Electrodinamica clássica

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Electrodinâmica 
Clássica 
 
 
 
 
Ensino à Distância 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso nº135 
 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja necessidade de reprodução, 
deverá ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos seus Autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso, nº 135 
Telefone: 21-320860/2 
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Fax: +258 21-322113 
 
 
 
 
 
 
 
Agradecimentos 
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do Template usado na produção 
dos Módulos. 
Ao Instituto Nacional de Educação a Distância (INED) pela orientação e apoio prestados. 
Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo apoio prestado em todo o 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha Técnica 
Autor: Jonatane Macie 
Desenho instrucional: Custódio Lúrio 
Revisão Linguística: Jerónimo Simão 
Maquetização : Aurélio Armando Pires Ribeiro 
Ilustração: Valdinácio Florêncio Paulo 
 
 
 Ensino à Distância i 
 
Índice 
 
Visão geral 1 
Bem-vindo ao Módulo de Electrodinâmica Clássica ................................................... 1 
Objectivos do curso .......................................................................................................... 1 
Objectivos.... ........................................................................................ 1 
Quem deveria estudar este módulo ................................................................................... 2 
Como está estruturado este módulo .................................................................................. 2 
Ícones de actividade .......................................................................................................... 4 
Acerca dos ícones .......................................................................................... 4 
Habilidades de estudo ....................................................................................................... 5 
Precisa de apoio? .............................................................................................................. 6 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ................................................................................. 6 
Avaliação .......................................................................................................................... 7 
Unidade 1 9 
Aparato Matemático (Análise Vectorial) ......................................................................... 9 
Introdução ................................................................................................................ 9 
Lição nº1 10 
1.1. Campos Escalares. O Gradiente de um Campo Escalar em diferentes coordenadas e 
suas Propriedades ............................................................................................................ 10 
Introdução .............................................................................................................. 10 
Sumário ........................................................................................................................... 18 
Lição nº2 22 
1.2. Campos vectoriais. Fluxo de um campo vectorial. Teorema de Ostroradsky Gauss22 
Introdução .............................................................................................................. 22 
Sumário ........................................................................................................................... 29 
Lição nº3 33 
1.3. Circulação e Rotacional de um campo vectorial. .................................................... 33 
Teorema de Stokes e Teorema de Green ........................................................................ 33 
Introdução .............................................................................................................. 33 
Sumário ........................................................................................................................... 43 
Lição nº4 46 
1.4. Operações diferenciais de 2ª ordem ......................................................................... 46 
Introdução .............................................................................................................. 46 
ii Índice 
 
Sumário ........................................................................................................................... 53 
Lição nº5 57 
1.5. Função de Dirac e suas propriedades. ...................................................................... 57 
Aplicação da função Delta ............................................................................................. 57 
Introdução .............................................................................................................. 57 
Sumário ........................................................................................................................... 62 
Lição nº 6 64 
Revisão da Unidade 1 ..................................................................................................... 64 
Introdução .............................................................................................................. 64 
Unidade 2 69 
Electrostática ................................................................................................................... 69 
Introdução .............................................................................................................. 69 
Lição nº1 70 
2.1. Carga eléctrica e suas propriedades. Lei de Coulomb ............................................. 70 
Introdução .............................................................................................................. 70 
Sumário ........................................................................................................................... 74 
Exercícios ........................................................................................................................ 75 
Lição nº2 77 
2.2. Vectores do campo Electrostático no Vácuo ........................................................... 77 
Introdução .............................................................................................................. 77 
Sumário ........................................................................................................................... 81 
Exercícios ........................................................................................................................ 82 
Lição nº3 84 
2.3. Equações principais de Electrostática. Potencial electrostático .............................. 84 
Introdução .............................................................................................................. 84 
Sumário ........................................................................................................................... 86 
Exercícios ........................................................................................................................ 88 
Lição nº4 90 
2.4. Lei de Gauss e Simetria ........................................................................................... 90 
Introdução .............................................................................................................. 90 
Sumário ........................................................................................................................... 93 
Lição nº5 97 
2.5. Electrostática e condições de Fronteira ................................................................... 97 
Introdução .............................................................................................................. 97 
 Ensino à Distância iii 
 
Sumário .........................................................................................................................105 
Exercícios ...................................................................................................................... 106 
Unidade 3 114 
Movimento de cargas num campo eléctrico. Correntes estacionárias e Magnetostática114 
Introdução ............................................................................................................ 114 
Lição nº1 115 
3.1. Movimento de cargas num campo eléctrico. Correntes estacionárias ................... 115 
Introdução ............................................................................................................ 115 
Sumário ......................................................................................................................... 120 
Exercícios ...................................................................................................................... 122 
Lição nº2 123 
.2. Magnetostática ......................................................................................................... 123 
Introdução ............................................................................................................ 123 
3.2.1.Campo originado por cargas em movimento.Força de Lorentz e campo magnético. 
Lei de Biot-Savart e suas aplicações ............................................................................. 124 
Sumário ......................................................................................................................... 128 
Exercícios ...................................................................................................................... 130 
Lição nº3 132 
3.3. EQUAÇÕES PRINCIPAIS DA MAGNETOSTÁTICA. POTENCIAL VECTOR132 
Introdução ............................................................................................................ 132 
Sumário ......................................................................................................................... 137 
Exercícios ...................................................................................................................... 139 
Introdução ............................................................................................................ 140 
Auto-avaliação ................................................................................... 144 
Unidade 4 146 
Conceitos e Equações Fundamentais de Electrodinâmica ............................................ 146 
Introdução ............................................................................................................ 146 
Lição nº1 147 
4.1. Campo electromagnético. Concepção e fundamentação da teoria do campo 
Electromagnético .......................................................................................................... 147 
Introdução ..................................................................................................................... 147 
Sumário ......................................................................................................................... 153 
Exercícios ...................................................................................................................... 155 
Lição nº2 156 
4.2.Potenciais Electrodinâmicos. Calibração dos potenciais. Invariância dos 
potenciais electromagnéticos em relação a transformação de calibração ..................... 156 
Introdução ............................................................................................................ 156 
iv Índice 
 
Sumário ......................................................................................................................... 164 
Exercícios ...................................................................................................................... 165 
Lição nº3 166 
4.3. Densidade de energia do campo magnético e densidade do fluxo de energia ....... 166 
Introdução ............................................................................................................ 166 
Sumário ......................................................................................................................... 171 
Exercícios ...................................................................................................................... 172 
Lição nº4 174 
Lei de conservação do Impulso do campo electromagnético (tensor Maxwelliano das 
tensões) ......................................................................................................................... 174 
Introdução ............................................................................................................ 174 
Sumário ......................................................................................................................... 178 
Exercícios ...................................................................................................................... 179 
Chave de Correcções 180 
Revisão da Unidade 4 ................................................................................................... 181 
Introdução ............................................................................................................ 181 
Unidade nº5 186 
Ondas Electromagnéticas .............................................................................................. 186 
Introdução ............................................................................................................ 186 
Lição nº1 187 
5.1.Concepção de Onda Electromagnética ................................................................... 187 
Sumário ......................................................................................................................... 192 
Exercícios ...................................................................................................................... 194 
Lição nº2 197 
5.3. Onda Plana ............................................................................................................. 197 
Introdução ............................................................................................................ 197 
Sumário ......................................................................................................................... 206 
Exercícios ...................................................................................................................... 207 
Lição nº3 208 
Introdução ............................................................................................................ 208 
 Ensino à Distância v 
 
5.4.1. Onda Plana Monocromática (senoidal). .............................................................. 208 
Sumário ......................................................................................................................... 214 
Exercícios ...................................................................................................................... 215 
Lição nº4 216 
5.6. Difracção das ondas Electromagnéticas. Fórmula de Kirchhoff. .......................... 216 
Introdução ............................................................................................................ 216 
Sumário ......................................................................................................................... 225 
Exercícios ...................................................................................................................... 227 
_Toc277751071 
Lição nº5 228 
5.8.Difracção de Fraunhofer ......................................................................................... 228 
Introdução ............................................................................................................ 228 
Sumário ......................................................................................................................... 231 
Exercícios ......................................................................................................................233 
Unidade nº6 239 
Balanço Energético ....................................................................................................... 239 
Introdução ............................................................................................................ 239 
Lição nº1 240 
6.1. Dedução da Equação de Balanço de Energia ......................................................... 240 
Introdução ............................................................................................................ 240 
Sumário ......................................................................................................................... 246 
Exercícios ...................................................................................................................... 248 
Lição nº2 249 
6.4. Aplicação dos Resultados Obtidos ........................................................................ 249 
Introdução ............................................................................................................ 249 
Sumário ......................................................................................................................... 254 
Exercícios ...................................................................................................................... 255 
Unidade nº7 257 
Campo Electromagnético em Substância. .................................................................... 257 
Permissividades e Susceptibilidades ............................................................................. 257 
Introdução ............................................................................................................ 257 
Lição nº1 258 
7.1.Campo Electromagnético em Substância. Permissividades e Susceptibilidades .... 258 
Introdução ............................................................................................................ 258 
vi Índice 
 
Sumário ......................................................................................................................... 266 
Exercícios ...................................................................................................................... 269 
Chave de Correcções 270 
Lição nº2 271 
Polarização de Substância. Vector de Polarização (Intensidade de Polarização) ......... 271 
Introdução ............................................................................................................ 271 
Sumário ......................................................................................................................... 277 
Exercícios ...................................................................................................................... 278 
Chave de Soluções 278 
Lição nº3 280 
7.1.6. Densidade de Carga Induzida. Susceptibilidade da Carga Induzida. Corrente de 
Polarização .................................................................................................................... 280 
Introdução ............................................................................................................ 280 
Sumário ......................................................................................................................... 289 
Exercícios ...................................................................................................................... 290 
Lição nº4 291 
7.1.8. Sistema Completo das Equações do Campo Electromagnético em Substância . 291 
Introdução ............................................................................................................ 291 
Sumário ......................................................................................................................... 299 
Exercícios ...................................................................................................................... 300 
Lição nº5 302 
7.1.9. Condições de fronteira para os vectores do campo. ............................................ 302 
Introdução ............................................................................................................ 302 
Sumário ......................................................................................................................... 309 
Exercícios ...................................................................................................................... 310 
 Ensino à Distância 1 
 
Visão geral 
Bem-vindo ao Módulo de Electrodinâmica Clássica 
Caro estudante, para poder seguir o estudo da Electrodinâmica Clássica, 
espera-se que você tenha uma preparação adequada em Matemática e 
Física. Isso implica bom conhecimento de cálculo avançado, um 
conhecimento básico de equações diferenciais e álgebra, um 
conhecimento rudimentar de números complexos, de matrizes e de séries 
de Fourier. Quanto aos assuntos de Física, você deve ter completado o 
treinamento padrão em Mecânicas, Oscilações, Ondas, Electricidade e 
Magnetismo. 
Mesmo supondo preenchidos estes pré-requisitos, é frequentemente 
reconhecida a necessidade de se rever um pouco do material preparatório, 
no início de uma lição . Seguiremos esta prática, dedicando um pouco de 
tempo à Análise Vectorial, que está relacionada com o material 
desenvolvido neste módulo. Com certeza que tal revisão deve ser rápida e 
teremos que omitir a maioria dos detalhes, em particular, os que 
envolvem demonstrações matemáticas. Para uma discussão completa, 
remetemos o estudante aos textos usuais de cálculo avançado e análise 
vectorial. 
 
Objectivos do curso 
Quando terminar o estudo do Módulo de Electrodinâmica Clássica, 
você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
� Apresentar as equações fundamentais da electrodinâmica; 
� Interpretar as equações fundamentais da electrodinâmica; 
� Explicar os fenómenos tratados na electricidade e magnetismo e na 
física escolar; 
� Formular os conceitos básicos da electrodinâmica, dos fenómenos 
ligados a ela bem como as suas interacções, as leis que regem esses 
fenómenos e a capacidade de resolução de problemas; 
� Aplicar as bases teóricas da teoria da electricidade e magnetismo 
evidenciando as técnicas de cálculo das múltiplas situações que se 
apresentam na prática. 
 
 
 
 
Quem deveria estudar este 
módulo 
Este Módulo destina-se à formação de professores em exercício que 
possuem a 12ª Classe ou equivalente e inscritos no Curso à Distância, 
fornecido pela Universidade Pedagógica. 
Como está estruturado este 
módulo 
Todos os módulos dos cursos produzidos pela Universidade Pedagógica 
encontram-se estruturados da seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
� Um índice completo. 
� Uma visão geral detalhada do curso/módulo, resumindo os 
aspectos-chave que você precisa de conhecer para completar o 
estudo. Recomendamos vivamente que leia esta secção com 
atenção antes de começar o seu estudo. 
Conteúdo do módulo 
O curso está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem, um sumário da unidade e uma ou mais 
actividades para auto-avaliação. 
O Módulo de Electrodinâmica Clássica compreende sete unidades, 
nomeadamente: (1) Introdução matemática; (2) Electrostática; (3) 
Correntes estacionárias (Magneto estática); (4) Equações fundamentais da 
Electrodinâmica; (5) Ondas electromagnéticas; (6) Balanço energético e 
(7) Campos electromagnéticos no Meio (substância). 
Na unidade sobre Introdução matemática, você deverá fazer o estudo do 
aparato matemático, concentrando a atenção nas equações diferenciais e 
álgebra; um conhecimento rudimentar de números complexos, de 
matrizes e de séries de Fourier. 
 Esta unidade tem como objectivo preparar conhecimentos e habilidades que 
serão necessários para todas as unidades subsequentes. 
Na unidade sobre Electrostática, você vai tratar do conceito de carga 
eléctrica, dos tipos de interacções entre as cargas eléctricas, vai perceber que 
a exposiçãodos fenómenos electrostáticos baseia-se frequentemente na lei de 
Coulomb. Partiremos do sistema de equações de Maxwell visto na cadeira de 
Electricidade e magnetismo, que nos levará às equações de Electrostática na 
qualidade de uma das suas formas particulares. Podemos considerar a 
electrostática como um “parágrafo preparatório” da teoria de 
electromagnetismo que ao estudar permite assimilar as operações da análise 
vectorial e as noções mais simples. Posteriormente, desse material 
encontrará uma aplicação ao enunciar conceitos mais complexos. E, 
 Ensino à Distância 3 
 
finalmente, em electrostática procuramos a fonte de certas noções que se 
aplicam extensamente na técnica (potencial, capacidade, etc.). 
 Na unidade respeitante a Magneto estática, você vai perceber que na esfera 
de acções das equações de magneto estática incluem-se os campos 
magnéticos invariáveis com respeito ao tempo e à ausência de correntes. 
Posteriormente, examinaremos a gama de fenómenos a que elas respondem. 
A unidade sobre Equações fundamentais da Electrodinâmica vai tratar de 
estender os conhecimentos que você já teve no estudo de Electricidade e 
Magnetismo nos níveis do ensino secundário e no 2º ano da Universidade. 
Ainda nesta unidade, aprofundar-se-á o conhecimento sobre as equações de 
Maxwell. Usando os conhecimentos da unidade anterior sobre Equações 
diferenciais, você vai aplicar as equações de Maxwell na resolução de 
exercícios múltiplos sobre o campo electromagnético. 
Os conteúdos principais desta unidade, comportam o seguinte: carga e 
corrente eléctrica, campo electromagnético, equações fundamentais da 
electrodinâmica e teorema de Poyting. Estes temas terão uma abordagem 
das partes essenciais que foram discutidas nos anos anteriores do curso de 
física. 
Concepções tais como: idealização dos objectos (campo 
electromagnético uma função contínua) definição de grandezas físicas 
(por exemplo: intensidade da corrente eléctrica, campos vectoriais do 
campo electromagnético) formulação de teoremas empíricos serão 
abordados sob ponto de vista de unidade, tal como aconteceu na 
Mecânica. Serão seleccionados resultados que constituem a base para 
uma abordagem teórica sólida. São, por exemplo: as equações de 
Maxwell e de materiais, as equações de movimento (movimento 
newtoniano) que descrevem o movimento das cargas eléctricas num 
campo electromagnético. 
Na unidade de Ondas electromagnéticas, você, uma vez mais, vai fazer o 
uso do sistema de equações de Maxwell na sua forma completa. 
Prestaremos particular atenção aos processos que transcorrem segundo a 
lei das oscilações harmónicas e, neste caso, o emprego do método das 
amplitudes complexas conduzem o sistema de equações de Maxwell a 
uma forma extremamente reduzida. É muito importante que, ao mesmo 
tempo este método crie na Electrodinâmica novas noções substanciais, 
cuja transcendência não se limita ao seu papel no aparato formal. 
Na unidade de Balança de Energia, você vai deduzir a equação de 
balanço de energia electromagnética usando equações diferenciais 
tratadas na álgebra vectorial, vai aprofundar o conhecimento sobre o 
fluxo de vector de Poynting e isso permitir-lhe-á compreender mais 
facilmente o Balance de energia para oscilações harmónicas. 
Na unidade do Campo electromagnético no Meio, você vai estudar certas 
representações mais simples sobre as partículas carregadas nos campos 
electromagnéticos, não tocaremos nem na física quântica nem na 
relativista. Os modelos da física clássica, revelam-se suficientes para a 
explicação de muitos processos que em radiotécnica têm grande 
importância. 
Outros recursos 
 
 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para que você os explore. Estes recursos podem 
incluir livros, artigos ou sites na Internet. 
 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
As tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de cada 
lição. Sempre que necessário, dão-se folhas individuais para desenvolver 
as tarefas, assim como instruções para as completar. Estes elementos 
encontram-se no final do módulo. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual, irá encontrar uma série de ícones nas margens 
das folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do 
processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de 
texto, uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Acerca dos ícones 
Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por 
“adrinka”. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, 
datam do século XVII e ainda se usam hoje em dia. 
 
Os ícones incluídos neste manual são... (ícones a ser enviados - para efeitos 
de testagem deste modelo, reproduziram-se os ícones adrinka, mas foi-lhes 
dada uma sombra amarela para os distinguir dos originais). 
 
Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um 
com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretamos 
esse significado para representar as várias actividades ao longo deste 
curso/módulo. 
 Ensino à Distância 5 
 
 
 
 
Comprometimento/ 
perseverança 
Actividade 
 
Resistência, 
perseverança 
Auto-avaliação 
 
“Qualidade do 
trabalho” 
 
(excelência/ 
autenticidade) 
Avaliação / 
Teste 
 
“Aprender através 
da experiência” 
Exemplo / 
Estudo de caso 
 
Paz/harmonia 
Debate 
 
Unidade/relações 
humanas 
Actividade de 
grupo 
 
Vigilância / 
preocupação 
Tome Nota! 
 
“Eu mudo ou 
transformo a minha 
vida” 
Objectivos 
 
“[Ajuda-me] deixa-
me ajudar-te” 
Leitura 
 
“Pronto a enfrentar 
as vicissitudes da 
vida” 
 
(fortitude / 
preparação) 
Reflexão 
 
“Nó da sabedoria” 
Terminologia 
 
Apoio / 
encorajamento 
Dica 
 
Habilidades de estudo 
Caro estudante! 
Para frequentar com sucesso este módulo, terá que buscar através de uma 
leitura cuidadosa das fontes de consulta a maior parte da informação ligada 
ao assunto abordado. Para o efeito, no fim de cada unidade, apresenta-se 
uma sugestão de livros para leitura complementar; 
Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante deve certificar-se 
de ter compreendido a questão colocada; 
É importante questionar se as informações colhidas na literatura são 
relevantes para a abordagem do assunto ou resolução de problemas; 
Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentadas 
 
 
no texto. 
Desejamos - lhe muitos sucessos! 
Precisa de apoio? 
Dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo. Em caso de 
dúvida numa matéria, tente consultar os manuais sugeridos no fim da lição e 
disponíveis nos Centros de Ensino à Distância (CEAD) mais próximos. Se 
tiver dúvidas na resolução de algum exercício, procure estudar os exemplos 
semelhantes apresentados no manual. Se a dúvida persistir, consulte a 
orientação que aparece no fim dos exercícios. Se a dúvida persistir, veja a 
resolução do exercício. 
Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua 
disposição no CEAD mais próximo. 
Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham 
compreendido ou feito a cadeira de Electrodinâmica Clássica, vizinhos e até 
estudantes de universidades que vivam na sua zona e tenham ou estejam a 
fazer cadeiras relacionadas com Electrodinâmica Clássica. 
Tarefas (avaliação e auto- 
avaliação) 
Ao longo deste módulo, irá encontrar várias tarefas que acompanham o seu 
estudo. Tente sempre solucioná-las. Consulte a resolução para confrontar o 
seu método e a solução apresentada. O estudante deve promover o hábito de 
pesquisa e a capacidade de selecção de fontes de informação, tanto na 
Internet como em livros. Consulte manuais disponíveis e referenciadosno 
fim de cada lição para obter mais informações acerca do conteúdo que esteja 
a estudar. Se usar livros de outros autores ou parte deles na elaboração de 
algum trabalho, deverá citá-los e indicar esses livros na bibliografia. Não se 
esqueça que usar um conteúdo, livro ou parte do livro em algum trabalho, 
sem referenciá-lo é plágio e pode ser penalizado por isso. As citações e 
referências são uma forma de reconhecimento e respeito pelo pensamento de 
outros. Estamos cientes de que o estimado estudante não gostaria de ver uma 
ideia sua a ser usada sem que fosse referenciado, não é? 
Na medida de possível, procure alargar as competências relacionadas com o 
conhecimento científico, as quais exigem um desenvolvimento de 
competências, como autocontrole da sua aprendizagem. 
 Ensino à Distância 7 
 
As tarefas colocadas nas actividades de avaliação e de auto-avaliação 
deverão ser realizadas num caderno à parte ou em folha de formato A4. 
Avaliação 
O Módulo de Electrodinâmica Clássica terá dois testes e um exame final 
que deverá ser feito no Centro de Recursos mais próximo, ou em local a ser 
indicado pela administração do curso. O calendário das avaliações será 
também apresentado oportunamente. 
A avaliação visa não só informar-nos sobre o seu desempenho nas lições, 
mas também estimular-lhe a rever alguns aspectos e a seguir em frente. 
Durante o estudo deste módulo o estudante será avaliado com base na 
realização de actividades e tarefas de auto-avaliação previstas em cada 
Unidade. 
 
 Ensino à Distância 9 
 
Unidade 1 
Aparato Matemático (Análise Vectorial) 
Introdução 
Para poder seguir este módulo sem maiores dificuldades, espera-se que 
você tenha uma preparação adequada em Matemática para além de bases 
em Física. Isso implica bom conhecimento de cálculo avançado, um 
conhecimento básico de equações diferenciais e álgebra. Um 
conhecimento rudimentar de números complexos, de matrizes e de séries 
de Fourier. 
Dedicaremos um pouco de tempo à Análise Vectorial que está 
relacionada, de várias maneiras, com o material desenvolvido neste 
módulo. 
Esta unidade é composta por cinco temas: 
O primeiro tema é sobre Campos escalares. O gradiente de um campo escalar 
em diferentes coordenadas e suas propriedades; 
O segundo tema é sobre campos vectoriais. Fluxo de um campo vectorial. 
Teorema de Ostrogradsky Gauss; 
O terceiro tema é sobre Circulação e Rotacional de um campo vectorial. 
Teorema de Stokes e de Green., 
O quarto tema é sobre, Operações diferenciais de 2ª ordem. Operador de 
Laplace.O potencial vector; 
O quinto tem é sobre Função de Dirac e sua aplicação. 
Tempo de estudo da 
Unidade: 14:00 Horas 
Esta Unidade tem cinco lições, estando previsto para cada uma delas um 
tempo de estudo de 2 horas e a lição número 6 tem 4 horas é de revisão de 
toda a unidade. Este número de horas é um indicativo para você para ter um 
apoio para gerir melhor o seu tempo; e é considerado suficiente para você 
conseguir atingir os objectivos definidos no início de cada lição. Todavia, 
pode ser que você leve menos tempo numa lição e mais tempo noutra, não há 
nenhum problema, desde que consiga apreender. 
 
 
 
 
Lição nº1 
1.1. Campos Escalares. O Gradiente de um Campo Escalar em diferentes 
coordenadas e suas Propriedades 
Introdução 
O estudo de Gradiente de um campo escalar e tem muita importância para o 
curso de Física que você vai frequentar. O tema constitui uma ferramenta 
matemática para o estudo de várias áreas da ciência e da tecnologia. 
Tempo de estudo da lição: 02:00 Horas 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
 
� Definir campo escalar; 
� Dar alguns exemplos de campo escalar; 
� Explicar o conceito de superfície de nível de um campo escalar; 
� Estabelecer a diferença entre superfície de nível de um campo escalar 
e linha de nível; 
� Identificar a derivada direccional do campo escalar num dado ponto 
na direcção que vai desse ponto a um outro qualquer; 
� Enunciar o conceito de gradiente de um campo escalar e dando o 
significado geométrico da direcção fornecida pelo gradiente; 
� Expressar o gradiente nos sistemas de coordenadas cartesianas, 
cilíndricas e esféricas; 
� Aplicar as propriedades de gradiente na resolução de exercícios. 
� 
 
 
 
Terminologia 
 
Nesta lição, você deverá prestar muita atenção nos seguintes termos e 
conceitos: 
• Campo; campo escalar; 
• Linhas de níveis; superfícies de níveis; 
• Derivada direccional; 
Gradiente de um campo escalar 
 
 Ensino à Distância 11 
 
1.1.1. O conceito de Campo 
Definição : Campo é a grandeza que quantifica as acções à distância. 
O campo pode ser escalar ou vectorial. Quando o campo assume forma 
vectorial, tem associado linhas de campo. 
1.1.2.Exemplos de Campos Escalares. Superfícies e Linhas de 
Níveis 
O campo de temperaturas e o campo electrostático, fornecem um 
exemplo de campo escalar. 
 Definição: Denomina-se campo escalar à lei de correspondência 
que associa a cada ponto do espaço, ou de uma parte do espaço, uma 
grandeza escalar. 
Um campo escalar descreve-se mediante uma função escalar do 
ponto M. 
( )Mfu = 
 Se introduzirmos um sistema cartesiano de coordenadas x, y, z 
teremos, 
( ).,, zyxfu = 
 Geometricamente, um campo caracteriza-se pelas superfícies de 
nível. Denomina-se superfície de nível de um campo escalar o lugar 
geométrico dos pontos aos quais a função escalar do campo associa 
um certo valor constante. A equação de superfície de nível será, pois, 
( ) ,,, Czyxf = onde C = constante. 
 Se um campo de temperatura for produzido por uma fonte 
pontual de calor num meio homogéneo e isótropo, as superfícies de 
nível serão as esferas com centro na fonte de calor (campo centro- 
simétrico). 
 No caso de uma fonte linear, rectilínea, infinita, uniformemente 
aquecida, as superfícies de nível (superfícies isotérmicas) serão os 
cilindros coaxiais cujo eixo coincide com a fonte de calor. 
 Um campo escalar chama-se plano se, o campo de duas 
dimensões induzido por este campo sobre cada plano paralelo a um 
plano dado, for o mesmo. 
 Se identificarmos um destes planos com o plano coordenado 
xoy, a função do campo tomará a forma ( ),, yxfu = isto é, será 
independente da coordenada z. 
 Do ponto de vista geométrico, os campos planos caracterizam-se 
pelas linhas de nível. Denomina-se linha de nível o lugar geométrico 
dos pontos aos quais a função escalar associa um certo valor 
constante. 
1.1.3.Derivada direccional 
 Seja dado um campo escalar descrito pela função ( ).Mfu = 
 Tomemos no espaço um ponto M0 e escolhamos uma direcção 
determinada pelo vector l . Em seguida, tomemos um outro ponto M 
 
 
de modo que o vector MM 0 seja paralelo a l . Consideremos a 
diferença ( ) ( )0MfMfu −=∆ e designemos por l∆ o 
comprimento do vector MM 0 . O quociente 
l
u
∆
∆
 é a velocidade 
média de variação do campo escalar por unidade de comprimento na 
direcção escolhida. Façamos tender o ponto M para 0M de modo 
que o vector MM 0 permaneça paralelo a l .Nestas condições, 
0→∆l . 
 Definição: se existir para 0→∆l o limite da razão 
l
u
∆
∆
, este 
limite denomina-se derivada direccional de ( )Mfu = em 0M na 
direcção de l e designa-se ,
l
u
∂
∂
 
isto é, por definição 
( ) ( )
.,0limlim 0
0 lMMlquando
l
MfMf
l
u
l
u
→∆
∆
−
=
∆
∆
=
∂
∂
 
 A derivada direccional assim definida é invariante, ou seja, 
independente da 
escolha 
particular de 
coordenadas. 
 
 
 
Fig.1.1 
Suponhamos 
que num 
sistema cartesiano de coordenadas o campo se dê pela função 
( ) ( )zyxfMf ,,= a qual é derivável em ( )0000 ,, zyxM , então a 
derivada numa direcção dada l para uma função u=f(x,y,z) é: 
γβα cos/cos/cos// MoMoMoMo
z
u
y
u
x
u
l
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 (1) 
 onde γβα ,, são os ângulos entre a direcção l e os eixos 
correspondentes das coordenadas e os cosenos directores 
γβα cos,cos,cosdo vector kajaial 321 ++= encontram-
se pelas fórmulas:
l
a1cos =α , 
l
a 2cos =β e 
l
a3cos =γ 
2
3
2
2
2
1 aaal ++= 
 Ensino à Distância 13 
 
 N.B. A derivada numa direcção dada caracteriza a velocidade com 
que varia a função nesta direcção. As notações 
000
,,
Mz
u
My
u
Mx
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
significam que as derivadas parciais são 
calculadas no ponto 0M . 
Exemplo 1. Encontrar a derivada direccional do campo yzxzu 22 += 
no ponto ( )2,0,10M ao longo da circunferência 





=
−=
+=
2
,1
;cos1
z
tseny
tx
no 
sentido de crescimento do parâmetro t. 
Solução: Escrevendo a equação da circunferência na forma vectorial, 
( ) ( ) ( ) .21cos1 kjtsenittr +−++= , encontramos o vector τ tangente 
à mesma no ponto genérico M jtitsen
dt
dr
.cos. +−==τ . 
Visto que ao ponto ( )2,0,10M que se encontra no plano xoz no primeiro 
octante, corresponde ao valor 
2
π
=t do parâmetro, temos neste ponto 
ijisen
M
−=+−= .
2
cos.
20
ππ
τ . 
Daqui, obtemos os valores dos cosenos directores da tangente: 
0cos,0cos,1cos ==−= γβα . O cálculo das derivadas parciais do 
campo escalar dado no ponto ( )2,0,10M 
( ) ,422,42,4
00000
2
0
=+=
∂
∂
==
∂
∂
==
∂
∂
M
yxz
Mz
u
M
z
My
u
M
z
Mx
u
 dá-nos, finalmente: 
( ) 40.40.41.4
00
−=++−=
∂
∂
=
∂
∂
M
u
Ml
u
τ
 
 Se considerarmos um campo plano ( )yxfu ,= , teremos a 
seguinte expressão para a derivada em ( )000 , yxM na direcção de l 
,cos
000
αα sen
My
u
Mx
u
Ml
u
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 (2) 
onde α é o ângulo formado por l e o eixo ox. 
Obs. As próprias derivadas parciais 
z
u
y
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,, serão as derivadas 
direccionais de u segundo a direcção dos eixos coordenados ox, oy, 
oz, respectivamente. 
 
 
 A fórmula (1) da derivada direccional é válida mesmo se M 
tender para 0M segundo uma trajectória curvilínea, se esta última 
admitir uma tangente paralela a l no ponto 0M . 
Exemplo 2. Achar a derivada da função z=2x2 -3y2 no ponto p(1;0), na 
direcção que forma com o eixo OX um ângulo de 120º. 
Solução: ;4x
x
z
=
∂
∂
 ;4)( =
∂
∂
p
x
z
 ;6y
y
z
−=
∂
∂
 0)( =∂
∂
p
y
u
 
 
2
1
120coscos −== oα ; 
2
3
120 == osensenα Assim, 
2cos −=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
αα sen
y
z
x
z
l
z
 como se trata de um campo plano e a 
função z(x,y) é diferenciável. 
1.1.4.Gradiente de um campo escalar 
Para descrevermos este operador, importa primeiro falar do 
operador nabla. 
 
Operador Nabla 
Quando um vector é uma função de várias variáveis escalares, admite, 
evidentemente, derivadas parciais em relação a cada uma, as demais 
consideradas constantes. Assim, se ( ),,, zyxvv = a variação total 
→
vd , 
do vector v , devido às variações simultâneas em x, y, z, 
respectivamente, dx, dy, dz, é 
...dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
vd ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
→→→
→
 
A expressão anterior pode ser escrita de forma simbólica, da seguinte 
maneira: 
→→
⋅⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= vdz
z
dy
y
dx
x
vd )( 
A expressão entre parêntesis podendo ser considerada como um 
operador diferencial, semelhantemente ao operador ,
dx
d
D = utilizado 
em Análise Matemática. 
Hamilton teve a ideia de considerar esse operador como o 
produto escalar de dois vectores, o primeiro dos quais é inteiramente 
simbólico. 
→→→→
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=∇ k
z
j
y
i
x
 este vector simbólico é um operador 
diferencial de grande significado, permitindo por sua vez a conceituação 
de novos operadores muito importantes na Física, em especial. Ele é 
 Ensino à Distância 15 
 
chamado de nabla, nabla hamiltoniano, del ou até atled (delta ao 
contrário, devido ao símbolo consagrado para a sua representação). 
O operador nabla 




∇
→
, assim definido, revelou-se um 
“prestidigitador” de grandes recursos, capaz de transformar um escalar 
num vector, um vector num escalar, ou noutro vector. 
Este operador não tem significado físico nem geométrico. Por ser 
operador, pode-se, à esquerda, aplicá-lo a uma função à direita. Ex. 
∇∇∇ vxevf .; . 
Se uma grandeza escalar V varia no espaço, constituindo o que se 
chama, de forma expressiva, um campo escalar, isto é, se 
),,,( zyxVV = (onde essa função V deve ser uma função contínua de 
ponto e apresentar uma variação elementar dV) é possível conceber um 
vector derivando desse campo escalar, cujas componentes são 
respectivamente, as derivadas parciais de V: 
zsegundocomponente
z
V
ysegundocomponente
y
V
xsegundocomponente
x
V
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
A esse vector dá-se o nome de gradiente de V e representa-se por 
Vgrad . Temos portanto, por definição: 
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
V
j
y
V
i
x
V
Vgrad em coordenadas cartesianas. 
Em virtude da definição do operador nabla )(
→
∇ , podemos definir o 
gradiente simbolicamente por: VVgrad ⋅∇=
→
 
Exemplo 1. encontrar o gradiente do campo escalar zyxu 32 +−= 
Solução: kjiugrad 321 +−= 
A superfície de nível deste campo serão os planos Czyx =+− 32 . 
O >−=< 3,2,1ugrad é normal a esta família de planos. 
Exemplo 2. encontrar o mais forte incremento da superfície 
yxu = no ponto ( )4,2,2M . 
Solução: ,ln. 1 xjxiyxugrad yy += − 
( )2max 2ln14)(,2ln44 +==∂
∂
+= gradu
l
u
ji
M
gradu 
 (o máximo é tomado ao variar-se a direcção l ). 
 
 
 
Exemplo 3. Encontrar o gradiente da função 
( ) ( ) ( )20
2
0
2
0 zzyyxxr −+−+−= que dá a distância entre o 
ponto genérico ( )zyxP ,, e um ponto fixo ( )0000 ,, zyxP . 
Solução: temos 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2
0
2
0
2
0
000 r
zzyyxx
kzzjyyixx
k
z
r
i
y
r
i
x
r
rgrad =
−+−+−
−+−+−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 isto é, o vector unitário de PP0 . 
Exemplo 4. encontrar o ângulo Θ formado pelos gradientes das 
funções xyyxueyxu 222 ++=+= no ponto ( )1,10M . 
Solução: calculando no ponto ( )1,10M os gradientes das funções 
dadas, teremos 
j
y
x
i
x
y
M
gradv
ji
Myx
yjxi
M
gradu 11,
2 00220 















++







+=
+
=
+
+
=
 1.1.5. Operador Gradiente noutras Coordenadas 
• Gradiente em coordenadas curvilíneas ortogonais arbitrárias 
Seja o campo escalar ( )321 ,, qqqVV = 
3
33
2
22
1
11
111
e
q
V
H
e
q
V
H
e
q
V
H
Vgrad
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
,
 sendo 
321 , HeHH coeficientes métricos (ou seja, coeficientes de Lamé). 
.3,2,1,
222
=





∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
= i
q
z
q
y
q
x
H
iii
i 
• Gradiente em Coordenadas Cilíndricas 
Seja ( )zVV ,,ϕρ= , 
ze
z
V
e
V
e
V
gradV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ϕρ ϕρρ
1
 
• Gradiente em coordenadas no sistema esféricas 
seja ( )ϕθ ,,rVV = 
ϕθ ϕθθ
e
V
rsen
e
V
r
e
r
V
gradV r ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
11
 
 Ensino à Distância 17 
 
Significado geométrico do vector gradiente 
• O gradiente é ortogonal (perpendicular) à superfície de nível 
definido por teCzyxvV == ),,( e tem sentido dos V crescentes. A sua 
intensidade é 
dn
dV
 na abcissa da normal. O gradiente transforma campos 
escalares em campos vectoriais, como por exemplo na electricidade 
relaciona-se o campo eléctrico com o potencial pela expressão: 
.gradVE −=
→
 
Verificamos quando estudamos as questões relativas à Energia Mecânica, 
que a força, nos campos conservativos, é igual e contrária ao gradiente 
da função de forças. 
• O gradiente aponta na direcção de crescimento da função do 
campo; 
• A sua direcção é aquela segundo a qual a derivada direccional no 
ponto dado tem valor máximo e o seu módulo é igual a este 
máximo. 
 
 
 
 
 
 (3) 
(o gradiente é invariante com respeito ao sistema de coordenadas). 
O gradiente segundo a (3) indica a direcção na qual a taxa de 
variação do campo é maior no ponto dado. 
 
Ilustração 
Geométrica 
gradVgradfseja =Fig.1.2 
 
Conclusão: o gradV é um vector que dá como resultado a máxima 
variação da função e a direcção em que esta máxima variação 
ocorre. 
222
max 





∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
==
∂
∂
z
V
y
V
x
V
gradu
V
l
 
 
 1.1.6. Algumas Propriedades Aritméticas de Gradiente de 
uma função escalar 
Sendo ϕφ e funções escalares 
( )
( ) ϕφφϕφϕ
ϕφϕφ
→→→
→→→
∇+∇=∇
∇±∇=±∇
.
.
ii
i 
Sumário 
• Campo é a grandeza que quantifica as acções à distância. O 
campo pode ser escalar ou vectorial. Quando o campo assume 
uma forma vectorial, tem associado linhas de campo. 
• Denomina-se campo escalar a lei de correspondência que associa 
a cada ponto do espaço, ou de uma parte do espaço, uma 
grandeza escalar. O campo de temperaturas, o campo 
electrostático, fornecem um exemplo de campo escalar. 
• Denomina-se superfície de nível de um campo escalar o lugar 
geométrico dos pontos aos quais a função escalar do campo 
associa um certo valor constante. A equação de superfície de 
nível será, pois, ( ) ,,, Czyxf = onde C = constante. 
• Um campo escalar chama-se plano se o campo de duas 
dimensões induzido por este campo sobre cada plano, paralelo a 
um plano dado, é o mesmo. Se identificarmos um destes planos 
com o plano coordenado xoy, a função do campo tomará a forma 
( ),, yxfu = isto é, será independente da coordenada z. 
• Os campos planos caracterizam-se pelas linhas de nível. 
Denomina-se linha de nível o lugar geométrico dos pontos aos 
quais a função escalar associa um certo valor constante. 
• Se existir para 0→∆l o limite da razão 
l
u
∆
∆
, este limite 
denomina-se derivada direccional de ( )Mfu = em 0M na 
direcção de l e designa-se
 
,
l
u
∂
∂
 
isto é, por definição 
( ) ( )
.,0limlim 0
0 lMMlquando
l
MfMf
l
u
l
u
→∆
∆
−
=
∆
∆
=
∂
∂
 
• Se uma grandeza escalar V varia no espaço, constituindo o que se 
chama, de forma expressiva, um campo escalar, isto é, se 
),,,( zyxVV = (onde essa função V deve ser uma função 
contínua de ponto e apresentar uma variação elementar dV) é 
possível conceber um vector derivando desse campo escalar e 
 Ensino à Distância 19 
 
cujas componentes são respectivamente, as derivadas parciais de 
V: 
x
V
∂
∂
, 
y
V
∂
∂
 e 
z
V
∂
∂
.
 
A esse vector dá-se nome de gradiente de V e representa-se por 
gradV. Temos portanto, por definição: 
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
V
j
y
V
i
x
V
Vgrad em coordenadas cartesianas. 
• O gradiente transforma campos escalares em campos vectoriais, 
como por exemplo na electricidade relaciona-se o campo eléctrico 
com o potencial pela expressão: .gradVE −=
→
 
• O gradV é um vector que dá como resultado a máxima variação 
da função e a direcção em que esta máxima variação ocorre. 
 
 
Exercícios 
 
1. Encontrar a derivada da função u=1/z, onde rr = , na direcção 
do vector γβα coscoscos kjil ++= . Determinar as condições 
sob as quais esta, se anula. 
 2. Encontrar a direcção segundo a qual a taxa de variação de cada 
um dos seguintes campos escalares no ponto respectivo é maior, assim 
como o valor desta última: ( ) xyzMu = ; ( )1,1,2 −oM 
3. Encontrar a variação do campo escalar 
( )senzyxf ++= coscosln na origem, em direcção ao ponto 
(1,2,1). 
4. Encontrar a derivada direccional do campo escalar xyzu = no 
ponto ( )1,1,10 −M na direcção do vector que vai do ponto 0M 
ao ponto ( )1,3,21M . 
 5. Calcular a derivada do campo escalar arctgxyu = no ponto 
( )1,10M situado sobre a parábola 2xy = , na direcção da última e no 
sentido dos x crescentes. 
6.Determinar o gradiente da intensidade do vector posição r . 
7. Dado um campo escalar 1' −−= rrf , demonstre que 
3
'
'
rr
rr
gradf
−
−
= 
 Ensino à Distância 21 
 
Chave de Correcção . 
1. 
( )
lrse
l
u
r
lr
l
u
⊥=
∂
∂
−=
∂
∂ ∧
0;
,cos
2
 
2. 3 na direcção do vector kjia 22 +−−= 
3. 







12
6
. 
4. 
17
3
 (os valores do campo crescem na direcção considerada pois 
)0
0
>
∂
∂
Ml
u
 
5. : 
52
3
=
∂
∂
l
u
 
6. 
222 zyx
zkyjxi
++
++
 
7. 
3
'
'
rr
rr
gradf
−
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lição nº2 
1.2. Campos vectoriais. Fluxo de um campo vectorial. 
Teorema de Ostroradsky Gauss 
Introdução 
O estudo desta lição tem importância para todos os temas das unidades que se 
seguem. Deste modo, é necessário que você domine estas operações para não ter 
dificuldades em resolver quaisquer exercícios e problemas que envolvam este 
conhecimento. 
Tempo de estudo da lição: 02:00 Horas 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
• Definir um campo vectorial; 
• Explicar o conceito de fluxo de um campo vectorial; 
• Enunciar o conceito de Divergência de campos vectoriais; 
• Indicar o operador divergência em diferentes coordenadas; 
• Enunciar as propriedades de Divergência e o seu significado 
físico; 
• Explicar o fluxo de um campo vectorial através de uma 
superfície fechada; 
• Calcular divergência de um campo vectorial. 
 
 
Terminologia 
 
Nesta lição, você deverá prestar muita atenção aos seguintes termos e 
conceitos : 
• Campo vectorial, linhas de campo, campo solenoidal 
• Fluxo de um campo vectorial 
• Divergência de um campo vectorial 
Definição: Se a cada ponto M do espaço ou de uma região do espaço 
associarmos um vector ( ),Maa = então diremos que está definido um 
campo vectorial. 
 Se no espaço for introduzido um sistema de coordenadas cartesianas, 
descrever um campo vectorial ( ),Maa = significará indicar três funções 
escalares do ponto ( ) ( ) ( ),,, MRMQMP de modo que 
( ) ( ) ( ) ( )kzyxRjzyxQizyxPMa ,,,,,, ++= . 
 
Definição: denomina-se linha de campo de um campo vectorial, a linha curva 
que em cada ponto M é tangente ao vector do campo ”a”. 
 
 Ensino à Distância 23 
 
 
θθθθ 
Φ=ΑΦ=ΑΦ=ΑΦ=Α S Φ=ΑΦ=ΑΦ=ΑΦ=Α
S cos θθθθ 
 
 
S 
A 
n 
Fig.1.4 
∫=Φ ndSA. 
Fig.1.3 
 
 
 
 
 
 As linhas de campo podem ser abertas ou fechadas e a sua densidade é 
sempre directamente proporcional à intensidade de campo. Numa representação 
geométrica, a maior concentração das linhas de campo significa uma maior 
intensidade do mesmo. 
1.2.1.Fluxo de um Campo 
Um feixe de linhas de campo é semelhante a um caudal em que o campo fosse o 
vector velocidade e as linhas de campo as linhas de circulação. No caso do vector 
velocidade associado ao movimento dum fluído, a influência do caudal depende 
da posição relativa da superfície que lhe sente os efeitos em face das linhas de 
circulação e da sua densidade, sendo máximo quando as linhas de circulação são 
perpendiculares à superfície, a secção recta, e mínimo ou mesmo nulo quando a 
superfície é paralela às linhas de circulação. Assim, chamaremos a esta influência 
fluxo. 
 
1.2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fluxo do vector A através duma superfície S colocada em 
várias posições em relação às linhas de força
 
 
Definição: Fluxo de Campo através de um segmento de superfície limitado por 
um contorno (fechado) é uma grandeza que mede o 
impacto do feixe de linhas de força que atravessa esse 
segmento de superfície, na respectiva secção recta, 
definida pela projecção da superfície sobre a secção 
recta mais próxima e representa-se naturalmente por 
 
.
s
dSΦ = ∫ An
 
Definição: Fluxo de Campo através duma superfície que limita um volume, é a 
diferença entre o número de linhas de campo que entra e o número de linhas de 
campo que saem dessa superfície, de acordo com a orientação que as definem, 
sendo a normal à superfície sempre dirigida para o exterior. 
Num campo com linhas de campo abertas, terá necessariamente de 
existir uma região do espaço circunscrito por uma superfície fechada aonde o 
número de linhas de campo que entraé diferente do número de linhas de campo 
que saem. Mas num campo com linhas de campo fechadas qualquer que seja a 
região do espaço, o número de linhas de campo que entra em qualquer volume 
fechado é sempre igual ao das que saem. 
 Associada às linhas de campo fechadas estabeleceremos a seguinte definição: 
Campo solenoidal - é um campo com linhas de força fechadas. O campo 
solenoidal conserva o fluxo (fig.1.5). Vejamos como 
estes conceitos são suportados matematicamente. 
Fig.1.5 Linhas de força fechadas: O número de linhas de 
força que entra numa certa secção recta, é igual ao número 
de linhas que sai desta. 
1.2.3. Fluxo de um Campo vectorial 
Por definição: sdF
s
∫∫=Φ 
Sentido físico: consideremos um tubo de água furado. sdF
s
∫∫=Φ ; amF = 
mas Vm .ρ= sd
dt
vd
V
dt
vd
VaVF
s
∫∫=Φ⇔==⇒ ρρρ 
O fluxo mostra a rapidez da variação da velocidade da partícula elementar que 
vai sair no orifício considerado. 
1.2.4. Propriedades do Fluxo de um Campo Vectorial 
 Ensino à Distância 25 
 
a) O fluxo muda de sinal ao mudar a orientação da superfície 
(quando se substitui a normal n por outra de sentido inverso). 
 
 
 
b) O fluxo é linear com respeito à adição de campos (sobreposição de campos): 
 ( ) ( ) ( )dsnbdsnadsnba
s
o
s
o
s
o ∫∫∫∫∫∫ +=+ ,,, µλµλ para λ e µ 
constantes. 
c) O fluxo é aditivo se a superfície s for composta de um nº finito de pontos s1, s2, 
…,sm, cada uma das quais é lisa, então o fluxo do campo ‘a’ (M) através de s será 
a soma dos fluxos do vector a (M) através das superfícies s1,s2,…, sm: 
 
 
1.2.5. Divergência 
Seja kZjYiXv ++= , uma função vectorial contínua e com derivadas 
contínuas pelo menos até à primeira ordem. Por definição: 
 
V
vds
vvdiv s
v
∫
→
→→→
=⋅∇=⋅
0
lim 
ou =vdiv. ( )
z
Z
y
Y
x
X
vv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇ ,. 
sendo X,Y e Z componentes de v. 
 A integral da divergência de um vector, estendida ao volume é igual ao 
fluxo que, de fora para dentro, atravessa a superfície regular que limita o volume. 
Obs. A Divergência transforma campos vectoriais em campos escalares; 
isto é, aplica-se a um campo vectorial e dá como resultado um escalar. 
 A divergência de um campo qualquer “a” em M é a densidade 
volumétrica do fluxo de “a” neste ponto. Nos pontos onde está satisfeita esta 
condição, div(a)>0 o campo “a” é criado, ao passo que nos pontos onde 
div(a)<0 este, é aniquilado. 
N.B. Se o campo é ao mesmo tempo pontecial e solenoidal então, 
div.(gradu)=0 e a função de pontencial u é harmónica; isto é, satisfaz a 
equação de Laplace, 02 =∇=∆ 
 Um campo vectorial ( ) kZjYiXzyxv ++=,, , diz-se campo vectorial 
potencial se o v for o gradiente duma certa função escalar u(x,y,z): 
graduv = . 
( ) ( )dsnadsna
s
o
s
o ∫∫∫∫
−+
−= ,,
( )dsna
m
k s
o
k
∑∫∫
=
=Φ
1
,
 
 
z
u
k
y
u
j
x
u
iv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
O campo v(x,y,z) para o qual 0. =vdiv isto é, o campo vectorial que não 
contém origens, chama-se solenoidal ou tubular. 
Exemplo: 
1. Calcular rdiv , sabendo que zkyjxir ++= . 
Solução: temos ,zkyjxir ++= de modo que zRyQxP === ,, e, de 
acordo com a fórmula de adiv , 3=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
z
y
y
x
x
rdiv . 
2. Calcular ( ),.audiv onde ( )Mu é uma função escalar do ponto e ( )Ma uma 
função vectorial: 
( ) ( ) ( ) ( )kzyxRjzyxQizyxPMa ,,,,,, ++= . 
Solução: visto que a fórmula 
z
R
y
Q
x
P
diva
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= nos dá 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )ugradaadivuuadiv
temos
ugradadivau
z
u
R
y
u
Q
x
u
P
z
R
y
Q
x
P
u
z
u
R
z
R
u
y
u
Q
y
Q
u
x
u
P
x
P
u
z
uR
y
uQ
x
uP
uadiv
,.
,.
+=
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
Sentido físico: a divergência de um campo vectorial ( ) ( )rvdivrv .; , dá como 
resultado o fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ensino à Distância 27 
 
 
Fig. 1.6: Dois campos vectoriais de divergência positiva/divergência nula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 1.6, em M, o campo é nulo, mas na sua vizinhança não o é. 
Quando for 0<⋅∇
→
v a figura que representa esta situação é: 
 
 
Figura 1.7: Campo vectorial de divergência negativa 
 
Resumindo: 
 
 
 Fig.1.8 
 
 
 1.2.6. Algumas propriedades do operador de divergência 
a) ( ) FFF •∇+∇=•∇ ψψψ b) [ ]( ) [ ] [ ]GFFGGF ,,,, ∇−∇=∇ 
 1.2.7. Operador Divergência em outras Coordenadas 
• Divergência em Coordenadas curvilíneas Ortogonais arbitrárias 
Seja ( )321 ,, qqqvv = 
 
( ) ( ) ( )
.
1
3
213
2
312
1
321
321






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
q
HHv
q
HHv
q
HHv
HHH
vdiv 
• Divergência em Coordenadas Cilíndricas 
Seja ( )zvv ,,ϕρ= 
 
z
vv
vvdiv z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
ϕρ
ρ
ρρ
ϕ
ρ
1
).(
1
 
• Divergência em Coordenadas Esféricas 
Seja ( )ϕθ ,,rvv = 
( ) ( )
ϕθ
θ
θθ
ϕ
θ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→ v
rsen
vsen
rsen
vr
rr
vdiv r
1
.
1
.
1 2
2
 
1.2.8. Fluxo de um Campo Vectorial através de uma superfície fechada. O 
Teorema de Gauss-Ostrogradsky 
Teorema: O fluxo total de um campo vectorial através de uma superfície fechada 
s é: dVFdivsdF
Vs
∫∫∫∫∫ ==Φ 
 
 
 
 
 Fig. 1.9 
 
O fluxo do campo vectorial é igual à divergente do mesmo campo vectorial. 
Demonstração: 
Seja Φ a superfície em causa. Vamos dividir a superfície em 2 partes: 
 Ensino à Distância 29 
 
sdFsdF
ss
∫∫∫∫ +=Φ+Φ=Φ
21
21 . 
Se dividirmos a superfície em 4 partes: 
sdFsdFsdFsdF
ssss
∫∫∫∫∫∫∫∫ +++=Φ+Φ+Φ+Φ=Φ
4321
4321 
Se dividirmos a superfície em n partes, 
dVFdivsdFs
vn
∫∫∫∑ ==Φ⇒→∆
∞
=1
lim0 
Mas o divergente por definição é: 
V
sFd
Fdiv
∆
=
∫∫
lim , 0→∆V , 
∫∫=∆⇒
s
FdsVdivF lim Φ==⇔ ∫∫∫∫∫ sdFdVFdiv
sv
lim 
 c.q.d. 
N.B. se a um campo vectorial definido numa região G e ,0=adiv diz-se que a 
é um campo solenoidal. 
 
Sumário 
• Se a cada ponto M do espaço ou de uma região do espaço associarmos 
um vector ( ),Maa = então diremos que está definido um campo 
vectorial. 
• Fluxo de Campo através de um segmento de superfície limitado por um 
contorno (fechado) é uma grandeza que mede o impacto do feixe de 
linhas de força que atravessa esse segmento de superfície, na respectiva 
secção recta, definida pela projecção da superfície sobre a secção recta 
mais próxima e representa-se naturalmente por, 
• Fluxo de Campo através duma superfície que limita um volume, é a 
diferença entre o número de linhas de campo que entra e o número de 
linhas de campo que saem dessa superfície, de acordo com a orientação 
que as definem, sendo a normal à superfície sempre dirigida para o 
exterior. 
• Campo solenoidal é um campo com linhas de força fechadas. O campo 
solenoidal conserva o fluxo. 
a) O fluxo muda de sinal ao mudar a orientação da superfície; 
b) O fluxo é linear com respeito à adição de campos (sobreposição de campos); 
b) O fluxo é aditivo se a superfície s compor-se de um nº finito de pontos s1, s2, 
…,sm, cada uma das quais é lisa, então o fluxo do campo ‘a’ (M) através de s será 
a soma dos fluxos do vector a (M) através das superfícies s1,s2,…, sm: 
 
 
• Seja kZjYiXv ++= , uma função vectorial contínua e com derivadas 
contínuas pelo menos até à primeira ordem. Por definição: 
 
V
vds
vvdiv s
v
∫
→
→→→
=⋅∇=⋅
0
lim 
ou =vdiv. ( )
z
Z
y
Y
x
X
vv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇ ,. 
sendo X,Y e Z componentes de v. 
• A Divergência transforma campos vectoriais em campos escalares; isto 
é, aplica-se a um campo vectorial e dá como resultado um escalar. 
• A divergênciade um campo qualquer ´´a´´ em M é a densidade 
volumétrica do fluxo de ´´a´´ neste ponto. Nos pontos onde está satisfeita 
esta condição, div(a)>0 o campo ´´a´´ é criado, ao passo que nos pontos 
onde div(a)<0 este, é ´´aniquilado. 
• Se o campo é ao mesmo tempo pontecial e solenoidal então, 
div.(gradu)=0 e a função de pontencial u é harmónica; isto é, satisfaz a 
equação de Laplace, 02 =∇=∆ 
• Um campo vectorial ( ) kZjYiXzyxv ++=,, , diz-se campo vectorial 
potencial se v for o gradiente duma certa função escalar u(x,y,z): 
graduv = . 
Teorema de Ostrogradsky-Gauss: O fluxo total de um campo vectorial através 
de uma superfície fechada s é: dVFdivsdF
Vs
∫∫∫∫∫ ==Φ 
O fluxo do campo vectorial é igual à divergente do mesmo campo vectorial. 
N.B. se a um campo vectorial definido numa região G e ,0=adiv diz-se que a 
é um campo solenoidal. 
 
 
 
 
 
 Ensino à Distância 31 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Sabendo que φ , ϕ e f representam escalares, funções de ponto, u , v e F
r
 
vectores funções de ponto e gradfFFfdivFfdiv +=• )( , determine: 
a) ( )ϕφ +∇ c) ( )uφ•∇ 
b) ( )φϕ∇ d) ( )ffdiv ∇ 
2. Com auxílio do teorema de divergência, calcule o fluxo do campo 
→→→→
++= kzxjyzixyA 222 através da superfície esférica 2222 Rzyx =++ 
 3. Demonstre que o resultado 
→→
∫∫ rfd . da integral de superfície é o mesmo para 
a superfície de um cubo.. 
 4. Calcule o fluxo do vector kzjyixa 222 ++= através da superfície fechada 
2222 Rzyx =++ , Z=0 ( )0>Z . 
 5. O campo electrostático devido a uma carga pontual de grandeza q é: 
24 r
rq
E
o
oπε
= . 
Calcule divE. 
6. Quais dos seguintes campos vectoriais, são solenoidais? 
a) ( ) ( ) ( )kxyzjzxyiyzxa 222222 −+−+−= 
b) ( ) ( )kyzjyxiya 13 2322 +++−= 
 
 
 
Chave de Correcção 
 1.a) ( ) ϕφϕφ ∇+∇=+∇ r 
 b) ( ) ϕφφϕφϕ ∇+∇=•∇ rrr 
 c) ( ) uuu •∇+∇=•∇ φφφ rr 
 d) ( ) ( ) fffffdiv 22 .∇+∇=∇ rrr 
 2. 
5
4 5rπ
 
 4. 4
2
1
Rπ 
5. divE=0 ( )0≠r . 
6. .a) É solenoidal 
 b) Não é solenoidal 
 Ensino à Distância 33 
 
 
Lição nº3 
1.3. Circulação e Rotacional de um campo vectorial. 
 Teorema de Stokes e Teorema de Green 
Introdução 
Nesta lição você irá aprender a determinar a Circulação e o Rotacional de um campo 
vectorial. Deste modo, é necessário que você domine estas operações para não ter 
dificuldades em resolver quaisquer exercícios e problemas que envolvam este 
conhecimento como por exemplo, problemas de cálculo de trabalho de um campo de 
força ao longo de um determinado segmento. 
Tempo de estudo da lição: 02:00 Horas 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
 
 
� Explicar o conceito de Circulação de um campo vectorial; 
� Enunciar as propriedades de Circulação de um campo 
vectorial; 
� Calcular a Circulação ao longo de uma trajectória fechada e, 
num campo conservativo; 
� Enunciar o Teorema de Stokes e de Green; 
� Enunciar o conceito de Rotacional de um campo vectorial; 
indicando o Rotacional em diferentes coordenadas; 
� Enunciar as propriedades do rotacional 
 
 
 
 
Terminologia 
 
Nesta lição sobre Circulação e Rotacional de um campo vectorial, você 
deverá prestar maior atenção aos seguintes termos e conceitos fundamentais: 
− Circulação de um campo vectorial 
− Rotacional de um campo vectorial 
_ Circulação num campo conservativo 
_ Campos solenoidais 
 
 
1.3.1.Circulação de um campo vectorial ao longo de um circuito fechado 
 
 
Por definição: ∫=Γ
l
ldF 
1.3.2. Propriedades de Circulação de Vectores 
a) A circulação é linear com respeito à adição de campos (sobreposição ): 
( ) ( ) ),(,, 2121 dradradraa
LLL
∫∫∫ +=+ µλµλ onde λ e µ são constantes 
numéricas. 
b) A circulação é aditiva com respeito à concentração de circuitos: 
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=
+ 2121
,,,
LLLL
dradradra 
c) A circulação muda de sinal ao mudar a orientação da trajectória L: 
( ) ( )∫∫ −=
ABBA
dradra ,, , onde A e B são respectivamente, a Origem e a 
Extremidade de L. 
1.3.3. Cálculo da Circulação ao longo de uma trajectória fechada 
( )∫=Γ
L
dra, , se o campo a = a (M) for dado em coordenadas a = P 
(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, então: ∫ ++=Γ
L
RdzQdyPdx 
Teorema: para que a circulação do vector “a” ao longo de uma trajectória L 
que liga dois pontos A e B não dependa da forma de L, é necessário e suficiente 
que o campo a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, seja irrotacional, isto é, rota 
(M)=0 . 
Exemplo 1. Achar a circulação do vector 
r
r
a = , onde r é o vector –posição do 
ponto genérico ao longo do segmento de recta de origem ( )ArA e extremidade 
( )BrB . 
Solução: a circulação procurada será ( ) ( )∫∫ =
ABAB
r
drr
dra
,
, . (1) 
Da igualdade ( ) ( ) ( ) ( )drrdrrrdrrrd ,2,,, =+= obtemos 
( ) ( ) ( ) ,2
2
1
2
1
,
2
1
,
2
rdrrdrrdrrddrr =•=== donde 
( )
rd
r
drr
=
,
. 
(2) 
Substituindo (2) na integral (1), temos ( ) AB
r
rABAB
rrrdrddra
B
A
−=== ∫∫∫ , . 
Note-se que, em geral, rddr ≠ . 
 Ensino à Distância 35 
 
Exemplo 2. Calcular o trabalho de campo de força ( )kzyxxjyiF ++++= 
ao longo do segmento de recta AB de origem ( )4,3,21M e extremidade 
( )5,4,32M . 
Solução: O trabalho procurado será igual à circulação do campo de força ao 
longo do segmento ( ) ( )∫∫ ++++==
2121
,:21
MMMM
dzzyxxdyydxdrFAMM . 
Assim, encontremos as equações canónicas da recta que passa por 21 MeM : 
1
4
1
3
1
2 −
=
−
=
− zyx
. 
Daqui 
dxdzdxdy
xz
xy
==



+=
+=
,
2
1
 
Assim como x deve variar entre 2 e 3 (as abcissas respectivamente), o trabalho 
procurado será: ( ) ( )∫∫ =+=+++++++=
3
2
3
2 2
33
45211 dxxdxxxxxxA . 
Exemplo 3. Averigue se a integral seguinte independe do caminho de integração 
L 
2222 yx
xdy
yx
ydx
L
+
+
+
−
∫ . 
Solução: A integrada perde sentido em ( )0,0o . Excluímos pois, este ponto. No 
restante do plano (que não será simplesmente conexo) os coeficientes de dx e dy 
são contínuos e possuem derivadas parciais contínuas. Verifica-se a identidade 






+
−
∂
∂
≡





+∂
∂
2222 yx
y
yyx
x
x
. 
Mas também, se calcularmos esta integral ao longo da circunferência 
L: ,222 Ryx =+ obteremos 
π
ππ
2
cos 2
0
2
0
2
2222
22
==
+
=
+
+−
∫∫ ∫ dtdtR
tRtsenR
yx
xdyydx
L
. 
Assim, pelo facto de a circulação ao longo de um circuito fechado não ser nula, 
resulta que a integral dependa do caminho de integração. 
1.3.4. Rotacional 
Seja X,Y e Z componentes de campo vectorial v e, kZjYiXv ++= 
O rotacional transforma campos vectoriais em campos vectoriais. 
[ ] k
y
X
x
Y
j
x
Z
z
X
i
z
Y
y
Z
Z
z
Y
y
X
x
kji
vvxvvRot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∧∇=∇=∇∇=
.........
,
 
 
 
Exemplo1. Encontrar o rotacional do vector ( ) ( ) ( )kzxjzyizxa +++++= 2 
Solução: rota=
zxzyzx
zyx
kji
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
. 
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da primeira linha e 
efectuando sobre os elementos da terceira linha as operações de derivação parcial 
indicadas pelos operadores diferenciais da segunda linha, encontramos 
( ) .12 jxiarot −−−= 
Exemplo 2. Encontrar o rotacional do vector intensidade de campo magnético H, 
onde kII •= 
Solução: O vector dá-se pela expressão [ ]rIH ,2
2ρ
= ou 
xj
I
yi
I
zyx
I
kji
H
222
22
00
2
ρρρ
+−== onde 222 yx +=ρ . Daqui, 
em virtude de 
)0( 22 ≠+ yx 
 
 
 
A 
 
 
 
S 
A ( ) ( )
0
22
2
22
0
22
222
222
222
222
2222
2222
=








+
−+
+
+
−+
=
=











+∂
∂
+





+∂
∂
=
++
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
k
yx
yyx
yx
xyx
I
k
yx
yI
yyx
xI
xyx
xI
yx
yI
zyx
kji
Hrot
[ ] k
y
X
x
Y
j
x
Z
z
X
i
z
Y
y
Z
Z
z
Y
y
X
x
kji
vvxvvRot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∧∇=∇=∇∇=
.........
,
 Ensino à Distância 37 
 
Assim, obtemos que 0=Hrot por toda a parte, com excepção dos 
pontos de oz onde as fórmulas perdem sentido ao se anularem os denominadores. 
O campo do vector H é, por conseguinte, irrotacional em todos os pontos do 
espaço com excepção dos situados sobre o eixo oz. 
O campo vectorial v(x,y,z) para o qual 0=rotv , diz-se irrotacional. E todo o 
campo irrotacional é potencial e o inverso, sendo igualmente verdadeiro. 
Rot(gradu)=0 ou seja ( ) 0=∇∇=∇∇ VxVx 
Exemplo 3. Mostrar que a circulação ( )∫
L
dra, do vector 
kyxjyzxizxya
2222
2
1
++= é independente de L. 
Solução: As componentes de a são funções deriváveis por toda a parte. O 
domínio G de a é, por conseguinte, em todo o espaço temos a identidade 
0
2
1 2222
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
yxyzxzxy
zyx
kji
arot . 
Logo, a integral ( ) ∫∫ ++=
LL
dzyxyzxdxzxydra 2222
2
1
, não depende da 
forma da trajectória L. 
Em particular, no caso de campo plano ( ) ( ) ( ) jyxQiyxPMa ,, += 
(1) 
 ter-se-á 
( ) k
y
P
x
Q
QP
zyx
kji
Mrota 





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
0
 
Daqui resulta que para o campo plano (1), a condição ( ) 0=Marot em 
coordenadas cartesianas será 
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
. 
Deste modo, obtivemos que a condição necessária e suficiente para que a integral 
( ) ( )∫ +
L
dyyxQdxyxP ,, , onde ( ) ( )yxQeyxP ,, são definidas num domínio 
simplesmente conexo, não depende da forma de L, é que se cumpra a relação 
x
Q
y
P
∂
∂
≡
∂
∂
. 
 
 
 
 
Observação: A restrição imposta ao domínio G de a de ser simplesmente conexo, 
pode-se escolher um a apropriado tal que a circulação dependa do caminho de 
integração bem que ( ) 0≡Marot . 
 1.3.5. Operador Rotacional em diferentes Coordenadas 
• Rotacional em coordenadas cartesianas 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
v
x
v
j
x
v
z
v
i
z
v
y
v
vrot x
yzxyz 
• Rotacional em coordenadas cilíndricas 
( ) ( )
z
zz e
vv
e
v
z
v
e
z
vv
vrot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
→
ϕρ
ρ
ρρ
ρ
ϕρ
ρϕ
ϕ
ρ
ρ
ϕ 11 
• Rotacional em coordenadas esféricas 
 
 
 
Fig.1.10 
 
C. Significado Físico de Operador Rotacional 
O rotacional de um campo vectorial ( )rv , ( )rvrot dá como resultado um vector 
cujos componentes x, y e z dão a circulação desse campo vectorial por unidade 
de área respectivamente nos planos normais a esses componentes. 
A definição dada, como a dos demais operadores diferenciais estudados, é 
puramente matemática. O rotacional encontra, no entanto, diversas aplicações 
( ) ( ) ( ) ϕθθϕθϕ θϕθϕθθθ e
v
vr
rr
e
r
vr
r
v
rsen
e
v
vsen
rsen
vrot rrr 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
→ 111
.
1
 Ensino à Distância 39 
 
físicas, não só em Mecânica dos sólidos, como em Mecânica dos fluidos e em 
Electricidade. 
• O operador rotacional é a ferramenta apropriada para testar se a integral 
de linha de um campo vectorial depende ou não do caminho. 
• O rotacional, etimologicamente, deriva de rotação, razão pela qual se usa 
em física no estudo dos fluidos, sempre que há movimento de rotação, ou 
seja, a formação de turbilhões e remoinhos. 
Rotacional transforma campos vectoriais em campos vectoriais 
 1.3.6. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 
 Sendo ϕφ e funções escalares 
 
Teorema de Stokes: A circulação do campo vectorial de um circuito fechado L é 
igual ao fluxo rotacional de F através de qualquer superfície s, cujo bordo é L. 
sdFrotldF
sl
∫∫∫ = 
HrotFrot = 
(veja figura) 
 
 Fig.1.11: 
 
 
 
 
Demonstração 
- dividimos a superfície em 2 partes: 21 Γ+Γ=Γ gama←Γ 
( )
→→→→→→
→→→→→→→→→→→→→→
∧∇+∇∧=




∧∇
∧∇−∧∇⋅=∧⋅∇∧∇±∧∇=




 ±∧∇
uuuii
vuuvvuiiivuvui
φφφ.
..
rr
 
 
-se dividirmos em n partes teremos: 
s
ldF
Frot s
∆
=
∫
lim , 0→∆s ; 
 
V
sdF
divF s
∆
=
∫∫
lim , 0→∆V 
� Qal o sentido físico da circulação? 
Exemplo 1. Encontrar a circulação do vector zkjxyia −+= 2 ao longo do 
circuito L: 



=
=+
3
422
z
yx
 
a) por integração directa; 
b) mediante o Teorema de Stokes. 
Solução: a) o circuito L é a circunferência de 
raio R=2 que jaz no plano z=3 (fig. Abaixo). 
Escolhamos sobre a última orientação 
indicada na figura. Na forma paramétrica L 
será dada por 
( ),20
3
,2
,cos2
π<≤





=
=
=
t
z
senty
tx
 de modo que 
0,cos2,2 ==−= dzdttdydtsentdx . 
Portanto, a circulação, é 
( )[ ]∫ −=−+−=
π
π
2
0
2 40.3cos2.cos422 dttttsentsenC . 
2) a fim de calcular a circulação por meio do Teorema de Stokes, escolhamos 
uma superfície ∑ cujo bordo seja L. É imediata a eleição do circulo delimitado 
por L. Para concordar, a orientação de L com o sentido da normal 0n ao circulo 
devemos, segundo as nossas convenções, escolher a última igual a k. Assim 
obtemos 
( ) .12
2
kx
zxy
zyx
kji
arot −=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= 
Donde segundo o Teorema de Stokes, 
 
( ) ( ) ( ) πρπρρϕρϕσσ
π
4
0
2
2
21cos212,
22
0
2
0
0 −=−=−=
∑
−
∑
== ∫∫∫∫∫∫ dddxdnarotC
 Ensino à Distância 41 
 
 
Exemplo 2. Calcular a circulação do campo vectorial cuja 
representação em coordenadas esféricas é: 
( ) ϕθ esenrRera r .. ++= , ao longo da circunferência L: 




=
=
2
π
θ
Rr
 no sentido do crescimento de ϕ (veja a 
fig.1.13). Fig.1.13 
Solução: Dado que as coordenadas do campo são 
( ) θϕθ senrRaarar +=== ,0, ,em virtude da fórmula 
( ) ϕθθ ϕθ dsenardardradra
L
r
L
++=∫∫ , a circulação procurada é 
( ) ( ) ϕθϕθθ dsenrRrrdrdsensenrRrrdr
LL
∫∫ ++=++ 2. 
Sobre o circuito L com o centro na origem cumpre-se as relações 
πϕ
π
θ 20,
2
,0, <≤=== drRr e, por conseguinte 
2
2
0
22 422 RdRdRC
L
πϕϕ
π
=== ∫∫ . 
1. 3.7. Cálculo da Circulação num Campo Conservativo 
Teorema: A circulação num campo conservativo a(M) é igual à diferença entre 
os valores que toma o potencial escalar na extremidade e na origem da 
trajectória de integração: ( ) ( ) ( )12
2
1
, MMdra
M
M
ϕϕ −=∫ 
Exemplo 1. Mostrar que o campo electrostático E devido a uma carga pontual q 
colocada, por exemplo, na origem das coordenadas: ,
3
r
r
q
E = 
,222 zyxr ++= é conservativo. 
Solução: Deve-se mostrar a existência de uma função ( )zyx ,,ϕ tal que as 
relações ( ) ( ) ( )
z
zyxR
y
zyxQ
x
zyxP
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
ϕϕϕ
,,,,,,,, sejam 
satisfeitas. 
 
Em nosso caso, ( ) ( ) ( )
333
,,,,,,,,
r
qz
zyxR
r
qy
zyxQ
r
qx
zyxP === , visto 
que 
32
11
r
x
x
r
rrx
−=
∂
∂
−=





∂
∂
, e que 
33
1
,
1
r
z
rzr
y
ry
−=





∂
∂
−=





∂
∂
 ( 
obtém-se de modo semelhante), resulta que a função 
 
 
( )
222
,,
zyx
q
r
q
zyx
++
−=−=ϕ será o potencial escalar do campo E: 
E
r
q
grad =




− . 
Neste exemplo, a origem das coordenadas, onde está concentrada a carga q, será 
um ponto de singularidade do campo E. 
 
Exemplo 2. calcular a circulação do campo vectorial kzjyixr ++= ao 
longo do segmento de recta de origem ( )3,0,11 −M e extremidade ( )0,1,22 −M . 
Solução: mostremos