Geometria-Espacial

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
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SUMÁRIO 
1 Geometria espacial e de posição ......................................................................... 6 
2 Aplicações da geometria .................................................................................... 16 
3 Poliedros e corpos redondos .............................................................................. 22 
4 Postulados de Euclides ...................................................................................... 31 
5 Retas no espaço ................................................................................................ 33 
6 Exemplos de demonstrações ............................................................................. 36 
7 Paralelismo no espaço e suas propriedades ...................................................... 39 
7.1 Paralelismo entre retas e entre retas e planos ................................................ 40 
7.2 Paralelismo entre planos ................................................................................. 40 
7.3 Intersecção entre planos ................................................................................. 41 
8 Condições de perpendicularidade ...................................................................... 42 
8.1 Perpendicularidade entre retas e entre retas e planos .................................... 42 
8.2 Perpendicularidade entre planos ..................................................................... 44 
9 Problemas de demonstrações ............................................................................ 46 
9.1 Teorema 1.........................................................................................................46 
9.2 Teorema 2.........................................................................................................47 
9.3 Teorema 3.........................................................................................................47 
10 Distância entre pontos, retas e planos ............................................................. 48 
10.1 Dois pontos ................................................................................................... 48 
10.2 Um ponto e uma reta ..................................................................................... 49 
10.3 Um ponto e um plano .................................................................................... 49 
10.4 Duas retas.......................................................................................................50 
10.5 Reta e plano .................................................................................................. 51 
10.6 Dois planos .................................................................................................... 52 
 
3 
 
11 Ângulos no espaço ........................................................................................... 52 
11.1 Retas coplanares .......................................................................................... 52 
11.2 Retas reversas .............................................................................................. 53 
11.3 Planos.............................................................................................................53 
12 Problemas com demonstrações ....................................................................... 54 
12.1 Teorema 1.......................................................................................................54 
12.2 Teorema 2.......................................................................................................56 
13 Projeções planas .............................................................................................. 57 
13.1 Classificação das projeções planas .............................................................. 58 
14 Projeções ortogonais ........................................................................................ 62 
15 Representação de objetos tridimensionais ....................................................... 64 
16 Os softwares educacionais: critérios de análise e seleção .............................. 67 
16.1 Tipos de softwares educacionais .................................................................. 68 
16.2 Critérios de análise ........................................................................................ 71 
17 Os softwares educacionais de acesso livre e seu uso no contexto escolar ..... 73 
18 Projetos pedagógicos com os softwares educacionais .................................... 77 
19 Desenvolvimento da geometria ........................................................................ 78 
19.1 Gaspar Monge ............................................................................................... 79 
19.2 Jean Victor Poncelet...................................................................................... 80 
19.3 Michel Chasles .............................................................................................. 82 
19.4 Jakob Steiner ................................................................................................ 83 
19.5 Bernhard Riemann ........................................................................................ 86 
19.6 Felix Klein........................................................................................................87 
20 Desenvolvimento da análise e álgebra ............................................................. 88 
20.1 Voltando a Riemann ...................................................................................... 88 
 
4 
 
20.2 Karl Weierstrass ............................................................................................ 89 
20.3 George Cantor ............................................................................................... 89 
20.4 Julius Wilhelm Richard Dedekind .................................................................. 91 
20.5 George Boole ................................................................................................ 91 
20.6 Augustus de Morgan ..................................................................................... 92 
20.7 William Rowan Hamilton ................................................................................ 92 
20.8 Hermann Günter Grassmann ........................................................................ 93 
20.9 Arthur Cayley ................................................................................................. 94 
20.10 James Joseph Sylvester .............................................................................. 94 
21 Técnicas de geometria, análise e álgebra na sala de aula de matemática ...... 95 
21.1 Geometria descritiva em sala de aula ........................................................... 95 
22 A história da matemática como metodologia de ensino ................................. 100 
23 Metodologia de projetos ................................................................................. 108 
24 Conhecimento científico ................................................................................. 113 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prezado aluno! 
 
O grupo educacional Faveni, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as 
perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão 
respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempoe 
organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura 
do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá 
reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o 
quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos 
para as atividades. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 GEOMETRIA ESPACIAL E DE POSIÇÃO 
Iniciaremos os estudos conhecendo os entes primitivos, que são aqueles 
que não têm definição, e são os elementos iniciais para a construção da geometria 
(OLIVEIRA, 2016): 
 
 Ponto — representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto, não 
tem dimensão, nem comprimento, nem largura e nem altura; 
 Reta — representada por letras minúsculas do nosso alfabeto, tem 
uma única dimensão e tem comprimento, mas não tem largura nem 
altura; 
 Plano — representado por letras minúsculas do alfabeto grego, tem 
duas dimensões, comprimento e largura, mas a altura é zero. 
 
Confira, na Figura 1, uma representação para os entes primitivos discutidos. 
 
 
 
De acordo com Oliveira (2016), o conjunto de todos os pontos, retas e 
planos é denominado espaço. Algumas propriedades importantes que dispensam 
demonstrações são: 
 
I. Existem infinitos pontos, retas e planos; 
II. O plano é infinito; 
III. Três pontos não colineares definem um plano. 
 
 
7 
 
No entanto, algumas propriedades exigem demonstrações para serem 
aceitas. Oliveira (2016, p. 156–157) exemplifica algumas delas: 
 
 A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°; 
 Em uma reta e também fora dela existem infinitos pontos; 
 Em um plano e também fora dele existem infinitos pontos; 
 Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma única reta que os 
contenha; 
 Dados três pontos não colineares do espaço, existe um único plano 
que os contenha; 
 Se uma reta tem dois de seus pontos distintos pertencentes a um 
plano, então essa reta está contida no plano. 
 
Quando as posições relativas entre duas retas pertencem a um mesmo 
plano, estas são chamadas de coplanares e, podem ser classificadas em três tipos: 
paralelas, quando não têm ponto em comum; concorrentes, quando têm um único 
ponto em comum; e, coincidentes, quando têm todos os pontos em comum 
(OLIVEIRA, 2016). Observe na Figura 2 as diferenças entre elas. 
 
 
 
Retas que não pertencem a um mesmo plano são denominadas reversas. 
Observe as retas r e s na Figura 3 (OLIVEIRA, 2016). É importante destacar que 
retas reversas não necessitam ser ortogonais, ou seja, podem formar ângulo 
diferente de 90°. 
 
 
8 
 
 
 
 
 
Oliveira (2016) afirma que um plano pode ser definido por: três pontos não 
colineares, uma reta e um ponto fora desta, duas retas paralelas, ou duas retas 
concorrentes. Observe a Figura 4. 
 
 
 
Quanto à posição relativa entre uma reta e um plano, Oliveira (2016, p. 159) 
explica que ela pode ser: 
 
 Paralela — quando não há ponto em comum; 
 Concorrente — quando há apenas um ponto em comum; 
 Contida — quando a reta tem todos os seus pontos no plano; 
 
9 
 
 Perpendicular — além de ser concorrente ao plano, forma um 
ângulo de 90° com ele. 
 
Para esse último caso, a reta deve ser ortogonal a duas retas concorrentes 
desse plano no ponto de intersecção, como mostra a Figura 5. 
 
 
 
Quanto às posições relativas entre dois planos, estes planos podem ser: 
paralelos, quando não há intersecção; coincidentes, quando têm todos os pontos 
em comum, o que, na verdade, é o mesmo plano; e concorrentes, quando há uma 
reta em comum (OLIVEIRA, 2016). Observe a Figura 6. 
 
 
 
10 
 
Há algumas condições para que os planos sejam definidos de uma forma 
ou de outra. Para que seja paralelo, o plano deve ser paralelo a duas retas 
concorrentes do outro plano (SILVA, 2020). Veja a Figura 7 
 
 
 
Por outro lado, para que seja perpendicular, um plano deve ser 
perpendicular a duas retas concorrentes do outro. Veja a Figura 8. 
 
 
 
No espaço em três dimensões, ou seja, no espaço tridimensional, utilizamos 
o sistema cartesiano ortogonal, em que temos três retas orientadas mutuamente 
perpendiculares, os eixos cartesianos, para representar um ponto no espaço 
tridimensional. Essas retas encontram-se no ponto O de coordenadas (0,0,0), que 
 
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é a origem do sistema cartesiano, como mostra a Figura 9 (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
 
 
 
O eixo x é o eixo das abscissas, o eixo y é o eixo das ordenadas e o eixo z 
é o eixo das cotas. Neste sistema, formam-se entre os três planos cartesianos: o 
plano xy, o plano xz e o plano yz (LEITE; CASTANHEIRA, 2017). Veja a Figura 10. 
 
 
 
O ponto P1 está no plano xy, o ponto P2 está no plano xz e o ponto P3 está 
no plano yz. Para representar um ponto P(x, y, z) no espaço tridimensional, traçam-
se três planos paralelos a esses planos cartesianos. Em consequência, obtém-se 
um paralelepípedo retângulo, como mostra a Figura 11 (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
 
 
12 
 
 
 
Dessa forma, um ponto no espaço tem uma tripla ordenada de números 
reais, que são suas coordenadas cartesianas ortogonais (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
Para falar da reta no espaço tridimensional, Leite e Castanheira (2017) 
retomam o conceito de vetor, que é uma classe de segmentos de reta orientados e 
equipolentes que tem o mesmo módulo (intensidade), a mesma direção e o mesmo 
sentido. Então, um segmento de reta é representado por , se o segmento de 
reta for orientado do ponto A para o ponto B. No espaço tridimensional, um vetor 
tem três coordenadas, denominadas (x, y, z), como mostra a Figura 12. 
 
 
13 
 
 
 
Um plano α, no espaço tridimensional, pode ser definido por três pontos não 
colineares: P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ) e P3 (x3 , y3 , z3 ), como mostra a 
Figura 13 (LEITE; CASTANHEIRA, 2017). 
 
 
 
A seguir, veja alguns exemplos de aplicação prática da geometria especial 
de posição apresentados por Dante (2008). 
Exemplo 1: objetos da vida real podem representar a intersecção entre dois 
planos, e o porta-revistas é um deles. 
 
 
14 
 
 
 
Exemplo 2: note que, na cadeira de praia da Figura 15, o encosto e o 
assento podem ser vistos como partes de planos secantes; e as ripas de madeira, 
como retas paralelas entre si. (DANTE, 2008) 
 
 
 
Exemplo 3: o Obelisco aos Heróis de 1932, em São Paulo, representado 
na Figura 16a, dá a ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na 
Itália, representada na Figura 16b, dá a ideia de reta oblíqua a um plano. (DANTE, 
2008) 
 
 
15 
 
 
 
Exemplo 4: os notebooks abertos dão a ideia de planos oblíquos, como 
podemos observar na Figura 17. E, quando estão nas posições representadas pela 
Figura 18, dão a ideia de planos perpendiculares. (DANTE, 2008) 
 
 
 
 
 
16 
 
2 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA 
Apresentaremos nesta seção algumas aplicações práticas dos conceitos de 
figuras geométricas planas, como área e perímetro. Veja a seguir alguns exemplos 
envolvendo geometria plana e aplicações do teorema de Pitágoras. (SILVA, 2020) 
 
Exemplo 1: determine quantos metros quadrados de carpete de madeira 
serão necessários para forrar uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu 
lado é 6,45 m. (MACEDO, CASTANHEIRA E ROCHA, 2013, P. 79–85) 
Solução: 
 
 
 
Portanto, serão necessários 41,60 m² de carpete de madeira. 
 
Exemplo 2: você quer fazer uma pipa em forma de losango, de tal forma 
que as varetas meçam 75 cm e 50 cm. Nessas condições, quantos centímetros 
quadrados de papel de seda você irá usar para fazer essa pipa? (MACEDO, 
CASTANHEIRA E ROCHA, 2013, P. 79–85) 
Solução: 
 
 
17 
 
 
 
Portanto, a área de papel de seda necessária é de 1.875 cm². 
 
Exemplo 3: um terreno tem a forma de um trapézio de bases 35 m e 24 m, 
com altura igual a 22 m. Calcule a área desse terreno. (MACEDO, CASTANHEIRA 
EROCHA, 2013, P. 79–85) 
Solução: 
 
 
 
A área procurada é igual a 649 m². 
 
Exemplo 4: um terreno tem formato retangular, de modo que um de seus lados 
mede 30 m, e o outro, 40 m. Será preciso construir uma cerca que passe pela 
diagonal desse terreno. Assim, considerando que cada metro de cerca custará 
 
18 
 
R$ 12,00, quanto será gasto, em reais, para a sua construção? (SILVA [201-?], 
DOCUMENTO ON-LINE) 
Solução: como a cerca passa pela diagonal do retângulo, devemos calcular o seu 
comprimento e multiplicar pelo valor de cada metro. Para encontrar a medida da 
diagonal de um retângulo, deve-se observar que esse segmento o divide em dois 
triângulos retângulos, como mostra a Figura 19. 
 
 
 
Tomando somente o triângulo ABD, AD é a hipotenusa e BD e AB são os 
catetos. Então, teremos: 
 
 
 
Dessa forma, sabemos que o terreno terá 50 m de cerca. Como cada metro 
custará R$ 12,00, teremos: 
 
 
 
Ou seja, serão gastos R$ 600,00 nessa cerca. 
 
Exemplo 5: duas estacas de madeira, perpendiculares ao solo e de alturas 
diferentes, estão distantes uma da outra a 1,5 m. Será colocada entre elas outra 
estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiada nos pontos A e B, como mostra 
 
19 
 
a Figura 20. Assim, verifique qual é a diferença entre a altura da maior estaca e a 
altura da menor estaca, nessa ordem, em centímetros (cm). (SILVA [201-?], 
DOCUMENTO ON-LINE) 
 
 
 
Solução: a distância entre as duas estacas é igual a 1,5 m, se medida no 
ponto A, formando o triângulo retângulo ABC, como mostra a Figura 21. 
 
 
 
Usando o teorema de Pitágoras, teremos: 
 
 
20 
 
 
 
A diferença entre as duas estacas é igual a 0,8 m que é igual a 80 cm. 
 
Barreto (2013) apresenta um problema clássico da geometria plana, que é 
o da determinação da altura de uma torre ou de um poste medindo-se o tamanho 
da respectiva sombra produzida pela luz solar. Para isso, o autor nos leva a imaginar 
uma torre cuja sombra, em determinada hora do dia, seja de 20 metros. Para 
determinar a altura dessa torre, sem precisar medi-la diretamente, deve-se 
conhecer a altura de outro objeto e o comprimento de sua sombra naquela mesma 
hora do dia. Supondo que a pessoa que deseja saber o comprimento da torre tenha 
altura de 1,80 m e sua sombra meça 1 m, basta notar a semelhança entre os 
triângulos formados pelas sombras e pelas alturas da torre e da pessoa. Como a 
inclinação (α) dos raios de luz é a mesma para determinar as duas sombras, os 
ângulos das bases dos dois triângulos são respectivamente congruentes. Observe 
a Figura 22. 
 
 
 
 
21 
 
Note que se trata de um caso de semelhança de triângulos, cujos lados são 
respectivamente proporcionais. Quando dizemos que a tangente do ângulo α é a 
mesma nos dois triângulos, estamos dizendo que a razão entre os catetos opostos 
e adjacentes é a mesma nos dois triângulos: tg α = H⁄x = h⁄y. Assim, H⁄20,00 = 
1,80⁄1, então H = 36 metros (BARRETO, 2013). Veja a seguir um problema aplicado 
de Barreto (2013). 
 
 
 
 
 
22 
 
3 POLIEDROS E CORPOS REDONDOS 
Se prestarmos atenção, o mundo como conhecemos é tridimensional. 
Quando andamos nas ruas vemos prédios (prismas), lixeiras (cilindros), bolas 
(esferas), contêineres (paralelepípedos) e outras formas geométricas (OLIVEIRA, 
2016). Veja a seguir alguns exemplos envolvendo sólidos geométricos. 
 
Exemplo 1: um engenheiro deseja construir uma caixa d’água em um 
prédio. As dimensões internas projetadas são as seguintes. Comprimento: 6 m; 
largura: 5 m; altura: 2,5 m. Calcule o volume dessa caixa d’água em metros cúbicos 
e em litros (L). (MACEDO, CASTANHEIRA E ROCHA, 2013, 94; 96-97) 
Solução: 
 
 
 
Como a unidade de medida utilizada foi o metro, pode-se dizer que o volume 
da caixa d’água é de 75 m³. 
Agora vamos calcular o volume em litros. Para isso, faremos a 
transformação de metros cúbicos para litro. Lembre-se que 1 litro é igual a 1 dm³. 
Então: 
 
 
 
23 
 
A caixa d’água possui 75 m³, tendo, portanto, a capacidade, expressa em 
litros, de 75.000 L. 
 
Exemplo 2: calcular o volume de uma lata de um determinado produto, que 
apresenta formato de cilindro circular reto e cujas medidas são: 8 cm de raio e 22 cm 
de altura. Considere π = 3,14. (MACEDO, CASTANHEIRA E ROCHA, 2013, 94; 96-
97) 
Solução: 
 
 
 
Para calcular o volume do cilindro, deve-se calcular, inicialmente, a área da 
base desse cilindro, que é um círculo. 
 
 
 
Calculando o volume do cilindro, em centímetros cúbicos: 
 
 
 
Como a unidade de medida utilizada foi o centímetro, pode-se dizer que o 
volume da lata é de 4421,12 cm³. 
 
Exemplo 3: uma lata de refrigerante tem formato cilíndrico, com 6,5 cm de 
diâmetro e 12 cm de altura. Qual é a capacidade máxima de líquido que a lata de 
 
24 
 
refrigerante pode armazenar, em mililitros? (MACEDO, CASTANHEIRA E ROCHA, 
2013, 94; 96-97) 
Solução: 
 
 
 
Para calcular o volume do cilindro, deve-se calcular, inicialmente, a área da 
base desse cilindro, que é um círculo. 
 
 
 
Calculando o volume do cilindro, em centímetros cúbicos: 
 
 
 
Como a unidade de medida utilizada foi o centímetro, e 1 cm³ = 1 mL, o 
volume da lata é de 398,00 cm³ = 398 mL (arredondando). 
 
Vejamos agora exemplos de inscrição e circunscrição de sólidos, tronco de 
pirâmide e tronco de cone, e também um exemplo da física envolvendo óptica 
geométrica. 
 
Exemplo 1: suponha que 8 bolinhas em forma de esfera tenham sido 
colocadas dentro de um cubo que tem volume igual a 512 cm³. Considere que as 
 
25 
 
esferas estão armazenadas no cubo como mostra a Figura 24. Nesse contexto, qual 
é o raio de cada esfera? (ADAPTADO DE SÓLIDOS..., 2017) 
 
 
 
Solução: para resolver esta questão, vamos partir do volume do cubo, pois 
assim podemos descobrir a aresta do cubo. 
 
 
 
 
 
Observe que temos dois diâmetros (um em cada esfera) que, juntos, 
coincidem com a aresta do cubo. Do mesmo modo, podemos perceber que temos 
4 raios que coincidem com a aresta do cubo, o que significa dizer que quatro raios 
equivalem à aresta do cubo: 
 
 
26 
 
 
 
O raio de cada esfera é igual a 2 cm. 
 
Exemplo 2: uma caixa d’água tem o formato de um tronco de pirâmide de 
bases quadradas e paralelas, como mostra a Figura 25, na qual são apresentadas 
as medidas referentes ao interior da caixa. Nessas condições, verifique o volume 
total da caixa d’água. (ADAPTADO DE TRONCO..., 2018). 
 
 
 
Solução: pelo desenho, temos que: 
 
 
27 
 
 
 
Para calcular o volume do tronco da pirâmide, precisamos encontrar o lado 
menor, então, utilizaremos a proporção da altura maior com a menor e do lado maior 
com o lado menor: 
 
 
 
Para encontrar o volume do tronco da pirâmide, faremos o volume da 
pirâmide menor, depois o volume da pirâmide maior e diminuímos um pelo outro. 
(ADAPTADO DE TRONCO..., 2018) 
 
 
 
Por fim, fazemos: 
 
28 
 
 
 
Portanto, o volume da caixa d’água é m³. 
 
Exemplo 3: um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho 
da Figura 26, no qual o tronco do cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm. 
Qual é o volume desse recipiente em cm³? (ADAPTADO DE TRONCO..., 2018). 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
29 
 
 
 
Portanto, o volume desse recipiente é igual a 208π cm³. 
 
Exemplo 4: um salão de beleza projeta instalar um espelho que aumenta 
1,5 vezes o tamanho de uma pessoa posicionada em frente a ele. Para o aumento 
ser possível e a imagem se apresentar direita (direta), a pessoa deve se posicionar, 
em relação ao espelho: (ADAPTADO DE TRONCO..., 2018) 
 
a) Antes do centro da curvatura. 
b) No centro da curvatura. 
c) Entre o centro de curvatura e o foco. 
d) Entre o foco e o vértice do espelho. 
 
Solução: para aumentar a imagem, o espelho precisa ser côncavo, pois se 
o espelho for convexo a imagem será sempre menor. Ilustrando o espelho, teremos 
a imagem da Figura 27.30 
 
Para a imagem ser maior do que o objeto e direita, ela precisa estar entre o 
foco e o vértice do espelho. Para não cometer erro nesse tipo de problema, 
Nussenzveig (2014, p. 28-29) sugere que observemos as seguintes regras: 
 
1. A luz incide da esquerda para a direita e a luz refletida viaja da direita 
para a esquerda. 
2. As distâncias objeto e imagem são medidas de P para V e Q para V, 
respectivamente, sendo positivas (objeto e/ou imagem reais) quando 
P e/ou Q estão à esquerda de V, e virtuais (negativas) quando à 
direita. 
3. A distância focal é FV (positiva para F à esquerda de V). 
4. O raio de curvatura é CV (positivo para um espelho côncavo). 
5. Distâncias verticais são positivas acima do eixo e negativas abaixo. 
 
No caso do exemplo, raios irão se encontrar atrás do espelho, formando 
uma imagem maior. Para conhecer um pouco mais sobre óptica, você pode 
consultar o livro de Nussenzveig (2014). 
 
 
 
A geometria molecular é a forma com que cada molécula se arranja no 
espaço. As moléculas não são planas, mas elas têm forma e volume. A geometria 
de cada molécula depende do número de ligações que faz o átomo central, que é 
aquele que faz o maior número de ligações em uma molécula. (SILVA, 2020) 
A Teoria da Repulsão Eletrônica da Camada de Valência (VSEPR) diz que 
todos os elétrons da camada de valência se repelem entre si, e essa repulsão ocorre 
porque todos eles têm carga negativa, e dois corpos não ocupam o mesmo lugar no 
espaço. Por consequência, cada nuvem eletrônica, que é a região do espaço onde 
 
31 
 
está cada par de elétrons, vai estar o mais longe possível uma da outra, em torno 
do átomo central. (SILVA, 2020) 
4 POSTULADOS DE EUCLIDES 
A geometria que você conhece hoje é baseada em conhecimentos que vêm 
de 300 a.C.. Euclides, matemático grego que viveu em Alexandria, foi responsável 
por escrever Elementos, um dos mais famosos trabalhos dentro da matemática 
(AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016). A obra consiste em 13 volumes, dos 
quais os seis primeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides apresentou 
o assunto com nove “noções comuns”, cinco postulados e mais de 150 proposições 
(AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016). 
Segundo o matemático, a geometria pode ser vista como uma ciência 
dedutiva que atua a partir de noções comuns e postulados (ou axiomas) (SANTOS, 
2016). A seguir, estão listados as noções comuns e os postulados contidos no 
primeiro livro da obra, traduzidos diretamente do original (BICUDO, 2009 apud 
SANTOS, 2016). 
Noções comuns: 
 
 As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; 
 Caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são 
iguais; 
 Caso sejam subtraídas iguais de iguais, as restantes são iguais; 
 Caso sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais; 
 Os dobros da mesma coisa são iguais entre si; 
 As metades da mesma coisa são iguais entre si; 
 As coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si; 
 O todo é maior do que a parte; 
 Duas retas não contêm uma área. 
 
 
 
32 
 
Postulados: 
 
1. Ficar postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto; 
2. Prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta; 
3. Com todo centro e distância, descrever um círculo; 
4. Serem iguais entre si todos os ângulos retos; 
5. Caso uma reta, caindo sobre duas outras, faça os ângulos interiores 
e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as 
duas retas, ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os 
menores do que dois retos (π) (Figura 1). 
 
 
 
Os postulados de Euclides, embora exibam certa simplicidade, foi o primeiro 
modelo para o espaço físico, além do mais duradouro. A estrutura proposta pelo 
matemático permaneceu intacta por mais de dois mil anos. Apenas com a 
descoberta de geometrias não euclidianas que a comunidade matemática acabou 
revisando a sua obra, reforçando suas demonstrações e seus postulados 
(SANTOS, 2016). 
 
 
33 
 
 
5 RETAS NO ESPAÇO 
As retas são linhas infinitas formadas por pontos, e dois pontos distintos 
determinam uma única reta. Já um plano é um subconjunto do espaço R3, onde 
dois pontos quaisquer podem ser ligados por um segmento de reta contido nesse 
subconjunto. Podemos afirmar que três pontos não colineares entre si determinam 
um único plano que passa por eles. (REIS, 2014) 
Observe essas representações na Figura 2, a seguir. 
 
 
34 
 
 
 
Duas retas no espaço R3 podem ser classificadas como: paralelas, 
concorrentes ou reversas. Chamamos de retas coplanares aquelas que pertencem 
a um mesmo plano. A seguir, veja sobre cada uma delas. 
 
 Retas paralelas: suponha duas retas coplanares r e s, que são 
paralelas (r//s) se, e somente se, não existirem pontos em comum 
(Figura 3). 
 
 
 
35 
 
 Retas concorrentes: suponha duas retas coplanares r e s, que são 
concorrentes se possuírem apenas um ponto P em comum (Figura 
4), ou seja, r∩s = {P}. 
 
 
 
Caso a angulação entre as retas concorrentes seja de 90º, elas podem ser 
chamadas de perpendiculares. (REIS, 2014,) 
 
 Retas coincidentes: suponha duas retas coplanares r e s, que são 
coincidentes (r ≡ s) se todos os seus pontos forem comuns (Figura 
5). 
 
 
 
 
36 
 
 Retas reversas: suponha duas retas r e s em dois planos diferentes 
α e β, que são reversas se não tiverem pontos em comum, r ∩ s = ∅, 
e não forem paralelas (Figura 6). 
 
 
6 EXEMPLOS DE DEMONSTRAÇÕES 
Nesta seção, você verá como resolver alguns teoremas que envolvem retas 
no espaço. Primeiramente, definiremos alguns axiomas da geometria espacial 
(FERRAZ, 2019). 
 
 Axioma 1: por dois pontos do espaço, passa uma, e somente uma, 
reta. 
 Axioma 2: dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem 
à reta e pontos que não pertencem à reta. 
 Axioma 3: por três pontos do espaço não situados na mesma reta, 
passa um, e somente um, plano. 
 
Teorema 1. Por uma reta r e um ponto P exterior a essa reta, passa um 
único plano. 
 
37 
 
Inicialmente, tome em r dois pontos distintos A e B. Note que os pontos A, 
B e P são não colineares. Pelo axioma 3, passará apenas um único plano por esses 
três pontos. Como a reta r possui dois de seus pontos no plano, ou seja, A e B, logo 
ela está contida nele. Assim, passarão um único plano por uma reta r e um ponto P 
exterior à mesma (FERRAZ, 2019). 
 
Teorema 2. Por duas retas concorrentes r e s, passa um único plano. 
 
Suponha duas retas concorrentes r e s, com ponto comum P. Tome os 
pontos A e B em cada reta e distintos. Pelo axioma 3, esses três pontos definem 
um único plano. Como ambas as retas possuem dois de seus pontos no plano, elas 
estão contidas nele. Assim, por duas retas concorrentes r e s, passa um único plano. 
 
 
38 
 
 
 
 
39 
 
 
7 PARALELISMO NO ESPAÇO E SUAS PROPRIEDADES 
As retas são linhas infinitas, formadas por, sendo que dois distintos 
determinam uma única reta. Já um plano é um subconjunto do espaço ℝ3, no qual 
dois pontos quaisquer podem ser ligados por um segmento de reta contido no 
subconjunto. Podemos dizer que três pontos não colineares entre si determinam um 
único plano que passa por eles. 
Observe essas demonstrações de reta e plano na Figura 1, a seguir 
 
 
 
40 
 
7.1 Paralelismo entre retas e entre retas e planos 
Duas retas, para serem paralelas (r//s), não podem ter pontos em comum 
(Figura 2a). 
Todavia, se temos r//t e s//t, r e s são paralelas entre si (r//s) (Figura 2b). 
 
 
 
O teorema fundamental do paralelismo diz que, para uma reta ser paralela 
a um plano, essa reta não pode estar contida nesse plano e tem que ser paralela a 
uma reta dele (Figura 3). Assim, se r não está contido no plano α, e for paralela a 
uma reta do plano, r//s, então ela será paralela ao plano, r// α (FERRAZ, 2019). 
 
 
7.2 Paralelismo entre planos 
O teorema fundamental do paralelismo entre planosdiz que, para dois 
planos diferentes serem paralelos, um deles tem que possuir duas retas 
 
41 
 
concorrentes que sejam ambas paralelas ao outro plano (Figura 4). No plano α, 
temos duas retas concorrentes, s e r, que se cruzam no ponto P. Se ambas as retas 
r e s forem paralelas ao plano β, os planos são paralelos (FERRAZ, 2019). 
 
 
7.3 Intersecção entre planos 
Se dois planos se intersectam, a resultante dessa intersecção será uma reta 
(Figura 5). Os planos α e β se cruzarem, e a intersecção entre eles é a reta r. 
 
 
 
Se tivermos dois planos paralelos, cortados por um terceiro plano, as suas 
intersecções são paralelas. Na Figura 6, os planos α e β são paralelos e cortados 
pelo plano γ. As suas intersecções, as retas r e s, são paralelas. 
 
 
42 
 
 
8 CONDIÇÕES DE PERPENDICULARIDADE 
Assim como paralelos, tanto retas como planos podem ser perpendiculares 
entre si. Agora, veremos sobre perpendicularidade no espaço. (FERRAZ, 2019) 
8.1 Perpendicularidade entre retas e entre retas e planos 
Duas retas coplanares, para serem perpendiculares (r ┴ s), devem ter um 
ponto em comum e com angulação entre elas de 90° (Figura 7). 
 
 
 
A intersecção de uma reta com um plano, quando ela não está contida nele, 
é um ponto (Figura 8a). Para essa reta ser perpendicular ao plano, ela precisa ter 
um ângulo de 90° com ele (Figura 8b). 
 
43 
 
 
 
Segundo o teorema fundamental do perpendicularismo, para uma reta ser 
perpendicular a um plano, a condição necessária é que ela tenha ângulo reto com 
duas retas concorrentes do plano (Figura 9). (FERRAZ, 2019) 
 
 
 
A reta perpendicular a um plano pode ser ortogonal a outras retas 
pertencentes a ele. Na Figura 10, a reta t é paralela ao plano e à reta r. Assim, a 
reta t é ortogonal à reta s, que é concorrente de r. Ou seja, se a reta t for 
perpendicular ao plano, ela é perpendicular às retas do plano que se intersectam 
com ela e ortogonais às outras que não se intersectam com ela. (FERRAZ, 2019) 
 
 
44 
 
 
8.2 Perpendicularidade entre planos 
Dois planos são considerados perpendiculares se, e somente se, um deles 
possuir uma reta perpendicular ao outro plano (Figura 11). Ou seja, se r pertencer 
ao plano α e for perpendicular ao plano β, o plano α é perpendicular ao plano β. 
 
 
 
Vamos citar aqui duas propriedades de planos perpendiculares (Figura 12). 
Se tivermos uma reta r perpendicular ao plano α, os planos que contêm essa reta, 
como β, γ e δ, são também perpendiculares ao plano α. Por outro lado, se tivermos 
dois planos β e γ perpendiculares ao plano α, a sua intersecção é uma reta r também 
 
45 
 
perpendicular ao plano α, caso β e γ não sejam paralelos. Se eles forem paralelos, 
não há intersecção entre eles, mas as intersecções com o plano α são retas 
paralelas. 
 
 
 
 
 
46 
 
9 PROBLEMAS DE DEMONSTRAÇÕES 
Vamos ver alguns exemplos de teoremas e suas demonstrações 
(AZEVEDO FILHO, 2015). 
9.1 Teorema 1 
Seja uma reta r paralela a um plano α e um ponto P pertencente ao plano 
α, então a reta paralela a r que passa por P está contida no plano α. (FERRAZ, 
2019) 
 
Demonstração: suponha que β seja o plano determinado por P e r. Os 
planos α e β se cruzam, e sua intersecção é a reta s, s = α ∩ β (Figura 13). (FERRAZ, 
2019) 
 
 
 
Já que s está contida em α, e r é paralela a α, segue que r ∩ s = ∅. Já que 
r e s são coplanares (contidas em β), elas são paralelas. O ponto P é comum aos 
planos α e β, assim, P pertence a s. Dessa maneira, a reta paralela a r que passa 
por P está contida no plano α. 
 
47 
 
9.2 Teorema 2 
Seja uma reta r paralela a uma reta r´. A reta r´ está contida em um plano 
α. Se a reta r não está contida no plano α, então r é paralela a α (Figura 14). 
 
 
 
Demonstração: vamos fazer uma demonstração por absurdo. 
Suponha que a reta r transpasse o plano α. Seja {P} = r ∩ α, e β o plano 
determinado por r e r´. Temos que r´ = α ∩ β. Sendo que P ∈ r ∩ α e r está contido 
em α, assim, P ∈ α ∩ β. Como r´ = α ∩ β, segue que P ∈ r´. Esse fato é uma 
contradição em relação a P ∈ r e r ser paralela e distinta a r´. 
9.3 Teorema 3 
Por um ponto que não pertence a um plano, um único plano passa paralelo 
ao primeiro (Figura 15) (FERRAZ, 2019). 
 
 
 
Demonstração: primeiramente, demonstraremos a existência e, depois, a 
unicidade do plano. 
 
48 
 
Seja um plano α e um ponto P que não pertence a ele. Sejam u e v retas 
concorrentes contidas em α, e as retas r e s que passam por P e paralelas a u e v, 
respectivamente. As r e s não estão contidas em α, e o plano que as contém, β, é 
paralelo a α. 
Agora, seja γ um plano paralelo a α e que passa por P. Mostraremos que γ 
= β. As retas u e v, que estão contidas em α, são paralelas a γ. Pelo teorema 1, as 
paralelas u e v, que passam por P, estão contidas em γ, já que P ∈ γ. Essas 
paralelas são r e s. Já que duas concorrentes determinam um único plano, segue 
que γ = β. 
10 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANOS 
Nesta seção, será introduzido o conceito de distância entre elementos 
geométricos no espaço — no caso, os pontos, as retas e os planos. 
10.1 Dois pontos 
A distância entre dois pontos é dada pelo comprimento da semirreta que os 
liga. Observe a Figura 1, a seguir, e lembre-se de que você poderia construir 
diversos caminhos para chegar do ponto A ao ponto B, e cada um deles terá um 
comprimento diferente. Mas o conceito de distância é denominado pela menor delas 
ente os caminhos possíveis — no caso, uma linha reta (FERRAZ, 2019). 
 
 
 
49 
 
10.2 Um ponto e uma reta 
A distância entre um ponto P e uma reta r é dada pela distância entre P e o 
ponto pertencente a r mais próximo de P. Observe a Figura 2 e note que há diversos 
pontos pertencentes à reta r, cujas menores distâncias são segmentos de retas, 
como visto anteriormente. Mas o ponto mais próximo a P é o C, cujo segmento de 
reta que os liga faz um ângulo de 90º entre ele e a reta r. 
 
 
10.3 Um ponto e um plano 
A distância entre um ponto P e um plano α é dada pela distância entre o 
ponto P e um ponto pertencente ao plano mais próximo de P. Veja que, na Figura 
3, existem diversos pontos que pertencem ao plano α, mas apenas o ponto B é o 
mais próximo de P. O segmento que une esses dois pontos faz um ângulo de 90º 
com o plano (FERRAZ, 2019). 
 
 
 
50 
 
10.4 Duas retas 
A distância entre duas retas r e s é definida como a menor distância entre 
um ponto de r e um ponto de s (Figura 4). Podemos dizer, também, que a distância 
entre as duas retas é igual à distância de um ponto P qualquer de r e a reta s, como 
visto anteriormente. 
 
 
 
Se as retas forem paralelas, temos a distância como mostrada na Figura 4. 
Note que os ângulos entre o segmento que junta os pontos P e A e as retas são de 
90º. 
Se as retas forem concorrentes ou coincidentes, a menor distância entre 
elas é nula, pois os pontos de ambas mais próximos entre si são coincidentes 
(Figura 5). 
 
 
 
 
51 
 
Se as retas forem reversas, a distância entre elas é o comprimento da 
semirreta perpendicular a elas (Figura 6). Note que essa semirreta deve ter pontos 
em comum com ambas as retas, r e s. 
 
 
10.5 Reta e plano 
A distância entre uma reta r e um plano paralelo a r é igual à distância entre 
um ponto qualquer da reta até o plano. Dessa maneira, essa distância recai no caso 
já visto de distância entre ponto e plano (Figura 7). 
 
 
 
52 
 
10.6 Dois planos 
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto 
qualquer de um deles com o outro plano (Figura 8). (FERRAZ, 2019) 
 
 
11 ÂNGULOS NO ESPAÇO 
Na seção anterior, vimos as definições de distâncias no espaço que, em 
muitos casos, envolviam angulações de 90º. Mas as retas e os planos podem ter 
diversas angulações entre si, as quais também podem ser usadas para determinar 
as suas posições relativas no espaço. (FERRAZ, 2019) 
11.1 Retascoplanares 
Suponha as retas r e s coplanares. Se elas forem coincidentes ou paralelas, 
podemos dizer que o ângulo entre elas é zero. Agora, se elas forem concorrentes, 
elas formam quatro ângulos entre si (Figura 9). Os pares θ e θ´ e γ e γ´ são 
chamados de opostos pelo vértice e são congruentes. Se forem considerados dois 
ângulos não opostos pelo vértice, eles são suplementares, como γ´ + θ = 180°. 
Nesse caso, o ângulo entre elas é considerado o menor entre os quatro (AZEVEDO 
FILHO, 2015). Se as retas forem perpendiculares, os quatro ângulos são iguais a 
90º. 
 
53 
 
 
 
11.2 Retas reversas 
Suponha as retas r e s reversas e dois pontos A e B quaisquer de r e s 
respectivamente (Figura 10a). Agora, vamos desenhar uma reta paralela a s, s´, 
que passe por r no ponto A, e, opostamente, uma reta paralela a r, r´, que passe por 
s no ponto B (Figura 10b). Os ângulos formados entre r e s´ e s e r´ são iguais, e, 
por definição, esse será o ângulo considerado entre as retas r e s (AZEVEDO 
FILHO, 2015). 
 
 
 
Se as retas r e s forem ortogonais, o ângulo entre elas é de 90º. 
11.3 Planos 
Se dois planos forem considerados coincidentes ou paralelos, a angulação 
entre eles é nula. Agora vamos pensar em dois planos concorrentes. Suponha α e 
 
54 
 
β como dois planos concorrentes (Figura 11a). Seja t a reta resultante da 
intersecção entre os planos. Agora, considere A e B como pontos distintos dessa 
reta (Figura 11b). As retas s e s´ são perpendiculares a t, passando por A e B, e as 
retas r e r´ são perpendiculares a t, passando também por A e B. Dessa maneira, 
temos que r e s, e r´ e s´ são pares de retas concorrentes, e que r//r´ e s//s´. Temos, 
então, que os dois ângulos formados entre as retas são congruentes, sendo essa a 
definição de ângulos entre planos. Caso os planos forem perpendiculares, esse 
ângulo é de 90º (FERRAZ, 2019). 
 
 
12 PROBLEMAS COM DEMONSTRAÇÕES 
Nesta seção, vamos ver algumas demonstrações de teoremas envolvendo 
a temática deste capítulo (AZEVEDO FILHO, 2015). 
12.1 Teorema 1 
Suponha uma reta r que intercepta um plano α em um ponto P, o ponto A 
pertença à reta r, e o ponto A´ seja pertencente a α e pé da perpendicular passando 
pelo plano e por A. A reta r é perpendicular ao plano α se, e somente se, A´ = P 
(Figura 12). 
 
 
55 
 
 
 
Demonstração: temos que a reta r e a reta definida por A e A´ são 
perpendiculares ao plano α e passam por A, que não pertence ao plano. Pelo 
teorema da unicidade, segue-se que r é igual à reta definida por A e A´. Desde que 
P e A´ pertençam à intersecção de r com o plano, e r intersecte o plano, decorre 
que A´ = P. 
 
 
 
Por outro lado, r é igual à reta definida pelos pontos A e P, que é igual à 
definida pelos pontos A e A´. Se a reta definida por A e A´ for perpendicular ao plano, 
segue que r é perpendicular a ele também (FERRAZ, 2019). 
 
 
56 
 
 
12.2 Teorema 2 
Suponha uma reta r e um ponto A que pertença a r. Assim, existe um único 
plano perpendicular a r e passando por A (Figura 13). 
 
 
 
Demonstração: primeiramente, vamos demonstrar a existência e, depois, 
a unicidade. Tome dois planos distintos que contenham r. Em cada um, tracemos a 
perpendicular em r passando por A. Essas retas determinam um plano, o qual é 
perpendicular a r, já que r é perpendicular a duas retas concorrentes do plano. 
(FERRAZ, 2019) 
Agora, suponha, por contradição, que existam dois planos distintos, α e β, 
que passam por A e são perpendiculares a r. Seja γ um plano que contenha a reta 
r. O plano γ corta os planos α e β segundo duas retas t e s que são perpendiculares 
 
57 
 
a r, estão em um mesmo plano e passam por um mesmo ponto. Note que t e s são 
distintas. Assim, temos uma contradição. (FERRAZ, 2019) 
13 PROJEÇÕES PLANAS 
Projeção é o processo de reproduzir um objeto tridimensional em um plano, 
uma superfície curva ou uma linha, projetando seus pontos. Essas projeções são 
muito utilizadas por engenheiros e arquitetos por meio de gráficos e, também, 
figuras geradas em computador. (SILVA, 2015) 
Leake e Borgerson (2015) destacam que toda projeção plana pressupõe os 
seguintes elementos: a) um objeto tridimensional (ou conjunto de objetos) que será 
projetado; b) linhas de visada (chamadas “projetantes”) que passam por todos os 
pontos do objeto; c) um plano de projeção bidimensional; d) a imagem bidimensional 
projetada, que é formada no plano de projeção. 
Para tornar mais clara a explicação, observe a Figura 1, que reporta todos 
os elementos de uma projeção plana. (SILVA, 2015) 
 
 
 
 
58 
 
Note, pela Figura 1, que a projeção foi formada plotando pontos na 
interseção das projetantes com o plano de projeção. Isso gera uma imagem 
bidimensional do objeto no plano de projeção, o que implica em concentrar as 
informações tridimensionais em um único plano (LEAKE; BORGERSON, 2015). 
13.1 Classificação das projeções planas 
Classifica-se as projeções planas conforme as características de suas 
projetantes. Uma projeção cônica terá as projetantes convergindo para um único 
ponto de vista (centro de projeção – CP). Esse centro de projeção representa a 
posição do observador e é posicionado a uma distância finita do objeto. Veremos 
que uma projeção em perspectiva tem essas características. Já quando o centro de 
projeção está a uma distância infinita do objeto, as projetantes serão paralelas entre 
si — por isso, chama-se de projeção paralela (LEAKE; BORGERSON, 2015). 
Vejamos, na Figura 2, um exemplo em que as projetantes de uma projeção em 
perspectiva e uma projeção paralela aparecem na mesma figura para comparação. 
 
 
 
 
59 
 
Conforme Leake e Borgerson (2015), para que possamos abordar os 
diferentes tipos de projeções planas, é necessário o entendimento de alguns 
termos. 
 
 Paralelepípedo envolvente: é o menor paralelepípedo que contém 
o objeto. Suas dimensões têm a maior largura, profundidade e altura 
do objeto, chamadas “dimensões principais do objeto”. Ele também 
é chamado de “paralelepípedo circunscrito”, suas faces são 
chamadas de “planos principais do objeto”, a saber: vertical (frontal, 
posterior), horizontal (superior, inferior) e de perfil (direito, esquerdo), 
gerando um total de seis planos. 
 Eixos principais do objeto: são os eixos mutuamente 
perpendiculares correspondentes a três arestas do paralelepípedo 
envolvente. 
 Encurtamento: é uma redução das dimensões no sentido da 
profundidade, que dá uma ilusão de projeção ou extensão espacial. 
 Perspectiva: é usada para designar um tipo de projeção, vista, 
desenho ou esboço, que inclui as três dimensões e proporciona uma 
ilusão de profundidade. Alguns tipos de perspectiva são: a 
perspectiva cônica, a cavaleira e a isométrica. 
 
Observe um exemplo desses termos na Figura 3. 
 
 
60 
 
 
 
As projeções cônicas e as projeções paralelas, que são os dois tipos de 
projeção plana, podem ser divididas em vários subtipos. Cabe destacar que essas 
subdivisões se baseiam na orientação do objeto em relação ao plano de projeção. 
Veja, na Figura 4, como são essas subdivisões: (SILVA, 2015) 
 
 
 
61 
 
 
Como vimos, em uma projeção paralela, o centro de projeção fica a uma 
distância infinita do objeto. Portanto, nesse caso, as projetantes serão paralelas 
entre si. A projeção paralela é a mais utilizada quando se deseja preservar as 
dimensões do objeto, ainda que a projeção cônica crie uma representação mais 
realista deste (LEAKE; BORGERSON, 2015). Veja as Figuras 5 e 6, que expressam 
um exemplo de projeção paralela e projeção cônica. 
 
 
 
62 
 
14 PROJEÇÕES ORTOGONAIS 
Para a representação de objetos em desenho técnico, é fundamental 
reconhecer os sistemas de projeções ortogonais. Os métodos projetivos variam 
conforme o modo como os raios projetantes atingem o plano de projeção. Silva 
(2014, p. 36) destaca os seguintes métodos de representação: 
 
a) Métodoortográfico: quando os raios projetantes são 
perpendiculares ao plano de projeção. 
b) Método oblíquo: quando os raios projetantes formam ângulo com o 
método de projeção. 
c) Método em perspectivas: quando os raios projetantes são levados 
ao objeto e representam sua profundidade sobre um único plano. 
 
Na projeção em perspectiva, a imagem formada no plano transparente, 
colocado entre o objeto e o ponto de partida — que é a posição do observador —, 
é a mesma que aparece aos olhos do observador (SILVA, 2014). Confira a Figura 
7, que mostra uma projeção em perspectiva. 
 
 
 
 
63 
 
Imagine agora que o observador se afaste a uma distância infinita. Nesse 
caso, os raios visuais, formados pelas linhas de visão, tornam-se maiores à medida 
que o observador se afasta, mantendo-se paralelos entre si e perpendiculares ao 
plano. Nesse caso, teremos uma projeção ortográfica (SILVA, 2014). Para ficar mais 
claro, veja a Figura 8. 
 
 
 
O resultado da interseção de perpendiculares levadas de todos os pontos 
do objeto sobre o plano é chamada de “vista”. Podemos ver o objeto de diferentes 
posições. Dessa forma, cada projeção mostrará o objeto visto de determinada 
posição. As principais são: a) plano vertical, que corresponde à projeção no plano 
vertical e mostra a forma do objeto visto de frente; b) plano horizontal, que 
corresponde à projeção no plano horizontal e mostra o objeto visto por cima e; c) 
plano de perfil, que é correspondente à projeção no plano de perfil (SILVA, 2014). 
O plano vertical mostra a largura e altura do objeto; o plano horizontal 
permite visualizar a largura e profundidade; e o plano de perfil mostra a altura e 
profundidade. (SILVA, 2015) 
A Figura 9 mostra o objeto visto nas três principais posições (vertical, 
horizontal e de perfil). (SILVA, 2015) 
 
 
64 
 
 
15 REPRESENTAÇÃO DE OBJETOS TRIDIMENSIONAIS 
Aprendemos que existem três vistas principais (horizontal, vertical e de 
perfil). No entanto, ao analisar o sistema de projeção ortogonal na representação 
de objetos tridimensionais, percebemos que nem sempre as vistas ortográficas 
principais são suficientes para dar uma visão completa da forma do objeto. (SILVA, 
2015) 
Nesse contexto, Silva (2014) afirma que podemos aumentar o número de 
vistas para seis. Veja, no exemplo da Figura 10, a representação de uma caixa com 
seis vistas do objeto e, depois, como seria se ela estivesse aberta. 
 
 
65 
 
 
 
Vimos que a projeção ortogonal ou ortográfica é responsável por mostrar 
como o objeto é visto de todos os lados, e uma única vista é quase sempre 
insuficiente para mostrar todos os detalhes do objeto com precisão. Por essa razão, 
desenhos com vistas múltiplas são cada vez mais comuns. Veja, na Figura 11, um 
exemplo de projeção ortogonal que apresenta as seis vistas principais utilizadas 
pelos arquitetos e engenheiros em desenhos de projetos (KUBBA, 2015). 
 
 
 
Kubba (2014) coloca que alguns tipos comuns de desenhos ortogonais 
incluem plantas baixas, elevações e cortes. Um fator importante nos desenhos 
ortogonais é sua escala que deve ser constante, ou seja, todas as partes do 
 
66 
 
desenho são representadas de maneira a manter a dimensão, o formato e a 
proporção reais. As plantas baixas são vistas ortogonais de um objeto visto 
diretamente de cima para baixo. Outro ponto de destaque é que, quanto maior for a 
escala de um desenho, maior será a quantidade de detalhes que ele conterá. Ou 
seja, um desenho na escala de 1:50 geralmente terá mais informações e detalhes 
do que um desenho na escala de 1:100. Na Figura 12, temos o exemplo da planta 
baixa de um escritório. 
 
 
 
Outro exemplo de representação de projeção com vistas múltiplas no 
formato mais utilizado por arquitetos e engenheiros pode ser visto na Figura 13. 
(SILVA, 2015) 
 
 
67 
 
 
16 OS SOFTWARES EDUCACIONAIS: CRITÉRIOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO 
Os softwares educacionais são recursos e ferramentas pedagógicas, frutos 
do desenvolvimento das tecnologias de comunicação e informação. No cenário 
digital, há uma gama de programas educativos que otimizam o trabalho nas escolas, 
dando suporte ao processo de ensino e aprendizagem. De acordo com Teixeira e 
Brandão (2003, p. 2), um software educacional “[...] é todo aquele software que 
possa ser usado com algum objetivo educacional, pedagogicamente defensável, 
por professores e alunos, qualquer que seja o objetivo para o qual ele foi criado [...]”. 
Oliveira (2001, p. 73) complementa dizendo que o software é um “[...] produto [...] 
adequadamente utilizado pela escola, mesmo que não tenha sido produzido com a 
finalidade de uso no sistema escolar [...]”. Ou seja, do ponto de vista desses autores, 
mesmo que o software não tenha sido criado especificamente para fins 
 
68 
 
pedagógicos, ele pode se tornar um software educacional — isso vai depender da 
forma como ele será utilizado no contexto educacional, com quais objetivos, etc. 
Esses softwares foram inseridos nas escolas brasileiras a partir de 1970, 
com as universidades públicas, conforme discorre Penha (2014). Valente (1999) 
observa que o uso do computador na educação se desenvolveu aqui por meio de 
eventos relacionados à informática realizados nas universidades, com convidados 
estrangeiros. A utilização do computador na educação se associava ao uso de 
programas de informática voltados para o ensino de conteúdo específicos das 
disciplinas na área de exatas, como química, matemática e física. 
O ambiente digital expandiu as possibilidades do trabalho com essas 
tecnologias a serviço da educação. No entanto, todo software deve passar por 
análise prévia do professor e da instituição escolar. É importante avaliar as 
características de cada software, assim como sua aplicabilidade dentro do projeto 
político-pedagógico da escola e do planejamento do docente. (CERIGATTO, 2018) 
 
 
16.1 Tipos de softwares educacionais 
Há vários autores que classificam os softwares conforme sua função e suas 
características específicas. A seguir, você pode ver os sete tipos de softwares 
educativos classificados por Valente (1999) e Oliveira (2001). 
 
 Tutorial: é um tipo de software que se caracteriza fundamentalmente 
por atividades pedagógicas organizadas de forma sequenciada. O 
usuário pode seguir as sequências das informações apresentadas, 
 
69 
 
ou pode mudar de tópicos assim que desejar por comandos dados 
pelo tutorial (VALENTE, 1999). Nesse tipo de software, o aluno 
realiza as atividades, mas não é possível ter “[...] pista sobre o 
processamento dessa informação e se está entendendo o que está 
fazendo. Ele pode até estar processando a informação fornecida, 
mas não temos meios para nos certificar se isso está acontecendo 
[...]” (VALENTE, 1999, p. 90). 
 Softwares de exercício e prática ou exercitação: são programas 
educativos que apresentam exercícios para a revisão de conteúdos 
e reforço de conhecimento. Eles têm como principais características 
a memorização e a repetição, de acordo com Oliveira (2001). Não há 
a preocupação com relação à compreensão do aluno a respeito do 
conteúdo exposto. Ao final dos exercícios, é feito um “relatório” de 
desempenho do usuário. Com esse tipo de software, o professor 
pode ter à sua disposição dados importantes referentes a esse 
desempenho. 
 Softwares de investigações: nessa categoria, se incluem os 
softwares capazes de localizar informações complementares, como 
programas referentes a enciclopédias e dicionários. 
 Programação: relaciona-se a softwares que permitem que os 
usuários, professores ou alunos, criem seus próprios protótipos de 
programas. Para Valente (1999), ao programar, o aluno realiza 
diversas ações importantes para a aquisição de novos 
conhecimentos: “[...] a realização de um programa exige que o 
aprendiz processe informação, transforme-a em conhecimento que, 
de certa maneira, é explicitado no programa[...]” (VALENTE, 1999, 
p. 90). 
 Processador de texto ou aplicativos: são programas que não 
foram criados necessariamente com fins educacionais, mas que 
podem ser utilizados com essa finalidade. Referem-se a 
processadores de texto, planilhas eletrônicas, editores de 
 
70 
 
apresentação multimídia. São voltados para a realização de tarefas 
específicas, que permitem a criação e a reflexão a respeito do que 
foi elaborado. 
 Simulação e modelagem: são programas que criam situações que 
se assemelham à realidade, permitindo também a realização de 
experiências e a simulação de fenômenos. Valente (1999) chama a 
atenção para a construção de conhecimento e o engajamento que 
esses programas exigem. Na simulação, o educando pode testar 
hipóteses, tomar decisões, analisar, sintetizar e aplicar 
conhecimentos, ou seja, precisa assumir uma postura ativa. Na 
modelagem, o aluno vai simular acontecimentos e fenômenos por 
meio dos programas. Por mais que pareçam ser semelhantes, 
Bornatto (2002, p. 68) faz uma distinção entre softwares de 
simulação e modelagem: 
Ao usuário da simulação, cabe a alteração de certos parâmetros e a 
observação do comportamento do fenômeno, de acordo com os valores 
atribuídos. Na modelagem, o modelo do fenômeno é criado pelo aprendiz, 
que utiliza recursos de um sistema computacional para implementá-lo. 
Uma vez implementado, o aprendiz pode utilizá-lo como se fosse uma 
simulação. 
 Jogos: os softwares de jogos educativos podem ter características 
dos tutoriais ou de softwares de “simulação aberta”. Isso depende da 
interação do aprendiz com o computador. De modo geral, o jogo, na 
educação, contribui para a construção de conhecimento não 
somente no ato de jogar, em que ocorre a tomada de decisões e 
atitudes para a resolução de problemas, mas após o ato de jogar. 
Nesse sentido, o professor dá oportunidades para que o aluno 
discuta os procedimentos e a solução no decorrer dos jogos, 
recriando situações e apresentando conflitos e desafios. O objetivo 
do docente é propiciar condições para o aluno compreender o que 
está fazendo (VALENTE, 1999). 
 
 
71 
 
Você ainda deve considerar a contribuição de Tavares (2017), que dividiu 
os softwares de acordo com a ênfase no processo de ensino e aprendizagem. 
Conforme pesquisa realizada pela autora, foi possível elencar três modalidades, 
conforme o nível de aprendizagem, a aprendizagem do sujeito e os paradigmas 
educacionais de um software. Veja no Quadro 1, a seguir. 
 
 
 
Como você viu no Quadro 1, os programas podem atender a determinadas 
características. Os softwares do tipo tutorial se enquadram no nível de 
aprendizagem do tipo sequencial, por exemplo, pois visam a transmitir informações 
aos alunos. Já em relação à aprendizagem do sujeito, esse tipo de software é 
heurístico, pois dá ênfase à transmissão de conteúdo. Tem ainda uma abordagem 
comportamentalista. Já os softwares de programação, por exemplo, podem ser 
considerados criativos, do tipo algoritmo e dentro de um paradigma educacional 
construtivista. (CERIGATTO, 2018) 
16.2 Critérios de análise 
Após explorar as classificações de softwares educacionais, você vai ver 
agora os critérios de avaliação desses programas para o seu uso no contexto 
 
72 
 
educacional. Existem diversas metodologias para avaliar softwares educacionais. 
Aqui, você vai conhecer melhor o modelo TUP (Technology, Usability and Pedagogy 
— tecnologia, usabilidade e pedagogia), de autoria de Bednarik (2004). No Quadro 
2, a seguir, você pode ver três vertentes do modelo, a partir do levantamento de 
Tavares (2017). 
 
 
 
 
73 
 
 
17 OS SOFTWARES EDUCACIONAIS DE ACESSO LIVRE E SEU USO NO 
CONTEXTO ESCOLAR 
Com base na classificação de softwares feita no tópico anterior, você vai 
conhecer alguns softwares de acesso livre e seu potencial para o contexto escolar, 
conforme o exame de Tavares (2017). 
 
 Tabela periódica virtual: um exemplo de software de acesso livre 
dentro da classificação tutorial é a tabela periódica virtual, que 
apresenta na linguagem de tutorial todos os elementos da tabela 
periódica de química, além de exibir dados e classificar os elementos 
químicos. Ela pode auxiliar nos estudos de química a qualquer hora 
e lugar, já que o programa pode ser acessado por meio de 
smartphones. É uma boa forma de o aluno estudar e recordar os 
elementos químicos e seus elementos. Veja a Figura 1. 
 
 
74 
 
 
 
 Math Master (Mestre da Matemática): é um jogo típico de exercício 
e prática de exercitação. É de acesso gratuito, pode ser acessado no 
smartphone e propõe ao usuário testes desafiadores de adição, 
subtração, multiplicação e divisão. O jogo exercita o fazer contas 
mentalmente, o raciocínio lógico e rápido e a memória. Pode ser 
usado por várias faixas etárias, tanto na educação infantil quanto 
com adultos. Veja na Figura 2 (CERIGATTO, 2018). 
 
 
 
 Construct: um exemplo de software classificado como programação 
é o Construct, um programa direcionado para usuários não 
programadores. Por meio dele, é possível criar jogos básicos de 
forma rápida. Há a versão gratuita e também a paga, que é 
profissional e garante mais recursos. O ambiente intuitivo permite ao 
 
75 
 
usuário selecionar, redimensionar e arrastar objetos, adicionar 
animações, comportamentos aos personagens do jogo, criar o 
ambiente visual, etc. É uma boa forma de envolver os alunos em um 
trabalho criativo, pois exige postura ativa e ações importantes para a 
aquisição de novos conhecimentos. Veja na Figura 3. 
 
 
 
 Laboratórios virtuais: um exemplo de software gratuito de 
simulação é o IrYdium — Virtual Chemistry Lab, que pode ser muito 
útil ao ensino de ciências para simular experimentos, já que nem 
sempre as escolas têm laboratórios para a realização de 
experiências. O software educacional permite que os usuários 
selecionem centenas de reagentes e os manipulem virtualmente, 
como se estivessem em um laboratório real de química executando 
experiências diversas. Veja na Figura 4 (CERIGATTO, 2018). 
 
 
76 
 
 
 
 Jogos lúdicos: você vai conhecer um jogo educativo lúdico que tem 
como objetivo ensinar regras de trânsito. Vrum usa um ambiente 
lúdico para possibilitar ao aluno aprender de forma prazerosa e 
dinâmica, com desafios que despertam o interesse e motivam o 
processo de ensino e aprendizagem. Seu conteúdo é baseado nas 
Diretrizes Nacionais da Educação para o Trânsito do DENATRAN 
(Departamento Nacional de Trânsito), especificamente para os 
alunos do 6º ao 9º ano do ensino fundamental. Oferece sua versão 
gratuita com recursos limitados. Veja na Figura 5, a seguir. 
(CERIGATTO, 2018) 
 
 
 
77 
 
18 PROJETOS PEDAGÓGICOS COM OS SOFTWARES EDUCACIONAIS 
Após ver exemplos de vários tipos de softwares e suas principais funções 
no contexto educacional, você vai conhecer um projeto pedagógico com o uso de 
um jogo educativo em sala de aula. O jogo é chamado A Fazenda e tem como 
objetivo trazer à tona questões de preservação do meio ambiente, uso de 
agrotóxicos, etc. O jogo, baseado no trabalho de Silva e Passerino (2007), é um 
software para a educação ambiental. Foi desenvolvido em Flash 8, tem uma 
interface agradável e leve e é um simulador de uma fazenda. O usuário deve 
gerenciá-la a fim de torná-la produtiva. 
O personagem principal do jogo é o fazendeiro, que precisa desenvolver 
sua fazenda, comprando insumos, fazendo plantios de acordo com as estações do 
ano, servindo ração às galinhas de seu galinheiro, etc. Na Figura 6, você pode ver 
a interface do jogo. (CERIGATTO, 2018) 
 
 
 
O simulador A Fazenda, de acordo com Silva e Passerino (2007), é um jogo 
simples e também motivador, que incentiva a descoberta e envolve os estudantes 
em situações-problema. O aluno precisa manter a fazenda “viva”. Para isso, deve 
colocar em prática seus conhecimentos sobre áreas diversas — meio ambiente,ecologia, área financeira, de gestão, etc. 
 
78 
 
Foram realizados testes com o jogo no Colégio Sinodal Tiradentes e 
também na Escola São Luís, ambas do Rio Grande do Sul, em turmas de 4º ano. 
Por meio do jogo, pode-se colocar o aluno em contato com a problemática ambiental 
a partir do gerenciamento da fazenda. 
Assim, softwares como esse podem ser trabalhados em projetos 
pedagógicos de forma interdisciplinar, envolvendo várias áreas e disciplinas. Os 
professores podem observar as tomadas de decisões e o desempenho de cada 
estudante no gerenciamento de sua fazenda, levantando questões relacionadas ao 
meio ambiente, à vida dos animais, etc. (CERIGATTO, 2018). 
 
 
19 DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA 
Segundo Boyer e Merzbach (2018), ao longo do tempo, houve diversas 
alterações a respeito da importância da geometria sob a percepção dos estudiosos 
matemáticos. Enquanto na Grécia Clássica a geometria era considerada a disciplina 
máxima, após a queda do Império Romano se tornou irrelevante. No século XVIII, 
houve tentativas fracassadas de recondução da obra Os elementos, de Euclides, à 
sua antiga importância. No entanto, a retomada dos conceitos foi possível, mais 
 
79 
 
tarde, a partir da introdução de novas possibilidades na área e do trabalho de 
diversos matemáticos. 
Nesta seção, você conhecerá o trabalho desenvolvido pelos geômetras do 
século XIX, como Monge, Poncelet, Chasles, Steiner, Riemann e Kein, que 
trouxeram um novo enfoque, indo muito além do imaginado pelos gregos, cujas 
premissas você conhecerá a seguir. (MACHADO, 2021) 
19.1 Gaspar Monge 
De acordo com Comes (2008), Monge nasceu em uma família dedicada ao 
comércio, e desde cedo teve a possibilidade de mostrar o seu talento no 
OratorianCollege, em Beaune, sua cidade natal. Enquanto estudava no Collège de 
laTrinité, na cidade de Lyon, Monge foi designado a ministrar um curso de física; e, 
mais tarde, ao retornar para Beaune, desenhou o plano da cidade, trabalho que 
serviu de base para sua indicação como desenhista da École Royale duGénie em 
Mézières, onde projetou, baseado em suas próprias teorias, um plano de fortificação 
que impossibilitava o inimigo de ver ou atirar na posição de defesa. 
A Revolução Francesa (1789–1799) possibilitou o fortalecimento da carreira 
de Monge, permitindo que ele se tornasse ministro da marinha e um dos 
responsáveis pela criação da Escola Politécnica da França. De acordo a Biblioteca 
Central da Politécnica (ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 2021), a guerra entre a França 
e o resto da Europa causou a destruição de muitas escolas francesas, entre elas a 
Escola de Pontes e Estradas, que perdeu a maior parte de seus alunos. Monge, 
então, convenceu participantes do comitê de segurança pública da importância da 
criação de um centro destinado à engenharia, atuação que culminou no decreto de 
criação da École Polytechnique, em 11 de março de 1794. 
Na obra de Monge, destaca-se o desenvolvimento da geometria descritiva, 
cujo objetivo é representar sobre um plano figuras espaciais, possibilitando a 
resolução de problemas de três dimensões (3D) em duas dimensões (2D). A ideia 
central do método é produzir uma representação no plano 2D de uma figura 3D, de 
 
80 
 
tal modo que permita interpretações geométricas que ofereçam soluções para 
problemas ligados à engenharia. 
Outra contribuição relevante de Monge foi a introdução de conceitos 
utilizados na geometria diferencial, especialmente ao discutir conceitos de curvatura 
e de torção em uma curva espacial, que, segundo ele, “[...] a torção em um ponto 
de uma curva mergulhada no espaço é uma medida numérica de quanto a curva se 
afasta de estar contida num plano numa vizinhança daquele ponto” (COIMBRA, 
2008, documento on-line). 
19.2 Jean Victor Poncelet 
Compatriota e aluno de Monge, nascido em Metz em 1788, Jean Victor 
Poncelet estudou na École Polytechnique e se tornou engenheiro politécnico aos 22 
anos. Após, ingressou no exército napoleônico, onde foi designado para a 
campanha da Rússia e foi prisioneiro em Moscou durante 18 meses (OLIVEIRA, 
2011). Para fugir do tédio e do sofrimento da prisão, o engenheiro começou a pensar 
na geometria analítica, e, sem nenhum material para consultar, acabou por 
desenvolver ideias próprias, que ajudaram no desenvolvimento da geometria 
projetiva. Esse ramo da matemática já havia sido estudado por Désargues (que 
estudou os princípios geométricos da perspectiva na arte do renascimento), Pascal, 
Monge e Carnot, mas foi o seu trabalho que deu forma definitiva ao estudo 
sistemático dessa geometria. 
 
Princípio da dualidade e princípio da continuidade 
 
No século XIII, começaram a surgir os primeiros movimentos da arte 
renascentista, que implementou novos sistemas de pintura, objetivando, cada vez 
mais, representar tridimensionalmente seus trabalhos (LEITE, 2016). A solução 
para criar esse efeito 3D veio com a utilização das linhas de projeção, que 
buscavam um ponto de convergência — técnica cujos primeiros exemplares 
 
81 
 
apareceram na produção do pintor Duccio dipinto Buoninsegna, em que os planos 
de fundo eram perceptíveis, como a pintura “A Anunciação” (Figura 1). 
 
 
 
O tratamento matemático da perspectiva foi abordado por diversos 
estudiosos, mas culminou na obra de Poncelet, que apresenta alguns conceitos 
sobre a geometria projetiva, dentre eles, o princípio da dualidade e o princípio da 
continuidade. (MACHADO, 2021) 
Para Oliveira (2011), o princípio da dualidade aplicado a uma curva contínua 
significa que qualquer curva desse tipo pode ser gerada tanto pelo movimento de 
um ponto como por retas tangentes a essa curva, implicando que retas e pontos 
são intercambiáveis e têm uma associação íntima e recíproca com a curva em 
questão. 
Para Poncelet, as demonstrações analíticas dos recursos de uma projeção 
central e cilíndrica podem ser substituídas por demonstrações sintéticas e gerais, 
ou seja, a demonstração de uma propriedade pelo caminho de uma projeção central 
pode ser generalizada em todos os casos da figura, que pode variar continuamente. 
Todavia, as propriedades de suas relações continuarão válidas, o que, em termos 
de projeções, significa que se uma figura tem determinadas propriedades, sua 
projeção apresentará as mesmas propriedades (CHAVES; GRIMBERG, 2013). 
 
82 
 
19.3 Michel Chasles 
Michel nasceu, na região de Chartres, na França, filho de um rico 
comerciante de madeira. Sua condição financeira permitiu que ele estudasse no 
LycéeImpérial, onde adquiriu o conhecimento necessário para ser admitido na École 
Polytechnique de Paris (UNIVERSITY OF ST ANDREWS, 2020). A época era 
conturbada, a França estava sob o comando de Napoleão Bonaparte, que envolveu 
seu país em uma guerra desastrosa, que culminou com o ataque a Paris, em 1814, 
cujo resultado foi a invasão da cidade luz e a abdicação de Napoleão (FONDATION 
NAPOLÉON, 2014). 
Nesse período, Chasles foi convocado pelo o exército francês para 
participar da defesa da capital, e, com a derrota napoleônica, voltou aos seus 
estudos na Polytechnique (UNIVERSITY OF ST ANDREWS, 2020). Nesse 
contexto, o matemático escreveu a sua grande obra, Aperçu historique sur l'origine 
et le développement des méthodes en géométrie, que contribuiu para o 
desenvolvimento da geometria projetiva (PIRE, 2021). 
 
 
 
Cross-ratio 
 
Segundo Ribeiro (2016), Chasles definiu genericamente as transformações 
projetivas, denominadas homografias, caracterizadas pela transformação de um 
plano em outro, levando linhas a linhas, pontos a pontos, com preservação da cross-
ratio (razão cruzada). A cross-ratio é uma relação de importância fundamental em 
geometria projetiva, pois trata de projeções que não distorcem as medidas de 
comprimento e ângulo, satisfazendo as pesquisas dos matemáticos que buscam 
propriedades invariantes (LABOURIE, 2008). 
 
 
83 
 
 
19.4 Jakob Steiner 
Steiner foium matemático suíço, nascido em 1796, em uma família de 
agricultores nas proximidades de Berna. Com muitas dificuldades para estudar, mas 
com muitas habilidades matemáticas, ingressou na escola de Johann Heinrich 
Pestalozzi, em Yverdon (Suíça), e, antes dos aos 20 anos, já lecionava matemática 
na mesma escola. 
Ao mudar-se para a Alemanha, Steiner continuou lecionando matemática e 
se tornou membro da Academia Prussiana de Ciências (KIMBERLING, [200-?]). Na 
sua obra, destaca-se a elipse de Steiner, conceito muito conhecido na geometria do 
triângulo, conforme será descrito a seguir. 
 
Elipse de Steiner 
 
A elipse de Steiner é uma figura plana que está inscrita em um triângulo 
qualquer e que toca os pontos médios de um triângulo, veja a Figura 2. 
 
 
 
84 
 
A seguir, veja o passo a passo para construção da elipse de Steiner, 
desenvolvida por Santana (2014). 
 
1. Desenhe um triângulo qualquer. 
 
 
 
2. Marque um ponto qualquer no interior do triângulo. 
 
 
 
3. Marque os simétricos Q, R e S do ponto F em relação aos lados AB, 
BC e CA respectivamente. 
 
 
 
85 
 
4. Considere F2 o centro da circunferência que contém Q, R, S. 
 
 
 
5. Devem ser marcados os pontos P1, P2, P3, da interseção entre os 
raios F2Q, F2R e F2S respectivamente, com lados AB, BC E CA do 
triângulo. 
 
 
 
6. Finalmente, trace a elipse com focos F1 e F2, passando pelos pontos 
P1, P2 e P3. 
 
 
86 
 
 
 
 
19.5 Bernhard Riemann 
Riemann nasceu na Alemanha, em 1826, e estudou nas escolas em Berlim 
e Göttingen, tendo como obstáculos uma saúde frágil e uma timidez excessiva. 
Influenciado pelo pai, foi para a Universidade de Göttingen estudar teologia no 
intuito de se tornar clérigo, mas um ano depois transferiu-se para a Universidade de 
Berlim para estudar matemática. Algum tempo depois, foi para a Universidade de 
Göttingen, onde obteve o título de doutor com o estudo das equações diferenciais 
e a formulação do conceito de superfícies de Riemann. Seu trabalho possibilitou a 
generalização de todas as geometrias, com o estabelecimento da geometria 
riemanniana, que serviu de fundamento para Einstein formular a teoria da 
relatividade (GEORG..., 2009). 
 
87 
 
Segundo Sá (2012), Riemann quebrou conceitos milenares na geometria, 
prevendo a existência de múltiplos espaços conectados, com a existência de 
dimensões adicionais e conexões em distintas regiões do espaço-tempo, o que 
implicou em uma compreensão do espaço multidimensional, com a abertura de um 
novo campo de estudos na matemática e na física, com influência em múltiplos 
campos do conhecimento. 
19.6 Felix Klein 
Klein estudou física e matemática na Universidade de Bonn, onde obteve 
doutorado em 1868. Embora tivesse trabalhado com a teoria das funções e a física 
matemática, foi na geometria que Klein deu suas melhores contribuições, ao 
descobrir que as geometrias euclidiana e não euclidiana podiam ser explicadas 
mediante a teoria dos invariantes, e que são casos particulares da geometria 
projetiva. 
Em 1872, Klein apresentou o Programa de Erlangen, determinante para o 
desenvolvimento da matemática no século XX, contribuindo para a evolução da 
educação matemática no mundo (HALSTED, 1894). Um dos objetos de estudo de 
Klein foi a “garrafa de Klein, conforme a Figura 3. 
 
 
 
 
88 
 
Como você pôde perceber, o conceito de geometria passou por uma 
revolução no século XIX, com proposições que levaram muito longe o trabalho 
iniciado na Antiguidade, compilado e sistematizado por Euclides em sua obra Os 
elementos. Na próxima seção, você verá que outras áreas da matemática também 
tiveram notáveis contribuições, muitas delas formuladas pelos mesmos 
matemáticos citados anteriormente. 
20 DESENVOLVIMENTO DA ANÁLISE E ÁLGEBRA 
Do mesmo modo que a geometria, também a análise e a álgebra tiveram 
grandes contribuições durante o século XIX, e muitos dos matemáticos 
responsáveis pelas descobertas na geometria também fizeram trabalhos relevantes 
nessas áreas. Nesta seção, portanto, você vai conhecer alguns dos mais 
importantes matemáticos que se dedicaram à análise e à álgebra, como 
Weierstrass, Cantor, Dedekind, Boole, De Morgan, Hamilton, Grassmann, Cayley, 
Sylvester e Riemann. 
20.1 Voltando a Riemann 
Para iniciar esta seção, voltamos à obra de Riemman, que além da 
geometria contribuiu em outras áreas da matemática, com destaque para a hipótese 
de Riemann e a integral de Riemann. A hipótese de Riemann está vinculada à teoria 
dos números, ramo que estuda as propriedades dos números positivos inteiros e 
pressupõe que a função zeta de Riemann tem solução somente para números pares 
negativos e números complexos, cuja parte real seja ½, sendo muito importante, já 
que tem implicações na distribuição de números primos e na criptografia (ALVITES, 
2012). 
Na análise real, a integral de Riemann foi a primeira definição proposta com 
rigor para uma função em um intervalo. Sua ideia básica é observar uma função 
limitada em um intervalo fechado [a, b] no conjunto dos números reais, criar 
retângulos baseados em uma partição do intervalo, definidos a partir da altura dos 
 
89 
 
valores máximo e mínimo dentro de cada base, para, então, ao somar as áreas 
destes retângulos, poder aproximar a área da curva dada pela função (REIS, 2017). 
20.2 Karl Weierstrass 
O matemático Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nasceu em 1815 e 
estudou na escola católica de Paderborn e na Universidade de Bonn. Após ter seus 
estudos interrompidos por falta de resultados, estudou para ser professor de escola 
primária na Royal Prussian Theological and Philosophical Academy, em Münster, 
onde ser formou em 1841 (KNOBLOCH, 2014). 
Knobloch (2014) explica que Karl não participava da comunidade 
acadêmica, porém trabalhou na teoria das funções abelianas, cujo assunto o 
inspirou a publicar um ensaio em 1854. Nesse mesmo ano, a Universidade de 
Königsberg concedeu-lhe um doutorado honorário, recebeu uma licença de 
pesquisa, e foi nomeado para o primeiro cargo de professor de matemática no 
Berlim Trade Institute. Em 1856, se tornou professor associado da Universidade de 
Berlim, chegando a membro titular do Academia Prussiana de Ciências. Em 1864, 
foi promovido a professor titular da universidade, cargo que ocupou até sua morte 
em fevereiro de 1897. 
Por meio de seminários que divulgaram suas pesquisas sobre a teoria das 
funções reais e complexas, o cálculo das variações e a geometria diferencial, ele 
exerceu uma enorme influência em seus ouvintes, muitos dos quais se tornaram 
professores universitários, entre eles Georg Cantor. 
20.3 George Cantor 
O matemático George Cantor, cientista que ousou estudar o infinito, foi um 
especialista em teoria dos números, elaborou a moderna teoria dos números, e, ao 
lado de Felix Klein, é um dos criadores do Congresso Internacional de Matemáticos 
(IMPA, 2017). 
 
90 
 
Cantor nasceu na Rússia, em 1845, contudo, ainda na infância, emigrou 
para a Alemanha junto com a família. Já em território alemão, Cantor estudou no 
Liceu de Wiesbaden e em escolas privadas de Frankfurt e Darmstadt, sempre 
brilhante e interessado em filosofia, teologia e principalmente matemática, partido 
posteriormente para a Escola Politécnica de Zurique, onde cursou engenharia 
(FREITAS, 2008). Em 1863, Cantor foi para a Universidade de Berlim, onde estudou 
matemática, filosofia e física, aprofundando questões sobre aritmética e teoria dos 
números. Já em 1867, obteve o título de doutor em matemática. 
Em 1874, publicou um artigo demonstrando que os números algébricos são 
numeráveis. A sua originalidade foi observada nesse e em outros trabalhos, 
destacando-se a demonstração de que um intervalo tem a mesma cardinalidade 
que uma reta e um plano; que os números reais não são numeráveis, dando início 
à teoria de conjuntos Cantoriana e aos números transfinitos. Em 1884, Cantor 
apresentou sinais