Algebra de Matrizes 10 gabarito

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UERJ 2020.2 10o TESTE DE ÁLGEBRA DE MATRIZES E CÁLCULO VETORIAL 20/05/21 
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Resolva as questões abaixo e envie a solução para o email prof.ricardo.camelier@gmail.com até às 19h00. 
Justifique suas respostas. 
 
1ª QUESTÃO (1,0 ponto) 
Um consumidor pretende gastar R$900,00 na compra de dois produtos, o primeiro dos quais, denominado modelo A, custa R$3,00 a 
unidade e o segundo, denominado modelo B, custa R$5,00 a unidade. A medida de utilidade para o consumidor de x unidades do modelo 
A e y unidades do modelo B é dada por 𝑈(𝑥, 𝑦) = 100𝑥 , 𝑦 , . 
a) Estabeleça uma equação em x e y que descreve o gasto total com os dois produtos. 
b) Calcule o valor da utilidade quando são gastos valores iguais na compra de cada produto, com precisão de duas casas decimais. 
c) Use o método do multiplicador de Lagrange para determinar o número de unidades e o valor gasto na compra com cada produto de 
modo que a medida de utilidade seja maximizada. Calcule o valor máximo da utilidade, com precisão de duas casas decimais. 
d) Calcule o aumento percentual da utilidade quando se passa do valor da utilidade para gastos iguais com os dois produtos para o 
valor máximo da utilidade, com precisão de duas casas decimais. 
 
Solução: 
 
a) 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐴 = 3𝑥 ; 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐵 = 5𝑦 ; 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠: 3𝑥 + 5𝑦 = 900 
 
b) 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅$450 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐴: 3𝑥 = 450 ⇒ 𝑥 = = 150 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐴 
 
 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅$450 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐵: 5𝑦 = 450 ⇒ 𝑦 = = 90 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝐵 
 
 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟: 𝑈(150, 90) = 100 ∙ 150 , ∙ 90 , ≈ 12.227,90 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
c) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜: 3𝑥 + 5𝑦 = 900 ⇒ 𝑔(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 5𝑦 
 
 Derivadas parciais de 1ª ordem: 
 
 𝑈 (𝑥, 𝑦) = (100𝑥 , 𝑦 , ) = 100 ∙ (0,6 𝑥 , ) ∙ 𝑦 , = 60𝑥 , 𝑦 , 
 
 𝑈 (𝑥, 𝑦) = (100𝑥 , 𝑦 , ) = 100𝑥 , ∙ (0,4 𝑦 , ) = 40𝑥 , 𝑦 , 
 
 𝑔(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 5𝑦 ⇒ 𝑔 = 3 ; 𝑔 = 5 
 
 Condição do multiplicador de Lagrange: 
 
 
𝑈 = 𝜆 ∙ 𝑔
𝑈 = 𝜆 ∙ 𝑔
𝑔(𝑥, 𝑦) = 900
 ⇒ 
60𝑥 , 𝑦 , = 𝜆 ∙ 3
40𝑥 , 𝑦 , = 𝜆 ∙ 5
3𝑥 + 5𝑦 = 900
 ⇒ 
20𝑥 , 𝑦 , = 𝜆
8𝑥 , 𝑦 , = 𝜆
3𝑥 + 5𝑦 = 900
 ⇒ 
20𝑥 , 𝑦 , = 8𝑥 , 𝑦 ,
3𝑥 + 5𝑦 = 900 
 ⇒ 
 
 ⇒ 
,
, = ∙
,
,
3𝑥 + 5𝑦 = 900 
 ⇒ 
𝑦 = 𝑥
3𝑥 + 5𝑦 = 900
 ⇒ 3𝑥 + 5 ∙ 𝑥 = 900 ⇒ 5𝑥 = 900 ⇒ 𝑥 = = 180 ; 
 
 𝑦 = ∙ 180 = 72 ⇒ (𝑥, 𝑦) = (180, 72) é 𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ⇒ 
 
 ⇒ 𝑥 = 180 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐴 𝑒 𝑦 = 72 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐵 
 
 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠: 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝐴 = 3𝑥 = 3 ∙ 180 = 540,00 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝐵 = 5𝑦 = 5 ∙ 72 = 360,00 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎: 𝑈 á = 𝑈(180, 72) = 100 ∙ (180)
, ∙ (72) , ≈ 12.476,61 𝑢. 𝑢. 
 
d) 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙: ∆% = á − 1 ∙ 100% =
. ,
. ,
− 1 ∙ 100% ≈ 2,03%