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# Limites e Derivação de Séries de Funções

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Limites e Derivação de Séries de Funções
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matemática-ICEx
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd

\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd	\ufffd\ufffd\ufb00\ufffd\ufffd\ufffd\ufb01
12 de julho de 2010
Teorema 1. Sejam u1, u2 . . . : [a, b] \u2192 R diferenciáveis. Seja u : [a, b] \u2192 R definida por
u(x) =
\u221e
\u2211
n=0
un(x).
Se \u2223\u2223\u2223\u2223dundx (x)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 an, n = 1, 2, . . .
para x \u2208 [a, b] e
\u221e
\u2211
n=0
an < \u221e,
então
du
dx
(x) =
\u221e
\u2211
n=1
dun
dx
(x),
para x \u2208 [a, b].
1
Demonstração. Seja e > 0. Sejam
g(x) =
\u221e
\u2211
n=1
dun
dx
(x).
SN(x) =
N
\u2211
n=1
un(x)
qN(x, h) =
SN(x)\u2212 SN(x + h)
h
q(x, h) =
u(x)\u2212 u(x + h)
h
.
Existe N0 \u2208 N tal que M, N > N0 implica
N
\u2211
n=M
an <
e
3
. Então
|S\u2032N(x)\u2212 S
\u2032
M(x)| =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
N
\u2211
n=M
dun
dx
(x)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264
N
\u2211
n=M
\u2223\u2223\u2223\u2223dundx (x)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264
N
\u2211
n=M
an <
e
3
, (1)
para todo x \u2208 [a, b]. Deixando N fixo e passando ao limite quando M tende a infinito
obtemos
|S\u2032N(x)\u2212 g(x)| \u2264
e
3
. (2)
Sejam M, N > N0. Pelo Teorema do Valor Médio aplicado a SN(x) \u2212 SM(x) e por (1)
obtemos que existe \u3be entre x e x + h tal que
|qN(x, h)\u2212 qM(x, h)| = |S\u2032N(\u3be) \u2212 S
\u2032
M(\u3be)| <
e
3
.
Deixando N fixo e passando ao limite quando M tende a infinito obtemos
|qN(x, h)\u2212 q(x, h)| \u2264
e
3
, para todo h tal que x + h \u2208 [a, b]. (3)
Como lim
h\u21920
qN(x, h) = S\u2032N(x), existe \u3b4 > 0 tal que 0 < h < \u3b4 implica que
|qN(x, h)\u2212 S\u2032N(x)| <
e
3
(4)
De (3), (4) e (2) segue-se que
|q(x, h)\u2212 g(x)|
\u2264 |q(x, h)\u2212 qN(x, h)|+ |qN(x, h)\u2212 S\u2032N(x)|+ |S
\u2032
N(x)\u2212 g(x)|
<
e
3
+
e
3
+
e
3
2
Teorema 2. Sejam u1, u2 . . . : [a, b] \u2192 R. Seja u : [a, b] \u2192 R definida por
u(x) =
\u221e
\u2211
n=0
un(x).
Se
|un(x)| \u2264 an, n = 1, 2, . . .
para x \u2208 [a, b] e
\u221e
\u2211
n=0
an < \u221e,
então
lim
x\u2192x0
u(x) =
\u221e
\u2211
n=1
lim
x\u2192x0
un(x),
para x0 \u2208 [a, b] tal que existam limx\u2192x0
un(x).
3
Demonstração. Seja e > 0. Sejam
SN(x) =
N
\u2211
n=1
un(x)
Ln = limx\u2192x0
un(x)
S\u2dcN =
N
\u2211
n=1
Ln
Existe L =
\u221e
\u2211
n=1
Ln, pois |Ln| \u2264 an e
\u221e
\u2211
n=1
an < \u221e.
Logo existe N0 \u2208 N tal que para N > N0 temos que
|L \u2212 S\u2dcN | = |L \u2212
N
\u2211
n=1
Ln| <
e
3
. (5)
Também existe N1 \u2208 N tal que M, N > N1 implica
N
\u2211
n=M
an <
e
3
. Então
|SN(x)\u2212 SM(x)| =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
N
\u2211
n=M
un(x)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264
N
\u2211
n=M
|un(x)| \u2264
N
\u2211
n=M
an <
e
3
, (6)
para todo x \u2208 [a, b]. Deixando N fixo e passando ao limite quando M tende a infinito
obtemos
|SN(x)\u2212 u(x)| <
e
3
, para todo x \u2208 [a, b]. (7)
Seja N > max{N0, N1}. Como limx\u2192x0
SN(x) = S\u2dcN, então existe \u3b4 > 0 tal que para
|x \u2212 x0| < \u3b4,
|S\u2dcN \u2212 SN(x)| <
e
3
(8)
De (5), (8) e (6) segue-se que
|L \u2212 u(x)| \u2264 |L \u2212 S\u2dcN |+ |S\u2dcN \u2212 SN(x)|+ |SN(x)\u2212 u(x)| <
e
3
+
e
3
+
e
3
4
Exemplo 1. Vamos mostrar que a série
u(x, t) =
\u221e
\u2211
n=1
cnun(x, t) =
\u221e
\u2211
n=1
cn sen
npix
L
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t. (9)
cn =
2
L
\u222b L
0
f (x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, 3 . . . (10)
para uma função f : [0, L] \u2192 R contínua por partes, tal que a sua derivada também é
contínua por partes, satisfaz a equação do calor.
Como cada termo da série satisfaz a equação do calor, basta provarmos que pode-
mos passar as derivadas para dentro do sinal de somatório. Isto decorre da aplicação
do Teorema 1 na página 1 usando o fato de que
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202un\u2202t (x, t)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M \u3b1
2n2pi2
L2
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202un\u2202x (x, t)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M npiL e
\u2212 \u3b1
2n2pi2
L2
t1
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202
2un
\u2202x2
(x, t)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M n
2pi2
L2
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
para M = 2L
\u222b L
0 | f (x)|dx, 0 < t1 \u2264 t \u2264 t2, 0 < x1 \u2264 x \u2264 x2 < L, n = 1, 2, 3, . . . e que
\u221e
\u2211
n=1
\u3b12n2pi2
L2
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
< \u221e,
\u221e
\u2211
n=1
npi
L
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
< \u221e,
\u221e
\u2211
n=1
n2pi2
L2
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
< \u221e.
Decorre da aplicação do Teorema 2 na página 3, usando o fato de que
|cnun(x, t)| \u2264 Me
\u2212 \u3b1
2n2pi2
L2
t1
para 0 < t1 \u2264 t \u2264 t2, n = 1, 2, 3, . . . e
\u221e
\u2211
n=1
e\u2212
\u3b12n2pi2
L2
t1
< \u221e,
5
que
lim
t\u2192\u221e
u(x, t) =
\u221e
\u2211
n=1
cn
(
lim
t\u2192\u221e
un(x, t)
)
= 0, para x \u2208 [0, L].
Exemplo 2. Vamos mostrar que a série
u(x, y) =
\u221e
\u2211
n=1
cnun(x, y) =
\u221e
\u2211
n=1
cn sen
npiy
b
senh
npix
b
. (11)
cn senh
npia
b
=
2
b
\u222b b
0
k(y) sen
npiy
b
dy, n = 1, 2, 3 . . . (12)
para uma função k : [0, b] \u2192 R contínua por partes tal que a sua derivada k\u2032 também
seja contínua por partes, é solução da equação de Laplace.
Cada termo da série satisfaz a equação de Laplace. Basta provarmos que podemos
passar as derivadas para dentro do sinal de somatório. Isto decorre da aplicação do
Teorema 1 na página 1 usando o fato de que
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202un\u2202x (x, y)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M npib
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b
1\u2212 e\u2212
2pia
b
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202
2un
\u2202x2
(x, y)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M n
2pi2
b2
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b
1\u2212 e\u2212
2pia
b
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202un\u2202y (x, y)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M npib
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b
1\u2212 e\u2212
2pia
b
\u2223\u2223\u2223\u2223cn \u2202
2un
\u2202y2
(x, y)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 M n
2pi2
b2
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b
1\u2212 e\u2212
2pia
b
para M = 2b
\u222b b
0 |k(y)|dy, 0 < x1 \u2264 x \u2264 x2 < a, 0 < y1 \u2264 y \u2264 y2 < b, n = 1, 2, 3, . . . e
\u221e
\u2211
n=1
npi
b
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b < \u221e,
\u221e
\u2211
n=1
n2pi2
b2
e\u2212
npi(a\u2212x1)
b < \u221e.
6
Referências
[1] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Proble-
mas de Valores de Contorno. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro,
7a. edition, 2002.
[2] Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.
IMPA, Rio de Janeiro, 1977.
[3] Donald Kreider, Donald R. Ostberg, Robert C. Kuller, and Fred W. Perkins. Intro-
dução à Análise Linear. Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1972.
[4] Erwin Kreiszig. Matemática Superior. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio
de Janeiro, 2a. edition, 1985.
[5] Elon L. Lima. Curso de Análise. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de
Janeiro, 1976.
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