ESA -Logaritmos - Matemática Passo a Passo

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Folha de Matemática 
Teoria/Exercícios 
Prof. Tiago Machado 
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Matemática Passo a Passo! • pág. 1 
 Definição de logaritmo 
Consideremos um número real positivo N e ponhamos ax = 
N. O valor único, real, do expoente x que verifica a relação 
anterior chama-se logaritmo do número N, na base a. 
x = loga N (N > 0, a > 0 e a  1) 
 
As restrições impostas à base do logaritmo (a > 0 e a  1) 
provêm das condições sobre a função exponencial e garan-
tem que o logaritmo exista e seja único. 
A restrição de N > 0 é porque ax > 0 para todo valor de x  
R. Dessa forma, temos também uma condição de existência 
para o logaritmando, que é N > 0. 
Exemplos: 
log5 625 = 4, pois 54 = 625 
log10 0,01 = − 2, pois 10−2 = 0,01 
log3 1 = 0, pois 30 = 1 
 
Função logarítmica 
Consideremos a função exponencial x = ay (a  0, a  1). O 
expoente y é um número relativo arbitrário, porém x será 
sempre positivo. Aplicando a definição: 
y = loga x 
 
 
Sistemas de logaritmos 
O conjunto dos logaritmos de determinados números, to-
mados em relação à certa base, denomina-se um sistema de 
logaritmos. 
 
 
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da-primeira-tabua-de.html 
Entre a infinidade de valores possíveis para a base 
a, a Matemática só emprega, usualmente, dois: 
i. a = 10, logaritmos-vulgares ou logaritmos 
decimais ou, ainda, logaritmos de Briggs. A 
equação exponencial correspondente é y = 
10x. Denotaremos os logaritmos decimais 
pela notação log, simplesmente. Então: 
x = log10 y = log y. 
 
ii. a = e, sendo e um número irracional que vale 
aproximadamente e = 2,718281828459045... e cor-
responde ao sistema neperiano (sistema natural, 
sistema hiperbólico) exclusivamente empregado 
nas investigações teóricas. 
A equação exponencial correspondente será y = ex. 
Denotam-se os logaritmos neperianos, corrente-
mente, pela notação ln. 
Assim: 
x = loge y = ln y. 
 
Exercícios resolvidas 
1) Calcule pela definição de logaritmo. 
a) log2 128 
b) log8 16 
c) log25 0,008 
d) log3 243 
e) log10 0,0001 
f) log0,5 8 
g) log0,2 0,0016 
h) log11 1331 
 
a) log2 128 = x 
 2x = 128 
 2x = 27 
Logo: x = 7 
b) log8 16 = x 
 8x = 16 
 (23)x = 24 
 23x = 24 
Logo: 
 3x = 4 → x = 4/3 
 
c) log25 0,008 = x 
 25x = 0,008 
 25x = 8 . 
 1 000 
 (52)x = 1 . 
 125 
 52x = 5−3 
Logo: 
2x = − 3 
x = _ 3 . 
 2 
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 d) log3 243 = x 
 3x = 243 
 3x = 35 
Logo: 
x = 5 
e) log10 0,0001 = x 
 10x = 0,0001 
 10x = 10−4 
Logo: 
x = − 4 
 
f) log0,5 8 = x 
 0,5x = 8 
 (1/2)x = 23 
 (2−1)x = 23 
 2−x = 23 
Logo: 
− x = 3 
 x = − 3 
 
g) log0,2 0,0016 = x 
 (0,2)x = 0,0016 
 2 x = 16 . 
 10 10 000 
 2 x = 2 4. 
 10 10 
Logo: 
x = 4 
 
 
h) log11 1331 = x 
 11x = 1331 
 11x = 113 
Logo: 
x = 3 
 
2) Determine x para que estejam definidos: 
a) log2 (x – 2) 
b) logx-2 3 
c) logx-2 (4 – x) 
a) Por definição o logaritmando deve ser positivo, portanto: 
 x − 2 > 0 
 x > 2 
 
b) Por definição a base deve ser positiva e diferente de 1, 
portanto: 
 x − 2 > 0 
 x > 2 
 e 
 x − 2  1 
 x  1 + 2 
 x  3 
c) Por definição o logaritmando e a base devem ser 
positivos e, ainda, a base deve ser diferente de 1, 
portanto: 
 4 − x > 0 
 − x > − 4 
 x < 4 
 x − 2 > 0 
 x > 2 
 e 
 x − 2  1 
 x  1 + 2 
 x  3 
Logo: 
2 < x < 4 e x  3 
 
Propriedades gerais dos logaritmos 
Os logaritmos considerados em uma base qualquer 
a, gozam de propriedades gerais: 
I) Em qualquer sistema de logaritmos, o loga-
ritmo da própria base é igual a 1. 
loga a = 1 
Exemplos: 
log2 2 = 1 
log35 35 = 1 
 
II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo 
de 1 é zero. 
loga 1 = 0 
Exemplos: 
log5 1 = 0 
log13 1 = 0 
log0,6 1 = 0 
 
III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logarit-
mos positivos, já os números menores que 1 têm 
logaritmos negativos. 
Exemplos: 
log3 10  2,0959 
log3 17  2,5789 
log3 0,5  − 0,6309 
log3 0,7  − 0,32466 
 
V) Os números negativos não têm logaritmos reais. 
Exemplos: 
log5 (− 8) = Ǝ 
log3 (− 11) = Ǝ 
log0,8 (− 1) = Ǝ 
log0,2 (− 4) = Ǝ 
 
IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm 
logaritmos negativos, enquanto os números meno-
res que 1 possuem logaritmos positivos. 
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log0,5 2  − 1 
log0,5 6  − 2,58496 
log0,5 0,3  1,73697 
log0,5 0,01  6,64386 
 
VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos 
variam no mesmo sentido dos números. Se N1 > N2, tere-
mos: 
loga N1 > loga N2 
Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sen-
tido contrário. Quando N1 < N2, teremos: 
loga N1 > loga N2 
Exemplos: 
log7 5 > log7 4 
log0,6 5 < log0,6 4 
 
Propriedades operatórias 
Os logaritmos possuem propriedades que permitem simpli-
ficar o cálculo de expressões numéricas. 
I) O logaritmo de um produto de n fatores é igual à 
soma dos logaritmos dos fatores. 
loga (y1y2y3...yn) = loga y1 + loga y2 + loga y3 + ... + loga yn 
Exemplos: 
log2 (2 ∙ 5 ∙ 3) = log2 2 + log2 5 + log2 3 
log0,4 (11 ∙ 9 ∙ 7) = log0,4 11 + log0,4 9 + log0,4 7 
 
II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o 
logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. 
loga (y2/y1) = loga y2 – loga y1 
Exemplos: 
Log7 (13/5) = log7 13 – log7 5 
Log0,1 (4/9) = log0,1 4 – log0,1 9 
 
III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do ex-
poente da potência pelo logaritmo da base da potência. 
loga yn = n ∙ loga y 
Exemplos: 
log8 34 = 4 ∙ log8 3 
log0,9 73 = 3 ∙ log0,9 7 
 
IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do loga-
ritmo do radicando pelo índice do radical. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
Característica e mantissa 
Observando um sistema de logaritmos de base 
qualquer a, vemos que só as potências inteiras da 
base têm logaritmos inteiros: 
loga an = n 
 
Exemplos: 
log2 25 = 5 
log7 70,3 = 0,3 
log0,60,64 = 4 
 
Qualquer número que não seja potência inteira da 
base terá seu logaritmo constando de uma parte in-
teira denominada característica do logaritmo mais 
uma parte fracionária ou decimal (menor que a uni-
dade), chamada mantissa do logaritmo. 
loga N = característica + mantissa 
 
Logaritmos decimais 
Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x 
que define os logaritmos decimais ou logaritmos 
vulgares. Estes têm propriedades notáveis que os 
tornam de emprego obrigatório no cálculo numé-
rico. 
 
Logaritmos decimais 
I) O logaritmo de qualquer potência de 10 é 
o seu próprio expoente. 
Exemplos: 
log 103 = 3 
log 107 = 7 
log 10-4 = − 4 
 
II) A característica do logaritmo de um número N > 
1, é o inteiro que representa o número de algaris-
mos da parte inteira do número dado, diminuído 
de uma unidade. 
Exemplos: 
log 20,8  1,318 
 2 algarismos – 1 = 1 
log 1024,96  3,0107 
 4 algarismos – 1 = 3 
 
III) A característica do logaritmo decimal de um nú-
mero positivo menor que 1 é negativa e coincide 
com o número de zeros que precedem seu pri-
meiro algarismo significativo. 
Exemplos: 
log 0,8  − 0,09691 
log 0,03  − 1,52288 
log 0,005  − 2,30103 
 
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 IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por 
uma potência de expoente inteiro de 10, seus logaritmos 
têm mantissas iguais. 
Exemplos: 
log 3  0,477 
log 30 = log 3 ∙ 10  1,477 
log 300 = log 3 ∙ 102  2,477 
 
Mudança de base 
Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mu-
dança de base, que permite o cálculo do logaritmo em qual-
quer base a partir dos logaritmos decimais. 
A mudança de base é dada pela fórmula: 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Calcule pela definição de logaritmo. 
a) log2 128 
b) log8 16 
c) log25 0,008 
a) Fazendo log2 128 = x 
Por definição, teremos: 
2x = 128 
2x = 27 
Logo: 
 x = 7 
 
b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos: 
 8x = 16 
(23)x = 24 
23x = 24 
Assim: 
3x = 4 
Portanto: 
x = 4 . 
 3 
 
c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos: 
25x = 0,008 
25x = 8 . 
 1000 
25x = 1 . 
 125 
(52)x = 5−3 
52x = 5−3 
Logo: 
2x = − 3 → x = − 3 . 
 2 
2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facili-
tar alguns cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule: 
a) log 200 
b) log 25 
 8 
a) log 200 = log (2 ∙ 100) = log 2 + log 100 = log 2 + 
log 102 
= 0,301 + 2 = 2,301 
b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 – log 
25 
 8 32 
= log 102 – 5 ∙ log 2 = 2 – 5 ∙ 0,301 = 2 – 1,505 = 
0,495 
 
Função logarítmica 
Características e Ideias iniciais 
Seja a função exponencial y = ax , com “a” > 0 e “a” 
 1, a sua inversa chama-se função logarítmica e in-
dica-se y = loga x 
 
Alguns exemplos de funções logarítmicas: 
• f(x) = log5 x 
• f(x) = log3 M 
• y = log 7 
• logE = 1,44 + 1,5 M 
 
A função definida pela lei de formação f(x) = logax, 
com a ≠ 1 e a > 0, denominada função logarítmica 
de base “a”, e da definição decorre que, por exem-
plo: 
 
• A função f(x) = log3x é considerada uma 
função logarítmica, pois a base “a”  1 e 
“a” > 0. 
• Já a função f(x) = log1x não é considerada 
uma função logarítmica, pois a base “a” é 
igual a 1 e por definição precisaríamos ter 
“a”  1. 
• A função f(x) = log-5x também não é consi-
derada uma função logarítmica, pois a base 
“a” = –5 e por definição teríamos que ter 
“a” > 0. 
 
Vejamos alguns exercícios que envolvem funções 
logarítmicas: 
 
Exemplo 1 
Sendo f(x) = log 3 x, determine f(81) 
Solução 
f(81) = log 3 81 
Vejamos que log 3 81  3k = 81 
3k = 81 
3k = 34 
k = 4, assim log 3 81 = 4 
Portanto, f(81) = 4 
 
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 Exemplo 2 
Sendo f(x) = 2log 4 x², determine f(6) 
Solução 
f(6) = 2log 6 6² 
Pelas propriedades dos logaritmos temos que 2. log 6 6² 
f(6) = 2 . 2 log 6 6 
Portanto, f(6) = 4 
 
Funções logarítmicas e suas conexões 
A aplicabilidade da teoria dos logaritmos e suas caracterís-
ticas em outras áreas do conhecimentos, visa agilizar cálcu-
los, bem como ampliar conhecimentos em assuntos especí-
ficos, vejam a seguir algumas conexões desse assunto da 
matemática. 
 
Contextualizado resolvido 1 
Um capital C é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros 
capitalizados anualmente. Considerando que não foram 
feitas novas aplicações ou retiradas, em quantos anos o ca-
pital acumulado será o dobro do capital inicial? Considere 
M = C . (1 + i)t , em que M é o montante, C é o capital ini-
cial, i é a taxa de juros e t é o tempo. 
Use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033). 
(A) Entre 8 e 9 anos (B) Entre 9 e 10 anos (C) Entre 10 e 
11 anos (D) Entre 11 e 12 anos 
 
Resolução 
C . (1 + i)t = M 
C . (1 + i)t = 2C 
(1 + i)t = 2 
(1 + 0,08)t = 2 
1,08t = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contextualizado resolvido 2 
A figura a seguir representa o gráfico de uma função loga-
rítmica. Se observarmos bem este gráfico veremos que so-
bre o eixo x há três regiões ou intervalos diferentes: 
 
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/dis-
play/0,5912,POR-20-86-936-5738,00.html 
 
No intervalo ]–∞, 0] a função logarítmica não está 
definida, ou seja, não existe logaritmos de núme-
ros reais negativos. 
• No Intervalo ]0, 1[ o valor da função logarítmica 
é negativa: 
• No Intervalo [1, +∞[ o valor da função logarít-
mica é positiva. 
 
A partir do gráfico, e de forma generalizada para 
qualquer função logarítmica, podemos deduzir 
também as seguintes características: 
 
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/dis-
play/0,5912,POR-20-86-936-5738,00.html 
 
O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo 
ponto (1,0). 
• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos 
dos quadrantes II e III. 
• A função logb x é contínua, seu domínio é IR+* , 
portanto, todos os números reais positivos. 
• Seu conjunto de imagens é IR, isto é, todos os 
números reais. 
• O logaritmo de 1 na base b é sempre 0. 
 
I) Construindo o gráfico de f: IR+* → IR, com f(x) = 
log2 x, obtemos: 
 
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Imagem: Função crescente 
Disponível em: http://www.profcardy.com/cardicas/gra-
fico-de-logaritmo.php 
 
• Para b > 1, f(x) = logb x , f é crescente. 
 
Como a base é 2, maior que 1, então f é crescente. 
 
II) Como a base é 2, maior que 1, então f é crescente. 
Construindo o gráfico de f: IR+* → IR, com f(x) = log1/2 x, ob-
temos: 
 
 
Imagem: Função decrescente 
Disponível em: http://www.profcardy.com/cardicas/gra-
fico-de-logaritmo.php 
 
Para 0 < b < 1, f(x) = logb x , f é decrescente. 
Como a base é 1/2, um número entre 0 e 1, então f 
é decrescente. 
 
Exercício Resolvido 1 
Verifique se a função f(x) = log5 (3x – 6) é cres-
cente ou decrescente e determine o seu domínio 
 
Solução 
Como a base a = 5 > 1, a funçãoé crescente 
Existe loga b, se e somente se “a” e “b” > 0 e se a  
1, como a base a = 5, satisfaz a condição de exis-
tência, basta agora verificar se o logaritmando b 
também satisfaz. 
3x – 6 > 0  3x > 6  x > 2 
Logo, D (f) = {x  IR | x > 2} 
 
Da função logarítmica à função exponencial 
f(x) = 2x 
 
Imagem: Gráfico de função exponencial 
Fonte: do autor 
 
A função f(x) = 2x é bijetora, pois: 
a) é injetora, ou seja: elementos distintos pos-
suem imagens distintas. 
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide 
com o seu contradomínio. 
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, 
portanto, admite uma função inversa, como vere-
mos a seguir 
 
Vamos calcular a função inversa de f(x) = ax 
Vamos fazer f(x) = y  y = ax 
Invertendo x e y, temos x = ay 
Aplicando loga aos dois membros da equação, loga 
x = loga ay 
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 y = loga x 
Assim, a inversa da função logarítmica f(x) = loga x é a fun-
ção exponencial f-1(x) = ax 
 
Gráfico da inversa da função logarítmica 
f(x) = 2x e g(x) = loga x 
 
Imagem: Inversa da função logarítmica 
Fonte: do autor 
 
A figura representa f(x) como inversa de g(x) e vice-versa. 
Note na figura a simetria dos gráficos em relação à reta “r” 
que é a bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
Exercício resolvido 2 
Determine a inversa f-1 da função f(x) = log3 (4x – 1). 
Resolução 
Vamos fazer f(x) = y  y = log3 (4x – 1) 
Invertendo x e y, temos x = log3 (4y – 1) 
Fazendo log3 (4y – 1) = x e aplicando a definição de loga-
ritmo, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 2 
A altura média do tronco de certa espécie de ár-
vore evolui segundo o modelo matemático h(t) = 
1,5 + log3 (t + 1), com h(t) em metros e t em anos. 
Se uma dessas árvores foi cortada quando seu 
troco atingiu 3,5 metros de altura, o tempo (em 
anos) transcorrido da plantação ao corte foi: 
(a) 9 (B) 8 (C) 5 (D) 4 (E) 2 
 
Resolução 
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1) 
3,5 – 1,5 = log3 (t + 1) 
2 = log3 (t + 1) 
Aplicando a definição de logaritmo temos: 
32 = t + 1 
9 = t + 1 
t + 1 = 9 
t = 8 horas 
 
Exercícios 
(Gabarito Resolvido no Final da Folhinha) 
 
1. (Espcex (Aman) 2018) A curva do gráfico abaixo re-
presenta a função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 
 
 
 
A área do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 6 𝑙𝑜𝑔4
3
2
. 
e) 𝑙𝑜𝑔4 6. 
 
2. (Pucsp 2018) As funções 𝑓( 𝑥) =
3
2
+ 𝑙𝑜𝑔10( 𝑥 −1) e 
𝑔(𝑥) = 𝑘⋅2(−𝑥+1), com 𝑘 um número real, se intersec-
tam no ponto 𝑃 = (2, 
3
2
). O valor de 𝑔(𝑓( 11)) é 
a) 
3√2
4
. 
b) 
3√3
4
. 
c) 
2√3
3
. 
d) 
4√2
3
. 
 
 
 
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Teoria/Exercícios 
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Matemática Passo a Passo! • pág. 8 
 3. (Mackenzie 2018) O valor do determinante 
||
0 𝑙𝑜𝑔3 3 𝑙𝑜𝑔1
3
1
3
1 𝑙𝑜𝑔3 27 𝑙𝑜𝑔1
3
27
0 𝑙𝑜𝑔3 81 𝑙𝑜𝑔3 243
|| é 
a) 0 
b) 1 
c) −1 
d) 3 
e) 
1
3
 
 
4. (Espcex (Aman) 2018) Resolvendo a equação 𝑙𝑜𝑔3( 𝑥
2 − 2𝑥 −
3) + 𝑙𝑜𝑔1
3
( 𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3( 𝑥 + 1), obtém-se 
a) 𝑆 = {−1}. 
b) 𝑆 = {4,5}. 
c) 𝑆 = {6}. 
d) 𝑆 = {∅}. 
e) 𝑆 = {4}. 
 
5. (Ufrgs 2018) Se 𝑙𝑜𝑔3   𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9   𝑥 = 1, então o valor de 𝑥 é 
a) √2
3
. 
b) √2. 
c) √3
3
. 
d) √3. 
e) √9
3
. 
 
6. (Udesc 2018) O valor de 𝑥 ⋅ 𝑦 com 𝑥,  𝑦 ∈ ℤ, sabendo que 
𝑙𝑜𝑔2   (𝑥) + 𝑙𝑜𝑔4   (𝑦) = 2 e 2
𝑥+𝑦 = 32, é igual a: 
a) 4 
b) 8 
c) 2 
d) 6 
e) 10 
 
7. (Espcex (Aman) 2017) O número 𝑁 de bactérias de uma cultura 
é dado em função do tempo 𝑡 (em minutos), pela fórmula 𝑁(𝑡) =
(2,5)1,2𝑡 . Considere 𝑙𝑜𝑔10 2 = 0,3, o tempo (em minutos) neces-
sário para que a cultura tenha 1084 bactérias é 
a) 120 
b) 150 
c) 175 
d) 185 
e) 205 
 
8. (Ufjf-pism 1 2017) Sejam 𝑎,  𝑏,  𝑐 e 𝑑 números reais positivos, 
tais que 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 5, 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 = 2 e 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑑 = 3. O valor da expres-
são 𝑙𝑜𝑔𝑐
𝑎2𝑏5
𝑑3
 é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
9. (Ufrgs 2017) Se 𝑙𝑜𝑔5   𝑥 = 2 e 𝑙𝑜𝑔10   𝑦 = 4, então 𝑙𝑜𝑔20  
𝑦
𝑥
 é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
10. (Ueg 2013) O gráfico da função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) é re-
presentado por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
11. (Uepb 2012) A equação 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2(𝑚 + 3) =
0 não admite solução real quando 
a) 𝑚 ≤ 12 
b) 𝑚 < 13 
c) 𝑚 < 10 
d) 𝑚 < 5 
e) 𝑚 > 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Passo a Passo! • pág. 9 
 Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Sendo S a área do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 
𝑆 = (8 − 2) ⋅ (𝑦𝐶 − 𝑦𝐷) 
 
𝐶 é um ponto do gráfico da função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥, logo, 
𝑦𝐶 = 𝑙𝑜𝑔4 8 
𝑦𝐶 = 𝑙𝑜𝑔22 2
3 
𝑦𝐶 = 3 ⋅
1
2
𝑙𝑜𝑔2 2 
𝑦𝐶 =
3
2
 
 
𝑦𝐷 = 𝑦𝐴 e 𝐴 é um ponto do gráfico da função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥, logo, 
𝑦𝐴 = 𝑙𝑜𝑔4 2 
𝑦𝐴 = 𝑙𝑜𝑔22 2 
𝑦𝐴 =
1
2
𝑙𝑜𝑔2 2 
𝑦𝐴 =
1
2
⇒ 𝑦𝐷 =
1
2
 
 
Assim, 
𝑆 = (8 − 2) ⋅ (
3
2
−
1
2
) 
𝑆 = 6 ⋅ 1 
𝑆 = 6 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Considerando que o ponto 𝑃 pertença ao gráfico da função 𝑔, te-
mos: 
𝑔(2) =
3
2
⇒ 𝑘 ⋅ 2(−2+1) =
3
2
⇒ 𝑘 ⋅
1
2
=
3
2
⇒ 𝑘 = 3 
 
Logo 𝑔(𝑥) = 3 ⋅ 2(− 𝑥+1), 
 
𝑓( 11) =
3
2
+ 𝑙𝑜𝑔10( 11 − 1) =
5
2
, portanto: 
𝑔(𝑓( 11)) = 𝑔 (
5
2
) = 3 ⋅ 2
(−
5
2
+1) = 3 ⋅ 2−
3
2 =
3
√23
=
3√2
4
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Calculando: 
||
0 𝑙𝑜𝑔3 3 𝑙𝑜𝑔1
3
1
3
1 𝑙𝑜𝑔3 27 𝑙𝑜𝑔1
3
27
0 𝑙𝑜𝑔3 81 𝑙𝑜𝑔3 243
|| = |
0 1 1
1 3 −3
0 4 5
| = 4 − 5 = −1 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔1
3
(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) 
 
Condições de existência: 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 > 0,  𝑥 − 1 > 0 𝑒 𝑥 + 1 > 0. 
 
De 𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔1
3
(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1), 
𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) 
𝑙𝑜𝑔3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 1
= 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) 
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 1
= 𝑥 + 1 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1) 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 𝑥2 − 1 
−2𝑥 − 3 = −1 
𝑥 = −1 
𝑥 = −1 não convém, pois −1 − 1 < 0. 
 
Portanto, 𝑆 =∅. 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
De 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 1, temos: 
Condição de existência: 𝑥 > 0. 
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 1 
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 = 1 
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 +
1
2
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 1 
2 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥
2
= 1 
3 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 2 
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 =
2
3
 
𝑥 = 3
2
3 > 0 
𝑥 = √32
3
 
𝑥 = √9
3
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2𝑥+𝑦 = 32 ⇔ 2𝑥+𝑦 = 25 ⇔ 𝑦 = 5− 𝑥. 
 
Logo, vem 
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔4 𝑦 = 2 ⇔ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔22( 5 − 𝑥) = 2 
    ⇔ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 +
1
2
⋅ 𝑙𝑜𝑔2( 5 − 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 4 
    ⇔ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
2 + 𝑙𝑜𝑔2( 5 − 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 16 
    ⇔ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
2 ⋅ (5 − 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 1 6 
    ⇔ 𝑥3 − 5𝑥2 + 16 = 0. 
 
Por inspeção, concluímos que 𝑥 = 4 é raiz. Assim, pelo 
dispositivo de Briot-Ruffini, temos 
4 1 −5 0 16
1 −1 −4 0
 
 
Donde segueque 𝑥3 − 5𝑥2 + 16 = (𝑥 − 4)(𝑥2 − 𝑥 −
4) = 0. Por conseguinte, a única raiz inteira é 𝑥 = 4, o 
que implica em 𝑦 = 1. 
A resposta é 4 ⋅ 1 = 4. 
 
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Matemática Passo a Passo! • pág. 10 
 Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
𝑁(𝑡) = (2,5)1,2𝑡 
1084 = (2,5)1,2𝑡 
𝑙𝑜𝑔 1084 = 𝑙𝑜𝑔(2,5)1,2𝑡 
84 𝑙𝑜𝑔 10 = 1,2 ⋅ 𝑡 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 (
10
4
) 
84 = 1,2𝑡 ⋅ (𝑙𝑜𝑔 10 − 𝑙𝑜𝑔 4) 
70 = 𝑡 ⋅ (1 − 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 2) 
70 = 𝑡 ⋅ (1 − 2 ⋅ 0,3) 
𝑡 =
70
0,4
 
𝑡 = 175 minutos 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Calculando: 
𝑙𝑜𝑔𝑐
𝑎2𝑏5
𝑑3
= 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
2 𝑏5 − 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑑
3
= (𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
2 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
5) − 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑑
3 = 
= (2 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 + 5 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏) − 3 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑑
= (2 ⋅
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
+ 5 ⋅
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
) − 3 ⋅
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑑
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
= 
= (2 ⋅
5
2
+ 5 ⋅
1
2
) − 3 ⋅
3
2
= (5 +
5
2
) −
9
2
=
15
2
−
9
2
=
6
2
= 3 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
𝑙𝑜𝑔5   𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 5
2 ⇒ 𝑥 = 25 
𝑙𝑜𝑔10   𝑦 = 4 ⇒ 𝑦 = 10
4 ⇒ 𝑦 = 10000 
𝑙𝑜𝑔20  
𝑦
𝑥
= 𝑙𝑜𝑔20  
10000
25
= 𝑙𝑜𝑔20   400 = 2 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
A raiz da função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 + 1) é tal que 
 
 𝑙𝑜𝑔( 𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 + 1 = 100 ⇔ 𝑥 = 0. 
 
Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0,  0). 
 
Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa pela ori-
gem. 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
A equação não possui solução real se, e somente se, seu discrimi-
nante for negativo, ou seja, 
 
(−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 𝑙𝑜𝑔2(𝑚 + 3) < 0 ⇔ 𝑙𝑜𝑔2(𝑚 + 3) > 4 
    ⇔ 𝑙𝑜𝑔2(𝑚 + 3) > 𝑙𝑜𝑔2 2
4 
    ⇔ 𝑚 + 3 > 16 
    ⇔ 𝑚 > 13. 
 
 
 
 
 
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