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 
2010 (adaptado).
Estudantes que possuem telefone móvel celular 
com idade de 10 anos ou mais
Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste
37
63
36
64
56
44
62
38
58
42
70
60
50
40
30
20
10
0
Po
rc
en
ta
ge
m
 (%
)
Possuíam
Não possuíam
Regiões brasileiras
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
11 Matemática – 9o. ano – Volume 4
Porcentagem
15. (ENEM) Os dados do gráfico seguinte foram 
gerados a partir de dados colhidos no conjun-
to de seis regiões metropolitanas pelo Depar-
tamento Intersindical de Estatística e Estudos 
Socioeconômicos (Dieese). 
Supondo que o total de pessoas pesquisadas 
na região metropolitanade Porto Alegre equi-
vale a 250 000, o número de desempregados 
em março de 2010, nessa região, foi de
X a) 24 500.
b) 25 000.
c) 220 500.
d) 223 000.
e) 227 500.
16. (ENEM) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes, como ele-
tricidade, gás de cozinha, lenha, etc. O gráfico mostra a evolução do consumo de energia elétrica 
residencial, comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995. 
50
40
30
20
10
0C
on
su
m
o 
de
 E
ne
rg
ia
 (×
 1
0
 te
p)
6
198519751970 1980 1990 1995
energia total
energia elétrica
*tep = toneladas equivalentes de petróleo
Fonte: valores calculados através dos dados obtidos de: http ://infoener.iee.usp .br/1999.
Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasto nas residências 
brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de
a) 10% para 40%. 
X b) 10% para 60%. 
c) 20% para 60%.
d) 25% para 35%. 
e) 40% para 80%.
Em 1970, o consumo de energia total foi de, aproximadamente, 24 × 106 tep e de energia elétrica foi de, aproximadamente, 
2 × 106 tep. A razão entre a energia elétrica gasta e o total de energia gasto nesse ano foi de 
6
6
2 10
0,0833 8,33%
2 104
u
 
u
 . No ano 
de 1995, o consumo de energia total foi de, aproximadamente, 32 × 106 tep e de energia elétrica foi de, aproximadamente, 
20 × 106 tep. A razão entre a energia elétrica gasta e o total de energia gasto nesse ano foi de 
20 10
32 10
0 625 62 5
6
6
u
u
 , , %. Assim, 
a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasto nas residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, 
passando de aproximadamente 10% para aproximadamente 60%. 
Pelo gráfico, a taxa de desemprego na região metropolitana de Porto Alegre no ano de 2010 foi de 9,8%. Dessa 
forma, como o total de pessoas pesquisadas nessa região foi igual a 250 000, temos que o número de desem-
pregados em março de 2010 foi de 9,8% · 250 000 = 0,098 · 250 000 = 2 500.4
Taxas de desemprego nas regiões metropolitanas 
março/2010
São Paulo
Salvador
Recife
Porto Alegre
Belo Horizonte
Distrito Federal
13,1
19,9
19,3
9,8
10,2
14,7
0 5 10 15 20 25
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
12 Livro de atividades 
17. (ENEM) 
Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) 
reajustou os valores de bolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação científica, que passaram 
a receber R$ 360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao que era pago até então. O órgão 
concedia 29 mil bolsas de iniciação científica até 2009, e esse número aumentou em 48% em 2010.
O Globo. 11 mar. 2010.
Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos dos bolsistas, utilizando o montante 
destinado a tal aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de iniciação científica no 
país, quantas bolsas a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam ser oferecidas em 2010?
a) b) 5,8 mil. 13,9 mil. X c) d) e) 22,5 mil. 51,5 mil. 94,4 mil.
Antes do reajuste, o valor da bolsa era de 
R
R
$ ,
,
$ ,
 
 
360 00
1 2
300 00 .
Como o órgão concedia 29 mil bolsas até 2009 e esse número aumentou em 48%, podemos afirmar que a quantidade de 
bolsas oferecidas em 2010 era igual a 1,4 48 · 29 000 = 2 920. Isso nos possibilita afirmar que o investimento feito em 2010 com 
essas bolsas foi de 360 · 42 920 = 15 451 200.
Se o valor anterior tivesse sido mantido, poderiam ser ofertadas 
15 451 200
300
51 504 bolsas, ou seja, 51 504 – 29 000 = 22 504 
bolsas a mais. 
18. (ENEM) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos eleitores votaram 
em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos válidos. Não são considerados 
válidos os votos em branco e nulos.
Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos da 
ordem de
a) 38%. X b) c) d) e) 41%. 44%. 47%. 50%.
Votos válidos: 100% – (9% + 11%) = 80%. 
O vencedor teve 51% dos válidos, ou seja, 0,51 · 80 = 40,8% de todos os votos.
Esse valor é aproximadamente igual a 41%.
19. (ENEM) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempe-
nho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando 
o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 
5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou 
igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou 
lucro de R$ 132.000,00 em 2008 e de R$ 145.000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no 
ano de 2009 deve ser considerado
a) b) insuficiente. regular. X c) bom. d) ótimo. e) excelente.
Note que 
R$ 145.000
1,098
R$ 132..000
 . Isso significa que houve um crescimento de 9,8% no lucro da empresa. Logo, o desempenho fi-
nanceiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado bom.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
13 Matemática – 9o. ano – Volume 4
20. (ENEM) 
Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bi-
lhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, 
ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.
Disponível em: planetasustentavel.abril.com. Acesso em: 2 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados 
Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo 
Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve 
aumentar sua produção em, aproximadamente,
a) b) 22,5%. 50,0%. X c) d) e) 52,3%. 65,5%. 77,5%.
Em 2006, os Estados Unidos da América produziram 45% do biodiesel mundial. Em 2009, esse valor foi reduzido pela metade, 
representando 22,5% da produção mundial. Em 2006, o Brasil produziu 43% e, para 2009, deve aumentar sua produção em 
22,5% (em relação à produção mundial) para que o total produzido por esses dois países continue correspondendo a 88% da 
produção mundial. Em outras palavras, a produção brasileira deve ser igual a 43% + 22,5% = 65,5% da produção mundial. 
Logo, o Brasil deve aumentar sua produção de 43% para 65,5%, ou seja, em 52,3%, pois 
65,5%
1,523
43%
 .
21. Bernardo e Rubens fazem aniversário no mesmo dia. Hoje, a idade de Rubens equivale a 55% 
da idade de Bernardo. Daqui a 10 anos, a idade de Rubens corresponderá a 70% da idade de 
Bernardo. Quais as idades de Bernardo e 
Rubens hoje?
Para resolver esse problema, faça o que se 
pede em cada um dos passos a seguir.
• Sabendo que n é a idade de Bernardo 
atualmente, complete a tabela. 
• Escreva a equação que relaciona a seguinte passagem do enunciado do texto: 
“Daqui a 10 anos, a idade de Rubens corresponderá a 70% da idade de Bernardo.”
(0,55 · n) + 10 = 0,7 (n + 10) · 
• Resolva a equação para determinar as idades atuais de Bernardo e Rubens.
0,55n + 10 = 0,7n + 7
0,15n = 3
n = 20
Logo, a idade de Bernardo atualmente é igual a 20 anos e a de Rubens é igual a 0,55 · 20 = 11 anos. 
22. Três amigos estavam debatendo sobre o título de uma notícia que receberam em um aplicativo de 
celular. O título era:
Em 2019, mais de 100% da população de Centenário do Sul foi vacinada contra a gripe
Antes mesmo de ler a notícia, um dos amigos achou o título muito estranho e, por isso, resolveu 
discutir sobre o assunto. Observe a conversa dostrês.
Idade
Atualmente Daqui a 10 anos
Bernardo n n + 10
Rubens 0,55 · n (0,55 · n) + 10
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
14 Livro de atividades 
Abel:
– Isso é fake news! Não faz sentido.
Bruno:
– Claro que pode ser verdade! Vai ver que nasceram muitos bebês durante a campanha de vacinação 
e o número de pessoas vacinadas foi maior do que a população do início da campanha de vacinação. 
Pode ser também que alguns entraram na fila mais de uma vez para ser vacinados. 
Cristina:
– Amigos, temos que ser cautelosos! O melhor a fazer é procurar a notícia original, buscar as fontes, 
analisá-las e só depois emitir uma opinião!
Abel e Bruno concordaram com Cristina e, depois de um tempo de pesquisa, eles encontraram a 
notícia original. Veja o título real dessa reportagem.
Em 2019, mais de 100% da meta estabelecida pelo Ministério da Saúde foi vacinada contra a 
gripe em Centenário do Sul
a) Os três amigos concordaram que o título da notícia real estava coerente. Você concorda com 
eles? Justifique sua resposta.
Sim, os três amigos estão corretos em afirmar que o título da reportagem estava coerente. Dizer que “mais de 100% da meta estabe-
lecida pelo Ministério da Saúde foi vacinada contra a gripe em Centenário do Sul” significa dizer que foram vacinadas mais pessoas 
do que a meta propunha. Observe as orientações fornecidas nos próximos itens desta atividade para visualizar com exemplos 
numéricos o que essa afirmação significa.
b) A população de Centenário do Sul é de, aproximadamente, 12 mil habitantes. Suponha que a 
meta estabelecida pelo Ministério da Saúde era de vacinar 75% da população desse município. 
Quantas pessoas deveriam ser vacinadas?
0 75 12 000 9 000,  
Deveriam ser vacinadas 9 000 pessoas.
c) O relatório elaborado pelo Ministério da Saúde após o fim da campanha de vacinação mostrou 
que foram vacinados 10 800 habitantes. Quanto é o percentual de vacinados em relação à meta 
estabelecida?
Sabemos, pelo item anterior, que a meta a ser atingida era de 9 000 pessoas. Esse valor corresponde a 100% da meta estabele-
cida. Como foram vacinados 10 800 habitantes, precisamos encontrar o valor de x na seguinte regra de três:
 9 000 – 100%
 10 800 – x
9 000x = 1 080 000
x = 120
Assim, o percentual de vacinados corresponde a 120% da meta estabelecida pelo Ministério da Saúde. 
d) Se todos os habitantes da cidade tivessem tomado a vacina contra a gripe, quanto seria o percen-
tual de vacinados em relação à meta estabelecida?
De forma similar ao item anterior, temos:
9000 100
12000


%
x
9 000x = 1 200 000
x 133 33, %
Assim, o percentual de vacinados corresponde a, aproximadamente, 133,33% da meta estabelecida pelo Ministério da Saúde. 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
15 Matemática – 9o. ano – Volume 4
11
Proporcionalidade com 
mais de duas grandezas 
 Proporcionalidade direta e inversa com duas ou mais 
grandezas 
Regra de três simples e grandezas diretamente proporcionais 
Quando duas grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcional, podemos aplicar a regra de três 
simples. Observe a tabela (as setas indicam que, quando uma grandeza aumenta, a outra aumenta na mesma 
proporção).
Grandeza 1 Grandeza 2 
a b
c d
Podemos, então, determinar a seguinte igualdade:
a
c
b
d
 
A proporção anterior pode ser escrita da seguinte forma: 
a : c = b : d
Ao usarmos essa segunda notação, podemos perceber que os números representados por estão nos extre-a e d
mos e os números representados por c b e estão no meio dessa proporção.
Com isso, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
a
c
b
d
 → a d b c 
Regra de três simples e grandezas inversamente proporcionais
Da mesma maneira que para grandezas diretamente proporcionais, quando duas grandezas se relacionam de 
maneira inversamente proporcional, podemos aplicar a regra de três simples. Observe a tabela (as setas indicam 
que, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção).
Grandeza 1 Grandeza 2 
a b
c d
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
16 Livro de atividades 
Podemos, então, determinar a seguinte igualdade:
a
c
d
b
 
Utilizando a , obtemos:propriedade fundamental das proporções
a
c
d
b
 
 → a b c d 
Regra de três composta e proporcionalidade entre mais de duas 
grandezas
Quando temos uma situação que envolve proporcionalidade entre mais de duas grandezas, podemos aplicar a 
regra de três composta, que se utiliza das mesmas ideias que a regra de três simples. Acompanhe um exemplo. 
(UNIFOR – CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1 000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 
3 dessas impressoras produzirão 2 000 desses panfletos?
a) 1 hora e 50 minutos
b) 2 horas
c) 2 horas e 30 minutos
X d) 2 horas e 40 minutos
e) 3 horas
Resolução:
Podemos organizar essas informações em uma tabela.
Aumentando o número de minutos, o número de pan-
fletos também aumenta. Os “minutos” e os “panfletos” são 
grandezas diretamente proporcionais.
Aumentando o número de minutos, o número de impressoras pode diminuir. Os “minutos” e as “impressoras” 
são grandezas inversamente proporcionais. 
Assim, podemos escrever a seguinte relação:
40 1000
2 000
3
6x
 
Veja que escrevemos a fração 3
6
, pois as grandezas “minutos” e “impressoras” variam na razão inversa uma da outra.
40 3
6
1000
2 000
40 3 000
12 000
3 000 40 12 000
40 12 000
3 000
x
x
x
x
x
 
 
 
 

 
4480 000
3 000
160 
Portanto, são necessários 160 minutos.
Como 1 hora equivale a 60 minutos, temos:
1 6 0 6 0
– 1 2 0 2
0 4 0
Assim, 160 minutos correspondem a 2 horas e 
40 minutos.
Importante! Quando as grandezas envolvidas forem diretamente proporcionais, não invertemos as frações. 
Impressoras Panfletos Minutos
6 1 000 40
3 2 000 x
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
17 Matemática – 9o. ano – Volume 4
 Proporcionalidade direta e inversa com duas ou mais 
grandezas
1. (IFSP) A fotografia é uma forma de representação artística. Um fotógrafo deseja ampliar uma foto-
grafia sem a distorcer, isto é, pretende produzir uma imagem semelhante à original. Se a fotografia 
original possui forma retangular de dimensões 12 cm × 16 cm e o fotógrafo pretende utilizar uma 
constante de proporcionalidade k= 2,5, então as dimensões da fotografia ampliada serão 
a) 25 cm × 42 cm.
b) 25 cm × 40 cm.
X c) 30 cm × 40 cm.
d) 30 cm × 42 cm.
e) 32 cm × 44 cm.
2. (PUCRS) Todo atleta tem como rotina o controle do seu Índice de Massa Corporal (IMC). Esse índi-
ce, que é apenas um indicador de massa ideal, será conhecido ao realizar-se a divisão da massa (em 
quilogramas) pelo quadrado da altura (em metros). Um atleta A possui IMC = 25, enquanto que um 
atleta B, de outra modalidade de esporte, apresenta um IMC = 36. Sabendo que ambos possuem a 
mesma massa, a razão entre as alturas do primeiro e do segundo é 
a) 1
6
b) 5
6
X c) 6
5
d) 25
36
e) 36
25
Chamando de m a massa (em quilogramas) e h a altura (em metros) de um atleta, seu IMC será calculado por IMC
m
h
 
2
.
Atleta B:
36
36
36 6
2
2
 
 
 
m
h
h
m
h
m m
A razão entre a altura do atleta A 
e a altura do atleta B é:
m
m
m
m
m
m
5
6
5
6 6
5
6
5
  
Atleta A: 
25
25
25 5
2
2
 
 
 
m
h
h
m
h
m m
AtividadesComo a constante de proporcionalidade é igual a 2,5, as novas dimensões serão:
12 cm · 2,5 = 30 cm
16 cm · 2,5 = 40 cm
A divisão de um valor em partes x inversamente pro-
porcionais n’ n’’ aos valores , e n’’’ resulta nos valores 
a b, e de tal forma que as equações a seguir são c
satisfeitas.
 
 
 
a b c a b c
k
1 1 1 1 1 1
n’ n’’ n’’’ n’ n’’ n’’’
em que k é chamada de constante de proporciona-
lidade.
Divisão em partes proporcionais
A divisão de um valor em partes x diretamente pro-
porcionais n’ n’’ aos valores , e n’’’ resulta nos va-
lores a, b e de tal forma que as equações a seguir c
são satisfeitas.
 
 
 
a b c a b c
k
n’ n’’ n’’’ n’ n’’ n’’’
em que k é chamada de constante de proporciona-
lidade.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
18 Livro de atividades 
3. (UNIFOR – CE) Um técnico em edificações percebe que necessita de 9 pedreiros para construir 
uma casa em 20 dias. Trabalhando com a mesma eficiência, quantos pedreiros são necessários para 
construir uma casa do mesmo tipo em 12 dias?
a) b) 6. 12. X c) d) e) 15. 18. 21.
Pedreiros Dias
9 20
x 12
Se aumentarmos o número de pedreiros, a quantidade de dias para construir a 
casa diminui. As grandezas “pedreiros” e “dias” são inversamente proporcionais.
Utilizando uma regra de três simples, obtemos:
9 12
20
12 180
180
12
15
x
x
x
 
 
 
São necessários 15 pedreiros.
4. (UECE) Se um pacote de biscoito contém 10 biscoitos e pesa 95 gramas, e se 15gramas de biscoito 
correspondem a 90 calorias, quantas calorias tem cada biscoito?
a) b) 53 calorias. 55 calorias. X c) d) 57 calorias. 59 calorias.
Como as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, 
obtemos:
Como 10 biscoitos pesam 95 gramas, 1 biscoito pesa 95 g : 10 = 
= 9,5 g.
Agora, usando a regra de três simples, temos:
Gramas Calorias
15 90
9,5 x
15
9 5
90
15 90 9 5
15 855
855
15
57
,
,
 
 
 
 
 
x
x
x
x
x
Assim, cada biscoito tem 57 calorias.
5. (ENEM) Um motorista partiu da cidade A em direção à cidade B por meio de uma rodovia retilínea 
localizada em uma planície. Lá chegando, ele percebeu que a distância percorrida nesse trecho foi de 
25 km. Ao consultar um mapa com o auxílio de uma régua, ele verificou que a distância entre essas 
duas cidades, nesse mapa, era de 5 cm.
A escala desse mapa é
a) b) 1 : 5 1 : 1 000 1 : 5 000 1 : 100 000c) d) X e) 1 : 500 000
Escala
comprimento no mapa
comprimento real
Escala
cm
km
Escal
 
 
5
25
aa
cm
cm
Escala
cm
cm
 
 
5
2500000
1
500000
Assim, a escala desse mapa é 1 : 500 000.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
19 Matemática – 9o. ano – Volume 4
6. (ENEM) Em um mapa cartográfico, cuja escala é 1 : 30 000, as cidades A e B distam entre si, em linha 
reta, 5 cm. Um novo mapa, dessa mesma região, será construído na escala 1 : 20 000.
Nesse novo mapa cartográfico, a distância em linha reta entre as cidades A e B, em centímetro, será 
igual a
a) b) c) d) 1,50. 3,33. 3,50. 6,50. X e) 7,50.
Na escala 1 : 30 000, temos que 1 cm no mapa corres-
ponde a 30 000 cm na realidade. Assim, se as cidades 
distam 5 cm entre si, temos: 
5 · 30 000 = 150 000
Na realidade, essa distância equivale a 150 000 cm, ou 
seja, 1,5 km.
Pela escala 1 : 20 000, temos que 1 cm no mapa corres-
ponde a 20 000 cm na realidade. Assim:
Comprimento no 
mapa (cm) 
Comprimento real 
(cm)
1 20 000
x 150 000
Como as grandezas envolvidas são diretamente pro-
porcionais, obtemos:
1 20 000
150 000
20 000 150 000
150 000
20 000
7 5
x
x
x
x
 
 
 
 ,
Assim, a distância em linha reta entre as cidades A e B 
será igual a 7,5 cm.
7. (ENEM) Num mapa com escala 1 : 250 000, a distância entre as cidades A e B é de 13 cm. Num outro 
mapa, com escala 1 : 300 000, a distância entre as cidades A e C é de 10 cm. Em um terceiro mapa, 
com escala 1 : 500 000, a distância entre as cidades A e D é de 9 cm. As distâncias reais entre a cidade 
A e as cidades B, C e D são, respectivamente, iguais a X, Y e Z (na mesma unidade de comprimento).
As distâncias X, Y e Z, em ordem crescente, estão dadas em
a) X, Y, Z. X b) Y, X, Z. Y, Z, X. Z, X, Y. Z, Y, X.c) d) e) 
• Considerando a escala 1 : 250 000 e chamando 
de X a distância entre as cidades A e B, temos:
Comprimento 
no mapa (cm) 
Comprimento 
real (cm)
1 250 000
13 X
1
13
250 000
250 000 13
3 250000
 
 
 
X
X
X
• Considerando a escala 1 : 300 000 e chamando de 
Y a distância entre as cidades A e C, temos:
Comprimento 
no mapa (cm) 
Comprimento 
real (cm)
1 300 000
10 Y
1
10
300 000
300 000 10
3 000 000
 
 
 
Y
Y
Y
• Considerando a escala 1 : 500 000 e chamando de Z a distância entre as cidades A e D, temos:
Comprimento no mapa (cm) Comprimento real (cm)
1 500 000
9 Z
Assim, as distâncias, em ordem crescente, são Y, X e Z.
1
9
500 000
500 000 9
4 500 000
 
 
 
Z
Z
Z
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:24:22
20 Livro de atividades 
8. (UTFPR) Considere que a velocidade média do campeão da tradicional corrida de São Silvestre 2013 
foi de, aproximadamente, 20 km/h. Pode-se afirmar que o percurso de 15 km foi realizado em:
a) b) c) d) 1 h 45 min. 1 h 30 min. 1 h 15 min. 1 h. X e) 45 min.
A velocidade média é obtida por meio da seguinte razão: 
v
d
t
 
Como v = 20 km/h e d = 15 km, obtemos:
20
15
20 15
15
20
0 75
 
 
 
 
t
t
t
t ,
O percurso foi realizado em 0,75 h. 
Usamos regra de três simples para determinar esse tempo em 
minutos.
Horas Minutos
1 60
0,75 x
Como as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, 
obtemos:
1
0 75
60
0 75 60
45
,
,
 
 
 
x
x
x
Assim, o percurso foi realizado em 0,75 h, que corresponde a 
45 min.
9. Observe, na imagem a seguir, as deformações causadas ao colocar blocos com a mesma massa em 
uma mola ideal.
Se, para um bloco de 5,2 kg, o alonga-
mento produzido foi de 6,24 cm, então o 
alongamento produzido por um bloco de 
2,5 kg será de
X a) 3 cm.
b) 4 cm.
c) 12 cm.
d) 13 cm.
e) 3,5 cm.
De acordo com a imagem, se pendurarmos um bloco na mola, causamos uma deformação de comprimento x. Se mais um 
bloco de mesma massa for adicionado, a deformação aumentará proporcionalmente para 2x. Da mesma forma, penduran-
do-se um terceiro bloco de mesma massa, a deformação medirá 3x. Com isso, podemos concluir que as grandezas “massa” e 
“deformação” são diretamente proporcionais.
Massa (kg) Deformação (cm)
5,2 6,24
2,5 x
5 2
2 5
6 24
5 2 2 5 6 24
5 2 15 6
15 6
5 2
3
,
,
,
, , ,
, ,
,
,
 
 
 
 
x
x
x
x
Portanto, para um peso de 2,5 kg, o alongamento será de 3 cm de comprimento.
P
2P
3P
x
2x
3x
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
21 Matemática – 9o. ano – Volume 4
10. (IFSUL – RS) Os pares de números “18 e 10” e “15 e x” são grandezas inversamente proporcionais. Por 
isso, x vale?
a) b) c) 7 8 23 X d) 27
Os pares de números são grandezas inversamente pro-
porcionais. 
Se os números do primeiro par diminuem, os números 
do segundo par devem aumentar proporcionalmente. 
18
10 15
10 18 15
10 270
270
10
27
 
 
 
 
x
x
x
x
Primeiro par Segundo par
18 15
10 x
Assim, podemos escrever a seguinte relação:
11. (UNESP – SP) Semanalmente, o apresentador de um programa televisivo reparte uma mesma quan-
tia em dinheiro igualmente entre os vencedores de um concurso. Na semana passada,cada um dos 
15 vencedores recebeu R$ 720,00. Nesta semana, houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida 
por cada um deles, em reais, foi de
a) b) R$ 675,00. R$ 600,00. X c) d) e) R$ 450,00. R$ 540,00. R$ 400,00.
Podemos resolver essa questão de duas maneiras.
1ª. maneira:
Na semana passada, cada um dos 15 vencedores recebeu 
R$ 720,00. Como 15 720 10800 , então o valor do prêmio 
semanal é de R$ 10.800,00. Nesta semana, o valor do prê-
mio semanal foi dividido entre 24 vencedores. Como 
10800 24 450y , cada um deles recebeu R$ 450,00. 
2ª. maneira: 
Podemos pensar em uma regra de três simples entre as 
grandezas “número de vencedores” e “valor do prêmio”. Se 
o número de vencedores aumenta, o valor que cada um 
receberá como prêmio diminui, portanto as grandezas 
são inversamente proporcionais.
Número de vencedores Valor do prêmio
15 720
2 x4
15
2 7204
24 15 720
24 10 800
10 800
24
450
 
 
 
 
x
x
x
x
Portanto, cada um dos vencedores recebeu R$ 450,00.
12. (UFPR) Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, 
esvazia a piscina em 2 horas. A segunda, também funcionando sozinha, esvazia a piscina em 3 horas. 
Caso as duas bombas sejam ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento, a piscina 
será esvaziada em:
a) 1 hora. X b) c) d) e) 1,2 hora. 2,5 horas. 3 horas. 5 horas.
Se a primeira bomba leva 2 horas para esvaziar a piscina, em 
1 hora ela esvazia metade dessa piscina.
Se a outra bomba leva 3 horas para esvaziar a piscina, em 1 hora 
ela esvazia um terço dessa piscina.
Assim:
1
2
1
3
5
6
 
Se as duas bombas funcionarem juntas, em 1 hora elas esvaziarão 
5
6
 da piscina.
Para sabermos em quanto tempo a piscina foi esvaziada, usamos 
a regra de três simples.
Horas Piscina (o que esvaziou)
1
5
6
x
6
6 
ou 1
Como as grandezas envolvidas são diretamente propor-
cionais, obtemos:
1
5
6
1
1 5
6
5 6
6
5
1 2
x
x
x
x
 
 
 
 ,
Portanto, a piscina será esvaziada em 1,2 hora.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
22 Livro de atividades 
13. (UEM – PR) Uma montadora de automóveis demora 20 dias trabalhando 8 horas por dia, para pro-
duzir 400 veículos. Quantos dias serão necessários para produzir 500 veículos, trabalhando 10 horas 
por dia?
As grandezas “dias” e “horas” são inversamente proporcio-
nais, enquanto “dias” e “veículos” são diretamente propor-
cionais. 
Dias Horas Veículos
20 8 400
x 10 500
Assim, podemos escrever a seguinte relação:
20 10
8
400
500
20 40
40
20
x
x
x
 
 
 
Serão necessários 20 dias.
14. Em certa construção, 90 funcionários, traba-
lhando 7 horas por dia, fazem determinado 
serviço em 24 dias. Em quantos dias 60 fun-
cionários, trabalhando 9 horas, farão o mes-
mo serviço? Para os cálculos, considere que 
todos os funcionários têm o mesmo ritmo de 
trabalho.
Se o número de funcionários diminui, o número de dias para 
finalizar a obra deve aumentar. Os “dias” e os “funcionários” 
são grandezas inversamente proporcionais. 
Se o número de horas trabalhadas diariamente diminui, o nú-
mero de dias para finalizar a obra deve aumentar. Os “dias” e 
as “horas” são grandezas inversamente proporcionais.
Funcionários Horas Dias
90 7 24
60 9 x
Assim, podemos escrever a seguinte relação:
2 604
90
9
7
2 54 40
630
2 6304
540
28
x
x
x
 
 
 

 
Nessas condições, a obra ficará pronta em 28 dias.
15. (CEFET – MG) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia 
produzem, juntos, 5 000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e 
a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de 
peças produzidas por dia passou a ser de
a) 1 666 X b) c) d) 2 250 3 000 3 750
Inicialmente, eram 200 funcionários. Ao dispensar 80 deles, 
sobraram 120 funcionários. Elaboramos a seguinte tabela 
com as informações dadas no enunciado:
Funcionários Horas Peças
200 8 5 000
120 6 x
5000 200
120
8
6
500 8
36
2250
x
x
x
 
 
 
O número de peças produzidas por dia passou a ser 2 250.
As grandezas “peças” e “horas” são diretamente proporcionais, 
assim como “peças” e “funcionários”. Assim:
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/B
an
na
fa
rs
ai
_S
to
ck
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
23 Matemática – 9o. ano – Volume 4
16. (FCMSCSP) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 tone-
ladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas 
daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6dias?
a) b) c) 8 15 10,5 X d) 13,5
Máquinas Horas Dias Toneladas
4 4 4 4
6 6 6 x
A grandeza “toneladas” é diretamente proporcional a cada 
uma das outras grandezas “máquinas”, “horas” e “dias”. 
Assim:
4 4
6
4
6
4
6
4 64
216
6 864 4
13 5
x
x
x
x
  
 
 
 ,
Seriam produzidas 13,5 toneladas do mesmo 
produto.
Mostre aos alunos que a situação envolve 
quatro grandezas e que o raciocínio emprega-
do para a regra de três composta é o mesmo 
que usamos para três grandezas.
17. (PUC Minas – MG) Duas costureiras fazem 5 cortinas em 5 dias. Se duplicar o grau de dificuldade, 
três costureiras, com a mesma capacidade, farão três cortinas em
a) 3 dias X b) c) d) e) 4 dias 6 dias 8 dias 10 dias
É necessário considerar a grandeza “grau de dificuldade”, como 
apresentada na tabela a seguir.
Costureiras Cortinas Dias
Grau de 
dificuldade
2 5 5 1
3 3 x 2
As grandezas “dias” e “costureiras” são inversamente proporcionais, 
enquanto a grandeza “dias” é diretamente proporcional a cada uma 
das outras grandezas, “cortinas” e “grau de dificuldade”. Assim:
5 3
2
5
3
1
2
5 5
4
4
x
x
x
  
 
 
As costureiras atenderão à encomenda em 4 dias.
Note que consideramos 1 como grau de dificuldade 
inicial e, depois, seu dobro. Outros valores poderiam 
ser colocados como grau de dificuldade, atentando-
-se para seu dobro.
18. (IFCE) Três números naturais são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a soma dos quadrados 
desses números é 342, então os três números são
X a) b) c) d) e) 6, 9 e 15 10, 30 e 50 4, 6 e 10 5, 8 e 12 8, 12 e 20
Chamando os três números naturais de x y z, e e sabendo que eles são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente, 
temos que: 
x
k
y
k
z
k
2 3 5
 , e , assim x k y k z k 2 3 5, e .
Como a soma dos quadrados desses números é 342, então:
x y z
k k k
k
k
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
342
2 3 5 342
4 9 25 342
38 342
  
  
  
 
( k) ( k) ( k)
22 9
9 3
 
 r rk
Sabendo que x z, e y são números naturais e que as partes relativas às proporções são positivas, temos que pode assumir k
apenas valores positivos, portanto k = 3 é a constante de proporcionalidade. Logo, x = 6, y = 9 e z = 15.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
24 Livro de atividades 
19. (UNISINOS – RS) Se uma loja repartir entre três funcionários a quantia de R$2.400,00 em partes 
diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, eles receberão, respectivamente, as seguintes quantias em reais:
a) 1 000, 800 e 600
b) 800, 600 e 1 000
c) 800, 600 e 480
X d) 600, 800 e 1 000
e) 600, 1 000 e 800
Se a loja repartir o valor R$ 2.400,00 em partes diretamen-
te proporcionais a 3, e 5, temos que:4
a + b + c = 2 400 
n’ = 3 
n’’ = 4
n’’’ = 5 
n’ + n’’ + n’’’ = 12
Assim, a constante de proporcionalidade k é igual a 
2400
12
200 . 
Portanto:
a
a
b
b
c
c
3
200 600
4
200 800
5
200 1 000
 o 
 o 
 o 
Logo, os três funcionários receberãoas quantias de R$ 600,00, 
R$ 800,00 e R$ 1.000,00 respectivamente. 
20. (UERJ) Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso significa que o anel contém 10 g de ouro 
puro e 5 g de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se há a proporção de 
3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica. 
Para transformar esse anel de ouro 16 quilates em outro de 18 quilates, é preciso acrescentar a se-
guinte quantidade, em gramas, de ouro puro:
a) 6 X b) c) d) 5 4 3
Como no ouro 18 quilates são 3 g de ouro puro para 1 g de liga metá-
lica, escrevemos a proporção 
3
1
.
No anel de 16 quilates, temos a proporção de ouro puro para liga me-
tálica dada por 
10
5
. É preciso acrescentar x gramas de ouro puro para 
transformar esse anel em um de 18 quilates. Assim:
10
5
3
1
10 15
5

 
 
 
x
x
x
Portanto, é preciso acrescentar 5 gramas de ouro 
puro. 
21. (OBMEP) Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De 
quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente, 
e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?
a) 12 X b) c) d) e) 15 20 60 120
Sejam x – 1, x e x + 1 números inteiros positivos consecutivos. Como 
queremos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras e pro-
porcionais, podemos escrever a seguinte relação:
360
1 1( ) ( )x x x
k
   
 , em que k é a constante de proporcionalidade.
Assim:
360
1 1
360
1 1
360
3
( ) ( )
( ) ( )
x x x
k
k
x x x
k
x
   
 
    
 
Veja que k deve ser um número inteiro não nulo para 
que a fração 
360
k
 faça sentido. Continuando os cál- 
culos, obtemos:
360
3
360
3
120
k
x
x
k
x
k
 
 
 
Como x é um número inteiro positivo, k pode ser 
qualquer um dos divisores positivos de 120, exceto o 
próprio 120. Caso k seja 120, teríamos x = 1, x – 1 = 0 e 
x + 1 = 2, mas 0 não é um número positivo. Portanto, 
k pode assumir apenas os 15 valores seguintes:
1, 2, 3, , 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 2 , 30, 4 4 40, 60
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
25 Matemática – 9o. ano – Volume 4
Volumes
12
Volume do prisma
Vamos retomar as características de um prisma, que é um tipo de poliedro.
O poliedro é um sólido com muitas faces e cada uma delas é um polígono.
O prisma é um poliedro formado por duas bases paralelas e faces laterais que são quadriláteros. Quando o prisma é 
reto, ou seja, tem arestas laterais perpendiculares às bases, as faces laterais são formadas por retângulos.
O paralelepípedo é um dos primeiros prismas que estudamos. Lembre-se de que seu volume pode ser calculado 
multiplicando-se suas três dimensões.
Volume comprimento largura altura u u
Representando o comprimento, a largura e a altura de um paralelepípedo 
por , e , temos:a b c
Volume b  a c
Considerando que a área da base é Abase = a ⋅ b, o volume do paralelepípedo também pode ser expresso por:
Volume A cbase
Veja que o volume pode ser calculado pelo produto da área da base pela altura. Essa maneira de calcular o volume 
pode ser aplicada aos outros prismas.
a
c
b
O volume de um prisma é igual ao produto da área da 
base pela altura.
Volume A hbase
A base
h
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
26 Livro de atividades 
De acordo com o princípio de Cavalieri, dois sólidos de mesma altura h, apoiados em um plano α, terão o 
mesmo volume se qualquer plano paralelo a α secciona os sólidos em seções de mesma área. Assim, conside-
rando que o prisma lilás tenha o polígono da base com área A1 e que o prisma verde tenha o polígono da base 
com área A2 , se essas áreas forem iguais, ou seja, A = A1 2 , o volume V do primeiro sólido também será igual ao 1
volume V2 do outro sólido.
A
2
A
1
A
1
h
A
2
α
β
Volume do cilindro
O cilindro é um sólido classificado como corpo redondo por apresentar superfície lateral não plana. Ele tem duas 
bases circulares paralelas entre si e uma superfície retangular que cerca essas bases, formando a superfície lateral.
Observe um cilindro e sua planificação. 
h: altura do cilindro
r: raio da base
r
r
h h
r
h
Assim como no caso dos prismas, o volume do cilindro é dado pelo produto da área 
da base pela altura.
Vcilindro baseA h 
Como a área da base do cilindro é A rbase S
2, temos:
Vcilindro r h  S
2
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
27 Matemática – 9o. ano – Volume 4
Atividades
Volume do prisma 
1. Determine o volume de cada um dos prismas representados a seguir.
a) Paralelepípedo
2 cm
1 cm
3 cm
Como se trata de um paralelepípedo, seu volume corresponde ao produto das três di-
mensões. 
V   1 2 3 6 
Portanto, o volume do paralelepípedo é igual a 6 cm3.
b) Prisma triangular
5 cm
4 cm 3 cm
6 cm
Nesse prisma triangular, cada base é um triângulo retângulo. Assim, a área da base é a 
metade do produto das medidas dos catetos.
4 3 12
A 6
2 2

 
.
Como a área da base é 6 cm2, o volume do prisma é dado por:
V A h 6 6 36   
. 
Portanto, o volume do prisma é igual a 36 cm3.
c) Prisma triangular regular
8 cm
6 cm
6 cm
3 cm
As bases desse prisma são dois triângulos 
equiláteros. Utilizando o teorema de Pi-
tágoras, determinamos a altura x de um 
deles.
6 3
27
27 3 3 0
2 2 2
2
 
 
 !
x
x
x pois x( )
Assim, 
6 3 3
A 9 3
2

 
. .
A área da base do prisma é 9 3 cm2.
Portanto:
V A h 9 3 8 72 3   . 
O volume do prisma é 72 3 cm3. 
d) Prisma hexagonal regular
11 cm
4 cm
As bases desse prisma são hexágonos 
regulares. Cada um desses hexágonos é 
formado por 6 triângulos equiláteros, em 
que a medida dos lados é 4 cm. Utilizando 
o teorema de Pitágoras, determinamos a 
altura x de um deles.
4 2
12
12 2 3 0
2 2 2
2
 
 
 !
x
x
x pois x( )
Assim, 
4 2 3
A 4 3
2

 . .
A área de um triângulo equilátero é 
4 3 cm2.
Portanto:
A base  6 4 3 24 3 
V A hbase   24 3 11 264 3
 
O volume do prisma é 264 3 cm3.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
28 Livro de atividades 
 2. Um bloco retangular de concreto tem volume igual a 2 400 cm3. Considerando que a área de sua base é 
300 cm2, determine quanto mede a altura do bloco.
Supondo que a b e sejam as dimensões da base desse bloco e c 
sua altura, seu volume pode ser escrito como:
V a b c  
Como o volume V é 2 400 cm3 e a área da base é 300 cm2, 
temos:
V a b c c c   o  o 
300
2400 300
2400
300
8N
Assim, a altura do bloco retangular é igual a 8 cm.
 3. Esta é a planificação de uma caixa de presentes: 
a) Escolha valores para as medidas das arestas da caixa e ano-
te-as na figura ao lado. Pessoal.
b) Agora, faça um desenho para representar essa caixa 
montada. Não se esqueça de indicar as dimensões esco-
lhidas por você.
Esperamos que os alunos identifiquem na figura planificada 
as três dimensões da caixa e transfiram essas medidas para o 
desenho da caixa montada.
a
b
c
c) Elabore um problema envolvendo essa caixa e seu volume. Depois, mostre como resolvê-lo.
Pessoal.
 4. Na figura a seguir, está representado o cubo ABCDEFGH, de volume igual a 64cm3, e o prisma MBCNFG, 
em que M e N são pontos médios das arestas AB e EF respectivamente.
N F
G
CM’D
A B
N’H
E
M
Determine o volume do prisma triangular.
a
c
b
Como 64 43 , pois 4 643 , a medida 
das arestas do cubo é igual a 4 cm.
As bases do prisma MBCNFG sãotriân-
gulos retângulos, em que o cateto maior 
mede 4 cm e o menor, 4 cm : 2 = 2 cm. 
Assim:
2 4
A 4
2

 
.
 A área de cada base é 4 cm2.
V A h 4 4 16   
.
Portanto, o volume desse prisma é 16 cm3. 
Outra estratégia é pensar em um paralelepípedo MBCM’NFGN’, o qual tem o volume igual 
à metade do volume do cubo ABCDEFGH, ou seja, de 64 cm3 : 2 = 32 cm3. E, por sua vez, o 
prisma triangular tem volume igual à metade do volume do paralelepípedo MBCM’NFGN’, 
ou seja, de 32 cm3 : 2 = 16 cm3.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
29 Matemática – 9o. ano – Volume 4
 5. Observe as medidas deste sólido e calcule seu volume.
Esse sólido pode ser dividido em dois prismas retos: um paralelepípedo e um prisma 
triangular.
Para calcular o volume do sólido, é preciso determinar os volumes dos dois prismas 
separadamente e adicioná-los.
• Paralelepípedo
V   10 13 16 2 080
Seu volume é igual a 2080 cm3.
• Prisma triangular

 
5 12
A 30
2.
Como a área da base é 30 cm2, o volume desse prisma é dado por:
   V A h 30 13 390
.
 
Assim, o volume do prisma triangular é igual a 390cm3.
Portanto, o volume do sólido ao lado é 2 080 cm3 + 390 cm3 = 2 470 cm3. 
 6. (IFPE) Cláudio decidiu reformar a piscina da sua casa. A nova piscina tem agora o formato do sólido mos-
trado na figura abaixo e todas as medidas estão em metros. Ele foi instruído a usar um produto químico 
para manter a água limpa. A quantidade desse produto a ser usado depende do volume de água contida 
na piscina. Qual o volume de água, em metros cúbicos, que acumulará a piscina de Cláudio quando ela 
estiver totalmente cheia?
1,8
10
0,9
6,0
5,0
2,0
12,0
0,9
X a) 105,3 
b) 110,5 
c) 115,6 
d) 118,2 
e) 122,7 
O sólido pode ser dividido em um paralelepípedo e um prisma 
trapezoidal, como indicado na figura acima.
• Paralelepípedo
V   12 0 9 6 64 8, ,
O volume é igual a 64,8 m3.
• Prisma trapezoidal
V A h V Vbase  o 
 
 o 
( ) ,
,
10 5 0 9
2
6 40 5
O volume do prisma trapezoidal é igual a 40,5 m3.
Portanto, o volume total da piscina é 
64,8 m3 + 0,5 m = 105,3 m4 3 3.
 7. (ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o 
mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 
18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates 
que têm o formato de cubo é igual a 
a) 5 cm. X b) c) d) e) 6 cm. 12 cm. 24 cm. 25 cm.
 
  
 
 
paralelepípedo cubo
3
3
3
V V
3 18 4 a
a 216
a 216 6
Portanto, a medida das arestas dos chocolates cúbicos é igual a 6 cm.
13 cm
16 cm
12 cm
10 cm 5 cm
13 cm
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:03
30 Livro de atividades 
 8. (OBMEP) Na casa de Manoel há uma caixa-d’água vazia com capacidade 
de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio 
próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura 
é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao 
rio até encher completamente a caixa-d’água?
a) b) c) d) e) 53 54 55 X 56 57
V   0 3 0 3 0 4 0 036, , , ,
A capacidade do balde é 0,036 m3. 
2 m : 0,036 m 55,553 3 
Isso significa que Manoel precisa ir até o rio, no mínimo, 56 vezes, pois 55 não serão 
suficientes. 
 9. (ENEM) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, se-
guindo o modelo ilustrado ao lado. O cubo de dentro é vazio. A aresta do 
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
a) 12 cm3. 
b) 64 cm3. 
c) 96 cm3. 
X d) 1 216 cm3.
e) 1 728 cm3.
10. (ENEM) 
O volume de madeira é igual à diferença entre o volume do 
cubo maior e do menor.
V   12 8 1728 512 1216
3 3
Portanto, o volume pedido é igual a 1 216 cm3.
30
40
O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos 
nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das correntes provocadas 
pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de competição tem uma profundi-
dade uniforme de 3 m, que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o movimento contra uma superfície 
e o regresso no sentido contrário, atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de compri-
mento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de 
largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas. 
Disponível em: http://desporto.publico.pt. Acesso em: 6 ago. 2012.
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor 
mais próximo de
a) b) c) 20%. 25%. 47%. d) 50%. X e) 88%.
• Piscina original
V   50 20 2 2000
Assim, o volume da piscina original era igual a 2 000 m3.
• Piscina reformada
V   50 25 3 3750
Portanto, o volume da piscina reformada é 3 750 m3. 
Isso significa que o volume aumentou em 
3 750 m3 – 2 000 m = 1 750 m .3 3
Utilizando uma regra de três simples, obtemos:
Volume m Porcentagem
x
x
x
( ) (%)3
2 000 100
1 750
2000 1 750 100
175 000
 
 
22 000
87 5 ,
 
Assim, o volume aumentou em 87,5% após a reforma. 
Entre as alternativas, o valor que mais se aproxima do 
resultado é o indicado no item e, 88%.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:37
31 Matemática – 9o. ano – Volume 4
11. (ENEM) Uma caixa-d’água em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 4m de compri-
mento, 3 m de largura e 2 m de altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará 
ser esvaziada em 20 min, no máximo. A retirada da água será feita com o auxílio de uma bomba de 
vazão constante, em que vazão é o volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo.
A vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter para que a caixa seja esvaziada 
no tempo estipulado é 
a) b) c) d) 2. 3. 5. 12. X e) 20. 
Volume da caixa-d’água:
V   4 3 2 24
Assim, o volume é igual a 24 m3.
Como 1 m3 corresponde a 1 000 litros, então 24 m3 equi-
valem a 24 000 litros. Além disso, como 1 minuto corres-
ponde a 60 segundos, temos que 20 minutos equivalem 
a 1 200 segundos. Assim, podemos determinar a vazão em 
litros por segundo:
2 0004
vazão 20
1 200
 
Isso significa que a vazão é igual a 20 litros por segundo. 
12. (ACAFE – SC) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de 
comprimento, 2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da 
água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 
3
4
 da altura. O volume de água des-
locado (em litros) foi de:
a) 4 500. X b) c) d) 1 500. 5 500. 6 000.
O nível de água do reservatório subiu de 60% da altura para 
3
4
0 75 75 , % , ou seja, um aumento de 15% da altura total do 
reservatório. A quantidade de água que se elevou corresponde a 15% de 5metros, ou seja, 0,15 · 5 m = 0,75 m. Assim:
V   1 2 0 75 1 5, ,
O volume de água deslocado foi de 1,5 m3, isto é, 1 500 litros.
13. (UEL – PR) Um arquiteto fez um projeto para construir colunas de concreto que vão sustentar um viadu-
to. Cálculos mostram que 10 colunas com a forma de um prisma triangular regular de aresta de 1 metro 
por 10 metros de altura são suficientes para sustentar o viaduto. Se 1 metro cúbico de concreto custa 
R$ 200,00, qual será o custo total das colunas?
a) R$ 1.000,00
b) AproximadamenteR$ 4.320,00
c) R$ 5.000,00
X d) Aproximadamente R$ 8.650,00
e) Aproximadamente R$ 17.300,00
Dica: escreva com uma fração a altura do triângulo que forma a base do prisma triangular regular e 
use a aproximação 3 1 73 , . 
A base do prisma triangular regular é formada por um triângu-
lo equilátero, em que os lados medem 1m. Utilizando o teore-
ma de Pitágoras, determinamos a altura h, em metros, desse 
triângulo.
1
1
2
3
4
3
2
02
2
2 2 
§
©
¨
·
¹
¸  o o !h h h pois h( )
Agora, calculamos a área da base desse prisma, em metros qua-
drados.
A base 

 
1
3
2
2
3
4
Portanto, o volume de uma coluna, em metros cúbicos, é:
V A h
V
base 
  
3
4
10
5 3
2
Usando 3 1 73 , para calcular o valor aproximado gasto na 
produção de 10 colunas, obtemos:
5 3
2
10 200
5 1 73
2
2000 8 650  

 
,
Assim, o custo aproximado na produção de 10 colunas é 
R$ 8.650,00.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:37
32 Livro de atividades 
14. (PUC-SP) Um artesão possui uma folha de papelão de formato retangular, cuja medida do compri-
mento é igual ao dobro da medida da largura, e pretende usá-la para construir uma caixa aberta, 
recortando em cada quina da folha um quadrado de 3 cm de lado. Sabendo que, ao ficar pronta, o 
volume da caixa será de 324 cm3, então a área de sua superfície externa, em centímetros quadrados, 
será igual a:
a) b) c) d) 360 358 274 268 X e) 252
Considere que a medida da largura da folha de papelão 
retangular seja igual a x cm.
3 2x − 6
x − 6
3
3
3
As dimensões da caixa montada, em centímetros, serão 
2x – 6, x – 6 e 3.
Assim, como o volume da caixa é 324 cm3, podemos escre-
ver a seguinte equação:
( ) ( )
( )
2 6 6 3 324
2 12 6 36 3 324
6 36 18 108 324
2
2
x x
x x x
x x x
    
    
    
  
0
6 54 216 02x x
Para determinar as raízes dessa equação, podemos primei-
ro dividir todos os termos por 6, obtendo:
x x2 9 36 0  
Podemos utilizar a fórmula resolutiva de equações do 
2º. grau para determinar os valores de x que satisfazem essa 
equação ou ainda analisar a soma e o produto das raízes. 
Optamos por usar esse segundo raciocínio.
Na equação x x2 9 36 0  , vamos assumir a = 1, b = –9 e 
c = –36. Assim:
S x x
b
a
S x x
  
  

 
1 2
1 2
9
1
9
( )
 
P x x
c
a
P x x
  
  

 
1 2
1 2
36
1
36
( )
Portanto, as raízes são 12 e –3, pois 12 + (–3) = 9 e 
12 · (–3) = –36.
Como x é uma medida de comprimento, não convém 
considerarmos a raiz –3. Portanto, x = 12 e as dimensões 
da caixa são 2x – 6 = 2 · 12 – 6 = 18 cm, x – 6 = 12 – 6 = 
= 6 cm e 3 cm.
A área da superfície externa da caixa, em centímetros qua-
drados, é:
A = 18 6 + 2 3 + 2 3 = 252 · · · 18 · · 6
A área da superfície externa da caixa será 252 cm2.
Volume do cilindro
15. Sobre os prismas e os cilindros, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, corrigindo 
a(s) errada(s).
a) ( V ) Os prismas são poliedros, pois suas faces são todas planas.
b) ( V ) Os cilindros são corpos redondos, pois apresentam superfície lateral não plana.
c) ( V ) Os prismas e os cilindros têm duas bases paralelas.
d) ( F ) Os prismas regulares são os que têm altura igual à medida dos lados do polígono da base.
Os prismas regulares são os que têm base formada por polígonos regulares.
e) ( V ) O cilindro equilátero tem a altura igual ao diâmetro da base.
 
Comente com os alunos que a área da superfície externa 
da caixa também pode ser obtida pela diferença entre a 
área da folha de papelão e a área dos quatro quadrados.
A x x
A
A
A
   
   
 
 
2 4 3
24 12 4 9
288 36
252
2
 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:37
33 Matemática – 9o. ano – Volume 4
PARA ESTAS ATIVIDADES, 
QUANDO NECESSÁRIO,
USE π = 3,14, EXCETO QUANDO 
A ATIVIDADE EXIGIR OUTRA 
APROXIMAÇÃO PARA .π
16. Uma lata de tinta com formato cilíndrico tem 17,9cm de altura e 16 cm de diâ-
metro da base (medidas internas). Qual é a capacidade aproximada dessa lata, 
em litros?
Como o diâmetro da base é 16 cm, o raio é 16 cm : 2 = 8 cm. Assim:
 S 
  
  
 
2
lata
2
lata
lata
lata
V r h
V 3,14 8 17,9
V 3,14 64 17,9
V 3 597,184 3 600
Como 1 cm3 equivale a 0,001 litro, então 3 600 cm3 correspondem a 3,6 litros. 
17. Quanto mede a altura de um cilindro equilátero cujo volume é igual a 169,56 cm3? Lembre-se de que 
o cilindro equilátero tem a altura igual ao diâmetro da base.
Em um cilindro equilátero, o diâmetro d é igual à altura h. 
Como d = 2r, em que r é o raio da base do cilindro, para o cilin-
dro equilátero, podemos dizer que h = 2r. Assim:
2
2
3
V r h
169,56 3,14 r 2r
169,56
2r
3,14
 S 
  
 
3
3
3
2r 54
r 27
r 27 3
 
 
 
Como o raio é igual a 3 cm, a altura do cilindro é o dobro dessa 
medida, ou seja, 6 cm.
18 Considere um cilindro equilátero em que o raio da base mede 5 cm e determine:
a) a área da base; 
A r
base    S
2 23 14 5 3 14 25 78 5, , ,
A área da base é 78,5 cm .2
b) a área lateral; A área lateral é igual à área do retângulo em que uma das dimensões é o comprimento da circunferên-
cia que forma a base do cilindro, e a outra dimensão é igual à altura do cilindro.
A C h r hlateral        2 2 3 14 5 10 314S ,
A área lateral é 314 cm2.
c) o volume. 
V r h       S 2 23 14 5 10 3 14 25 10 785, ,
O volume é 785 cm3.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
si
er
Ro
m
er
o
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/3
D
st
oc
k
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:25:37
34 Livro de atividades 
19. (IFBA) Um reservatório cúbico está totalmen-
te cheio com 8 000 L de água. Toda essa água 
foi transferida para outro tanque cilíndrico 
reto de 2 m de diâmetro. Usando a aproxi-
mação π = 3,1, é correto afirmar que a altura 
atingida pela água, em metros, no tanque re-
ceptor foi igual a
X a) 2,58
b) 2,40
c) 2,38
d) 2,20
e) 2,10
O raio r da base do cilindro mede metade do diâmetro, 
assim, r = 1 m
Como o volume de 8 000 L equivale a 8 m3, temos:
V r h
h
  
  
S 2
8 3 1 1,
 
8
h 2,58
3,1

Assim, a altura h atingida pela água foi aproximadamen-
te 2,58 m.
20. (ENEM) Para decorar um cilindro circular reto 
será usada uma faixa retangular de papel trans-
parente, na qual está desenhada em negrito 
uma diagonal que forma 30° com a borda infe-
rior. O raio da base do cilindro mede 
6
S
 cm, e ao 
enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato 
de hélice, como na figura.
30°
O valor da medida da altura do cilindro, em 
centímetro, é
a) 36 3
X b) 24 3
c) 4 3
d) 36
e) 72
30°
6 ∙ C = 6 ∙ (2 ∙ ∙ r)π
h
Veja que foram dadas 6 voltas em torno do cilindro com essa 
faixa. Assim, o comprimento da faixa retangular é igual a 6ve-
zes o comprimento da circunferência da base do cilindro, e a 
altura da faixa é igual à altura do cilindro.
C r     2 2
6
12S S
S
Assim, o comprimento da faixa é 6 · 12 cm = 72 cm. Utilizando 
as razões trigonométricas, temos:
tg
h
h
h
30
72
3
3 72
72 3
3
24 3
q 
 
 
Portanto, a altura do cilindro é 24 3 cm.
21. (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferen-
tes tipos de vela ornamental a partir de moldes 
feitos com cartões de papel retangulares de 
20 cm × 10 cm (conforme ilustram as figuras 
abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, 
de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, 
em seguida, os preenche completamente 
com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja direta-
mente proporcional ao volume de parafina 
empregado, o custo da vela do tipo I, em rela-
ção ao custo