Apontamento 12a classe 2

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Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas
Vem com a gente estudar as posições relativas entre retas! É Matemática para você arrebentar no Enem!
No estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Abordaremos aqui o paralelismo e o perpendicularismo entre retas, assunto que sempre intrigou matemáticos de todas as épocas.
Os temas serão apresentados tanto de forma algébrica como também de forma gráfica, afim de visualizar com mais eficiência o assunto em questão. Venha fazer parte desta aula para dar um show em matemática no Enem!
Paralelismo e Perpendicularidade entre retas
Paralelismo: Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum.
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.
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Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas
Vem com a gente estudar as posições relativas entre retas! É Matemática para você arrebentar no Enem!
No estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Abordaremos aqui o paralelismo e o perpendicularismo entre retas, assunto que sempre intrigou matemáticos de todas as épocas.
Os temas serão apresentados tanto de forma algébrica como também de forma gráfica, afim de visualizar com mais eficiência o assunto em questão. Venha fazer parte desta aula para dar um show em matemática no Enem!
Paralelismo e Perpendicularidade entre retas
Paralelismo: Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum.
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.
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DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
MATEMÁTICA
A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.
Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
d = |ax0 + by0 + c|
      √(a2 + b2)
Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2 
 
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Geometria Analítica - Matemática -Brasil Escola
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O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir:
O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:
AM = AN
AB    AP
Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB.
 AM = AN
2AM   AP
AN = 1 
AP    2
AP = 2AN
xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2
Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.
Portanto, considerando M o pontomédio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do pontomédio de qualquer segmento no plano cartesiano:
Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.
Exemplos
→ Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
XA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
As coordenadas do ponto médio do segmento AB são xM (6, 8).
→ Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do pontomédio do segmento PQ.
XM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2
yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4
Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.
 
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
O ponto médio separa o segmento de reta em duas partes com medidas iguais
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4. PONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETASPONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS
MATEMÁTICA
O ponto de interseção entre duas retas, ou ponto de encontro, pode ser obtido igualando as equações relativas a elas ou resolvendo o sistema formado.
Uma reta é um conjunto de pontos que não faz curva. Em uma reta, existem infinitos pontos, o que também indica que a reta é infinita. A reta também pode ser considerada como espaço que possui apenas uma dimensão, ou seja, é na reta que se constroem figuras com uma dimensão ou menos.
Duas retas podem encontrar-se em 0, 1 ou 2 pontos. No primeiro caso, elas são chamadas paralelas; no segundo, elas são chamadas concorrentes e o ponto de encontro entre elas é chamado ponto de interseção; no terceiro caso, se duas retas possuem dois pontos em comum, então elas obrigatoriamente apresentam todos os pontos em comum e são chamadas coincidentes.
No caso em que duas retas têm um ponto de interseção (ou intersecção), sempre será possível encontrar as coordenadas desse ponto quando as equações dessas retas são conhecidas.
Coordenadas do ponto de interseção
Suponha que as retas ax + by + c = 0 e dx + ey + f = 0 encontram-se no ponto P(xo, yo). Note que os valores das incógnitas nesse ponto serão iguais para ambas as equações e que essa é justamente a definição de um sistema de equações com duas incógnitas e duas equações. Esse sistema pode ser escrito da seguinte maneira:
Assim, resolvendo esse sistema, encontraremos os valores de x e y que o tornam verdadeiro e que, ao mesmo tempo, são as coordenadas do ponto de encontro entre as duas retas que o formam.
Exemplo: Determine o ponto de encontro entre as retas 2x – y + 6 = 0 e 2x + 3y – 6 = 0
As coordenadas do ponto deinterseção entre essas duas retas são dadas resolvendo o sistema formado:
Escolhemos o método da adição para resolver esse sistema, e isso não foi feito por nenhum motivo em especial. Prosseguindo na solução, basta resolver a equação encontrada:
– 4y + 12 = 0
– 4y = – 12 (– 1)
4y = 12
y = 12
      4
y = 3
Para finalizar, podemos substituir o valor de y em qualquer uma das equações:
2x – y + 6 = 0
2x – 3 + 6 = 0
2x + 3 = 0
2x = – 3
x = – 3  
       2 
Assim, as coordenadas da interseção entre essas duas retas são: (3, – 3/2).
Observe as duas retas e seu ponto deencontro no seguinte gráfico:
 
Solução simplificada
A solução anterior é dada quando as equações estão em sua forma geral. Se as equações forem dadas em sua forma reduzida, a solução pode ser feita por outro método, com cálculos mais fácies e mais rápidos. Também podemos escrever as equações em sua forma reduzida antes de fazer os cálculos para evitar a solução do sistema.
A solução simplificada consiste em isolar uma das incógnitas das equações e igualar os seus resultados. Por exemplo, determine as coordenadas das retas de equações: x + y – 2 = 0 e 3x – y + 4 = 0.
Isolando uma incógnita de cada uma delas:
y = 2 – x e
y = 4 + 3x
Note que ambas as expressões em função de x são iguais a y. Como ambas são iguais ao mesmo número, então as expressões são iguais entre si:
2 – x = 4 + 3x
– x – 3x = 4 – 2
– 4x = 2
x = – 2
        4
x = – 1 
        2
 
Substituindo o valor de x em uma das equações, encontraremos o valor de y:
y = 2 – x
y = 2 – 1 
           2
y = 4 – 1
       2
y = 3
      2
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
A interseção entre retas é o ponto de encontro desses elementos e pode ser representada em gráfico
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Ponto de intersecção entre duas retas concorrentes
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4. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS CONCORRENTES 
Este texto mostrará como encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas concorrentes.
Existem três posições relativas entre duas retas que se encontram no mesmo plano: as retas podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes. Quaisquer retas que se encontrem em apenas um ponto serão chamadas concorrentes e existem algumas formas de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre elas.
As retas paralelas, por sua vez, são aquelas que, em toda a sua extensão, não possuem um ponto sequer em comum. Geometricamente, o que se vê são linhas lado a lado.
Finalmente, as retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. É impossível que, possuindo dois pontos em comum, duas retas não compartilhem todos os seus pontos. Portanto, geometricamente, o que se vê ao olhar duas retas coincidentes é apenas uma reta.
Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas concorrentes, será necessário encontrar primeiro as equações dessas duas retas. Após isso, será mais fácil utilizar essas equações em sua forma reduzida.
Tomaremos como exemplo as retas presentes na imagem seguinte:
Para descobrir as coordenadas do ponto B, que é o ponto de intersecção entre duas retas concorrentes, utilizaremos a seguinte estratégia:
1 – Tomamos as equações das duas retas e escrevemo-las da forma reduzida.
–x + y = 0
y = x + 0
y = x
–x – y = –2
–y = –2 + x
y = 2 – x
2 – Como as duas equações encontradas são iguais a y, então as duas equações podem ser igualadas. Esse procedimento dará o valor da coordenada x do ponto B.
x = 2 – x
x + x = 2
2x = 2
x = 2
     2
x = 1
3 – Para encontrar o valor da coordenada y do ponto B, basta substituir o valor encontrado para x em uma das duas equações reduzidas da reta.
y = 2 – x
y = 2 – 1
y = 1
Portando, as coordenadas do ponto B são: x = 1 e y = 1 e escrevemos B = (1,1) ou B (1,1).
Portanto, para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o sistema de equações construído a partir das equações dessas duas retas. As imagens não são necessárias para solução de problemas como esse. Elas são indispensáveis para determinar as equações das retas e auxiliam na verificação dos resultados. Contudo, observe que o próximo exemplo foi resolvido sem o uso de qualquer imagem.
Exemplo 2 – Qual a localização do ponto B, que é a intersecção entre as retas –2x + y = 0 e –x – 2y = – 10?
Para resolver, lembre-se: basta montar um sistema de equações utilizando as equações das retas coincidentes:
–2x + y = 0
–x – 2y = – 10
y = 0 + 2x
– 2y = – 10 + x
y = 2x
2y = 10 – x
Agora, é necessário igualar as variáveis. Multiplicaremos a primeira equação por 2.
(2)y = (2)2x
2y = 10 – x
2y = 4x
2y = 10 – x
Agora, sim, estamos aptos a igualar as equações:
2y = 2y, portanto:
4x = 10 – x
4x + x = 10
5x = 10
x = 5
Como no exemplo 1, usaremos a primeira equação do sistema para descobrir o valor de y:
y = 2x
y = 2·5
y = 10
Dessa forma, as coordenadas do ponto B são: x = 5 e y = 10 e escrevemos B = (5,10) ou B (5,10).
 
Videoaula relacionada:
Ponto B de intersecção entre duas retasPor: Luiz Paulo Moreira Silva
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1. Equação reduzida da circunferência
Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.
Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.
 
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A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(xc, yc da medida R.
Então:
(x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.
Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:
(x – 5)2 + (y + 7)2 = 82
Ou:
 
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2. Equação geral da circunferência
A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:
(x – xc)2 + (y –yc)2 = R2
(x2 – 2xcx + x2c) + (y2 – 2ycy + y2c ) = R2
Reagrupando: x2 + y2 – 2xcx – 2yc y + x2c + y2c – R2 = 0
Ou de uma maneira generalizada:
x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.
Onde:
 
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Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):
x2 + y2 – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 52 + (–7)2 – 82 = 0
 
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3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral
Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral
x2y2 + mx + nx + p = 0
utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:
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Por exemplo, para a circunferência exemplificada,
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Logo:
C(5,-7) e o raio R=8.
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· Conheça 11 equações que mudaram o mundo
 
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Equação geral da circunferência
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4. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA 
No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os pontos do centro da circunferência estão explicitados. Caso você não se lembre da equação reduzida da circunferência, leia o artigo Equação Reduzida da Circunferência .
Entretanto, poderemos ter equações do segundo grau com duas incógnitas que podem representar a equação de uma circunferência. Para isso, desenvolveremos os quadrados da equação reduzida.
Como dito anteriormente, podemos retirar as informações necessárias (coordenadas do centro da circunferência e o raio) para a construção da circunferência de forma direta. Desse modo, (xc,yc) é o centro da circunferência e r é o raio. 
Desenvolvendo os quadrados.
Essa expressão é denominada equação geral da circunferência.
 
Exemplo:
Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1,1) e raio 4.
De fato, a expressão geral da circunferência não deve ser decorada, afinal é possível obter essa expressão partindo da equação reduzida, sendo que esta é mais fácil de ser expressa.
 
É possível pensar de uma forma inversa, quando se conhece uma equação geral da circunferência e procura-se obter a equação reduzida, partindo desta equação geral.
 
Para que se possa reduzir a equação geral da reta, os quadrados devem ser completados, obtendo trinômio quadrado perfeito que fatorados resultam em quadrados da soma ou da diferença de dois termos.
Um destes termos corresponde ao valor x ou y, e o outro à coordenada do centro da circunferência.
Exemplo:
Encontre a forma reduzida da seguinte equação.
Primeiramente devemos agrupar os termos de mesma incógnita.
Agora, para cada termo x e y, completaremos quadrados para obtermos os trinômios.
Os trinômios destacados são trinômios quadrados perfeitos. Bem sabemos que existe uma forma fatorada para estes trinômios.
Para obtermos a forma reduzida por completo, basta isolarmos o termo independente e obtermos o quadrado que resulta neste termo.
Com isso, temos que a equação dada representa uma circunferência de raio r=4 e centro C(2,1).
Compasso, objeto usado para construção de circunferênciasPor: Gabriel Alessandro de Oliveira
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Equação da Elipse
Definição
Consideremos num plano, dois pontos F1 e F2 distantes um do outro por 2c > 0 e seja a > c.
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
[Figura 1: Elipse]
Ao conjunto dos pontos P pertencentes ao plano, tais que:
dá-se o nome de Elipse.
Os elementos de uma elipse são:
Foco: São os pontos F1 e F2;
Distância focal: é a distância 2c entre os pontos;
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2;
Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a (o segmento A1A2 contém os focos e os seus eixos extremos)
Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (o segmento B1B2 é ortogonal ao segmento A1A2 no ponto C;
Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2.
A excentricidade exprime o “achatamento” da elipse e é dada pela divisão:
Em toda a elipse, vale a relação pitagórica:
Vamos, agora, demonstrar a equação da elipse:
Seja P(x, y) um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são F1(– c, 0) e F2(c, 0).
Temos que:
Pela equação (1) temos que:
Substituindo (3) e (4) na relação acima, obtemos:
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Dividimos ambos os lados por 4:
Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:
Multiplicamos por – 1:
Dividimos ambos os lados por a2(a2 – c2):
Da relação (2) temos:
Substituindo (6) em (5), obtemos:
Que é a equação reduzida da elipse. 
Créditos: Kleber Kilhian em obaricentrodamente.blogspot.com
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1. Ezequiel Rodrigues de Almeida em 08/12/2020 às 2:03
Desafio:
A partir da equação deduzida, explicitando y=(b^2(1-(×^2/a^2))^1/2, peço que demonstrem a fórmula para o cálculo da área da elipse, A=(pi).a.b
Obrigado.
Responder
2. Ezequiel Rodrigues de Almeida em 08/12/2020 às 1:53
Excelente dedução. Didática clara e racional. Parabéns.
Sou engenheiro e viajo em dedução de fórmulas. Dedução deveria ser parte integrante do curso de matemática a partir do secundário. Esclarece, abre a mente e instrui o aluno.
Responder
3. Flávio Macedo em 11/06/2019 às 13:19
Parabéns pelo post, pessoal! Muito claro, detalhado e bem organizado!
Valeu!
Responder
4. Breno Odnan Ferreira de Souza em 22/06/2017 às 12:11
Gostei muito da explicação. Muito clara.
Responder
5. Beta em 24/06/2016 às 18:11
Excelente demonstração!
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6. Beta em 24/06/2016 às 18:09
Excelente demonstração!!!
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ELIPSE
MATEMÁTICA
A elipse é uma figura plana classificada como uma cônica, pois ela pode ser obtida da secção de um plano em um cone. Encontrar uma figura plana com forma de elipse é bastante comum no dia a dia. Ela foi amplamente estudada para explicar a movimentação dos planetas ao redor do Sol, pois as órbitas desses astros são elipses.
A geometria analítica é a área da matemática que busca descrever de forma algébrica as formas geométricas, inclusive, a elipse é estudada a fundo na geometria analítica, sendo possível descrevê-la por meio de uma equação que leva em consideração seus elementos. Os principais elementos da elipse são:
· eixo maior
· eixo menor
· distância focal
· focos F1 e F2
Definimos a elipse como o conjunto de pontos em que a soma da distância desses pontos ao foco F1 e ao foco F2 é sempre constante.
Leia também: Quais são as diferenças entre figuras planas e espaciais?
O que é elipse?
Conhecemos como elipse a figura plana formada pela secção entre o plano e o cone, da seguinte maneira:
A elipse é uma cônica.
Para construir a elipse, é necessário conhecer seus dois focos, F1 e F2, e também o comprimento do eixo maior, que é o seguimento de reta que liga as extremidades da elipse, na imagem a seguir, representado por A1 A2.
O comprimento do eixo maior é igual a 2a, então, a elipse é a curva formada por todos os pontos Pn em que a soma da distância do ponto até o primeiro foco (dPnF1) com a distância do ponto até o segundo foco (dPnF2) é sempre constante e igual a 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1A2 = 2a
Elementos da elipse
Para compreender bem a formação da elipse, é necessário conhecer cada um de seus elementos. São eles os focos, o centro, o eixo maior e o eixo menor. Com base neles, é possível traçar relações importantes na elipse.
· O centro da elipse é representado pelo ponto O.
· Já os pontos F1 e F2 representam os focos de elipse.
· Os pontos A1 e A2 são extremidades do eixo horizontal da elipse, e os pontos B1 e B2 são extremidades do seu eixo vertical.
· A distância entre B1 e B2 é igual a 2b (comprimento da elipse no eixo menor).
· A distância entre A1 e A2 é igual a 2a (comprimento da elipse no eixo maior).
· A distância focal entre F1 e F2 é igual a 2c.
Observação: É importante perceber que o seguimento F1B1 tem comprimento igual à metade do eixo horizontal, ou seja, dF1B1 = a. Sendo assim, é possível perceber também uma importante relação pitagórica ao analisar o triângulo A1OB1. Note que ele é um triângulo retângulo. Sendo assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
Existe outra possibilidade para a elipse, que é quando o maior eixo é o eixo vertical. Nesse caso, os elementos continuam os mesmos.
Nesse caso podemos aplicar o teorema de Pitágoras também, ficando da seguinte maneira:
b² = a² + c²
Leia também: Quais são os elementos de um polígono?
Equação da elipse
O estudo da elipse de forma analítica é feito no plano cartesiano. A geometria analítica busca descrever, por meio de equações, as figuras da geometria plana. Sendo assim, é possível descrever a figura por meio da chamada equação da elipse.
Primeiro faremos exemplos de uma elipse cujos focos estão contidos ou no eixo x ou no eixo y, ou seja, a origem da elipse coincide com a origem do plano cartesiano.
Nesse caso existem duas possibilidades, quando o eixo maior é o eixo vertical e quando o eixo maior é o eixo horizontal:
Observação: Os focos sempre estão contidos no maior eixo, então, se a > b, os focos estão contidos no eixo horizontal, e se b > a, eles estão contidos no eixo vertical.
Nem sempre o centro da elipse está na origem do plano cartesiano, o que não impede o desenvolvimento e a adaptação da equação da elipse para esse caso. Quando a elipse está deslocada da origem O( x0, y0), sua equação pode ser descrita por:
Leia também: Qual é a equação reduzida da circunferência?
Excentricidade da elipse
Conhecemos como excentricidade arazão entre o comprimento c e a metade do comprimento do maior eixo da elipse. Supondo que o maior eixo é o horizontal, a excentricidade é calculada por:
Caso a elipse estiver no eixo vertical, a excentricidade será calculada por:
A excentricidade nos diz o quão achatada é a elipse, quanto maior for o valor da excentricidade, mais próximo de uma circunferência estará a elipse. Como o eixo maior tem sempre comprimento maior que a distância focal, então, consequentemente, c < a, logo, essa divisão é sempre um número entre 0 e 1.
Área da elipse
Como a elipse tem um formato arredondado, para calcular a sua área, utilizamos a constante π e também a medida da metade do comprimento horizontal e a da metade do comprimento vertical, então, temos que:
A = abπ
A: comprimento da elipse
a: metade do comprimento do eixo horizontal
b: metade do comprimento do eixo vertical
Exemplo:
Calcule a área de uma elipse, com os focos no eixo horizontal, cujo eixo maior mede 50 cm, e o menor, 36 cm.
Como o eixo maior é o horizontal, então, os focos estão contidos nele. Sendo assim, temos que:
2a = 50
a = 50/2
a = 25
E no eixo vertical, temos que:
2b = 36
b = 36/2
b = 18
Então a área da elipse é dada por:
A = abπ
A = 25 · 18π
A = 450π cm²
E e F são os focos da elipse.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Ao analisar a elipse a seguir, a alternativa que contém sua distância focal é:
A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
Resolução
Alternativa E.
A distância focal é igual a 2c, e, além disso, a = 8 e b = 6. Como os focos estão contidos no eixo x, então, temos que:
Como a distância focal é igual a 2c, então, 2c = 8√3.
Questão 2 – (IFB) Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse.
a)(13, 0) e (-13, 0)
b) (0, 13) e (0, -13)
c) (12, 0) e (-12, 0)
d) (0, 12) e (0, -12)
e) (5, 0) e (-5, 0)
Resolução
Alternativa D
Note que ela passa no ponto (0, 13), o que indica que b = 13, e também que ela passa pelo ponto (5,0) a = 5. Como b > a, temos que:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 – 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Como b é maior, então o foco está no eixo vertical, ou seja (0, 12) e (0, -12).
 
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
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No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica. 
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). 
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. 
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
 
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
 
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole: 
2c → é a distância focal. 
c2 = a2 + b2 → relação fundamental. 
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 
2a → é a medida do eixo real. 
2b → é a medida do eixo imaginário. 
c/a → é a excentricidade 
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. 
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. 
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 
2a = 16 → a = 8 
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: 
c2 = a2 + b2 
102 = 82 + b2 
b2 = 100 – 64 
b2 = 36 
b = 6 
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: 
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: 
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). 
Da equação da hipérbole obtemos que: 
a2 = 16 → a = 4 
b2 = 9 → b = 3 
Utilizando a relação fundamental, teremos: 
c2 = a2 + b2 
c2 = 16 + 9 
c2 = 25 
c = 5 
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Publicado por Marcelo Rigonatto
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O conjunto de pontos de um plano denominado hipérbole é estudado na Geometria Analítica, uma subárea da Matemática.
O que é uma hipérbole?
Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementos de uma Hipérbole:
F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade
Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2
 
Equação reduzida da hipérbole
1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:
2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).
Solução: Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5
Da relação notável, obtemos:
c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4
Assim, a equação reduzida será dada por:
Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérboleque possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.
Solução: Temos que
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Utilizando a relação notável, obtemos:
102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.
Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:
Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com equação
Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo  temos que
a2 = 16 e b2 =9
Da relação notável obtemos
c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5
A distância focal é dada por 2c. Assim,
2c = 2*5 =10
Portanto, a distância focal é 10.
 
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
Geometria Analítica - Matemática - Brasil Escola
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Versão mobileFunções Trigonométricas
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
· Função Seno
· Função Cosseno
· Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Gráfico da função seno
Leia também: Lei dos Senos.
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Gráfico da função cosseno
Leia também: Lei dos Cossenos.
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
função f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Gráfico da função tangente
Leia mais sobre o tema:
· Seno, Cosseno e Tangente
· Relações Trigonométricas
· Trigonometria
· Trigonometria no Triângulo Retângulo
· Círculo Trigonométrico
· Razões Trigonométricas
· Tabela Trigonométrica
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Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. (UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de 21 π/5 rad é igual a:
a) π/5 rad
b) 7 π/5 rad
c) π rad
d) 9 π/5 rad
e) 2 π rad
Esconder Resposta
Alternativa a) π/5 rad
2. (Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:
a) 13
b) 9
c) 8
d) – 4
e) 10
Esconder Resposta
Alternativa a) 13
3. (UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:
a) 3π
b) 2π/3
c) 3π – 2
d) π/3 – 2
e) π/5
Esconder Resposta
Alternativa b) 2π/3
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Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
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· Função Exponencial
· Lei dos Senos
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Equações Trigonométricas
São equações em que a incónita é uma das formas trigonométricas.
Equações trigonométricas elementares
São chamadas de equações elementares as equações da forma: 
cos x  =  c,  sen x  =  c,  tg x  =  c,  onde  c  ∈  Im(f).
Resolução 
Uma condição para se resolver uma equação trigonométrica elementar é que: 
se consiga igualar as expressões de mesma função. 
Seno com seno,  cosseno com cosseno,  tangente com tangente,  etc.
①  A equação da forma:  cos x  =  c,  onde  c  ∈  [ – 1 ; 1 ] 
Em,  cos x  =  c,  tem-se que: 
x  =  arc cos (c)   ( lê-se:  "x"  é o arco cujo cosseno é  "c" ) 
Seja  β  (em radianos)  o arco,  tal que,  cos β  =  c. 
Então,  o conjunto-solução é dado por: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  ±  β  +  2 k π,  k  ∈   }
Clique para ver a Dedução 
Exemplo: 
Resolver a equação:  cos x  =   
Em,  cos β  =  ,  tem-se que: 
β  =  arc cos  
β  =    (o arco,  em radianos,  cujo cosseno é  ) 
Então em,  cos x  =  ,  o conjnto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  ±    +  2 k π,  k  ∈   } 
Em uma volta 
Caso se queira a solução apenas na 1ª volta,  isto é, 
no intervalo  [ 0 ; 2 π ] 
Para  k  =  0: 
x  =  ±    +  2 ⋅ 0 ⋅ π  =  ±   
Para  k  =  1: 
x  =  –   +  2 ⋅ 1 ⋅ π  =  –   +  2 π  =   
O arco  –   (medido no sentido horário),  tem a mesma projeção, 
sobre o eixo horizontal,  que o arco    no sentido anti-horário. 
Assim,  há apenas duas soluções noconjunto-solução: 
S  =  {  ;    }
②  A equação da forma:  sen x  =  c,  onde  c  ∈  [ – 1 ; 1 ] 
Em,  sen x  =  c,  tem-se que: 
x  =  arc sen (c)   ( lê-se:  "x"  é o arco cujo seno é  "c" ) 
Seja  β  (em radianos)  o arco,  tal que,  sen β  =  c. 
Então,  o conjunto-solução é dado por: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  (– 1)k ⋅  β  +  k π,  k  ∈   }
Clique para ver a Dedução 
Exemplo: 
Resolver a equação:  sen x  =   
Em,  sen β  =  ,  tem-se que: 
β  =  arc sen  
β  =    (o arco,  em radianos,  cujo seno é  ) 
Então em,  sen x  =  ,  o conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  (− 1)k  ⋅    +  k π,  k  ∈   } 
Em uma volta 
Caso se queira a solução apenas na 1ª volta,  isto é, 
no intervalo  [ 0 ; 2 π ] 
Para k  =  0: 
x  =  (– 1)0  ⋅    +  0 ⋅ π  =  1 ⋅   =   
Para k  =  1: 
x  =  (– 1)1  ⋅    +  1 ⋅ π  =  – 1 ⋅   +  π  =  –   +  π  =   
S  =  {  ;   }
③  A equação da forma:  tg x  =  c,  onde  c  ∈  ] − ∞ ;  + ∞ [ 
Em,  tg x  =  c,  tem-se que: 
x  =  arc tg (c)   ( lê-se:  "x"  é o arco cuja tangente é  "c" ) 
Seja  β  (em radianos)  o arco,  tal que,  tg β  =  c. 
Então,  o conjunto-solução é dado por: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  β  +  k  π,  k  ∈   }
Clique para ver a Dedução 
Exemplo: 
Resolver a equação:  tg x  =   
Em tg β  =  ,  tem-se que: 
β  =  arc tg  
β  =   
Então em  tg x  =  ,  o conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =    +  k  π,  k  ∈   } 
Em uma volta 
Caso se queira a solução apenas na 1ª volta,  isto é, 
no intervalo  [ 0 ;  2 π ] 
Para k  =  0: 
x  =    +  0 ⋅ π  =   
Para k  =  1: 
x  =    +  1 ⋅ π  =    +  π  =   
S  =  {  ;   }
Resumo: 
Cada equação trigonométrica elementar tem sua solução geral: 
cos x  =  cos β  ⇒  S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  ±  β  +  2 k π,  k  ∈   } 
sen x  =  sen β  ⇒  S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  (− 1)k⋅  β  +  k π,  k  ∈   } 
  tg x  =  tg β  ⇒  S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  β  +  k  π,  k  ∈   }
Equações não elementares
As equações  não  elementares são aquelas que: 
necessitam de algum artifício para se obter suas soluções.
①  A equação:  2 sen2 x  +  1  =  3 sen x,  necessita de um artifício. 
Organizando a equação: 
2 sen2 x  −  3 sen x  +  1  =  0 
Tomando  sen x  =  y 
2 y2  −  3 y  −  1  =  0  (equação do 2° grau) 
Δ  =  (− 3)2  −  4  ⋅  2  ⋅  1 
Δ  =  9  −  8 
Δ  =  1 
y  =   
y  =   
y  =   
y′  =   
y′  =   
y′  =  1 
y′′  =   
y′′  =   
y′′  =   
Para  y  =  1  tem-se  sen x  =  1 
Assim,  x  =    +  2 k π 
Para  y  =    tem-se  sen x  =   
Assim,  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π }
②  A equação:  2 cos2 x  +  sen2 x  =   
Tomando:  sen2 x  =  1  −  cos2 x 
2 cos2 x  +  sen2 x  =   
2 cos2 x  +  (1  −  cos2 x)  =   
cos2 x  +  1  =   
cos2 x  =  − 1  +   
cos2 x  =   
cos x  =  ±   
cos x  =   
Assim,  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π 
cos x  =  −  
Assim,  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π  ou  x  =    +  2 k π }
Equação não elementar mais elaborada
Equações da forma:  a ⋅ cos x  +  b ⋅ sen x  =  c 
Com  a,  b  e  c  reais,  exigem artifícios mais elaborados para suas soluções, 
se  "a"  ou  "b"  for nulo,  então,  trata-se de uma equação elementar.
Seja  β  (em radianos)  o arco,  tal que: 
cos β  =    e  sen β  =   
Assim,  a equação pode ser reduzida a equação elementar: 
cos (x  −  β)  =   
O conjunto-solução é dado por: 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =  β  +  arc cos () }
Clique para ver a Dedução 
Exemplo: 
Resolver a equação:  √3 cos x  +  sen x  =  2
Logo,  a  =  √3  e  b  =  1. 
Calculando    =    =  √3  +  1  =  √4  =  2 
Dividindo toda a equação por  2: 
  ⋅  cos x  +    ⋅  sen x  =  1 
Como,    =  cos   e    =  sen ,  então: 
  ⋅  cos x  +    ⋅  sen x  =  1 
cos    ⋅  cos x  +  sen   ⋅  sen x  =  1 
E como,  cos (a  −  b)  =  cos a ⋅ cos b  +  sen a ⋅ sen b,  então: 
cos ( x  −   )  =  1 
Logo,  x  −    =  arc cos (1) 
x  −    =  2 k π 
x  =    +  2 k π 
S  =  { x  ∈  IR ;  x  =    +  2 k π,  com  k  inteiro }
Inequações Trigonométricas
Havendo uma desigualdade no lugar da igualdade tem-se uma inequação. 
Resolução das inequações trigonométricas 
As inequações são resolvidas mais facilmente visualizando o ciclo trigonométrico. 
①  A inequação:  sen x  <  sen β,   com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (),  mais,  o arco de  C  até  A  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [ 0,  2π ],  o conjunto-solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  0  <  x  <  β  ou  π  −  β  <  x  <  2 π } 
O conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <  β  +  2 k π   ou   π  −  β  +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π }
Exemplo: 
Resolver a inequação:  sen x  <   
β  =  arc sen    (beta é o arco cujo seno é um meio) 
Como  β  é uma arco do 1º quadrante: 
β  =   
π  −  β  =  π  −    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0,  2π] : 
S = { x  ∈  IR ;  0  <  x  <     ou     <  x  <  2 π }. 
De forma geral,  o conjunto-solução é: 
S = {  x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou    +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π }
②  A inequação:  sen x  >  sen β,  com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [0,  2π],  a solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  β  <  x  <  π  −  β } 
O conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  β  +  2 k π  <  x  <  π  −  β  +  2 k π,  k  inteiro }.
Exemplo: 
Resolver a inequação:  sen x  >   
Como  β  é um arco do primeiro quadrante 
β  =   
π  −    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0,  2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;    <  x  <   }. 
De forma geral, o conjunto-solução é: 
S = { x  ∈  IR ;    +  2 k π  <  x  <    +  2 k π,  com  k  inteiro }.
③  A inequação:  cos x  <  cos β,  com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [0,  2π],  a solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  β  <  x  <  2 π  –  β } 
O conjunto-solução geral é: 
S = { x  ∈  IR ;  β  +  2 k π  <  x  <  2 π  –  β  +  2 k  π,  com  k  inteiro }.
Exemplo: 
Resolver a inequação:  cos x  <   
Como  β  é uma arco do 1º quadrante,  β  =  ,  daí: 
2 π  −    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0, 2π] : 
S = { x  ∈  IR ;    <  x  <   }. 
De forma geral, o conjunto-solução é: 
S = { x  ∈  IR ;    +  2 k π  <  x  <    +  2 k π,  k  inteiro }
④  A inequação:  cos x  >  cos β,  com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (),  mais,  o arco de  C  até  A  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [0,  2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;  0  <  x  <  β   ou   2 π  –  β  <  x  <  2 π } 
O conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <  β  +  2 k π   ou   2 π  –  β  +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π,  k  inteiro }
Exemplo: 
Resolver a inequação:  cos x  >   
Como  β  é uma arco do 1º quadrante: 
β  =   
2 π  −    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0, 2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;  0  <  x  <     ou     <  x  <  2 π }. 
De forma geral,  o conjunto-solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou    +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π,  k  inteiro }.
⑤  A inequação:  tg x  <  tg β,  com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (),  mais,  o arco de  C  até  D  (),  mais,  o arco de  E  até  A  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [0,  2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;  0  <  x  <  β   ou     <  x  <  π  +  β   ou     <  x  <  2 π } 
O conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <  β  +  2k π   ou     +  2 k π  <  x  <  π  +  β  +  2 k π   ou     +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π }
Exemplo: 
Resolver a inequação:  tg x  <  1 
Como  β  é uma arco do 1º quadrante: 
β  =   
π  +  β  =  π  +    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0, 2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;  0  <  x  <     ou     <  x  <     ou     <  x  <  2 π }. 
De forma geral,  o conjunto-solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou     +  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou     +  2 k π  <  x  <  2 π  +  2 k π }.
⑥  A inequação:  tg x  >  tg β,  com  0  <  β  <  ,  tem representação: 
 
A solução é o arco pintado de verde,  mas inicia no ponto  A,  então: 
a solução é o arco de  A  até  B  (),  mais,  o arco de  C  até  D  (). 
Na primeira volta,  isto é,  no intervalo  [0,  2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;  β  <  x  <     ou   π  +  β  <  x  <   } 
O conjunto-solução geral é: 
S  =  { x  ∈  IR ;  β  +  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou   π  +  β  +  2 k π  <  x  <    +  2 k π,  com  k  inteiro }
Exemplo: 
Resolver a inequação:  tg x  >  1 
Como  β  é uma arco do 1º quadrante: 
β  =   
π  +  β  =  π  +    =   
Considerando a  1ª volta,  ou seja,  no intervalo  [0, 2π] : 
S  =  { x  ∈  IR ;    <  x  <     ou     <  x  <   } 
De forma geral,  o conjunto-solução é: 
S  =  { x  ∈  IR ;    +  2 k π  <  x  <    +  2 k π   ou     +  2 k π  <  x  <    +  2 k π }
Seno, cosseno e tangente são os nomes dados às razões trigonométricas. Grande parte dos problemas que envolvem cálculos de distância é resolvida utilizando-se a trigonometria. E para isso, é muito importante compreender seus fundamentos, começando pelo triângulo retângulo.
As razões trigonométricas são também muito importantes, pois elas relacionam as medidas de dois lados do triângulo com um dos ângulos agudos, associando essa relação com um número real.
Seno, cosseno e tangente são relações estudadas em triângulos.
Veja mais: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico
Características do triângulo retângulo
O triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° (ângulo reto). Os demais ângulos são menores que 90º, ou seja, são agudos, e, além disso, sabemos que os maiores lados estão sempre opostos aos maiores ângulos. No triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e está “à frente” do ângulo reto, os demais lados são chamados de catetos.
No triângulo acima, temos que os lados que medem c e b são os catetos, e o lado que mede a é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo, a relação conhecia como teorema de Pitágoras é válida.
a2 = b2 + c2           
Os catetos, daqui em diante, também receberão nomes especiais. As nomenclaturas dos catetos dependerão do ângulo de referência. Considerando o ângulo em azul na imagem acima, temos que o cateto que mede b é o cateto oposto, e o cateto que está ao lado do ângulo, ou seja, que mede c é o cateto adjacente.
   
Seno
Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.
Assim,
sen α =   altura 
             percurso 
Cosseno
De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.
Assim:
cos α = afastamento
              percurso
Tangente
Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa. 
Assim:
tg α = altura
        afastamento
A tangente fornece-nos o índice de subida.
Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer
Relação entre seno, cosseno e tangente
De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:
Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:
sen α =   Cateto oposto  =  c
                 Hipotenusa         a
cos α =   Cateto adjacente  =  b
                     Hipotenusa          a
tg α =   Cateto oposto       =     c
           Cateto adjacente           b
Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:
sen β =   Cateto oposto  =  b
                Hipotenusa          a
cos β =   Cateto adjacente  =  c
                     Hipotenusa          a
tg β =   Cateto oposto       = b
            Cateto adjacente      c
Tabelas trigonométricas
Existem três valores de ângulos que devemos saber. São eles:
Os demais valores são dados nos enunciados dos exercícios ou podem ser conferidos na tabela seguinte, mas não se preocupe, não é necessário tê-los memorizados (exceto os da tabela anterior).
	Ângulo  (°)
	seno
	cosseno
	tangente
	 
	Ângulo (°)
	seno
	cosseno
	tangente
	1
	0,017452
	0,999848
	0,017455
	 
	46
	0,71934
	0,694658
	1,03553
	2
	0,034899
	0,999391
	0,034921
	 
	47
	0,731354
	0,681998
	1,072369
	3
	0,052336
	0,99863
	0,052408
	 
	48
	0,743145
	0,669131
	1,110613
	4
	0,069756
	0,997564
	0,069927
	 
	49
	0,75471
	0,656059
	1,150368
	5
	0,087156
	0,996195
	0,087489
	 
	50
	0,766044
	0,642788
	1,191754
	6
	0,104528
	0,994522
	0,105104
	 
	51
	0,777146
	0,62932
	1,234897
	7
	0,121869
	0,992546
	0,122785
	 
	52
	0,788011
	0,615661
	1,279942
	8
	0,139173
	0,990268
	0,140541
	 
	53
	0,798636
	0,601815
	1,327045
	9
	0,156434
	0,987688
	0,158384
	 
	54
	0,809017
	0,587785
	1,376382
	10
	0,173648
	0,984808
	0,176327
	 
	55
	0,819152
	0,573576
	1,428148
	11
	0,190809
	0,981627
	0,19438
	 
	56
	0,829038
	0,559193
	1,482561
	12
	0,207912
	0,978148
	0,212557
	 
	57
	0,838671
	0,544639
	1,539865
	13
	0,224951
	0,97437
	0,230868
	 
	58
	0,848048
	0,529919
	1,600335
	14
	0,241922
	0,970296
	0,249328
	 
	59
	0,857167
	0,515038
	1,664279
	15
	0,258819
	0,965926
	0,267949
	 
	60
	0,866025
	0,5
	1,732051
	16
	0,275637
	0,961262
	0,286745
	 
	61
	0,87462
	0,48481
	1,804048
	17
	0,292372
	0,956305
	0,305731
	 
	62
	0,882948
	0,469472
	1,880726
	18
	0,309017
	0,951057
	0,32492
	 
	63
	0,891007
	0,45399
	1,962611
	19
	0,325568
	0,945519
	0,344328
	 
	64
	0,898794
	0,438371
	2,050304
	20
	0,34202
	0,939693
	0,36397
	 
	65
	0,906308
	0,422618
	2,144507
	21
	0,358368
	0,93358
	0,383864
	 
	66
	0,913545
	0,406737
	2,246037
	22
	0,374607
	0,927184
	0,404026
	 
	67
	0,920505
	0,390731
	2,355852
	23
	0,390731
	0,920505
	0,424475
	 
	68
	0,927184
	0,374607
	2,475087
	24
	0,406737
	0,913545
	0,445229
	 
	69
	0,93358
	0,358368
	2,605089
	25
	0,422618
	0,906308
	0,466308
	 
	70
	0,939693
	0,34202
	2,747477
	26
	0,438371
	0,898794
	0,487733
	 
	71
	0,945519
	0,325568
	2,904211
	27
	0,45399
	0,891007
	0,509525
	 
	72
	0,951057
	0,309017
	3,077684
	28
	0,469472
	0,882948
	0,531709
	 
	73
	0,956305
	0,292372
	3,270853
	29
	0,48481
	0,87462
	0,554309
	 
	74
	0,961262
	0,275637
	3,487414
	30
	0,5
	0,866025
	0,57735
	 
	75
	0,965926
	0,258819
	3,732051
	31
	0,515038
	0,857167
	0,600861
	 
	76
	0,970296
	0,241922
	4,010781
	32
	0,529919
	0,848048
	0,624869
	 
	77
	0,97437
	0,224951
	4,331476
	33
	0,544639
	0,838671
	0,649408
	 
	78
	0,978148
	0,207912
	4,70463
	34
	0,559193
	0,829038
	0,674509
	 
	79
	0,981627
	0,190809
	5,144554
	35
	0,573576
	0,819152
	0,700208
	 
	80
	0,984808
	0,173648
	5,671282
	36
	0,587785
	0,809017
	0,726543
	 
	81
	0,987688
	0,156434
	6,313752
	37
	0,601815
	0,798636
	0,753554
	 
	82
	0,990268
	0,139173
	7,11537
	38
	0,615661
	0,788011
	0,781286
	 
	83
	0,992546
	0,121869
	8,144346
	39
	0,62932
	0,777146
	0,809784
	 
	84
	0,994522
	0,104528
	9,514364
	40
	0,642788
	0,766044
	0,8391
	 
	85
	0,996195
	0,087156
	11,43005
	41
	0,656059
	0,75471
	0,869287
	 
	86
	0,997564
	0,069756
	14,30067
	42
	0,669131
	0,743145
	0,900404
	 
	87
	0,99863
	0,052336
	19,08114
	43
	0,681998
	0,731354
	0,932515
	 
	88
	0,999391
	0,034899
	28,63625
	44
	0,694658
	0,71934
	0,965689
	 
	89
	0,999848
	0,017452
	57,28996
	45
	0,707107
	0,707107
	1
	 
	90
	1
	 
	 
Saiba também: Secante, cossecante e cotangente
Exercícios resolvidos
Questão 1 -  Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.
Solução:Veja no triângulo que o ângulo dado foi de 30°. Observando ainda o triângulo, temos que o lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Assim, devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:
sen 30° =   Cateto oposto 
                    Hipotenusa    
cos 30° =   Cateto adjacente 
                      Hipotenusa      
Determinado o valor de x:
sen 30° =  Cateto oposto 
                            Hipotenusa           
sen 30° =  x
                  2
Olhando na tabela, temos que:
sen 30° = 1
                 2
Substituindo na equação, teremos:
1 = x
2    2
x = 1
De modo análogo, consideraremos
Assim: 
Cos 30° = √3 
                  2
cos 30° =   Cateto adjacente 
                       Hipotenusa 
cos 30° = Y
                     2     
√3 = Y
 2     2
y = √3
Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?
Solução:
Visualizando o triângulo maior, observe que y é oposto ao ângulo de 30° e que 40 é a hipotenusa, ou seja, podemos usar a razão trigonométrica seno.
sen 30° = Y
               40
    1   =  Y
     2      40
    2 y = 40
     y = 20
Olhando agora para o triângulo menor, veja que temos o valor do cateto oposto e buscamos o valor de x, que é o cateto adjacente. A relação trigonométrica que envolve esses dois catetos é a tangente. Assim:
tg 60°  = 20
               x
√3= 20
       x
√3 x = 20
x = 20  ·  √3
     √3     √3
x = 20√3
       3 
 
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
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Em trigonometria, o seno, cosseno ou tangente da soma (ou subtração) de dois arcos não pode ser feita com as mesmas regras dos números reais. Observe, por exemplo, o seno da adição entre dois ângulos de 30°:
Sen(30° + 30°) = sen60° = √3
                                       2
Agora, se tentarmos fazer a soma separadamente, encontraremos o seguinte resultado:
Sen(30° + 30°) = sen30° + sen30° = 1 + 1 = 1
                                                2    2
Cada uma das somas tem um resultado, mas apenas uma está correta e é a primeira, em que sen(30° + 30°) = sen60°. Para garantir a forma correta e possibilitar outros cálculos dentro da trigonometria, existem as fórmulas de adição de arcos.
Os valores dos senos, cosseno e tangentesdos ângulos em questão podem ser obtidos na tabela de valores trigonométricos a seguir:
Caso os ângulos não sejam esses, uma tabela completa com as razões trigonométricas pode ser encontrada clicando aqui.
Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois arcos
Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu senoda soma é dado pela seguinte expressão:
sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa
Já o seno da diferença desses dois arcos é dado pela seguinte expressão:
sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa
Exemplo:
sen75° = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + sen30°·cos45°
sen75° = √2·√3 + 1·√2
               2   2     2  2 
sen75° = √(2·3) + √2
                2        2
sen75° = √6 + √2
             2
Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois arcos
Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu cosseno da soma é dado pela seguinte expressão:
cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb
Já o cosseno da diferença desses dois arcos é dado pela expressão:
cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb
Exemplo:
Cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30°
Cos15° = √2·√3 + √2·1
                2   2      2  2
Cos15° = √2√3 + √2
                2        2
Cos15° = √(2·3) + √2
                 2        2
Cos15° = √6 + √2
               2
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Dados dois arcos, a e b, sua tangente dasoma é dada pela fórmula a seguir:
tg(a + b) = tga + tgb 
                1 – tga·tgb
A tangente da diferença desses dois arcos é dada pela seguinte expressão:
tg(a – b) = tga – tgb 
               1 + tga·tgb
As fórmulas de adição são usadas em operações entre razões trigonométricas
Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
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