REVISÃO PLUS 1

Prévia do material em texto

Razão 
01. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é
a) 1/8
b) 7/8
c) 8/7
d) 8/9
e) 9/8
02. O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6.
b) 600.
c) 6 000.
d) 60 000.
e) 6 000 000.
03. Biólogos descrevem nova espécie de perereca que habita as bromélias em áreas de Mata Atlântica, no interior do Rio de Janeiro. Scinaxinsperatus é o nome dado à nova espécie, pertencente a um grupo de pererecas bem particulares, que utilizam a água da chuva acumulada nas bromélias para se reproduzirem e criarem seus girinos. Essas “pererequinhas” medem entre 1 cm e 5 cm de comprimento e vivem a maior parte de suas vidas dentro dessas plantas, que chegam a acumular cerca de 20 litros de água em seu interior, tornando-se verdadeiros aquários suspensos essenciais para a proliferação desses animais. Admita que em uma dessas bromélias existam, em média, 800 pererecas. Desse modo, a densidade populacional em uma das plantas é, em média,
 A) 800 pererecas/L. 
B) 160 pererecas/L. 
C) 40 pererecas/L. 
D) 8 pererecas/L. 
E) 4 pererecas/L. 
04. Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho.
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:
· Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.
· Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.
· Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.
· Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.
· Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.
 Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
05. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta.As proporções são de uma parte de concentrado para 3 de água no caso do suco, e uma parte de concentrado para 6 de água no caso do refresco.
O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão x/y fosse igual a:
a)1/2
b)3/4
c)1
d)4/3
e)2
Proporção e grandezas proporcionais 
01. A vazão de água (em m³/h) em tubulações pode ser medida pelo produto da área da seção transversal por onde passa a água (em m² ) pela velocidade da água (em m/h). Uma companhia de saneamento abastece uma indústria utilizando uma tubulação cilíndrica de raio r, cuja vazão da água enche um reservatório em 4 horas. Para se adaptar às novas normas técnicas, a companhia deve duplicar o raio da tubulação, mantendo a velocidade da água e mesmo material. Qual o tempo esperado para encher o mesmo reservatório, após a adaptação às novas normas?
a) 1 hora
b) 2 horas
c) 4 horas
d) 8 horas
e) 16 horas
02. A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão: 
 onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?
A
B
C
D
E
03. Uma editora de jornal tem 7 profissionais responsáveis pela produção de 35.000 exemplares todos os
dias. Após a ocorrência de mortes devido à gripe suína, a procura por informações a respeito dessa
gripe aumentou bastante, e o jornal teve que aumentar sua produção para 65.000 por dia. O número de
contratações cresce proporcionalmente em relação ao aumento no número de exemplares produzidos.
O número de novos funcionários que a editora teve que contratar foi
a) 4. 
b) 6. 
c) 11.
d) 13. 
e) 00. 
04) José e Pedro decidiram fazer uma viagem de férias para o litoral brasileiro. José, que já havia feito este percurso, afirmou que rodando uma média de 8 horas por dia a uma velocidade média de 60 km/h, tinha levado 6 dias para completá-lo. Pedro comprometeu-se a dirigir 9 horas por dia à velocidade média de 80 km/h. Considerando que Pedro vá dirigindo, a quantidade de dias, que levarão para completar o percurso da viagem, será de:
a) 5 dias e meio
b) 6 dias
c) 4 dias e meio
d) 4 dias
e) 5 dias 
Exercicios propostos Proporção e grandezas proporcionais 
AULA 8:Razão e proporção Regra de Três Simples, Composta e Escalas
1. (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8m. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16m b) 3,0m c) 5,4m d) 5,6m e) 7,04m
2. (ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa pessoa R$120 por semana, desde que vendas se mantivessem em torno dos R$600 semanais e, como um estímulo, também propôs que na semana na qual ele vendesse R$1200, ele receberia R$200, em vez de R$120. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$990 e foi pedir ao patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de:
a) R$160 b) R$165 c) R$172 d) R$180 e) R$198
3. (ENEM) O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? 
a) 25 min b) 15 min c) 2,5 min d) 1,5 min e) 0,15 min 
4. (ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? 
a) 2,9 cm x 3,4 cm b) 3,9 cm x 4,4 cm c) 20 cm x 25 cm 
d) 21 cm x 26 cm e) 192 cm x 242 cm
5. (ENEM) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria:a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. 
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. 
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina. 
6. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920kg b) 800kg c) 720kg D) 600kg e) 570kg
7. (ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como uma alternativa para dar uma destinação final a estes pneus, a Petrobrás, em sua unidade de São Matheus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite a partir de 1 tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 Kg de óleo. Considerando que uma tonelada corresponde em média a 200 pneus, se todos os pneus descartados anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas:
a) 5,3 mil toneladas de óleo b) 53 mil toneladas de óleo c) 530 mil toneladas de óleo
d) 5,3 milhões de toneladas de óleo e) 530 milhões de toneladas de óleo
8. (ENEM) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficara o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponivel em htttp://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
a) 1:20 b) 1:100 c) 1:200 d) 1:1000 e) 1:2000
9. (ENEM) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. 
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de 
a) 1:250 b) 1:2500 c) 1:25000 d) 1:250000 e) 1:25000000 
10. (ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos da Terra são muito variados. O calendário islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da Terra.
MATSUURA, Oscar. Calendários e fluxo do tempo. Scentific American Brasil. Disponível em http://uol.com.br. Acesso em 14 out 2008 (adaptado)
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 48 anos?
a) 30 ciclos b) 40 ciclos c) 73 ciclos d) 240 ciclos e) 384 ciclos
11. (ENEM) Uma mãe recorreu a bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele e de:
a) 12 kg b) 16 kg c) 24 kg d) 36 kg e) 75 kg
12. (ENEM) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual e o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido. 
Disponivel em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
a) 1:700 b) 1:7000 c) 1:70000 d) 1:700000 e) 1:7000000
PORCENTAGEM 
1. No dia 12 de janeiro de 2010, o governo da Venezuela adotou um plano de racionamento de energia que previa cortes no fornecimento em todo o país. O ministro da Energia afirmou que uma das formas mais eficazes de se economizar energia nos domicílios seria o uso de lâmpadas que consomem 20% menos da energia consumida por lâmpadas normais. Em uma residência, o consumo mensal de energia proveniente do uso de lâmpadas comuns é de 63 kWh. Se todas as lâmpadas dessa residência forem trocadas pelas lâmpadas econômicas, esse consumo passará a ser de, aproximadamente, 
A. 9 kWh
B. 11 kWh
C. 22 kWh
 D. 35 kWh
 E. 50 kWh
2. Um aventureiro chama a atenção para o impacto do plástico no meio ambiente, atravessando a maior concentração de lixo do mundo em um veleiro feito totalmente de recipientes recicláveis. O barco flutua graças a 12 mil garrafas plásticas.
No Brasil, a produção mensal de garrafas plásticas é de 9 bilhões de unidades, sendo que 47% dessas garrafas são reaproveitadas e o restante vai para o lixo.
Época. São Paulo: Globo, n. 619, 29 mar. 2010 (adaptado).
Quantos barcos como esse é possível construir com as garrafas que vão para o lixo no Brasil?
a) 352 500. 
b) 397 500. 
c) 750 000. 
d) 35 250 000. 
e) 39 750 000.
3. Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de freqüentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o número de mulheres que freqüentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de:
a) 76%.
b) 81%.
c) 85%.
d) 90%
e) 94%
4. A taxa de inflação é um índice que aponta, em percentuais, a evolução média dos preços de mercadorias e serviços. Entretanto, cada família percebe a variação dos preços de modo particular, pois o peso de cada item no seu orçamento é diferente. Assim, se o preço dos medicamentos sobe muito, o impacto da inflação para as famílias que têm mais idosos tende a ser maior. Se o preço dos alimentos cai, o impacto da inflação para as famílias mais pobres tende a ser menor, já que boa parte de seu orçamento é gasto em alimentação.
Disponível em: http://www.dieese.org.br (adaptado).
Considere que os salários de determinado grupo de pessoas crescem 10,0% ao ano, mas a inflação, para esse grupo, cresce 6,0% ao ano. O aumento percentual do poder de compra, em dois anos, das pessoas que pertencem ao referido grupo, mais aproximado, será de:
a) 4,0%.
b) 7,7%.
c) 8,0%.
d) 8,6%.
e) 14,0%. 
5. Uma loja resolveu fazer uma promoção de um determinado produto que custava R$ 100,00 em fevereiro, da seguinte maneira: em março, ela deu um desconto de 10% sobre o preço do produto em fevereiro; em abril, deu mais 10% de desconto sobre o preço do produto em março. Tendo obtido uma venda substancial, a loja resolveu aumentar o preçodo produto da seguinte maneira: em maio, a loja aumentou em 10% o preço de abril e, em junho, a loja aumentou em mais 10% o preço de maio.Desta forma, o preço deste produto, no final de junho, era
a) R$ 100,00. 
b) R$ 99,00. 
c) R$ 98,01. 
d) R$ 97,20. 
e) 96,00.
Exercícios Propostos 
AULA 9: Porcentagens - GABARITO
1. (ENEM) Em uma determinada cidade, o preço da gasolina por litro era de R$2,75 e baixou para R$2,20. Nesse contexto, o preço da gasolina foi reduzido em:
a) 15% b) 17% c) 18% d) 20% e) 25%
2. (UFV) Após consultar um mapa rodoviário, certo motorista decide por um itinerário 17% mais longo do que aquele que faz habitualmente. Como o tráfego de veículos nesse novo trajeto é menor, sua velocidade média aumentará em 30%. Nessas condições, pode-se estimar que o tempo de viagem diminuirá em:
a) 5% b) 8% c) 10% d) 16% e) 20%
3. (UFRGS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com o cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta:
a) um desconto de 20% b) um aumento de 20% c) um desconto de 25%
d) um aumento de 25% e) um aumento de 80%
4. (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida de sua altura em 20%, a área desse retângulo aumenta de: 
a) 20% b) 22% c) 30% d) 32% e) 40%
5. A tabela abaixo contém dados divulgados pela Controladoria Geral da União (CGU) sobre o número de processos abertos contra servidores federais no ano de 2007.
Com base nesses dados, é correto afirmar que a porcentagem de processos abertos devido ao uso do cargo público em benefício próprio, em relação ao total, é aproximadamente igual a:
a) 38% b) 44% c) 56% d) 62% e) 65%
6. (ENEM) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68%
7. (ENEM) A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte informação, relativa a uma reportagem daquela edição:
- O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaixo dos lençóis 47% não sentem vontade de fazer sexo.
O texto abaixo, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima está errado:
- Outro problema predominantemente feminino é a falta de desejo − 35% das mulheres não sentem nenhuma vontade de ter relações. Já entre os homens, apenas 12% se queixam de falta de desejo.
Considerando que o número de homens na população seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo com a reportagem, é
a) 12% b) 24% c) 29% d) 35% e) 50%
8. (ENEM) Os médicos recomendam para um adulto 800mg de cálcio por dia e informam que 1 litro de leite contém 1880mg de cálcio. Se um adulto tomar 200ml de leite, o percentual da dose diária recomendada de cálcio que ele absorve é:
a) 17% b) 27% c) 37% d) 47% e) 53%
9. (ENEM) A Copa do Mundo da África do Sul registrou a pior média de gols em uma primeira rodada dentre todos os mundiais já realizados. Foram marcados apenas 25 gols em 16 jogos. O gráfico mostra a evolução da média de gols, na primeira rodada, nos mundiais de 1990 a 2010.
De acordo com o gráfico, para que a média de gols na primeira rodada da Copa do Mundo do Brasil, em 2014, seja aproximadamente a mesma de 2002, a média registrada em 2010 deverá ter um aumento de aproximadamente:
a) 30% b) 40% c) 60%
d) 80% e) 100%
10. (ENEM) Os dados (percentuais) apresentados no gráfico a seguir foram gerados a partir dos dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de:
a) 24500 b) 25000 c) 220500 
d) 223000 e) 227500
11. (ENEM) Para se obter 1,5kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim o rendimento (dado em % de massa) do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a) 0,10% b) 0,015% c) 1,5% d) 15% e) 0,15%
12. Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:
a) 16% b) 24% c) 32% d) 48% e) 64%
Exercícios Propostos Comentados 
AULA 9: Porcentagens - GABARITO
1. (ENEM) Em uma determinada cidade, o preço da gasolina por litro era de R$2,75 e baixou para R$2,20. Nesse contexto, o preço da gasolina foi reduzido em:
a) 15% b) 17% c) 18% d) 20% e) 25%
Solução. O fator de redução considerado será (1 – i), onde “i” é a taxa de redução. 
%
20
2
,
0
8
,
0
1
i
8
,
0
i
1
75
,
2
20
,
2
i
1
)
i
1
.(
75
,
2
20
,
2
®
=
-
=
Þ
=
-
Þ
=
-
Þ
-
=
.
2. (UFV) Após consultar um mapa rodoviário, certo motorista decide por um itinerário 17% mais longo do que aquele que faz habitualmente. Como o tráfego de veículos nesse novo trajeto é menor, sua velocidade média aumentará em 30%. Nessas condições, pode-se estimar que o tempo de viagem diminuirá em:
a) 5% b) 8% c) 10% d) 16% e) 20%
Solução. A fórmula que relaciona o espaço percorrido S, a velocidade V e o tempo gasto para o deslocamento é S = v x t. Considerando os aumentos e reduções percentuais indicados, temos:
%
10
1
,
0
i
9
,
0
1
i
9
,
0
i
1
3
,
1
17
,
1
i
1
)
i
1
).(
3
,
1
.(
t
.
v
)
17
,
1
.(
t
.
v
)
i
1
(
t
).
3
,
0
1
.(
v
)
17
,
0
1
(
S
t
.
v
S
®
=
Þ
Þ
-
=
Þ
=
-
Þ
=
-
Þ
-
=
Þ
î
í
ì
-
+
=
+
=
.
3. (UFRGS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com o cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta:
a) um desconto de 20% b) um aumento de 20% c) um desconto de 25%
d) um aumento de 25% e) um aumento de 80%
Solução. Considerando P o preço no pagamento à vista, temos:
(
)
vista
À
%).
25
1
(
:
Cartão
P
).
25
,
0
1
(
P
25
,
1
8
P
10
108
P
:
Cartão
8
,
0
P
:
Cartão
P
:
vista
À
+
Þ
+
=
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
.
4. (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida de sua altura em 20%, a área desse retângulo aumenta de: 
a) 20% b) 22% c) 30% d) 32% e) 40%
Solução. A área do retângulo é dada pela fórmula A = b x h, onde b = base e h = altura. Considerando os aumentos e reduções percentuais indicados, temos:
%
32
32
,
0
i
1
32
,
1
i
32
,
1
i
1
)
2
,
1
).(
1
,
1
(
h
.
b
)
i
1
(
h
.
b
)
2
,
0
1
(
h
).
1
,
0
1
.(
b
)
i
1
(
A
h
.
b
A
®
=
Þ
-
=
Þ
=
+
Þ
=
+
Þ
î
í
ì
+
+
=
+
=
.
5. A tabela abaixo contém dados divulgados pela Controladoria Geral da União (CGU) sobre o número de processos abertos contra servidores federais no ano de 2007.
Com base nesses dados, é correto afirmar que a porcentagem de processos abertos devido ao uso do cargo público em benefício próprio, em relação ao total, é aproximadamente igual a:
a) 38% b) 44% c) 56% d) 62% e) 65%
Solução. Calculando a razão percentual, temos: %
44
438
,
0
1776
779
i
®
@
=
.
6. (ENEM) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68%
Solução. Quem estuda no Ensino Superior, concluiu o Ensino Médio. Logo, o total de jogadores com Ensino Médio concluído é 54 + 14 = 68. O percentual é: %
60
607
,
0
112
68
i
®
@
=
.
7. (ENEM) A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte informação, relativa a uma reportagem daquela edição:
- O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaixo dos lençóis 47% não sentem vontade de fazer sexo.
O texto abaixo, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima está errado:
- Outro problema predominantemente feminino é a falta de desejo − 35% das mulheres não sentem nenhuma vontade de ter relações. Já entre os homens, apenas 12% se queixam de falta de desejo.
Considerando que o número de homens na população seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo com a reportagem, é
a) 12% b) 24% c) 29% d) 35% e) 50%
Solução. O erro na primeira informação está no fato de adicionar as informações como se os percentuais se referissem ao total de pessoas (homens + mulheres). Considerando o número total de pessoas como T, o de homens como H e o de mulheres, como M, temos: H = M = 50%T. 
Calculando os percentuais de forma correta, temos:
(
)
(
)
T
%.
24
T
%.
5
,
23
T
%.
5
,
17
T
%.
6
)
sexo
de
vontade
sem
(
s
Brasileiro
T
%.
5
,
17
T
.
175
,
0
T
)
5
,
0
).(
35
,
0
(
T
.
5
,
0
%.
35
)
sexo
de
vontade
sem
(
M
T
%.
6
T
.
06
,
0
T
)
5
,
0
).(
12
,
0
(
T
.
5
,
0
%.
12
)
sexo
de
vontade
sem
(
H
T
5
,
0
M
T
5
,
0
H
@
=
+
=
Þ
Þ
î
í
ì
=
=
=
=
=
=
=
=
Þ
î
í
ì
=
=
.
8. (ENEM) Os médicos recomendam para um adulto 800mg de cálcio por dia e informam que 1 litro de leite contém 1880mg de cálcio. Se um adulto tomar 200ml de leite, o percentual da dose diária recomendada de cálcio que ele absorve é:
a) 17% b) 27% c) 37% d) 47% e) 53%
Solução. Estabelecendo as proporções de acordo com as informações e utilizando 1 litro = 1000 ml, temos:
(
)
(
)
(
)
(
)
o
recomendad
do
%
47
47
,
0
mg
800
mg
376
)
ii
mg
376
ml
2
.
mg
188
ml
1000
ml
200
.
mg
1880
x
x
ml
200
mg
1880
ml
1000
)
i
®
=
=
=
=
Þ
=
.
9. (ENEM) A Copa do Mundo da África do Sul registrou a pior média de gols em uma primeira rodada dentre todos os mundiais já realizados. Foram marcados apenas 25 gols em 16 jogos. O gráfico mostra a evolução da média de gols, na primeira rodada, nos mundiais de 1990 a 2010.
De acordo com o gráfico, para que a média de gols na primeira rodada da Copa do Mundo do Brasil, em 2014, seja aproximadamente a mesma de 2002, a média registrada em 2010 deverá ter um aumento de aproximadamente:
a) 30% b) 40% c) 60%
d) 80% e) 100%
Solução. A taxa de aumento será “i”. Utilizando o fator de aumento percentual, temos:
%
81
81
,
0
1
81
,
1
i
81
,
1
i
1
6
,
1
9
,
2
i
1
)
i
1
.(
6
,
1
9
,
2
®
=
-
=
Þ
@
+
Þ
=
+
Þ
+
=
.
10. (ENEM) Os dados (percentuais) apresentados no gráfico a seguir foram gerados a partir dos dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de:
a) 24500 b) 25000 c) 220500 
d) 223000 e) 227500
Solução. Utilizando o percentual indicado em Porto Alegre, temos:
24500
2500
8
,
9
250000
%
8
,
9
=
´
=
´
.
11. (ENEM) Para se obter 1,5kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim o rendimento (dado em % de massa) do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a) 0,10% b) 0,015% c) 1,5% d) 15% e) 0,15%
Solução. Expressando os dados, temos: %
15
,
0
0015
,
0
10000
15
kg
1000
kg
5
,
1
T
1
kg
5
,
1
®
=
=
=
.
12. Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:
a) 16% b) 24% c) 32% d) 48% e) 64%
Solução. Calculando os percentuais para cada caso e calculando a razão, temos:
%
24
24
,
0
135
,
0
105
,
0
T
)
45
,
0
).(
30
,
0
(
)
35
,
0
).(
30
,
0
(
T
®
=
+
=
+
=
.
Função do 1ºgrau
4. (FVG) Um terreno vale hoje R$40.000,00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo que o valor do imóvel seja função do 1º grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente: 
a) R$43.066,00 b) R$43.166,00 c) R$43.266,00 d) R$43.366,00 e) R$43.466,00
5. (PUC) Um táxi cobra R$2,60 de bandeirada e mais R$0,40 por quilômetro rodado. Ao final de um percurso de “p” quilômetros, o taxímetro marca R$8,20. Calcule o valor de “p”. 
6. Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II inicialmente com nível de 80 mm evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível(em mm) nesses mesmos recipientes.
a) 10º dia b) 14º dia c) 18º dia d) 20º dia e) 24º dia
7. (UFRA) Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte fixa desse custo total. Suponha que uma indústria ao produzir 150 unidades de um produto, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 unidades seus gastos são de R$ 700,00, então podemos afirmar que os custos fixos dessa indústria são, em reais:
a) 175 b) 225 c) 375 d) 420 e) 475
Função do 2º grau 
1. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades2.Uma 
2) Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades de certo produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A empresa passou a conceder desconto na venda desse produto e verificou-se que a cada real de desconto concedido por unidade do produto implicava na venda de 10 unidades a mais por mês. Para obter o faturamento máximo em um mês, o valor do desconto, por unidade do produto, deve ser igual a:
a) R$ 5,00.
b) R$ 10,00.
c) R$ 12,00.
d) R$ 15,00.
e) R$ 20,00.
3) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães espe​ciais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação q = 400 – 100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modi​ficará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diaria​mente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na ven​da desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo 
a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 
b) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50 
c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 
d) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50 
e) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50
Exercício Proposto Função do 1º e 2º grau 
AULA 6: FUNÇÃO AFIM E QUADRÁTICA
1. (UERJ) O polinômio P(x) = - 2x3 – x2 + 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1).(- x2 + 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x2 + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico mostrado. Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação: - 2x3 – x2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a) 2
x
-
<
 ou 2
1
x
-
>
 b) 2
x
-
<
 ou 2
x
>
 
c) 2
x
-
<
 ou 2
x
2
1
<
<
-
 d) 2
1
x
2
-
<
<
-
 ou 2
x
>
2. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00
3. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10.
As coordenadas do ponto P são:
a) (6, 20) b) (7, 24) c) (7, 26) d) (6, 26) 
4. (UERJ) Os gráficos 1 e 2 representam a posição S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico 1, a função horária é definida pela equação t
2
1
2
S
+
=
. Assim, a equação que define o movimento representado pelo gráfico 2 corresponde a:
a) t
2
S
+
=
 b) t
2
2
S
+
=
 c) t
3
4
2
S
+
=
 d) t
5
6
2
S
+
=
5. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:
– C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, corresponde a C(p) = 0,5p + 1; em partes por milhão.
– em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1t2.
Em relação à taxa C, calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
6. (UERJ) O gráfico abaixo representa a indicação da velocidade de um carro em movimento, em função do tempo. Sabendo-se que, em t = 2s, a velocidade é de 6m/s, a ordenada do ponto A é:
a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0
7. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. O dia da colheita de maior ganho para o fruticultor foi:
a) 11 b) 9 c) 7 d) 15
8. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo: c
36
x
S
2
+
-
=
. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza
 b) atrás do gol
 c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
9. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t. No gráfico I, a função horária é definida pela equação t
b
t
a
S
1
2
1
+
=
. 
No gráfico II, por t
b
t
a
S
2
2
2
+
=
. Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.a razão 2
1
a
a
 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8
10. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é 5
x
2
75
x
y
2
+
-
=
. Se a abscissa de D é 35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
Exercício Proposto Função do 1º e 2º grau COMENTADO
1. (UERJ) O polinômio P(x) = - 2x3 – x2 + 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1).(- x2 + 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x2 + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico mostrado. Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação: - 2x3 – x2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a) 2
x
-
<
 ou 2
1
x
-
>
 b) 2
x
-
<
 ou 2
x
>
 
c) 2
x
-
<
 ou 2
x
2
1
<
<
-
 d) 2
1
x
2
-
<
<
-
 ou 2
x
>
Solução. A inequação na forma fatorada (2x + 1).(- x2 + 2) < 0 indica que o produto será negativo se os fatores possuírem sinais contrários. Isto ocorrerá nos intervalos onde os gráficos de f(x) (reta) e g(x) (parábola) estiverem em regiões opostas em relação ao eixo X. De acordo com a figura ao lado esses intervalos são observados em: 2
x
ou
2
1
x
2
>
-
<
<
-
.
2. (UERJ) A promoçãode uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00
Solução. O gráfico representa uma função afim decrescente onde são identificados os pontos (5,150) e (30,50). Utilizando a expressão f(x) = ax + b, temos:
170
20
150
)
4
.(
5
150
b
,
Logo
4
25
100
a
100
a
25
50
b
a
30
150
b
a
5
)
1
(
50
b
a
30
150
b
a
5
b
)
30
.(
a
50
b
)
5
.(
a
150
=
+
=
-
-
=
-
=
-
=
Þ
=
-
Þ
î
í
ì
-
=
-
-
=
+
Þ
î
í
ì
-
´
®
=
+
=
+
Þ
î
í
ì
+
=
+
=
.
A lei que expressa a função é f(x) = -4x + 170. Logo, f(20) = -4.(20) + 170 = -80 + 170 = 90. 
O valor da compra será de R$90,00. O custo da unidade será (90 ÷ 20) = R$4,50.
3. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. As coordenadas do ponto P são:
a) (6, 20) b) (7, 24) c) (7, 26) d) (6, 26) 
Solução. O ponto P indica a interseção entre os gráficos da parábola e da reta. Igualando as expressões das respectivas funções temos:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
=
+
=
Þ
±
=
±
=
-
±
=
Þ
=
+
-
Þ
Þ
=
+
-
Þ
=
+
-
+
-
Þ
-
=
+
-
Þ
=
1
2
6
8
x
7
2
6
8
x
2
6
8
2
36
8
2
)
7
).(
1
(
4
64
8
x
0
7
x
8
x
0
14
x
16
x
2
0
4
x
4
10
x
12
x
2
4
x
4
10
x
12
x
2
)
x
(
f
)
x
(
g
2
2
2
2
. 
Como a abscissa de P é a maior, x = 7. Sua ordenada pode ser calculada em f(x) ou g(x). Calculando em f(x), temos: f(7) = 4(7) – 4 = 24. Logo, P = (7,24).
4. (UERJ) Os gráficos 1 e 2 representam a posição S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico 1, a função horária é definida pela equação t
2
1
2
S
+
=
. Assim, a equação que define o movimento representado pelo gráfico 2 corresponde a:
a) t
2
S
+
=
 b) t
2
2
S
+
=
 c) t
3
4
2
S
+
=
 d) t
5
6
2
S
+
=
Solução. A expressão de S é da forma f(x) = ax + b, onde o coeficiente a corresponde à tangente do ângulo entre a reta que representa o gráfico e o eixo das abscissas. Temos:
3
4
4
3
1
4
1
1
1
2
1
1
2
1
2
tg
1
tg
2
2
tg
)
ii
2
1
tg
2
t
2
1
S
)
i
2
2
=
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
a
-
a
=
a
=
a
Þ
+
=
. O coeficiente b (linear) continua sendo 2, pois o gráfico 2 inicia em (0,2). Logo, t
3
4
2
S
+
=
.
5. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:
– C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, corresponde a C(p) = 0,5p + 1; em partes por milhão.
– em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1t2.
Em relação à taxa C, calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
Solução 1. Substituindo as partes por milhão em C(p), temos: 
4
,
24
5
,
0
2
,
12
p
1
2
,
13
p
5
,
0
2
,
13
1
p
5
,
0
1
p
5
,
0
)
p
(
C
2
,
13
)
p
(
C
=
=
Þ
-
=
Þ
=
+
Þ
î
í
ì
+
=
=
. 
Logo p(t) = 24,4. Substituindo na expressão p(t) = 10 + 0,1t2, temos:
12
t
144
t
1
,
0
4
,
14
t
10
4
,
24
t
1
,
0
4
,
24
t
1
,
0
10
t
1
,
0
10
)
t
(
p
4
,
24
)
t
(
p
2
2
2
2
2
=
Þ
=
Þ
=
Þ
-
=
Þ
=
+
Þ
î
í
ì
+
=
=
. 
Solução 2. Utilizando o conceito de composta de funções e resolvendo, temos: 
(
)
(
)
12
t
144
t
05
,
0
6
2
,
13
t
2
,
13
6
t
05
,
0
2
,
13
))
t
(
p
(
C
1
t
05
,
0
5
1
t
.
1
,
0
10
.
5
,
0
t
.
1
,
0
10
C
))
t
(
p
(
C
2
2
2
2
2
2
=
Þ
=
Þ
-
=
Þ
=
+
Þ
î
í
ì
=
+
+
=
+
+
=
+
=
6. (UERJ) O gráfico abaixo representa a indicação da velocidade de um carro em movimento, em função do tempo. Sabendo-se que, em t = 2s, a velocidade é de 6m/s, a ordenada do ponto A é:
a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0
Solução. Entre A e B o gráfico representa uma função afim onde são identificados os pontos (2,6) e (4,10). Utilizando a expressão f(x) = ax + b e observando que A = (0,b), temos:
)
2
,
0
(
A
2
8
10
)
2
.(
4
10
b
)
ii
2
a
4
a
2
)
1
(
6
b
a
2
10
b
a
4
b
)
2
.(
a
6
b
)
4
.(
a
10
)
i
=
Þ
=
-
=
-
=
=
Þ
=
Þ
î
í
ì
-
´
®
=
+
=
+
Þ
î
í
ì
+
=
+
=
.
A ordenada do ponto A será y = 2.
7. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. O dia da colheita de maior ganho para o fruticultor foi:
a) 11 b) 9 c) 7 d) 15
Solução. Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos:
	Dia
	Número de frutas
	Preço/fruta
	Ganho
	1
	80
	2
	80.(2)
	2
	80 + 1
	2 – 1.(0,02)
	(80 + 1).( 2 – 1.(0,02))
	3
	80 + 2
	2 – 2.(0,02)
	(80 + 2).( 2 – 2.(0,02))
	3
	80 + 3
	2 – 3.(0,02)
	(80 + 3).( 2 – 3.(0,02))
	...
	...
	...
	...
	 x + 1
	80 + x
	2 – x.(0,02)
	(80 + x).( 2 – x.(0,02))
A expressão, então do ganho é:
G(x) = (80 + x).(2 – 0,02x) = 160 – 1,6x + 2x – 0,02x2 = – 0,02x2 + 0,4x + 160. Uma função quadrática. 
O dia de maior ganho será o valor da abscissa do vértice da função: 10
)
02
,
0
(
2
)
4
,
0
(
a
2
b
x
V
=
-
-
=
-
=
. 
Como o dia de maior ganho foi o décimo após a partir da desvalorização, temos x + 1 = 10 + 1 = 11.
8. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo: c
36
x
S
2
+
-
=
. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza
 b) atrás do gol
 c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
Solução. Considerando a altura máxima no ponto (0,9) e utilizando a equação dada, temos:
9
c
c
36
0
9
c
36
x
S
2
=
Þ
+
-
=
Þ
+
-
=
. Embaixo da linha do gol temos a abscissa x = 16. A ordenada desse ponto será a altura onde a bola estará. Calculando temos:
 9
,
1
36
68
36
324
256
S
9
36
)
16
(
S
2
@
=
+
-
=
Þ
+
-
=
. 
Como essa altura é menor que 2,3 (altura do gol) a bola conseguiu entrar no gol.
9. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico I, a função horária é definida pela equação t
b
t
a
S
1
2
1
+
=
. 
No gráfico II, definida por t
b
t
a
S
2
2
2
+
=
. 
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.a razão 2
1
a
a
 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8
Solução. Os zeros das funções no gráfico I são 0 e t1. No gráfico II são 0 e t2. As abscissas dos respectivos vértices são as médias aritméticas dos zeros. Escrevendo as expressões das coordenadas dos vértices e estabelecendo as relações, temos:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
-
-
=
D
-
=
-
=
Þ
-=
Þ
=
-
Þ
+
=
+
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
-
=
-
-
=
D
-
=
-
=
Þ
-
=
Þ
=
-
Þ
+
=
+
=
h
a
4
b
a
.
4
)
0
.(
a
.
4
b
a
4
y
t
a
2
b
t
2
a
b
t
a
2
b
2
t
2
0
2
t
0
x
:
II
Gráfico
h
a
4
b
a
.
4
)
0
.(
a
.
4
b
a
4
y
t
a
b
t
a
b
2
t
a
2
b
2
t
0
2
t
0
x
:
I
Gráfico
2
2
2
2
2
2
2
V
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
V
1
2
1
1
1
2
1
V
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
V
.
Repare que as ordenadas dos vértices em ambos os gráficos são iguais a h. Igualando as expressões, temos:
(
)
(
)
4
a
a
a
4
a
1
a
a
a
4
a
a
a
t
a
2
t
a
a
a
b
b
a
a
a
b
a
b
a
4
b
a
4
b
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
=
Þ
=
Þ
Þ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¸
=
Þ
-
-
=
Þ
=
Þ
=
Þ
-
=
-
.
OBS: A divisão dos membros por ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
1
a
a
 foi possível, pois a1 e a2 são ambos diferentes de zero (coeficientes do termo quadrático da parábola).
10. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é 5
x
2
75
x
y
2
+
-
=
. Se a abscissa de D é 35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
Solução. Encontrando o xV na equação informada, temos: (
)
15
2
75
.
5
2
75
1
2
5
/
2
x
V
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
-
=
. 
Essa abscissa xV corresponde à parábola maior e está no ponto médio de d(0, A). Logo, A = 30.
Como (35 – A) = (B – 35) ( (35 – 30) = (B – 35) (5 = B – 35 ( B = 40. Logo, a distância de 0 a 40 = 40.
1)Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0.2–0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
a) maior que 46000
b) igual a 46500
c) entre 40000 e 46000
d) entre 38000 e 44000
e) menor que 42000
2) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de cân​cer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componen​tes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tra​tamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses. 
b) 4 doses. 
c) 6 doses. 
d) 8 doses. 
e) 10 doses. 
3) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início? 
a) 5 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10
Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado). 
Qual a relação entre E1 e E2?
a) E1 = E2 + 2 
b) B E1 = 102 • E2 
c) C E1 = 103 • E2 
d) D E1 = 109/7 • E2 
e) E E1 = 9/7 • E2
Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensi​dade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação: 
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: 
a) 0,64 
b) 1,8 
c) 2,0 
d) 3,2
Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. 
✓ A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. 
✓ O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: 
T(x) = T0(0,5)0,1x
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. 
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
a) 30 
b) 32 
c) 34 
d) 36 
propostas exponencial e logaritmos 
PROPOSTAS 
1) (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex. 
Utilizando f(d) = 100-100.e-0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
2) (UERJ) Na Tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as colunas verticais, aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de seus números atômicos. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, representados por x, y e z. Na equação 2x + 2y + 2z = 7×164, y é o número atômico de um elemento químico da família denominada:
(A) alcalinos (B) halogênios (C) calcogênios (D) gases nobres
3) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%.
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24
4) (UFCE) Se 
a
875
log
7
=
, então 
245
log
35
é igual a:
a) 
7
a
2
a
+
+
 b) 
5
a
2
a
+
+
 c) 
2
a
5
a
+
+
 d) 
2
a
7
a
+
+
 e) 
7
a
5
a
+
+
5) (FUVEST) Se log8 = a, então log5 vale:
a) 
3
a
 b) 
1
a
5
-
 c) 
3
a
2
 d) 
3
a
1
+
 e) 
3
a
1
-
6) (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação 
40
h
0
8
,
0
.
I
I
=
na qual I é a intensidade da luzem uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a:
(A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2
7) (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados log3 = 0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67
8) O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos. O tempo necessário para que o volume se reduza à quarta parte é: (Se necessário use log2 = 03, e log3 = 0,48)
(A) 4 horas (B) 5 horas (C) 6 horas (D) 8 horas (E)12 horas e 30 minutos.
geometria
01 A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando afigura e admitindo que as linhas retas R,S e T sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede:
a) 33m
b) 38m
c) 43m
d) 48m 
e) 53m 
02 - Três terrenos tem frente para a rua “A” e para a rua “”B” como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para rua “B” de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?
a) 20 ,30 ,50
b) 40, 20, 60
c) 50, 30, 10
d) 40, 10, 60
e) 80, 60, 40
03 - Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que os muros têm altura de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? 
a) 1,50m 
 d) 2,25m
b) 1,75m
 e) 2,50m
c) 2,00m
 
04 - O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? 
a) 30% 
b) 36%
c) 40%
d) 45%
e) 50 % 
05- De um pedaço quadrado de metal corta–se uma peça circular de diâmetro máximo e desta corta–se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçado é: 
a) 1/4 da área do quadrado original. 
b) 1/2 da área do quadrado original. 
c) 1/2 da área da parte circular. 
d) 1/4 da área da parte circular. 
e) n.d.a.
06 - O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4 km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
07 - Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que é vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento de BP é:
a) 0,300 
d) 0,450
b) 0,325 
e) 0,500
c) 0,375
08 - Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por
a) S = 3s.
b) S = 4s.
c) S = 6s.
d) S = 8s.
e) S = 9s.
9 - Um colégio deseja construir uma pista de atletismo com a forma da figura a seguir, sendo AB e CD semicircunferências. Considere  = 3,14. 
Pode-se afirmar que:
I) o contorno externo da pista mede 388,4 m.
II) o contorno interno da pista mede 325,6 m.
III) a área total da pista mede 3.570 m2.
Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmações I e II estão corretas.
b) Somente as afirmações I e III estão corretas.
c) Somente as afirmações II e III estão corretas.
d) As afirmações I, II e III estão corretas.
e) As afirmações I, II e III estão incorretas.
10 -A construção da cobertura de um palanque usado na campanha política, para o 1º turno das eleições passadas, foi realizada conforme a figura. Para fixação da lona sobre a estrutura de anéis, foram usados rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16 no segundo, 64 no terceiro e assim sucessivamente. Supondo que todos os anéis da cobertura do palanque num mesmo plano formem um gráfico de oito setores iguais, a razão entre a área da região hachurada e o comprimento da circunferência externa do anel externo é
a) o dobro do raio.
b) a quarta parte do raio.
c) a metade do raio.
d) o triplo do raio.
e) a terça parte do raio.
12 - Carla está projetando uma pequena barragem (B) no rio que passa pela sua propriedade rural. O 1estudo do projeto requer que seja determinada a vazão de cheia da bacia hidrográfica da qual o rio faz parte. A fórmula que faz esse cálculo, precisa, entre outros dados, da medida da área de drenagem da bacia do rio em estudo.
A linha tracejada da figura define a área de drenagem da bacia do rio. Pode-se afirmar que toda a água precipitada nessa área, que não evaporar ou não se infiltrar mais profundamente, escoará através da seção B.
(Adaptado de: Guia Prático Para Projetos de Pequenas Obras Hidráulicas - DAEE/SP)
Para calcular a medida da área de drenagem, Carla copiou o mapa da bacia hidrográfica em um papel quadriculado e em seguida estimou quantos quadradinhos estão contidos nela: além dos quadradinhos inteiros do interior da região, considerou, em torno da borda, quadradinhos formados por meio de compensações.
Se na figura a área de cada quadradinho equivale a 0,05 km2, a medida da área de drenagem é, em quilômetros quadrados, aproximadamente:
a) 0,5.
b) 1,0.
c) 1,5.
d) 2,0.
e) 2,5.
12 - Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. As dimensões são: .
m
1
DE
CE
DC
,
8
,
1
CB
,
m
2
,
1
AC
=
=
=
=
=
 Quando a extremidade B da haste toca no chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a) m
3
b) m
3
3
c) m
5
3
6
d) m
6
3
5
e) 2m
2
14) De acordo com a figura abaixo a distância entre a porta do avião e o solo cale em metros 
a) 8.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
Exercícios propostos 
1. (ENEM) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B. Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:
2. (ENEM) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior. Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a:
a) cm
12
 b) cm
2
12
 c) cm
2
24
 d) (
)
cm
2
1
6
+
 e) (
)
cm
2
1
12
+
3. (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulosretângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a:
a) 4cm2 b) 8cm2 c) 12cm2 d) 14cm2 e) 16cm2
4. (ENEM) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira. O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas. Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é,quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde 3?
a) 1,2 m b) 2,4 m c) 7,2 m d) 14,4 m e) 48,0 m
5. (ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5cmx 15,5cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere a confecção mostrada na figura de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas). Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de:
a) 84 cm x 62 cm b) 84 cm x 124 cm c) 42 cm x 31 cm 
d) 42 cm x 62 cm e) 21 cm x 31 cm
6. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. 
d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas.
7. (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
8. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. 
Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:
a) triângulo
b) quadrado
c) pentágono
d) hexágono
e) eneágono
9. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: 
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.
10. (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada:
a) no centro do quadrado. 
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
11. (ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:
12. (ENEM) Na figura, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a
a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m
d) 2,1 m e) 2,2 m
13. (ENEM) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. Área do setor circular: ASC = a
a
,
2
R
2
 em radianos. A área da região S, em unidade de área, é igual a:
a) 2
R
3
3
R
2
2
2
-
p
 b) 12
R
)
3
3
2
(
2
-
p
 c) 8
R
12
R
2
2
-
p
 d) 2
R
2
p
 e) 3
R
3
p
14. (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil e comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triangulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triangulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calcada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde:
a) a mesma área do triangulo AMC. b) a mesma área do triangulo BNC.
c) a metade da área formada pelo triangulo ABC. d) ao dobro da área do triangulo MNC.
e) ao triplo da área do triangulo MNC.
15. (ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 
Exercícios propostos Comentado 
1. (ENEM) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B. Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O menor comprimento queesse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:
Solução. Dentre as possíveis ligações a que representa uma linha reta, que na geometria euclidiana é a menor distância entre dois pontos, é a opção E.
2. (ENEM) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior. Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a:
a) cm
12
 b) cm
2
12
 c) cm
2
24
 d) (
)
cm
2
1
6
+
 e) (
)
cm
2
1
12
+
Solução. Unindo os centros dos cilindros menores de raio r = 6cm temos um quadrado de lado 12cm e diagonal d. O raio do cilindro maior é R = 6 + d/2. 
Calculando, temos: (
)
cm
2
1
6
2
6
6
R
2
6
2
d
2
12
2
L
d
+
=
+
=
=
Þ
=
=
.
3. (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a:
a) 4cm2 b) 8cm2 c) 12cm2 d) 14cm2 e) 16cm2
Solução. A casinha é feita com as mesmas peças da figura 1 e da figura 2. Logo, as áreas são as mesmas. O lado do quadrado construído na Figura 1 é a hipotenusa a do triângulo retângulo isósceles maior. O lado AB do hexágono da figura 2 mede 2cm e é formado por um dos triângulos retângulos isósceles menores com catetos de mesma medida do quadrado. Essa medida é a mesma do cateto do triângulo retângulo maior. Temos:
2
2
2
2
2
2
cm
8
a
)
a
sinh
ca
(
Área
)
quadrado
(
Área
cm
8
4
4
2
2
a
=
=
=
=
+
=
+
=
.
4. (ENEM) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira. O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas. Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é,quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde 3?
a) 1,2 m b) 2,4 m c) 7,2 m d) 14,4 m e) 48,0 m
Solução. Cada volta dada pela catraca de 30cm corresponde a 3 voltas da coroa da roda traseira, pois possui diâmetro 3 vezes menor (10cm). Logo, a roda traseira (raio de 40cm) também dará 3 voltas. Uma volta dessa roda corresponde a C = 2R = 2(3)(40cm) = 240cm = 2,4m. Então a distância percorrida por 3 voltas será de 3.(2,4m) = 7,2m.
5. (ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5cmx 15,5cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere a confecção mostrada na figura de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas). Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de:
a) 84 cm x 62 cm b) 84 cm x 124 cm c) 42 cm x 31 cm 
d) 42 cm x 62 cm e) 21 cm x 31 cm
Solução. Essa forma de divisão sempre gera um número de páginas representado por potências de 2. Como queremos 32 páginas, implica em 16 folhas. De acordo com as orientações de dobras a divisão da folha será em 4 x 4 retângulos, com a altura maior que a largura. 
Logo, as dimensões serão: (10,5 x 4) por (15,5 x 4) por = 42cm x 62cm.
OBS: Repare que as divisões da folha possuem mesma área, mas a de menor perímetro foi 4 x 4.
6. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. 
d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas.
Solução. Como 1 volta corresponde a 360º, 900º corresponderá a 900º ÷ 360º = 2 voltas e 180º. Logo, 900º = 2 voltas e meia.
7. (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
Solução. As chapas possuem área igual a 4m2. Os raios das tampas grande, média e pequena são, respectivamente, 1m, 0,5m e 0,25m. Calculando as sobras em cada produção, temos:
(
)
î
í
ì
p
-
p
=
p
2
2
2
m
4
:
sobra
m
)
1
(
:
área
:
)
grande
(
Tampa
. [
]
[
]
(
)
î
í
ì
p
-
p
=
p
=
p
2
2
2
m
4
:
sobra
m
25
,
0
.
4
)
5
,
0
(
.
4
:
área
:
)
média
(
Tampas
4
.
[
]
[
]
(
)
î
í
ì
p
-
p
=
p
=
p
2
2
2
m
4
:
sobra
m
0625
,
0
.
16
)
25
,
0
(
.
16
:
área
:
)
pequenas
(
Tampas
16
.
As sobras são as mesmas nas três produções.
8. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. 
Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:
a) triângulo
b) quadrado
c) pentágono
d) hexágono
e) eneágono
Solução. O ângulo interno de 135º do octógono precisa ser adicionado a outro diferente de forma que a soma dê 360º. Como 360º - 135º = 315º seriam necessário dois polígonos regulares iguais com ângulo interno medindo a metade de 315º. Como não é possível, devemos utilizar então 2 octógonos. A soma totaliza 2.(135º) = 270º. Logo, será utilizado um polígono regular de ângulo interno medindo 90º: o quadrado. 
9. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: 
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas.