Exercício de Álgebra Linear - Matrizes (Com Gabarito)

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Primeira lista de exercícios de Álgebra linear 
1. Considerando as matrizes A, B e C a seguir efetue as operações 
indicadas: 
� = �
2 3
− 5 9
� , � = �
4 − 5
3 1
� � � = �
6 2
7 − 8
� 
a) A+B � + � = �
6 − 2
− 2 10
� 
b) A+C � + � = �
8 5
2 1
� 
c) C-A � − � = �
4 − 1
12 − 17
� 
d) -2A − 2 � = �
4 6
− 10 18
� 
e) 6B 6� = �
24 − 30
18 6
� 
f) -3C − 3 � = �
− 18 − 6
− 21 24
� 
2. Para as matrizes relacionadas a seguir calcule: 
� = �
1 − 2
3 1
7
5
− 4
9
� , � = �
1 3 − 5 7
6 2 − 8 3
� � � = �
1 7 3 − 8
− 3 − 1 − 1 − 3
4
5
1
3
9
2
0
− 3
� 
a) AB �� = �
− 11 − 1 11 1
9 11 − 23 24
− 17
5 9
13
3 3
− 3
− 9 7
37
62
� 
b) BA �� = �
10 84
− 29 49
� 
c) BC �� = �
7 20 − 31 − 38
− 17 41 − 50 − 63
� 
d) CA �� = �
3 − 79
− 28 − 18
70
13
− 43
− 42
� 
e) (AB)C (��)� = �
41 − 62 69 88
4 101 − 143 − 177
117
− 118
− 24
469
− 17
− 605
− 14
− 757
� 
f) A(BC) Idem “e”. 
g) Determinar a matriz transposta de A �� = �
1 3 7 5
− 2 1 − 4 9
� 
h) Determinar a matriz transposta de B �� = �
1 6
3 2
− 5
7
− 8
3
� 
i) Calcular a matriz transposta da letra a ��� = �
− 11 9 − 17 59
− 1 11 13 33
11
1
− 2 3
24
− 3
3 7
− 9 7
62
� 
3. Calcular o determinante das matrizes a seguir: 
� = �
10 25
2 5
� , � = �
2 − 4 6
5 − 9 8
7 − 2 1
� , � = �
1 − 3 1
− 2 − 3 − 1
− 1 2 − 1
�, 
 � = �
��� � − cos �
���� cos � � , � = �
log � log �
1
2
1
4
� 
� = �
2 4 1 0
6 − 2 5 7
− 1
0
7
3
2
− 1
4
− 10
� , � = �
1 − 1 0 0
0 2 − 2 1
3
4
3
5
4
7
1
6
�, 
Det(A)=0; det(B)=128; det(C)=1; det(D)= sen(x+y); det(E)=log �
√�
�
√�
� 
;Det(G)=765; DetH=94. 
4. Calcule o determinante das matrizes G e H usando a Regra da Chió. 
Idem G e H da questão 3. 
5. Determinar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. 
a) � = �
2 7
3 11
� ��� = �
11 − 7
− 3 2
� 
 
b) � = �
9 7
5 4
� ��� = �
4 − 7
− 5 9
� 
 
c) � = �
− 4 − 2
− 6 − 8
� ��� = �
− 0,4 0,1
0,3 − 0,2
� 
 
d) � = �
− 3 4 − 5
0 1 2
3 − 5 4
� ��� = �
− 4,67 − 3 − 4,33
− 2 − 1 − 2
1 1 1
� 
 
e) � = �
− 1 − 2 − 3
− 2 − 4 − 5
− 3 − 5 − 6
� ��� = �
− 1 3 − 2
3 − 3 1
− 2 1 0
� 
 
f) � = �
cos � − ��� �
��� � cos �
� ��� = �
cos � ��� �
− ��� � cos �
� 
 
6. Encontre as matrizes inversas das letras b e d da questão anterior pela 
matriz adjunta. 
Idem b e d questão 5. 
7. Calcule as matrizes inversas das mesmas matrizes da questão anterior 
usando matrizes elementares. 
Idem questão 5. 
8. Resolva a mesma questão anterior com sistemas de equações. 
Idem questão 5. 
9. Verificar se cada uma das matrizes da questão 5 são ortogonais. 
As matrizes A,B,C,D e E não são ortogonais. Apenas a matriz F é 
ortogonal pois: 
��� = �
cos � ��� �
− ��� � cos �
� e �� = �
cos � ��� �
− ��� � cos �
� 
10. Escrever na forma matricial os seguintes sistemas: 
a) �
� − � + � = 2
− � + 2 � + 2 � = 5
5 � − � + 5 � = 1
� 
�
1 − 1 1
− 1 2 2
5 − 1 5
� �
�
�
�
� = �
2
5
1
� 
b) �
�� + �� + �� = �
− � + �� = �
��� − ��� + �� = �
� 
�
� � �
0 � 0
�� − �� �
� �
�
�
�
� = �
�
� + �
�
� 
c) �
2 � − 3 � = 7
− � + 4� = 1
2 � − � = 2
� 
�
2 − 3
− 1 4
2 − 1
� �
�
�� = �
7
1
2
� 
 
d) �
� + � − � = 3 − �
− � − � − 2 � = 1 − 3 �
5 � + 3 � = 7 + �
� 
�
1 1 − 1 1
− 1 − 1 − 2 3
5 0 3 − 1
� �
�
�
�
�
� = �
3
1
7
� 
 
e) �
3 � − 5 � + 4� − � = 8
2 � + � − 2 � = − 3
− � − 2 � + � − 3 � = 1
− 5 � − � + 6� = 4
� 
�
3 − 5 4 − 1
2 1 − 2 0
− 1
− 5
− 2
− 1
1
0
− 3
6
� �
�
�
�
�
� = �
8
− 3
1
4
� 
 
11. Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais? 
a) �
2 4 9
− 1 0 − 1
3 7 3
� �
�
�
�
� = �
0
0
0
� 
�
2 � + 4� + 9 � = 0
− � − � = 0
3 � + 7� + 3 � = 0
� 
 
b) �
5 2 − 1 3
− 1 5 − 2 1
� �
�
�
�
�
� = �
− 2
3
� 
�
5 � + 2 � − � + 3 � = − 2
− � + 5 � − 2 � + � = 3
� 
 
12. Verificar se (0,-3,-4) é solução do sistema 
�
� + � − � = 1
2 � − � + � = − 1
� + 2 � + � = 2
� 
Não é solução 
13. Verificar se (1,0,-2,1) é solução do sistema 
�
5 � + 3 � − 2 � − 4� = 5
2 � − 4� + 3 � − 5 � = − 9
− � + 2 � − 5 � + 3 � = 12
� 
É solução 
14. Escalonar, classificar e resolver os sistemas a seguir: 
a) �
− � − 4� = 0
3 � + 2 � = 5
� (2,-1/2) 
b) �
2 � − � = 2
− � + 3 � = − 3
� (3/5,-4/5) 
c) �
3 � − � + � = 1
2 � + 3 � = − 1
4� + � − 2 � = 7
� (1,1,-1) 
d) �
– � + � − � = 5
� + 2 � + 4� = 4
3 � + � − 2 � = − 3
� (-2,3,0) 
e) �
� + � + � + � = 1
2 � − � + � = 2
− � + � − � − � = 0
2 � + 2 � + � = − 1
� (4,1/2,-11/2,2) 
f) �
� + � + � + � = 1
− � + 2 � + � = 2
2 � − � − � − � = − 1
� − 3 � + � + 2 � = 0
� (0,0,2,-1) 
g) �
– � + 3 � − � = 1
2 � + � = 2
5 � = 10
�(-3,0,2) 
h) �
� + 4� − � = 2
� + � = 3
�(5z-10,3-z,z) 
15. Resolver os sistemas de equações lineares da questão anterior pelo 
Teorema de Cramer. 
Idem questão 14. 
16. Resolva os sistemas de equações lineares da questão 14 pela matriz 
aumentada. 
Idem questão 14. 
17. Resolva a questão 14 pelo Teorema de Rouché-Capelli, encontrando a 
característica das matrizes envolvidas. 
Idem questão 14. 
18. Resolvas as letras a, d e g da questão 14 pelo método da matriz inversa. 
Idem questão 14.