UMA ABORDAGEM SOBRE O TEOREMA DE TALES MONOGARFIA UFMA MTM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
DIREÇÃO DE AÇÕES ESPECIAIS 
PROGRAMA NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO 
BÁSICA 
CURSO DE PRIMEIRA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
CLEMILTON DA CRUZ HOLANDA 
UMA ABORDAGEM SOBRE O TEOREMA DE TALES 
Santa Luzia 
2020 
CLEMILTON DA CRUZ HOLANDA 
UMA ABORDAGEM SOBRE O TEOREMA DE TALES 
Monografia apresentada ao Curso de Primeira 
Licenciatura em Matemática, da Universidade 
Federal do Maranhão do Plano Nacional de 
Formação de Professores da Educação Básica, 
como requisito parcial à obtenção do título de 
licenciado em Matemática. 
Orientador: Prof. Dr. Jairo Santos da Silva 
Santa Luzia 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
da Cruz Holanda, Clemilton. 
 Uma abordagem sobre o teorema de Tales / Clemilton da Cruz 
Holanda. - 2020. 
 44 p. 
 
 Orientador(a): Jairo Santos da Silva. 
 Monografia (Graduação) - Curso de Matemática, 
Universidade Federal do Maranhão, Santa Luzia MA, 2020. 
 
 1. Matemática. 2. Teorema de Tales. 3. Aplicações. I. Santos da 
Silva, Jairo. II. Título. 
CLEMILTON DA CRUZ HOLANDA 
UMA ABORDAGEM SOBRE O TEOREMA DE TALES 
Monografia apresentada ao Curso de Primeira 
Licenciatura em Matemática, da Universidade 
Federal do Maranhão do Plano Nacional de 
Formação de Professores da Educação Básica, 
como requisito parcial à obtenção do título de 
licenciado em Matemática. 
Orientador: Prof. Dr. Jairo Santos da Silva 
Aprovado em _/ _/ _. 
Banca Examinadora 
______________________________________ 
Prof. Dr. Jairo Santos da Silva (Orientador) 
Universidade Federal do Maranhão 
______________________________________ 
Profa. Dra. Valeska Martins de Souza 
Universidade Federal do Maranhão 
______________________________________ 
Profa. Dra. Lorena Carvalho Martiniano de Azevedo 
Universidade Federal do Maranhão 
 
 
Agradecimentos 
 
 
Oh Senhor Deus, farei lembrado o teu nome de geração em geração; por 
isso os povos te louvarão eternamente (Salmos 45:17)! Como te sou grato por tudo, 
nem tenho palavras suficientes para te agradecer por ter chegado até aqui. E espero 
que tu Senhor, continue me sustentando para prosseguir e galgar novos patamares. 
À minha família, em especial à minha mãe Antônia Lopes de Sousa e à 
minha dileta esposa Raimunda Elenisa de Oliveira e meus filhos, também serei grato 
por todo os incentivos e apoio nesta longa e exaustiva caminhada, em especial no 
preparo desse sacerdócio que é ser professor de uma disciplina muito importante, a 
Matemática. 
Aos professores que deixaram seus finais de semana, seus interesses e 
seu lar para chegar à nossa cidade e nos ministrar suas aulas e trazer, a cada um de 
nós, conhecimentos que se eternizarão na nossa formação não apenas como 
pessoas, mas também na condição de profissionais matemáticos, obrigado mais uma 
vez a todos. 
De forma particular, quero dizer ao prezado orientador Dr. Jairo Santos da 
Silva, que peço a Deus sua recompensa de forma abundante por sua colaboração 
para com a minha pessoa, pois sem sua ajuda não chegaria a esta conclusão de 
trabalho. 
Como não poderia deixar de ser, dedico eterna gratidão aos demais 
professores, Coordenação, e funcionários da Universidade, nesse polo, pela sua 
contribuição durante o curso, muito obrigado. 
A todos que direta ou indiretamente, participaram da minha caminhada 
nessa graduação, também peço ao nosso Deus que os cubra de ricas bênçãos sobre 
sua vida e daqueles que lhe são caríssimos. 
À Universidade, por ter me concedido a oportunidade de fazer um curso 
superior na cidade onde vivo, sem ter que me deslocar daqui para outros centros 
maiores. 
Enfim, à CAPES pelo apoio financeiro. 
 
MUITO OBRIGADO! MUITO OBRIGADO A TODOS! 
 
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A Geometria 
 
A geometria se vê, 
No contorno da peneira, 
No formato da TV, 
No gingado da capoeira, 
Nas portas e nas janelas, 
Na forma do pãozinho, 
Nas tamancas e nas chinelas, 
Na xícara do cafezinho, 
Na fachada das casas, 
Nas curvas do caminho, 
Das borboletas, nas asas, 
E também no meu cantinho, 
Nos sólidos geométricos, 
Das rochas a beira mar, 
Ou nos cristais assimétricos, 
Que não flutuam no ar. 
A esfera que gira no espaço, 
Em movimento de rotação, 
Na translação está o passo, 
Para a sua evolução. 
E, então? 
Chegamos à conclusão, 
De a geometria estar, 
Em todo e qualquer lugar, 
Na beleza dos abrolhos, 
Nas estrelas do mar, 
Ou no formato dos olhos, 
Que nos enchem de amor sem par, 
Deus deu ao homem inteligência, 
Para aprender a contar, 
E evoluindo na ciência, 
Sua vida melhorar, 
Da geometria a importância, 
Levou-o a compreender, 
E diante das circunstâncias, 
Seus cálculos desenvolver. 
 
Ruth Nunes Duailibe 
 
 
Resumo 
 
 
O objetivo geral deste trabalho é apresentar o teorema de Tales, algumas de suas 
aplicações e consequências, e discutir sobre sua aplicabilidade em sala de aula. Além 
disso, desenvolve-se conceitos básicos relacionados a temática em questão, e 
resolve-se alguns problemas envolvendo este teorema e conteúdos afins. A 
metodologia aplicada nesse estudo foi a pesquisa de revisão bibliográfica, de natureza 
qualitativa, e o material utilizado para a fundamentação teórica, encontra-se em base 
de dados como Scielo, Capes, sites de várias Universidades, além de material 
impresso, artigos, dissertações, teses, revistas e outros periódicos, apresentados no 
idioma Português, compreendidos no período dos últimos dez anos, salvo alguns 
clássicos que foram encontrados e usados. Esse material foi selecionado, 
obedecendo a critérios basilares como validade, credibilidade e coerência com o 
objetivo da pesquisa. Para nortear toda a pesquisa, utilizou-se como descritores, os 
termos: aplicabilidade, geometria, problemas e teorema de Tales. 
 
Palavras – chave: Geometria. Teorema de Tales. Problemas. Aplicabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abstract 
 
 
The general objective of this work is to present the Tales theorem, some of its 
applications and consequences, and to discuss its applicability in the classroom. In 
addition, basic concepts related to the subject in question are developed and some 
problems are solved involving this theorem and related contents. The methodology 
applied in this study was the literature review research, of a qualitative nature, and the 
material used for the theoretical foundation, is found in databases such as Scielo, 
Capes, websites of various Universities, in addition to printed material, articles, 
dissertations, theses, magazines and other periodicals, presented in the Portuguese 
language, included in the period of the last ten years, except for some classics that 
were found and used. This material was selected, obeying basic criteria such as 
validity, credibility and consistency with the research objective. To guide all the 
research, the following terms were used as descriptors: applicability, geometry, 
problems and Tales Theorem. 
 
Keywords: Geometry. Tales Theorem. Problems. Applicability. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de figuras 
 
 
Figura 2.1: Notação gráfica para um ponto 𝐵 , uma reta 𝑠, um plano 𝛽 e um segmen-
to de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .............................................................................................................. 20 
Figura 2.2: Feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal ......................... 21 
Figura 2.3: Pontos e segmentos correspondentes determinados por um feixe de retas 
paralelas cortadas por duas transversais .................................................................. 22 
Figura 2.4: Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
...................................................................................................................................22 
Figura 3.1: A pirâmide da experiência de Tales ........................................................ 24 
Figura 3.2: Exemplo da experiência de Tales de Mileto ........................................... 25 
Figura 3.3: Esquemas de proporcionalidade dados pelo teorema de Tales ............. 27 
Figura 3.4: Teorema de Tales no cotidiano ............................................................... 29 
Figura 3.5: Aplicação do teorema de Tales ............................................................... 30 
Figura 3.6: Feixe de retas paralelas e transversais para o Exemplo 3.4 .................. 30 
Figura 3.7: Terrenos de laterais paralelas e o teorema de Tales .............................. 31 
Figura 3.8: Paralela a um dos lados de um triângulo ................................................ 32 
Figura 3.9: Teorema de Tales no triângulo ............................................................... 32 
Figura 3.10: Bissetriz interna do ângulo de um triângulo e o teorema de Tales ....... 33 
Figura 3.11: Construção geométrica para prova do teorema da bissetriz ................ 34 
Figura 3.12: Bissetriz externa do ângulo de um triângulo e o teorema de Tales ...... 35 
Figura 3.13: Teorema de Tales e semelhança de triângulos .................................... 35 
Figura 3.14: Primeira construção geométrica para prova do Corolário 3.4 ............... 36 
Figura 3.15: Segunda construção geométrica para prova do Corolário 3.4 .............. 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
Introdução ................................................................................................................ 11 
1 Importância do ensino da Matemática e da Geometria ..................................... 14 
2 Resultados preliminares da geometria plana .................................................... 18 
2.1 Noções de ponto, reta, plano e segmento de reta ................................................. 18 
2.2 Razão, proporção e segmentos proporcionais ....................................................... 20 
2.3 Feixe de retas paralelas e transversais ................................................................... 21 
3 Um breve histórico sobre o teorema de Tales ................................................... 24 
3.1 Quem foi Tales de Mileto? ......................................................................................... 24 
3.2 O que é o teorema de Tales? ................................................................................... 26 
3.3 Aplicações do teorema do Tales .............................................................................. 28 
3.4 Algumas consequências do teorema de Tales nos triângulos ............................ 32 
4 O teorema de Tales na prática: sugestões didáticas ........................................ 38 
4.1 Estratégias de leitura na compreensão do teorema de Tales ............................. 38 
4.2 O significado da resolução de problemas no cotidiano do aluno ........................ 40 
Considerações finais .............................................................................................. 42 
Referências ............................................................................................................. 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Introdução 
O estudo da Geometria e o reconhecimento de sua importância, é 
indispensável ao desenvolvimento do aprendizado do aluno como processo de 
conhecimento, porque ajuda e valoriza o descobrir, o comparar e o experimentar, bem 
como o identificar das formas geométricas nos objetos existentes nesse imenso 
universo ao seu redor. 
Dentre os muitos resultados da Geometria, surge, em particular, o 
conhecido Teorema de Tales e suas aplicações em diversos problemas e exercícios 
na vida acadêmica dos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental. 
Diante das dificuldades apresentadas por esses alunos ao conhecer o 
Teorema de Tales e alguns conceitos, conteúdos e situações – problema relacionadas 
ao objeto desse estudo, surgiu o interesse de elaborar este trabalho. Tais dificuldades 
colocam o professor diante de um enorme desafio na elaboração de estratégias e 
metodologias inovadoras para ensinar este conteúdo de maneira prática, concreta e 
científica, de forma que explicite por meio do contexto dia a dia, com significado e 
aplicabilidade ao mesmo tempo, a fim de facilitar a compreensão do tema proposto. 
O professor, torna-se, portanto, peça fundamental neste contexto de 
mudança. Ele é o responsável por buscar para suas aulas as metodologias e 
estratégias inovadoras e contextualizadas, que a Matemática apresenta na atualidade, 
buscando do aluno a participação ativa com demonstrações e exemplos elaborados 
por eles que, por sua vez, podem agregar mais conhecimento na prática, 
principalmente se a realidade vivenciada no cotidiano for levada em consideração. 
Nessa perspectiva, o objetivo desse trabalho é ajudar esses alunos na 
compreensão do referido tema, assim como auxiliá-los a reparar o que não 
conseguiram aprender ao longo dos anos anteriores, quando são apresentadas as 
primeiras noções acerca desse conteúdo. Precisamente, esta monografia tem como 
objetivo geral apresentar o Teorema de Tales e algumas de suas aplicações, bem 
como desenvolver conceitos básicos e resolver alguns problemas relacionados a este 
teorema, além de outros conteúdos afins, contribuindo assim para a consolidação da 
aprendizagem em sala de aula. 
Os objetivos específicos que completaram o propósito do geral, são assim 
discriminados: assimilar o conceito de razão e proporção, e saber aplicá-los na 
geometria; identificar situações-problemas que podem ser resolvidas através do 
12 
 
 
teorema de Tales; conhecer definições geométricas de ponto e reta no plano e 
diferenciar as relações entre retas transversais e paralelas. 
A metodologia aplicada nesta pesquisa se fundamentou basicamente na 
pesquisa bibliográfica, de cunho qualitativo, com base no método dedutivo, que 
segundo Fachin (2017), parte das teorias aos fatos, como se pode observar no 
percurso desse texto, partindo-se dos fundamentos aqui assentados para a opinião 
prática do pesquisador. 
Foi aplicado também o método de observação na prática, onde utilizou-se 
do conhecimento prévio da realidade na escola sobre o ensino e aprendizagem da 
Matemática e, em especial, da Geometria e do Teorema de Tales, que muitas vezes 
nem sempre são bem dominados. 
No percurso metodológico deste estudo e pesquisa, foi feito uma seleção 
de artigos, livros impressos, e sites da internet nessa área, bem como se extraiu as 
informações interessantes da temática, no idioma português, no período dos últimos 
dez anos. É importante ressaltar que nas informações extraídas dos livros didáticos 
não foi encontrado muitos detalhes referentes ao Teorema de Tales, daí a 
necessidade de se fazer, também, uma busca nos sites de Matemática, visando 
facilitar a extração de conteúdos relevantes ao tema proposto. 
Os critérios de seleção dos conteúdos basilares deste trabalho, 
obedeceram à essência do tema, a validade, a coerência com o objetivo da pesquisa, 
a relevância para sua elaboração, assim como a facilidade também de compreensão 
e interpretação, no sentido de facilitar igualmente a apresentação final e importância 
na área educacional. 
O presente trabalho foi dividido em quatro capítulos descritos como segue. 
No Capítulo 1 é apresentado um breve panorama sobre a importância da 
Matemática e, em particular, da Geometria na vida de todo indivíduo, haja vista que 
viver implica conviver com pensamentos, atitudes e ações matemáticas. Aqui, serão 
expostas algumas concepções de teóricos da área sobre tal importância e, além disso, 
serão exibidas algumas recomendações da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) 
sobre o ensino da Matemática e da Geometria. 
O Capítulo 2 é dedicado aos resultados preliminares da geometriaplana 
que ajudarão na compreensão do teorema de Tales. Noções de ponto, reta e plano, 
bem como definições de segmento de reta, segmentos proporcionais e feixe de retas 
paralelas cortadas por transversais, serão fornecidas nesse capítulo. 
13 
 
 
No Capítulo 3, apresenta-se um breve histórico sobre o teorema de Tales. 
Aqui, encontra-se repostas a perguntas como: quem foi Tales de Mileto? o que é o 
teorema de Tales? Além disso, também serão fornecidas algumas consequências e 
aplicações desse teorema. 
 Finalmente, o Capítulo 4, discorre acerca das sugestões didáticas para 
serem aplicadas pelo professor de Matemática, na sua prática cotidiana, com relação 
ao reconhecimento e compreensão do teorema de Tales. O propósito deste capítulo 
é facilitar o trabalho do professor com seus alunos em sua sala de aula, considerando 
inclusive aqueles alunos que portam maiores dificuldades em compreender a 
Matemática e, em especial, este conhecido teorema da Geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
1 Importância do ensino da Matemática e da Geometria 
Para Almeida (2006), quando se pensa em Matemática, de modo geral, 
compreende-se que esta área do conhecimento está sempre relacionada de alguma 
maneira com o cotidiano de qualquer pessoa, independente de grau de formação, 
nível de saber e de experiência, classe social, profissão e outros aspectos. Ela está 
presente em toda ação humana, e é tão importante, que é quase impossível viver sem 
ela. Por vezes ela aparece de forma explícita e em outras vezes de forma sutil. 
São diversas as situações em que a Matemática aparece, seja em uma 
simples tarefa de ir ao supermercado fazer compras ou ir a uma farmácia comprar um 
medicamento, ou fazer um projeto de construção de uma casa, e tantas outras 
situações-problema em que o indivíduo se depara, ali está presente esta ciência. 
Almeida (2006), por exemplo, enfatiza que um indivíduo qualquer na hora que acorda 
e ao abrir os olhos pela manhã, ao se deparar com o despertador, já está exercitando, 
na linguagem matemática, a abstração e utilizando conhecimentos matemáticos que 
a humanidade levou séculos para construir. 
Segundo Prediger, Berwanger e Mörs, (2009, p.42), “o conhecimento da 
Matemática tem se tornado cada vez mais indispensável para uma participação crítica 
na sociedade de hoje, auxiliando na compreensão do mundo e ajudando nas decisões 
das mais variadas situações e natureza”. Sendo assim, faz-se necessário uma 
abordagem cada vez mais qualitativa dessa tão nobre e destacada ciência. 
No âmbito escolar, ensinar a Matemática representa transmitir uma 
linguagem específica apta para traduzir a realidade e conhecer as diferenças e suas 
aplicações em variados contextos. Ensinar bem esta disciplina, é trazer o aluno junto 
de si, transformando o abstrato ao concreto, tamanha é a importância de repassar os 
conteúdos importantes nas aulas de matemática (MENDES, 2009). No que se refere 
ao ensino da matemática, Almeida (2006) menciona também que: 
Os métodos de ensino e o currículo escolar devem atender às necessidades 
dos alunos, estando de acordo com a realidade por eles vivida. A disciplina 
pode estar mais ligada a questões do cotidiano para que possa fazer sentido 
ao aluno e este se sinta mais motivado em aprender e lidar com problemas 
enfrentados habitualmente. (ALMEIDA, 2006, p.10) 
Dessa forma, é necessário que o professor de matemática, em seu dia a 
dia, relacione o que está ensinando com o que seus alunos vivem, porque se não for 
15 
 
 
assim, seu método de ensino-aprendizagem pode ser falho e os conteúdos 
matemáticos podem se tornar cada vez mais difíceis. 
Uma vez que a Matemática é uma ciência fundamental para nossas vidas, 
seu ensino torna-se cada dia mais importante. O conhecimento matemático permite 
ao aluno pensar e criar um senso crítico próprio, onde vai trabalhando o raciocínio 
lógico diante das tarefas encontradas diariamente, desde as mais simples às mais 
complexas. Corroborando com essa linha de pensamento, Souza (2001) afirma que: 
O ensino de Matemática é importante também pelos elementos 
enriquecedores do pensamento matemático na formação intelectual do aluno, 
seja pela exatidão do pensamento lógico-demonstrativo que ela exibe, seja 
pelo exercício criativo da intuição, da imaginação e dos raciocínios indutivos 
e dedutivos. (SOUZA, 2001, p. 27). 
Nos dias atuais, o aluno vem descobrindo novas maneiras de aprender a 
matemática, e o avanço tecnológico tem permitido alternativas de ensinar essa 
disciplina na prática pedagógica, de modo que acaba por trazer inovação e 
comodidade aqueles que a utilizam no dia a dia. Entretanto, o ensino dessa disciplina 
deve ser trabalhado de forma articulada, com números e operações, com a geometria, 
funções, análise de dados, probabilidades, entre outros tópicos, a fim de que o aluno 
perceba que existem relações entre a maioria destes temas. Para os Parâmetros 
Curriculares Nacionais (PCN’s): 
No trabalho com números e operações, deve-se proporcionar aos alunos uma 
diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas do 
cotidiano; e o estudo de funções deve ser iniciado com uma exploração 
qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade 
e altura; área do círculo e raio, tempo e distância percorrida; tempo e 
crescimento populacional; tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, 
entre outras. (PCN’s, 1997, p.50). 
Em se tratando da Geometria, que concentra o tema principal desse 
trabalho, os PCN’s (1997) mencionam, ainda, que esta deve possibilitar aos alunos o 
desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do cotidiano. Também 
é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza 
não a única, de apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e 
argumentações dedutivas, como é o caso do Teorema de Tales. Além disso, com 
respeito à geometria, os PCN’s também ressaltam que: 
Existe uma infinidade de problemas que devem ser trazidos para resolução 
em sala de aula. O professor pode estimular seus alunos a resolver questões 
bem práticas como: calcular a distância de um ponto no solo até o topo de 
um poste de iluminação; calcular a medida da diagonal do piso da sala de 
16 
 
 
aula; calcular o tamanho mínimo de uma escada usada para atingir o telhado 
de um prédio (PCN’s, 1997, p. 166). 
Para que o aprendizado em Geometria e, mais geralmente, em Matemática, 
atinja o maior número possível de alunos em uma sala de aula de forma proveitosa e 
se consolide com o máximo de sentido e significado, torna-se necessário que o 
professor utilize de estratégias diversificadas no intuito de tentar atender, na medida 
do possível, as especificidades de cada aluno, seus níveis de maturidade, limites e 
suas deficiências. Assim sendo, vale lembrar que: 
O “insucesso” de alguns alunos e alunas na aprendizagem da geometria 
parece estar diretamente ligado à insuficiência de base em assuntos 
anteriores o que leva mais uma vez, a questão da contextualização: se o/a 
aluno/a não consegue relacionar a informação recebida com algo real, fica 
difícil esta chegar a ser construída cognitivamente (FERNANDES et al, 2009, 
p. 2). 
Outra parte de grande relevância no contexto do ensino da Geometria no 
âmbito escolar é o fato de que este pode ser realizado a partir do próprio ambiente 
onde se vive, já que nele podemos encontrar as mais diversas formas em objetos que 
caracterizam os conteúdos geométricos. Reafirmando a importância do ensino da 
Matemática, a Geometria pode perfeitamente demonstrar o que é abstrato em real 
onde o aluno pode ver seu significado (MENDES, 2009). 
O ensino da Geometria seguindo a nova Base Nacional Comum Curricular 
(BNCC), foca no desenvolvimento das habilidades e competências dos alunos, bem 
como enfatiza também aqueles alunos portadores de algumas limitações devidoàs 
dificuldades de aprendizagem. E, nesse intuito, a BNCC atual, nos remete a grande 
importância relacionada ao contexto onde o aluno se insere, considerando que ao seu 
redor a Matemática está presente em cada objeto próximo do aluno, tudo tem uma 
forma, um conteúdo, uma essência, ocupa um espaço, é formado por um tipo de linha, 
entre outros aspectos típicos da Geometria. 
Convém anotar duas importantes habilidades apontadas pela BNCC 
relativas ao estudo da parte da Geometria que é o foco do nosso trabalho, isto é, o 
Teorema de Tales, são elas: 
Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma transversal e resolver e elaborar problemas de aplicação 
do Teorema de Tales ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes (BNCC, 2017, p.185). 
Com o novo molde da Base Nacional Comum Curricular, atualizada e 
dentro da atual conjuntura, pode ser observado que até os velhos verbos empregados 
17 
 
 
na elaboração dos objetivos, como identificar ou reconhecer, a postura de hoje é outra. 
Observa-se que agora os verbos são mais ativos onde o foco é a interação do aluno, 
deixando-o responder e analisar os conteúdos propostos pelo professor, e ali vai 
aprender a pensar para saber interpretar as diversas situações de aprendizagem 
(BNCC, 2017). 
Por fim, a BNCC postula, ainda, que, no Ensino Fundamental, a escola 
deve orientar e capacitar seu aluno para a compreensão de que a Matemática é vivida 
e pode ser aplicada nas mais variadas situações de aprendizagem dentro e para além 
da escola, sempre inter-relacionando os conteúdos com sua rotina social. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
2 Resultados preliminares da geometria plana 
A noção de proporção bem como sua aplicação na Geometria é algo que 
já está presente na matemática há muito tempo. Como será visto nesse trabalho, um 
dos resultados de grande destaque nesse contexto é, justamente, aquele 
desenvolvido por Tales de Mileto, cerca de 600 anos antes de Cristo. 
Com o objetivo de se iniciar o estudo desse importante resultado da 
Geometria e visando tornar o texto desse trabalho o mais autossuficiente possível, 
apresenta-se, nesse capítulo, um breve resumo de alguns conceitos, definições e 
resultados preliminares que servirão de base para compreensão, desenvolvimento e 
aplicação do teorema de Tales. Os conceitos e definições serão expostos de maneira 
clara e objetiva, e os resultados aqui exibidos serão expostos sem demonstrações. 
Para maiores detalhes, conferir, por exemplo, os textos de Giovanni e Bonjorno (2000) 
e Dolce e Pompeo (2010). 
Os primeiros conceitos tratados nesse capítulo são as noções primitivas de 
ponto, reta e plano, além do conceito de segmento de reta. 
2.1 Noções de ponto, reta, plano e segmento de reta 
Segundo Dolce e Pompeo (2010), os termos ponto, reta e plano, constituem 
as mais remotas noções da Geometria. Na verdade, esses mesmos termos não 
possuem necessariamente uma definição – o que se tem a seu respeito são apenas 
noções primitivas1, mas são indispensáveis para dar base às definições geométricas. 
E, mesmo sem poder os referidos “objetos”, é possível a discussão de suas 
características e propriedades, assim como sua aplicabilidade na Geometria. 
É possível identificar de forma intuitiva esses “objetos” apenas através da 
observação. Vale ressaltar que o ponto não possui forma nem dimensão, ele é o que 
se chama adimensional. Este objeto é muito usado na localização geográfica, por 
oferecer maior precisão. Pode-se representar como ponto, por exemplo, um toque da 
caneta no papel. Além disso, o ponto é geralmente representado no espaço por letras 
maiúsculas tais como 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝑃, 𝑀, … . 
Por sua vez, as retas constituem um conjunto de pontos que não fazem 
curvas, e são infinitas para as duas direções (DOLCE; POMPEO, 2010). Como esses 
_________________________ 
 1 As noções primitivas são aquelas adotadas sem definição. 
19 
 
 
pontos não estão no mesmo lugar, pode ser medida a distância entre eles, mas a 
largura não. E por possuir a reta somente uma dimensão, chama-se de unidimensional. 
Convém enfatizar que uma reta, seja ela qualquer, não tem origem nem 
extremidade, é ilimitada e infinita, logo seu comprimento não pode ser determinado. 
Além disso, dois pontos distintos determinam ou individualizam uma única reta 
(postulado2 da determinação). Vale ressaltar que as retas são geralmente 
representadas por letras minúsculas tais como 𝑟, 𝑠, 𝑡, 𝑢, … . 
Para Silva (2004), o plano constitui-se como o conjunto de retas alinhadas, 
sendo que por esse alinhamento, forma-se uma superfície plana. Em um plano, é 
possível desenhar figuras, que possuem comprimento e largura. O plano é geralmente 
representado por letras gregas do tipo 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜋, … ou por uma reta e um ponto fora dela. 
Além disso, pelo postulado da determinação do plano, três pontos não colineares (não 
situados em uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles. 
Para encerrar essa seção, pode-se usar a noção primitiva de estar entre 
para definir o conceito de segmento de reta dado a seguir. 
Definição 2.1 (Segmentos de reta): Sejam 𝐴 e 𝐵 dois pontos distintos quaisquer. O 
segmento de reta que liga o ponto 𝐴 ao ponto 𝐵, denotado por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , é o conjunto de 
pontos formado pela reunião do conjunto {𝐴, 𝐵} com o conjunto dos pontos que estão 
entre 𝐴 e 𝐵. 
A Figura 2.1 ilustra a representação geométrica de um ponto, uma reta, um 
plano e um segmento de reta. 
Observação 2.1 (DOLCE; POMPEO, 2010): Dados pontos 𝐴 , 𝐵 e 𝑃, quaisquer, a 
noção de “estar entre” obedece aos seguintes postulados: 
1) Se 𝑃 está entre 𝐴 e 𝐵, então 𝐴 , 𝐵 e 𝑃 estão alinhados, isto é, são colineares 
(estão sobre uma mesma reta); 
2) Se 𝑃 está entre 𝐴 e 𝐵, então 𝐴 , 𝐵 e 𝑃 são diferentes dois a dois; 
3) Se 𝑃 está entre 𝐴 e 𝐵, então nem 𝐴 não está entre 𝑃 e 𝐵, nem 𝐵 não está entre 
𝐴 e 𝑃; 
4) Para quaisquer pontos 𝐴 e 𝐵 distintos existe um ponto 𝑃 que está entre 𝐴 e 𝐵. 
 
_________________________ 
2 Os postulados (axiomas ou proposições primitivas) são proposições aceitas sem demonstração. 
20 
 
 
Figura 2.1: Notação gráfica para um ponto 𝐵 , uma reta 𝑠, um plano 𝛽 e um 
segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
2.2 Razão, proporção e segmentos proporcionais 
É conhecido que para se comparar dois segmentos de reta, digamos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ (tomados na mesma unidade de medida) faz-se necessário efetuar o quociente 
entre os números que representam os comprimentos desses segmentos, denotadas 
daqui em diante por 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷. Esse quociente é o que se costuma chamar de razão 
entre os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , indicada por 
𝐴𝐵
𝐶𝐷
 . 
A noção de proporção (igualdade entre duas razões) e o conceito de razão entre 
segmentos de reta possibilitam a seguinte definição: 
Definição 2.2 (Segmentos proporcionais): Sejam 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ segmentos de reta. 
Diz-se que esses segmentos são proporcionais, nessa ordem, quando a razão entre 
os dois primeiros, isto é, a razão entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , for igual à razão entre os dois últimos, 
ou seja, a razão entre 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ . Neste caso, tem-se: 
𝐴𝐵
𝐶𝐷
=
𝐸𝐹
𝐺𝐻
 . 
Para exemplificar a definição anterior, se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ são segmentos 
de reta tais que 𝐴𝐵 = 4 cm, 𝐶𝐷 = 8 cm, 𝐸𝐹 = 10 cm e 𝐺𝐻 = 20 cm, então pode-se 
afirmar que os segmentos dados são, nessa ordem, segmentos proporcionais, pois 
𝐴𝐵
𝐶𝐷
=
4
8
=
1
2
=
10
20
=
𝐸𝐹
𝐺𝐻
 . 
Observação 2.2: Muitas vezes, em problemas envolvendo segmentos proporcionais, 
é necessário determinar o valor da medida de um dos quatro segmentos quanto se 
sabe que estes são proporcionais e, além disso, são fornecidasas medidas dos 
𝐵 
𝑠 𝛽 
𝐵 
𝐴 
21 
 
 
demais segmentos. Para isso, obviamente, é suficiente fazer o produto dos “meios” 
pelos “extremos” na proporção formada, e determinar a medida do segmento que não 
foi dada. Por exemplo, se 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅, 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ e 𝑍𝑊̅̅ ̅̅ ̅ são, nessa ordem, segmentos de reta 
proporcionais tais que 𝑀𝑁 = 3 cm, 𝑃𝑄 = 2 cm e 𝑍𝑊 = 8 cm, então a medida do 
segmento 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ é dada por 
𝑀𝑁
𝑃𝑄
=
𝑋𝑌
𝑍𝑊
, isto é,
3
2
=
𝑋𝑌
8
, 
ou, equivalentemente, 2𝑋𝑌 = 24. Da última igualdade é possível se concluir que a 
medida do segmento 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ é 12 cm, ou seja, 𝑋𝑌 = 12 cm. 
2.3 Feixe de retas paralelas e transversais 
Sabe-se que duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes 
(iguais) ou são coplanares não tendo nenhum ponto em comum. Essa definição permite 
introduzir a noção de feixe de retas paralelas, dada a seguir. 
Definição 2.3 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000): Feixe de retas paralelas é um conjunto 
de três ou mais retas paralelas entre si e que pertencem ao mesmo plano (coplanares). 
Uma reta transversal a um feixe de paralelas é uma reta, do mesmo plano do feixe, que 
corta o feixe de paralelas, isto é, é concorrentes com todas as retas do feixe. 
A Figura 2.2 ilustra um feixe de retas paralelas (formado pelas retas 𝑝, 𝑞, 𝑟 
e 𝑠) cortadas por uma transversal 𝑡. A notação para o paralelismo entre duas retas 𝑚 
e 𝑛 é dada por: 𝑚 ∥ 𝑛. 
Figura 2.2: Feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
𝑡 
𝑝 
𝑞 
𝑟 
𝑠 
22 
 
 
1 
2 3 
4 
5 
6 
8 
7 
𝑡 
𝑟 
𝑠 
Observação 2.3: (a) Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais 
determinam, nessas transversais, “pontos correspondentes” que são pontos destas 
transversais que estão numa mesma reta do feixe, e “segmentos correspondentes” 
que são segmentos, obtidos nas transversais, cujas extremidades são os respectivos 
pontos correspondentes. 
Na Figura 2.3 ilustra-se um exemplo de feixe de retas paralelas cortadas 
por duas transversais, no caso pelas transversais 𝑠 e 𝑡, onde pode-se observar que 𝐴 
e 𝐴′, assim como 𝐵 e 𝐵′, são pontos correspondentes nas respectivas transversais. 
Além disso, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ , bem como 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅ (por exemplo), são segmentos de reta 
correspondentes. 
Figura 2.3: Pontos e segmentos correspondentes determinados por um 
feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
(b) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam pares de ângulos, 
chamados correspondentes, alternos (internos e externos) e colaterais (internos e 
externos). Neste caso, os pares correspondentes, assim como os alternos, são 
congruentes e os pares colaterais são suplementares, ou seja, tem a soma de suas 
medidas iguais a 180°. 
Figura 2.4: Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma 
transversal. 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
𝐴′ 𝐴 
𝐵 𝐵′ 
𝐶 𝐶′ 
𝑠 𝑡 
23 
 
 
Na Figura 2.4 ilustra-se um caso de duas retas paralelas (𝑟 e 𝑠) cortadas 
por uma transversal (𝑡) formando oito ângulos indicados por: 1̂, 2̂, … , 8̂. Neste caso, os 
pares de ângulos 1̂ e 5̂; 2̂ e 6̂; 4̂ e 8̂; 3̂ e 7̂, são correspondentes (e, denotando a 
congruência de dois ângulos por “≡”, têm-se 1̂ ≡ 5̂, 2̂ ≡ 6̂, 4̂ ≡ 8̂ e 3̂ ≡ 7̂). Já os pares 
2̂ e 8̂; 3̂ e 5̂ são alternos internos (onde 2̂ ≡ 8̂ e 3̂ ≡ 5̂), ao passo que os pares 1̂ e 7̂; 
4̂ e 6̂ são alternos externos (onde 1̂ ≡ 7̂ e 4̂ ≡ 6̂). Finalmente, os pares de ângulos 2̂ 
e 5̂; 3̂ e 8̂ são colaterais internos (onde 2̂ + 5̂ = 3̂ + 8̂ = 180°) e os pares 1̂ e 6̂; 4̂ e 7̂ 
são alternos externos (onde 1̂ + 6̂ = 4̂ + 7̂ = 180°). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
3 Um breve histórico sobre o teorema de Tales 
Neste capítulo, apresenta-se um breve histórico sobre um conhecido 
teorema da geometria plana, a saber: o Teorema de Tales. Inicia-se a abordagem 
falando um pouco da figura histórica de Tales de Mileto e, em seguida, dar-se-á 
destaque ao seu famoso teorema que já era estudado, mesmo que indiretamente, 
desde os tempos antigos. 
3.1 Quem foi Tales de Mileto? 
Segundo Almeida (2006), Tales de Mileto, da era pré-socrática, 
descendente de fenícios, foi um destacado filósofo, astrônomo e matemático, nascido 
na Grécia, por volta do ano 624 a.C. - 558 a.C. Tales utilizou em seus estudos, os 
conhecimentos que sabia acerca de Geometria e proporcionalidade cujo objetivo foi 
determinar a altura de uma dada pirâmide. 
Bezerra (2019) menciona que o grande pensador e matemático gostava 
muito de viajar, e foi, justamente, em uma de suas viagens ao antigo Egito e para a 
Babilônia (cujo objetivo era o de ampliar seus conhecimentos ao mesmo tempo que 
os disseminava), em meio a suas pesquisas e seus métodos de observação, que ele 
percebeu que os raios solares quando chegavam à Terra, eram inclinados e paralelos, 
concluindo assim que era perfeitamente proporcional entre as medidas da sombra e 
da altura dos objetos. Com base em seus registros e esquemas, Tales conseguiu 
medir a altura da pirâmide Quéops, no Egito, baseada no tamanho da sombra dela. 
Ele fincou uma estaca na areia, mediu as sombras da respectiva pirâmide e da estaca 
em uma certa hora do dia e estabeleceu uma proporção conforme pode ser visto na 
Figura 3.1 (SILVA, 2019). 
Figura 3.1: A pirâmide da experiência de Tales. 
 
 
 
Fonte: https://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/ (2014). 
25 
 
 
Segundo Eves (2007), Tales de Mileto era mercador, e depois ficou muito 
rico. Dedicou grande parte de sua vida aos estudos e a grandes viagens. E foi numa 
dessas viagens ao Egito, que ele criou o Teorema de Tales, com base na altura da 
sombra da grande pirâmide de Quéops, no Egito. Com o tempo, sua estratégia se 
aperfeiçoou aos poucos, passando esta a ser uma grande ferramenta na Geometria, 
cujo finalidade foi calcular distâncias e alturas difíceis de serem acessadas, de modo 
que fossem envolvidas proporcionalidades de triângulos ou semelhanças. 
Tales em meio as suas viagens e descobertas foi se tornando cada vez 
mais um homem admirado. Além de ser conhecido como o primeiro grande pensador 
era também geômetra grego, e na condição de matemático, ao tratar da Geometria, 
passou a demonstrar que a relação entre os lados correspondentes de dois triângulos 
semelhantes é sempre a mesma, independentemente das medidas de seus lados 
(GIOVANNI JR; CASTRUCCI, 2010). 
Segundo Silva (2019), ele foi chamado de “o Pai da Geometria Descritiva”, 
e para alguns também era chamado de “o Pai da Ciência” e da “Filosofia Ocidental”, 
considerado como um grande contribuinte no avanço dos estudos de razão e de 
proporção, que até a atualidade são utilizados no cálculo de distâncias. A Figura 3.2 
ilustra um exemplo da experiência de Tales de Mileto com razões e proporções de 
objetos e suas respectivas sombras. 
Figura 3.2: Exemplo da experiência de Tales de Mileto. 
 
 
 
Fonte: https://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/ (2014). 
Para Bezerra (2019), o grande Tales, além de pensador, expandiu os 
horizontes teóricos em várias áreas do conhecimento, como a Matemática, a Filosofia 
e a Astronomia, considerando a “água” como o principal elemento da natureza e a 
essência de todas as coisas. Além disso, o autor menciona que Tales fundou na 
cidade de Mileto, a renomada "Escola Jônica", conhecida como a escola filosófica 
mais antiga, cujos pensadores tentavam buscar explicações no Cosmos, ou seja, por 
meio da observação dos fenômenos da natureza. Eves (2007) acrescenta que Tales, 
juntamente aos outros filósofos Anaximandro e Anaxímenes, fundou também a 
26 
 
 
renomada Escola de Mileto (a milésima), cujos adeptos à Filosofia, pautava-se nos 
deuses antropomórficos (refere-se a deuses com característicashumanas) e aos 
fenômenos da natureza. 
Ainda sobre Tales de Mileto, Bezerra (2019) diz que: 
Na Astronomia, o grande astrônomo previu o eclipse solar no ano de 585 a.C. 
de acordo com suas pesquisas e estudos que gostava muito de fazer. 
Enquanto que na Matemática, especificamente na Geometria, em suas 
demonstrações deduzidas, criou algumas teorias, como: a semelhança de 
triângulos e suas respectivas relações sobre seus ângulos, as retas paralelas 
e as propriedades da circunferência, falecendo bem depois, 
aproximadamente em 556 ou 558 a. C. na terra natal. (BEZERRA, 2019, p.4). 
O grande Aristóteles (384 a. C. – 322 a.C.), filósofo grego, aponta Tales 
como o primeiro a filosofar em toda a humanidade. Como se pode observar, este 
grande homem fez muito em conhecimentos nas grandes áreas do saber como a 
Astronomia, a Filosofia, a Matemática e outras (BEZERRA, 2019). 
Por fim, Boyer (2000), conjectura que esse grande matemático, pode ter 
sido o criador da geometria demonstrativa. Daí, ele ser mais conhecido como o 
primeiro matemático a dar uma contribuição à organização da geometria. 
3.2 O que é o teorema de Tales? 
O teorema de Tales segundo vários autores, como Bezerra (2019), Porfírio 
(2018) e Silva (2019), tem sua origem ligada à resolução de problemas práticos 
envolvendo paralelismo e proporcionalidade, concentra-se na relação entre o 
geométrico e o numérico. Por isso, esse teorema significa muito na teoria da 
semelhança e consequentemente na trigonometria, onde justifica as definições de 
seno, cosseno e tangente de dado ângulo. Afirmam também que na Geometria 
espacial, o teorema de Tales, aparece ao tratar das secções por um plano paralelo à 
base. 
Visando responder ao questionamento proposto nessa seção, a seguir, 
enuncia-se o que, de fato, retrata esse teorema. 
Teorema 3.1 (teorema de Tales): Se duas retas são transversais a um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma dessas transversais 
é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. 
27 
 
 
Como o objetivo desse trabalho é apenas apresentar o teorema de Tales, 
suas consequências e algumas de suas aplicações, além de discutir sobre sua 
aplicabilidade em sala de aula, não será fornecida, aqui, uma demonstração 
matemática formal para este teorema. Todavia, uma prova do teorema de Tales pode 
ser encontrada, por exemplo, nos textos de Dolce e Pompeo (2010) e Muniz Neto 
(2013). Para compreensão do que seja a proporcionalidade existente no teorema de 
Tales, temos a seguinte ilustração dada na Figura 3.3. 
Figura 3.3: Esquemas de proporcionalidade dados pelo teorema de Tales. 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Observe que as relações estabelecidas no teorema de Tales envolvem, 
apenas, noções de razão e proporção. Por exemplo, na primeira relação o segmento 
𝐴𝐵 está para o segmento 𝐵𝐶 assim como o segmento 𝐴’𝐵’ está para o segmento 𝐵’𝐶’. 
A igualdade entre as duas razões formam uma proporção e o cálculo dessa proporção 
pode ser resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com 
a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos 
(GIOVANNI JR; CASTRUCCI, 2010). 
Um outro fato importante é que o teorema de Tales só tem validade 
sobre retas paralelas. Além disso, as retas transversais não precisam ter a 
mesma inclinação (SILVA, 2019). 
Giovanni Jr e Castrucci (2007) mencionam que, por muitos séculos, esse 
teorema recebeu o nome de teorema dos segmentos proporcionais. E, por volta do 
século XIX, na França o renomearam para teorema de Tales, onde está registrado no 
livro francês Éléments de géométrie de Rouche e Comberousse (reedição de 1883). 
Segundo o autor, em países como a Alemanha, esse nome ficou definido com um 
enunciado diferente do clássico, assim escrito: “todo triângulo inscrito numa 
semicircunferência é retângulo”. 
𝐴′ 𝐴 
𝐵 𝐵′ 
𝑠 
𝐶 𝐶′ 
𝑡 
𝑝 
𝑚 
𝑛 
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐴′𝐵′
𝐵′𝐶′
 
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐴′𝐵′
𝐴′𝐶′
 
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
𝐵′𝐶′
𝐴′𝐶′
 
28 
 
 
Em relação ao ensino do Teorema de Tales, algumas considerações 
contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) são importantes de serem 
conhecidas. 
Inicialmente, é relevante destacar que a Geometria é uma parte muito 
importante da Matemática, é uma teoria axiomática, ou seja, ela é estruturada à base 
de axiomas, de conceitos primitivos, dos teoremas e diversas definições. O Teorema 
de Tales é um desses teoremas da Geometria, o qual é fundamental no 
desenvolvimento das semelhanças entre triângulos (PCN’s, 1998). 
Outro ponto importante é que na análise dos PCN’s, verificou-se que nos 
anos 7º e 8º do Ensino Fundamental, os conceitos e procedimentos que se propõem 
para serem trabalhados abrangem os números e operações; espaço e forma; 
grandeza e medidas; tratamento da informação e atitudes. Além disso, no item Espaço 
e Forma, encontra-se mencionado sobre o teorema de Tales, onde enfatiza-se o uso 
dessa ferramenta na resolução de problemas (PCN’s,1998, p.67). 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem para o ensino da 
geometria, que o aluno desenvolva a compreensão do mundo em que vive, 
aprendendo a descrevê-lo e a se localizar nele, estimulando ainda o aluno a observar, 
perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, compreender 
conceitos métricos, e permitir o estabelecimento de novas relações a partir de 
resultados já conhecidos (PCN’s, 1997). 
Dessa forma, além de conhecer os resultados da Geometria, como é o caso 
do teorema de Tales, é importante também para o aluno saber aplicar o teorema de 
Tales e conhecer outros resultados que advém desse teorema. Visando atender a 
essa necessidade, exibe-se, nas próximas seções desse capítulo, alguns exemplos 
de aplicação do teorema de Tales e algumas consequências desse teorema nos 
triângulos. Para maiores detalhes conferir, por exemplo, os textos de Dolce e Pompeo 
(2010) e Muniz Neto (2013). 
3.3 Aplicações do teorema do Tales 
Com intuito de aperfeiçoar a compreensão do teorema de Tales, lista-se, a 
seguir, alguns exemplos simples, mas que podem ser resolvidos como uma aplicação 
direta desse teorema. O primeiro desses exemplos é um problema que pode ser 
relacionado até mesmo com o próprio cotidiano do indivíduo. 
29 
 
 
Exemplo 3.1 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000): Duas avenidas partem de uma mesma 
rotatória localizada num ponto 𝐴 e são cortadas por duas ruas paralelas conforme 
ilustrado na Figura 3.4. Em uma das avenidas, o comprimento dos dois primeiros 
quarteirões determinados pelas ruas paralelas são, respectivamente, 60 𝑚 e 50 𝑚. 
Sabendo-se que na outra avenida a medida do primeiro quarteirão (correspondente 
àquela considerada na primeira avenida) é igual a 75 𝑚, determinar a medida 𝑥 do 
comprimento do outro quarteirão nessa avenida. 
Figura 3.4: Teorema de Tales no cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Giovanni e Bonjorno (2000). 
Solução: A ilustração da Figura 3.4 mostra a configuração de duas retas paralelas (às 
ruas) intersectadas por duas retas transversais (às avenidas). Logo, aplicando-se 
diretamente o teorema de Tales, obtém-se 
75
𝑥
=
60
50
 , 
ou, equivalentemente, 60𝑥 = 3750, de onde se conclui facilmente que 𝑥 = 62,5. 
Portanto, o comprimento do outro quarteirão procurado é 62,5 𝑚. ■ 
Exemplo 3.2: Sejam 𝑚, 𝑛 e 𝑝 retas paralelas, com 𝑛 entre 𝑚 e 𝑝. A transversal 𝑠 
determina sobre 𝑚, 𝑛 e 𝑝 os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, ao passo que a transversal 𝑡 determina 
sobre 𝑚, 𝑛 e 𝑝 os pontos correspondentes 𝐴′, 𝐵′ e 𝐶′. Esses seis pontos determinados 
por esse feixe de retas paralelas, 𝑚, 𝑛 e 𝑝 , intersectadas por essas duas transversais, 
𝑠 e 𝑡, são tais que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 4, 𝐵𝐶 = 3𝑦, 𝐴′𝐵′ = 𝑦 e 𝐵′𝐶′ = (𝑥 + 7)/2. Sabendo-se que 
𝑥 + 𝑦 = 5, determinar o valor de 𝐵𝐶. 
30 
 
 
𝑥 + 4 
3𝑦 
𝑦 
𝑥 + 7
2
 
2𝑥 + 2 2𝑥 − 12𝑥 − 6 2𝑥 − 8 
Solução: A Figura 3.5 ilustra a situação descrita no enunciado do problema. Note que, 
de acordo com o teorema de Tales, tem-se: 
𝑥 + 4
3𝑦
=
𝑦
𝑥 + 7
2
 , 
ou, equivalentemente, 
 
𝑥 + 4
3𝑦
=
2𝑦
𝑥 + 7
 . (3.1) 
Uma vez que, por hipótese, 𝑥 + 𝑦 = 5, isto é, 𝑥 = 5 − 𝑦, então de (3.1), 
obtém-se (9 − 𝑦)(12 − 𝑦) = 6𝑦2 ou, ainda, 5𝑦2 + 21𝑦 − 108 = 0. Daí, resolvendo-se a 
equação do 2º grau anterior, obtém-se: 𝑦 = 3 ou 𝑦 = −7,2. Todavia, como os 
segmentos têm medidas positivas, conclui-se que 𝑦 = 3 e, portanto, 𝐵𝐶 = 3𝑦 = 9 
unidades de comprimento. 
Figura 3.5: Aplicação do teorema de Tales. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. ■ 
Exemplo 3.4: Calcular o valor de 𝑥 determinado pelo feixe de retas paralelas 𝑚, 𝑛 e 
𝑝 intersectadas pelas transversais 𝑠 e 𝑡, ilustrado na Figura 3.6. 
Figura 3.6: Feixe de retas paralelas e transversais para o Exemplo 3.4. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
𝐴′ 𝐴 
𝐵 𝐵′ 
𝑠 
𝐶 𝐶′ 
𝑡 
𝑝 
𝑚 
𝑛 𝑥 + 𝑦 = 5 ⟺ 𝑥 = 5 − 𝑦 
𝑚 
𝑛 
𝑝 
𝑠 𝑡 
31 
 
 
Solução: Levando-se em consideração a Figura 3.6, pode-se aplicar o teorema de 
Tales para se concluir que 
2𝑥 + 2
2𝑥 − 6
=
2𝑥 − 1
2𝑥 − 8
 , 
ou, equivalentemente, 4𝑥2 − 12𝑥 − 16 = 4𝑥2 − 14𝑥 + 6. Simplificando a última 
equação na variável 𝑥 , obtém-se 14𝑥 − 12𝑥 = 6 + 16, de onde é possível afirmar que 
𝑥 = 11. ■ 
O último exemplo dessa seção também pode ser encarado como um 
problema do cotidiano e utiliza, para sua solução, a segunda relação de 
proporcionalidade (dada na Figura 3.3) fornecida pelo teorema de Tales. 
Exemplo 3.3: Deseja-se determinar as medidas dos comprimentos frontais de dois 
terrenos, com laterais paralelas, de um certo loteamento. Se a Figura 3.7 ilustra esses 
terrenos, determinar os valores 𝑥 e 𝑦 que representam essas medidas. 
Figura 3.7: Terrenos de laterais paralelas e o teorema de Tales. 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
 
Solução: Observando-se a Figura 3.7 e aplicando-se o teorema de Tales, obtém-se 
𝑦 + 𝑥
𝑦
=
30 + 60
30
 . 
De acordo com os dados do problema, sabe-se que 𝑦 + 𝑥 = 72. Consequentemente, 
72
𝑦
=
90
30
= 3. 
Simplificando-se a expressão anterior tem-se 3𝑦 = 72, de onde se conclui que 𝑦 = 24. 
Agora, como 𝑦 + 𝑥 = 72 e 𝑦 = 24 , tem-se 24 + 𝑥 = 72 ou, ainda, 𝑥 = 48. 
Portanto, as medidas frontais dos dois terrenos são, respectivamente, 𝑦 = 24 𝑚 e 𝑥 =
48 𝑚. ■ 
32 
 
 
3.4 Algumas consequências do teorema de Tales nos triângulos 
Como uma primeira consequência do teorema de Tales aplicado aos 
triângulos, temos o seguinte resultado: 
Corolário 3.1: Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo qualquer. Se 𝑟 é uma reta paralela a um dos 
lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 que intersecta os outros dois lados de 𝐴𝐵𝐶 em pontos distintos, 
então ela determina sobre esses dois lados, segmentos que são proporcionais. 
Demonstração: Sem perda de generalidade, considere um triângulo 𝐴𝐵𝐶, onde 𝑟 é 
uma reta paralela, por exemplo, ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , com 𝑀 e 𝑁 sendo seus respectivos pontos 
de interseção com os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , conforme ilustrado na Figura 3.8. 
Figura 3.8: Paralela a um dos lados de um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Agora, traçando-se pelo vértice 𝐴 uma reta 𝑠 que seja paralela à reta 𝑟, 
obtém-se um feixe de três paralelas (𝑟, 𝑠 e 𝐵𝐶 ⃡ ) cortadas pelas transversais 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐴𝐶 ⃡ . 
A Figura 3.9 ilustra a reta s construída e o esquema para o triângulo nessa nova 
configuração. 
Figura 3.9: Teorema de Tales no triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
𝐴 
𝐵 𝐶 
𝑀 𝑁 
𝑟 
𝑠 
𝐴 
𝐵 𝐶 
𝑀 𝑁 
𝑟 
33 
 
 
Finalmente, aplicando-se o teorema de Tales na construção da Figura 3.9, obtém-se: 
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
𝐴𝑁
𝑁𝐶
 . 
 ■ 
Um outro resultado que pode ser aplicado aos triângulos e que surge a 
partir do teorema de Tales é o chamado teorema da bissetriz interna, enunciado a 
seguir. 
Corolário 3.2: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o 
lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o 
ângulo considerado. Em outras palavras, considerando a Figura 3.10, se 𝑃 é o pé da 
bissetriz interna relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, então 
𝐵𝑃
𝑃𝐶
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
 . 
Figura 3.10: Bissetriz interna do ângulo de um triângulo e o teorema de Tales. 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Demonstração: Considere o triângulo 𝐴𝐵𝐶 ilustrado na Figura 3.10, onde 𝑃 é o pé 
da bissetriz interna relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Traçando-se pelo ponto 𝐵 uma reta 𝑟 que seja 
paralela à reta 𝐴𝑃 ⃡ (bissetriz do ângulo �̂�) e marcando-se seu ponto de interseção 
(denotado por 𝐷) com a reta 𝐴𝐶 ⃡ , obtém-se um triângulo 𝐴𝐵𝐷 ilustrado na Figura 3.11. 
Uma vez que a reta 𝑟 é paralela à reta 𝐴𝑃 ⃡ , os ângulos correspondentes 3̂ 
e 2̂ (dados na Figura 3.11), formados pela intersecção dessas retas com a reta 
transversal 𝐷𝐶 ⃡ , são congruentes (veja item (b) da Observação 2.3), ou seja, 3̂ ≡ 2̂. 
Consequentemente, como 𝐴𝑃 ⃡ é bissetriz do ângulo 𝐵�̂�𝐶, conclui-se que 3̂ ≡ 2̂ ≡ 1̂. 
Agora, considerando-se a reta transversal 𝐴𝐵 ⃡ que intersecta as retas 
paralelas 𝑟 e 𝐴𝑃 ⃡ , conclui-se que os ângulos alternos internos 1̂ e 4̂ são congruentes, 
isto é, 1̂ ≡ 4̂. Daí, como 3̂ ≡ 2̂ ≡ 1̂, pode-se afirmar que os ângulos internos 4̂ e 3̂ do 
34 
 
 
triângulo 𝐴𝐵𝐷 são congruentes, de onde se conclui que o triângulo 𝐴𝐵𝐷 é isósceles 
de base 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 
Figura 3.11: Construção geométrica para prova do teorema da bissetriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Finalmente, como o triângulo 𝐴𝐵𝐷 é isósceles de base 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , então 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 
e aplicando-se o teorema de Tales às paralelas 𝑟 e 𝐴𝑃 ⃡ , intersectadas pelas 
transversais 𝐶𝐷 ⃡ e 𝐶𝐵 ⃡ (veja também Corolário 3.1), obtém-se 
𝐶𝐴
𝐴𝐵
=
𝐶𝐴
𝐴𝐷
=
𝐶𝑃
𝐵𝑃
 , 
ou, equivalentemente, 
𝐵𝑃
𝑃𝐶
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
 , 
exatamente como se desejava. ■ 
De maneira análoga à prova do Corolário 3.1 (teorema da bissetriz interna) 
é possível demonstrar também o chamado “teorema da bissetriz externa” enunciado 
a seguir. 
Corolário 3.3: Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta a reta 
que contém o lado oposto a esse ângulo, então ela divide esse lado oposto 
externamente sobre o lado oposto, segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados 
adjacentes. Em outras palavras, considerando a Figura 3.12, se 𝑄 é o pé da bissetriz 
externa relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, então 
𝐵𝑄
𝑄𝐶
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
 . 
35 
 
 
Figura 3.12: Bissetriz externa do ângulo de um triângulo e o teorema de Tales. 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Para encerrar essa seção, apresenta-se, a seguir, uma consequência do 
teorema de Tales nas relações de semelhança entre triângulos. Vale ressaltar aqui 
que dois triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶′ são semelhantes (denotado aqui 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝐴′𝐵′𝐶′) se, 
e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados 
homólogos (ou correspondentes) proporcionais, isto é, 
𝐴𝐵𝐶 ~ 𝐴′𝐵′𝐶′ ⟺ �̂� ≡ 𝐴′̂, �̂� ≡ 𝐵′̂, �̂� ≡ 𝐶 ′̂ e 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐴𝐶
𝐴′𝐶′
 = 𝑘. 
Corolário 3.4: Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo qualquer. Se 𝑟 é uma reta paralela a um dos 
lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 que intersecta os outros dois lados de 𝐴𝐵𝐶 em pontos distintos, 
então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 
Demonstração: Sem perda de generalidade, considere um triângulo 𝐴𝐵𝐶, onde 𝑟 é 
uma reta paralela, por exemplo, ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (com 𝑀 e 𝑁 sendo seusrespectivos pontos 
de interseção com os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ) determinando o triângulo 𝐴𝑀𝑁 conforme 
ilustrado na Figura 3.13. 
Figura 3.13: Teorema de Tales e semelhança de triângulos. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
𝐴 
𝐵 𝐶 
𝑀 𝑁 
𝑟 
𝑟 ∥ 𝐵𝐶 ⃡ ⟹ 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝐴𝑀𝑁 
36 
 
 
Com a construção da Figura 3.13, deseja-se mostrar, portanto, que os 
triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝑀𝑁 são semelhantes. Para isso, deve-se verificar que os ângulos 
correspondentes são congruentes, isto é, �̂� ≡ �̂� (o que obviamente é verdadeiro), 
�̂� ≡ �̂� e �̂� ≡ �̂�, e que os lados correspondentes são proporcionais, ou seja, 
 
𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
=
𝑀𝑁
𝐵𝐶
 . (3.2) 
Para o que resta mostrar na primeira parte, isto é, a congruência dos 
ângulos �̂� e �̂�, e congruência de �̂� e �̂�, basta observar que as retas 𝑟 e 𝐵𝐶 ⃡ sendo 
paralelas e intersectadas pelas transversais 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐴𝐶 ⃡ , determinam pares de ângulos 
correspondentes congruentes (veja item (b) da Observação 2.3). 
Para provar a proporcionalidade entre os respectivos lados dos triângulos 
𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝑀𝑁, incialmente traça-se, pelo vértice 𝐴, uma reta 𝑠 que seja paralela à reta 
𝑟, obtendo-se um feixe de três paralelas (𝑟, 𝑠 e 𝐵𝐶 ⃡ ) cortadas pelas retas transversais 
𝐴𝐵 ⃡ e 𝐴𝐶 ⃡ , como ilustrado na Figura 3.14. Depois, aplica-se o teorema de Tales para se 
concluir que 
 
𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
 . (3.3) 
Figura 3.14: Primeira construção geométrica para prova do Corolário 3.4. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Uma vez que um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo se, e 
somente se, possui os lados opostos paralelos, traçando-se na Figura 3.13 as retas, 
𝑝 e 𝑞, paralelas ao lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ que passam, respectivamente, por 𝑁 e por 𝐶 (veja Figura 
3.15), obtém-se o paralelogramo 𝑀𝐵𝐷𝑁 (onde 𝐷 é o ponto de intersecção da reta 𝑝 
com a lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ), já que a reta 𝑟 é paralela à reta 𝐵𝐶 ⃡ , e a reta 𝑝 é paralela à reta 𝐴𝐵 ⃡ . 
 
𝐴 
𝐵 𝐶 
𝑀 𝑁 
𝑟 
𝑠 
37 
 
 
Figura 3.15: Segunda construção geométrica para prova do Corolário 3.4. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Agora, levando-se em consideração que uma das propriedades satisfeitas 
pelos paralelogramos é que eles têm lados opostos congruentes, conclui-se que 𝑀𝑁 =
𝐵𝐷. Consequentemente, aplicando-se o teorema de Tales ao feixe de retas paralelas 
formado por 𝑝, 𝑞 e 𝐴𝐵 ⃡ , intersectadas pelas transversais 𝐶𝐴 ⃡ e 𝐶𝐵 ⃡ , obtém-se 
 
𝑀𝑁
𝐵𝐶
=
𝐵𝐷
𝐵𝐶
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
 . (3.4) 
Finalmente, usando-se os resultados encontrados nas equações (3.3) e (3.4), obtém-
se o resultado desejado em (3.2), e isto conclui a prova do corolário. ■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 
𝐵 𝐶 
𝑀 𝑁 
𝑟 
𝑝 
𝑞 
𝐷 
38 
 
 
4 O teorema de Tales na prática: sugestões didáticas 
Quando se trata de ensino e de aprendizagem, em especial nas aulas de 
Matemática, o professor na sua rotina cotidiana, deve sempre buscar alternativas que 
viabilizem seu trabalho e facilite maior compreensão dos alunos em relação aos 
conteúdos repassados, ainda mais quando o assunto é Geometria, no caso teorema 
de Tales, objeto de estudo desse trabalho. 
Vários aspectos relevantes precisam ser apontados e respeitados, como a 
maturidade da turma, o nível dos alunos, quais noções eles tem trazido dos anos 
anteriores, além do acompanhamento em casa pela família. Considerando todos estes 
pontos e mais alguns, é possível que se sugira opções inovadoras e diferenciadas 
para serem aplicadas em sala de aula, como as que se propõem a seguir. 
4.1 Estratégias de leitura na compreensão do teorema de Tales 
Considerando as grandes dificuldades encontradas na disciplina em foco, 
muitas alternativas têm sido buscadas para amenizar tais dificuldades. Vários são os 
motivos por que alunos se queixam em relação ao aprendizado na Matemática, 
provocando às vezes rejeição por aprender sobre os problemas típicos desta área na 
sala de aula. Optou-se por registrar algumas estratégias de leitura, visando facilitar 
esse entendimento, uma vez que a Geometria também é considerada tão difícil quanto 
outros segmentos matemáticos. 
Para Guimarães e Stoltz (2008), a realidade vivida em sala de aula, o que 
pode fazer sentido na vida do aluno, são as ações que se alinham com a sua 
realidade, seu contexto, pois ensinar na Matemática apenas o abstrato, não torna mais 
fácil a aprendizagem, nem tão pouco desperta interesse desses alunos quando 
alcança os conteúdos geométricos. 
Com base nessas considerações preliminares, Charlot (2005) compreende 
que só tem sentido no processo da aprendizagem, aquilo que tiver muita importância 
e o leve a aprender mais para ser aplicado na sua vida social dentro e para além da 
escola, como é necessário que seja suscitado sempre uma situação de aprendizagem 
adequada. 
Até pouco tempo, não se imaginava que era preciso maior preocupação 
quanto à leitura matemática, uma vez que se o aluno não souber ler bem e 
39 
 
 
compreender o que lê, não poderá saber interpretar uma mínima sentença que seja. 
Daí o professor se preocupar com isso. 
Entretanto, pode-se buscar e deve-se conhecer novas estratégias que 
venham a inovar na sala de aula o ensino de Matemática. Ninguém melhor do que 
autoras da área da Linguagem para explicar melhor sobre estas estratégias, como 
Kleiman (2013) e Solé (2000), além de Soares (2016), respectivamente. 
Considerando que estratégias são necessárias para entender um texto, 
com o ensino matemático não poderia ser diferente. Pois, em uma turma de alunos 
de qualquer sala de aula, e em especial ao aluno do 9º ano, onde o objeto desse 
estudo geralmente é tratado, vários são os níveis de maturidade e ritmo do alunado. 
Há outros aspectos igualmente importantes, como o acompanhamento da família, 
alguns problemas de aprendizagem, entre outros. Assim, foi possível pensar na 
possibilidade de opções diversas para serem aplicadas em classe. 
Este teorema em foco, precisa dessa compreensão por parte dos alunos, 
haja vista que entender Geometria, no caso, envolve métodos de repassar o conteúdo 
para amenizar as dificuldades e estimular o desenvolvimento das habilidades e 
competências que cada um possui. 
O que se observa na sala de aula no dia a dia, começando pelos anos 
iniciais do Ensino Fundamental, é a maneira como os alunos resolvem qualquer 
problema, por mais simples que sejam. Muitos até conseguem resolver um pequeno 
problema, porém, não compreende de que maneira foi feito, ou seja, não é consciente 
do resultado obtido, nem do método que utilizou para fazê-lo (CONCEIÇÃO, 2019). 
Segundo a opinião do autor, não é importante resolver uma problema por 
resolver, porque toda situação de aprendizagem requer ideias sobre ela, e o aluno 
que não entende o que está fazendo, a aprendizagem não foi eficaz, com certeza, é 
aí que o professor precisa explorar estratégias que venham inovar sua prática. 
Para Conceição (2019, p.23): 
É possível que estratégias factíveis de serem realizadas, podem facilitar o 
ensino do Teorema de Tales em sala de aula com os alunos do 9º Ano do 
Ensino Fundamental, como a seguir: produção científica aproximando o 
objeto da pesquisa, onde a pesquisa levará o aluno a pesquisar e além de 
ficar atualizado, pode articular os conhecimentos adquiridos nas pesquisas 
com seu contexto social. 
A autora acredita que outras estratégias podem ser trabalhadas na 
compreensão do assunto na sala de aula, como o levantamentobibliográfico, 
40 
 
 
orientado pelo professor e apoiado pela equipe pedagógica da escola, 
aprofundamento do estudo da Geometria e sua relação com o Teorema de Tales, 
utilizando-se do seu contexto. 
Ainda segundo Conceição (2019), não apenas o professor de Língua 
Portuguesa deve desenvolver habilidades e competências como argumentação, 
interpretação, representação e comunicação entre outras, uma vez que todas elas são 
indispensáveis no entendimento de conceitos matemáticos não somente na 
abstração, quanto na prática, o que remete à compreensão. 
4.2 O significado da resolução de problemas no cotidiano do aluno 
O que tem se observado no ensino de Matemática, com base em 
experiências do dia a dia, é que esta ciência tem sido considerada uma vilã, devido 
às dificuldades encontradas pelos alunos em compreender uma sentença matemática, 
entender uma fórmula, uma regra, ou discernir os conceitos matemáticos mais 
complexos, em dominar o jogo dos sinais que caracterizam os vários tipos de 
operações algébricas, entre outros conteúdos. 
Por isso, cabe ao professor buscar os melhores métodos possíveis para 
que esse ensino seja viabilizado em sala de aula, em todos os segmentos da 
Matemática, e em especial, aos conteúdos relacionados ao teorema de Tales. 
Nesse contexto, uma das estratégias mais importantes no ensino da 
Matemática, é a resolução de problemas, onde o aluno é orientado a desenvolver sua 
capacidade de compreensão e interpretação de uma sentença, para depois resolvê-
la; outra habilidade a ser desenvolvida é o raciocínio lógico, indispensável no dia a dia 
em todas as atividades que envolvem Matemática, considerando que não se pode 
viver sem esta ciência. 
A metodologia de resolução de problemas é muito utilizada nas aulas desta 
disciplina, em qualquer conteúdo, porque resolver problemas faz parte de seu 
funcionamento e pode facilitar na minimização das dificuldades de aprendizagem dos 
alunos. 
Em se tratando do teorema de Tales, a resolução de problemas também é 
muito eficaz na absorção e aprendizagem desse teorema. Na medida do possível, é 
interessante inserir, nesses problemas, conceitos já estudados assim como novos 
conceitos da matemática. É possível tornar as aulas de Matemática bem mais 
41 
 
 
dinâmicas e atraentes considerando também os saberes que os alunos trazem de 
casa, e inserido novas estratégias facilitadoras desse trabalho, como a conexão com 
outras áreas e ciências. 
Nesta perspectiva, pode ser trabalhado semelhanças de triângulos, os 
conceitos sobre razão e proporção na Geometria, cujos recursos são normalmente 
empregados no campo da Engenharia, na Arquitetura, na Topografia e em outras 
atividades profissionais, para o cálculo de distâncias e alturas inacessíveis, 
ressaltando a importância da aplicação desse teorema na prática (LUPINACCI; 
BOTIN, 2004). 
Lupinacci e Botin (2004) menciona ainda que o professor pode também 
utilizar e explorar bem a técnica de desenhos, de fotografias, ampliar e reduzir figuras, 
medir e interpretar, identificar a proporção na Geometria, em especial a parte dos 
triângulos. Muitos problemas podem ser sugeridos nesse exercício em sala de aula, 
estimulando os alunos a descobrir novas observações acerca dos triângulos no 
próprio contexto onde vive. 
Vale ressaltar que o autor afirma que a resolução de problemas é uma velha 
metodologia, explorada das mais variadas formas, mas através de um novo olhar, 
pode ser desenvolvida em sala de aula, aproveitando a interação dos alunos com suas 
ideias inovadoras, típicas do atual contexto científico e tecnológico. Pela metodologia 
mencionada, será desenvolvido sua capacidade de observar, pensar, interpretar, 
estabelecer relações, generalizar e concluir, bem como estimular o espírito crítico e o 
modo de pensar matematicamente falando. 
Para Dante (2010, p.18), “é preciso desenvolver no aluno a habilidade de 
elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, 
no sentido de solucionar as questões surgidas no cotidiano na escola ou fora dela”. 
Assim, em se tratando do teorema de Tales e demais conteúdos da 
Matemática, melhores resultados em sala de aula podem ser vislumbrados ao longo 
do trabalho do professor, quando suas estratégias forem bem conduzidas para a 
resolução dos problemas encontrados na prática. 
 
 
 
42 
 
 
Considerações finais 
Como foi visto ao longo desse trabalho, o teorema de Tales é um dos 
grandes e importantes resultados da Geometria que já era estudado desde os tempos 
antigos, mesmo sem todo o aparato da matemática moderna, e que ainda é muito 
importante na matemática atual. Muitos são os resultados que seguem desse teorema 
além daqueles que foram explorados aqui. Todavia, nos triângulos, e em especial, na 
semelhança de triângulos, esse teorema ganha grande destaque. 
O estudo do teorema de Tales, como foi observado, também é muito útil no 
que se refere a revisão e absorção de conceitos da geometria, tais como: ponto, reta, 
plano, segmento de reta, retas paralelas, feixe de retas paralelas cortadas por 
transversais, razão, proporção, semelhança de triângulos, entre outros. A 
compreensão de tais conceitos é essencial no decorrer do estudo de toda a geometria 
e, nesse aspecto, o estudo do teorema de Tales também fornece sua contribuição. 
Conforme foi abordado no percurso dessa pesquisa, vale registrar a 
importância que tiveram as sugestões didáticas com respeito ao ensino e 
aprendizagem do teorema de Tales “na prática”, onde foram apresentas sugestões 
para serem propostas em sala de aula no ensino da Geometria, mais especificamente 
no que se refere ao Teorema de Tales e sua aplicabilidade no cotidiano. É preciso 
inovar na sala de aula o tempo todo, pois os conhecimentos já adquiridos na classe 
devem ser atrelados aos saberes trazidos pelos alunos, no propósito de facilitar a 
aprendizagem. 
A pesquisa realizada para fazer este trabalho de conclusão de curso, com 
base no aporte teórico selecionado, serviu para amadurecimento de algumas 
concepções dos teóricos encontrados, a serem levadas à sala de aula e melhorar o 
desempenho de quem estuda o conteúdo abordado. 
Sabe-se que este trabalho apresentado não encerra as informações 
trazidas aqui, mas pode despertar maior interesse em ampliar e aperfeiçoar os 
conhecimentos sobre o tema, como pode suscitar outras sugestões que podem ser 
acrescentadas às apresentadas. 
 
 
 
43 
 
 
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