AVALIAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM ARRANJO TRIANGULAR DE CORPOS ROMBUDOS EM ESCOAMENTOS COM CONVECÇÃO TÉRMICA MISTA EM REGIME TURBULENTO USANDO DESIGN CONSTRUTAL

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM ARRANJO TRIANGULAR DE CORPOS 
ROMBUDOS EM ESCOAMENTOS COM CONVECÇÃO TÉRMICA MISTA EM 
REGIME TURBULENTO USANDO DESIGN CONSTRUTAL 
 
 
por 
 
 
Filipe Branco Teixeira 
 
 
 
 
 
Tese para obtenção do Título de 
Doutor em Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
Porto Alegre, Julho de 2021
 
 
 ii 
AVALIAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM ARRANJO TRIANGULAR DE CORPOS 
ROMBUDOS EM ESCOAMENTOS COM CONVECÇÃO TÉRMICA MISTA EM 
REGIME TURBULENTO USANDO DESIGN CONSTRUTAL 
 
por 
 
Filipe Branco Teixeira 
Mestre em Engenharia Oceânica 
 
Tese submetida ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 
PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte 
dos requisitos necessários para a obtenção do Título de 
 
Doutor em Engenharia Mecânica 
 
Área de Concentração: Fenômenos de Transporte 
 
Orientador: Prof. Dr. Luiz Alberto Oliveira Rocha 
 
Aprovada por: 
 
 Prof. Dr. Luiz Alberto Oliveira Rocha, PROMEC / UFRGS 
 
 Prof. Dr. Antônio José da Silva Neto / UERJ 
 
 Prof. Dr. Felipe Roman Centeno, PROMEC / UFRGS 
 
 Prof. Dr. Elizaldo Domingues Dos Santos, PPGEO / FURG 
 
 
Prof. Dr. Fernando Marcelo Pereira 
 Coordenador do PROMEC 
 
Porto Alegre, 08 de Julho de 2021 
 
 
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Dedico esse trabalho aos meus pais e a minha esposa Fabi 
que sempre estiveram ao meu lado, apoiando e dando o suporte 
mental, moral e financeiro, que permitiram a sua realização. 
 
 
 
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AGRADECIMENTOS 
 
 
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) 
pelo suporte financeiro para a elaboração deste trabalho. 
Também agradeço a Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) e ao 
Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica (PROMEC) por fornecer um ensino 
gratuito e de excelência. 
Agradeço ao Prof. Dr. Elizaldo Domingues dos Santos, por ter me iniciado em minha 
carreira científica ainda no mestrado como orientador, e que propiciou minha chegada ao 
Doutorado. 
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Luiz Alberto Oliveira Rocha por toda ajuda na 
elaboração deste trabalho e seu inestimável esforço em propiciar a aceleração de minha defesa 
de tese. 
Agradecimentos especiais aos meus pais e sogros que me deram todo apoio emocional 
necessário e que permitiram uma ótima execução deste trabalho. 
E por fim, mas não menos importante, agradeço a minha esposa Fabiane, meu pilar de 
sustentação principal em minha vida pessoal e profissional. – Fabi, muito obrigado por estar ao 
meu lado e fazer tudo em seu alcance para que eu tivesse meios de chegar aqui. Esse trabalho 
só foi possível porque tu fizeste ser possível. Muito obrigado. 
 
 
 
 v 
RESUMO 
 
Este trabalho consiste em uma avaliação numérica, onde é modelado um escoamento 
turbulento, transiente, incompressível e com convecção mista, de forma bidimensional, que 
incide sobre um arranjo triangular de corpos rombudos quadrados de aresta D. Os três 
obstáculos se mantêm aquecidos a uma temperatura prescrita. A geometria do arranjo é avaliada 
com o método Design Construtal. O problema possui duas restrições, a primeira dada pela soma 
das áreas de superfície transversal dos corpos rombudos e a segunda referente a área de 
ocupação máxima do arranjo, além de dois graus de liberdade: SL/D (razão da distância 
longitudinal entre corpo rombudo frontal e os posteriores) e ST/D (razão da distância transversal 
entre os corpos rombudos posteriores). O escoamento também é avaliado para três valores de 
número de Richardson (Ri = 1,0; 0.0 e -1.0). Em todas as simulações são considerados números 
de Reynolds e Prandtl iguais a ReD = 22.000 e Pr = 0,71 respectivamente. É usada a modelagem 
clássica da turbulência RANS com fechamento através do modelo SST – κ-ω. Ο objetivo do 
estudo é avaliar como a variação da geometria influencia o coeficiente de arrasto médio do 
arranjo (CD*) e o número de Nusselt médio (NuD*) entre os corpos rombudos e o escoamento 
circundante. O estudo também tem como objetivo encontrar as razões geométricas do arranjo 
que minimizem CD* (indicador de performance fluidodinâmico) e maximizem NuD* (indicador 
de performance térmico). Observou-se que o estudo da turbulência, mesmo de forma 
bidimensional, com a modelagem SST – κ-ω, é capaz de representar os fenômenos associados 
ao problema proposto de forma consistente, desde que um grande refinamento local nas regiões 
de parede dos corpos rombudos seja implementado. O estudo foi verificado mediante 
comparação com a literatura existente. A avaliação geométrica demostrou que as maiores 
variações para os indicadores de performance ocorrem quando Ri = 1,0, (redução de 74,6% para 
o CD* e aumento de 37,0% para o NuD*). Também se constatou que quando Ri = 1,0, as soluções 
para as curvas de CD* e NuD* são suavizadas devido a convecção natural estar no sentido auxiliar 
ao escoamento, pois o mecanismo afina a camada limite e reduz a queda de pressão a jusante 
do arranjo de obstáculos. O efeito em Ri = -1,0 é exatamente o oposto, ocorrendo o alargamento 
da camada limite e propiciando maior queda de pressão. A variação de Ri também levou a 
diferentes geometrias ótimas para a avaliação multiobjetivo, demostrando que a convecção 
natural tem forte influência sobre os indicadores de performance. 
 
Palavras-chave: Escoamento Turbulento; Convecção; Corpos Rombudos; Design Construtal; 
CFD. 
 
 
 vi 
ABSTRACT 
 
This work consists of a numerical evaluation, where a turbulent, transient, incompressible flow 
with mixed convection is modeled, in a two-dimensional domain, which focuses on a triangular 
arrangement of square bluff bodies of edge D. The three obstacles are kept warm to a prescribed 
temperature. The arrangement geometry is evaluated using the Constructal Design method. The 
problem has two restrictions, the first given by the sum of the transverse surface areas of the 
bluff bodies and the second referring to the maximum occupation area of the arrangement, in 
addition to two degrees of freedom: SL/D (longitudinal distance ratio between frontal bluff body 
and the posterior ones) and ST/D (ratio of the transversal distance between the posterior bluff 
bodies). The flow is also evaluated for three Richardson number values (Ri = 1,0; 0,0 and -1,0). 
In all simulations, Reynolds and Prandtl numbers are considered equal to ReD = 22.000 and Pr 
= 0,71 respectively. The problem is modeled through the classical turbulence modeling RANS 
with closure using the SST – κ-ω model. The main objective of the study is to evaluate how the 
variation in geometry influences the arrangements drag coefficient (CD*) and Nusselt number 
(NuD*) between bluff bodies and the surrounding flow. The study also aims to find the geometric 
ratios for the arrangement that minimize CD* and maximize NuD*. It was observed that the study 
of turbulence, even in a two-dimensional form, with the SST – κ-ω modeling is capable of 
representing the phenomena associated with the proposed problem in a consistent way, since a 
great local refinement in the wall regions of the bluff bodies be implemented. The study was 
verified by comparison with the existing literature. The geometric evaluation showed that the 
greatest variations for the performance indicators occur when Ri = 1.0, reaching a reduction of 
74,6% for CD* and an increase of up to 37,0% for NuD*. It was also found that when Ri = 1,0, 
the solutions for the CD* and NuD* curves are smoothed due to the natural convection being in 
the auxiliary flow direction, as the mechanism thins the boundary layer and reduces the pressure 
drop downstream of the arrangement of obstacles. The effectat Ri = -1,0 is exactly the opposite, 
with the boundary layer widening and providing a greater pressure drop. The variation of the 
Richardson number also led to different optimal geometries for the multiobjective evaluation, 
demonstrating that natural convection has a strong influence on performance indicators. 
 
Keywords: Turbulent Flow; Convection; Bluff Bodies; Constructal Design; CFD. 
 
 
 vii 
ÍNDICE 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1 
1.1 Trabalhos notáveis e estado da arte ................................................................................ 5 
1.2 Objetivos ....................................................................................................................... 18 
1.2.1 Objetivos gerais ............................................................................................................ 18 
1.2.2 Objetivos específicos .................................................................................................... 18 
1.3 Delineamento do texto .................................................................................................. 19 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................. 21 
2.1 Conceitos fundamentais dos escoamentos externos com transferência de calor .......... 21 
2.1.1 Análise Fluidodinâmica ................................................................................................ 21 
2.1.2 Análise Térmica ............................................................................................................ 24 
2.2 Abordagem da turbulência ............................................................................................ 26 
2.3 Modelagem RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) ............................................. 28 
2.4 Método dos Volumes Finitos ........................................................................................ 31 
2.4.1 Tratamento dos termos advectivos: Esquema Upwind ................................................. 31 
2.4.2 Acoplamento pressão-velocidade: Método SIMPLE-C (Semi-Implicit Method for 
Pressure-Linked Equations – Consistent) .................................................................... 32 
2.5 Grid Convergence Index (GCI) .................................................................................... 33 
2.6 Método Design Construtal ............................................................................................ 35 
3 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................. 37 
3.1 Definição do problema e metodologia .......................................................................... 37 
3.2 Equações de conservação ............................................................................................. 43 
3.3 Equações de fechamento da turbulência (SST – κ−ω) .................................................. 44 
4 SOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA ............................................................ 47 
4.1 Construção da malha ..................................................................................................... 47 
4.2 Implementação do problema no software de CFD ....................................................... 49 
4.3 Verificação do modelo computacional ......................................................................... 52 
4.3.1 Estudo do Grid Convergence Index (GCI) ................................................................... 53 
4.3.2 Resultados da verificação ............................................................................................. 55 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................ 60 
5.1 Estudo de casos para os indicadores de performance ................................................... 60 
 
 
 viii 
5.1.1 Análise do problema fluidodinâmico ............................................................................ 60 
5.1.2 Análise do problema térmico ........................................................................................ 76 
5.1.3 Análise do problema multiobjetivo .............................................................................. 86 
5.2 Análises complementares ............................................................................................. 92 
5.2.1 Razão de CD e NuD entre corpo rombudo frontal e posteriores .................................... 92 
5.2.2 Comportamento do número de Strouhal (Sr) no arranjo .............................................. 94 
5.2.3 Número de Nusselt médio em cada face ....................................................................... 96 
5.2.4 Uma breve análise à luz da Teoria Construtal .............................................................. 99 
6 CONCLUSÕES E PROPOSTA DE CONTINUIDADE ....................................... 103 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 106 
APÊNDICE A – Campos Fluidodinâmicos e Térmicos (Casos de Ri = 1,0). .................. 113 
APÊNDICE B – Campos Fluidodinâmicos e Térmicos (Casos de Ri = 0,0). ................... 119 
APÊNDICE C – Campos Fluidodinâmicos e Térmicos (Casos de Ri = -1,0). ................. 125 
APÊNDICE D – Script de Construção da Malha no Gmsh .............................................. 131 
APÊNDICE E – Algoritmo SIMPLE-C .............................................................................. 137 
 
 
 
 
 ix 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 Exemplos de sistemas de refrigeração: (a) cooler de computador; (b) radiador 
automotivo; (c) trocador de calor industrial tubular [Fonte: Google Imagens]. ... 2 
Figura 1.2 Estudo experimental de um escoamento turbulento sobre corpo rombudo 
[Adaptado de: Igarashi, 1985]. .............................................................................. 6 
Figura 1.3 Malha computacional utilizada por Wiesche [Fonte: Wiesche, 2006]. ................. 8 
Figura 1.4 Padrão de escoamento instantâneo para (a) B/H = 10% e Ri = 1; (a-1) B/H = 10% 
e Ri = -1; (b) B/H = 30% e Ri = 1; (b-1) B/H = 30% e Ri = -1; (c) B/H = 50% e 
Ri = 1 e (c-1) B/H = 50% e Ri = -1 [Adaptado de: Perng e Wu, 2007]. ................ 9 
Figura 1.5 Malha não estruturada utilizada [Adaptado de: Ranjan e Dewan, 2015]. ............ 10 
Figura 1.6 Contornos de vorticidade instantânea para diferentes razões R: (a) R = 0,62; 
(b) R = 2,0; (c) R = 3,0 e (d) R = 4,0 [Fonte: Ranjan e Dewan, 2016]. ............... 11 
Figura 1.7 Campo de temperatura próximo ao corpo rombudo [Fonte: Chen e Xia, 2017].. 12 
Figura 1.8 Domínio computacional para arranjo de quatro cilindros alinhados em forma de 
quadrado [Fonte: Lam et al., 2008]. .................................................................... 13 
Figura 1.9 Dois cilindros de diâmetros iguais em escoamento externo: (a) alinhamento 
longitudinal; (b) alinhamento transversal; e (c) alinhamento inclinado. [Fonte: 
Sumner, 2010]. .................................................................................................... 14 
Figura 1.10 Fileira de cilindros em rotação contrária. [Adaptado de: Page et al., 2013]. ...... 15 
Figura 2.1 Exemplo do comportamento do coeficiente de sustentação no tempo para um 
escoamento turbulento sobre corpo rombudo. .................................................... 23 
Figura 2.2 Exemplo do resultado da análise do espectro de um sinal de CL por FFT para 
aquisição do número de Strouhal. ....................................................................... 24 
Figura 2.3 Exemplo da determinação do campo médio de velocidades de um escoamento.
 ............................................................................................................................. 29 
Figura2.4 Malha usada para discretizar parte de um domínio computacional 
unidimensional. ................................................................................................... 32 
Figura 3.1 Domínio computacional utilizado em Ranjan e Dewan, 2015. [Adaptado de: 
Ranjan e Dewan, 2015]. ...................................................................................... 38 
Figura 3.2 Domínio computacional empregado nas simulações do presente trabalho. ........ 39 
Figura 3.3 Método Design Construtal aplicado ao problema. .............................................. 41 
Figura 3.4 Diagrama ilustrando o processo de avaliação da geometria do arranjo. ............. 43 
 
 
 x 
Figura 4.1 Refinamento de malha em cruz feita no Gmsh [Fonte: Teixeira, 2017]. ............ 48 
Figura 4.2 Malha empregada para (a) GCI e (b) validação/verificação. .............................. 49 
Figura 4.3 NuD médio para o caso de verificação. ................................................................ 51 
Figura 4.4 Verificação fluidodinâmica (velocidade média na linha de centro). ................... 56 
Figura 4.5 Verificação térmica (número de Nusselt local). .................................................. 56 
Figura 4.6 Perfil de y+ no entorno do obstáculo. .................................................................. 57 
Figura 5.1 Efeito da razão ST/D sobre CD para cada corpo rombudo e SL/D = 2,0. ............. 61 
Figura 5.2 Efeito da razão ST/D sobre CD* para várias razões de SL/D em: (a) Ri = 1,0; 
(b) Ri = 0,0 e (c) Ri = -1,0. .................................................................................. 63 
Figura 5.3 Campos médios de velocidade (corte) para casos selecionados de SL/D = 2,0. .. 65 
Figura 5.4 Caso em que a redução de CD* apresenta aumento de transferência de calor. .... 66 
Figura 5.5 Campos médios de pressão (corte) para casos selecionados de SL/D = 2,0. ....... 68 
Figura 5.6 Campos médios de velocidade (corte) para casos selecionados de ST/D = 2,5. .. 69 
Figura 5.7 Campos médios de pressão (corte) para casos selecionados de ST/D = 2,5. ....... 71 
Figura 5.8 Campos instantâneos de velocidade (corte) em t = 4,0 s para casos selecionados.
 ............................................................................................................................. 72 
Figura 5.9 Campos instantâneos de vorticidade (corte) em t = 4,0 s para casos selecionados.
 ............................................................................................................................. 73 
Figura 5.10 Campos instantâneos de pressão (corte) em t = 4,0 s para casos selecionados. .. 73 
Figura 5.11 (a) CD* uma vez minimizado (CD*,m) e (b) ST/D uma vez otimizado para o 
problema fluidodinâmico (ST/D)o,f em função de SL/D. ...................................... 75 
Figura 5.12 Efeito da razão ST/D sobre NuD para cada corpo rombudo e SL/D = 2,0............. 77 
Figura 5.13 Efeito da razão ST/D sobre NuD* para várias razões de SL/D em: (a) Ri = 1,0; 
(b) Ri = 0,0 e (c) Ri = -1,0. .................................................................................. 78 
Figura 5.14 Campos médios de temperatura (corte) para casos selecionados de SL/D = 3,5. 80 
Figura 5.15 Campos instantâneos de temperatura (corte) para casos selecionados de 
SL/D = 3,5. ........................................................................................................... 82 
Figura 5.16 (a) NuD* uma vez maximizado (NuD*,m) e (b) ST/D uma vez otimizado para o 
problema térmico (ST/D)o,t em função de SL/D. ................................................... 83 
Figura 5.17 Campos médios de temperatura, corte dos casos ótimos (objetivo térmico). ..... 85 
Figura 5.18 Campos instantâneos de temperatura, corte dos casos ótimos (térmico). ........... 86 
 
 
 xi 
Figura 5.19 CD* minimizado e normalizado versus 1/NuD* maximizado e normalizado para: 
(a) ST/D e (b) SL/D com Ri = 1,0. ........................................................................ 87 
Figura 5.20 Avaliação multiobjetivo para Ri = 0,0: (a) ST/D e (b) SL/D. ............................... 89 
Figura 5.21 Avaliação multiobjetivo para Ri = -1,0: (a) ST/D e (b) SL/D. .............................. 90 
Figura 5.22 Soluções para NuD médio em cada face dos obstáculos em casos selecionados e 
Ri = 1,0. ............................................................................................................... 97 
Figura 5.23 Soluções para NuD médio em cada face dos obstáculos em casos selecionados e 
Ri = 0,0. ............................................................................................................... 98 
Figura 5.24 Soluções para NuD médio em cada face dos obstáculos em casos selecionados e 
Ri = -1,0. .............................................................................................................. 99 
Figura 5.25 Campo de vorticidade (corte) para o caso de verificação. ................................ 100 
Figura 5.26 Exemplo da ótima distribuição das imperfeições no campo de pressão (corte) 101 
Figura A.1 Campos médios de Velocidade (corte) com Ri = 1,0. ....................................... 113 
Figura A.2 Campos instantâneos de velocidade no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 1,0. .. 114 
Figura A.3 Campos médios de pressão (corte) com Ri = 1,0. ............................................. 115 
Figura A.4 Campos instantâneos de pressão no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 1,0. ....... 116 
Figura A.5 Campos médios de temperatura (corte) com Ri = 1,0. ...................................... 117 
Figura A.6 Campos instantâneos de temperatura no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 1,0. 118 
Figura B.1 Campos médios de Velocidade (corte) com Ri = 0,0. ....................................... 119 
Figura B.2 Campos instantâneos de velocidade no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 0,0. .. 120 
Figura B.3 Campos médios de pressão (corte) com Ri = 0,0. ............................................. 121 
Figura B.4 Campos instantâneos de pressão no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 0,0. ....... 122 
Figura B.5 Campos médios de temperatura (corte) com Ri = 0,0. ...................................... 123 
Figura B.6 Campos instantâneos de temperatura no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = 0,0. 124 
Figura C.1 Campos médios de Velocidade (corte) com Ri = -1,0. ...................................... 125 
Figura C.2 Campos instantâneos de velocidade no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = -1,0. 126 
Figura C.3 Campos médios de pressão (corte) com Ri = -1,0. ............................................ 127 
Figura C.4 Campos instantâneos de pressão no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = -1,0. ...... 128 
Figura C.5 Campos médios de temperatura (corte) com Ri = -1,0. ..................................... 129 
Figura C.6 Campos instantâneos de temperatura no tempo t = 4,0 s (corte) com Ri = -1,0.
 ........................................................................................................................................ 130 
 
 
 xii 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 4.1 Número de células em cada linha do domínio. ................................................... 48 
Tabela 4.2 Valores máximos de resíduos aceitos para cada parâmetro................................ 50 
Tabela 4.3 Número de células em cada face do domínio e totais para estudo de GCI. ........ 54 
Tabela 4.4 Grid Convergence Index (GCI). ......................................................................... 54 
Tabela 4.5 Comparação entre o presente trabalho e a literatura para o número de Nusselt 
local médio (NuD), coeficiente de arrasto (CD) e número de Strouhal (Sr). ....... 58 
Tabela 5.1 Comparação entre o melhor e o pior caso global1 (fluidodinâmico).................. 76 
Tabela 5.2 Comparação entre os casos uma vez otimizados fluidodinamicamente2. ........... 76 
Tabela 5.3 Comparação entre o melhor e o pior caso global1 (térmico). ............................. 84 
Tabela 5.4 Comparação entre casos uma vez otimizados termicamente2. ........................... 84 
Tabela 5.5 Resumo das geometrias ótimas multiobjetivo, ................................................... 91 
Tabela 5.6 Razão de CD entre o corpo frontal e a média dos corpos posteriores. ................ 93 
Tabela 5.7 Razão de NuD entre o corpo frontal e a média dos corpos posteriores. .............. 94 
Tabela 5.8 Número de Strouhal em cada corpo rombudo com Ri = 1,0 .............................. 95 
Tabela 5.9 Número de Strouhal em cada corpo rombudo com Ri = 0,0. ............................. 96 
Tabela 5.10 Número de Strouhal em cada corpo rombudo com Ri = -1,0 ............................. 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xiii 
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS 
 
BIOS Basic Input/Output System 
CFD Computational Fluid Dynamics 
DES Detached Eddy Simulation 
DFT Discrete Fourier Transform 
DNS Direct Numerical Simulation 
DPIV Digital Particle Image Velocimetry 
EDP Equação Diferencial Parcial 
FFT Fast Fourier Transform 
FURG Universidade Federal do Rio Grande 
GCI Grid Convergence Index 
LES Large Eddy Simulation 
MVF Método dos Volumes Finitos 
PANS Partially-Averaged Navier-Stokes 
PIV Particle Image Velocimetry 
PPGEO Programa de Pós Graduação em Engenharia Oceânica 
PROMEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica 
PSD Power Spectral Density 
RAM Random Access Memory 
RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes 
SA Spalart-Allmaras 
SGE Simulação de Grandes Escalas 
SIMPLE Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations 
SIMPLE-C Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations – Consistent 
SOR Successive Over-Relaxation 
 
 
 xiv 
SST Shear Stress Transport 
UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
WALE Wall-Adapting Local Eddy-viscosity 
 
 
 xv 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
Algarismos Romanos 
A Área [m²] 
A0 Área de ocupação da variação geométrica do arranjo [m²] 
At Área total dos 3 corpos rombudos [m²] 
Ac1 Área do corpo rombudo 1 (frontal) [m²] 
Ac2 Área do corpo rombudo 2 (posterior esquerdo) [m²] 
Ac3 Área do corpo rombudo 3 (posterior direito) [m²] 
C1 Corpo rombudo frontal do arranjo 
C2 Corpo rombudo posterior esquerdo do arranjo 
C3 Corpo rombudo posterior direito do arranjo 
CD Coeficiente de arrasto (CD = 2FD/ρAV∞2) 
CD* Coeficiente de arrasto médio para o arranjo de obstáculos (CD* = (CD1 + CD2 + CD3)/3) 
CL Coeficiente de sustentação médio para todos obstáculos (CL = 2L/ρu2S) 
cP Calor específico a pressão constante [J⋅kg-1⋅K-1] 
D Dimensão da aresta dos corpos rombudos [m] 
f Frequência do desprendimento de vórtice [s-1] 
F1 Relação 1 entre variáveis e constantes do modelo SST κ−ω 
F2 Relação 2 entre variáveis e constantes do modelo SST κ−ω 
g Aceleração da gravidade [m⋅s-2] 
GrD Número de Grashof em função da aresta do corpo rombudo (g⋅β⋅[Ts-T∞]⋅D3/υ2) 
h Coeficiente de transferência de calor [W⋅m-²⋅K-1] 
ℎ� Tamanho representativo da malha para o estudo de GCI 
H Altura do domínio [m] 
H0 Altura da área de ocupação dos corpos rombudos dentro do domínio [m] 
 
 
 xvi 
H1 Distância vertical entre a entrada do domínio e o centro do obstáculo frontal [m] 
k Condutividade térmica do fluido [W⋅m-1⋅K-1] 
L Comprimento do domínio [m] 
L0 Comprimento da área de ocupação dos corpos rombudos dentro do domínio [m] 
L1 Distância horizontal entre o centro do obstáculo frontal e as laterais do domínio [m] 
nc Número de corpos rombudos no domínio 
NuD Número de Nusselt em função da dimensão da aresta do corpo rombudo (NuD = h⋅D/k) 
NuD* Número de Nusselt médio para o arranjo de obstáculos (NuD* = (NuD1 + NuD2 + NuD3)/3) 
NuL Número de Nusselt em função de um comprimento característico (NuL = h⋅L/k) 
Nug Número de Nusselt global (Nug=nc���NuD,DA+NuD,AB+NuD,BC+NuD,CD�/4)�) 
P Pressão [N⋅m-2] 
P∞ Pressão do escoamento na corrente livre [N⋅m-2] 
Pr Número de Prandtl (Pr = υ/α) 
�̂ Ordem de convergência real do estudo de GCI 
q* Taxa de transferência de calor por unidade de comprimento para o arranjo [W⋅m-¹] 
q’’ Fluxo de calor por convecção [W⋅m-²] 
q’’’ Taxa de geração de energia por unidade de volume [W⋅m-3] 
R Razão entre a face lateral e a face frontal de obstáculo retangular 
	
 Resíduo relativo 
	�� �∅ Resíduo da propriedade que está sendo transportada na iteração N 
	�� �∅ Resíduo da propriedade que está sendo transportada na iteração 5 
RaD Número de Rayleigh (RaD = GrD⋅Pr) 
ReD Número de Reynolds para uma dimensão característica D (ReD = ρV∞D/µ) 
Ri Número de Richardson (Ri = GrD/ReD²) 
 
 
 xvii 
�̂ Fator de refinamento da malha para estudo de GCI 
S Taxa da tensão de cisalhamento 
SL Passo longitudinal entre o corpo rombudo frontal e os posteriores [m] 
ST Passo transversal entre os corpos rombudos posteriores [m] 
�� Termo fonte para o escalar que está sendo transportado 
SrD Número de Strouhal para uma dimensão característica D (SrD =f⋅D/U ) 
T Temperatura [K] 
TS Temperatura na parede [K] 
T∞ Temperatura do escoamento na corrente livre [K] 
u Velocidade do fluido na direção x [m⋅s-1] 
U Velocidade do fluido na diração do escoamento [m⋅s-1] 
�∗ Velocidade de atrito ((τ/ρ)1/2) 
v Velocidade do fluido na direção y [m⋅s-1] 
V∞ Velocidade do escoamento na corrente livre [m⋅s-1] 
X Convergência da solução para a faixa assintótica do estudo de GCI 
 
 
Símbolos Gregos 
α Difusividade térmica do fluido [m²⋅s-1] 
α1 Ângulo de ataque do escoamento (º) 
α’ Constante alpha para o modelo de turbulência SST κ−ω 
β Coeficiente de expansão térmica da superfície (K-1) 
β’ Constante beta para o modelo de turbulência SST κ−ω 
ε Erro relativo 
��� Delta de Kronecker 
Δi Diferença da idealidade (distância entre um resultado encontrado e o seu ponto ideal) 
 
 
 xviii 
κ Energia cinética turbulenta [J⋅kg-1] 
λ Viscosidade volumétrica [kg⋅ m-1⋅s-1] 
µ Viscosidade dinâmica do fluido [kg⋅ m-1⋅s-1] 
υ Viscosidade cinemática do fluido [m²⋅s-1] 
�� Viscosidade cinemática turbulenta [m²⋅s-1] 
ρ Massa específica do fluido [kg⋅m-³] 
σ Constante sigma para o modelo de turbulência SST κ−ω 
��� Constante sigma para o modelo de turbulência DES 
τ Tensão de cisalhamento [kg⋅ m-1⋅s-2] 
ω Taxa de dissipação específica [s-1] 
φ Escalar que está sendo transportado 
� Coeficiente de difusividade 
Ω Domínio 
 
 
Sobrescrito e Subscrito 
e Leste (east) 
f Fluidodinâmico 
FINE Malha mais refinada do estudo de GCI 
i Índice i de malha ou de célula da malha computacional 
j Índice j de malha ou de célula da malha computacional 
m Uma vez maximizado ou minimizado 
mm Duas vezes maximizado ou minimizado 
n Norte (north) 
nb Vizinhança 
s Sul (south) 
 
 
 xix 
o Uma vez otimizado 
oo Duas vezes otimizado 
P Ponto de interesse 
t Térmico 
w Oeste (west) 
1 Relativo ao corpo rombudo frontal 
2 Relativo ao corpo rombudo posterior esquerdo 
3 Relativo ao corpo rombudo posterior direito 
1 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Os problemas que abordam escoamentos com transferência de calor são encontrados em 
diversas áreas da engenharia. As soluções para estes problemas passam pelos tradicionais 
métodos experimentais e analíticos, como também mais recentemente pelos métodos numéricos 
que vêm ganhando destaque e atenção dos pesquisadores devido ao desenvolvimento 
vertiginoso dos computadores de alta velocidade e de grande capacidade de armazenamento 
[Maliska, 2004]. Os métodos experimentais naturalmente tendem a apresentar altos custos, 
tanto financeiro quanto temporal, uma vez que exigem dos pesquisadores a construção física de 
modelos que necessitam, em geral, de equipamentos de aferição sofisticados. Estes custos 
passam a se tornar proibitivos em estudos de otimização geométrica, pois para cada variaçãoestudada, um novo modelo precisa ser construído. Uma alternativa é adotar um método analítico 
de solução, visto que estes métodos apresentam soluções exatas, algo que é desejável em 
estudos fenomenológicos. Porém, segundo Wilcox, 2006, a natureza complexa de muitos 
problemas inviabiliza a determinação de sua solução analítica. Devido a isto, com a intenção 
de reduzir custos com experimentos e protótipos, além de acelerar as pesquisas de casos 
complexos, muitos estudos numéricos vêm sendo realizados para abordar estas questões. 
Um campo de pesquisa bastante estudado é a otimização geométrica de arranjos de 
feixes de tubos e de corpos rombudos ou de canais aletados (presente em trocadores de calor, 
por exemplo). Os estudos nesta área geralmente apresentam abordagem multiobjetivo 
(conforme serão vistos mais adiante na seção 1.1 Trabalhos anteriores e estado da Arte), 
buscando encontrar geometrias que maximizem a transferência de calor (função térmica) e 
minimizem a resistência ao escoamento (função fluidodinâmica). Na grande maioria destes 
trabalhos são analisados escoamentos no regime laminar, que tendem a apresentar um 
comportamento mais regular (com menor distribuição de escalas). Dessa forma, os resultados 
numéricos são mais previsíveis, estáveis, com boa convergência e menor esforço computacional 
em comparação com os apresentados para escoamentos turbulentos. 
Porém, praticamente todos os problemas fluidodinâmicos com aplicação real de 
engenharia caem no campo do regime de escoamento turbulento [Wilcox, 2006]. Desde o 
sistema de resfriamento de componentes eletrônicos como os dissipadores de calor para 
processadores de computadores pessoais, Figura 1.1(a), aos sistemas de resfriamento 
automotivo como radiadores, Figura 1.1(b), e também equipamentos térmicos industriais como 
trocadores de calor, resfriadores, condensadores e evaporadores, Figura 1.1(c), o regime de 
2 
 
 
escoamento fluídico empregado é frequentemente o turbulento. Nestes casos, uma grande 
quantidade de calor deve ser trocada e isto requer elevada vazão do fluido de trabalho que, 
como nos exemplos supra citados, é obtida em altas velocidades do escoamento. 
 
 
Figura 1.1 – Exemplos de sistemas de refrigeração: (a) cooler de computador; (b) radiador 
automotivo; (c) trocador de calor industrial tubular [Fonte: Google Imagens]. 
 
Pope, 2000, divide os estudos de escoamentos turbulentos em três categorias: 
• descoberta – Estudos experimentais ou com simulação, voltados a gerar resultados de 
cunho qualitativo ou quantitativo acerca de um determinado escoamento específico. 
• modelagem – Estudos teóricos, focados em desenvolver modelos matemáticos que 
possam predizer propriedades dos escoamentos turbulentos. 
• controle – Estudos que usualmente se utilizam tanto de componentes experimentais 
quanto teóricos, focados em manipular ou controlar o escoamento ou a turbulência de 
forma benéfica (por exemplo, usando controle ativo para reduzir o arrasto). 
No presente trabalho é realizado um estudo que se enquadra em duas destas categorias, 
o da Descoberta, uma vez que, através da simulação numérica, ele visa produzir resultados 
qualitativos e quantitativos a respeito de um escoamento através de um arranjo de cilindros 
retangulares, e o do Controle, pois avalia e, quando possível, otimiza a geometria do arranjo 
que aumente a troca térmica com o fluido e reduza o arrasto gerado. 
Como mencionado anteriormente, os escoamentos turbulentos possuem elevado custo 
computacional em comparação com os casos de escoamentos laminares nos estudos numéricos. 
As principais razões para isso são a fenomenologia física mais complexa e difícil de predizer e 
a geração de um maior número de escalas, o que exige discretizações espaciais e temporais mais 
detalhadas. Além disso, o maior número de escalas espaciais e temporais inviabiliza a solução 
dos escoamentos com as equações do regime laminar, sendo necessário usar esquemas de 
discretização altamente elevados (quarta ou quinta ordem) e resolver todas escalas do 
3 
 
 
escoamento, ou aplicar processos de média temporal ou filtragem espacial. Estes processos 
conduzem a necessidade de solução de novas equações que aumentam o sistema de equações. 
Todas estas questões tornam a modelagem dos escoamentos turbulentos bastante exigentes, 
demandando enorme poder de processamento, bem como grande esforço do pesquisador 
especialmente na fase de pré-processamento, visto que a definição dos casos requer maiores 
cuidados relacionados a advecção do escoamento, convergência de solução e malhas com 
refinamento maior nas regiões de parede [Lesieur et al., 2005]. Por isso, com o intuito de 
agregar conhecimento neste campo de pesquisa, vê-se uma oportunidade em estudar 
escoamentos externos em regime turbulento como uma forma de gerar recomendações 
geométricas para possíveis casos reais. 
O estudo numérico neste tipo de trabalho é denominado de Fluidodinâmica 
Computacional, ou mais frequentemente com a sua sigla CFD (do inglês: Computational Fluid 
Dynamics) e pode ser realizado fundamentalmente de duas formas. A primeira trata da criação 
de código próprio com a capacidade de abordar todas as especificidades de um problema único 
tais como, domínio, geometria, condições de contorno, regime de escoamento, formulação 
matemática e numérica e aplicação de modelos de interesse na forma mais adequada. Como se 
conhece perfeitamente o código que foi criado e se tem acesso a ele, é possível resolver até 
problemas que não estejam implementados em softwares comerciais. A outra forma de tratar 
estes problemas é exatamente lançando mão de softwares de terceiros que podem resolver uma 
grande gama de problemas diferentes, porém, com formulações pré-estabelecidas e com menor 
controle quanto as modelagens numéricas específicas [Wilcox, 2006]. 
Evidentemente, posto desta forma, os códigos próprios devem realizar um melhor 
trabalho em resolver os problemas a que foram cunhados e de maneira geral isto está correto. 
Contudo, nem sempre a melhor solução é a que apresenta resultado mais próximo ao exato. 
Quando a intenção é obter uma recomendação para uso real, o tempo é uma variável muito 
importante e a construção do zero de um ou mais códigos que solucione de forma rápida e 
consistente uma série de problemas diferentes acaba por ser muito dispendioso em tempo e, 
muitas vezes, em dinheiro. Além disso, os softwares de CFD tanto os comerciais quanto os de 
código aberto obtiveram grande avanço nas últimas décadas. Impulsionados pelo aumento de 
capacidade dos computadores pessoais, estes softwares passaram a se tornar uma ótima 
ferramenta de trabalho para os pesquisadores da área de fluidodinâmica, oferecendo 
modelagens numéricas precisas e viáveis para resolver problemas complexos. Isto vem 
4 
 
 
permitindo aos pesquisadores realizar uma diversidade de estudos, com boa confiabilidade, em 
uma fração do tempo que necessitariam com a criação de um código próprio. 
Nos estudos numéricos de escoamentos turbulentos, os pesquisadores vêm empregando 
com grande frequência o modelo de Simulação de Grandes Escalas (SGE) ou, do inglês, Large 
Eddy Simulation (LES) que realiza um processo de filtragem espacial, onde as grandes escalas 
são resolvidas diretamente, enquanto que as pequenas escalas (que tendem a ser mais 
isotrópicas) são modeladas [Lesieur et al., 2005; Sagaut, 2006]. Esse tipo de modelagem 
permite que as estatísticas da turbulência sejam obtidas diretamente, ao contrário das estatísticas 
dos campos flutuantes nos modelos RANS que precisam ser modeladas. Porém, segundo 
Ranjan e Dewan, 2015, a alta sensibilidade ao tipo de malha utilizada nos modelos LES e a 
grande quantidade de recursos computacionais necessárias tornam o seu uso na indústria ainda 
inviável ou desaconselhável. 
Portanto, o presente trabalho busca trazer uma alternativa que atinja um resultado com 
precisãoadequada e em menores tempos de processamento, uma vez que é realizada uma 
avaliação geométrica de um arranjo de cilindros retangulares empregando o método Design 
Construtal. Para isso foi escolhido um modelo RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), para 
analisar um escoamento com convecção mista em regime turbulento que incide sobre o arranjo 
supracitado. A modelagem clássica da turbulência consiste em realizar um processo de média 
temporal nas equações de conservação. Dessa forma, todo o domínio do escoamento é 
modelado [Wilcox, 2006]. Para o referido estudo, é utilizado o software ANSYS Fluent® em 
sua versão 18.1, com modelo de turbulência RANS SST κ−ω (Shear Stress Transport) que se 
baseia em duas equações para resolver a turbulência. Este método tem se tornado bastante 
popular por unir as qualidades dos dois modelos aos quais ele se baseia. O modelo κ−ω é 
melhor ajustado para solução do escoamento na região da camada limite (incluindo a região da 
subcamada viscosa), enquanto que a formulação SST altera o comportamento do modelo de 
modo a se assemelhar ao κ−ε na corrente livre e, assim, evita o problema comum da alta 
sensibilidade ao qual o modelo κ−ω está sujeito nesta região [Menter, 1994]. 
Nos Capítulos 3. Modelagem Matemática e 4. Solução Numérica do Problema, são 
apresentados o detalhamento do domínio e da malha, as condições de contorno e procedimentos 
numéricos implementados no software de CFD afim de alcançar os objetivos propostos para o 
problema. 
Para avaliar a geometria, é utilizado o método Design Construtal, que é baseado na Lei 
Construtal de Bejan, 1996. A Lei Construtal afirma que “Para um sistema onde há escoamento, 
5 
 
 
de dimensões finitas, persistir no tempo (sobreviver), o mesmo precisa evoluir sua forma e 
estrutura para facilitar o acesso às correntes que escoam através dele” [Bejan, 2000; Bejan e 
Lorente, 2008]. Respeitando-se a Lei Construtal, foi criado o método Design Construtal para a 
avaliação geométrica de qualquer escoamento em sistemas de dimensões finitas. Este método, 
associado ao de busca exaustiva, foi escolhido para o presente trabalho com a finalidade de 
estudar o efeito do design de um arranjo triangular de corpos rombudos, sobre os indicadores 
de performance: coeficiente de arrasto (CD) e número de Nusselt (NuD). Vale destacar que as 
notações CD* e NuD* no presente estudo correspondem sempre ao valor médio nas quatro faces 
dos corpos rombudos e para o arranjo todo de obstáculos. Valores locais ou individuais para 
cada obstáculo serão explicitados quando for conveniente para o entendimento. A análise 
também busca encontrar a configuração do arranjo que maximize a troca térmica entre os corpos 
e o escoamento e minimize a resistência ao escoamento do arranjo. A simulação de escoamentos 
turbulentos sobre um único corpo rombudo tem sido objeto de importantes estudos recentes 
[Ranjan e Dewan, 2015; Chen e Xia, 2017; Dalla Longa et al, 2019; Murmu et al., 2020]. 
Contudo, a avaliação geométrica com o Design Construtal em arranjos de tubos ou corpos 
rombudos em escoamentos turbulentos não tem sido estudada na literatura. A escolha pelo 
arranjo triangular é devido a disposição alternada em que os três obstáculos apresentam, 
conformação muito comum entre tubos de trocadores de calor por exemplo. Já o uso de corpos 
retangulares é avaliado pela falta de estudos com essa forma de obstáculo na literatura em 
estudos com turbulência, embora este arranjo seja muito encontrado especialmente em 
encapsulamentos de eletrônicos. Portanto, o presente trabalho traz contribuições nas áreas do 
Design Construtal e turbulência através da análise da geometria de um arranjo com três corpos 
rombudos sujeitos a escoamentos turbulentos com transferência de calor por convecção mista. 
É bom ressaltar que o atual estudo é uma continuação do trabalho realizado em Teixeira et al., 
2018, onde 28 casos (variação de geometria do arranjo de obstáculos) de escoamentos com 
convecção forçada foram realizados. O presente trabalho visa realizar uma aplicação inédita, 
avaliando com Design Construtal escoamentos turbulentos e com convecção mista, onde além 
da variação geométrica do arranjo também será avaliado o efeito da convecção natural em um 
total de 147 casos. 
 
1.1 Trabalhos notáveis e estado da arte 
 
Os problemas de escoamentos externos sobre cilindros ou sobre corpos rombudos em 
6 
 
 
regime turbulento, com e sem transferência de calor, vêm sendo estudados mais amplamente e 
de forma numérica a partir da última década. Uma das causas para isso é o aumento da 
capacidade de processamento dos computadores e redução dos custos dos equipamentos 
necessários, conforme mencionado anteriormente. A contemporaneidade destes estudos se deve 
à grande dificuldade que se tinha em analisar numericamente o escoamento turbulento devido 
a sua grande não linearidade, comportamento irregular e diversidade de escalas. Um exemplo 
dessa dificuldade é visto na análise temporal do problema, onde as simulações requerem passos 
de tempo muito pequenos e tempos de análise grandes (para coleta dos campos médios e 
estatísticos). Apesar disso, o fenômeno já vem sendo estudado de forma experimental há muito 
tempo. 
No âmbito experimental, Igarashi, 1985, publicou um estudo com um corpo rombudo 
de forma quadrada sob a ação de escoamentos turbulentos com transferência de calor por 
convecção forçada. Este estudo tem sido amplamente utilizado até os dias de hoje como modelo 
de validação para estudos numéricos de fenômenos térmicos com corpos rombudos. O objetivo 
neste estudo foi a determinação dos coeficientes de transferência de calor (h) médios do corpo 
rombudo sob ação do escoamento para uma série de números de Reynolds diferentes (1,11×104 
< ReD < 5,19×104), quando se variava o ângulo de incidência entre o escoamento e o corpo 
rombudo (0º ≤ α1 ≤ 45º), como pode ser visto na Figura 1.2. 
O autor concluiu que o coeficiente de troca térmica atinge um mínimo em um ângulo de 
ataque α1=12º-13º e um máximo em α1=20º-25º. Além disso, os valores médios calculados 
apresentaram-se 40% superiores aos da bem conhecida correlação proposta por Hilpert, 1933. 
 
 
Figura 1.2 – Estudo experimental de um escoamento turbulento sobre corpo rombudo 
[Adaptado de: Igarashi, 1985]. 
7 
 
 
Igarashi, 1986, ainda complementou seus estudos realizando novas análises do mesmo 
escoamento para a determinação dos coeficientes de transferência de calor por convecção 
locais. Neste estudo o autor determina que os coeficientes de troca térmica da face posterior são 
de fato maiores do que os da face frontal. Também descreve que as constantes da correlação 
podem ser divididas em dois grupos, um para escoamento com descolamento de camada limite 
perfeito (α1 ≤ 13º) e o outro para escoamento com recolamento de camada limite (α1 ≥ 14º). 
Durao et al., 1988, realizou experimentos para analisar as características da velocidade 
de um escoamento turbulento ao redor de um corpo rombudo quadrado. Para tal, ele posicionou 
o obstáculo em um canal de água com o fluido escoando a Re = 14.000 e realizou as medições 
com um equipamento Laser-Doppler. O objetivo era separar e quantificar as características 
turbulentas e não turbulentas periódicas, a fim de melhor conhecer a natureza dos fenômenos. 
Os autores concluíram que na zona de maior oscilação de velocidade, a energia associada com 
as flutuações turbulentas, respondem por cerca de 40% da energia total do escoamento. 
Lyn et al., 1995, também realizaram medições Laser-Doppler, de um escoamento 
externo turbulento com Reynolds de aproximadamente Re = 21.400. Para as medições foi 
estabelecida uma fase com referência no sinal captado por um sensor de pressão localizado no 
ponto central de uma das faces laterais. O trabalho tinha como objetivo estudar fenômenos 
relacionados à turbulência em um escoamento externo com convecção mista sobreum corpo 
rombudo quadrado, bem como compará-los a trabalhos previamente realizados com a utilização 
de cilindros circulares. Enquanto os resultados apresentaram-se, de maneira geral, estar de 
acordo com trabalhos prévios, alguns detalhes negligenciados anteriormente foram destacados, 
como a possibilidade de haver tensão de cisalhamento para altos números de Reynolds em 
regiões de pico de vorticidade e assimetrias ao longo do domínio. 
Os estudos experimentais de Igarashi, 1985, Durao et al., 1988 e Lyn et al., 1995, embora 
tenham mais de vinte e cinco anos, ainda são constantemente utilizados como soluções 
benchmark para validação de modelos numéricos atuais e, por isso, ainda possuem contribuição 
para o estado da arte no tema estudado aqui. 
Partindo-se para estudos numéricos, Wiesche, 2006, utilizou a abordagem LES (Large 
Eddy Simulation) associada ao modelo submalha de Smagorinsky, 1963, para estudar com CFD 
um escoamento de ar sobre um cilindro quadrado aquecido. O obstáculo possui aresta D e as 
dimensões do domínio utilizadas em coordenadas cartesianas foram 40D na direção x, 20D na 
direção y e 2D na direção z. Foi considerado um escoamento a ReD = 22.000 e Pr = 0,71. Duas 
malhas, uma refinada com aproximadamente 451.000 células (Figura 1.3) e uma mais grosseira 
8 
 
 
com 153.000, foram empregadas nas análises. Para resolver as equações de forma aproximada 
foi empregado o método de volumes finitos (MVF). A formulação semi-implícita escolhida foi 
resolvida pela técnica iterativa das Sobre Relaxações Sucessivas ou SOR (do inglês Successive 
Over-Relaxation). O autor demonstrou que o modelo fluidodinâmico concorda com os 
experimentos de Lyn et.al., 1995. Na análise térmica, os resultados ainda foram comparados 
com uma simulação utilizando o modelo de turbulência κ−ε e também com as correlações 
propostas por Hilpert, 1933, Sparrow, 2004 e Gnielinski, 1975, tendo boa concordância com as 
duas primeiras quanto ao número de Nusselt médio mesmo com uma malha grosseira. 
 
 
Figura 1.3 – Malha computacional utilizada por Wiesche [Fonte: Wiesche, 2006]. 
 
Perng e Wu, 2007 estudaram os fenômenos de transferência de calor por convecção em 
regime transiente e turbulento com convecção natural em um canal vertical. No caso analisado, 
um corpo rombudo com temperatura constante e superior a do escoamento, posicionado no 
centro horizontal do canal e a aproximadamente 1/3 de sua entrada vertical, recebe um 
escoamento de ar com Re = 5.000 e Pr = 0,71. As dimensões do obstáculo são variadas de modo 
a aumentar a taxa de bloqueio do escoamento (B/H =10, 30 e 50%). A avaliação numérica é 
executada com o modelo de turbulência Large Eddy Simulation (LES). São estudados também 
os efeitos de empuxo com convecção natural em oposição e auxiliar à convecção forçada na 
troca térmica. Foram avaliados escoamentos com números de Richardson na faixa -1,0 ≤ Ri ≤ 
1,0. De acordo com os autores, o aumento da taxa de bloqueio faz o empuxo passar a ter menos 
efeito sobre o número de Nusselt embora a troca de calor turbulenta aumente 
consideravelmente. A Figura 1.4 mostra o padrão de escoamento instantâneo para diferentes 
taxas de bloqueio B/H e número de Richardson. 
 
 
9 
 
 
 
Figura 1.4 – Padrão de escoamento instantâneo para (a) B/H = 10% e Ri = 1; (a-1) B/H = 10% 
e Ri = -1; (b) B/H = 30% e Ri = 1; (b-1) B/H = 30% e Ri = -1; (c) B/H = 50% e Ri = 1 e (c-1) 
B/H = 50% e Ri = -1 [Adaptado de: Perng e Wu, 2007]. 
1 
 
Partindo-se para estudos mais recentes, Ranjan e Dewan, 2015, realizaram um estudo 
comparativo entre duas malhas diferentes, uma estruturada com função de parede e outra não 
estruturada com uma região de refinamento e malha estruturada na região da parede. O objetivo 
era avaliar uma modelagem numérica baseada em PANS (Partially-Averaged Navier-Stokes) 
SST κ−ω para resolver o mesmo problema de escoamento externo turbulento com convecção 
forçada trabalhado experimentalmente por Durao et al., 1988 e Lyn et al., 1995, quanto a 
fluidodinâmica e por Igarashi, 1985, quanto à parte térmica. Os resultados também foram 
comparados com o trabalho numérico de Wiesche, 2006, inclusive com domínio computacional 
idêntico, que abordou o problema fluidodinâmico e térmico com uma modelagem LES. O 
estudo também tinha como objetivo apresentar uma alternativa computacional menos exigente 
e que não sofresse tanta influência do tipo de malha usada como ocorre com a modelagem LES. 
A malha computacional utilizada pode ser vista na Figura 1.5, que ilustra a forma gerada com 
malha não estruturada e alto refinamento local, na região de parede do obstáculo, para captar as 
variações dos campos fluidodinâmicos. Os autores concluíram que tanto a malha estruturada 
com função de parede quanto a malha não estruturada com refinamento e malha estruturada na 
região da parede preveem o comportamento fluidodinâmico conforme os dados experimentais, 
porém, apenas a malha não estruturada com resolução de parede prevê corretamente o 
comportamento térmico esperado. 
 
10 
 
 
 
Figura 1.5 – Malha não estruturada utilizada [Adaptado de: Ranjan e Dewan, 2015]. 
 
Ranjan e Dewan, 2016, utilizaram a mesma metodologia de malha não estruturada com 
refinamento estruturado na região de parede e modelagem PANS para continuar e aprofundar 
seu estudo anterior de um escoamento turbulento com convecção forçada que incide sobre um 
corpo rombudo isotérmico e aquecido. Porém desta vez, o objetivo era estudar os efeitos da 
variação do comprimento lateral (perpendicular ao escoamento) do obstáculo quanto à taxa de 
troca térmica, além dos fenômenos de separação, descolamento e recolamento de camada 
limite, vorticidade e estagnação provenientes das diversas geometrias analisadas. As faces 
frontais e posteriores do obstáculo permaneceram constantes enquanto as faces laterais foram 
variadas para diversas razões R de Face Lateral/Face Frontal. O domínio computacional 
permaneceu com as mesmas medidas utilizadas anteriormente (x = 27D, y = 14D e z = 4D, onde 
D é igual ao valor unitário da face frontal em y do corpo rombudo). O trabalho resultou na 
apreciação de duas razões críticas: R = 0,62 e 3,0. Para R = 0,62 os autores obtiveram o maior 
valor de coeficiente de arrasto (CD = 2,681) e o maior valor para o número de Nusselt global 
(NuD = 220,49). Para R = 3,0 um elevado crescimento em 140% do número de Strouhal foi 
observado quando comparado a R = 2,5, porém com diminuição do espalhamento de vórtice. 
Os autores ainda concluem que o motivo para o obstáculo com R = 0,62 se destacar tanto na 
questão térmica quanto fluidodinâmica, se deve ao recolamento do vórtice que se depara com 
11 
 
 
a face frontal, passa pelas faces laterais e então retorna recolando-se na face posterior. Os 
contornos de vorticidade instantânea para as razões R = 0,62; 2,0; 3,0 e 4,0 podem ser vistos 
nas Figuras 1.6 (a), (b), (c) e (d) respectivamente. 
 
 
Figura 1.6 – Contornos de vorticidade instantânea para diferentes razões R: (a) R = 0,62; 
(b) R = 2,0; (c) R = 3,0 e (d) R = 4,0 [Fonte: Ranjan e Dewan, 2016]. 
 
Chen e Xia, 2017, em um domínio computacional idêntico com geometria de obstáculo 
igual ao utilizado por Ranjan e Dewan, 2015, estudaram a transferência de calor de um 
escoamento externo e turbulento (ReD = 22.050) com convecção forçada que incide sobre um 
corpo rombudo de seção transversal quadrada. O objetivo do trabalho é analisar os 
comportamentos fluidodinâmicos e térmicos com uma modelagem híbrida LES-RANS com 
malhas não estruturadas. Devido à alta sensibilidade ao tipo de malha da modelagem LES, ela 
é utilizada apenas na submalha implícita enquanto que dois modelos de turbulência RANS, 
Spalart-Allmaras (SA) e SST κ−ω são empregados no tratamento próximo à parede. Quatro 
malhas foram empregadas no estudo, três utilizando modelagem LES - SST κ−ω (com 1,1; 4,4 
e 8,8 milhões de células respectivamente)e uma utilizando LES-SA (com 4,4 milhões de 
células). Os dois modelos com malhas de 4,4 milhões de células apresentaram boas previsões 
do comportamento fluidodinâmico, porém o modelo LES-SST se aproximou mais dos dados 
experimentais especialmente nos locais próximos à parede do corpo rombudo. A análise de 
convergência demonstrou que a resolução da malha na região da parede é de grande importância 
na solução transiente da questão térmica o que culminou na grande aproximação dos dados 
experimentais da malha mais refinada (8,8 milhões de células). Por fim, os autores analisaram 
as propriedades turbulentas através do espectro de energia e do tensor de tensões de Reynolds. 
A Figura 1.7 ilustra o campo de temperaturas ao redor do corpo rombudo. 
12 
 
 
 
Figura 1.7 – Campo de temperatura próximo ao corpo rombudo [Fonte: Chen e Xia, 2017]. 
 
Murmu et al., 2020, realizaram um estudo numérico, bidimensional acerca do 
comportamento de escoamentos desde o regime laminar até o turbulento que passam por um 
corpo rombudo. Três formas de obstáculo foram estudadas, triângulo, diamante e trapézio. 
Além disso, os escoamentos foram avaliados para quatro intensidades de turbulência (5%, 10%, 
20% e 40%). O objetivo do estudo era analisar o comportamento do escoamento quando a 
intensidade de turbulência era variada e desenvolver uma modelagem SST que pudesse estimar 
resultados confiáveis na determinação da transferência de calor entre corpo e o meio 
convectivo. O fluido em análise era o ar com número de Prandtl constante e igual a Pr = 0,707 
e o número de Reynolds foi variado entre ReD = 100 e 200.000. Os autores concluíram que o 
aumento da intensidade de turbulência ocasiona o aumento também na transferência de calor, 
mas que esse aumento é mais notado quando ReD é maior. Foi concluído que a modelagem SST 
pôde ser eficientemente empregada para determinar a transferência de calor tanto no regime 
laminar quanto turbulento e que o aumento da intensidade de turbulência levou a um aumento 
considerável no coeficiente de arrasto. 
No âmbito dos estudos de avaliação e otimização geométrica de escoamentos externos, 
Lam et al., 2008, realizaram simulações bi e tridimensionais de um escoamento laminar que 
passa por um arranjo de quatro cilindros circulares em um arranjo alinhado de forma quadrada. 
No estudo bidimensional, o escoamento é submetido a dois números de Reynolds, 100 e 200 e 
a geometria do arranjo é variada alterando-se a distância (L) entre os centros dos cilindros e 
seus diâmetros (D) para as seguintes razões: L/D = 1,6; 2,5; 3,5; 4,0 e 5,0. Para o estudo 
tridimensional, apenas Re = 200 é simulado com razão L/D = 4,0 e H/D = 16 (altura do cilindro 
pelo diâmetro). A Figura 1.8 ilustra o domínio em estudo. 
 
13 
 
 
 
Figura 1.8 – Domínio computacional para arranjo de quatro cilindros alinhados em forma de 
quadrado [Fonte: Lam et al., 2008]. 
2 
 
Os autores concluíram no estudo bidimensional que há três comportamentos distintos 
do escoamento: (I) escoamento com esteira estável; (II) escoamento com variação de esteira e 
(III) escoamento com desprendimento de vórtices. Também foi observado que em Re = 100 a 
mudança do padrão de escoamento de (I) para (II) causa um aumento de 4 a 12 vezes na 
amplitude da pressão máxima de flutuação na superfície do cilindro a jusante, enquanto que na 
mudança de (II) para (III) o aumento da pressão flutuante ficou entre 2 a 3 vezes. No estudo 
tridimensional, foi constatada uma grande discrepância comparada a simulação 2D em L/D = 
4,0 e Re = 200, com uma provável causa sendo o forte efeito 3D gerado nas extremidades dos 
cilindros devido à baixa relação H/D utilizada. 
Lam e Zou, 2009, continuaram os estudos de um escoamento transpassante por um 
arranjo de quatro cilindros alinhados em forma quadrada conforme visto em Lam et al., 2008. 
Porém, desta vez, o trabalho estuda um escoamento turbulento com Reynolds entre 11.000 e 
20.000 e é realizado tanto no meio experimental quanto numérico. Para o estudo experimental, 
quatro cilindros de acrílico foram dispostos horizontalmente em um túnel de água de ciclo 
fechado onde as distribuições de velocidade média e flutuante foram medidas com o auxílio de 
um anemômetro laser Doppler para as seguintes razões de separação entre os cilindros, L/D = 
1,5; 2,5; 3,5 e 5,0. Também foi empregado um sistema de velocimetria de partículas por imagem 
digital (DPIV, do inglês: Digital Particle Image Velocimetry) para a caracterização do campo 
total de distribuição de velocidades e de vorticidade, além de outras propriedades da 
turbulência. Este estudo indicou que há diversos padrões de escoamento dependendo do 
espaçamento entre os cilindros e do número de Reynolds empregado. No estudo numérico, o 
mesmo problema foi abordado, mas devido às limitações computacionais, apenas duas razões 
de espaçamento entre os cilindros foram abordadas (L/D = 1,5 e 3,5) como também apenas um 
14 
 
 
valor para o número de Reynolds foi simulado (Re = 15.000). A modelagem LES (Large Eddy 
Simulation) foi utilizada e de maneira geral os resultados se mostraram em boa concordância 
com os resultados experimentais. 
Sumner, 2010, realizou uma extensa revisão nos estudos de escoamentos sobre pares de 
cilindros arranjados de forma alinhada, longitudinalmente; transversalmente e inclinada, 
conforme ilustra a Figura 1.9. O estudo apresenta comparações com uma série de trabalhos e 
mostra o efeito do escoamento devido a proximidade dos cilindros que são determinadas 
primeiramente pelo espaçamento longitudinal e transversal como também pelo número de 
Reynolds. Este trabalho também avaliou a influência da relação P/D (razão entre passo dos 
cilindros e diâmetros) sobre os parâmetros médios do escoamento como número de Strouhal 
(SrD), coeficientes de arrasto (CD), sustentação (CL) e número de Nusselt (NuD). 
 
 
Figura 1.9 – Dois cilindros de diâmetros iguais em escoamento externo: (a) alinhamento 
longitudinal; (b) alinhamento transversal; e (c) alinhamento inclinado. [Fonte: Sumner, 2010]. 
 
No âmbito da avaliação geométrica com o método Design Construtal, Page et al., 2013, 
estudaram o comportamento térmico de um arranjo de cilindros aquecidos de diferentes 
tamanhos que são refrigerados por convecção natural. Os cilindros maiores são dispostos 
alinhados pelas suas linhas de centro e cada um gira em sentido contrário ao cilindro adjacente. 
Os cilindros menores não sofrem rotação e são dispostos entre dois cilindros maiores, alinhados 
pelas bordas no sentido do escoamento, conforme a Figura 1.10. O objetivo do estudo era 
determinar o diâmetro ideal dos cilindros menores (D1) bem como o espaçamento ótimo entre 
os cilindros maiores (D0) que maximizasse a densidade de troca térmica de um escoamento 
laminar, incompressível e bidimensional a propriedades físicas constantes. Diversos regimes de 
escoamento foram estudados variando-se o número de Rayleigh (102 ≤ Ra ≤ 104) e a velocidade 
de rotação dos cilindros. Os autores concluíram que a rotação dos cilindros praticamente não 
15 
 
 
gera qualquer efeito apreciável quanto à densidade de troca térmica quando comparado a 
cilindros estacionários, exceto quando a rotação é muito elevada. Nestes casos a alta rotação 
causa um efeito contrário, suprimindo a troca de calor, devido às modificações geradas na 
camada limite ao redor dos cilindros. Constataram também que, em geral, o espaçamento ótimo 
entre os cilindros é reduzido à medida que a velocidade de rotação aumenta. 
 
 
Figura 1.10 – Fileira de cilindros em rotação contrária. [Adaptado de: Page et al., 2013]. 
3 
 
Barros et al., 2017, avaliaram a forma geométrica de um arranjo triangular de cilindros 
submetidos a escoamentos transientes, bidimensionais, incompressíveis, laminares e com 
convecção mista por meio do Design Construtal. Foram simulados escoamentos com números 
de Reynolds e Prandtl iguais a 100e 0,71, respectivamente, avaliando-se três diferentes 
números de Richardson: Ri = 0,1; 1,0; e 10,0. O objetivo principal deste estudo, era avaliar a 
influência do Ri no efeito das razões ST/D e SL/D sobre o coeficiente de arrasto (CD) e o número 
de Nusselt (NuD) entre os cilindros e o escoamento circundante, bem como obter as geometrias 
ótimas do problema multiobjetivo. Os autores observaram que a variação do mecanismo motriz 
do escoamento, causado pela variação do número de Richardson, além de afetar as magnitudes 
de CD e NuD, também alterou o comportamento das camadas limites fluidodinâmica e térmica, 
o que acarretou em alterações no efeito das razões ST/D e SL/D sobre CD e NuD, bem como sobre 
o comportamento da análise multiobjetivo. 
Salcedo et al., 2017 realizaram um estudo experimental sobre cilindros isotérmicos 
confinados submetidos a um escoamento laminar e convecção mista. Os cilindros são colocados 
alinhados longitudinalmente a direção do escoamento em um canal de água e os parâmetros são 
adquiridos através de um equipamento de velocimetria de partículas por imagem (PIV). Dois 
valores para o número de Reynolds (Re = 100 e Re = 200) foram estudados afim de analisar o 
comportamento do escoamento quanto à flutuação da velocidade do fluido ao longo do 
16 
 
 
escoamento; ao número de Strouhal e ao desprendimento de vórtices em função do número de 
Richardson (parâmetro que relaciona o empuxo) que é variado de -1 ≤ Ri ≤ 3. Os resultados 
foram comparados aos dados numéricos e demostraram estar de acordo na faixa até Ri = 1. 
Porém para Ri superiores diferenças marcantes foram constatadas, sugerindo que o papel da 
tridimensionalidade do escoamento tenha ficado evidentemente pronunciado devido aos efeitos 
de parede. Por fim, os autores puderam constatar a dependência dos números de Reynolds e 
Richardson quanto ao desprendimento de vórtices e formação de esteira, além das diferenças 
de comportamento do escoamento entre o cilindro frontal e posterior. 
Pedrotti et al., 2020, realizaram um estudo de avaliação geométrica segundo o método 
Design Construtal buscando a maximização da troca térmica entre o fluido e arranjos de tubos 
submetidos a um escoamento externo, laminar e incompressível. Neste trabalho, é proposto um 
padrão de formação de geometria alternativo às matrizes tubulares geralmente sugeridas 
(alinhada ou alternada) onde até 16 tubos foram inseridos no domínio. A geometria é construída 
empregando-se uma função de construção que depende dos campos de velocidades e 
temperaturas. Além disso, quatro diferentes restrições quanto a razão passo sobre diâmetro 
(p/D) foram estudadas: 0; 1,25; 1,5 e 2,0 para escoamentos com três números de Reynolds 
diferentes (ReD = 10, 50 e 100) e Prandtl igual a 0,71. Os autores identificaram que a razão p/D 
= 1,5 conduziu ao melhor desempenho térmico do arranjo quando o sistema teve liberdade para 
evoluir para um grande número de tubos, limitado apenas pelo espaço dentro da área de 
ocupação máxima proposta. 
No âmbito da avaliação geométrica de corpos rombudos, Teixeira et al., 2018, 
realizaram um trabalho sobre a avaliação da geometria de um arranjo triangular de corpos 
rombudos submetidos a um escoamento transiente, bidimensional, incompressível, turbulento 
e com convecção forçada empregando Design Construtal. Dois graus de liberdade foram 
avaliados, ST/D (razão da distância entre o centro dos corpos rombudos posteriores e a dimensão 
de suas arestas), SL/D (razão da distância longitudinal entre os centros dos corpos rombudos, 
frontal e posteriores, e a dimensão de suas arestas). O principal objetivo era avaliar o efeito dos 
graus de liberdade sobre o coeficiente de arrasto (CD*) e o número de Nusselt (NuD*) entre os 
corpos rombudos e o escoamento circundante, assim como, os valores ótimos do passo 
transversal e longitudinal. Este estudo baseou-se e expandiu o trabalho de Teixeira, 2017, 
aumentando o número de casos estudados de 16 para 28 afim de varrer com maiores detalhes a 
área de ocupação da simulação. Sete razões para o passo transversal foram avaliadas (ST/D = 
2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5 e 5,0) e quatro para o passo longitudinal (SL/D = 2,0; 3,0; 4,0 e 5,0). 
17 
 
 
O estudo foi realizado mantendo-se os números de Reynolds e Prandtl constantes em ReD = 
22.000 e Pr = 0,71. De uma maneira geral, foi observado que o melhor caso para minimização 
do coeficiente de arrasto ocorre na maior separação longitudinal (SL/D = 5,0) e na menor 
separação transversal (ST/D = 2,0), uma vez que, neste arranjo o obstáculo frontal proporciona 
um desprendimento de vórtices que não atinge diretamente a face dos obstáculos posteriores 
(que estão bem próximos) apresentando assim a maior eficiência aerodinâmica do conjunto. 
Esta geometria reduziu o CD* em até 73,5% frente ao pior caso. Por outro lado, o melhor caso 
termodinâmico ocorreu também no maior distanciamento longitudinal (SL/D = 5,0), mas em um 
distanciamento transversal intermediário (ST/D = 4,0) gerando um aumento em NuD* de até 29% 
frente ao pior caso. Por fim, a avaliação multiobjetivo apontou para as mesmas razões ótimas 
do caso fluidodinâmico devido a dominância do CD* sobre NuD*. Os autores ainda destacaram 
que o efeito das razões geométricas sobre o problema multiobjetivo para os casos estudados 
foram diferentes do observado em Teixeira et al., 2016, para escoamentos com convecção 
forçada no regime laminar (ReD = 100 e Pr = 0,71), constatando que o regime de escoamento 
pode afetar amplamente a dominância de um objetivo na avaliação geométrica do arranjo. 
Por fim, Teixeira et al., 2021 estudaram escoamentos laminares sobre arranjos 
triangulares de corpos rombudos onde o obstáculo frontal possui aspecto variável. Este estudo, 
inclusive, é derivado do presente trabalho, uma vez que usa as mesmas estratégias de geração 
de malha e modelagem computacional semelhante. Contudo, a análise foi realizada apenas em 
regime laminar, enquanto o aspecto H1/L1 (relação entre a altura e largura do corpo rombudo 
frontal) foi variado em cinco razões (0,1; 0,5; 1,0; 2,0 e 5,0). Os autores concluíram que o menor 
coeficiente de arrasto para o arranjo ocorreu quando H1/L1 = 2,0, o que contraria o esperado de 
um menor coeficiente de arrasto quando o obstáculo tem a sua disposição mais esbelta (H1/L1 
= 0,1). Isto ocorre em função dos obstáculos posteriores aumentarem amplamente o CD*. As 
diferenças entre o pior e melhor caso, quanto à redução de CD*, chegaram a 68,9%. O estudo 
térmico constatou um aumento de até 100,3% na taxa de transferência de calor (q*) sendo o 
melhor caso em H1/L1 = 0,1. 
Tendo em vista todo o material aqui pesquisado e apresentado nesta seção, há poucos 
trabalhos de avaliação geométrica com aplicação de Design Construtal em escoamentos 
turbulentos, especialmente sobre arranjos de corpos rombudos. É muito convencional esse tipo 
de estudo sobre cilindros circulares, mas há uma fração de trabalhos sobre obstáculos quadrados 
ou retangulares que podem simular encapsulamentos eletrônicos e que cada vez mais precisam 
de sistemas mais eficientes de refrigeração, a exemplo dos modernos processadores de 
18 
 
 
computador. Por isso, o estudo de escoamentos com convecção mista é mais adequado, uma 
vez que esses sistemas geralmente são encontrados em equipamentos que necessitam sistemas 
de ventilação forçada, mas estão sujeitos a convecção natural do meio em que estão instalados. 
Quanto a disposição dos obstáculos ser a de um arranjo triangular, essa escolha é tomada por 
haver alguns estudos com obstáculos dispostos paralelamente, mas faltarem trabalhos que 
avaliem a separação em dois eixos dos corpos rombudos. 
É realizada, portanto, uma ampliação do estudo de Teixeira et al., 2018, acrescentando-
se os efeitos da convecção natural, e aumentando-se o detalhamento do espaço de busca, 
elevando o número de casos para 49 (matriz 7x7 de ST/De SL/D) em cada uma das condições 
de convecção natural imposta (Ri = -1,0; 0,0 e 1,0) num total de 147 casos o que é de caráter 
inédito e ressalta a importância do presente estudo. Portanto, pretende-se realizar contribuição 
substancial para a área de estudo em questão. 
 
1.2 Objetivos 
 
Nesta seção é apresentada uma descrição dos objetivos gerais do presente trabalho, bem 
como uma descrição detalhada dos objetivos específicos que o estudo abordará. 
 
1.2.1 Objetivos gerais 
 
O presente trabalho tem como objetivo geral investigar o efeito da geometria sobre duas 
funções objetivo (CD* e NuD*) através do método Design Construtal, em um arranjo triangular 
de corpos rombudos quadrados isotérmicos e aquecidos, que estão sujeitos a convecção mista. 
O estudo é realizado para diferentes números de Richardson, onde um escoamento externo de 
fluido que simula o ar (Pr = 0,71) em regime turbulento incide sobre o arranjo que tem seu 
design variado em dois graus de liberdade: ST/D e SL/D. Associado ao método Design Construtal 
emprega-se o método de busca exaustiva para otimização geométrica. 
 
1.2.2 Objetivos específicos 
 
Os objetivos específicos deste trabalho são os seguintes: 
19 
 
 
• Realizar a avaliação da metodologia matemática e numérica do problema buscando 
minimizar o custo computacional para solução de escoamentos turbulentos externos 
com convecção mista; 
• Através do método Design Construtal, avaliar o efeito das razões SL/D e ST/D sobre CD* 
e NuD* para um escoamento externo e turbulento a ReD = 22.000 e Pr = 0,71; 
• Avaliar o efeito da geometria de um arranjo triangular com três corpos rombudos 
quadrados para um escoamento turbulento com convecção mista a ReD = 22.000, Pr = 
0,71 e Ri = 1,0 e -1,0, além de comparar com o caso de convecção forçada (Ri = 0,0) 
empregando o Design Construtal e busca exaustiva para obter o coeficiente de arrasto 
médio do arranjo duas vezes minimizado (CD*,mm) e o número de Nusselt médio do 
arranjo duas vezes maximizado (NuD*,mm) para cada Ri avaliado; 
• Encontrar a geometria ótima para o indicador de performance fluidodinâmico 
(minimização de CD*): (SL/D)o,f (uma vez otimizada fluidodinamicamente) e (ST/D)oo,f 
(duas vezes otimizada fluidodinamicamente) para cada Ri avaliado; 
• Encontrar a geometria ótima para o indicador de performance térmico (maximização de 
NuD*): (SL/D)o,t (uma vez otimizada termicamente) e (ST/D)oo,t (duas vezes otimizada 
termicamente), para cada Ri avaliado; 
• Avaliar o efeito de ST/D sobre CD e o efeito de SL/D sobre CD,m e (ST/D)o,f; 
• Avaliar o efeito de ST/D sobre NuD e o efeito de SL/D sobre NuD,m e (ST/D)o,t; 
• Avaliar o efeito dos dois graus de liberdade estudados, SL/D e ST/D, sobre o 
comportamento dos campos de velocidade e temperaturas do escoamento turbulento 
com convecção mista (Ri = 1,0 e -1,0) e forçada (Ri = 0,0) a ReD = 22.000 e Pr = 0,71; 
• Avaliar o efeito de Ri sobre as melhores configurações geométricas. 
 
1.3 Delineamento do texto 
 
Este trabalho apresenta a seguinte estrutura e divisões: 
 
• Capítulo 2: 
Neste capítulo é encontrada a fundamentação teórica de todos os temas abordados e 
necessários para a realização deste trabalho, tais quais, as definições de escoamentos 
turbulentos, origens dos equacionamentos, modelos de fechamento de turbulência, definição da 
20 
 
 
Lei Construtal e uso de Design Construtal em estudos de avaliação geométrica, metodologia de 
otimização geométrica entre outros. 
 
• Capítulo 3: 
Este capítulo aborda a modelagem matemática envolvida na solução do problema 
proposto. Questões como a descrição do problema e suas condições de contorno são 
apresentadas, bem como a metodologia aplicada. Por se tratar de um problema de 
fluidodinâmica com troca térmica em regime turbulento, são apresentadas as equações 
conservativas em suas formas médias para as conservações da massa, quantidade de movimento 
e energia bem como o modelo de fechamento da turbulência empregado (SST κ−ω). 
 
• Capítulo 4: 
O capítulo trata dos procedimentos numéricos utilizados para resolver o problema de 
forma computacional. São apresentados o domínio computacional e a malha empregada no 
estudo. Detalhes a respeito do solver de CFD e os esquemas de tratamento dos termos 
advectivos usados para a simulação também podem ser conferidos neste capítulo, além da 
discretização temporal das equações de conservação e procedimentos numéricos utilizados. Por 
fim, é apresentada uma seção com o estudo de validação/verificação do modelo numérico 
empregado e um estudo de GCI para assegurar um bom refinamento da malha computacional. 
 
• Capítulo 5: 
Apresenta uma discussão acerca dos resultados encontrados provenientes das 
simulações realizadas. Todos os casos propostos para o estudo de otimização geométrica são 
analisados em detalhes afim de encontrar a geometria ótima para cada parâmetro objetivo. 
 
• Capítulo 6: 
Contém as conclusões obtidas no estudo e apresenta a proposta de continuidade para 
trabalhos futuros. 
 
• Referências Bibliográficas: 
Apresenta todas as referências bibliográficas contidas neste trabalho. 
21 
 
 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Nesta seção serão apresentados os conceitos fundamentais e teorias empregadas para a 
realização do presente trabalho. De forma sucinta é apresentada a fenomenologia dos 
escoamentos externos que apresentam troca térmica, bem como as abordagens mais 
convencionais para escoamentos turbulentos. Também pode-se encontrar uma breve 
explanação a respeito do Método Design Construtal no qual este trabalho é embasado e a 
metodologia de volumes finitos utilizada para a solução numérica do problema proposto. 
 
2.1 Conceitos fundamentais dos escoamentos externos com transferência de calor 
 
Os escoamentos externos são aqueles em que há o movimento de um fluido, por 
exemplo, sobre superfícies retilíneas ou curvas como esferas, cilindros, aerofólios ou pás de 
turbinas e que não apresentam restrições impostas por superfícies adjacentes [Bejan, 2013]. 
Desta forma, a camada limite se desenvolve livremente, porém, fora dela existirá uma região 
em que os gradientes de velocidade, temperatura e ou concentração são desprezíveis. A camada 
limite se desenvolve até uma distância em que a superfície praticamente não acarreta mais 
qualquer variação na propriedade transportada pelo escoamento em questão. Esta distância é 
chamada de espessura da camada limite e para as camadas limite de velocidade e temperatura, 
são definidas tipicamente como o valor em y para o qual u = 0,99u∞ e a razão [(Ts – T)/(Ts - T∞)] 
= 0,99 respectivamente. 
 
2.1.1 Análise Fluidodinâmica 
 
Nos problemas fluidodinâmicos onde há transferência de calor predominantemente por 
convecção, a camada limite está diretamente relacionada com as tensões cisalhantes e 
distribuição dos campos de pressão. Portanto, a correta predição do escoamento na região da 
camada limite é importante para a determinação de parâmetros como o coeficiente de arrasto 
(CD) e análise de diversos problemas de engenharia, uma vez que, por exemplo, este coeficiente 
é amplamente utilizado na análise aerodinâmica de carros, barcos e aviões. A camada limite de 
velocidade surge quando há um gradiente de velocidades no fluido que escoa por uma 
superfície, devido a tensão de cisalhamento. 
Com a tensão de cisalhamento, define-se o coeficiente de arrasto por: 
22 
 
 
 
�� = 2���� !" (2.1) 
 
onde ρ é a massa específica [kg⋅m-³]; FD é a força de arrasto [N] (composta pela força de atrito 
e por uma força devida a diferença de pressão no corpo rombudo); � é a velocidade do 
escoamento [m⋅s-¹] e A, a área da seção transversal [m²]. 
Outro ponto de extrema importância a ser estudado são as condições de escoamento. O 
número adimensional de Reynolds (Re) é o parâmetro utilizado para determinar o regime de 
escoamento do fluido que pode se encontrar em três condições distintas: