Algebra de Matrizes T5 gabarito

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UERJ 2020.2 5o TESTE DE ÁLGEBRA DE MATRIZES E CÁLCULO VETORIAL 08/04/21 
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Resolva as questões abaixo e envie a solução para o email prof.ricardo.camelier@gmail.com até às 19h30. 
Justifique suas respostas. 
 
1ª QUESTÃO (0,5 ponto) 
Considere os vetores abaixo: 
a

b
 c

x
y
0 1 2 4-1
1
2
 
Com respeito ao vetor �⃗� = 2�⃗� + 3�⃗� + 4𝑐: 
a) Determine as componentes de �⃗�. 
b) Determine o comprimento de �⃗�. 
c) Determine a projeção ortogonal de �⃗� na direção do vetor �⃗� = (3, 1). 
d) Determine um vetor unitário ortogonal a �⃗�. 
 
Solução: 
 
a) �⃗� = 2�⃗� + 3�⃗� + 4𝑐 = 2(1, 0) + 3(0, −2) + 4(2, 0) = (2, 0) + (0, −6) + (8, 0) = (10, −6) 
 
b) �⃗� = (10, −6) ⇒ �⃗� = 10 + (−6) = √136 = 2√34 
 
c) 𝑃 =
∙ ⃗⃗
⃗∙ ⃗
�⃗� =
∙ ∙
(3, 1) = (3, 1) = (3, 1) = , 
 
d) 𝑅 =
⃗
�⃗� =
√
(10, −6) =
√
,
√
 ⇒ 𝑈 = 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 90° =
√
,
√
 
 
 𝑈 ⊥ �⃗�, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑈 ∙ �⃗� =
√
,
√
∙ (10, −6) =
√
∙ 10 +
√
∙ (−6) =
√
−
√
= 0 
 
 
2ª QUESTÃO (0,5 ponto) 
Dois vetores 𝐴 𝑒 𝐵 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ satisfazem 𝐴 ∙ 𝐵 = 1, 𝐴 = 2 𝑒 𝐵 = 3. Calcule o valor de 𝑡 ∈ ℝ tal que 2𝐴 + 𝐵 e 𝐴 + 𝑡𝐵 
sejam vetores ortogonais. 
 
Solução: 
 
 𝐴 = 2 ⇒ 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 = 2 = 4 
 
 𝐵 = 3 ⇒ 𝐵 ∙ 𝐵 = 𝐵 = 3 = 9 
 
 2𝐴 + 𝐵 ⊥ 𝐴 + 𝑡𝐵 ⇒ 2𝐴 + 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝑡𝐵 = 0 ⇒ 2𝐴 ∙ 𝐴 + 𝑡𝐵 ∙ 𝐵 + (2𝑡 + 1)𝐴 ∙ 𝐵 = 0 ⇒ 
 
 ⇒ 2 ∙ 4 + 𝑡 ∙ 9 + (2𝑡 + 1) ∙ 1 = 0 ⇒ 11𝑡 + 9 = 0 ⇒ 𝑡 = −