0. Teoria - Logaritmo

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LOGARITMO 
 
Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com 
1a , chama-se logaritmo de b na base a, o expoente 
que se deve dar à base a de modo que a potência 
obtida seja igual a b. 
 
 Em símbolos: se a, b  IR, 0 < a  1 e b > 0, então 
baxb xa ==log 
 
 Em xba =log , dizemos: 
a é a base do logaritmo, b é o logaritmando, x é o 
logaritmo 
 
 
Consequências da definição 
 
Decorrem da definição de logaritmos as seguintes 
propriedades para 0 < a  1, b > 0. 
 
1ª) 01log =a 
 
2ª) 1log =aa 
 
3ª) log ma a m= 
 
4ª) ba
ba =
log
 
 
5ª) cbcb aa == loglog 
 
 
Sistemas de logaritmos 
 
 Seja a um número positivo e diferente de 1. 
Chamamos sistemas de logaritmos de base a o 
conjunto dos logaritmos na base a de todos os números 
reais positivos. 
 Dessa forma, existem infinitos sistemas de 
logaritmos. No entanto, pela simplicidade e pelas 
aplicações práticas, dois são os sistemas de logaritmos 
mais usados: 
 
a) Sistema de base 10: também chamado sistema de 
logaritmos decimais. 
 Nesse sistema podemos dispensar a indicação da 
base 10. De modo que ao escrever xlog devemos 
entender x10log . 
 Os logaritmos decimais, pela facilidade de seu uso, 
são especialmente utilizados na resolução de cálculos 
numéricos. 
 
b) Sistema de base e : também chamado sistema de 
logaritmos neperianos ou logaritmos naturais. Os 
logaritmos naturais também possuem representação 
própria. Assim, o logaritmo natural de x pode ser 
indicado por uma das seguintes formas: xelog , Lnx
, xln ou Lx 
 Obs.: O número e é irracional. Um valor aproximado 
dessa importante constante é .597182818284,2=e 
 Usualmente, o número e é apresentado como o 
limite da expressão
n
n






+
1
1 quando n tende ao infinito. 
 
 
Propriedades dos logaritmos 
 
1ª) Logaritmo do Produto 
 
 Se 0 < a  1, b > 0 e c > 0, então 
cbcb aaa loglog).(log += 
 
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para o caso 
do logaritmo do produto de n (n 2) fatores reais e 
positivos, isto é: 
Se 0 < a  1 e *
321 ,...,,, + IRbbbb n , então 
naaaana bbbbbbbb log...logloglog).......(log 321321 ++++=
. 
 
 
2ª) Logaritmo do Quociente 
 
Se 0 < a  1, b > 0 e c > 0, então 
cb
c
b
aaa logloglog −=





 
 
 
3ª) Logaritmo da Potência 
 
Se 0 < a  1, b > 0 e n IR, então bnb a
n
a log.log = 
 
Mudança de Base 
 
Se a, b e c são números reais positivos e a e c 
diferentes de um, então se tem: 
a
b
b
c
c
a
log
log
log = 
 
Consequências: 
 
a) Se a e b são números reais positivos e diferentes de 
um, então se tem: 
a
b
b
a
log
1
log = 
 
 
b) Se a e b são números reais positivos com a diferente 
de um e m é um número real não-nulo, então se tem: 
m
b
b a
am
log
log = 
 
 
Função Logarítmica 
 
Definição: Dado um número real a (0 < a  1) 
chamamos função logarítmica de base a a função f 
de 
*
+IR em IR que associa a cada x o número .log xa 
( xxf alog)( = ). 
 
Resumindo o estudo da função xy alog= , temos: 
 
1) O domínio da função é 
*
+IR , ou seja, somente os 
números positivos possuem logaritmo real. 
2) O conjunto imagem da função é IR , isto é, qualquer 
número real é logaritmo de algum número real positivo, 
em certa base. 
3) O gráfico da função fica todo à direita do eixo y, e 
corta o eixo x no ponto de abscissa 1 ( 01log =a ). 
4) A função é bijetora e, portanto possui inversa (
xay = ). 
5) No caso de a > 1 a função é crescente (
2121 loglog xxxx aa  ). 
6) No caso de 0 < a < 1 a função é decrescente (
2121 loglog xxxx aa  ).