Livro Texto - Unidade I

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Autores: Prof. Francisco Xavier Sevegnani
 Prof. Arduino Francesco Lauricella
 Prof. Rafael Morgado Batista
 Profa. Iara Batista de Lima
Colaboradores: Prof. Pedro Frugoli
 Prof. José Carlos Morilla
Complementos de Física
Professores conteudistas: Francisco Xavier Sevegnani / Arduino Francesco Lauricella 
/ Rafael Morgado Batista / Iara Batista de Lima
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
S497c Sevegnani, Francisco Xavier.
Complementos de física. / Francisco Xavier Sevegnani, Arduíno 
Francesco Lauricella, Rafael Morgado Batista, Iara Morgado de Lima. – 
São Paulo: Editora Sol, 2021.
152 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Complemento de física. 2. Indução eletromagnética. 3. Oscilação. 
I. Lauricella, Arduíno Francesco. II. Batista, Rafael Morgado. III. Lima, 
Iara Morgado de. IV. Título.
CDU 53
Francisco Xavier Sevegnani 
Físico, concluiu a graduação em Física (licenciatura 
e bacharelado) pela Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo (1971), mestrado em Física pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo (1980) e doutorado em 
Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 
(1988). Concluiu o mestrado em Engenharia de Produção 
pela Universidade Paulista – UNIP (2003) e doutorado em 
Engenharia de Energia e Automação Elétricas pela Escola 
Politécnica da Universidade de São Paulo (2009). É professor 
titular da Universidade Paulista e coordenador auxiliar do 
curso de Engenharia Básica da UNIP. 
Arduino Francesco Lauricella 
Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo 
(1974) e mestre em Engenharia Mecânica pela Universidade 
de São Paulo (2004). Atualmente, é professor adjunto na 
Universidade Paulista (UNIP) e na Fundação Educacional 
Inaciana Pe. Saboia de Medeiros (FEI).
Rafael Morgado Batista 
Bacharel em Física com habilitação em Pesquisa 
Básica pelo Instituto de Física da Universidade de São 
Paulo (USP). Mestre e doutor em Ciências pelo Instituto de 
Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN), cujo programa 
de pós-graduação é filiado à Universidade de São 
Paulo (USP). Desenvolve pesquisas científicas na área 
de sinterização de materiais cerâmicos e condutores 
iônicos para aplicações em geração de energia à base 
de hidrogênio. Possui publicações em periódicos 
internacionais e em anais de congressos nacionais 
e internacionais. É professor titular na Universidade 
Paulista (UNIP), onde ministra disciplinas nas áreas de 
Mecânica, Termodinâmica e Eletromagnetismo desde 
2012. É também autor de materiais didáticos para 
disciplinas de ensino a distância para o curso de Física.
Iara Batista de Lima 
Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade 
Católica, mestre e doutora em Ciências – Tecnologia 
Nuclear – Aplicações pela Universidade de São Paulo 
(USP), pertencente ao programa de tecnologia nuclear do 
Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen). Possui 
experiência na área de Física, com ênfase em Métodos 
Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares 
e Física Nuclear, atuando principalmente em pesquisa com 
detectores gasosos de radiação, operando em regime de 
ionização e de multiplicação de cargas e transporte de 
elétrons em gases. É professora do curso de Engenharia e 
líder da disciplina Mecânica da Partícula na Universidade 
Paulista (UNIP), ministrando disciplinas ligadas à Física e 
Mecânica dos Fluidos. 
U512.52 – 21
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Deise Alcantara Carreiro – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Fabrícia Carpinelli
 Lucas Ricardi
Sumário
Complementos de Física
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 OSCILAÇÃO ...........................................................................................................................................................9
1.1 Energia em sistemas oscilantes ...................................................................................................... 10
2 OSCILAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO ........................................................................................... 10
2.1 Energia mecânica no MHS ............................................................................................................... 14
2.2 O pêndulo simples ................................................................................................................................ 16
3 MOVIMENTO AMORTECIDO ......................................................................................................................... 32
4 ATENUAÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................................................ 35
Unidade II
5 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ................................................................................................................... 53
5.1 Fluxo magnético ................................................................................................................................... 53
5.2 Auto e mútua indutância .................................................................................................................. 55
5.3 Lei de Lenz e Faraday .......................................................................................................................... 56
5.4 Força eletromotriz variacional e mocional ................................................................................ 57
5.5 Força magnética sobre corrente elétrica .................................................................................... 59
6 PRINCIPAIS APLICAÇÕES DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ........................................................ 60
6.1 Transformadores de tensão alternada ........................................................................................ 60
6.2 Transformador monofásico ideal ................................................................................................... 61
6.3 Transformador trifásico ideal ......................................................................................................... 62
6.4 Gerador de tensão alternada ........................................................................................................... 63
Unidade III
7 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E SUAS CARACTERÍSTICAS ............................................................. 93
7.1 Ondas eletromagnéticas .................................................................................................................... 93
7.1.1 Introdução e descoberta ...................................................................................................................... 93
7.1.2 O problema da folha e da pedra no lago...................................................................................... 94
7.1.3 Linhas de campo de portadores de carga em movimento .................................................... 96
7.1.4 Dipolo elétrico oscilante ...................................................................................................................... 99
7.1.5 Propagação de ondas ..........................................................................................................................101
7.2 Características das ondas eletromagnéticas ..........................................................................103
7.2.1 Descrição matemática ........................................................................................................................103
7.2.2 Relação entre os campos elétricos e magnéticos ....................................................................106
7.2.3 Ondas progressivas, regressivas e estacionárias .......................................................................109
8 TEORIA CORPUSCULAR DA LUZ E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA .............................................120
8.1 Teoria corpuscular da luz e aplicações .....................................................................................120
8.1.1 Dualidade partícula-onda .................................................................................................................121
8.1.2 Absorção e emissão de radiação .................................................................................................... 125
8.1.3 Espectro eletromagnético ................................................................................................................ 126
8.1.4 Exemplos de aplicação ....................................................................................................................... 128
8.2 Transferência de energia .................................................................................................................131
8.2.1 Vetor de Poynting .................................................................................................................................131
7
APRESENTAÇÃO
De uma forma geral um livro-texto de Física é uma ferramenta que os alunos e professores têm 
para ler um material científico, assimilar conceitos fundamentais, evoluir no raciocínio de questões 
científicas e com isso tudo ter capacidade de resolver problemas quantitativos. 
Esse livro-texto apresenta dois tópicos de diferentes áreas da Física, uma pertencente à área de 
Oscilação Mecânica e outra ao Eletromagnetismo. 
Na parte de oscilação mecânica são apresentados dois sistemas: o massa-mola e o 
massa-mola-amortecedor, com ambos os sistemas em movimento em um campo de gravidade 
uniforme. Dá-se ênfase à necessidade de conhecer as condições iniciais do movimento para obter 
a solução completa da equação diferencial do movimento. Na natureza observamos oscilações 
em situações bem distintas, tais como: terremotos, turbulência em avião em voo, moeda caindo 
em prato metálico oscilando até parar, pistão em motor a explosão, vibração dos átomos em um 
sólido, oscilação rápida de elétrons em uma antena etc. Tudo isso mostra a necessidade do estudo 
e controle de oscilações tanto na Física como na Engenharia. 
Na parte de Eletromagnetismo é apresentada a Lei de Indução de Faraday e as ondas eletromagnéticas. 
No início, os experimentos de indução produzidos por Michael Faraday (1791-1867) eram apenas 
ciência básica, porém, hoje, há aplicações da Lei de Faraday por toda parte, tais como: guitarras elétricas, 
geração de energia elétrica por hidroelétricas, fornos de indução na indústria, carregamento de baterias 
de celular etc. Hoje, a energia elétrica é a modalidade de energia que é mais utilizada na imensa maioria 
dos equipamentos, justificando um estudo detalhado dos processos de indução. 
As quatro equações básicas do Eletromagnetismo são: Lei de Gauss para eletricidade, Lei de 
Gauss para o magnetismo, Lei de Faraday e Lei de Ampère-Maxwell. A aplicação dessas equações 
no vácuo mostra que perturbações elétricas e magnéticas satisfazem a equação de onda e se 
propagam no vácuo com uma velocidade que coincide com a velocidade da luz, ou seja, a luz 
é uma onda eletromagnética. Sabemos, hoje, que ondas eletromagnéticas transportam energia 
que podem carregar as baterias de um painel solar, que utiliza células fotovoltaicas. As ondas 
eletromagnéticas são utilizadas na comunicação entre celulares, internet sem fio, aquecedores 
solares, aparelho de micro-ondas, instrumentos óticos etc. 
INTRODUÇÃO
Serão abordadas as oscilações livres sem amortecimento e com amortecimento. Mostra-se como 
é aplicada a Segunda Lei de Newton para atingir a equação diferencial do movimento. No caso sem 
amortecimento, existe apenas um tipo de solução, que é oscilatória com amplitude constante; na 
situação com amortecimento, há três soluções distintas para a equação diferencial do movimento, que 
são separadas conforme o grau de amortecimento. São apresentados vários exemplos que envolvem 
situações distintas conforme as condições iniciais do movimento.
8
É apresentada a Lei de Faraday de Eletromagnetismo, que mostra como uma energia não elétrica 
pode ser convertida em elétrica através de dispositivos que envolvem um operador externo. São 
disponibilizados exemplos mostrando que há três modos de produção de força eletromotriz numa 
espira, que são: por variação de área da espira; por variação da intensidade do campo magnético; e por 
variação da direção do campo magnético.
Também serão expressas as ondas eletromagnéticas planas que se propagam com a velocidade da 
luz, conforme previsto pelas Leis de Maxwell do Eletromagnetismo. Mostra-se que essas ondas são 
representadas por perturbações elétricas e magnéticas que se propagam no espaço com a velocidade da 
luz. Também será estudado que as ondas eletromagnéticas que transportam energia são determinadas 
pelo vetor de Poyting. 
9
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Unidade I
1 OSCILAÇÃO
Oscilação significa avanço e retrocesso que se alternam; o processo pode ser periódico ou não. Oscilação 
mecânica rápida também é chamada de vibração. Fenômenos oscilatórios ocorrem incessantemente e 
de variados modos na natureza, além de estarem presentes em quase todos os processos na ciência e na 
técnica. Além disso, o conhecimento de oscilações está na base de estudo de ondas.
Exemplos de oscilador: pistão em motor a explosão; cordas de violino; pêndulo, tensão e 
corrente elétrica alternantes em rede elétrica; elétrons em antena; átomos em moléculas, vetores 
E

 e B

 em onda eletromagnética.
Os textos especializados examinam os fenômenos oscilatórios em suas múltiplas modalidades e 
manifestações, sendo um campo extenso e complexo. Neste texto, examinaremos somente os casos 
típicos mais simples, a saber:
• oscilações livres sem amortecimento;
• oscilações livres com amortecimento.
A oscilação só pode existir em equilíbrio estável. Estando o sistema em posição genérica, fora do 
equilíbrio, age necessariamente uma força de restituição, e, como diz o nome, é uma força que age no 
sentido de reconduzir o sistema à configuração de equilíbrio estável. No caso mais simples, a força de 
restituição é força elástica. 
Para fixar ideias, admitamos que a oscilação seja vertical, com eixo Oy descendente. 
As forças que intervêm em sistemas oscilantes são:
Força peso: peso ˆF mg J= −

Sendo m a massa do corpo oscilante, essa força é conservativa.
Força elástica: elástica ˆF ky J= −

Sendo k a constante elástica da mola, essa força é conservativa.
Força viscosa: viscosa ˆF bv J= −

10
Unidade I
Sendo b o coeficiente de resistência viscosa, essa força resulta de processo dissipador de energia 
mecânica. O dispositivo construído para exercer força viscosa é chamado de amortecedor.
Força resultante: result. ˆF ma J=


Equivale à soma vetorial de todas as forças exercidas na partícula oscilante. Emoscilação 
unidimensional, segundo o eixo Oy, essa força pode ser apresentada como
2
result. result.2
d ˆ ˆF m y J ou F myJ
dt
= = 
 
1.1 Energia em sistemas oscilantes
Uma partícula de massa m, com velocidade v, possui energia cinética 2cinética
1
E mv
2
= , força elástica 
F = -ky que confere ao corpo uma energia potencial elástica 2p
1
E ky
2
= .
O incremento de energia cinética do sistema equivale ao trabalho resultante de todas as forças 
atuantes, ou seja
resultante cinéticaW E (teorema da energia cinética TEC)= ∆ ≡
Ou, de forma equivalente, o incremento de energia mecânica do sistema é igual ao trabalho resultante 
da força dissipadora.
mecânica forças dissipativasE W ( teorema da energia mecânica TEM)∆ = ≡
2 OSCILAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO
O sistema mecânico oscilatório mais simples é formado por um corpo, de massa m, e uma 
mola, de constante elástica k. A mola tem uma extremidade fixa e em sua outra extremidade 
fixa-se o corpo. Um operador externo transfere energia ao sistema, que passa a oscilar num 
campo gravitacional uniforme de intensidade g. Na análise do movimento do corpo, que será feita 
a seguir, não será considerada a massa da mola. Será considerado que o sistema está imerso num 
ambiente sem o ar atmosférico (vácuo); dessa forma, as forças que atuam no corpo serão somente 
duas: a força peso exercida pela Terra e a força elástica exercida pela mola. A força da mola segue 
a Lei de Hooke, sendo expressa por 
mola molaF k y= ⋅
11
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Sendo que ymola representa sua deformação.
m
L
k
g
k
L0
ymola
Figura 1 – Mola de constante elástica k, sujeita a uma deformação ymola = L - L0, que é definida pelo peso P = mg
Em uma mola helicoidal, a sua constante elástica k é calculada pela expressão
4
3
r
k G
4NR
=
Sendo G o módulo de rigidez do material que é constituído o fio, N é o número de espiras da mola, 
R é o raio das espiras e r é o raio do fio. 
gk
k
y
v
k
m
(0)
m
a
mg
mg
ma
ymola
ye kye
k(ye + y)
(I) (II) (III)
Figura 2 – Na posição I, a mola está no seu comprimento natural. Na posição II, o corpo 
está na sua posição de equilíbrio. Na posição III, o corpo está em movimento fora da sua posição de equilíbrio
A posição do corpo y tem como origem a posição em as forças da mola e força peso se anulam. Logo, 
aplicando a Segunda Lei de Newton, vem
12
Unidade I
mola
e
mola e
dv
mg ky m
dt '
dy
v
dt
ky mg
ky k(y y)
− =
=
=
= +
Substituindo, vem 
zero 2
e 2
2
e 2
2
2
2
2
d
mg ky ky m y
dt
d
mg k (y y ) m y
dt
d
ky m y
dt
d
m y ky 0
dt
− − =
− ⋅ + =
− =
+ =

 
A equação anterior é conhecida como equação diferencial do movimento harmônico simples (MHS).
Faz-se
2
2
2
2
K
m
K
m
d
y y 0
dt
ω =
ω =
+ ω =
A solução dessa equação diferencial segue a lei
my y cos( t )= ω + θ
A equação de velocidade é
m
dy
v y sen( t )
dt
= = −ω ω + θ
13
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
A equação da aceleração é
2
m
dv
a y cos( t )
dt
= = −ω ω + θ
Ou
2a y= −ω
Supondo conhecidas as condições iniciais do movimento y(0) e v(0), ficam definidas a amplitude ym 
e a fase inicial θ.
( ) my 0 y cos( )= θ
( ) mv 0 y sen( )= −ω θ
( ) ( )
2
2
m
v 0
sen 
y
 
θ =  −ω  
( )
2
2
m
y(0)
cos
y
 
θ =   
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
m m
1
v 0 y(0)
sen cos
y y
   
θ + θ +   −ω  
=


( ) 2 2
m m
v 0 y(0)
1
y y
   
+ =   −ω   
( ) ( )
2
22
m
v 0
y y 0
 
= + ω 
( ) ( )
2
2
m
v 0
y y 0
 
= + ω 
Uma vez obtido ym, tem-se a fase inicial θ pelas equações
( )
m
y 0
acos
y
 
θ =   
 ou ( )
m
v 0
asen
y
 
θ = − ω ⋅ 
14
Unidade I
Na figura a seguir apresentamos os gráficos da posição, velocidade escalar e aceleração em função 
do tempo no MHS.
0
0
0
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
-0,5
-5
-50
y(
m
)
v(
m
/s
)
a(
m
/s
2 )
0,5
5
50
0
0
0
t(s)
t(s)
t(s)
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
0,7
0,8
0,8
0,8
0,9
0,9
0,9
1
1
1
Figura 3 – Neste exemplo foram considerados os seguintes valores: m 1 kg= , Nk 100
m
= , my 0,5 m= , rad
4
πθ = , 
rad
10 
s
ω = , 
máxima 2
m
a 50 
s
= e máxima
m
v 5 
s
=
 Observação
O movimento harmônico simples (MHS) pode ser observado em muitas 
situações na natureza. Além do sistema massa mola, que está sendo 
estudado nesse texto, temos um exemplo muito conhecido, que é o pêndulo 
simples, que pode ser utilizado para obter a aceleração da gravidade local.
2.1 Energia mecânica no MHS
A energia mecânica do sistema pode ser calculada supondo que o corpo passe pela posição em que 
a mola não está deformada na posição
( ) mgy 0
k
= −
Com velocidade 
0v v(0)=
A partir desse instante, o corpo, pela ação da força peso que atua sobre ele, desce e deforma a mola, 
de maneira que sobre o corpo atuam, ao mesmo tempo, duas forças: a força peso e a força elástica. 
15
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Então, o trabalho resultante da força peso e da força elástica confere ao corpo uma variação de 
energia cinética dada por 
2
2 2
0
mg 1 mg 1 1
mg y k y mv mv
k 2 k 2 2
   + − + = −      
( ) ( )2 22 2 2
02
mg mg1 1 1 mg 1 1
mgy ky k k 2y mv mv
k 2 2 2 k 2 2k
+ − − − = −
( ) ( )2 22 2 2
0
mg mg1 1 1 1
mgy ky ymg mv mv
k 2 2 k 2 2
+ − − − = −
( )22 2 2
0
mg1 1 1 1
ky mv mv
2 2 k 2 2
− + = −
2
2 2 2
0
1 1 mg 1 1
ky k mv mv
2 2 k 2 2
 − + = −  
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ky k y mv mv
2 2 2 2
− + = −
2 2
m
1 1
E mv k y
2 2
= +
Ou
2 2
m 0 0
1 1
E m v k y 
2 2
= +
Esse resultado mostra que a energia mecânica Em do corpo permanece constante durante o movimento. 
Para a posição my y= ± , a velocidade vale v = 0; para a posição y = 0, a velocidade máxima vale 
mv v= ± , portanto
2
m m
1
E ky
2
= 
 ou
 
2
m m
1
E mv
2
=
16
Unidade I
 Saiba mais
Para mais informações sobre o MHS, consulte: 
NETTO, L. F. 16 em 1... o MHS. [s.d.]. Disponível em: <http://www.
feiradeciencias.com.br/sala18/18_07.asp>. Acesso em: 19 jul. 2017.
Supondo que somente forças conservativas, a energia mecânica no pêndulo de mola é expressa por 
2 2
m
1 1
E mv ky
2 2
= +
O gráfico dessa equação está representado na próxima figura.
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0
E(
J)
14
12
10
8
6
4
2
0
t(m)
0,1 0,2 0,3 04 0,5
Energia mecânica
Energia 
cinética
Energia 
potencial
Figura 4 – Neste exemplo foram considerados os seguintes valores: m 1 kg= , Nk 100
m
= , my 0,5 m= e mE 12,5 J=
 Lembrete
O que ocorre na realidade, nessa análise de energia do MHS, é 
uma troca de energia entre o corpo e a mola. Quando não é levada 
em conta a massa da mola, a sua energia é só potencial e a do corpo 
é somente cinética.
2.2 O pêndulo simples
Um pêndulo simples é constituído por um corpo de massa m, ligado a um fio de comprimento L. 
Uma extremidade do fio é fixa. O corpo é abandonado num campo de gravidade de intensidade g e 
passa a ter um movimento oscilatório, com período T. 
17
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
g
L
0
s
m
Av = 0
T
mg . cos(θ)
mg . sen(θ)
θ
θm
θ
mg
ν
d
dt
ν
ν2
L
Figura 5 – Pêndulo simples, de comprimento L, em movimento oscilatório em um campo de gravidade g 
Iremos considerar pequenas amplitudes de oscilação, ou seja, 0 < θ < 23º. Nesse intervalo angular 
vale a aproximação: ( )sen θ ≅ θ.
No corpo atuam a força peso e a força de tração do fio, aplicando a Segunda Lei de Newton vem
( )
2v
T mgcos m
L
− θ =
( ) dvmgsen m
dt
− θ =
d
v L
dt
θ=
( )
2
2
d
gsen L
dt
θ
θ− θ =

2
2
d g
 0
Ldt
θ + θ =
18
Unidade I
Essa equação diferencial exprime a propriedade característica do movimento harmônico simples. A 
sua pulsação é 
g
L
ω =
E o período é 
2
T
π=
ω
Logo,
g
T 2 
L
= π
A equação do movimento angular θ, a equação de velocidade angular θ e da aceleração angular θ 
são, respectivamente, 
m
m
2
m
cos( t )
sen( t )
cos( t )
θ = θ ω + α
θ = −ωθ ω + α
θ = −ω θ ω + α

mθ é a amplitude de oscilação, mωθ é a velocidadeangular máxima e 
2
mω θ é a máxima 
aceleração angular.
 Observação
Uma característica peculiar do pêndulo simples é que o seu período de 
oscilação independe da massa do corpo, em analogia com o que ocorre 
com a queda livre de um corpo num campo de gravidade uniforme, em que 
o tempo de queda, partindo do repouso, numa mesma altura, também não 
depende da massa do corpo.
Exemplo 1
Um corpo de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e oscila verticalmente em 
torno de sua posição de equilíbrio com amplitude constante. O campo de gravidade é g. 
No instante inicial t = 0, a posição do corpo é ( ) myy 0
2
= . Pedem-se:
19
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
a) a velocidade inicial v(0);
b) a equação do movimento do corpo y = y(t).
Dados: my 0,05 m= m 0,2 kg= 
N
k 50
m
=
Resolução:
a) Calcula-se a energia mecânica do corpo Em, e a energia potencial elástica inicial. Com esses valores 
calcula-se a velocidade inicial.
( )
( )
22 2 2
m m m m
2 2
2 2
1 1 1 1
E ky E 50 0,05 0,0625 J E mv(0) ky(0)
2 2 2 2
1 1 0,0625
0,0625 0,2 v(0) 50 ( )
2 2 2
1 1 0,0625
0,0625 0,2 v(0) 50 ( ) v 0 0,617 m / s
2 2 2
= = = = +
= +
= + = ±
b) Para obter-se a equação do movimento é preciso determinar 0ω , my e θ.
( ) ( )
( )
0 0 0
m 0 0 m 0
m
m
m m
0 m
k 50 m
15,81
m 0,2 s
y y . cos( t ) v y sen( t )
1
 yy(0) 2y(0) y . cos( ) cos cos
y y
1
cos rad
2 3
v(0) y sen( )
ω = ω = ω =
= ω + θ = −ω ω + θ
= θ θ = θ =
πθ = θ = ±
= −ω θ
Se ( ) ( )v 0 0 sen 0 rad y 0,05.cos 18,81t SI
3 3
π π > ∴ θ < ∴ θ = − = −  
Se ( ) ( )v 0 0 sen 0 rad y 0,05.cos 18,81t SI
3 3
π π < ∴ θ > ∴ θ = + = +  
Exemplo 2
Uma partícula executa movimento harmônico simples segundo a lei 
( )y 0,06 cos t SI= ⋅ π ⋅
20
Unidade I
Pedem-se:
a) o instante em que a partícula passa pela posição y = 0,03m pela quarta vez;
b) a velocidade nesse instante.
Resolução:
a) 
( )0,03 0,06 cos( t) cos t 0,5= ⋅ π π =
t n 2
3
ππ ⋅ = + ⋅ π ou 
5
t n' 2
3
ππ ⋅ = + ⋅ π
Primeira passagem: n = 0 Segunda passagem: n’ = 0
Terceira passagem: n = 1 Quarta passagem: n’ = 1
A quarta passagem corresponde à equação: 
5
t 1 2
3
ππ ⋅ = + ⋅ π
11 11
t t s
3 3
ππ ⋅ = =
b) A equação de velocidade é
dy
v 0,06 sen( t)
dt
v 0,06 sen( t)
11
v 0,06 sen( )
3
= = −π ⋅ ⋅ π
= −π ⋅ ⋅ π
π= −π ⋅ ⋅
( )011 3sen sen 660 0,87 v 0,06 ( 0,87)3 2
m
v 3,14 0,06 ( 0,87) v 0,164
s
π  = = − = − = −π ⋅ ⋅ −  
= − ⋅ ⋅ − =
Exemplo 3
Uma partícula executa movimento harmônico simples segundo a equação: 
y 0,06 cos 3 t SI
3
π = ⋅ π +  
21
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Pedem-se:
a) a fase inicial, a pulsação e o período;
b) a elongação, a velocidade e a aceleração no instante t = 2s.
Resolução:
a)
rad 2 2
 rad 3 T 2 / T T s
3 s 3 3
π πθ = ω = π = π ω = =
π
b) 
( )
( )
( )
( )
( )
2
dy
v 3 0,06 sen(3 t )
dt 3
dv
a 3 0,06 cos(3 t )
dt 3
1
y(2) 0,06 cos 3 2 y(2) 0,06 cos y(2) 0,06
3 3 2
y 2 0,03 m
v 2 3 0,06 sen 3 2
3
3
v 2 3 0,06 sen( ) v(2) 3 0,06
3 2
m
v 2 0,09 3 
s
π= = − π ⋅ ⋅ π +
π= = − π ⋅ ⋅ π +
π π   = ⋅ π ⋅ + = ⋅ = ⋅      
=
π = − π ⋅ ⋅ π ⋅ +  
π= − π ⋅ ⋅ − π ⋅ ⋅
= − π
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
2
a(2) 3 0,06 cos(3 2 ) a(2) 3 0,06 cos( )
3 3
1
a(2) 3 0,06
2
m 
a 2 0,27 
s
π π= − π ⋅ ⋅ π ⋅ + = − π ⋅ ⋅
= − π ⋅ ⋅
= − π
Exemplo 4
Um ponto executa MHS. Após a passagem pelo ponto neutro em sentido progressivo, o ponto 
alcança elongação igual a ¼ da amplitude em tempo igual a 1 s
10
. 
22
Unidade I
Qual é a frequência do movimento?
Resolução:
( )
( ) ( ) ( )
m m
m m
m m 
y y cos t v y sen( t )
y(0) y cos 0 v 0 y sen 0
cos( ) 0 e sen( ) 0 rad
2
1 1 1
y( ) y cos y
10 10 2 4
1 1
cos 2 f
10 2 4
1 1 1 75,5 1
cos 2 f 2 f 2 f 0,42
10 2 4 10 2 180 10 2
1 1
2f
10
= ⋅ ω + θ = −ω ω + θ
= ⋅ θ = = −ω θ >
πθ = θ < θ = −
π = ⋅ ω − =  
π ω − = ω = π  
π π π π − = π − = π π − = π  
− 0,42 f 4,6 Hz
2
= =
Exemplo 5
Em um diapasão, a extremidade P de uma haste executa movimento harmônico simples de frequência 
f = 1000 Hz com amplitude ym = 0,40 mm. Desprezando o amortecimento.
Determinar:
a) a velocidade máxima do ponto P;
b) a equação horária na elongação de P, considerando que para o instante t = 0 vale y(0) = 0 e v(0) > 0.
Resolução:
a) 
( )m
m
máx m
máx máx
2
y y cos t
v y sen( t )
rad
v y 1000 2000 
s
v 2000 0,40 v 80 s
2
0 m
f
m/
= ⋅ ω + θ
= −ω ω + θ
= ω ⋅ω = π ω = π ω = π
= π ⋅ = π
23
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
b) 
( ) ( ) ( )m m
3
y(0) y cos 0 v 0 y sen 0
cos( ) e sen( ) 0 rad
2
y 0,40 10 cos 2000t SI
2
−
= ⋅ θ = = −ω θ >
πθ θ < θ = −
π = ⋅ −  
Exemplo 6
Um alvo executa movimento harmônico simples de amplitude mx 3 m= período T = 42s, em 
direção horizontal. Um atirador quer acertá-lo quando estiver na sua posição neutra O. O atirador está 
numa distância D = 280 m do ponto O. A velocidade do projétil é P
m
v 400 
s
= .
Pedem-se:
a) a equação horária do movimento do alvo;
b) a elongação do alvo no instante em que a arma for disparada.
Resolução:
a)
( )m
p
P
2 2 2
x x cos t x 3 cos t
T 42 42
D 280
y D v t para y 0 t t t 0,7s
v 400
π π π = ⋅ ω + θ ω = ω = = ⋅ + θ  
= − = = = =
( ) 2x 0,7 3 cos 0,7 0
42
2
cos 0,7 0
42
2
0,7
42 2
π = ⋅ + θ =  
π + θ =  
π π+ θ =
30 2
π π+ θ = 1 1( )
2 30
θ = − ⋅ π
7
 
15
θ = π 
2 7
x 3 cos t
42 15
π = ⋅ + π  
24
Unidade I
b) Fazendo t = 0, vem
7
x 3 cos
15
x 0,181 m
 = ⋅ π  
=
Exemplo 7
Em certo motor a gasolina cada pistão tem massa mp = 1,00 kg e curso de ym = 0,10 m. O motor 
efetua 3000 rpm. Cada pista efetua aproximadamente movimento harmônico simples. 
Pedem-se:
a) a velocidade de um pistão no ponto médio do curso;
b) a intensidade da força resultante que age nele em um ponto de inversão.
Resolução:
a)
( )
( )
( )
m
m
máx m
máx máx
3000 rad
2 100 
60 s
y y cos t
v y sen( t )
v y
y 0,10 cos 100 t
v 10 sen(100 t )
m
v 100 0,10 v 10 0
s
y 0,10 cos 100 t
v 10 sen(100 t)
ω = ⋅ π ω = π
= ⋅ ω + θ
= −ω ω + θ
= ω
= ⋅ π ⋅ + θ
= − π ⋅ π ⋅ + θ
= π ⋅ = π θ =
= ⋅ π ⋅
= − π ⋅ π ⋅
( ) 0,10y 0,10 cos 100 t
2
= ⋅ π ⋅ = ( )cos 100 t 0,5π ⋅ = 100 t
3
ππ ⋅ =
1
t s
300
= 
1
v 10 sen(100 )
300
= − π ⋅ π ⋅ v 10 sen( )
3
π= − π ⋅
3
v 10
2
= − π ⋅ 
m
v 27,2 
s
= −
25
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
b)
( ) ( )2
2
m
2 2
resullt. p resullt.2
resullt.
dv y
a 1000 cos 100 t cos 100 t
dt 0,10
a 10000 y fazendo y y 0,10 m
m
a 1000 F m a F 1,0 1000
s
F 9860 N
= = − π ⋅ π ⋅ π ⋅ =
= − π ⋅ = =
= − π = ⋅ = ⋅ ⋅ π
=
Exemplo 8
Uma partícula executa movimento harmônico simples com amplitude ym = 0,05m, período T = 2,0s 
e fase inicial rad
12
πθ = . Pedem-se:
a) as equações de posição, velocidade e aceleração em função do tempo;
b) os instantes tm em que a aceleração é máxima e os instantes t0 em que a aceleração é nula.
Resolução: 
a)
( )my y cos t= ⋅ ω + θ
mv y sen( t )= −ω ω + θ
2
ma y cos( t )= −ω ω + θ
2a y= −ω
2
T
πω = 
2
2
πω = 
rad
 
s
ω = π
 rad
12
πθ = my 0,05 m=
y 0,05 cos t 
12
π = ⋅ π +  
 v sen( t )
20 12
π π= − π + 
2
a cos( t )
20 12
π π= − π +
26
Unidade I
b) Para que aceleração seja máxima, é necessário que
( )
m
m
t n
12
1
t n 0 n 1;2;3; ..
12
ππ + = π
= − ≥ = …
Para que aceleração seja nula, é necessário que
( )
0
0
t n
12 2
1 1
t n 0 n 1;3;5; ..
2 12
π ππ + =
= − ≥ = …
Exemplo 9
Uma partícula apoia-se em um plano horizontal que executa movimento harmônico simples 
horizontal com frequência f = 2,0 Hz. O coeficiente de atrito entre a partícula e a superfície em que ela 
se apoia é 0,5 µ = . 
Determinar o maior valor da amplitude ym do movimento que o plano de apoio pode executar sem 
que a partícula deslize.
Resolução:
max
atF mg= µ 
max
at maxF ma= 
2
máx may= ω 2 fω = π
2 3,14 2ω = ⋅ ⋅ 
12,56 rad / sω =
2
mmg myµ = ω m 2
g
y
µ=
ω 
m 2
0,5 9,8
y
12,56
⋅=
my 0,031 m=
my 31 mm=
27
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Exemplo 10
Uma partícula de massa m executa movimento harmônico simples com amplitude ym e pulsação ω.
Em função da elongação y, exprimir:
a) a energia mecânica;
b) a energia potencial;
c) a energia cinética.
Resolução:
a) 
2
mecânica m
1
E ky
2
=
b) 
2 2
potencial
1
E m y
2
= ω
c)
mecânica cinética potencialE E E= +
cinética mecânica potencialE E E= −
2
mecânica m
1
E ky
2
= 2k m= ω 2potencial
1
E ky
2
=
2 2 2 2
cinética m
1 1
E m y m y
2 2
= ω − ω 
2 2 2
cinética m
1
E m (y y )
2
= ω −
Exemplo 11
Uma partícula de massa m = 0,15 kg executa movimento harmônico simples de amplitude 
my 0,10 m= e pulsação 10 rad / sω = . No instante t = 0, vale y(0) = 0 e v(0) < 0. 
28
Unidade I
Pedem-se:
a) as equações y(t), v(t) e a(t);
b) as equações cinéticaE (t) e potencialE (t) ;
c) a energia mecânica.
Resolução:
a)
( ) my t y cos( t )= ω + θ ( ) mv t y sen( t )= −ω ω + θ
2
ma y cos(10 t )2
π= −ω +
( ) ( )my 0 y .cos 0= θ = ( )cos 0θ =
( ) mv 0 y sen( )= −ω θ <0 ( )sen 0θ > rad2
πθ =
y 0,10 cos(10t
2
π= + )
( )v t 1,0 sen(10t )
2
π= − ⋅ +
( )a t 10,0 cos(10t )
2
π= − ⋅ +
b)
2
cinética
1
E mv
2
=
2
cinética
1
E 0,15 1,0 sen 10t
2 2
 π = ⋅ − ⋅ +    
2
cinéticaE 0,075 sen (10t ) SI2
π= ⋅ +
2
potencial
1
E ky
2
= 
2
2
potencial
1
E 10 0,15 0,10 cos 10t
2 2
 π = ⋅ ⋅ +    
potencialE 0,75 cos(10t ) SI2
π= ⋅ +
29
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
 c)
2
mecânica m
1
E ky
2
= ( )2mecânica
1
E 15 0,1
2
= ⋅
mecanicaE 0,075 J=
Exemplo 12
Uma partícula executa movimento harmônico simples. 
Pedem-se:
a) a pulsação ω e o período T;
b) a energia mecânica;
c) a energia cinética no ponto neutro;
d) a energia potencial em qualquer ponto de inversão.
Dados: m
N
m 2,5 kg k 1000 y 0,20 m
m
= = =
Resolução:
a)
k 1000 rad
20 
m 2,5 s
2 2
T T s
T 20 10
ω = ω = ω =
π π πω = = =
 
b) 
( )22mecânica m mecânica
mecânica
1 1
E ky E 1000 0,2
2 2
E 20 J
= = ⋅
=
c)
2 2
m c p m
1 1
E E E E mv ky
2 2
= + = +
30
Unidade I
No ponto neutro, a energia potencial é nula, logo a energia cinética é igual à energia mecânica 
cE 20 J= .
d) Em um ponto de inversão, a velocidade é nula, logo a energia potencial é igual à energia 
mecânica pE 20 J= .
Exemplo 13
Em um pêndulo simples tem-se um corpo de massa m = 2,0 kg preso ao fio de comprimento L. O 
corpo oscila com amplitude angular mθ e sua equação horária é ( )0,1 cos 4,5t SIθ = ⋅ .
Dado: 2
m
g 10 
s
=
Pedem-se:
a) o comprimento L do pêndulo;
b) a sua velocidade escalar máxima;
c) a velocidade escalar do corpo no instante 
T
t
8
= .
Resolução:
a)
2 2
g g 10
L L
L 4.5
L 0,494 m
ω = = =
ω
=
b) 
( )
m máxima m
máxima
máxima
0,1 cos 4,5t 0.1 4.5sen(4.5t)
0,45sen(4.5t)
rad
0,45 v L
s
v 0.45 0.49
m
v 0,22
s
θ = ⋅ θ = − ⋅
θ = −
θ = = θ
= ⋅
=


 
 
31
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
c)
2 2
T T 2
T 4.5
T
T 1,4 s t t 0,175 s
8
v L 0,45 sen(4.5t) L 0,494 m
v 0.45 0.494 sen(4,5t) v 0,22 sen(4,5t)
v 0,22 sen(4.5 0.175) v 0,22 sen(0.7875)
m
v 0,156
s
π π πω = = = ⋅
ω
= = =
= θ θ = − =
= − ⋅ = −
= − ⋅ = −
=
 
Exemplo 14
Um pêndulo simples de comprimento L = 2,0m oscila num campo de gravidade 2
m
g 10
s
= . 
Pedem-se:
a) a frequência de oscilação;
b) a nova frequência de oscilação se o pêndulo fosse colocado numa caixa que estivesse com 
aceleração a = 2m/s2 para cima. 
Resolução:
a)
L 1 1 g 1 10
T 2 f f f
g T 2 L 2 2
f 0,36H z
= π = = =
π π
=
b)
1 g a 1 10 2
f f
2 L 2 2
f 0,39H z
+ += =
π π
= 
32
Unidade I
Exemplo 15
Um relógio de pêndulo é deslocado de uma região de campo de gravidade 2
m
g 9,8
s
= para outra 
região de campo de gravidade 2
m
g' 9,75 
s
= . Qual será o atraso do relógio em 24h?
Resolução:
L L T ' g
T 2 T ' 2
g g' T g'
T ' 9.8
T 9.75
T '
1,002561 1hhhhhhhs 24h 86400 s
T
= π = π =
=
= =
Portanto, o relógio irá atrasar 
221.2704
86400 0.002561 221.2704 s 3,69 minutos.
60
⋅ = = =
3 MOVIMENTO AMORTECIDO
Quando o movimento de um oscilador fica sujeito a uma força que atua sempre em sentido contrário 
à velocidade do oscilador, então o movimento é chamado de amortecido. É dessa forma que atua, por 
exemplo, o amortecedor de um automóvel. Numa primeira aproximação, vamos considerar que a força 
exercida pelo amortecedor seja diretamente proporcional à velocidade do oscilador. 
Amortecedor 
e mola
Barra de 
direção
Chassi do carro
Braço triangular
Figura 6 – Desenho básico de uma suspensão MacPherson. O amortecedor é montado com uma mola helicoidal externa
33
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Para tanto, considerando que uma partícula de massa m move-se sobre o eixo Oy sob ação de força 
elástica e também de uma força viscosa, representadas pelas equações:
elástica vicosa
dy
F ky F b
dt
= − = − 
Aplicando a Segunda Lei de Newton, vem:
2
elástica viscosa2
2
2
2
2
d y
F m F F
dt
d y dy
m ky b
dtdt
d y k b dy
 y 
m m dtdt
= = +
= − −
= − +
k b
m (0)
y
Figura 7 – Sistema constituído por um corpo de massa m, ligado a uma mola de constante elástica k, e a um amortecedor de 
coeficiente de resistência viscosa b. É necessário um agente externo para que o sistema entre em movimento
Se não houvesse resistência viscosa, a partícula oscilaria com pulsação ω0
Tal que
2
0
k
m
= ω
Chama-se parâmetro de amortecimento a grandeza 
b
2
m
γ =
34
Unidade I
Assim, a equação diferencial do movimento pode ser reescrita como
2
2
02
d y dy
 y 2
dtdt
= −ω + γ
Define-se como grau de amortecimento a grandeza
0
γβ =
ω 
Há três tipos de amortecimento para o movimento amortecido, conforme o intervalo de variação do 
grau de amortecimento:
• amortecimento fraco 0 1< β < ;
• amortecimento crítico 1;β =
• amortecimento forte 1β > .
O amortecimento fraco é representado pela equação
t
my y e cos( t )
−γ= ⋅ ω + θ , 2 20ω = ω − γ
O amortecimento crítico é representado pela equação
( ) t1 2y A A t e−γ= + ⋅
O amortecimento forte é representado pela equação
2 2 2 2t t0 0
1 2y A e A e
   −γ + γ −ω −γ − γ −ω      = +
No gráfico a seguir estão representadas as curvas para cada tipo de amortecimento. 
35
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
0 2 4 6 8 10 12
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t(s)
y(
m
)
amort. forte crítico
amort. forte
amort. fraco
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
t(s)
amort. fraco
amort. forte 
crítico
amort. forte
0 2 4 6 8 10 12
y(
m
)
Figura 8 – Gráfico comparativo com os diversos graus de amortecimento. No amortecimento fraco, o corpo oscila 
em torno da posição de equilíbrio até parar. No amortecimento crítico e forte, o corpo não oscila
 Observação
Conforme a situação, devemos escolher o tipo de amortecimento 
mais adequado. Se o objetivo é interromper rapidamente a oscilação, 
devemos optar pelo regime de amortecimento crítico. Se algumas 
oscilações são aceitáveis antes de cessar o movimento, devemos optar pelo 
amortecimento fraco. No caso de uma mola de porta, por exemplo, não 
queremos oscilações, mas que ela feche de forma suave; então, devemos 
trabalhar com a condição de amortecimento crítico.
 Saiba mais
Para um estudo mais aprimorado de equações diferenciais, consulte:
BOULOS, P.; ABUD Z. I. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2002. v. 2. 
4 ATENUAÇÃO EXPONENCIAL
Ocorre não só em oscilações amortecidas, mas também em outros fenômenos transitórios 
como decaimento radioativo, circuito RC, circuito RL e circuito RLC com amortecimento crítico ou 
supercrítico. É comum o fenômeno das oscilações pseudo-harmônicas amortecidas exponencialmente, 
cuja amplitude decai com o tempo segundo a lei
t
my y e
−γ=
36
Unidade I
0 2 4 6 8 10 12
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.040.05
t(s)
y(
m
)
amort. forte crítico
amort. forte
amort. fraco
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0,04
-0,05
t(s)
0 2 4 6 8 10 12
y(
m
)
Figura 9 – Neste exemplo foram considerados os seguintes valores: ym =0,041m, γ = 0,25s-1, 
rad
1,225 
s
ω = , θ = -0,2rad, 
T = 5,13s e o decremento logaritmico é D T 1,282= γ =
Em data posterior t ' t t= + ∆ , a amplitude é 
t
m
t' t ' (t t)
m m m
t t
m
t
t
y y e
y ' y e y ' y e y e
y ' y e e
y y e
y
e
y '
'
−γ
−γ −γ −γ +∆
−γ −γ∆
−γ∆
γ∆
=
= = =
= ⋅
= ⋅
=
A relação 
'
y
y
 não depende do instante t, mas somente da duração ∆t. Ela mede a proporção em que 
a amplitude se reduz na duração ∆t a partir de qualquer data t. Em datas sucedendo-se em progressão 
aritmética, a amplitude decresce em progressão geométrica. 
O recíproco do parâmetro de amortecimento é chamado de constante de tempo da exponencial. 
1τ =
γ
Chama-se decremento logarítmico da lei de atenuação o número
D T= γ
O decremento logarítmico é logarítmico neperiano da redução de amplitude em um pseudoperíodo. 
37
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
 Observação
Em muitos sistemas de uso prático há molas e amortecedores atuando ao 
mesmo tempo. Um exemplo clássico são as balanças analíticas de precisão, 
nas quais é necessário ajustar o grau de amortecimento mais próximo do 
crítico, de maneira a que a leitura possa ser efetuada rapidamente. 
Exemplo 1
Uma partícula de massa m pende de uma mola de constante elástica k e ao mover-se fica sujeita a 
uma resistência viscosa de coeficiente b. A partícula é abandonada em repouso, no instante t = 0, numa 
distância y(0) de sua posição de equilíbrio. 
Determinar:
a) o grau de amortecimento b;
b) a equação da elongação y em função do tempo.
Dados: m = 5,0 kg Nk 20
m
= 
N
b 10 
m / s
= y(0) = 0,1 m v(0) = 0
Resolução:
a)
 
1
0 0
0
0
b 10 k 20
1 s
2m 2 5 m 5
2 rad / s
−γ = γ = γ = ω = ω =
⋅
γω = β =
ω
0,5β = amortecimento é fraco.
b) Esse grau de amortecimento segue as equações
( )
t
m
t t
m
2 2 2 2
0
y y e cos( t )
v y e cos t e sen( t )
2 1
rad
3 
s
−γ
−γ −γ
= ω + θ
 = −γ ω + θ − ω ω + θ 
ω = ω − γ ω = −
ω =
38
Unidade I
No instante t = 0 fica
 
m
0 0
y(0) y cos( )
> >
= θ ( )mv(0) y cos sen( ) = −γ θ − ω θ 
( )
( )
( )m
m
y cos sen( )v 0
y 0 y cos( )
 −γ θ − ω θ =
θ 
 ( )
( )
( )cos sen( )v 0
y 0 cos( )
 −γ θ − ω θ =
θ
( )
( )
v 0
 tan( )
y 0
= −γ − ω θ ( )
( )
( )
v 0
y 0
tan
γ +
θ =
−ω
( )
0
1
0,1tan
3
+
θ =
−
( ) 1tan
3 
θ = −
Como o cosseno é positivo e a tangente é negativa, o ângulo θ está no quarto quadrante. 
0
0
0,52
0,52 rad 180
30 rad
6
θ = − θ = − ⋅
π
πθ = − = 
 
 
m m m 0
m
1
0
,0 
0
t
y(0) 0,1 0,1
y(0) y cos( ) y y
cos( ) 0,87cos(30 )
y 0,115 m
y 0,115 e cos 3 t SI
6
−
> >
= θ = = = −
θ
=
π = −   
 Lembrete
Em um movimento amortecido, o sistema é definido pela constante 
elástica da mola k, coeficiente de resistência viscosa do amortecedor b, e a 
massa do corpo m. Porém para que a equação de movimento fique definida 
ainda é necessário fornecer as condições iniciais do movimento, ou seja, a 
posição e velocidade na data t = 0.
39
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Exemplo 2
Um pêndulo de mola (
N
k 100
m
= , m 80 kg= ) executa oscilações amortecidas. Suprimindo-se a 
dissipação e elevando-se a massa para m’ = 100 kg, o período se conserva.
Determinar:
a) o parâmetro de amortecimento γ;
b) a pulsação das oscilações amortecidas ω.
Resolução:
 a) 
2 2 2
0 0 0
0
2
2 2 2 2
0
2 2
'
0
2 2
' '
'
1
k 2 2
m T T
b 2 k
 
2m T m
2 k 2 k
T m T m
k k k k
m mm m
1 1 1 1
k( ) 100 ( )
m 80 100m
0,5 s−
π πω = ω − γ ω = ω = ω =
π ω = ω − γ γ = = − γ  
 π π = =     
= − γ γ = −
γ = − γ = ⋅ −
γ =
b)
'
k 100
100m
rad
1,0 
s
ω = ω =
ω =
Exemplo 3
Um pêndulo de mola, com massa m = 1,0 kg, é ligado a um amortecedor. Em certo instante, a partícula 
oscilante passa pela posição neutra com velocidade v0 = 0,40 m/s. A partícula executa 4 oscilações completas 
em 5 s, quando então se desliga o amortecedor; em seguida, observam-se 10 oscilações em 12,48 s. 
40
Unidade I
Pedem-se:
a) a constante elástica k;
b) o coeficiente de resistência viscosa b;
c) a amplitude ym do movimento amortecido.
Resolução:
a)
2
2
0 0
0
2 2
0
12,48 k 2
T 1,248 s
10 m T
2 2 3.14
k m k 1,0
T 1.248
k 25,3N
 π= = ω = =   
 π ⋅ = = ⋅      
=
b)
2 2
0ω = ω − γ 
2
0
k
m
ω =
0
0
2
T
πω = 2
T
πω = 2 2 20ω = ω − γ
b
2m
γ = 
22
2
0
2 2
T T
 π π  = − γ      
2
0
2 k
T m
 π =  
 
2 2
2
0
2 2
T T
 π π γ = −      
5
T 1,25 s
4
= =
2 22 2
1.248 1.25
π π   γ = −      
10,2847 s−γ =
b 2m= γ b 2 1,0 0,2847= ⋅ ⋅
N
b 057
m / s
=
41
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
c)
t 0= 0
m
v 0,40
s
= 0y 0=
( )0 my y cos 0= θ = 
( )cos 0θ = ( )sen 1θ = ±
( )0 mv y cos sen( ) = −γ ⋅ θ − ω ⋅ θ 

[ ]
0
0 mv y ( 1)
>
= −ω ⋅ −
rad
2 5,03 
1.25 s
πω = ⋅ =
0
m
v
y =
ω 
m
0.4
y
5.03
= my 0,0795 m=
Exemplo 4
Um corpo ligado a uma mola e a um amortecedor executa oscilações amortecidas. No instante 
t = 0, a posição vale y(0) = 1,0 cm e a fase inicial é θ = 0. Determinar a equação do movimento 
desse corpo.
Dados: 
N N
m 50 kg k 14450 b 800 
m m / s
= = =
Resolução:
b
2m
γ = 
800
2 50
γ =
⋅
 18 s−γ = 0
k
m
ω = 0
14450
50
ω =
0
rad
17 
s
ω =
2 2
0ω = ω − γ 
2 217 8ω = −
rad
15 
s
ω =
t
my y e cos( t )
−γ= ω + θ ( ) my 0 y cos( )= θ
42
Unidade I
( ) ( )
1
my 0 y cos 0 1,0= =

 my 1,0 cm 0,01 m= = 
( )8ty 0,01 e cos 15t SI−=
Exemplo 5
Uma partícula move-se sob ação de uma força elástica e também de uma força de resistência 
viscosa. Equacionar o movimento nos casos de:
a) amortecimento fraco (
N
b 16
m / s
= );
b) crítico (
N
b 80 )
m / s
= ;
c) forte (
N
98 )
m / s
.
Dados: ( ) ( )Nm 32 kg k 50 y 0 0,04 m v 0 0
m
= = = =
Resolução
a)
b 16
0,25
2m 2 32
γ = = =
⋅
 0
k 50
1,25
 m 32
ω = = = 
0
0.25
0,2 
1.25
γβ = = =
ω 
2 2 2 2
0 1.25 0.25 1,2247ω = ω − γ = − =
t
my y e cos( t )
−γ= ω + θ ( )t tmv y e cos t e sen( t )−γ −γ = −γ ω + θ − ω ω + θ 
( )

( )m
00
y 0 y cos
>>
= θ
 ( )mv(0) y cos sen( ) = −γ θ − ω θ 
( )
( )
( )
v 0 0
0.25y 0 0.04tan 0,2041
1.2247
γ + +
θ = = = −
−ω −
 e ( )cos 0θ >
43
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Portanto, o ângulo θ está no quarto quadrante.
( )
0
m 0
0.25 t
11.54 0,2 rad
y(0) 0.04 0.04
y 0,041 m
cos( ) 0.98cos( 11.54 )
y 0.041 e cos 1.225 t 0.2 SI− ⋅
θ = − = −
= = = =
θ −
= −
b)
b 80
1,25
2m 2 32
γ = = =
⋅
 
0
1.25
1 
1.25
γβ = = =
ω
 
t
1 2y (A A t) e
−γ= +
 t t t
1 2
dy
v A e A (1 e t e )
dt
−γ − γ −γ= = −γ + ⋅ − ⋅ γ ⋅
( ) 1y 0 A 0,04 m= = ( ) 1 2v 0 A A= −γ +
20 1.25 0.04 A= − ⋅ + 
 2
m
A 0,05 
s
=
( ) 1.25 ty 0.04 0.05t e SI−= +
c)
b 98
1,53125
2m 2 32
γ = = =
⋅
 0
k 50
1,25
 m 32
ω = = = 
0
1.53125
1,2250,2
1.25
γβ = = =
ω
2 2 2 2t t0 0
1 2y A e A e
   −γ + γ −ω −γ − γ −ω      = +
2 2 2 2 1
1 0C 1.53125 1.53125 1.25 0,6468 s
−= −γ + γ − ω = − + − = −
2 2 2 2 1
2 0C 1.53125 1.53125 1.25 2,4157 s
−= −γ + γ − ω = − − − = −
C t C t1 2
1 2y A e A e= +
44
Unidade I
C t C t1 2
1 1 2 2
dy
v A C e A C e
dt
= = +
1 2y(0) A A = + 1 20.04 A A = + 
1 1 2 2v(0) A C A C= + 1 20 A ( 0.6468) A ( 2.4157)= ⋅ − + ⋅ − 
1A 0.0546 m= 2A 0.0146 m= −
0,6468 t 2.4157 ty 0.0546 e 0,0146 e− −= ⋅ − ⋅
 Saiba mais
Um exemplo de oscilador forçado e do fenômeno de ressonância é o 
da ponte de Tacoma, nos Estados Unidos. Um vídeo dessa ponte oscilando 
pode ser visto em:
TACOMA NarrowsBridge Destruction. EUA: 1940. 2 minutos. 
Exemplo 6
Um movimento segue a lei: ( )0,5 t y 0,02 e cos 1,2 t SI−= ⋅ . 
Pede-se a velocidade no instante t = 1,5 s.
Resolução:
( ) ( )0,5t 0,5tdyv 0,02 ( 0,5e cos 1,2t e 1,2 sen(1,2t)
dt
− −= = − + − )
( ) ( )0.51.5 0.51.5v(1,5) 0.02 ( 0.5e cos 1.2 1.5 e 1.2 sin(1.2 1.5))− ⋅ − ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
( ) mv 1,5 0,0051
s
= −
Exemplo 7
Um sólido com massa m = 5,0 kg, suspenso em uma mola helicoidal leve de constante elástica 
N
k 2000
m
= , é ligado a um amortecedor que oferece uma resistência com coeficiente de viscosidade 
45
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
N
b 2,5
m / s
= . A amplitude do movimento é my 0,01 m= e a fase inicial é nula. Em que proporção se 
reduz a amplitude de oscilação em 10 ciclos?
Resolução:
( )
1
0
2 2 2 2
amplitude
0.25 t
0.2512
b 2.5 k 2000 rad
0,25 s 20 
2m 2 5 m 5 s
20 0.25 20 0.25 19,9984 20 rad / s
y 0.01 e cos 20 t SI 
t 0 amplitude inicial 0,01m
2 2
t 10 10 12,56 s amplitude final 0.01 e
20
−
− ⋅
− ⋅
γ = = = ω = = =
⋅
ω = − = − = ≅
= ⋅ ⋅ ⋅
= =
π π= ⋅ = ⋅ = = ⋅
ω

0,0433
.56 m
amplitude final
0,0433 4,33%
amplitude inicial
= →

Exemplo 8
O recuo de um canhão faz-se sob efeito de um amortecedor a óleo e de um sistema de molas. A 
constante elástica do sistema de molas é 
N
k 70000
m
= . A massa do cano é m = 700 kg. 
Determinar o coeficiente b de resistência viscosa para que o cano volte à posição de equilíbrio o mais 
depressa possível, sem entrar em oscilação.
Resolução:
Para a condição de retorno à posição de equilíbrio no menor tempo possível sem entrar em oscilação, 
o grau de amortecimento deve ser crítico, ou seja, b = 1.
 Logo
0
0
1
k 70000 rad
1 10
m 700 s
10s
b
b 2m b 10 2 700
2m
N
b 14000
m / s
−
γβ = = ω = = =
ω
γ =
γ = = γ ⋅ = ⋅ ⋅
=
46
Unidade I
Exemplo 9
Um corpo de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e a um amortecedor de 
coeficiente de resistência viscosa b. 
Pedem-se: 
a) o período do movimento amortecido;
b) o tempo decorrido até que a amplitude do movimento caia até a metade de seu valor inicial.
Dados: 
N N
m 3,0 kg k 170 b 1,5 
m m / s
= = =
Resolução:
a)
0
k 170 rad
7,53
m 3.0 s
ω = = =
1b 1.5 0,25 s
2m 2 3.0
−γ = = =
⋅
2 2 2 2
0 7.53 0.25 7,53 rad / sω = ω − γ = − =
2 2
T 0,8344 s
7.53
π π= = =
ω
b)
( )

( ) ( )
1
t t
m m
1 1
y e y e t ln e ln(0.5)
2 2
ln 0.5 ln 0.5
t 2,77 s
0.25
−γ −γ⋅ = = − γ ⋅ =
= − = − =
γ
Isso ocorre a aproximadamente 
2.77
3,3
0.8344
= oscilações. 
Exemplo 10
Uma partícula executa oscilações livres amortecidas. As condições iniciais do movimento são: posição 
inicial y(o) = 0 e velocidade inicial ( ) mv 0 0,20
s
= .
47
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Pedem-se:
a) a posição da partícula em função do tempo;
b) o tempo decorrido para que a energia mecânica caia para a metade de seu valor inicial. 
Dados: 
N N
m 4,0 kg k 100 b 24 
m m / s
= = =
Resolução:
a) 
b
2m
γ = 24
2 8
γ =
⋅
 13 s−γ = 0
k
m
ω = 0
100
4
ω = 
0
rad
5 
s
ω =
2 2
0ω = ω − γ 
2 25 3ω = −
rad
4 
s
ω =
( )
( )
( )
( )t t tm m
v 0 0.20
3.0y 0 0tan
4
y y e cos( t ) v y e cos t e sen( t )−γ −γ −γ
γ + +
θ = = = −∞
−ω −
 = ω + θ = −γ ω + θ − ω ω + θ 
No instante t = 0 fica 
 
 
 
m
m
m
m
zero 0
0 zero
0
m
0
y(0) y cos( )
v(0) y cos( ) sen( )
v(0) y sen( ) rad
2
v(0)
y
sen( )
2
v(0) 0.20
y 0,05 m
4.0 ( 1)sen( )
2
>
> <
= θ
 
 = −γ θ − ω θ
  
π= − ω θ θ = −
= π−ω ⋅ −
= = =π − ⋅ −−ω ⋅ −
 
48
Unidade I
m
t
m
3,0t
v(0) 0.20
y 0,05 m
4.0 ( 1)sen( )
2
y y e cos( t )
y 0,05e cos 4,0t SI
2
−γ
−
= = =π − ⋅ −−ω ⋅ −
= ω + θ
π = −  
b) 
2t 2 2 t
m m m
2 t 2 3 t
1 1
E k y e ky e
2 2
e 0.5 e 0.5
t 0,1155
−γ − γ
− γ − ⋅ ⋅
 = = ⋅ 
= =
=
 Resumo
Nesta unidade foram apresentadas a cinemática e a dinâmica 
do movimento oscilatório. Primeiro abordou-se a oscilação livre sem 
amortecimento. Nessa parte, um corpo ligado a uma mola oscila em campo 
de gravidade uniforme. Na aplicação da Segunda Lei de Newton obteve-se 
a equação diferencial do movimento indicada a seguir:
mÿ + ky = 0
A solução dessa equação é 
my y cos( t )= ω + θ , 
2
T
πω =
A velocidade e aceleração são respectivamente
mv y sen( t )= −ω ω + θ 
2
ma y cos( t )= −ω ω + θ 
A aceleração também pode ser apresentada como
2a y= −ω
Esse sistema é conservativo, mantendo, portanto, sua energia mecânica 
Em constante durante o movimento. A seguir também estão as equações da 
energia cinética Ec e energia potencial elástica Ep. 
49
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
m c p
2 2 2
m m c p
E E E
1 1 1
E ky E mv E ky
2 2 2
= +
= = =
A velocidade do corpo é máxima na origem, a aceleração é máxima nos 
extremos, a velocidade é nula nos extremos e também a aceleração é nula 
na origem.
Resumidamente temos:
máxima m
2
máxima m m
v y ; a 0 implica y 0
a y ; v 0 implica y y
= ±ω = =
= ±ω = = 
Na oscilação livre com amortecimento, um corpo ligado a uma mola e 
a um amortecedor oscila em campo de gravidade uniforme. Na aplicação 
da Segunda Lei de Newton, obteve-se a equação diferencial do movimento 
amortecido indicada a seguir:
mÿ + bý + ky = 0
A solução dessa equação é separada de acordo com o grau de 
amortecimento b.
Amortecimento fraco (0 < b < 1)
t
my y e cos( t )
−γ= ⋅ ω + θ , 2 20ω = ω − γ , 
b
2m
γ = , 0
k
m
ω =
A equação que relaciona o decréscimo das amplitudes é
t
my y e
−γ=
As constantes Ym e θ são definidas pelas condições iniciais do movimento.
I- Amortecimento crítico (b = 1)
( ) t1 2y A A t e−γ= + ⋅
As constantes A1 e A2 são definidas pelas condições iniciais do movimento.
50
Unidade I
III- Amortecimento forte (b > 1)
2 2 2 2t t0 0
1 2y A e A e
   −γ + γ −ω −γ − γ −ω      = +
As constantes A1 e A2 são definidas pelas condições iniciais do 
movimento.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2014) 
K
B
f(t)
y(t)
M
O desenvolvimento de modelos matemáticos é de fundamental importância para a análise dinâmica 
das máquinas. O sistema vibratório amortecido mostrado na figura acima apresenta coeficiente de 
rigidez k, coeficiente de amortecento c, massa m, e representa um sistema de um grau de liberdade 
que apresentará movimento horizontal a partir de sua linha de equilíbrio estático, com coordenada 
generalizada x(t). O movimento acontecerá por meio de um desbalanceamento rotativo (m0.h), sendo m0 
a massa desbalanceada e h a distância de m0 ao centro de rotação. Observa-se que a massa m do sistema 
inclui o desequilíbrio m0. O sistema apresenta frequência de excitação de 600 rpm.
Dados: m = 10 kg, k = 360 N/m, c = 50 N.s/m, (m0.h) = 0,01 kg.m
A equação do movimento diferencial e a frequência natural do sistema, em rad/s, são:
A) 2
n
10x 50x 120x 4 sen20 t
12rad / s
+ + = π π
ϖ =
 
B) 
n
sen600t
6rad / sϖ =
C) 
n
x 10x 36x 40sen600t
12rad / s
+ + =
ϖ =
 
51
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
D) 2
n
10x 100x 360x 20 sen600t
6rad / s
+ + = π
ϖ =
 
E) 2
n
x 10x 36x 0,4 sen20 t
6rad / s
+ + = π π
ϖ =
 
Resposta correta: alternativa E.
Análise da questão
Sabendo que m=10 kg e k=120 N/m e que no sistema existem três molas em paralelo, o que fornece 
constante total do sistema igual a 360 N/m, a frequência natural é dada por:
n n
N360k m rad6 sm 10kg
ϖ = = → ϖ =
A equação do movimento é:
( )20mx cx kx m h sen 2 ft+ + = ϖ π 
Sabemos que m=10 kg, que a constante total do sistema é igual a 360 N/m e que o coeficiente total 
de amortecimento é igual a 100 Ns/m, pois, no sistema, existem dois amortecedores em paralelo.
Sabemos também que m0.h = 0,01 kg.m e que a frequência de excitação é 600 rpm, o que fornece:
1 1 1
2 f 2 600 2 600 20
min 60s s
ϖ = π = π = π = π
Com esses dados, temos:
( ) ( )210x 100x 360x 0,01 20 sen 2 10t+ + = ⋅ π π 
( )210x 100x 360x 0,01 400 sen 20 t+ + = ⋅ ⋅ π π 
( )210x 100x 360x 4 sen 20 t+ + = π π 
( )2x 10x 36x 0,4 sen 20 t+ += π π 
52
Unidade I
Questão 2. (Enade 2011) Em um ensaio de resposta em frequência de uma suspensão veicular, foi 
realizada uma varredura em frequência, tendo sido o sistema excitado com uma força do tipo F=Fo.
cos(ωt). Para cada frequência com que se excitou a estrutura, mediu-se o deslocamento x(ω), resultando 
no gráfico de resposta de frequência mostrado a seguir.
0 10 20 30 40 50 60
ω (rad/s)
H(ω) (m/N)
H
X
F
( )
( )
( )
ω ω
ω
=
1,80E-03
1,60E-03
1,40E-03
1,20E-03
E,00E-03
8,00E-04
6,00E-04
4,00E-04
2,00E-04
0,00E+00
Modelando a suspensão como um sistema massa-mola de um grau de liberdade, a equação 
matemática para a resposta em frequência é:
| ( ) |
( ) ( )
H
k m c
ω
ω ω
=
− +
1
2 2 2
em que k, c e m são os parâmetros que caracterizam estrutura, a saber, constante elástica, 
amortecimento e massa, respectivamente. Ao analisar o gráfico e utilizando a equação da resposta em 
frequência, é possível identificar o valor da frequência de ressonância da estrutura (ωn) e calcular os 
parâmetros k, c, e m.
Nessa situação, quais os valores corretos desses parâmetros?
A) ωn = 11 rad/s; k = 500 N/m; m = 4,132 kg e c = 56,82 Ns/m.
B) ωn = 11 rad/s; k = 500 N/m; m = 41,32 kg e c = 5,20 Ns/m.
C) ωn = 11 rad/s; k = 5 000 N/m; m = 41,32 kg e c = 56,82 Ns/m.
D) ωn = 12 rad/s; k = 5 000 N/m; m = 34,72 kg e c = 5,20 Ns/m.
E) ωn = 12 rad/s; k = 5 000 N/m; m = 34,72 kg e c = 52,08 Ns/m
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