Medição de Resistividade e Estratificação do Solo

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ABNT/CB-03 
2°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 
 
Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo 
APRESENTAÇÃO 
1) Este 2º Projeto de revisão foi elaborado pela Comissão de Estudo de Segurança no 
aterramento de subestações c.a (CE-03:102.01) do Comitê Brasileiro de Eletricidade 
(ABNT/CB-03), nas reuniões de: 
16.09.2004 23.09.2004 18.11.2004 
09.12.2004 24.02.2005 05.05.2005 
30.06.2005 25.08.2005 29.09.2005 
27.10.2005 02.12.2005 12.04.2006 
05.03.2006 14.06.2006 02.08.2006 
04.10.2006 31.10.2006 04.12.2006 
02.02.2007 13.04.2007 04.05.2007 
02.06.2007 06.07.2007 31.08.2007 
05.10.2007 09.11.2007 07.12.2007 
14.03.2008 11.04.2008 09.05.2008 
15.08.2008 10.10.2008 14.11.2008 
12.12.2008 16.01.2009 13.02.2009 
20.03.2009 03.04.2009 24.04.2009 
15.05.2009 19.06.2009 10.07.2009 
14.08.2009 04.09.2009 09.10.2009 
2) Este Projeto é previsto para cancelar e substituir a ABNT NBR 7117:1981 quando 
aprovado, sendo que nesse ínterim a referida Norma continua em vigor; 
3) Não tem valor normativo; 
4) Aqueles que tiverem conhecimento de qualquer direito de patente devem apresentar esta 
informação em seus comentários, com documentação comprobatória; 
5) Este Projeto de Norma deve ser diagramado conforme as regras de editoração da ABNT 
quando de sua publicação como Norma Brasileira. 
 
 
 
 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 2/3 
 
6) Tomaram parte na elaboração deste Projeto: 
Participante Representante 
ABRADEE Carlos Alberto Ribeiro de Avellar 
AES ELETROPAULO Ithamar Sene Jr. 
Sergio L. Caparoz 
AES SUL Renato Oling 
B&M PESQUISA E DESENVOLVIMENTO LTDA Flavio Faria 
BANDEIRANTE ENERGIA Ewaldo C. Nogueira 
CHESF Antônio Varejão de Godoy 
CLARO TELEFONIA CELULAR Carlos Henrique Pessin 
COELBA Raimundo Pedreira 
COLI ENGENHARIA Paulo César A. Coli 
CONSULTOR Pedro S. Sumodjo 
COPEL Rosane Maris Ribas 
CPE ENGENHARIA LTDA. Romildo Leite Sales 
CPFL Alexandre Nogueira Aleixo 
Fumio Nakagawa 
ELETRIZAR ENGENHARIA Gilberto Falcoski 
ELEKTRO Emerson R. Furlaneto 
Laudemir Caritá 
Shiguematsu Nosaki 
Valmir Ziolkowski 
Vinicius M. Benichio 
Wilson Hirakawa 
ELETRO-ESTUDOS ENGENHARIA Paulo Edmundo da Fonseca Freire 
ELETROSUL Dalvir Maquerievki 
Lucio Volnei Galvani 
Oquigibson Lima Costa 
ENCONTRE ENGENHARIA LTDA Duílio Moreira Leite 
ENERSUL Antonio de Pádua Ribeiro 
Gerson de Almeida Costa Nonato 
ENERTEC Sérgio R. Oliveira 
ERICO Marcelo Logli 
FASTWELD Rinaldo Junior Botelho 
FPTE Nemer Paschoal Fioravante Jr. 
FPTE – FUND. PTA. DE TECNOLOGIA E 
EDUCAÇÃO 
Juliano Munhoz Beltani 
Nemer Paschoal Fioravante Jr. 
FURNAS Arion Barros 
José Roberto T. Correa 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 3/3 
 
Luiz Carlos da Rocha Santos 
GALENO ENGENHARIA CONSULT. 
TREINAMENTO Galeno Lemos Gomes 
GILCO PROTEÇÃO ELÉTRICA Igidio Castro 
GRUPO REDE Ivan Nord 
GUISMO ENGENHARIA Jobson Modena 
IPT Mario Leite 
LACTEC José Maurílio da Silva 
Luis Ricardo Alfaro Gamboa 
Renata Jacyszyn Bachega 
MANHAHATTAM EL. Juan Alexandre Suarez 
MASUKI ENGENHARIA Luiz Masuki 
MEGABRAS Luis Alberto Pettoruti 
Manuel Jaime Leibovich 
MIOMEGA João G. Cunha 
OFFICINA DE MYDIA Carlos Moreira Leite 
PEA – USP José Roberto Cardoso 
PROELCO Antônio Roberto Panicali 
 
QUEMC Roberto Menna Barreto 
REIS MIRANDA ENGENHARIA Armando Pereira Reis Miranda 
SANPIETRO ENGENHARIA Carlos Antonio Sanpietr 
SOTA CONSULTORIA E PROJETOS SC LTDA André Lima Rodrigues 
Carlos Alberto Sotille 
STS ENGENHARIA Sérgio T. Sobral 
UFMG Silvério Visacro Filho 
 Armindo F. Cadihe 
 Carlos Magno Camargo 
 Ivo Eleutério Bonatti 
 J. Brito 
 José Mak 
 Paulo Jarussi 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 1/68 
 
Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo 
Earth resistivity measurement and soil stratification 
Prefácio 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Foro Nacional de Normalização. As Normas 
Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos 
de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Comissões de Estudo Especiais (ABNT/CEE), são 
elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas 
fazendo parte: produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros). 
Os Documentos Técnicos ABNT são elaborados conforme as regras da Diretiva ABNT, Parte 2. 
O Escopo desta Norma Brasileira em inglês é o seguinte: 
Scope 
This Standard establishes the requirements for resistivity measurement and soil stratification 
determination. 
This Standard provides grants for use in projects of electrical grounds. 
The applicability of this Standard may have restrictions on large installations, where are needed 
geophysical resources not addressed. 
This Standard does not apply to oblique and vertical stratification. 
NOTE It is understood by projects of grounding grid regarding large electric installations, as, wind farms, 
hydroelectric and industrial complexes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Escopo 
1.1 Esta norma estabelece os requisitos para medição da resistividade e determinação da 
estratificação do solo. 
1.2 Esta Norma fornece subsídios para aplicação em projetos de aterramentos elétricos. 
1.3 A aplicabilidade desta Norma pode ter restrições em instalações de grandes dimensões, onde são 
necessários recursos de geofísica não abordados. 
1.4 Esta Norma não se aplica a estratificações oblíquas e verticais. 
NOTA Entende-se por projetos de malhas de aterramento de instalações de grandes dimensões, como sendo, 
parques eólicos, complexos hidrelétricas e industriais. 
2 Referências normativas 
Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação deste documento. Para 
referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se 
as edições mais recentes do referido documento (incluindo emendas). 
ABNT NBR 5410:2004, Instalações elétricas de baixa tensão 
ABNT NBR 5456, Eletricidade geral – Terminologia 
ABNT NBR 5460, Sistemas elétricos de potência 
ABNT NBR 15749:2009, Medição de resistência de aterramento e de potenciais na superfície do solo 
em sistemas de aterramento 
IEC 61010-1:2010 Ed. 3.0, Safety requirements for electrical equipment for measurement, control, and 
laboratory use – Part 1: General requirements. 
IEC 61557-1, Electrical safety in low voltage distribution system up to 1 000 V a.c. and 1 500 V d.c. – 
Equipment for testing, measuring or monitoring of protective measures – Pat 1: General requirements 
IEC 61557-5:2007 Ed. 2.0 Electrical safety in low voltage distribution system up to 1 000 V a.c. and 
1 500 V d.c – Equipment for testing, measuring or monitoring of protective measures – Part 5: 
Resistance to earth 
3 Termos e definições 
Para os efeitos deste documento, aplicam-se os termos e definições das ABNT NBR 5456 e 
ABNT NBR 5460, e os seguintes. 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 3/68 
 
3.1 
aterramentoligação intencional de parte eletricamente condutiva à terra, através de um sistema de aterramento 
3.2 
condutor de aterramento 
condutor ou elemento metálico que faz a ligação elétrica entre a instalação que deve ser aterrada e o 
eletrodo de aterramento 
3.3 
corrente de interferência (no processo de medição de resistividade do solo) 
qualquer corrente estranha ao processo de medição, capaz de influenciar seus resultados 
3.4 
eletrodo de aterramento 
condutor nu ou envolto em material parcialmente condutor (concreto e outros), enterrado no solo, com 
função de dissipação de corrente 
3.5 
eletrodo natural de aterramento 
elemento condutor ligado diretamente à terra, cuja finalidade original não é de aterramento, mas que se 
comporta naturalmente como um eletrodo de aterramento 
3.6 
malha de aterramento 
conjunto de condutores, interligados e enterrados no solo 
3.7 
potenciais perigosos 
potenciais que podem provocar danos, quando aplicados ao elemento tomado como referência 
3.8 
resistência de aterramento (de um eletrodo) 
resistência ôhmica entre o eletrodo de aterramento e o terra de referência 
3.9 
resistividade aparente do solo 
resistividade vista por um sistema de aterramento qualquer, em um solo com característica de 
resistividade homogênea ou estratificado em camadas, cujo valor é utilizado para o cálculo da 
resistência de aterramento desse sistema 
3.10 
resistividade elétrica do solo, resistência específica do solo ou, simplesmente, resistividade do 
solo 
resistência entre faces opostas do volume do solo, consistindo em um cubo homogêneo e isótropo cuja 
aresta mede uma unidade de comprimento 
3.11 
resistividade média do solo a uma dada profundidade 
valor de resistividade resultante da avaliação das condições locais e do tratamento estatístico dos 
resultados de diversas medições de resistividade do solo para aquela profundidade, efetuada em uma 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 4/68 
 
determinada área ou local, e que possa ser considerado representativo das características elétricas do 
solo 
3.12 
sistema de aterramento 
conjunto de todos os eletrodos e condutores de aterramento interligados entre si, assim como partes 
metálicas que atuem com a mesma função, como pés de torre, armadura de fundações, estacas 
metálicas e outros 
3.13 
tensão de passo 
diferença de potencial entre dois pontos da superfície do solo, separados pela distância de um passo de 
uma pessoa, considerado igual a 1,0 m 
3.14 
tensão de toque 
diferença de potencial entre uma estrutura metálica aterrada e um ponto da superfície do solo, separado 
por uma distância horizontal equivalente ao alcance normal do braço de uma pessoa, e considerado 
igual a 1,0 m 
3.15 
tensão máxima do sistema de aterramento 
tensão máxima que um sistema de aterramento pode atingir relativamente ao terra de referência, 
quando da ocorrência de injeção de corrente para o solo 
3.16 
terra de referência 
região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de 
aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente 
que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente equipotencial 
considerada zero para referência de tensões elétricas 
3.17 
terra de referência para um eletrodo de aterramento (ou ponto remoto) 
região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de 
aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente 
que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente equipotencial 
considerada zero para referência de tensões elétricas 
4 Geral 
4.1 Composição do solo 
O solo é um meio geralmente heterogêneo, de modo que o valor de sua resistividade varia de local para 
local em função do tipo, nível de umidade, profundidade das camadas, idade de formação geológica, 
temperatura, salinidade e outros fatores naturais, sendo também afetado por fatores externos como 
contaminação e compactação. Exemplos de variação da resistividade em função de alguns destes 
parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Figura 1. 
 
 
 
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Tabela 1 — Valores típicos de resistividade de alguns tipos de solo 
Tipos de solo Faixa de resistividades 
Ωm 
Água do mar menor que 10 
Alagadiço, limo, húmus, lama até 150 
Água destilada 300 
Argila 300 – 5 000 
Calcário 500 – 5 000 
Areia 1 000 – 8 000 
Granito 1 500 – 10 000 
Basalto a partir de 10 000 
 
Concreto 
Molhadoa: 20 – 100 
Úmido: 300 – 1 000 
Seco: 3 000 – 2 000 000 
a A categoria “molhado” é típica de aplicação em ambientes externos. 
Valores inferiores a 50 Ωm são considerados altamente corrosivos. 
 
 
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Figura 1 — Variações típicas de resistividade (ρρρρ) do solo 
 
 
5 Requisitos específicos 
5.1 Medição de resistividade do solo 
5.1.1 Considerações gerais 
A determinação dos valores das resistividades do solo e de sua estratificação é de importância 
fundamental para o cálculo das características de um sistema de aterramento, subsidiando o 
desenvolvimento de projetos, bem como a determinação de seus potenciais de passo e toque. 
Em geral, o solo é constituído por diversas camadas, cada uma apresentando um certo valor de 
resistividade e uma espessura própria. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sal (%) 
ρρρρ((((ΩΩΩΩm) 
500 
 
 
100 
 
50 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Umidade (%) 
ρρρρ (ΩΩΩΩm) 
5000 
 
 
 
1000 
 
500 
 
 
100 
 
50 
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Temperatura (°C) 
ρρρρ (ΩΩΩΩm) 
5000 
 
 
1000 
 
500 
 
 
 
100 
 
50 
 
 
 
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O valor de resistividade do solo é determinado por meio de medições, cujos resultados recebem um 
tratamento matemático, de modo a se obter a estratificação do solo em camadas paralelas ou 
horizontais, de diferentes resistividades (ρ) e de espessuras (e) definidas, conforme Figura 2. 
 
 
Legenda 
ρρρρ1, e1 Resistividade e espessura da camada de número 1; 
ρρρρ2, e2 Resistividade e espessura da camada de número 2; 
ρρρρ3, e3 Resistividade e espessura da camada de número 3; 
ρρρρ4, e4 Resistividade e espessura da camada de número 4. 
Figura 2 — Solo real (a) e solo estratificado (b) 
Considerando-se, portanto, a heterogeneidade do solo, verificada pela variação de sua resistividade à 
medida em que suas camadas são pesquisadas, há necessidade de procurar meios e métodos que 
determinem essas variações, sem que seja necessário lançar mão de prospecções geológicas, o que, 
decerto, inviabilizaria os estudos para implantação de sistemas de aterramento. Assim sendo, foram 
desenvolvidos métodos de prospecção geoelétricos que se caracterizam pela facilidade operacional e 
precisão fornecidas. A complexidade adicional causada pelos solos não uniformes é comum, e apenas 
em poucos casos a resistividade é constante com o aumento da profundidade, ou seja, homogênea. 
Basicamente, os métodos que utilizam sondagem elétrica procuram determinar a distribuição vertical de 
resistividade, abaixo do ponto em estudo, resultando então em camadas horizontais, geralmente 
causadas por processos sedimentares. 
Dispondo-se de dois eletrodos de corrente pelos quais se faz circular uma corrente I, e de dois eletrodos 
de potencial que detectarão uma diferença de potencial V, pode-se mostrar que a resistividade do solo é 
proporcional a V/I, sendo o fator de proporcionalidade uma função do método empregado. 
Em função de pesquisas já realizadaspode-se dizer que metade da corrente injetada no solo, circula 
acima de uma profundidade igual à metade da distância entre eletrodos, e que grande parte da corrente 
flui acima da profundidade igual à separação entre eles. Para estas conclusões pressupõe-se a 
condição de solos homogêneos, não sendo as mesmas válidas para solos estratificados, nos quais a 
densidade de corrente varia de acordo com a distribuição de resistividades. 
Os gradientes de potencial da superfície do solo, dentro ou adjacentes a um eletrodo, são 
principalmente uma função da resistividade da camada superficial do solo. Por outro lado, a resistência 
do eletrodo de terra é primariamente uma função de suas dimensões e das resistividades das camadas 
mais profundas do solo, especialmente se o eletrodo for de grandes dimensões. 
Estratificações oblíquas e verticais, derivadas de acidentes geológicos, não são objeto de estudo desta 
Norma. 
 
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5.1.2 Metodologia de medição 
São considerados, os seguintes métodos de medição: 
 amostragem física do solo; 
 método da variação de profundidade; 
 método dos dois eletrodos; 
 método dos quatro eletrodos, com os seguintes arranjos: 
 arranjo do eletrodo central; 
 arranjo de Lee; 
 arranjo de Wenner; 
 arranjo Schlumberger – Palmer. 
5.1.2.1 Amostragem física do solo 
A amostragem física do solo está descrita no Anexo E. 
5.1.2.2 Método da variação de profundidade 
Este método, também conhecido como “método de três eletrodos”, consiste em um ensaio de 
resistência de terra executado para várias profundidades (L) do eletrodo de ensaio de diâmetro (d). O 
valor da resistência medida (Rm) refletirá a variação da resistividade, relativa ao incremento de 
profundidade. Usualmente, o eletrodo de ensaio é uma haste devido à facilidade de sua cravação no 
solo. 
As medições citadas podem ser executadas usando um dos métodos para medição da resistência de 
aterramento, descritos na ABNT NBR 15749. 
O método de variação de profundidade fornece informações úteis sobre a natureza do solo na 
vizinhança da haste. Contudo, se um grande volume de solo precisa ser investigado, é preferível que se 
use o método dos quatros eletrodos, já que o cravamento de hastes longas não é prático. 
Este método supõe que o aterramento a ser ensaiado seja composto de uma haste de aterramento de 
comprimento L. O raio r da haste é pequeno ao se comparar com L. Os valores de resistividade obtidos 
com esse método são médios e não podem ser extrapolados. 
A resistência de aterramento de uma haste enterrada em um solo uniforme, para fins práticos é dada 
pela equação: 
]1)/4[ln(
2
−×= rL
L
R
π
ρ
 (1) 
 
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Dependendo das aproximações usadas para cada comprimento L da haste, o valor R da resistência 
média determina o valor da resistividade aparente que, quando plotado em função de L, possibilita a 
determinação da variação da resistividade do solo em função da profundidade. 
5.1.2.3 Método dos dois eletrodos 
O método dos dois eletrodos está descrito no Anexo D. 
5.1.2.4 Método dos quatro eletrodos (geral) 
É o método mais aplicado para medição da resistividade média de grandes volumes de terra. Pequenos 
eletrodos são cravados no solo a pequenas profundidades, alinhados e espaçados em intervalos não 
necessariamente iguais. A corrente de ensaio I é injetada entre os dois eletrodos externos e a diferença 
de potencial V é medida entre os dois eletrodos internos com um potenciômetro ou um voltímetro de 
alta impedância, conforme Figura 3. A resistividade é dada pela equação (2): 
)/(
))/(1())/(1()/1()/1(
2
322131
1 IV
dddddd
×
+−+−+
=
π
ρ (2) 
 
Legenda 
I corrente entre os eletrodos de corrente C1 e C2; 
V diferença de tensão entre os eletrodos de potencial P1 e P2; 
d1 distância entre os eletrodos C1 e P1; 
d2 distância entre os eletrodos P1 e P2; 
d3 distância entre os eletrodos C2 e P2; 
b profundidade de cravação dos eletrodos. 
Figura 3 — Método dos quatro eletrodos (geral) 
Algumas variações do método dos quatro eletrodos são apresentadas em 5.1.2.4.1 a 5.1.2.4.5. 
5.1.2.4.1 Arranjo do eletrodo central 
O arranjo é recomendado para prospecção a grandes profundidades, ou em locais com resistividade 
elevada. O eletrodo C2 é fixado no centro da área a ser medida, variando-se a posição de C1, P1 e P2, e 
obedecendo-se à condição: d3 muito maior que d1 e d2, conforme Figura 4. A resistividade para uma 
profundidade H (dada pela média aritmética das distâncias d1, d2 e d3) é obtida (admitindo-se erro de 
1 %) pela equação (3): 
 
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( ) ( ) )/(]/2[ 2211 IVddddH ×+××= πρ (3) 
 
onde 
3/)( 321 dddH ++= (4) 
 
Em particular, se d1 = d2: 
)/(4 1 IVd ×××= πρ (5) 
 
Legenda 
I corrente 
P1 e P2 eletrodos de potencial 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
d1 distância entre os eletrodos C1 e P1 
d2 distância entre os eletrodos P1 e P2 
d3 distância entre os eletrodos C2 e P2 
ρρρρ1 resistividade aparente da primeira camada 
Figura 4 — Arranjo do eletrodo central 
 
5.1.2.4.2 Arranjo de Lee (ou das cinco hastes) 
É um arranjo que requer duas medidas por espaçamento e permite detectar variações nas espessuras 
das camadas do solo, conforme Figura 5. 
 
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Legenda 
I corrente 
P1 e P2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
a distância entre os eletrodos 
 
Figura 5 — Arranjo de Lee (ou das cinco hastes) 
 
1ª medição: )/(4 a1a IVAB×= ρρ 
2ª medição: )/(4 a2a IVBC×= ρρ 
 
Legenda 
I corrente 
P1 e P2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
a distância entre os eletrodos 
 
Figura 6 — Solo com camadas sem variação de espessura 
 
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Legenda 
I corrente 
P1 e P2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
a distância entre os eletrodos 
 
Figura 7 — Solo com camadas de espessuras variáveis 
 
5.1.2.4.3 Arranjo dos quatro pontos igualmente espaçados ou arranjo de Wenner 
Neste arranjo os eletrodos são igualmente espaçados, como mostrado na Figura 8. C1 e C2 são os 
eletrodos de corrente. A tensão é medida entre os eletrodos P1 e P2 do arranjo. Sendo a a distância 
entre eletrodos adjacentes e b a profundidade de cravação destes, a resistividade em função de a e b é 
dada por: 
)/()4/2(1
)/(4
2222
baabaa
IVa
+−++
××
=
π
ρ (6) 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 13/68 
 
 
Figura 8 — Arranjo de Wenner 
Na prática são usados quatro eletrodos localizados em uma linha reta em intervalos a, enterrados a 
uma profundidade que não exceda 10 % de a. Quando b ≤ a/10, a equação se torna a equação (7): 
)/(2(a) IVa ××= πρ (7) 
Essa equação é aproximadamente a resistividade média do solo na profundidade a. Um conjunto de 
leituras tomadas com vários espaçamentos entre eletrodos resulta em um conjunto de resistividades 
que, quando plotadas de acordo com o espaçamento, indicam a variação da resistividade em função da 
profundidade. 
Os eletrodos do instrumento devem estar sempre firmes e com boa aderência ao solo. Solos arenososou rochosos podem requerer adição de água ao redor do eletrodo para facilitar o contato elétrico. 
Um conjunto de leituras, tomadas com vários espaçamentos entre hastes, resulta em um conjunto de 
resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indica a variação da resistividade com 
a profundidade. 
Por exemplo, se o espaçamento for de 4,0 m e os eletrodos forem cravados a 0,2 m, a equação 
simplificada pode ser utilizada, mas se o espaçamento for de 1,0 m, precisa-se que cravar o eletrodo 
com menos de 0,1 m, o que geralmente não é suficiente para ter um contato adequado com o solo. 
O número mínimo de linhas de medição, os croquis recomendados para áreas com diversos tamanhos 
e formatos, bem como o procedimento de medição para o arranjo de Wenner, são apresentados no 
Anexo A. 
5.1.2.4.4 Arranjo de Schlumberger 
O arranjo de Schlumberger é uma disposição para o método dos quatro pontos onde o espaçamento 
central é mantido fixo (normalmente igual a 1,0 m), conforme Figura 9, enquanto os outros 
espaçamentos variam de forma uniforme. Daí, uma alta sensibilidade na medição dos potenciais é 
necessária, especialmente se a fonte do terrômetro for de baixa potência. 
 
Figura 9 — Arranjo de Schlumberger 
 
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As curvas-padrão para arranjo de Schlumberger em duas camadas são obtidas pela equação 8: 
( ) ( ) ( ) ( )( )dxxvxuJxvxuJxKvvuu,v +−−×××−×= ∫
∞
00
0
222
1as )]2/()[(ρρ (8) 
onde 
ρρρρas é a resistividade do arranjo de Schlumberger 
u é a metade do afastamento das hastes de potencial = (1,0)/2 
v é a metade do afastamento das hastes de corrente = (a + 1,0 + a)/2 
K(x) é a função kernel das camadas 
J0 (y) é a função de Bessel de primeira classe, de ordem zero 
 
5.1.2.4.5 Arranjo Schlumberger – Palmer 
Para medir resistividades com grandes espaçamentos, especialmente em terrenos de alta resistividade 
(da ordem de ou superior a 3 000 Ωm), pode ser usado o arranjo mostrado na Figura 10, com os 
eletrodos de potencial situados muito próximos aos eletrodos de corrente correspondentes para 
melhorar a resolução da medida da tensão. Mesmo assim, os terrômetros convencionais, de baixa 
potência (com corrente compatível com a sensibilidade do aparelho), dificilmente operam de forma 
eficiente. 
 
Legenda 
A Amperímetro 
V Voltímetro 
b Profundidade dos eletrodos 
c Distância entre os eletrodos de potencial 
d Distância entre os eletrodos de corrente e os eletrodos de potencial 
Figura 10 — Arranjo de Schlumberger – Palmer 
Se a profundidade b do eletrodo for pequena comparada com as separações d e c, então a resistividade 
medida pode ser calculada pela seguinte equação (9): 
 
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)/(]/)([ IVcdcd ×+×= πρ (9) 
5.1.3 Procedimentos da medição 
5.1.3.1 Número e localização das linhas de medição 
Uma medição é definida como o conjunto de leituras obtidas em uma mesma direção de cravamento e 
diversos espaçamentos entre hastes, conforme 5.1.2.4. 
A localização dos pontos e das direções das medições depende da geometria da área e das 
características locais. O número mínimo de linhas de medição, bem como os croquis recomendados 
para medições em áreas retangulares são apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2 — Área do terreno e número mínimo de linhas de medição 
Área do terreno 
m2 
Número mínimo de 
linhas de medição 
Croquis para as linhas de 
medição 
S ≤ 1 000 
1 000 < S ≤ 2 000 
2 000 < S ≤ 5 000 
5 000 < S ≤ 10 000 
10 000 < S ≤ 20 000 
2 
3 
4 
5 
6 
Figura 11-a 
Figura 11-b 
Figura 11-c 
Figura 11-d 
Figura 11-e 
NOTA Para medições em áreas acima de 20 000 m2 recomenda-se dividir o terreno remanescente em áreas 
de até 10 000 m2, acrescentando-se linhas de medição equivalentes às descritas nesta tabela . Assim, para 
uma área de 25 000 m2 executa-se 6 + 4 = 10 linhas de medição 
 
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Legenda 
A, B, C, D, E, F – Linhas de medição 
Figura 11 — Croquis para medições de resistividade 
Além da área, outros aspectos devem ser observados na determinação do número de medições, 
ressaltando-se: 
 as variações nas características do solo local, devendo-se medir separadamente a resistividade 
nos diferentes tipos de terreno existentes; 
 as variações entre os resultados obtidos nas diversas linhas de medição para uma mesma 
distância entre eletrodos; quanto maior a discrepância entre os resultados, maior deve ser o 
número de linhas de medição. 
5.1.3.2 Condições mínimas a serem observadas 
Deve ser considerada a variação sazonal da resistividade do solo, devendo ser realizada uma medição 
no período mais crítico. 
A=B
A
B C D
AB C
A
C
B D
E
Figura 16 - (a) Figura 16 - (b)
Figura 16 - (c) Figura 16 - (d)
A=B D
E
C
F
Figura 16 - (e)
d 
a b 
e 
c 
 
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De maneira geral, a situação mais crítica é a de solo seco, que ocorre após um período de sete dias 
sem chuvas. Esse período deve ser observado sempre para comprovação da situação mais crítica, 
caso seja necessária. 
Para estimativa de projeto ou casos especiais, podem ser efetuadas medições com o solo na situação 
que não seja a mais crítica. Uma medição posterior é necessária, caso acordado entre as partes. 
Em áreas onde seja necessário corrigir o nível do terreno, pelo menos uma das medições deve ser 
realizada após a conclusão da terraplenagem. 
Pontos de uma mesma área em que sejam obtidos valores de resistividade com desvio superior a 50 % 
em relação ao valor médio das medições realizadas podem caracterizar uma subárea específica, 
devendo ser realizadas medições complementares ao seu redor, para ratificação do resultado; se isso 
não for possível, considerar a conveniência de descartar a linha de medição. 
No caso de medições de resistividade próximas a malhas existentes, objetos condutores enterrados ou 
cercas aterradas, deve-se afastar a linha de medição a uma distância onde as interferências sejam 
reduzidas para evitar ou atenuar os efeitos da proximidade com massas metálicas enterradas próximo à 
linha de medição. 
 
No caso de medições de resistividade próximas a aterramentos de redes de energia e de 
telecomunicações, de linhas de transmissão ou de quaisquer outras fonte de interferências, deve-se 
afastar a linha de medição e utilizar instrumentos que possuam filtros que separem os resultados do 
sinal injetado para evitar ou atenuar os efeitos da proximidade com circuitos potencialmente 
interferentes. 
 
Para projetos de linhas de transmissão devem ser realizadas duas medições em direções ortogonais 
nos pontos escolhidos, preferencialmente no sentido longitudinal ao encaminhamento da linha de 
transmissão e outra perpendicular, que devem coincidir com a localização das estruturas. 
Cada linha de medição deve abranger diferentes distâncias entre eletrodos, que se estendam, no 
mínimo, até a maior dimensão (diagonal) do terreno a ser ocupado pela malha. A linha de medição deve 
ser prospectada a partir de uma distância entre eletrodos de 1 m e prosseguir, se possível, em potência 
de 2, a saber: 1, 2, 4, 8,16, 32, 64 m etc.. Podem ser utilizadas distâncias intermediárias entre eletrodos. 
Condições diferentes das acima indicadas só podem ser definidas sob justificativas técnicas e após 
expressa concordância entre os agentes envolvidos, observadas as condições específicas do local. 
Na execução das medições deve-se anotar todas as características locais e os resultados obtidos em 
planilhas, como a apresentada no Anexo B. 
5.1.4 Instrumentos de medição 
As características dos instrumentos de medição estão descritas no Anexo C. 
5.1.5 Cuidados na medição 
Durante a medição de resistividadedevem ser tomados alguns cuidados, como, 
 não fazer medições sob condições atmosféricas adversas, tendo-se em vista a possibilidade de 
ocorrência de descargas atmosféricas; 
 
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 utilizar equipamentos de proteção individual (EPI) compatíveis com o tipo e o local da medição a 
ser realizada; 
 evitar que pessoas estranhas e animais aproximem-se do local; 
 não tocar nos eletrodos durante a medição. 
5.1.6 Interpretação das medidas 
A interpretação dos resultados obtidos no campo é a parte mais crítica do processo de medição e, 
consequentemente, necessita de maiores cuidados na sua validação. Como já mencionado, a variação 
da resistividade do solo pode ser grande e complexa por causa da sua heterogeneidade e portanto há 
necessidade de se estabelecer uma equivalência para estrutura do solo. 
Esta equivalência depende: 
 da exatidão e extensão das medições; 
 do método usado; 
 da complexidade matemática envolvida; 
 da finalidade das medições. 
Quando o solo for do tipo não homogeneo, é recomendável a disponibilidade de ferramentas 
computacionais adequadas. 
5.1.6.1 Método dos quatro eletrodos 
A interpretação do método dos quatro eletrodos é similar àquela do método de profundidade já descrito. 
No caso do arranjo de Wenner, a resistividade medida é registrada em função do espaçamento a do 
eletrodo. A curva resultante indica a estrutura do solo. A interpretação da curva obtida pode indicar 
desvios nas medições ou necessidade de informação adicional sobre o solo, inclusive de medições em 
profundidades adicionais. 
5.2 Modelagem matemática do solo para duas camadas 
5.2.1 Modelagem convencional 
Dependendo da finalidade da medição da resistividade do solo, um modelo equivalente de duas 
camadas pode ser eficaz em termos de resultados. Neste modelo o solo é caracterizado pelos 
seguintes parâmetros: 
 espessura da primeira camada, h; 
 resistividade da primeira camada, ρ1; 
 resistividade da camada mais profunda, ρ2; 
 coeficiente de reflexão k. 
 
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A determinação da resistividade usando o arranjo de Wenner resulta em uma resistividade equivalente 
que é função da separação de eletrodos a. A resistividade equivalente é mostrada pela equação (10) 
(ver Figura 12): 
( ) ( ) 















+
−
+
+×= ∑
∞
−1
22
1(a)
/24/21
41
n
nn
anh
k
anh
k
ρρ (10) 
onde o coeficiente de reflexão k é dado por: 
)/()( 1212 ρρρρ +−=k (11) 
 
Figura 12 — Solo estratificado em duas camadas 
 
5.2.2 Método semiesférico 
O método semiesférico pode ser empregado para avaliar a resistividade aparente em malhas de 
aterramento situadas em estratificações horizontais e com componentes verticais (beira de rios em 
malhas de usinas, por exemplo). 
Este método considera uma malha de terra com raio equivalente r instalada na superfície de uma calota 
semiesférica (Figura 13) de solo estratificado em duas camadas radiais, com resistividade inicial ρ1, de 
espessura d, e resistividade da segunda camada ρ2. Ver Figura 13. 
 
Camada superior 
Camada profunda 
h 
ρρρρ1 
ρρρρ2 
a a a 
 
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Figura 13 — Solo modelado em duas camadas semiesféricas 
A resistividade aparente ρa é usualmente definida considerando que: 
d é a espessura da primeira camada, de resistividade superficial, ρ1; 
a é o raio da semiesfera da malha de aterramento; 
b é a distância do centro da malha até a interface entre ρ1 e ρ2; 
r é o raio do círculo de área igual ao da malha de aterramento (r = 2a). 
Como d = b − a, chega-se à expressão: 
ad /21
1)/(
1/ 1212
+
−
+=
ρρ
ρρ (12) 
A partir desta expressão, para diversas condições de r/d e ρ2/ρ1 são construídas as curvas da 
Figura 14. 
Com o valor r/d, intercepta-se (ou interpola-se) a curva correspondente de ρ2/ρ1 e desta forma obtém-se 
o valor de ρa/ρ1. O produto deste valor com ρ1 fornece ρa. 
Neste modelo, a camada de resistividade mais elevada mantém maior influência na resistividade 
aparente, para quaisquer valores de r/d. 
 
 
 
 
 
 
ρ1 
ρ2 
 a b 
 d 
 
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0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1 10 100
r/d
ρρρρ2/ρρρρ1
 50
0,2
 0,1
 0,05
 0,02
 0,01
 0,5
 20
 10
 5
 2
 1
 100
ρρρρa/ρρρρ1
 
Figura 14 — Curvas utilizadas pelo método semiesférico 
 
6 Estratificação do solo 
6.1 Métodos gráficos 
Os métodos gráficos normalmente adotados são apresentados no Anexo A. 
O método simplificado, detalhado em A.1, é aplicado a solos de duas camadas. 
O método das curvas-padrão e auxiliar, detalhado em A.2, aplica-se a solos de duas ou mais camadas. 
O método da queda de potencial é recomendado para medição de resistência de aterramento por meio 
de equipamento específico (terrômetro). 
As curvas-padrão, conforme Sunde, para o arranjo de Wenner (aw) em duas camadas obedecem à 
equação (13): 
 
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( ) ( ) ( ) ( )( )dxaxJaxJxKaaaw ××−××××= ∫
∞
22 0001ρρ (13) 
onde 
ρρρρaw é a resistividade medida 
a é o espaçamento 
ρρρρ1 é a resistividade da primeira camada 
K(x) é a função kernel das camadas 
J0(y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero 
x é a variável de integração 
A função K(x), para as curvas-padrão em solos de duas camadas, é dada por: 
hx
hx
ek
ek
xK
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅−
⋅+
=
2
2
1
1
)( (14) 
onde k é o coeficiente de reflexão entre as resistividades das camadas 1 e 2 obtido pela equação 11 e h 
é a espessura da primeira camada. 
Para solos com mais de duas camadas, é necessária a utilização de curvas auxiliares. 
Exemplos de aplicação são apresentados no Anexo B. 
6.2 Métodos computacionais 
A solução das equações 13 e 14 pode ser uma tarefa complexa, o que motiva o desenvolvimento de 
métodos computacionais para a estratificação de solos. 
Os softwares existentes estratificam o solo em camadas e são adequados à grande maioria dos casos. 
No entanto, a utilização de programas computacionais não exime o projetista da interpretação física dos 
resultados, para verificar a aplicabilidade da modelagem obtida do solo. 
A parte contratual que recebe as medições e as estratificações do solo pode especificar limites ou 
condições que venham a comprovar as interpretações físicas dadas à modelagem obtida. 
Casos especiais merecem cuidados adicionais de interpretação. 
6.3 Exemplos de curvas de resistividade e quantidades de camadas do solo 
O número de camadas de uma estratificação é, matematicamente: 
 Ncam = 1 + Npi 
Onde Npi é o número de pontos de inflexão da curva; assim, um solo homogêneo tem como curva uma 
reta, um solo de duas camadas tem uma curva com um ponto de inflexão etc., ou, visto de outra forma, 
uma curva com um ponto de inflexão significa um solo de duas camadas. 
 
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Solo 
homogêneo 
 
Com duas camadas 
 
Com tres camadas 
 
Com quatro camadas 
 
 
Legenda 
ρρρρ Resistividade; 
a Distância entre eletrodos. 
Figura 15 — Exemplos típicos de curvas para diversas estratificações 
 
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Anexo A 
(normativo) 
 
Métodos gráficos de estratificação do solo 
A.1 Métodos gráficos 
O solo é formado por diversas camadas cujo perfil pode ser horizontal, paralelo à superfície, inclinado e 
até vertical,devido à formação geológica. A estratificação é a determinação destas camadas pelas suas 
resistividades e respectivas profundidades. Os métodos de estratificação apresentados nesta Norma 
consideram as camadas aproximadamente horizontais. 
Os principais métodos são os seguintes: 
 Método simplificado; 
 Método gráfico de curvas-padrão e auxiliar; 
 Método de Pirson; 
 2º método de Tagg. 
A.1.1 Método simplificado 
Este método é apropriado para solos de duas camadas. A curva ρ = f(a) deve ter uma das formas 
típicas indicadas na Figura A.1. 
 
 
Figura A.1 – Curvas típicas de solos de duas camadas 
 
 
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Determinam-se as resistividades e profundidades das camadas com a seguinte rotina (ver Figura A.2): 
 prolongar a curva ρxa até interceptar o eixo das ordenadas, o qual indica o valor da resistividade da 
camada superior do solo (ρ1); 
 traçar a assíntota à curva ρ×a e prolongá-la até o eixo das ordenadas, indicando o valor da 
resistividade da camada inferior do solo (ρ2); 
 Calcular a relação ρ2/ρ1. Com este valor, determinar o valor de Mo na Tabela A.1; 
 calcular ρm = Mo×ρ1; 
 na curva ρ×a, localizar ρm para obter o valor da camada superior do solo, h; 
 Para exemplificar, considerando-se ρ2 = 400 Ωm e ρ1 =100 Ωm, obtem-se ρ2/ρ1 = 4. Com este valor 
de ρ2/ρ1, procura-se Mo na Tabela A.1, que fornece Mo = 1,26. Então, ρm = 1,26 ×100 =126 Ωm; 
 Com o valor obtido para ρm e o auxílio da curva de valores medidos da Figura A.2, obtem-se no 
eixo horizontal a(m) o valor de h. No exemplo, h ≈ 2,7 m. 
 
 
Figura A.2 – Curva de valores medidos ρρρρ×a 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela A.1 – Mo em função de ρρρρ2/ρρρρ1 
ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo 
0,001 0,684 0,70 0,936 14,5 1,413 
0,002 0,684 0,75 0,948 15,0 1,416 
0,003 0,685 0,80 0,959 15,5 1,418 
0,003 0,685 0,85 0,970 16,0 1,421 
0,004 0,686 0,90 0,981 16,5 1,423 
0,005 0,686 0,95 0,990 17,0 1,425 
0,005 0,686 1,0 1,000 17,5 1,427 
0,006 0,687 1,5 1,078 18,0 1,429 
0,007 0,687 2,0 1,134 18,5 1,430 
0,008 0,688 2,5 1,177 19 1,432 
0,009 0,688 3,0 1,210 20 1,435 
0,010 0,689 3,5 1,237 30 1,456 
0,015 0,691 4,0 1,260 40 1,467 
0,02 0,694 4,5 1,278 50 1,474 
0,03 0,699 5,0 1,294 60 1,479 
0,04 0,704 5,5 1,308 70 1,482 
0,05 0,710 6,0 1,320 80 1,484 
0,06 0,715 6,5 1,331 90 1,486 
0,07 0,720 7,0 1,334 100 1,488 
0,08 0,724 7,5 1,349 110 1,489 
0,09 0,729 8,0 1,356 120 1,490 
0,10 0,734 8,5 1,363 130 1,491 
0,15 0,757 9,0 1,369 140 1,492 
0,20 0,778 9,5 1,375 150 1,493 
0,25 0,798 10,0 1,380 160 1,494 
0,30 0,817 10,5 1,385 180 1,495 
0,35 0,835 11,0 1,390 200 1,496 
0,40 0,852 11,5 1,394 240 1,497 
0,45 0,868 12,0 1,398 280 1,498 
0,50 0,883 12,5 1,401 350 1,499 
0,55 0,897 13,0 1,404 450 1,500 
0,60 0,911 13,5 1,408 640 1,501 
0,65 0,924 14,0 1,410 1 000 1,501 
 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 27/68 
 
A.1.2 Método gráfico de curvas-padrão e curvas auxiliares 
A estratificação do solo parte de equações matemáticas, desenvolvidas pelas transformadas de Laplace 
e aplicação da equação de Bessel. Para maior praticidade deve-se utilizar as curvas de Hummel, 
“curvas padrão”, (ver Figura A.3) e “curvas auxiliares”, (ver Figura A.4), que foram montadas de forma a 
determinar a resistividade e profundidade das camadas do solo, como descrito a seguir: 
 traçar a curva ρ×a, em papel transparente (ver Figura A.5), com escala bilogarítmica de módulo 
idêntico ao das curvas-padrão e auxiliares; 
 dividir a curva ρ×a em trechos ascendentes e descendentes; 
 colocar a curva ρ×a sobre as curvas-padrão e pesquisar a que mais se identifica com o primeiro 
trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos; 
 marcar a origem das curvas-padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de polo 01 e anotar a 
relação ρ2/ρ1; 
 na curva ρ×a são lidas as coordenadas do polo 01 que representam a profundidade em a1 e a 
resistividade da primeira camada do solo (ρ1); 
 obter a resistividade da segunda camada (ρ2) pela relação (ρ2/ρ1); 
 a seguir colocar o polo 01 da curva ρ×a sobre a origem das curvas auxiliares e tracejar a curva 
auxiliar de relação ρ2/ρ1; 
 voltar às curvas-padrão, mantendo sua origem sob a curva tracejada, até identificar uma outra 
curva-padrão para o segundo trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos; 
 marcar a origem das curvas-padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de polo 02 e anotar a 
relação ρ3/ρ’2; 
 na curva ρ×a são lidas as coordenadas do polo 02 que representam a profundidade a2 e a 
resistividade ρ’2; 
 obter a resistividade da terceira camada (ρ3) pela relação: ρ3/ρ’2; 
 havendo mais trechos ascendentes e/ou descendentes, prosseguir analogamente, obtendo-se os 
demais polos 03, 04 e outros. 
 
 
 
 
 
 
 
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FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 28/68 
 
 
 
 
Figura A.3 – Curvas padrão 
 
 
 
 
 
 
 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1,5
1
0,9 
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,15
0,1 
ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15 
0 1/15 
ρρρρ2/ρρρρ1 
 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
a/d1 
10 
 
9 
 
8 
 
 
7 
 
6 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
 
3 
 
2,5 
 
 
2 
 
 
 
1,5 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1/1,5 
 
 
 
 
1/2 
 
 
1/2,5 
 
1/3 
 
 
 
1/4 
 
 
1/5 
 
 
1/6 
 
1/7 
 
1/8 
 
 
1/10 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 29/68 
 
 
 
 
 
 
Figura A.4 – Curvas auxiliares 
 
 
 
 
 
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1,5
1
0,9 
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,15
0,1 
ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15 
10 
 
 
8 
 
 
7 
 
 
6 
 
 
 
5 
 
4 
 
 
 
3 
 
2,5 
 
 
2 
 
 
 
1,5 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1/1,5 
 
 
 
 
1/2 
 
 
1/2,5 
 
 
1/3 
 
 
 
1/4 
 
 
1/5 
 
 
1/6 
 
1/7 
 
1/8 
 
 
1/10 
 
 
 
 1/2 1/15 
ρρρρ2/ρρρρ1 
d2/d1 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 30/68 
 
ESTRATIFICAÇÃO DE SOLO 
LOCAL: _______________________ DATA: ___ /___ /___ 
 
CONDIÇÕES DO SOLO: 
 
Muito Úmido 
 
 Úmido 
Normal 
Seco 
 
a 
m 
R 
Ω 
2ππππa 
2ππππaR 
Ωm 
1 6,28 
2 12,56 
4 25,12 
8 50,24 
16 100,48 
32 200,96 
 
 
 
Figura A.5 – Curvas em papel transparente 
a(m) 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 31/68 
 
A estratificação pode ser resumida para maior clareza conforme a Figura A.6. 
 
Legenda 
ρρρρ1 Resistividade da primeira camada d1 Espessura da primeira camada 
ρρρρ2 Resistividade da segunda camada d2 Espessura da segunda camada 
ρρρρA Resistividade da camada A dA Espessura da camada A 
ρρρρA+1 Resistividade da camada A+1 ∞∞∞∞ Infinito 
a1 Profundidade até a segunda camada a2 Profundidade até a terceira camada 
aA Profundidade até a camada A + 1 
Figura A.6 – Estratificação do solo em n camadas 
 
A.1.3 Método de Pirson 
A partir da curva de resistividade ρ×a, construída conforme mostrado na Figura A.2, proceder de acordo 
com o descrito em A.1.3.1 a A.1.3.17. 
A.1.3.1 A resistividade da primeira camada,ρ1, é determinada por meio de uma série de medições com 
pequenos espaçamentos de eletrodos (entre 1,5 m e 6,0 m), prolongando a curva média dos resultados 
obtidos até encontrar o eixo das resistividades. A interseção da curva no eixo determina o valor de ρ1. 
A.1.3.2 Supor um valor de a1, contido na primeira parte da curva ρ×a, determinando sua respectiva 
resistividade ρ(a1). “As partes das curvas são definidas como trechos entre dois pontos de inflexão da 
curva ρ×a dada”. 
0/ 22 =dad ρ 
A.1.3.3 Uma vez escolhido a, e consequentemente determinado, o valor de ρ(a1), estabelecer a 
seguinte relação: 
( ) ( )1111 aa ρρρρ =′ , se a curva for ascendente (k > 0) e 
( ) ( ) 1111 ρρρρ aa =′ , se a curva for descendente (k < 0). 
d1 
d2 
dA 
a1 
a2 
aA 
ρ1 
ρ2 
ρA-1 
ρA 
∞ 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 32/68 
 
A.1.3.4 A partir da relação definida anteriormente, extrair das Tabelas A.2 ou A.3 a série de valores de 
a/a1, dada em função da série de valores de k. 
Tabela A.2 – Valores de ρρρρ(an)/ ρρρρ’n para k negativo 
a/a1 
 Valores de k negativo 
−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0 
0,000 0 0,818 2 0,666 7 0.538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 
0,025 0 0,818 5 0,667 1 0,538 9 0,429 0 0,333 7 0,250 3 0,179 7 0,111 2 0,052 7 0,000 0 
0,050 0 0,819 4 0,668 3 0,540 2 0,430 1 0,334 7 0,251 0 0,177 2 0,111 6 0,052 9 0,000 0 
0,075 0 0,820 8 0,670 4 0,542 3 0,432 1 0,336 3 0,252 4 0,178 2 0,112 2 0,053 2 0,000 0 
0,100 0 0,822 9 0,673 3 0,545 4 0,435 0 0,338 8 0,254 4 0,179 7 0,113 2 0,053 6 0,000 0 
0,125 0 0,825 5 0,677 1 0,549 6 0,439 0 0,342 3 0,257 2 0,181 8 0,114 6 0,054 3 0,000 1 
0,150 0 0,828 7 0,681 9 0,554 8 0,444 1 0,346 9 0,261 0 0,184 7 0,116 6 0,055 4 0,000 3 
0,175 0 0,832 4 0,687 6 0,561 3 0,450 7 0,353 0 0,266 3 0,189 0 0,119 8 0,057 5 0,001 2 
0,200 0 0,836 6 0,694 1 0,569 1 0,458 7 0,360 7 0,273 3 0,195 0 0,124 6 0,061 0 0,003 4 
0,225 0 0,841 2 0,701 5 0,578 1 0,468 3 0,370 3 0,282 3 0,203 1 0,131 6 0,066 7 0,007 7 
0,250 0 0,846 1 0,709 7 0,588 2 0,479 4 0,381 7 0,293 5 0,213 6 0,141 1 0,075 0 0,014 7 
0,275 0 0,851 2 0,718 4 0,599 3 0,492 0 0,394 9 0,306 8 0,226 5 0,153 3 0,086 2 0,024 7 
0,300 0 0,856 6 0,727 7 0,611 3 0,505 7 0,409 7 0,322 1 0,241 8 0,168 1 0,100 4 0,037 9 
0,325 0 0,862 1 0,737 3 0,623 9 0,520 6 0,426 0 0,339 1 0,259 2 0,185 5 0,117 4 0,054 2 
0,350 0 0,867 6 0,747 2 0,637 1 0,536 2 0,443 3 0,357 7 0,278 5 0,205 1 0,137 0 0,073 5 
0,375 0 0,873 2 0,757 1 0,650 6 0,552 4 0,461 6 0,377 5 0,299 4 0,226 7 0,158 8 0,095 4 
0,400 0 0,878 7 0,767 1 0,664 2 0,569 0 0,480 5 0,398 2 0,321 5 0,249 7 0,182 5 0,119 4 
0,425 0 0,884 1 0,777 1 0,677 9 0,585 8 0,499 9 0,419 6 0,344 4 0,273 9 0,207 6 0,145 2 
0,450 0 0,889 4 0,786 9 0,691 6 0,602 6 0,519 4 0,441 3 0,368 0 0,298 9 0,233 8 0,172 3 
0,475 0 0,894 6 0,796 5 0,705 0 0,619 3 0,538 8 0,463 2 0,391 8 0,324 5 0,260 7 0,200 3 
0,500 0 0,899 6 0,805 9 0,718 2 0,635 8 0,558 2 0,485 0 0,415 8 0,350 2 0,288 1 0,229 0 
0,525 0 0,904 5 0,815 0 0,731 0 0,651 9 0,577 2 0,506 5 0,439 5 0,376 0 0,315 5 0,257 9 
0,550 0 0,909 2 0,823 8 0,743 5 0,667 6 0,595 8 0,527 7 0,463 0 0,401 5 0,342 8 0,286 8 
0,575 0 0,913 6 0,832 3 0,755 5 0,682 9 0,613 9 0,548 4 0,486 1 0,426 6 0,369 8 0,315 5 
0,600 0 0,917 9 0,840 4 0,767 1 0,697 6 0,631 5 0,568 6 0,508 6 0,451 2 0,396 3 0,343 7 
0,625 0 0,922 0 0,848 2 0,778 3 0,711 8 0,648 5 0,588 1 0,530 4 0,475 2 0,422 2 0,371 4 
0,650 0 0,925 9 0,855 7 0,789 0 0,725 5 0,664 9 0,607 0 0,551 6 0,498 4 0,447 4 0,398 4 
0,675 0 0,929 6 0,863 8 0,799 2 0,738 5 0,680 6 0,625 1 0,572 0 0,520 9 0,471 8 0,424 6 
0,700 0 0,933 1 0,869 5 0,808 9 0,751 0 0,695 7 0,642 6 0,591 6 0,542 6 0,495 4 0,449 9 
0,725 0 0,936 5 0,876 0 0,818 2 0,763 0 0,710 1 0,659 3 0,610 4 0,563 4 0,518 1 0,474 4 
0,750 0 0,939 6 0,882 1 0,827 0 0,774 3 0,723 8 0,675 2 0,628 5 0,583 4 0,539 9 0,497 9 
0,775 0 0,942 6 0,887 8 0,835 4 0,785 2 0,736 9 0,690 4 0,645 7 0,602 5 0,560 8 0,520 5 
0,800 0 0,945 5 0,893 3 0,843 4 0,795 5 0,745 4 0,705 0 0,662 2 0,620 8 0,580 9 0,542 1 
0,825 0 0,948 1 0,898 5 0,850 9 0,805 2 0,761 2 0,718 8 0,677 9 0,638 3 0,600 0 0,562 9 
0,850 0 0,950 7 0,903 5 0,858 1 0,814 5 0,772 5 0,732 0 0,692 8 0,654 9 0,618 2 0,582 6 
0,875 0 0,953 1 0,908 1 0,864 9 0,823 3 0,783 2 0,744 5 0,707 0 0,670 8 0,635 6 0,601 6 
0,900 0 0,955 4 0,912 5 0,871 3 0,831 7 0,793 4 0,756 4 0,720 5 0,685 9 0,652 2 0,619 5 
0,925 0 0,957 5 0,916 7 0,877 4 0,839 6 0,803 0 0,767 6 0,733 4 0,700 2 0,668 0 0,636 7 
0,950 0 0,959 5 0,920 7 0,883 2 0,847 1 0,812 1 0,778 3 0,745 6 0,713 8 0,683 0 0,653 0 
0,975 0 0,961 5 0,924 4 0,888 7 0,854 2 0,820 8 0,788 5 0,757 2 0,726 8 0,697 3 0,668 5 
1,000 0 0,963 3 0,927 9 0,893 8 0,860 9 0,829 0 0,798 1 0,768 2 0,739 1 0,710 8 0,683 3 
1,025 0 0,965 0 0,931 3 0,898 7 0,867 3 0,836 8 0,807 3 0,778 6 0,750 8 0,723 7 0,697 3 
1,050 0 0,966 6 0,934 4 0,903 3 0,873 3 0,844 2 0,815 9 0,788 5 0,761 9 0,735 9 0,710 7 
1,075 0 0,968 1 0,937 4 0,907 7 0,879 0 0,851 2 0,824 2 0,797 9 0,772 4 0,747 6 0,723 4 
1,100 0 0,969 6 0,940 2 0,911 9 0,884 4 0,857 8 0,832 0 0,806 8 0,782 4 0,758 6 0,735 4 
1,125 0 0,971 0 0,942 9 0,915 8 0,889 6 0,864 1 0,839 4 0,815 3 0,791 9 0,769 1 0,746 8 
1,150 0 0,972 3 0,945 5 0,919 5 0,894 4 0,870 0 0,846 4 0,823 3 0,800 9 0,779 0 0,757 7 
1,175 0 0,973 5 0,947 9 0,923 1 0,899 0 0,875 7 0,853 0 0,830 9 0,809 5 0,788 5 0,768 1 
1,200 0 0,974 6 0,950 1 0,926 4 0,903 4 0,881 0 0,859 3 0,838 2 0,817 6 0,797 5 0,777 9 
 
ABNT/CB-03 
2°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 33/68 
 
Tabela A.2 (continuação) 
a/a1 
 Valores de k negativo 
−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0 
1,225 0 0,975 7 0,952 3 0,929 6 0,907 5 0,886 1 0,865 3 0,845 0 0,825 3 0,806 0 0,787 2 
1,250 0 0,976 8 0,954 3 0,932 6 0,911 5 0,891 0 0,871 0 0,851 6 0,832 6 0,814 1 0,796 0 
1,275 0 0,977 8 0,956 3 0,935 4 0,915 2 0,895 5 0,876 4 0,857 7 0,839 6 0,821 8 0,804 5 
1,300 0 0,978 7 0,958 1 0,938 1 0,918 7 0,899 9 0,881 5 0,863 6 0,846 2 0,829 1 0,812 5 
1,325 0 0,979 6 0,959 9 0,940 7 0,922 1 0,904 0 0,886 4 0,869 2 0,852 5 0,836 1 0,820 1 
1,350 0 0,980 4 0,961 5 0,943 1 0,925 3 0,907 9 0,891 0 0,874 5 0,858 4 0,842 7 0,827 3 
1,375 0 0,981 2 0,963 1 0,945 5 0,928 3 0,911 7 0,895 4 0,879 6 0,864 1 0,849 0 0,834 2 
1,400 0 0,982 0 0,964 6 0,947 7 0,931 2 0,915 2 0,899 6 0,884 4 0,869 5 0,855 0 0,840 8 
1,425 0 0,982 7 0,966 0 0,949 7 0,933 9 0,918 6 0,903 6 0,888 9 0,874 7 0,860 7 0,847 0 
1,450 0 0,983 4 0,967 3 0,951 7 0,936 5 0,921 8 0,907 4 0,893 3 0,879 5 0,866 1 0,853 0 
1,475 0 0,984 1 0,968 6 0,953 6 0,939 0 0,924 8 0,911 0 0,897 4 0,884 2 0,871 3 0,858 7 
1,500 0 0,984 7 0,969 8 0,955 4 0,941 4 0,927 7 0,914 4 0,901 4 0,888 6 0,876 2 0,864 0 
1,525 0 0,985 3 0,971 0 0,957 1 0,943 6 0,930 5 0,917 6 0,905 1 0,892 9 0,880 9 0,869 2 
1,550 0 0,985 8 0,972 1 0,958 8 0,945 8 0,933 1 0,920 8 0,908 7 0,896 9 0,885 4 0,874 1 
1,575 0 0,986 4 0,973 2 0,960 3 0,947 8 0,935 6 0,923 7 0,912 1 0,900 7 0,889 6 0,878 7 
1,600 0 0,986 9 0,974 2 0,961 8 0,949 8 0,938 0 0,926 6 0,915 4 0,904 4 0,893 7 0,883 2 
1,625 0 0,987 4 0,975 1 0,963 2 0,951 6 0,940 3 0,929 3 0,918 5 0,907 9 0,897 6 0,887 5 
1,650 0 0,987 8 0,976 0 0,964 6 0,953 4 0,942 5 0,931 8 0,921 4 0,911 2 0,901 3 0,891 5 
1,675 0 0,988 3 0,976 9 0,965 8 0,955 1 0,944 5 0,934 3 0,924 2 0,914 4 0,904 8 0,895 4 
1,700 0 0,988 7 0,977 7 0,967 1 0,956 7 0,946 5 0,936 6 0,926 9 0,917 5 0,908 2 0,899 1 
1,725 0 0,989 1 0,978 5 0,968 2 0,958 2 0,948 4 0,938 9 0,929 5 0,920 4 0,911 4 0,902 7 
1,750 0 0,989 5 0,979 3 0,969 4 0,959 7 0,950 2 0,941 0 0,932 0 0,923 2 0,914 5 0,906 1 
1,775 0 0,989 9 0,980 0 0,970 4 0,961 1 0,952 0 0,943 1 0,934 3 0,925 8 0,917 5 0,909 3 
1,800 0 0,990 2 0,980 7 0,971 5 0,962 4 0,953 6 0,9450 0,936 6 0,928 4 0,920 3 0,912 4 
1,825 0 0,990 6 0,981 4 0,972 4 0,963 7 0,955 2 0,946 9 0,938 8 0,930 8 0,923 0 0,915 4 
1,850 0 0,990 9 0,982 0 0,973 4 0,964 8 0,956 7 0,948 7 0,940 8 0,933 2 0,925 6 0,918 2 
1,875 0 0,991 2 0,982 6 0,974 3 0,965 1 0,958 2 0,950 4 0,942 8 0,935 4 0,928 1 0,920 9 
1,900 0 0,991 5 0,983 2 0,975 1 0,967 2 0,959 6 0,952 1 0,944 7 0,937 5 0,930 5 0,923 6 
1,925 0 0,991 8 0,983 7 0,975 9 0,963 3 0,960 9 0,953 6 0,946 5 0,939 6 0,932 7 0,926 1 
1,950 0 0,992 0 0,984 3 0,976 7 0,969 4 0,962 2 0,955 1 0,948 2 0,941 5 0,934 9 0,928 5 
1,975 0 0,992 3 0,984 8 0,977 5 0,970 4 0,963 4 0,956 6 0,949 9 0,943 4 0,937 0 0,930 7 
2,000 0 0,992 5 0,985 3 0,978 2 0,971 3 0,964 6 0,958 0 0,951 5 0,945 2 0,939 0 0,932 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABNT/CB-03 
2°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 34/68 
 
 Tabela A.3 – Valores de ρρρρ(an)/ρρρρ’n para k positivo 
a/a1 
 Valores de k positivo 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
0,000 0 0,818 2 0,666 7 0,538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 
0,025 0 0,818 6 0,667 6 0,539 9 0,430 6 0,336 1 0,253 8 0,181 8 0,118 8 0,064 3 0,018 1 
0,050 0 0,818 9 0,670 2 0,543 9 0,436 3 0,343 6 0,263 4 0,193 9 0,133 6 0,081 8 0,036 1 
0,075 0 0,822 0 0,674 4 0,550 2 0,444 6 0,354 2 0,276 2 0,208 8 0,150 6 0,100 0 0,054 2 
0,100 0 0,824 8 0,679 8 0,558 1 0,454 9 0,366 6 0,290 7 0,225 1 0,168 2 0,118 4 0,072 3 
0,125 0 0,828 3 0,686 2 0,567 2 0,466 5 0,380 4 0,306 3 0,242 1 0,186 1 0,136 7 0,090 3 
0,150 0 0,832 1 0,693 5 0,577 3 0,479 0 0,394 9 0,322 4 0,259 4 0,204 2 0,155 0 0,108 4 
0,175 0 0,836 5 0,701 4 0,588 1 0,492 1 0,409 9 0,338 8 0,276 9 0,222 2 0,173 2 0,126 5 
0,200 0 0,841 2 0,709 7 0,599 4 0,505 7 0,425 2 0,355 5 0,294 4 0,240 3 0,191 4 0,144 5 
0,225 0 0,846 1 0,708 5 0,611 1 0,519 6 0,440 8 0,372 3 0,312 0 0,258 4 0,209 6 0,162 6 
0,250 0 0,851 2 0,727 4 0,623 0 0,533 7 0,456 5 0,389 1 0,329 6 0,276 4 0,227 7 0,180 7 
0,275 0 0,856 5 0,736 6 0,635 0 0,547 9 0,472 3 0,406 0 0,347 2 0,294 3 0,245 8 0,198 7 
0,300 0 0,861 8 0,745 8 0,647 1 0,562 1 0,488 1 0,422 8 0,364 7 0,312 3 0,263 8 0,216 8 
0,325 0 0,867 2 0,755 1 0,659 3 0,576 4 0,503 8 0,439 6 0,382 2 0,330 1 0,281 8 0,234 8 
0,350 0 0,872 5 0,764 3 0,6714 0,590 5 0,519 5 0,456 3 0,399 6 0,347 9 0,299 8 0,252 9 
0,375 0 0,877 8 0,773 5 0,683 3 0,604 6 0,535 0 0,472 9 0,416 9 0,365 6 0,311 7 0,270 9 
0,400 0 0,883 0 0,782 5 0,695 3 0,618 5 0,550 4 0,489 4 0,434 1 0,383 3 0,335 6 0,288 9 
0,425 0 0,888 1 0,791 4 0,706 9 0,632 2 0,565 6 0,505 7 0,451 1 0,400 8 0,353 4 0,306 9 
0,450 0 0,893 1 0,800 1 0,718 3 0,645 7 0,580 6 0,521 8 0,468 0 0,418 2 0,371 1 0,324 8 
0,475 0 0,897 9 0,808 6 0,729 5 0,659 0 0,595 4 0,537 7 0,484 7 0,425 4 0,388 6 0,342 6 
0,500 0 0,902 6 0,816 8 0,740 5 0,672 0 0,609 9 0,553 4 0,501 2 0,452 4 0,406 1 0,360 4 
0,525 0 0,907 2 0,824 8 0,751 1 0,684 6 0,624 2 0,568 8 0,517 4 0,469 3 0,423 4 0,378 0 
0,550 0 0,911 5 0,832 6 0,761 5 0,697 0 0,638 1 0,583 9 0,533 4 0,486 0 0,440 5 0,395 5 
0,575 0 0,915 7 0,840 0 0,771 5 0,709 0 0,651 7 0,598 7 0,549 2 0,502 4 0,457 4 0,412 9 
0,600 0 0,919 7 0,847 2 0,781 2 0,720 7 0,665 0 0,613 1 0,564 6 0,518 6 0,474 1 0,430 0 
0,625 0 0,923 6 0,855 1 0,790 6 0,732 1 0,677 9 0,627 3 0,579 7 0,534 4 0,490 6 0,447 0 
0,650 0 0,927 3 0,860 8 0,799 6 0,743 0 0,690 4 0,641 1 0,594 5 0,550 0 0,506 8 0,463 8 
0,675 0 0,930 8 0,867 1 0,808 3 0,753 6 0,702 6 0,654 5 0,608 9 0,565 3 0,522 7 0,480 3 
0,700 0 0,934 1 0,873 2 0,816 7 0,763 9 0,714 3 0,667 5 0,623 0 0,580 2 0,538 4 0,496 5 
0,725 0 0,937 3 0,879 0 0,824 7 0,773 8 0,725 7 0,680 2 0,636 7 0,594 8 0,553 7 0,512 6 
0,750 0 0,940 3 0,884 6 0,832 4 0,783 3 0,736 7 0,692 5 0,650 1 0,609 0 0,568 6 0,528 2 
0,775 0 0,943 2 0,889 9 0,839 7 0,792 4 0,747 4 0,704 3 0,663 0 0,622 9 0,583 3 0,543 6 
0,800 0 0,945 9 0,8950 0,8468 0,8011 0,7576 0,715 8 0,675 6 0,636 3 0,597 6 0,558 5 
0,825 0 0,948 5 0,8998 0,8536 0,8095 0,7674 0,726 9 0,687 7 0,649 4 0,611 5 0,573 3 
0,850 0 0,951 0 0,9044 0,8600 0,8176 0,7769 0,737 6 0,699 5 0,662 1 0,625 0 0,587 6 
0,875 0 0,953 3 0,9087 0,8662 0,8253 0,7860 0,748 0 0,710 9 0,674 5 0,638 2 0,601 5 
0,900 0 0,955 5 0,9129 0,8720 0,8327 0,7947 0,757 9 0,721 9 0,686 4 0,651 0 0,615 2 
0,925 0 0,957 6 0,9168 0,8776 0,8398 0,8031 0,767 4 0,732 5 0,698 0 0,663 4 0,628 3 
0,950 0 0,959 5 0,9206 0,8830 0,8465 0,8112 0,776 6 0,742 7 0,709 1 0,675 4 0,641 3 
0,975 0 0,961 4 0,9241 0,8880 0,8530 0,8189 0,785 4 0,752 5 0,719 9 0,687 0 0,653 7 
1,000 0 0,963 2 0,9275 0,8929 0,8592 0,8262 0,793 9 0,762 0 0,730 3 0,698 3 0,665 7 
1,025 0 0,964 9 0,9307 0,8975 0,8651 0,8333 0,802 1 0,771 2 0,740 3 0,709 2 0,677 4 
1,050 0 0,966 5 0,9338 0,9019 0,8707 0,8400 0,809 9 0,779 9 0,750 0 0,719 7 0,688 9 
1,075 0 0,968 0 0,9367 0,9061 0,8760 0,8465 0,817 3 0,788 3 0,759 3 0,729 8 0,699 8 
1,100 0 0,969 4 0,9394 0,9100 0,8812 0,8527 0,824 5 0,796 4 0,768 3 0,739 6 0,710 4 
1,125 0 0,970 7 0,9420 0,9138 0,8861 0,8586 0,831 4 0,804 2 0,776 9 0,749 0 0,720 8 
1,150 0 0,972 0 0,9445 0,9174 0,8907 0,8643 0,838 0 0,811 7 0,785 2 0,758 1 0,730 6 
 
 
ABNT/CB-03 
2°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 35/68 
 
Tabela A.3 (continuação) 
a/a1 Valores de k positivo 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
1,175 0 0,973 2 0,9469 0,9209 0,8952 0,8697 0,844 3 0,818 8 0,793 1 0,766 9 0,740 1 
1,200 0 0,974 4 0,9491 0,9241 0,8994 0,8748 0,850 3 0,825 7 0,800 8 0,775 5 0,749 3 
1,225 0 0,975 5 0,951 3 0,927 3 0,903 5 0,879 8 0,856 1 0,832 2 0,808 1 0,783 4 0,758 1 
1,250 0 0,976 5 0,953 3 0,930 2 0,907 3 0,884 5 0,861 6 0,838 5 0,815 2 0,791 2 0,766 8 
1,275 0 0,977 5 0,955 2 0,933 0 0,911 0 0,889 0 0,866 9 0,844 6 0,822 0 0,798 7 0,775 0 
1,300 0 0,978 5 0,957 0 0,935 7 0,914 5 0,893 3 0,871 9 0,850 4 0,828 5 0,805 9 0,782 9 
1,325 0 0,979 3 0,958 8 0,938 3 0,917 9 0,897 4 0,876 8 0,855 9 0,834 7 0,812 8 0,790 5 
1,350 0 0,980 2 0,960 4 0,940 8 0,921 0 0,901 3 0,881 4 0,861 3 0,840 7 0,819 5 0,797 8 
1,375 0 0,981 0 0,962 0 0,943 1 0,924 1 0,905 0 0,885 8 0,866 3 0,846 5 0,825 9 0,805 1 
1,400 0 0,981 7 0,963 5 0,945 3 0,927 0 0,908 6 0,890 0 0,871 2 0,852 0 0,832 0 0,811 8 
1,425 0 0,982 5 0,964 9 0,947 4 0,929 8 0,912 0 0,894 1 0,875 9 0,857 2 0,837 9 0,818 3 
1,450 0 0,983 2 0,966 3 0,949 4 0,932 4 0,915 3 0,898 0 0,880 4 0,862 3 0,843 6 0,824 5 
1,475 0 0,983 8 0,967 6 0,951 3 0,935 0 0,918 4 0,901 7 0,884 7 0,867 2 0,849 0 0,830 5 
1,500 0 0,984 4 0,968 8 0,953 2 0,937 4 0,921 4 0,905 2 0,880 8 0,871 8 0,854 3 0,836 3 
1,525 0 0,985 0 0,970 0 0,954 9 0,939 7 0,924 3 0,908 6 0,892 7 0,876 3 0,859 3 0,841 8 
1,550 0 0,985 6 0,971 1 0,956 6 0,941 9 0,927 0 0,911 9 0,896 5 0,880 6 0,864 1 0,847 5 
1,575 0 0,986 1 0,972 2 0,958 2 0,944 0 0,929 6 0,915 0 0,900 1 0,884 8 0,868 7 0,852 6 
1,600 0 0,986 7 0,973 2 0,959 7 0,946 0 0,932 1 0,918 0 0,903 6 0,888 7 0,873 2 0,857 5 
1,625 0 0,987 2 0,974 2 0,961 2 0,947 9 0,934 5 0,920 9 0,906 9 0,892 5 0,877 4 0,862 2 
1,650 0 0,987 6 0,975 1 0,962 5 0,949 8 0,936 8 0,923 6 0,910 1 0,896 1 0,881 6 0,866 3 
1,675 0 0,988 1 0,976 0 0,963 9 0,951 5 0,939 0 0,926 2 0,913 2 0,899 6 0,885 6 0,871 1 
1,700 0 0,988 5 0,976 9 0,965 1 0,953 2 0,941 1 0,928 8 0,916 1 0,903 0 0,889 3 0,875 3 
1,725 0 0,988 9 0,979 7 0,966 4 0,954 8 0,943 1 0,931 2 0,918 9 0,906 2 0,892 9 0,879 4 
1,750 0 0,989 3 0,978 5 0,967 5 0,956 4 0,945 1 0,933 5 0,921 6 0,909 3 0,896 4 0,883 3 
1,775 0 0,989 7 0,979 2 0,968 6 0,957 9 0,946 9 0,935 7 0,924 2 0,912 2 0,899 7 0,887 3 
1,800 0 0,990 0 0,980 0 0,969 7 0,959 3 0,948 7 0,937 8 0,926 7 0,915 1 0,903 0 0,890 9 
1,825 0 0,990 4 0,980 6 0,970 7 0,960 6 0,950 4 0,939 9 0,929 0 0,917 8 0,906 1 0,894 3 
1,850 0 0,990 7 0,981 3 0,971 7 0,961 9 0,952 0 0,941 8 0,931 3 0,920 5 0,909 0 0,897 7 
1,875 0 0,991 0 0,981 9 0,972 6 0,963 2 0,953 6 0,943 7 0,933 5 0,923 0 0,911 9 0,900 8 
1,900 0 0,991 3 0,982 5 0,9735 0,964 4 0,955 1 0,945 5 0,935 6 0,925 0 0,914 7 0,903 9 
1,925 0 0,991 6 0,983 1 0,974 4 0,965 5 0,956 5 0,947 2 0,937 7 0,927 8 0,917 3 0,906 9 
1,950 0 0,991 9 0,983 6 0,975 2 0,966 7 0,957 9 0,948 9 0,939 6 0,930 0 0,919 9 0,909 7 
1,975 0 0,992 1 0,984 1 0,976 0 0,967 7 0,959 2 0,950 5 0,941 4 0,932 2 0,922 3 0,912 5 
2,000 0 0,992 4 0,984 7 0,976 8 0,968 7 0,960 5 0,952 0 0,943 3 0,934 2 0,924 7 0,915 1 
 
NOTA As tabelas foram elaboradas a partir da equação 10, de 5.2.1, em que k = coeficiente de reflexão, dado 
por: 
 
n1n
n1n
ρρ
ρρ
+
−
=
+
+k (A.1) 
ρρρρn é igual à resistividade equivalente das camadas superiores a n + 1. 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 36/68 
 
A.1.3.5 Multiplicar a série de valores de a/a1 pelo valor de a1 escolhido em A.1.3.2, obtendo-se uma 
série de valores de a. 
A.1.3.6 Esta série de valores de a, com os respectivos valores de k, deve ser lançada em um gráfico 
k×a, obtendo-se uma curva. 
A.1.3.7 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.6, escolhendo um novo valor de a1 dentro da 
primeira parte da curva. 
A.1.3.8 As curvas obtidas em A.1.3.6 e A.1.3.7 devem se cruzar em dado ponto, que corresponda aos 
valores reais de a1 e k1. Para assegurar a precisão dos valores de a1 e k1, o procedimento pode ser 
repetido mais uma vez. 
A.1.3.9 O valor de a1 obtido em A.1.3.8 é a profundidade da 1ª camada, e a resistividade da 2ª camada 
é dada pela seguinte equação: 
 
)1/()1( 1112 kk −+×= ρρ (A.2) 
A.1.3.10 Estimar a profundidade da 2ª camada pelo método de Lancaster-Jones. 
Assim: a3 = d1 + d2 = (2/3) re, onde re é a distância até o ponto de inflexão do 2º trecho da curva ρ×a. 
A.1.3.11 Calcular a resistividade média ρ’2 das duas camadas de resistividade ρ1 e ρ2, paralelas, pela 
equação de Hummel: 
 
)/()/(/)( 2211221 ρρρ dddd +=+ (A.3) 
A.1.3.12 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.8. Isto o que gera uma série de curvas de k×a. Elas 
vão convergir em um ponto que fornece um valor de a2 e o coeficiente de reflexão k2, de acordo com a 
seguinte equação: 
( ) ( ) )1/()1( 222323232 kkk −+×=∴′+′−= ρρρρρρ (A.4) 
A.1.3.13 Se a convergência não ficar bem definida, repetir o procedimento de A.1.3.11, usando o valor 
de a2 obtido em A.1.3.12. Isto permite a obtenção de um resultado mais exato. 
A.1.3.14 Para estimar a profundidade da 3ª camada, repetir o procedimento de A.1.3.10. 
Assim, d1 + d2 + d3 = (2/3), re onde re é a distância até o ponto de inflexão do 3º trecho da curva. 
 
A.1.3.15 Calcular a resistividade média ρ’3 das três camadas em paralelo, ρ1, ρ2 e ρ3: 
)/()/()/(/)( 3322113321 ρρρρ dddddd ++=′++ (A.5) 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 37/68 
 
A.1.3.16 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.9. O resultado é o valor de a3 = d1 + d2 + d3 e um 
valor de k3 = (ρ4 − ρ’2)/(ρ4 + ρ’3). 
 
)1/()1( 3334 kk −+×′= ρρ (A.6) 
A.1.3.17 O processo pode ser repetido para todos os pontos de inflexão definidos na curva ρ×a. 
A.1.4 Segundo método de Tagg para determinação da resistividade da primeira camada 
Definida a curva de resistividade ρ×a (ver Figura A.2), proceder conforme descrito em A.1.4.1 a 
A.1.4.11 
A.1.4.1 Escolher um valor de a1 e respectivo ρa1. 
A.1.4.2 Escolher um valor de na1 e respectivo ρna1 no primeiro trecho da curva ρ×a (n > 1). 
A.1.4.3 Calcular a seguinte relação: 
11 / naa ρρ , se a curva neste trecho for ascendente, ou 
11 / ana ρρ , se a curva neste trecho for descendente 
A.1.4.4 Para a relação calculada em A.1.4.3, calcular os valores de a/a1 a partir da equação A.1 dada 
em A.1.3.4: 
k = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 (curvas ascendentes) 
k = − 0,1; − 0,2; − 0,3; − 0,4; − 0,5; − 0,6; − 0,7; − 0,8; − 0,9 (curvas descendentes) 
 
NOTA Para facilitar os cálculos, as Tabelas de A.4 a A.9 estabelecem os valores ρa1 / ρna1 e ρna1 / ρa1, para n = 
1,5; 2,0 e 3,0. 
A.1.4.5 Multiplicar os valores (a/a1) por a1. 
A.1.4.6 Plotar os valores de a e respectivos k em um gráfico. 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 38/68 
 
 
Tabela A.4 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 1,5 
a/a1 
Valores de k positivo e n ==== 1,5 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,987 1 0,974 2 0,961 4 0,948 6 0,935 7 0,922 6 0,909 3 0,895 6 0,881 4 0,866 5 
1,950 0 0,986 5 0,973 0 0,959 5 0,946 0 0,932 6 0,918 9 0,905 1 0,890 9 0,876 1 0,860 6 
1,900 0 0,985 7 0,971 6 0,957 4 0,943 3 0,929 2 0,915 0 0,900 6 0,886 2 0,870 4 0,854 4 
1,850 0 0,985 0 0,970 1 0,955 3 0,940 6 0,925 8 0,911 0 0,895 8 0,880 5 0,864 7 0,847 7 
1,800 0 0,984 2 0,968 5 0,953 0 0,937 6 0,922 1 0,906 7 0,891 0 0,875 1 0,858 8 0,841 1 
1,750 0 0,983 3 0,966 9 0,950 6 0,934 4 0,918 3 0,902 2 0,885 9 0,869 3 0,852 3 0,834 3 
1,700 0 0,982 4 0,965 1 0,948 1 0,931 2 0,914 4 0,897 5 0,880 6 0,863 4 0,845 6 0,827 2 
1,650 0 0,981 6 0,963 4 0,945 5 0,927 8 0,910 2 0,892 7 0,875 1 0,857 4 0,838 9 0,820 0 
1,600 0 0,980 5 0,961 5 0,942 7 0,924 1 0,905 8 0,887 6 0,869 3 0,850 9 0,831 9 0,811 9 
1,550 0 0,979 5 0,959 5 0,939 8 0,920 4 0,901 3 0,882 4 0,863 5 0,844 3 0,824 8 0,803 8 
1,500 0 0,978 5 0,957 4 0,936 7 0,916 6 0,896 7 0,877 0 0,857 3 0,837 7 0,817 4 0,796 0 
1,450 0 0,977 2 0,955 1 0,933 6 0,912 5 0,891 9 0,871 3 0,851 0 0,830 7 0,809 8 0,787 8 
1,400 0 0,976 1 0,952 8 0,930 3 0,908 3 0,886 9 0,865 7 0,844 7 0,823 6 0,802 2 0,779 3 
1,350 0 0,974 8 0,950 5 0,926 9 0,904 1 0,881 7 0,859 9 0,838 2 0,816 5 0,794 4 0,771 1 
1,300 0 0,973 5 0,948 0 0,923 5 0,899 7 0,876 5 0,853 9 0,831 5 0,809 1 0,786 4 0,762 4 
1,250 0 0,972 2 0,945 5 0,919 9 0,895 2 0,871 2 0,847 8 0,824 8 0,801 8 0,778 6 0,753 9 
1,200 0 0,970 8 0,943 0 0,916 4 0,890 7 0,866 0 0,841 8 0,818 2 0,794 6 0,770 6 0,745 4 
1,150 0 0,969 4 0,940 3 0,912 7 0,886 2 0,860 6 0,835 8 0,811 5 0,787 4 0,763 0 0,737 0 
1,100 0 0,967 9 0,937 7 0,909 1 0,881 7 0,855 4 0,830 0 0,805 1 0,780 3 0,755 4 0,728 9 
1,050 0 0,966 5 0,935 1 0,905 5 0,877 3 0,850 4 0,824 2 0,798 8 0,773 6 0,748 1 0,720 7 
1,000 0 0,965 2 0,932 6 0,902 0 0,873 0 0,845 5 0,818 8 0,792 8 0,767 1 0,740 9 0,713 2 
0,950 0 0,963 9 0,930 9 0,898 8 0,869 1 0,840 8 0,813 7 0,787 2 0,761 0 0,734 4 0,705 8 
0,900 0 0,962 5 0,928 0 0,895 9 0,865 5 0,836 8 0,808 9 0,782 1 0,755 5 0,728 3 0,699 0 
0,850 0 0,961 4 0,926 1 0,893 2 0,862 3 0,833 0 0,805 0 0,777 6 0,750 5 0,722 8 0,692 8 
0,800 0 0,960 6 0,924 5 0,891 1 0,859 7 0,830 0 0,801 7 0,773 7 0,746 3 0,718 0 0,687 3 
0,750 0 0,959 9 0,923 4 0,889 6 0,857 9 0,827 9 0,799 1 0,771 0 0,742 9 0,714 2 0,682 3 
0,700 0 0,959 5 0,922 8 0,888 7 0,856 9 0,826 6 0,797 6 0,769 1 0,740 5 0,710 9 0,678 1 
0,650 0 0,959 5 0,922 7 0,888 8 0,856 9 0,826 5 0,797 2 0,768 3 0,739 3 0,709 0 0,674 6 
0,600 0 0,960 1 0,923 6 0,890 0 0,858 2 0,827 7 0,798 2 0,768 9 0,739 1 0,707 9 0,671 9 
0,550 0 0,961 1 0,925 3 0,892 1 0,860 7 0,830 3 0,800 4 0,770 8 0,740 1 0,707 7 0,669 8 
0,500 0 0,962 7 0,928 2 0,895 8 0,864 7 0,834 6 0,804 4 0,774 1 0,742 8 0,708 7 0,668 2 
0,450 0 0,965 0 0,932 1 0,900 9 0,870 5 0,840 7 0,810 3 0,779 3 0,746 8 0,710 9 0,667 5 
0,400 0 0,968 0 0,937 4 0,907 5 0,878 2 0,848 5 0,818 1 0,786 3 0,752 2 0,714 4 0,667 0 
0,350 0 0,971 7 0,944 0 0,916 1 0,887 9 0858 6 0,828 2 0,795 5 0,760 0 0,719 3 0,666 8 
0,300 0 0,976 1 0,951 6 0,926 3 0,899 7 0,871 1 0,840 8 0,807 2 0,769 5 0,725 5 0,666 5 
0,250 0 0,981 0 0,960 6 0,938 2 0,913 9 0,887 0 0,856 7 0,822 4 0,782 2 0,734 0 0,666 7 
0,200 0 0,986 1 0,970 3 0,951 9 0,930 7 0,906 0 0,876 7 0,841 9 0,799 6 0,746 1 0,666 7 
0,150 0 0,991 2 0,980 2 0,966 7 0,949 7 0,928 3 0,901 7 0,867 8 0,823 7 0,7639 0,667 0 
0,100 0 0,995 4 0,990 0 0,982 1 0,971 3 0,956 5 0,935 4 0,905 5 0,861 7 0,793 4 0,666 2 
0,050 0 0,999 8 0,997 4 0,995 1 0,991 3 0,985 4 0,975 7 0,958 4 0,926 1 0,857 4 0,667 6 
0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 
 
 
ABNT/CB-03 
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FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 39/68 
 
Tabela A.5 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 2,0 
a/a1 
Valores de k positivo e n ==== 2,0 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,970 6 0,941 9 0,914 1 0,887 0 0,860 2 0,833 9 0,807 8 0,781 7 0,755 2 0,727 5 
1,950 0 0,969 3 0,939 5 0,910 6 0,882 4 0,854 9 0,827 7 0,800 9 0,774 1 0,746 8 0,718 6 
1,900 0 0,967 9 0,937 0 0,907 0 0,877 7 0,849 3 0,821 4 0,793 8 0,766 6 0,738 4 0,709 5 
1,850 0 0,966 6 0,934 3 0,903 2 0,873 1 0,843 6 0,814 8 0,786 5 0,758 3 0,729 8 0,699 9 
1,800 0 0,965 2 0,931 5 0,899 2 0,868 0 0,837 7 0,808 2 0,779 0 0,750 1 0,720 9 0,690 5 
1,750 0 0,963 6 0,928 7 0,895 3 0,862 9 0,831 7 0,801 3 0,771 4 0,741 8 0,712 0 0,681 0 
1,700 0 0,962 1 0,925 8 0,891 1 0,857 7 0,825 5 0,794 1 0,763 6 0,733 2 0,702 8 0,671 3 
1,650 0 0,960 4 0,922 8 0,886 9 0,852 3 0,819 2 0,787 0 0,755 6 0,724 7 0,693 6 0,661 8 
1,600 0 0,958 7 0,919 6 0,882 4 0,846 8 0,812 8 0,779 7 0,747 7 0,716 0 0,684 4 0,651 3 
1,550 0 0,957 0 0,916 4 0,877 8 0,841 3 0,806 3 0,772 3 0,739 5 0,707 4 0,675 0 0,641 4 
1,500 0 0,955 2 0,913 1 0,873 3 0,835 6 0,799 5 0,765 0 0,731 4 0,698 6 0,665 6 0,631 6 
1,450 0 0,953 3 0,909 7 0,868 7 0,829 9 0,792 9 0,757 5 0,723 2 0,689 8 0,656 4 0,621 7 
1,400 0 0,951 5 0,906 3 0,864 0 0,824 1 0,786 2 0,750 0 0,715 1 0,681 0 0,647 1 0,611 6 
1,350 0 0,949 6 0,902 9 0,859 2 0,818 2 0,779 5 0,742 6 0,707 0 0,672 4 0,637 8 0,602 0 
1,300 0 0,947 7 0,899 5 0,854 5 0,812 5 0,772 9 0,735 3 0,699 1 0,663 9 0,628 9 0,592 4 
1,250 0 0,945 8 0,897 0 0,849 9 0,806 9 0,766 4 0,728 1 0,691 4 0,655 5 0,620 1 0,582 9 
1,200 0 0,943 9 0,892 6 0,845 4 0,801 3 0,760 2 0,721 0 0,683 8 0,647 6 0,611 3 0,573 9 
1,150 0 0,942 1 0,889 4 0,841 0 0,796 0 0,754 0 0,714 4 0,676 6 0,639 8 0,603 4 0,565 2 
1,100 0 0,940 3 0,886 3 0,836 8 0,791 0 0,748 3 0,708 2 0,669 8 0,632 6 0,595 6 0,556 7 
1,050 0 0,938 6 0,883 3 0,832 8 0,786 3 0,743 1 0,702 3 0,663 4 0,625 7 0,588 3 0,548 7 
1,000 0 0,937 1 0,880 6 0,829 3 0,782 1 0,738 2 0,697 1 0,657 7 0,619 5 0,581 6 0,541 4 
0,950 0 0,935 8 0,878 3 0,826 2 0,778 5 0,734 0 0,692 4 0,652 6 0,614 0 0,575 4 0,534 2 
0,900 0 0,934 7 0,876 4 0,823 7 0,775 4 0,730 6 0,688 5 0,648 3 0,609 3 0,570 0 0,528 0 
0,850 0 0,933 9 0,875 1 0,822 0 0,773 2 0,728 0 0,685 6 0,644 9 0,605 3 0,565 4 0,522 3 
0,800 0 0,933 5 0,874 3 0,821 1 0,772 1 0,726 5 0,683 7 0,642 5 0,602 4 0,561 6 0,517 3 
0,750 0 0,933 5 0,874 4 0,820 9 0,771 9 0,726 2 0,682 9 0,641 3 0,600 3 0,558 7 0,512 9 
0,700 0 0,934 1 0,875 3 0,822 1 0,773 0 0,727 3 0,683 6 0,641 4 0,599 6 0,556 8 0,509 4 
0,650 0 0,935 2 0,877 2 0,824 5 0,775 8 0,729 7 0,685 7 0,642 9 0,600 2 0,556 0 0,506 3 
0,600 0 0,937 0 0,880 3 0,828 3 0,779 9 0,734 0 0,689 6 0,645 9 0,602 2 0,556 4 0,504 2 
0,550 0 0,939 7 0,884 7 0,833 9 0,786 1 0,740 2 0,695 3 0,650 9 0,605 6 0,558 0 0,502 4 
0,500 0 0,943 1 0,890 5 0,841 3 0,794 2 0,748 5 0,703 1 0,657 6 0,611 0 0,560 7 0,501 4 
0,450 0 0,947 4 0,898 0 0,850 8 0,804 7 0,759 2 0,713 5 0,666 7 0,617 9 0,564 8 0,500 6 
0,400 0 0,952 7 0,907 0 0,862 1 0,817 6 0,772 5 0,726 4 0,678 2 0,626 9 0,570 3 0,500 2 
0,350 0 0,958 7 0,917 7 0,875 9 0,833 4 0,789 0 0,742 5 0,692 9 0,638 7 0,577 7 0,500 2 
0,300 0 0,965 5 0,929 9 0,892 1 0,852 2 0,809 1 0,762 5 0,711 3 0,653 9 0,587 6 0,500 0 
0,250 0 0,973 0 0,943 4 0,910 4 0,874 1 0,833 3 0,787 2 0,734 5 0,673 3 0,600 4 0,499 7 
0,200 0 0,980 5 0,957 9 0,931 1 0,899 5 0,862 2 0,817 7 0,764 6 0,700 0 0,618 6 0,500 3 
0,150 0 0,987 9 0,972 5 0,953 1 0,928 2 0,896 9 0,856 7 0,804 9 0,737 5 0,645 2 0,500 0 
0,100 0 0,992 8 0,985 9 0,974 6 0,959 1 0,937 3 0,906 1 0,861 4 0,794 3 0,690 9 0,499 3 
0,050 0 0,999 6 0,996 1 0,992 6 0,986 9 0,978 2 0,963 6 0,937 6 0,889 2 0,786 1 0,501 4 
0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 
 
 
 
ABNT/CB-03 
2°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
FEV 2012 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 40/68 
 
Tabela A.6 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 3,0 
a/a1 
Valores de k positivo e n ==== 3,0 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,936 8 0,878 4 0,824 5 0,774 3 0,727 3 0,682 8 0,640 4 0,599 7 0,559 5 0,518 9 
1,950 0 0,934 9 0,875 2 0,819 9 0,768 6 0,720 7 0,675 6 0,632 7 0,591 4 0,550 9 0,509 8 
1,900 0 0,932 9 0,872 3 0,815 2 0,762 9 0,714 1 0,668 3 0,624 9 0,583 4 0,542 3 0,500 7 
1,850 0 0,931 0 0,868 7 0,810 4 0,757 1 0,707 6 0,661 0 0,617 1 0,574 8 0,533 7 0,491 6 
1,800 0 0,929 0 0,864 5 0,805 6 0,751 3 0,701 0 0,653 8 0,609 3 0,566 7 0,525 0 0,482 7 
1,750 0 0,927 0 0,860 9 0,800 8 0,745 4 0,694 2 0,646 5 0,601 5 0,558 5 0,516 5 0,473 9 
1,700 0 0,924 9 0,857 3 0,795 9 0,739 6 0,687 7 0,639 3 0,593 7 0,550 3 0,508 0 0,465 1 
1,650 0 0,922 9 0,853 9 0,791 2 0,733 8 0,681 1 0,632 2 0,586 1 0,542 4 0,499 7 0,456 5 
1,600 0 0,920 9 0,850 2 0,786 3 0,728 0 0,674 6 0,625 1 0,578 5 0,534 3 0,491 4 0,447 6 
1,550 0 0,918 9 0,846 6 0,781 5 0,722 4 0,668 2 0,618 1 0,571 1 0,526 5 0,483 3 0,439 1 
1,500 0 0,916 9 0,843 1 0,776 9 0,716 9 0,661 9 0,611 4 0,563 9 0,518 9 0,475 4 0,430 9 
1,450 0 0,914 8 0,839 6 0,772 2 0,711 4 0,655 8 0,604 6 0,556 8 0,511 5 0,467 6 0,422 7 
1,400 0 0,913 0 0,836 3 0,767 8 0,706 1 0,649 9 0,598 2 0,550 0 0,504 3 0,460 1 0,414 7 
1,350 0 0,911 1 0,833 1 0,763 5 0,701 1 0,644 2 0,592 0 0,543 4 0,497 4 0,452 8 0,407 1 
1,300 0 0,909 3 0,830 0 0,759 5 0,696 2 0,638 8 0,586 2 0,537 1 0,490 8 0,445 8 0,399 6 
1,250 0 0,907 7 0,827 1 0,755 8 0,691 8 0,633 7 0,580 6 0,531 2 0,484 5 0,439 2 0,392 4 
1,200 0 0,906 2 0,824 5 0,752 4 0,687 7 0,629 2 0,575 6 0,525 7 0,478 6 0,432 8 0,385 6 
1,150 0 0,904 9 0,822 1 0,749 2 0,684 0 0,624 9 0,570 9 0,520 7 0,473 1 0,426 9 0,379 0 
1,100 0 0,903 7 0,820 1 0,746 5 0,680 8 0,621 4 0,566 8 0,516 2 0,468 2 0,421 5 0,372 9 
1,050 0 0,902 7 0,814 5 0,744 4 0,678 2 0,618 5 0,563 4 0,512 4 0,463 9 0,416 6 0,367 1 
1,000 0 0,902 2 0,817 4 0,742 9 0,676 3 0,616 1 0,560 7 0,509 2 0,460 1 0,412 1 0,361 8 
0,950 0 0,901 9 0,816 9 0,742 1 0,675 3 0,614 6 0,558 8 0,506 8 0,457 2 0,408 4 0,356 8 
0,900 0 0,901 9 0,817 0 0,742 1 0,675 0 0,614 2 0,557 9 0,505 2 0,455 0 0,405 2 0,352 4 
0,850 0 0,902 5 0,817 9 0,743 1 0,675 9 0,614 7 0,558 0 0,504 7 0,453 6 0,402 9 0,348 4 
0,800 0 0,903 6 0,819 6 0,745 2 0,678 0 0,616 5 0,559 3 0,505 2 0,453 1 0,401 2 0,345 0 
0,750 0 0,905 2 0,822 3 0,748 4 0,681 3 0,619 7 0,561 9 0,507 0 0,453 9 0,400 5 0,342 1 
0,700 0 0,907 6 0,826 2 0,753 1 0,686 3 0,624 4 0,566 1 0,510 2 0,455 7 0,400 5 0,339 6 
0,650 0 0,910 7 0,831 3 0,759 4 0,693 1 0,630 9 0,572 0 0,514 9 0,458 8 0,401 6 0,337 6 
0,600 0 0,914 6 0,837 7 0,767 3 0,701 7 0,639 4 0,579 8 0,521 4 0,463 4 0,403 7 0,336 0 
0,550 0 0,919 4 0,845 7 0,777 2 0,712 5 0,650 4 0,589 8 0,530 1 0,469 6 0,407 9 0,335 0 
0,500 0 0,925 1 0,855 5 0,789 3 0,725 8 0,663 9 0,602 3 0,540 8 0,477 9 0,411 6 0,334 3 
0,450 0 0,931 7 0,866 8 0,803 7 0,741 8 0,680 2 0,617 9 0,554 3 0,488 3 0,417 7 0,333 7 
0,400 0 0,939 4 0,880 0 0,820 6 0,761 0 0,699 9 0,636 8 0,571 0 0,501 3 0,425 5 0,333 4 
0,350 0 0,947 9 0,895 0 0,840 3 0,783 5 0,723 4 0,659 9 0,591 7 0,517 8 0,435 6 0,333 3 
0,300 0 0,957 1 0,911 5 0,862 5 0,809 3 0,751 1 0,687 6 0,617 2 0,538 6 0,448 8 0,333 5 
0,250 0 0,966 8 0,929 6 0,887 4 0,839 5 0,785 0 0,722 3 0,650 0 0,566 1 0,466 1 0,333 3 
0,200 0 0,975 9 0,948 3 0,914 4 0,973 7 0,824 7 0,764 9 0,692 4 0,603 1 0,490 8 0,333 3 
0,150 0 0,984 1 0,966 4 0,942 1 0,910 9 0,870 1 0,817 0 0,747 5 0,654 3 0,527 7 0,333 0 
0,100 0 0,992 6 0,983 3 0,969 8 0,950 8 0,923 6 0,884 1 0,825 6 0,735 6 0,592 3 0,333 3