Lista de Exercícios 1 - GABARITO (2020_2)

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Engenharia 
Acionamentos Elétricos 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
1. Para os bipolos abaixo, preencha os valores dos potenciais elétricos nos pontos 
indicados (lembre-se que a ddp – diferença de potencial está indicada pela seta curva). 
Para o bipolo resistivo, calcule ainda a corrente elétrica que o atravessa. 
 
 
 
 
A partir dos dados de tensão fornecidos, é possível saber ou calcular a corrente elétrica 
nos demais bipolos? Por quê? 
 
Com as informações disponíveis da ddp entre os terminais do resistor e de sua resistência, aplicamos a lei de Ohm e 
conseguimos calcular a corrente. No caso, a corrente de 0,1 𝐴. Também nos é informado que a corrente fornecida pela 
fonte de corrente é de 1𝐴. 
Não há informação para calcular a corrente nos demais bipolos porque eles não são ôhmicos, ou seja, não têm resistência 
elétrica constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Acionamentos Elétricos 
 
 
 
2. Para o circuito abaixo, esboce os gráficos indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Descreva, com suas palavras, as duas leis de Kirchhoff. 
 
Lei de Kirchhoff das correntes: a soma das correntes que entram e saem de um nó é nula. Essa lei está relacionada com 
o fato de não haver acúmulo ou perda de carga elétrica em um nó do circuito. Tudo que entra, sai. 
Lei de Kirchhoff das malhas: a soma das ddps em uma malha fechada é nula. Essa lei está relacionada ao princípio de 
conservação da energia, pois, como ddp é energia potencial disponível por carga, a soma das das energias geradas e 
consumidas deve ser nula. Tudo que é gerado, é consumido! 
 
 
 
 
 
 
i 
𝑉 
𝑖 
𝑅 
𝑉 ⋅ 𝑖 
𝑖 
𝑉 ⋅ 𝑖 
Corrente 𝑖 em função da 
tensão 𝑉 
Suponha 𝑅 constante 
Produto 𝑉 ⋅ 𝑖 em função da 
resistência 𝑅 
Suponha 𝑉 constante 
Produto 𝑉 ⋅ 𝑖 em função da 
corrente 𝑖 
Suponha 𝑅 constante 
𝑖 =
1
𝑅
⋅ 𝑉 
𝑡𝑔(𝛼) =
1
𝑅
 
𝑃 = 𝑉 ⋅ 𝑖 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
=
1
𝑅
⋅ 𝑉2 
𝑉2: valor constante 
𝑃 = 𝑉 ⋅ 𝑖 
𝑃 = 𝑅 ⋅ 𝑖2 
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4. Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
 
 
 
5. Para o circuito abaixo, preencha os valores dos potenciais elétricos nos pontos 
indicados (A, B, C, D, E) e determine a queda de tensão 𝑉𝑍 sobre o diodo zener. 
Determine também a corrente 𝑖𝑋 que atravessa o resistor 𝑅2 
 
 
6. Resolva o circuito abaixo, calculando todas as diferenças de potencial e correntes nos 
resistores. Para isso, utilize a notação matricial e resolva o sistema utilizando as 
funções numpy.dot() e linalg.inv() do Python. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
Req Ω 
𝑖1 𝑖3 
𝑖2 𝑖4 
2 𝐴 𝐴 𝐵 
𝑈 𝑀1 
𝑀2 𝑀3 
Lei de Kirchhoff das correntes: 
Nó A: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
Nó B: 𝑖3 − 𝑖4 + 2 = 0 
 
Lei de Kirchhoff das malhas: 
M1: 10 − 5𝑖1 − 2𝑖2 = 0 
M2: 2𝑖2 − 3𝑖4 = 0 
M3: 3𝑖4 − 𝑈 = 0 
 
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Colocando as equações na forma matricial: 
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0 0
0 0 1 −1 0
−5 −2 0 0 0
0 2 0 −3 0
0 0 0 3 −1]
 
 
 
 
⋅
[
 
 
 
 
𝑖1
𝑖2
𝑖3
𝑖4
𝑈]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
0
−2
−10
0
0 ]
 
 
 
 
 
Código em Python 
>>> A=[[1,-1,-1,0,0],[0,0,1,-1,0],[-5,-2,0,0,0],[0,2,0,-3,0],[0,0,0,3,-1]] 
>>> b=[[0],[-2],[-10],[0],[0]] 
>>> import numpy as np 
>>> from scipy import linalg 
>>> x=np.dot(linalg.inv(A),b) 
>>> print(x) 
array([[ 1.22580645], 
 [ 1.93548387], 
 [-0.70967742], 
 [ 1.29032258], 
 [ 3.87096774]]) 
 
Respostas: 
𝑖1 = 1,2258𝐴 
𝑖2 = 1,9355𝐴 
𝑖3 = −0,7097𝐴 
𝑖4 = 1,2903𝐴 
𝑈 = 3,871𝑉 
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7. O circuito abaixo foi usado como um detector rudimentar de bateria fraca. Quando a 
fonte (a bateria) tem exatamente 9V, os dois LEDs acendem, indicando que há carga 
suficiente. No seu primeiro dia de trabalho, foi pedido a você que analisasse esse 
circuito e verificasse quais os valores das correntes e tensões em todos os elementos 
desse circuito. Você, então, lembrando das aulas de Acionamentos Elétricos do Insper, 
percebe que deve fazer um programa em Python para encontrar os valores das 
correntes 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3. Para esse problema, considere os itens a seguir. 
 
 
a) Usando equacionamento matricial, e considerando que a tensão nos LEDs, quando 
acessos, é igual a 2𝑉, escreva a equação do circuito no formato [𝐴] ∙ [𝑥] = [𝑏], sendo 
[𝑥] a matriz de incógnitas. 
 
 
 
 
 
b) Supondo que você usou o Python para calcular o sistema de equações do item a, 
e que o resultado tenha sido [𝑥] = [0,04; 0,03; 0,01] . Qual a potência elétrica 
consumida no circuito? 
 
 
 
c) Se invertêssemos o sentido de ligação do diodo da direita, qual seria a tensão no 
ponto 𝑧? 
 
 
𝑖1 
𝑖2 
𝑖3 z 
𝑀1 𝑀2 
Lei de Kirchhoff das correntes: 
Nó z: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
 
Lei de Kirchhoff das malhas: 
M1: 9 − 100𝑖1 − 2 − 100𝑖2 = 0 
M2: 100𝑖2 − 2 − 100𝑖3 = 0 
 
 
 
Colocando as equações na forma matricial: 
[−
1 −1 −1
100 −100 0
0 100 −100
] ⋅ [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
−7
2
] 
 
Tudo que é consumido no circuito pelos três resistores e pelos dois LEDs tem que ser gerado pela fonte, pois 
ela é a única fonte de energia no sistema. 
Assim, a potência fornecida pela fonte é: 
𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 𝑈𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 ⋅ 𝑖1 = 9 ⋅ 0,04 = 0,36 𝑊 
Nesse caso, 𝑖3 seria zero, pois o diodo passa a 
funcionar como uma chave aberta. Da mesma 
forma, 𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖, pois o que entra no nó z, deve 
sair. 
Retomando a equação da malha 1: 
M1: 9 − 100𝑖 − 2 − 100𝑖 = 0, portanto 𝑖 = 0,035𝐴 
 tensão no ponto z é gual à ddp no res stor de Ω no 
meio do circuito. A ddp nesse resistor é: 
𝑈100Ω = 100 ⋅ 0,035 = 3,5𝑉 
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8. Você está participando da construção de um Drone que precisa de um motor AC 
comandado por um Driver eletrônico para acionar uma das hélices. Ao medir a tensão 
gerada pelo Driver no Analog Discovery, você encontra a forma ilustrada na figura 
abaixo, que é senoidal e tem 12𝑉 de pico. O motor AC tem uma resistência 
equivalente (ou seja, ele pode ser representado por uma resistência) de 10Ω . 
Considere os itens a seguir. 
 
 
 
a) Qual a potência média consumida pelo motor AC? 
 
 
 
 
 
 
b) Se a bateria que alimenta o sistema tem uma energia acumulada de 3,6 𝑊ℎ, 
quanto tempo ela poderá sustentar o motor funcionando? 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝑝 = 12𝑉 
𝑉𝑝 = −12𝑉 
Para calcular a potência média consumida, precisamos saber o valor eficaz da tensão: 
𝑉𝑒𝑓 =
𝑉𝑝
√2
=
12
√2
= 8,49𝑉 
𝑃𝑀𝐸𝐷 =
𝑉𝑒𝑓
2
𝑅𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
=
8,492
10
= 7,2𝑊 
Sabemos que 𝑃𝑀𝐸𝐷 =
Δ𝐸
Δ𝑡
 
Então, 
7,2𝑊 =
3,6𝑊ℎ
Δ𝑡
 , assim: Δ𝑡 = 0,5ℎ 
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9. O circuito abaixo, que conta com uma fonte DC de 10V, possui um elemento 
desconhecido. Com o intuito de determinar o que seria tal componente, um estudante 
realizou algumas medições. 
 
A primeira medição foi realizada utilizando-se um amperímetro. Mediu-se a corrente no 
resistor de 3Ω e a medida acusou um valor constante de 3A, conforme mostra a figura. 
O elemento desconhecido pode ser uma fonte de tensão contínua? Justifique. Em caso 
afirmativo, qual a tensão dessa fonte? 
 
 
 
3A 
𝑀1 
𝑖1 
𝑖2 
𝑈 
Sim, poderia ser uma fonte de tensão maior que 10V, 
dado o sentido da corrente. Vamos supor que seja uma 
fonte: 
Lei de Kirchhoff das correntes: 
Nó z: 𝑖1 − 𝑖2 + 3 = 0 
 
Lei de Kirchhoff das malhas: 
M1: 10 − 5𝑖1 − 2𝑖2 = 0 
M2: 2𝑖2 + 3 ⋅ 3 − 𝑈 = 0 
 
 
As primeiras duas equações têmduas variáveis, então 
podemos resolver por substituição. 
Da primeira equação: 𝑖1 = 𝑖2 − 3; substituindo na 
segunda: 
10 − 5(𝑖2 − 3) − 2𝑖2 = 0 → 𝑖2 = 3,57𝐴 
Substituindo 𝑖2 na terceira equação: 
2(3,57) + 9 − 𝑈 = 0 → 𝑈 = 16,14𝑉 
 
𝑀2 
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10.Considere o circuito abaixo. Foi medida em laboratório a corrente no emissor do 
transistor, cujo valor é 𝑖𝑒 = 25𝑚𝐴. Também foi medida a tensão entre base e emissor 
do transistor, cujo valor é 𝑉𝑏𝑒 = 0,8𝑉. Considere as perguntas a seguir. 
 
 
 
a) Qual a potência elétrica fornecida pela fonte DC de 12V? 
 
 
 
 
 
b) Sabendo que a corrente no emissor do transistor é igual à soma das correntes do 
coletor e da base do transistor, qual a corrente no LED? 
 
A primeira lei de Kirchhoff vale para qualquer nó. 
 
 
 
 
𝑖𝑒 𝑉𝑏𝑒 
0,025 A 
10 V 10 V 
0,8 V 
12 V 
𝑼 
0,012A 
0,025 A 
0,025 A 
10 V 400 Ω 
 
0,025A 
LK das Malhas 
12 − 𝑈 − 0,8 − 10 = 0 
𝑈 = 1,2𝑉 
Corrente no R de 100 Ω: 
𝑖 =
𝑈
𝑅
= 0,012𝐴 
Sabemos que a corrente 𝑖𝑒 é a mesma que circula pela fonte. Assim, a potência da fonte seria: 
𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 𝑈𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 ⋅ 𝑖𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 12 ⋅ 0,025 = 𝟎,𝟑𝑾 
ic 
0,025 A 
0,012 A 
ic 
0,025 A 
0,012 A 
LK das correntes: 
𝑖𝑐 + 0,012 − 0,025 = 0 
𝒊𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝑨 
Essa é a corrente que circula pelo 
LED. 
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11.Dado o circuito abaixo: 
12. 
a) Aplique as leis de Kirchhoff e obtenha um sistema de equações algébricas possível 
e determinado, envolvendo as correntes em todos os trechos, incluindo o da fonte. 
Você não precisa resolver esse sistema. 
 
 
 
 
 
 
b) O circuito dado também é conhecido como “ponte de Wheatstone”. Dizemos que 
este circuito está em equilíbrio quando a corrente no resistor R5 é nula e, como 
você deve se recordar de Instrumentação e Medição, há uma relação necessária 
e suficiente entre os resistores 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3 e 𝑅4 que garante o equilíbrio da ponte. 
Considere que esta ponte esteja em equilíbrio e utilize suas equações algébricas 
do item anterior para encontrar tal relação entre os resistores. 
𝑖1 𝑖2 
𝑖3 
𝑖4 𝑖5 
𝑖6 
𝑀1 
𝑀2 
𝑀3 
LKC nos nós: 
a: 𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0 
b: 𝑖2 − 𝑖4 − 𝑖5 = 0 
c: 𝑖3 + 𝑖4 − 𝑖6 = 0 
 
LKM: 
M1: 12 − 5𝑖3 − 10𝑖6 = 0 
M2: 5𝑖3 − 20𝑖2 − 100𝑖4 = 0 
M3: 10𝑖6 + 100𝑖4 − 𝑅3𝑖5 = 0 
 
 
 
Colocando as equações na forma matricial: 
[
 
 
 
 
 
1 −1 −1 0 0 0
0 1 0 −1 −1 0
0 0 1 1 0 −1
0 0 −5 0 0 −10
0 −20 5 −100 0 0
0 0 0 100 𝑅3 10 ]
 
 
 
 
 
⋅
[
 
 
 
 
 
𝑖1
𝑖2
𝑖3
𝑖4
𝑖5
𝑖6]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
0
0
0
−12
0
0 ]
 
 
 
 
 
 
 
Se o circuito está em 
equilíbrio, 𝑖4 = 0. 
Então: 
M2: 𝑅2𝑖3 − 𝑅1𝑖2 = 0 
M3: 𝑅4𝑖6 − 𝑅3𝑖5 = 0 
b: 𝑖2 = 𝑖5 
c: 𝑖3 = 𝑖6 
 
M2: 𝑅2𝑖3 − 𝑅1𝑖2 = 0 
M3: 𝑅4𝑖3 − 𝑅3𝑖2 = 0 
Isolando 𝑖3 nas duas equações 
encontramos nossa já conhecida relação: 
𝑖3 =
𝑅1
𝑅2
=
𝑅3
𝑅4
 
𝑹𝟏
𝑹𝟐
=
𝑹𝟑
𝑹𝟒
 
 
 
Utilizando os valores fornecidos 
20
5
=
𝑅3
10
 
𝑅3 =
200
5
= 40 Ω