Aulas de óptica e ondas

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Elaborado por Alberto Marcos Halar 0 
 
 
 
 
 
 Docente de Óptica e ondas, Física Moderna, Didáctica de Física, ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE PEDAGÓGICA 
DELEGAÇÃO DE GAZA 
FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
XAI-XAI, 2008 
BLOCO DE APONTAMENTOS 
 
ÓPTICA E ONDAS 
DISCIPLINA DE COMPONENTE DE FORMAÇÃO 
CIENTÍFICO – TÉCNICA ESPECÍFICA. 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 1 
 
 
 
Introdução 
 
Esta disciplina é de regime semestral com um total de 16 semanas distribuídas em aulas teóricas, 
seminários e práticas laboratoriais. O ensino desta cadeira tentará sempre que possível destacar a 
unidade da física e a realidade que rodeia o aluno, relacionando os diversos fenómenos das ondas e da 
óptica mediante uma descrição teórica e experimental comuns a ele. Através de integração de vários 
fenómenos ondulatórios, de discussões em torno de exemplos com aplicações e técnicas, de tantas 
demonstrações em classe quanto possíveis, será possível ilustrar a ampla aplicação da teoria física 
tornando deste modo para o estudante, provavelmente, mais fácil a descrição, a resolução e a 
compreensão das tarefas e problemas relacionados com os conteúdos abordados. 
 
II. Objectivos gerais da cadeira 
 
� Proporcionar uma discussão cuidadosa dos conceitos básicos da disciplina, com ênfase na 
compreensão dos aspectos essenciais, procurando desenvolver a capacidade de pensar sobre os 
fenómenos em termos físicos; 
� Tratar com mais profundidade fenómenos ligados a oscilações, ondas e óptica abordados na 
física escolar; 
� Criar motivação, abrir horizonte dar ao estudante, a ferramenta necessária para possíveis 
pesquisas na física escolar e / ou na física ondulatória; 
� Desenvolver no discente a compreensão dos fenómenos ligados a óptica geométrica e 
ondulatória; 
� Operar com as aplicações da óptica e da acústica 
 
III. Plano temático 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 2 
 
 
Nº de 
ordem 
Tema Horas por tema 
1 Oscilações 18 
2 Movimento ondulatório 18 
3 Super posição de ondas estacionárias 12 
4 Raios e óptica geométrica 18 
5 Ondas e óptica ondulatória 18 
6 Dualidade onda partícula e a física quântica 12 
Total 96 
 
IV. Estratégias e método de ensino e aprendizagem: 
 
A disciplina de óptica e ondas que congrega aulas teóricas, exercitação e laboratório, tem uma carga 
semanal de 6 horas. 
Quanto a metodologia de trabalho, as questões e problemas colocados nas aulas de exercitação são 
subdivididos em categorias seguintes: 
� Exercícios de aplicação directa e relacionados directamente com o essencial do assunto tratado; 
� Exercício de aplicação no processo ensino – aprendizagem da física do ensino secundário; 
� Problemas e equações adicionais 
 
Para além deste tipo de exercícios a disciplina será caracterizada pelos trabalhos de pesquisa 
independente individual ou de grupo, experiência de demonstração, experiência de laboratório e 
construção de aparelhos de demonstração com aparelhos simples. 
 
V. Meios de ensino 
 
A disciplina usará para o ensino e aprendizagem meios como o quadro, livros, retroprojector, computador 
e outros recursos pertinentes a este tipo de disciplina. 
VI. Avaliação 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 3 
 
Os instrumentos de avaliação serão: 
� Testes escritos e exame oral, 
� Relatórios de pesquisa bibliográfica; 
� Relatórios de trabalho de experimentação. 
 
VII. Bibliografia básica 
Alonso & Finn. Física um curso Universitário, Vol.2 Campos e ondas, Edgard Blucher, São Paulo, 1981. 
Resnick, R. & Halliday, D. Física 3 Rio de Janeiro: LTC- Livros técnicos e científicos, Editora S.A. 1983 
Tipler, Paul A. Mecânica. Oscilações e ondas volume 1 – LTC – livros técnicos e específicos, S.A. 2000. 
B.M. Yavorski, Prontuário de Física, Editora Mir, Moscovo, 1984. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 4 
 
VIII. Desenvolvimento dos conteúdos.( aula introdutória) 
 
Apresentação de experiências de demonstração para a criação de subsídios em torno do tema. 
 
1. Monta se para a observação, vários sistemas oscilantes (mecânicos & eléctricos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exige se ao estudante o desenvolvimento de actividades científicas de conhecimento ( Observar, 
descrever, explicar, prever fenómenos e processos, medir grandezas físicas definir ) para o 
entendimento das experiências. 
 
A) Observar é uma actividade científica de conhecimento que tem como objectivo perceber os 
objectos, processos ou estados conscientemente escolhidos, através de uma percepção 
objectivamente orientada em relação à sua existência ou às suas transformações. 
B) Descrever 
Actividade científica de reconhecimento que tem como objectivo apresentar numa ordem sistemática, 
fenómenos e factos físicos observados, em relação às suas características externas perceptíveis, com 
ajuda de meios mentais e linguísticos. 
C) Explicar 
Actividade científica de reconhecimento que tem como objectivo deduzir os resultados de uma 
observação a partir das leis e suas condições de validade, de modelos ou de afirmações gerais, tendo 
em conta as condições em que o fenómeno toma lugar. 
Na explicação é fixado claramente, porquê que um dado fenómeno ocorre necessariamente desta e não 
doutra maneira e faz-se referência à sua essência. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 5 
 
F) Prever 
 Aceitação cientificamente fundamentada sobre factos reais e possíveis do passado, do presente ou do 
futuro até então não objectivamente conhecidos, a qual se toma como conclusão lógica a partir de 
afirmações seguras ou tomadas como seguras. 
 
H) Medir 
Actividade científica de reconhecimento que consiste em fixar, através da interacção entre o objecto de 
medição e o instrumento de medição, quantas vezes a unidade correspondente, cabe na grandeza que 
se pretende medir. 
 Definir uma oscilação a partir dos exemplos experimentais e da identificação dos atributos essenciais e 
comuns ao conceito) 
 
Oscilações são movimentos que se repetem com exactidão ou aproximadamente em torno de uma 
posição de equilíbrio. 
Uma variação periódica de energia eléctrica, mecânica ou atómica de um sistema é uma oscilação . 
Uma oscilação mecânica envolve a variação da energia cinética e potencial. O mesmo pode ocorrer com 
um sistema de uma oscilação eléctrica. 
Um exemplo interessante: a oscilação dum líquido pode ser demonstrada introduzindo um líquido num 
tubo em U. Mantendo o líquido inclinado num dos braços através da pressão do ar exercida pelo sopro. 
Deixando de soprar produz-se uma breve oscilação do liquido em torno da sua posição de equilíbrio. 
Na natureza, existem sistemas oscilantes como é o caso do universo oscilante (a chamada teoria do bing 
bang. 
Esta teoria expressa a ideia de que toda a matéria e a radiação no universo foram formadas à partir da 
explosão super densa de um conjunto de matéria de alta energia que ocorreu num tempo definido à 10 
ou 20 mil milhões de anos atrás. 
• A primeira fase durou apenas segundos410− . Fase de criação das partículas elementares 
• Decorrido um segundo formou-se a nuvem de fotões enquanto a outra parte restante formava a 
matéria constituinte do universo actual. 
• O Hélio e o Deutério teriam sido formados 100 segundos depois 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 6 
 
• Abaixo destes anos uma parte da matéria expandiu-se e espalhou-se pelo universo e arrefeceu 
levando a formação eventual de galáxias e de estrelas 
• Portanto esta teoria explica não só a abundância do hélio e a expansão do universo como 
também a existência deste anteparo duma radiação de microondas. 
• A teoria advoga que um dia a expansão vai cessar e toda a matéria vai contrair-se de modo a 
tornar-se novamente super densa. Este é o modelo oscilante do universo . 
 
Oscilações livres 
Dizem-se livres as oscilações que se realizam num sistema a custa de forças internas após se ter 
afastado o corpoda sua posição de equilíbrio. Quando um sistema é deslocado da sua posição de 
equilíbrio, realiza vibrações em torno desta com a sua frequência natural, isto é, a frequência 
característica do sistema. Estas oscilações diminuem gradualmente até que toda a energia 
armazenada seja gasta no deslocamento. 
 
Oscilações forçadas são as que um corpo efectua sob acção de forças externas que variam 
periodicamente. O sistema oscila com uma frequência igual à frequência da força externa 
aplicada. A amplitude é máxima quando a frequência é igual à frequência natural do sistema. 
Neste caso diz se que ocorre uma ressonância. 
Condições para a existência de oscilações livres 
Duas condições básicas são apontadas para a existência de oscilações livres 
A primeira prende se com o surgimento de uma força dirigida para a posição de equilíbrio capaz 
de levar o corpo a regressar à sua posição de equilíbrio, 
Segunda : O atrito no sistema deve ser suficientemente pequeno. Prova em contrário as 
oscilações amortecem rapidamente ou até podem não ocorrer. 
 
 
 
 
Movimento Harmónico simples 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 7 
 
 O movimento Harmónico simples é o mais importante e simples de descrever e analisar de todos os que 
existem na natureza. Ele constitui uma descrição muito precisa de muitas oscilações observadas, porém, 
nem todos os movimentos oscilatórios são harmónicos. 
Oscilações harmónicas 
Oscilações em que o seu deslocamento x ao longo de um eixo ox em relação a origem do sistema de 
coordenadas dá – se como função de tempo pela relação 
)cos()( αω += txtx m ou )cos()( αω += tAtx . Na equação, αω +t é o ângulo de fase ou fase do MHS, α é 
a fase inicial, isto é, a fase em t = 0. 
Um exemplo típico do MHS é o movimento de um objecto preso a uma mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função coseno, repete – se cada vez que o ângulo tω aumenta de π2 e o deslocamento se repete 
depois de um intervalo de tempo de 
ω
π2
. Estas características mostram – nos que o MHS é periódico e o 
seu período é 
ω
π2=T . A frequência é 
T
f
1= . Durante o movimento, a partícula ganha uma velocidade 
dada pela derivada temporal da coordenada. )( αωω +−== tAsen
dt
dx
v variando periodicamente entre os 
valores A- e ωωA+ 
Em equilíbrio, a mola não exerce força sobre o objecto. Deslocando se o objecto de uma distância x 
partindo da posição de equilíbrio, a mola exerce a força kx− , segundo a lei de Hooke. kxFx −= . O sinal 
negativo indica que a força exercida pela mola é de restauração e é sempre oposta ao sentido do 
deslocamento. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 8 
 
Pela lei fundamental da dinâmica, temos x
m
k
kxmax
−=−= xaou , ou ainda, 
A aceleração do oscilador harmónico é a segunda derivada temporal da coordenada ou 
simplesmente a derivada da sua velocidade, isto é, xtAa 22 )cos( ωαωω −=+−= e varia 
periodicamente entre os valores AeA 22 ωω −+ . 
A expressão mostra nos que a aceleração é proporcional e de sentido contrário ao do deslocamento. 
 
For
ça e 
ene
rgia 
de 
um 
osc
ilad
or 
har
mó
nic
o simples. 
 
A aceleração de um corpo com MHS é xa 2ω−= . Para que um corpo de massa m oscile com MHS, 
deve aplicar – se lhe uma força que de acordo com a equação do movimento maF = pode se 
conhecer o seu valor. 
kxxmmaF −=−== 2ω , com 2ωmk = e 
m
k=ω . 
A força no MHS é proporcional e oposta ao deslocamento. Assim, a força aponta sempre para a 
origem. Pode se por isto dizer que a força é central e de atracção e que o centro de atracção é o 
ponto o. Esta força aparece quando se deforma um corpo elástico como o caso de uma mola; por 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 9 
 
isso a constante 2ωmk = é chamada de constante elástica e representa a força necessária para fazer 
deslocar a partícula uma unidade de distância. 
 
Energia de um oscilador harmónico simples. 
Quando um objecto preso a uma mola descreve um MHS, suas energias potencial e cinética variam 
com o tempo. Neste caso, a energia mecânica total ( UkE += ), é constante. 
Considerando um objecto a uma distância x da posição de equilíbrio; se este objecto sofre uma força 
de restauração ( kxF −= ), a energia potencial do sistema pode se calcular da relação entre força e 
energia potencial kxdxdEkx
dx
dE
dx
dE
F p
pp
x =⇔=⇔−= . . Integrando membro a membro 
temos: 222
00 2
1
2
1
xmEkxEkxdxdE pp
xE
p
p
ω=⇔=⇔= ∫∫ . No MHS, a energia potencial tem um valor mínimo 
no centro (x = 0) e aumenta a medida que a partícula se aproxima de um dos extremos de oscilação 
( )Ax ±= . 
Como )cos()( αω += tAtx , temos substituindo que )(cos
2
1 22 αω += tkAEp . 
A energia cinética do sistema é dada por 2
2
1
mvEc = . Para o MHS, )( αωω +−= tAsenvx . Substituindo 
na equação anterior, obtém – se )(
2
1 222 αωω += tsenAmEc . Sabe – se que m
k=2ω , então 
)(
2
1 22 αω += tsenkAEc 
Como αα 22 cos1−=sen e usando )cos( αω += tx para o deslocamento, pode se expressar a energia 
cinética como : [ ] )(
2
1
)(cos1
2
1 2222 xAkEtkAE cc −=⇔+−= αω 
A energia total do oscilador harmónico simples é a soma das energias cinética e potencial. 
[ ])()(cos
2
1
)(
2
1
)(cos
2
1 2222222 αωαωαωαω +++=⇔+++=+= tsentkAEtsenkAtkAEEE totalcptotal
2
2
1
kAEtotal =⇔ . A energia total de um oscilador harmónico é uma quantidade constante e é 
proporcional ao quadrado da amplitude. Durante uma oscilação, existe um intercâmbio contínuo de 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 10 
 
energias cinética e potencial. Quando a partícula se afasta da posição de equilíbrio, a energia potencial 
aumenta a custa da energia cinética. Quando se move em direcção à posição 
de equilíbrio verifica – se o contrário. Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio, a energia cinética 
é máxima e a energia potencial é nula, sendo a energia cinética representativa da energia total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação: 
Um objecto de 3kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4 cm e um período de 2s. 
a) Qual o valor da energia total. 
b) Qual a velocidade máxima do objecto. 
c) Em que posição 1x a velocidade é a metade da velocidade máxima? 
Resolução: 2
2
1
kAE = 
Dados: 
M= 3 kg 
A=4 cm 
T =2s 
a) 2
2
1
kAE = mas jxm
s
kgA
T
mE
T
mmk 2222222 1037,2)04,0()
2
2
(3
2
1
)
2
(
2
1
)
2
( −===⇔== πππω 
b) sm
kg
jx
m
E
vmvE cc /126,03
)1037,2(22
2
1 2
max
2 ===⇔=
−
 
c) 22
2
1
2
1
kxmvE += . Pretende se que a velocidade seja metade da velocidade máxima. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 11 
 
cmcmAkA
kk
E
x
k
E
xEkx
kxEEkxEkxmvkxvmE
32)4(
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
3
4
3
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
)
2
1
(
4
1
2
1
)
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1max
22
1
2
max
=====⇔=⇔=⇔
=−⇔+=+=+=
 
 
 
Sistemas oscilantes. Alguns exemplos 
 Dos diferentes casos de sistemas oscilantes, vamos falar do corpo preso a uma mola vertical 
Quando um corpo está preso a uma mola vertical, existe uma força para baixo mg adicionada a força da 
mola. Escolhendo a direcção vertical para baixo como sentido positivo da direcção y, então a força da 
mola no objecto pendurado é ky− , sendo y a extensão da mola. A força resultante no objecto será 
∑ +−= mgkyFy . Fazendo uma mudança para uma nova variável 0yyy −=′ onde k
mg
y =0 é o 
comprimento alongado da mola quando o objecto está em equilíbrio. Operando uma substituição por 
0yyy +′= , tem se ∑ ++′−= mgyykFy )( 0 . Mas mgky =0 , então ∑ ′−= ykFy 
Aplicando a segunda lei de Newton ( ∑ = yy maF ) temos ym
k
dt
yd
dt
yd
myk ′−=
′
⇔
′
=′− 2
2
2
2
. Esta 
equação tem a seguinte solução )cos( αω +=′ tAy , com 
m
k=ω . O efeito da força gravitacional mg é de 
mudar a posição de equilíbrio de 0=y para 0=′y . Quando o objecto é deslocado de sua posição de 
equilíbrio de y′ , a força resultante é yk ′− . No contexto, o objecto oscila em torno de sua posição de 
equilíbrio com a frequência angular
m
k=ω, a mesma que a de um corpo preso na horizontal. A força da 
mola , a gravitacional e a soma das duas forças são conservativas dado que o trabalho por elas 
realizado não depende da trajectória. 
A função da energia potencial pE associada a soma dessas forças é dada pelo negativo do trabalho 
realizado mais uma constante arbitrária de integração. ∫ +′=⇔′′−−= 0
2
2
1
)( EykEydykE pp , 0E é o valor 
de energia potencial na posição de equilíbrio ( )0=′y .Nisto, 0
2
2
1
EykEp +′= 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação básica no movimento harmónico simples 
 
A força necessária para produzir um movimento harmónico simples é kxF −= . Da equação de 
movimento, maF = . Considerando que num movimento rectilíneo 2
2
dt
xd
a = , temos 
00 2
2
2
2
2
2
=+⇔=+⇔−= x
m
k
dt
xd
kx
dt
xd
mkx
dt
xd
m . Mas 
m
k=2ω , então temos 022
2
=+ x
dt
xd ω . 
Esta equação relaciona a aceleração e o deslocamento. As soluções desta equação são as funções sen 
e cos de tω . A solução geral desta equação é )cos( αω += tAx . 
Fazendo substituições, nota se também que tBtAsenxtAsenx ωωαω cos),( +=+= são também soluções 
gerais da equação. É por esta razão que se diz que 022
2
=+ x
dt
xd ω é a equação básica do MHS. A sua 
aplicação é prova de que o fenómeno correspondente é oscilatório, de acordo com a lei )cos( αω += tAx 
ou com algumas das outras soluções gerais. 
 
 
 
 Pêndulo simples 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 13 
 
É um oscilador composto por uma partícula de massa m, suspensa de um ponto 0 por um fio de 
comprimento l e de massa desprezível. Seu movimento é exemplo de um movimento harmónico 
Simples e deve se à componente tangencial TF do peso mgda partícula. Esta força é máxima nos 
extremos e nula no ponto de equilíbrio e aponta sempre para este ponto. 
O período das oscilações de um pêndulo simples é dado por 
g
l
l
g
comoT πω
ω
π
2T se tem, .
2 2 === . È 
independente da massa do pêndulo e da amplitude, excepto para amplitudes maiores. 
 
 
l
x
mgF
l
x
l
x
senmgF
esenPsenF
PsenF
FP
psenp
pP
sen
p
P
p
P
tt
t
t
Tx
x
y
x
y
.
x s ,5pequenas, são oscilações as como .
 
cos
cos
−=⇔=⇔=⇔−=
≈≈≤−=



−=
=
⇔



−=
=
⇔







−=
=
θθθ
θθθθ
θθ
θ
θ
θ
o 
yP é a resultante da tensão, força responsável pela variação da direcção da velocidade. 
Tx FP = é a componente tangencial, força responsável pela variação do módulo da velocidade. 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 14 
 
Equação diferencial para o período de um pêndulo si mples 
As forças actuantes no pêndulo são o seu peso, e a força tensora do fio ou a atracção na mola, 
θmgsenFT −= , O sinal menos mostra que a força é contrária ao deslocamento. Ela tem intensidade 
proporcional a θ pois m, g e l são constantes. 
 O movimento tangencial ocorre graças a força TT maF = . A partícula se move ao longo da circunferência 
de raio l onde 2
2
dt
d
laT
θ= . Temos 02
2
2
2
=+⇔−= θθθθ sen
l
g
dt
d
mgsen
dt
d
ml . Se o ângulo for pequeno, isto é, 
para amplitude muito pequenas, θθ ≅sen , temos 002
2
=+⇔=+ θθθθ
l
g
l
g
dt
d && com 
l
g=2ω . 
A solução da equação diferencial acima é )cos(0 αωθθ += t . Esta solução também pode ser alcançada a 
partir do comprimento de arco 2
2
2
2
dt
d
L
dt
xd
Lxs
θθ =⇔=≈ bastando substituir na relação θmgsen
dt
xd −=
2
, 
2
2
dt
xd
 por 2
2
dt
d θ
. 
Para oscilações que já não podem ser consideradas pequenas, )
6
1(
!3
23 θθθθθ −=−=sen , então de 
⇔−= θmgsenFT 0)6
1(0)
!3
(
2
2
23
2
2
2
2
=−+⇔=−+⇔−= θθθθθθθθ
l
g
dt
d
l
g
dt
d
mgsen
dt
d
ml . 
 o período T é determinado a partir da relação 






+++=





+++= ...
2
1
4
3
2
1
2
1
2
1
12...
2
1
)
4
3
(
2
1
2
1
2
1
1 4
2
2
2
2
2
42
2
2
20
θθπθθ senxsen
g
l
senxsenTT 
 
Pêndulo Físico 
É um corpo rígido livre para girar em torno de um eixo horizontal que não passa pelo seu centro de 
massa 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 15 
 
 
Considerando um corpo plano com um eixo de rotação que dista D do centro de massa do corpo e está 
deslocado da sua posição de equilíbrio de um ângulo φ . O momento em torno do eixo vale φMgDsen e 
tende a reduzir |φ |. φτ MgDsen−= . Pela dinâmica de rotação ετ I= . ε é a aceleração angular e I é o 
momento de inércia em torno do eixo considerado. 
. .0 22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
I
MgD
dt
d
dt
d
I
MgD
dt
d
sen
I
MgD
dt
d
MgDsen
dt
d
I
dt
d
IMgDsen
==+⇔−=
−≈⇔−=⇔−=⇔=−
ωφωφφωφ
φφφφφφφφ
 
Note que o movimento só é aproximadamente harmónico se o deslocamento angular for pequeno, neste 
caso vale, φφ ≈sen . 
A solução desta equação diferencial é dada por )cos()( 0 αωφφ += tt 
A frequência angular é .
I
MgD=ω e o período 
MgD
I
T π2= 
Para grandes amplitudes, o período das oscilações é dado por 






+++=





+++= ...
2
1
4
3
2
1
2
1
2
1
12...
2
1
)
4
3
(
2
1
2
1
2
1
1 42
2
2
2
2
42
2
2
20 θθπθθ senxsenMgD
l
senxsenTT 
Sobreposição de dois MHS com a mesma direcção e mes ma frequência 
 Sobreposição é a realização simultânea de duas ou mais oscilações produzindo como resultado uma 
única oscilação. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 16 
 
Dada uma partícula sujeita a dois MHS, com diferença de fase θ e com o mesmo período, tAx ωcos11 = e 
)cos(22 θω += tAx . O deslocamento resultante da partícula é dado pela combinação linear, 
)cos(cos 2121 θωω ++=+= tAtAxxx . 
Casos particulares: 
 
I. 0=θ (Os dois movimentos estão em concordância de fase), ou 
 
 
tAx ωcos11 = e tAx ωcos22 = 
 
 
 
 
II. πθ = ( Movimento em oposição de fase) 
( ) ,...3,2,1,0 com 12 =+= kk πθ 
tAtAx ωπω cos)cos( 222 −=+= . O movimento resultante 
é tAAtAtAxxx ωωω cos)(coscos 212121 −=−=+= . A amplitude resultante é a diferença entre 1A e 2A , 
tAAtAtAx ωωω cos)(coscos 2121 +=+=
,...)4,3,2,1,0(2 ==∆ kondekπθ
Elaborado por Alberto Marcos Halar 17 
 
razão pela qual se diz que os dois movimentos estão em oposição de fase. Em termos dos vectores 
de rotação temos 2121 AAOPOPA −=−= 
 
Se 21 AA = os dois movimentos anulam-se 
 
III. quando θ ( diferença de fase) é arbitrária 
 
( )
( )222
111
αω
αω
+=
+=
tsenAx
tsenAx
 e ϕαωαωθθ =+−+=− 2121 tt 
 
A resultante é um MHS com a mesma frequência e amplitude dada por ϕcos2 21
2
2
2
1 AAAAA ++= e 
2211
2211
coscos αα
ααα
AA
senAsenA
tag
+
+= 
Ao método da determinação da resultante que consiste em colocar vectores no SCO chama – se método 
dos vectores girantes. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 18 
 
Se as frequências cíclicas parciais forem constantes, a frequência cíclica resultante também será uma 
constante cabendo ao estudante determinar a amplitude e fase da oscilação resultante. 
2
: 21
πθθϕ =−=Se temos o chamado método de quadratura 
 
 
2
2
2
1 AAA += 
 
Exemplo 
1.Uma partícula está sujeita simultaneamente a dois MHS da mesma frequência e mesma direcção. 
Suas equações são dadas por: 




 +=




 +=
3
26
4
210 21
ππ
tsenXetsenX . 
Determinar o movimento resultante 21 XXX += 
Dados 
 
?
?
6
3
,
4
2
21
=
=
=
==
θ
πθπθ
A
mA 
 
 
 










+
+
=⇔





+
+=
++==−=−=
++=
3
cos6
4
cos10
3
6
4
10
coscos
12
cos6102610 ,
1243
 ,
cos2
2211
2211
22
21
21
2
2
2
1
ππ
ππ
α
αα
ααα
ππππϕααϕ
ϕ
sensen
arctg
AA
senAsenA
arctg
xxA
AAAAA
mA 101 =
Elaborado por Alberto Marcos Halar 19 
 
Sobreposição de dois MHS com direcções perpendicula res 
Seja dada uma partícula movendo se num plano de modo que suas coordenadas x, y oscilem com MHS. 
Se os dois movimentos tem a mesma frequência, o movimento ao longo do eixo x é descrito por 
tAx ωcos= e ao longo do eixo y o movimento é descrito por )cos( δω += tBy . δ é a diferença de fase 
entre as oscilaçõesem x e em y. Se as amplitudes A e B são diferentes, a trajectória da partícula está 
limitada à região definida pelas linhas: 
By e ±=±= Ax 
Casos especiais: 
I) Os dois movimentos estão em fase. 
 tAx ωcos= e tBy ωcos= , temos que x
A
B
y
A
x
tt
A
x =⇔=⇔==
B
y
cos
B
y
 e cos ωω A recta ao longo de 
PQ é x
A
B
y = , e deslocamento ao longo desta linha é dado por PQ tBAyxr ωcos2222 +=+= . A 
resultante é um movimento harmónico simples com amplitude =OP 22 BA + 
II. Os dois movimentos estão em oposição de fase 
tAx ωcos= e tBtBy ωπω cos)cos( −=+= , temos combinando as duas equações o seguinte: 
x
A
B
y
A
x
tt
A
x −=⇔−=⇔==
B
y
cos
B
y
- e cos ωω que é a equação da recta RS 
NB: quando 0=δ ou πδ = , a sobreposição de dois MHS perpendiculares com a mesma frequência tem 
como resultado um movimento harmónico rectilíneo. 
III. 
2
πδ = . Os movimentos ao longo dos eixos x e y estão em quadratura. 
tAx ωcos= e tBsentBy ωπω −=+= )
2
cos( 
2
2
2
2
22222222
1
)
B
y
()(cos)
B
y
(,cos)(
B
y
- e cos
B
y
A
x
A
x
tsenttsent
A
x
tsent
A
x
+=⇔
−+=+⇔=−=⇔== ωωωωωω
Equação de uma 
elipse, percorrida no sentido do movimento dos ponteiros dos ponteiros do relógio 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oscilações amortecidas 
Dizem – se amortecidas as oscilações que se realizam na presença de atrito. Gradualmente o pêndulo 
pára de oscilar dada a dissipação de energia mecânica por forças de atrito. 
As oscilações amortecidas deixam – se classificar em: 
 Super amortecidas – quando a oscilação pára completamente antes mesmo de um ciclo de 
oscilação. Neste contexto, o pêndulo move se unicamente em torno da posição de equilíbrio com 
velocidade tendente a um infinitésimo. A exemplo disto temos um pêndulo submerso no melaço. 
 Sub amortecidas – quando o amortecimento é suficientemente pequeno para que a oscilação do 
sistema diminua lentamente com o tempo. 
Temos como exemplo deste movimento, uma criança balançando num infatário quando a tia pára 
de empurrar a cada ciclo. 
 Criticamente amortecidas – São as que apresentam um imediato retorno à posição de equilíbrio. 
 
Mov
ime
nto 
sub 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 21 
 
amortecido 
A força de amortecimento exercida sobre um corpo oscilante, pode ser representada pela equação 
empírica: vFd
rr λ−= , onde λ é uma constante que depende do meio e da forma do corpo e v a 
velocidade do corpo. Este sistema diz se linearmente amortecido. Porque a força de amortecimento é 
oposta à direcção do movimento, seu trabalho é negativo e causa a redução da energia mecânica do 
sistema. 
A energia é proporcional ao quadrado da amplitude 2
2
1
KAE = , e o quadrado da amplitude decresce 
exponencialmente com o aumento do tempo. τ
t
eAA
−
= 20
2 , onde A – é a amplitude 
A0 – é a amplitude para t = 0, τ é a constante de tempo e representa o tempo necessário para a energia 
decrescer de um factor e. 
Aplicando a lei fundamental da 
dinâmica ao sistema, temos: 
 
 
 
A solução para um caso de subamortecimento é )cos()2/(0 αω
λ +′= − teAx tm e 
2
0
0 2
1. 





−=′
ω
λωω
m
, onde 
0ω é a frequência sem amortecimento 






= mola uma e massa uma 0 param
Kω , A amplitude da oscilação é 
dada por: tmeAA )2/(0
λ−= 
com 
λ
τ m= . Aumentando a constante de amortecimento λ , reduz se a frequência angular ω ′ até 
zero para um valor critico. 02 ωλ mc = . 
Quando cλλ ≥ o sistema não oscila, Se cλλ > o sistema é superamortecido 
Se cλλ = o sistema tem amortecimento critico e o corpo retorna à posição de equilíbrio sem 
oscilação. 
Quanto menor é λ , mais rápido é o retorno do corpo à posição de equilíbrio. 
00
2
2
2
2
=++⇔=++
=−−⇔=−−⇔−−=
kxxxmkx
dt
dx
dt
xd
m
dt
xd
m
dt
dx
KxmavkxvKxma
&&& λλ
λλλ
Elaborado por Alberto Marcos Halar 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia de um oscilador subamortecida 
 
 
A energia de um oscilador subamortecido diminui exponencialmente com o tempo. 
( )[ ]
λ
τωωωω τλ meAmEeEeAmeAmAmE
t
t
m
b
tm ==⇔====
−−
− 2
0
2
00
)(
0
222
0
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 Q é um factor admensional e representa a qualidade de amortecimento. τω0=Q . Qé a parcela de 
energia perdida em cada ciclo. 
 
 
Se o amortecimento for fraco, a energia perdida por ciclo é pequena. 
)
||
(
E
E∆
em um ciclo é dado por: 1
||
,
)(
222
||
0
<<∆====∆
∆ E
E
Q
Q
T
E
E
cicloE
E
ππ
τω
π
τ
 
Q é inversamente proporcional a parcela da energia perdida por ciclo. 
Exemplo 
1. Quando a tecla dó central no piano é tocada (frequência de 262Hz), ela perde metade da sua 
energia em 4s. 
a) Qual é o valor da constante de tempo τ? 
b) Qual é o factor Q para essa corda do piano? 
c) Qual é a fracção de energia perdida por ciclo? 
EdtdteEdE
t
)
1
()
1
( 0 ττ
τ −=−=
−
Elaborado por Alberto Marcos Halar 23 
 
Resolução 
s
eeeEEEEsefazeeEEseusaa
t
77,5
2ln
44
2
1
ln
4
2
1
ln
4
2
1
ln
ln
2
1
ln
2
1
2
1
2
1
)
1
444
0000
==⇒=




⇔=−⇔−=
=⇔=⇔=⇒=−=−
−
−−−−
τ
τττ
ττττ
 
 
Ou ainda pela via 
3
4
105,9
1061,6
22
x
xEE
Q ==
∆
= −
ππ
 
Nota: τ- é tempo necessário para a energia decrescer de um factor e. 
c) A fracção da energia perdida no ciclo é dada pela equação 41061,6
77,5.262
11 −====




 ∆
x
f
T
E
E
ciclo ττ
 
Observe que a fracção da energia perdida após 4s não é apenas o número de ciclos vezes a fracção 
da energia perdida por ciclo, porque a perda de energia é exponencial e não constante. 
Oscilações forcadas e ressonância 
Oscilações forçadas são as que um corpo efectua sob acção de forças externas que variam 
periodicamente de acordo com a lei tFFext ωcos0= . Para manter um sistema amortecido em movimento, 
é necessário adicionar – se lhe energia mecânica. 
A amplitude, e por tanto a energia, de um sistema em estado estável depende não somente da 
amplitude da força de excitação, mas também da sua frequência. A frequência natural de um sistema 
oscilatório, οω , é a frequência do sistema quando nenhuma força de exercitarão ou de amortecimento 
está presente (para uma mola por exemplo, 
m
k=Οω ). 
Se a frequência de excitação é aproximadamente igual a frequência natural do sistema, este 
oscilará com uma amplitude muito grande. 
Quando a frequência de excitação é igual a frequência natural do sistema oscilatório, diz – se que 
o sistema está em ressonância. Neste contexto, a amplitude da oscilação resultante é máxima e a 
energia por ciclo transferida para o sistema é também máxima. A frequência natural do sistema é 
chamada de frequência de ressonância. 
 
3105,9)77,5).(262(22) xQsHzQfQQb =⇔=⇔=⇔= πτπωτ
Elaborado por Alberto Marcos Halar 24 
 
Curva de força média transferida ao sistema oscilan te como função de frequência de 
excitação para dois valores diferentes de amortecim ento. 
 
 
 
 
 
 
A largura da banda das curvas de ressonâncias ω∆ , indicada na figura, é a largura referente à metade 
da altura máxima. Para amortecimentos fracos, a relação entre a largura da banda da curva de 
ressonâncias e a frequência de ressonância é igual ao inverso do factor Q. 
Q
1=∆
οω
ω
 
Tratamento matemático da ressonância 
 Assumindo que para um oscilador forçado, além das forças de restauração e amortecimento, o oscilador 
está submetido a uma força de excitação externa que varia harmonicamente com o tempo de acordo 
com a expressão tFFext ωcos0= , pode se fazer uma abordagem matemática que explique o fenómeno. 
Na expressão da força, 0F é a amplitude eω a frequência angular da força de excitação que geralmente 
não está associada a frequência angular do sistema, 0ω . 
Aplicando a lei fundamental da dinâmica a um corpo de massa m preso numa mola com uma constante 
de rigidez k e submetida a um força de amortecimento vλ− e uma força externa tFF ωcos0= , temos 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 25 
 
∑ = xx maF ⇔ 2
2
0 cos dt
xd
mtFvkxx =+−− ωλ com 
m
tFxm
dt
dx
dt
xd
mmk
dt
xd
ax
1
.cos, 0
2
02
2
2
02
2
ωωλω =++⇔== . Assim temos 
t
m
F
xdx
mdt
xd ωωλ cos0202
2
=++ como a equação diferencial do oscilador forçado. 
A Solução desta equação diferencial é dada por ( )αω −= tAx cos onde ω é a frequência de excitação. 
 A amplitude A é dada por 
( ) 2222202
0
ωλωω +−
=
m
F
A ou 
ffm
F
A
222
0
0
4)( βωωω +−
= 
A amplitude do deslocamento no caso de as oscilações serem harmónicas forçadas estacionárias, atinge 
os valores máximos com a frequência cíclica das oscilações 
2222
0 2 γωγωω −=−=r . ω é a frequência cíclica das oscilações amortecidas livres. rω é neste caso a 
frequência de ressonância. A constante de fase α é dada por: 
( ),220 ωω
λωα
−
=
m
tg ou seja, ( )220 ωω
λωα
−
=
m
arctg 
 
 
A velocidade do corpo na fase permanente é a derivada temporal da coordenada x 
( )αωω −−== tAsen
dt
dx
v para a ressonância 
2
πα = , a velocidade esta em fase com a força de excitação: 
tAtAsenv ωωπωω cos
2
+=




 −−= 
Exemplo 
um corpo com uma massa de 1,5kg preso a uma mola de rigidez igual a mN600 perde %3 de sua 
energia a cada ciclo de oscilação. O mesmo sistema é excitado por uma força sonoidal com valor 
máximo de .5,00 NF = 
a) Qual é o valor de Q do sistema? 
b) Qual é o valor da frequência angular de ressonância? 
c) Se a frequência de excitação variar levemente em torno da ressonância, qual é a largura ϖ∆ da 
ressonância? 
d) Qual é a amplitude na ressonância? 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 26 
 
e) Qual é a amplitude, se a frequência de excitação é srad19=ϖ ? 
 
Resolução 
a) Como a energia perdida por ciclo é somente %3 , então o amortecimento é fraco, pode-se 
encontrar Q a partir da equação: 
( ) 209
03,0
2
2 ==⇔∆= ππ QEEQ ciclo 
b) ϖ no sistema está em ressonância, srad
m
K
200 === ϖϖ 
c) Sabe-se que srad
QQ
0957,0
1 0
0
==∆⇒=∆ ϖϖ
ϖ
ϖ
 
d) A amplitude para qualquer frequência de excitação é dada por: 
( ) 2222202
0
ωλωω +−
=
m
F
A , na 
ressonância 0ωω = , então 
0
0
ωb
F
A = , sabe-se que 
cm
m
QF
Aoaent
Q
m
m
Q
m
Q
4,17~,
2
0
00
0
0
===
=⇒=∧=
ϖ
ϖλ
λ
ϖ
λ
ττϖ
 
e) 
( ) ( )
cm
m
F
A 854,0
19144,019205,1
5,0
22222222222
0
2
0 =
+−
=
+−
=
ωγωω
 
Oscilações electromagnéticas 
Semelhantemente as oscilações mecânicas, teremos nesta sexão oscilações harmónicas livres, 
oscilações forçadas e amortecidas. 
 Há três parâmetros que caracterizam o fluxo de cargas através de um circuito eléctrico: a 
capacitância, C, a resistência R e a auto indutância L. 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando ao sistema uma força electromotriz externa, a corrente pode iniciar se carregando o 
condensador, fazendo passar um fluxo magnético variável pela indutância. 
Dentro do circuito eléctrico a intensidade da corrente é constante ( intensidade da corrente 
estacionária). 
De acordo com a lei de Ohm, temos a queda de tensão em C e em L e a total é a soma das 
duas. aUUIR ε+−= 21 . Devido ao fenómeno de auto indução temos 21 UU − e aε 
c
q
UU −=− 21 , sendo q a carga e a força electromotriz dada por dt
dL
La −=ε que se regista quando 
fechamos o circuito. 
Igualando as quedas de tensão através da resistência e do condensador, à fem induzida, teremos: 
C
q
RIVL += ou 
C
q
dt
dI
LRI −−= . Derivando membro a membro a equação em ordem a t temos 
0
1
0
11
2
2
2
2
2
2
=++⇔=++⇔−−=
dt
dq
Cdt
dI
R
dt
Id
L
dt
dq
Cdt
Id
L
dt
dI
R
dt
dq
Cdt
Id
L
dt
dI
R . Note que o sentido 
positivo de I foi escolhido de modo 
dt
dq
I = , nisto, substituindo temos 01
2
2
=++ I
Cdt
dI
R
dt
Id
L . 
0
1
0
1
2
2
2
2
=++⇔=++ I
CLdt
dI
L
R
dt
Id
I
Cdt
dI
R
dt
Id
L . ⇒=∧=⇔= 20
1
2
2
ωγγ
CLL
R
L
R
 
0202 20
2
02
2
=++⇔=++ IIII
dt
dI
dt
Id ωγωγ &&& 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 28 
 
A solução desta equação diferencial dá a corrente como função de tempo. 
Oscilações Harmónicas 
Para a obtenção de uma oscilação harmónica, usamos um circuito oscilatório simples que para a sua 
realização precisamos de um condensador e de uma bobina, ou seja, a resistência deve ser igual a zero 
( circuito ideal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então temos: 00
1
0
1 2
02
2
2
2
2
2
=+⇔=+⇔=+ I
dt
Id
I
LCdt
Id
I
Cdt
Id
L ω . Representando a equação 
diferencial através da carga eléctrica temos: 
00
2
2
2
2
=+⇔=+
LC
q
dt
qd
C
q
dt
qd
L , 20
1 ω=
LC
, então, 020 =+ qq ω&& 
020 =+ qq ω&& - equação diferencial de uma oscilação eléctrica harmónica. A solução desta equação 
diferencial é dada por ( )αω += tsenqq 0 
⇒0q amplitude da carga, 0ω é frequência das oscilações não harmónicas 
Da expressão 20
1 ω=
LC
, pode se extrair o período do movimento oscilatório 
LCT
LCTLC
ππω 21210 =⇔=⇔= e 
LC
f
1
.
2
1
π
= 
A intensidade da corrente é a derivada temporal de q(t). 
dt
dq
I = 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 29 
 
)
2
()cos( 00
παωωαωω ++=+== tsenqtq
dt
dq
I ou 




 ++=
20
παωtsenII . Em consequência 
concluímos que a corrente do circuito é oscilatória, com uma frequência angular =0ω LC
1
 e uma 
amplitude constante. Razão porque se pode expressar a corrente na forma αsenII 0= . 0ω é a frequência 
natural do circuito. 
Pelas expressões da carga e da Intensidade da corrente, nota se que a intensidade atinge o valor 
máximo rapidamente do que a carga e está desfasada em 
2
π
. 
Tomando em consideração a tensão 
c
q
U = nesta descrição, temos )(0 αω +== tsen
c
q
c
q
U , onde 
c
q0 é a 
amplitude da tensão. )(0 αω += tsenUU . Desta expressão da tensão, conclui se que a carga e a tensão 
estão em fase, ou seja, tanto a carga como a tensão, atingem os máximos no mesmo ponto. 
 
Representação gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 30 
 
No circuito ocorre oscilação porque à medida que se descarrega o condensador, a fem LV na auto 
indutância tende a manter uma corrente em sentido oposto que carrega o condensador. Quando o 
condensador se carrega de novo, o processo se repete em sentido oposto, dado que ele tende a 
descarregar – se novamente. 
Energia de um circuito LC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos o circuito a baixo indicado 00 IV 
Ligando o circuito, desenvolvem se oscilações tanto da tensão como da carga. A energia irá depender 
da capacitância e da tensão do condensador, então, )(
22
2
22
αω +== tsen
c
q
C
q
we m e a energia magnética 
⇔= 2
2
1
LIwm )(cos2
2
2
0 αω += tLiwm 
O máximo da energia eléctrica do circuito regista se para o Ângulo de fase igual a 90º e o máximo da 
energia magnética regista se quando o Ângulo de fase igual a oº. Nota se portanto que quando 0=ew . 
mw é máxima, ou seja, Quando o condensador descarrega, a energia total do circuito é igual a energia 
magnética , 0=we 202
1
LIwm = e quando ,0=mw C
q
VqVwe == ;2
1
C
q
we
2
2
max= . Como o condensador não 
está descarregado, as duas energias registam se simultaneamente e a soma é igual a energia total do 
circuito. met www += , 
( ) ( ) 20
2
222
0
2
22
0
2
2
2
1
2
1
)cos)()(
2
1
2
1
(cos
2
1
)(
2
00 LI
C
q
ttsenLI
C
q
tLItsen
c
q
w mt +=++++=+++= αωαωαωαω 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 31 
 
 
 
 
Oscilações eléctricas amortecidas (RLC) 
Quando a resistência não é dispresível, as oscilações resultantes são amortecidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso conta se com uma constante de amortecimento dada por 
L
R
2
=γ 
 
0200
1
.00
1
,
4
1
2
2
22
0
2
2
2
=++⇔=++⇔=++⇔=++⇔=++
=−=∧=
QQQ
CL
q
dt
dq
L
R
dt
qd
dt
dq
L
R
dt
qd
CL
q
L
IR
dt
dI
L
C
q
UUU
CLL
R
LCL
R
RBc ωγ
ωωγ
&&&
 
A solução desta equação diferencial é )(0 αω
γ += − tseneqq t 
A resistência no circuito faz com que a frequência da oscilação seja menor que a frequência natural 0ω . 
A corrente varia com o tempode acordo com a expressão )(0 αω
γ +′= − tseneII t , onde 
2
0
0 2
1 





−=′
ω
ωω
L
R
 
O amortecimento no circuito deve – se a dissipação de energia na resistência. 
{
}
{ 0.0
3
2
2
1
=++⇔=++
a
a
a
RI
dt
dI
IL
C
Q
IIIR
dt
dI
L
C
Q
 
1ª taxa de aumento de energia no capacitor 
2
0
2
2
1
2
1 0 LI
C
q
wt +=
Elaborado por Alberto Marcos Halar 32 
 
2ª taxa de aumento de energia na bobina 
3ª taxa de diminuição de energia no resistor 
Graficamente temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
L
eEEeEE
t
L
Rt
==⇔=





−−
ττ 00 
 
1.2 Oscilações forçadas ( circuito de corrente alte rnada) 
As oscilações eléctricas forçadas são produzidas quando se agrega uma f.e.m alternada da forma 
tsenVV ω0= a um circuito RCL, constituindo um circuito de corrente alternada (a.c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 33 
 
Neste contexto, igualando as quedas de tensão através da resistência e do condensador à fem total, 
temos: 
( ) tsenV
dt
dI
L
C
q
IRtsenV
dt
dI
L
C
q
IRtsenVUUU BCR ωωαω 000 +−−=⇔+−=+⇔++=+ 
Derivando ambos membros da igualdade acima, temos 
tV
C
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
LtV
dt
dq
Cdt
dI
R
dt
Id
LtV
dt
Id
L
dt
dq
Cdt
dI
R ωωωωωω coscos1cos1 02
2
02
2
02
2
=++∨=++⇔+−−= 
A corrente será dada pela expressão: )(0 αω −= tsenII . A amplitude desta corrente é dada por 
( )
)(
1
11
 
1
maxmax
max22
max
max
2
2
2
2
max
max22
0
max
R
X
arctgtsen
Z
I
R
X
arctg
R
X
tg
R
C
L
tg
Z
I
XR
I
X
C
LZ
C
LRmas
C
LR
I
XXR
V
I
CL
+=⇒=⇔=⇔
−
=∧=⇔
+
=
⇒=−∧=




 −+⇔





 −+
=⇔
−+
=
ωεααω
ω
αεε
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
 
Esta expressão dá nos a fase da corrente em relação a fem aplicada. Z é a impedância do circuito 
eléctrico e X é a reactância. 
Relação entre α,,, XRZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 34 
 
No gráfico de V e I em função do tempo acima fica claro que I se atrasa em relação a V de um tempo 
ω
α
. 
A corrente atrasa – se em relação e fem se α for positiva, o que se verifica se Lω for maior do que 
Cω
1
 e 
adianta – se em relação a fem se α for negativa, o que por sua vez acontece quando Lω é menor que 
Cω
1
 
 
Tensão em cada um dos elementos 
a) Para o capacitor 
)
2
cos(0
πα −−Ω== tU
c
q
U Cc 
b) Para o resistor 
)cos(0 α−Ω== tUIRU RR 
c) Para o indutor 
)
2
cos(0
πα −−Ω== tU
dt
dI
LU LL 
 
Para a produção de uma corrente eléctrica alternada precisa – se de uma força perturbadora. 
Geralmente usa – se os circuitos RL, RC, e RCL 
 
I. Circuito RL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 35 
 
 
Além da fem variável tωε cos0 , temos no circuito uma resistência e uma bobina 
A equação diferencial é dada por tIR
dt
dI
Lt
dt
dI
LIR Ω=+⇔Ω+−= coscos 00 εε e a solução geral é dada 
por )cos(0 α+Ω= tII 
Para achar 0I e α derivamos a equação diferencial substituindo os valores conhecidos. 
⇔Ω=+ tIR
dt
dI
L cos0ε (dt
d
L )cos(0 α+ΩtI )+R )cos(0 α+ΩtI 
= ttRItsenLIt Ω=+Ω++ΩΩ−⇔Ω cos)cos()(cos 0000 εααε 
ttsensentRItsentsenLI Ω=Ω−Ω+Ω+ΩΩ− cos)cos(cos)coscos( 0000000 εϕϕϕϕ 
Igualando as constantes a zero, temos 
R
L
arctg
R
L
tg
RI
LIsen
senRILI
Ω=⇔Ω=⇔
Ω−
=⇔=−− 00
0
0
0
0000 cos
0cos ϕϕ
ϕ
ϕϕϕω 
Para a determinação de 0I 
22
0
0
220
0220
00
0
000
0
0
00
0
0000000000
)(
)(
)(
cos 
cos
cos
cos
)cos(cos
LR
I
R
LR
R
I
LR
R
mas
R
I
senRtgR
I
RsenL
IRsenLIRIsenLI
Ω+
=⇔
⇔
Ω+
=⇒
Ω+
==⇔
−
=
⇔
+−
=⇔=+−⇔=+−
ε
ε
ϕϕε
ϕϕϕ
ε
ϕϕω
εεϕϕωεϕϕω
 
Substituindo 0I na expressão da intensidade da corrente eléctrica temos 
 )cos(
)(
)cos(
22
0
0 R
L
artgt
LR
ItII
Ω−Ω
Ω+
=⇔+Ω=
εα Como a resistência é complexa, a resistência 
indutiva LΩ é equivalente a reactância indutiva. 
 
Circuito capacitivo 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 36 
 
No circuito capacitivo substitui – se a bobina 
por um capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação diferencial é dada por tRI
C
Q Ω=+ cos0ε 
Se a intensidade da corrente for dada por )cos( 00 ϕ+Ω= tII . 
)()cos( 0
0
00 ϕϕ +ΩΩ
=⇔+Ω==⇔=⇔= ∫ ∫ tsen
I
QdttIIdtQIdtdQ
dt
dQ
I 
Substituindo IeQ na equação diferencial temos 
 ⇔Ω=+Ω++Ω
Ω
⇔Ω=+ ttRItsen
C
I
tRI
C
Q
cos)cos()(cos 0000
0
0 εϕϕε 
ttsensentRItsentsen
C
I Ω=Ω−Ω+Ω+Ω
Ω
cos)cos(cos)coscos( 000000
0 εϕϕϕϕ 
 
CR
arctg
CR
tg
RI
C
I
tgsenRI
C
I
Ω
=⇔
Ω
=⇔Ω=⇔=−
Ω
11
0cos 00
0
0
0000
0 ϕϕϕϕϕ 
 Para o cálculo de 0I temos igualando os termos correspondentes o seguinte: 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 37 
 
22
0
0
22
0
0
22
0
00
0
0000
00
0
000
0
0
0
00
0
000000000
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
cos 
cos
coscos
cos
cos
1
cos
1
)cos
1
(cos
C
R
I
R
C
R
R
I
C
R
R
como
R
I
RsenRsen
I
RsenRtg
I
Rtg
CRsen
C
IRsen
C
IRIsen
C
I
Ω
+
=⇔Ω
+
=
⇒
Ω
+
==⇔
+
=⇔
+
=
⇒=
Ω+
Ω
=⇔=+
Ω
⇔=+
Ω
ε
ε
ϕϕε
ϕϕϕϕ
ϕε
ϕϕϕ
ε
ϕ
ϕϕ
εεϕϕεϕϕ
Substituindo na equação da intensidade da corrente temos: 
)
1
cos(
)
1
(
)cos(
22
0
00 RC
arctgt
C
R
ItII
Ω
+Ω
Ω
+
=⇔+Ω=
εϕ . A intensidade atinge o seu valor máximo mais 
rápido que a fem. 
 
Potência media fornecida a um circuito 
A potência media necessária para manter a corrente num circuito é dada por 2000 2
1
cos
2
1
RIIVPméd == α . 
Quando a potência média é máxima, regista – se a ressonância. Este facto verifica – se quando ,0=α e 
C
L
Ω
=Ω 1 , numa altura em que a frequência ω é igual a frequência 
natural do circuito 0ω . Em ressonância a corrente atinge o valor máximo de amplitude e está em fase 
 com a fem aplicada, produzindo deste modo a potência média máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 38 
 
Como o indutor e capacitor não dissipam energia, a potência media fornecida a um circuito RLC em série 
é igual a potência media fornecida ao resistor. 
A potência instantânea é dada pela expressão: 
( )δω −= tRIP 2max2 cos. 
O gráfico da potência media em função da frequência para um circuito RLC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b
m
Q == ττωτ ;;
 
Então o factor de qualidade será: 
R
L
Q 0ω= 
Quando a curva de ressonância é muito estreita (Q>2) então: 
f
f
Q
∆
=
∆
= 00
ω
ω
 
Aplicação da ressonância nos circuitos eléctricos 
 
I. ao sintonizar variamos a capacitância, na tentativa de igualar a frequência; 
II. os circuitos RLC são usados em receptores da rádio, nos quais se faz variar a frequência da 
ressonância, ajustando o valor da capacitaria; 
III. a ressonância ocorre quando a frequência natural do circuito é igual a frequência usada por uma 
das estacões da radio que o aparelho foi projectado para captar; 
IV. na ressonância existe uma corrente relativamente elevada no circuito da antena. Se o factor Q do 
circuito é suficientemente alto, as correntes produzidas pelas frequências das outras estações fora 
da ressonância são menores. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 39 
 
 
Ex: um circuito RLC em serie tem L=2H, C=2µF e R=20Ω, é alimentado por um gerador com uma 
tensão máxima de 100V e frequência variável. 
a) Determine a frequência f0 na ressonância. 
 
Resolução 
Hz
LC
fa 6,79
2
1
) 0 == π
 
b) O factor Q do circuito 
R
L
fQf
R
L
Qb ππωω 22;) 000 =⇒== 
c) A largura da curva de ressonância 
Q
Qc 00)
ωω
ω
ω
=∆⇒
∆
= 
d) A corrente máxima na ressonância. 
R
I
RZXXd CL
max
max
;)
ε
=
==
 A
Z
I 5
20
100max
max ===
ε
 
2. Se o gerador do exercício anterior tiver uma frequência de 60Hz. Determine a corrente maxima. 
Se I é máximo – R=0 
 
( )
A
XX
I
Z
I
XXZXXRZ
CL
CLCL
174,0maxmax
max
max
22
=
−
=⇒=
−=⇒−+=
εε onde: 
fc
XefLX
f
c
XeLX
CL
CL
π
π
πω
ω
ω
2
1
2
2;
1
0
==
===
 
Para cada frequência ha sempre um valor máximo. 
b) Determine o ângulo de fase 
 
 
 
c) Determine a potência media fornecida ao circuito 
 
R
XX
arctgtgCL
−
=δ
Elaborado por Alberto Marcos Halar 40 
 
RRIP .
2
1
max
2= 
 
 
 
 
 
 Relação entre oscilações mecânicas e eléctricas 
 Mecânicas Electromagnéticas 
Amortecidas 02 =+ XX ω&& ; 
massa ( )m , constante ( )K , elongacao ( )Χ , 
velocidade ( )v 
k
m
f
m
k
T
π
π
2
1
;2 == 
2
22
2
1
2
1
;
2
1
kAE
kxEmvE
t
pC
=
==
 
02 =+ QQ ω&& 
Indutância ( )L , constante 





c
1
, carga 
( )Q 
( )
LC
f
LCTtsenQQ
π
παω
2
1
2;0
=
=+=
 
C
ELIE
C
Q
E tmc
2
02
2
2
1
2
1
;
2
1 ω=⇒== 
Equação diferencia
 
Grandeza 
fundamental
 
Solução da 
equação 
Período e 
frequência 
 
Energias 
Amortecimento 
( )αω
τωτ
+=++
===/





−
teAx
dt
xd
dt
dx
m
b
x
m
k
Q
b
m
b
t
m
b
t cos;
;;0
2
02
2
0
 
τωτ 0;;0 ===/ QR
L
R 
( ) ( )
T
t
t
L
R
t
eEE
L
R
teQQ
dt
Qd
dt
dQ
L
R
Q
LC
−





−
=






−=′
+=
=++
0
2
0
0
2
0
2
2
;
2
1
cos
0
1
ω
ωω
αω
 
Grandeza 
fundamental
Equação diferencial
Solução da 
equação 
Período e 
frequência 
Energias 
Forcadas ( ) ( )
( ) ( ) 2222202
0
22
0
max
;
cos
ωωωωω
ωα
αω
bm
f
A
m
b
tg
tXX t
+−
=
−
=
−=
 
( ) ( ) ( ) ( )
R
XX
tg
Z
I
tIItQQ
CL
tt
−
==
−=−=
αε
αωαω
;
cos/cos
max
max
max0
 
Função da posição
Amplitude 
Constante e fase
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 42 
 
 
Movimento ondulatório 
Ondas mecânicas 
São o tratamento do movimento ondulatório, são de e xtrema importância os conceitos de 
meio elástico e de meio homogéneo. 
 
Meio elástico : Um meio diz – se elástico se as deformações que sofre devido a acção de forças 
externas desaparece logo que a acção dessas forças cessa. 
Fisicamente isto é caracterizado por εδ E= onde E é a constante ou módulo de elasticidade e δ 
equivale a força exterior. Esta relação assemelha – se a lei de Hooke nas oscilações mecânicas 
KxF −= 
Meio homogéneo : Diz se homogéneo ao meio em que as propriedades físicas de importância 
fundamental para um problema dado não variam de ponto para ponto. 
Onda : É um processo no qual uma grandeza física (e) se propaga com uma velocidade finita no 
espaço e varia periodicamente em função de posição e de tempo ),( tree
r= . No movimento 
ondulatório propaga – se ou transfere – se energia e momento mas não há transmissão da 
substância. 
frente da onda: É um lugar geométrico dos pontos qu e se encontram à mesma distancia R da 
fonte. 
 
Descreve - se uma onda através do campo de uma onda ),( tree
r= que é o conjunto de todos os 
pontos que são abrangidos pela onda. 
Os aspectos mais importantes das ondas são a sua velocidade de propagação e as modificações 
que sofrem quando variam as propriedades físicas do meio em que se propagam ( reflexão, 
refracção, polarização), quando se intercalam diferentes espécies de obstáculos (difracção, 
espalhamento ou várias ondas coincidem na mesma região do espaço ( interferência). 
 
 
Condições para o surgimento de uma onda. 
Note que o movimento ondulatório pode se transformar numa oscilação desde que –se considere r
r
 
uma constante. Para tal pode se fazer a coplagem dos osciladores, o que vai permitir que estes se 
transmitam energia passando a executar um movimento periódico. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação das ondas 
1. Ondas elásticas 
2. Ondas Electromagnéticas 
3. Ondas de Probabilidade 
Classificação quanto a direcção de propagação 
a) Transversais - quando a perturbação coincide com a deformação 
b) Longitudinais (ondas sonoras, nos líquidos) 
 
1. Ondas elásticas 
Transversais 
São todas as ondas em que a perturbação transmite -se numa direcção perpendicular a direcção de 
propagação. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 44 
 
 
 
 O deslocamento transversal dos segmentos é representado pela função de onda )( vtxfY −= no 
caso de ondas numa corda 
Longitudinais 
São ondas em que a perturbação é paralela a direcção de propagação. 
 Imagine um cilindro com um êmbolo contendo ar. imprimindo ao êmbolo um movimento de vai- vem, 
vemos no ar contido no êmbolo uma série de compreensão e dilatação. 
As moléculas do ar situadas mais próximo do embolo adquirem movimento vibratório que se 
transmite as moléculas vizinhas situadas a direita do embolo e a esquerda do mesmo. 
 
 
A velocidade das ondas depende das propriedades do meio e não do movimento da fonte das ondas 
Ex: A velocidade do som de uma bosina do carro depende apenas das propriedades do ar e não só 
movimento do carro. 
Para o caso dos pulsos ondulatórios numa corda, quanto maior for a tensão maior será a propagação 
das ondas. 
Alem disso as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada. 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 45 
 
Esta velocidade pode ser determinada pela expressão 
µ
F
v = sendo µ a massa por unidade de 
comprimento ( densidade linear) e F a tensão. 
 
Se houver variação de pressão e de densidade, as ondas são acústicas (sonoras ). 
 As ondas sonoras são ondas de compressão que você pode ouvir. São constituídas de 
compressões e rarefações. 
 O som não pode propagar-se através do vácuo. Transmite-se mais facilmente através de líquidos e 
sólidos que através do ar. 
 As ondas sonoras caminham cêrca de 330 metros por segundo, à temperatura do gelo em fusão. 
sua velocidade aumenta de 55 centímetros por segundo para cada elevação de um grau centígrado 
acima do zero. 
 Os ecos ( som reflectido) são usados para medir a profundidade da água. 
O som é uma compressão mecânica ou onda longitudinal que se propaga através de forma 
circuncêntrica, em meios que tenham massa e elasticidade como os sólido, líquido ou gases, ou seja, 
não se propaga no vácuo. Os sons naturais são, na sua maior parte, combinações de sinais, mas um 
som puro possui uma velocidade de oscilação ou frequência que se mede em hertz (Hz) e uma 
amplitude ou energia que se mede em décibeis. Os sons audíveis pelo ouvido humano têm uma 
frequência entre 20 Hz e 20 kHz. Acima e abaixo desta faixa são ultra-som e infra-som, 
respectivamente. 
Seres humanos e vários animais percebem sons com o sentido da audição, com seus dois ouvidos, 
que permite saber a distância e posição da fonte sonora, a chamada audição estereofônica. Muitos 
sons de baixa freqüência também podem ser sentidos por outras partes do corpo e pesquisas 
revelam que elefantes se comunicam através de infra-sons. 
Os sons são usados de várias maneiras, muito especialmente para comunicação através da fala ou, 
por exemplo, música. A percepção do som também pode ser usada para adquirir informações sobre 
ambiente em propriedades como características espaciais (forma, topografia) e presença de outros 
animais ou objetos. Por exemplo, morcegos, baleias e golfinhos usam a ecolocalização para voar e 
nadar por entre obstáculos e caçar suas presas. Navios e submarinos usam o sonar, seres humanos 
recebem e usam informações espaciais percebidas em sons. 
 
Fontes sonoras 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 46 
 
 
 
Esquema representando a audição humana. (Azul: ondas sonoras; Vermelho: tímpano; Amarelo: 
cóclea; Verde: Células receptoras de som; Púrpura: espectro de frequencias da resposta da audição; 
Laranja: Potencial de acção do nervo. 
A modelação das diferentes fontes sonoras corresponde à primeira fase no processo de síntese de 
Som 3D. Uma "Fonte Sonora", é definida como sendo um objeto que permite a caracterização de um 
determinado som, baseado numa associação a um objeto "Amostra" que representa uma amostra de 
som armazenada no banco de sons do sintetizador. Existe adicionalmente uma hierarquia de classes 
de objetos derivados da "Fonte Sonora" e que herdam as características da classe de objetos base, 
permitindo modelar comportamentos distintos. São derivadas diretamente três classes de objetos a 
partir da "Fonte Sonora"; uma "Fonte Sonora Impulsiva" que modelaas características de uma fonte 
sonora que apenas reproduz a amostra de som uma única vez quando acuada (por exemplo o som 
de uma colisão), uma "Fonte Sonora Cíclica" permitindo modelar fontes sonoras que reproduzem a 
amostra ciclicamente enquanto esta estiver ativada (por exemplo uma buzina) e uma "Fonte Sonora 
de Altura Variável". Desta última classe são derivadas outras duas, que permitem a diferente 
implementação dos algoritmos que alteram a altura e a intensidade do som produzido, com base nos 
diferentes fenômenos que modelam. A "Fonte Sonora Motorizada" simula o comportamento de um 
motor e a "Fonte Sonora de Deslocamento" modela os efeitos da fricção e da turbulência provocadas 
por determinados objetos ao deslocarem-se sobre uma determinada superfície ou por um 
determinado meio. 
Tecnologia sonora 
 
 
Esquema representando duas ondas sonoras de diferentes frequências. 
O advento da tecnologia e principalmente da eletrônica permitiu o desenvolvimento de 
armazenamento de áudio e aparelhos de som para gravação e reprodução de áudio, principalmente 
música. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 47 
 
São exemplos de fontes ou mídias o MP3, CD, o LP ou Disco de vinil e o cassete. Alguns dos 
aparelhos que reproduzem essas mídias, são o toca-discos e o gravador cassete. 
Desde seus primórdios, com a invenção do fonógrafo, essa reprodução eletrônica do áudio evoluiu 
até atingir seu auge na alta fidelidade, que faz uso da estereofonia. 
Meios de Propagação 
Meios nos quais uma onda pode se propagar são classificados como a seguir: 
• meios lineares: se diferentes ondas de qualquer ponto particular do 
meio em questão podem ser somadas; 
• meios limitados: se ele é finito em extensão, caso contrário são 
considerados ilimitados; 
• meios uniformes: se suas propriedades físicas não podem ser 
modificadas de diferentes pontos; 
• meios isotrópicos: se suas propriedades físicas são as mesmas em 
quaisquer direções. 
A velocidade do som é a distância percorrida por uma onda sonora por unidade de tempo. É a 
velocidade a que uma perturbação se propaga num determinado meio. Em instrumentação pode-se 
utilizar este princípio para medir com boa exatidão distâncias entre obstáculos, assim: conhecendo-
se a velocidade de propagação de um sinal (normalmente ultra-som no ar) é possível medir o tempo 
que ele gastou a percorrer um determinado espaço. Com este valor é simples calcular a DISTANCIA 
percorrida. Utilizam-se sensores especiais que emitem o sinal em forma de pulso (ultra-som) e os 
recebe de volta (eco ). Um sistema microprocessado pode calcular o tempo gasto (normalmente 
milissegundos 
Tabela - velocidade do som no ar c e C, densidade do ar ρ, impedância acústica Z e 
temperatura 
Impacto da temperatura 
em °C c em m/s C em km/h ρ em kg/m³ Z em N·s/m³ 
-10 325,4 1.171,4 1.341 436,5 
-5 328,5 1.182,6 1.316 432,4 
0 331,5 1.193,4 1.293 428,3 
+5 334,5 1.204,2 1.269 424,5 
+10 337,5 1.215,0 1.247 420,7 
+15 340,5 1.225,8 1.225 417,0 
+20 343,4 1.237,0 1.204 413,5 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 48 
 
+25 346,3 1.246,7 1.184 410,0 
+30 349,2 1.257,1 1.164 406,6 
 
Produção do Som 
 
Fixemos uma lâmina de aço muito fina para que ela possa oscilar conforme indica a figura ao lado. 
 
Quando deslocamos a lâmina, sua extremidade livre começa a oscilar para a direita e para a 
esquerda. 
Se a lâmina vibrar com rapidez, produzirá um som sibilante, mostrando que os sons são 
produzidos pela matéria em vibração. 
À medida que a lâmina oscila para a direita, ela realiza trabalho nas moléculas do ar, 
comprimindo-as, transferindo a elas energia na direcção da compressão. Ao mesmo tempo, as 
moléculas do ar, situadas à esquerda, se expandem e se tornam rarefeitas, o que retira energia 
delas. 
Quando a lâmina se move no sentido inverso, ela transfere energia para as moléculas do ar 
situadas à esquerda, enquanto as da direita perdem energia. 
O efeito combinado de compressão e rarefacção simultâneo transfere energia das moléculas do ar 
da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda na direcção do movimento da lâmina, 
produzindo ondas longitudinais, nas quais as moléculas do ar se movimentam para frente e para trás, 
recebendo energia das moléculas mais próximas da fonte e transmitindo-a para as moléculas mais 
afastadas dela, até chegarem ao ouvido. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 49 
 
No ouvido, as ondas atingem uma membrana chamada tímpano. O tímpano passa a vibrar com a 
mesma frequência das ondas, transmitindo ao cérebro, por impulsos eléctricos, a sensação 
denominada som. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As ondas sonoras são ondas longitudinais, isto é, são produzidas por uma seqüência de pulsos 
longitudinais. 
As ondas sonoras podem se propagar com diversas freqüências, porém o ouvido humano é 
sensibilizado somente quando elas chegam a ele com freqüência entre 20 Hz e 20 000 Hz, 
aproximadamente. 
 
 
 
Quando a freqüência é maior que 20 000 Hz, as ondas são ditas ultra-sônicas, e menor que 20 Hz, 
infra-sônicas. 
As ondas infra-sônicas e ultra-sônicas não são audíveis pelo ouvido humano. As ondas infra-
sônicas são produzidas, por exemplo, por um abalo sísmico. Os ultra-sons podem ser ouvidos por 
certos animais como morcego e o cão. 
As ondas sonoras audíveis são produzidas por: 
 vibração de cordas 
 vibração de colunas de ar 
 vibração de discos e membranas 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 50 
 
 
O som musical, que provoca sensações agradáveis, é produzido por vibrações periódicas. O ruído, 
que provoca sensações desagradáveis, é produzido por vibrações aperiódicas. 
Transmissão do Som 
 
A maioria dos sons chega ao ouvido transmitida pelo ar, que age como meio de transmissão. 
Nas pequenas altitudes, os sons são bem audíveis, o que não ocorre em altitudes maiores, onde o 
ar é menos denso. 
O ar denso é melhor transmissor do som que o ar rarefeito, pois as moléculas gasosas estão mais 
próximas e transmitem a energia cinética da onda de umas para outras com maior facilidade. 
Os sons não se transmitem no vácuo, porque exigem um meio material para sua propagação. 
De uma maneira geral, os sólidos transmitem o som melhor que os líquidos, e estes, melhor do 
que os gases. 
Observe a tabela que apresenta a velocidade de propagação do som a 25°C. 
 
Meio Velocidade (m/s) 
Ar 346 
Água 1498 
Ferro 5200 
Vidro 4540 
 
 
 
Qualidades do Som 
 
Se a energia emitida pela fonte é grande, isto é, se o som é muito forte, temos uma sensação 
desagradável no ouvido, pois a quantidade de energia transmitida exerce sobre o tímpano uma 
pressão muito forte. 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 51 
 
Quanto maior a vibração da fonte, maior a energia sonora, logo: 
 Quanto maior a amplitude da onda, maior a intensidade do som. 
Quanto maior a amplitude da onda, maior a intensidade do som. 
 
Em homenagem ao cientista norte-americano Graham Bell (1847-1922), que estudou o som e 
inventou o telefone, a intensidade sonora é medida em bel (B) ou decibéis (dB). 
 Os sons muito intensos são desagradáveis ao ouvido humano. Sons com intensidades acima 
de 130 dB provocam uma sensação dolorosa e sons acima de 160 dB podem romper o tímpano e 
causar surdez. ves ou baixos têm 
De acordo com a frequência, um som pode ser classificado em agudo ou grave. Essa qualidade é 
chamada altura do som. voz do homem tem frequência que varia entre 100 Hz e 200 Hz e a da 
mulher, entre 200 Hz e 400 Hz. Portanto, a voz do homem costuma ser grave, ou grossa, enquanto a 
da mulher ser aguda, ou fina. 
No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou água, a velocidade é dada por 
ρ
β=v , sendo 
ρ a densidade do meio em equilíbrio e β o módulo de compressibilidade 
A
F
P ,
/
=
∆
∆−=
VV
Pβ . 
As expressões da velocidade acima mostram que em geral a velocidade das ondas depende das 
propriedades elásticas do meio( tensão nas ondas numa corda, módulode compressibilidade, nas 
ondas acústicas) e de uma propriedade inercial ( densidade linear da massa e densidade volumar de 
massa). 
 
Equação de onda 
 
A 
equ
açã
o 
difer
enci
Elaborado por Alberto Marcos Halar 52 
 
al que relaciona as derivadas espaciais de ),( txy às derivadas temporais pode ser deduzida 
aplicando as leis de Newton ao movimento de um segmento de corda. 
Neste caso admitimos pequenos deslocamentos verticais. O comprimento do fio é aproximadamente 
x∆ e a sua massa xm ∆= µ com µ a densidade linear da corda . A força resultante nesta direcção 
de propagação é ∑ −= .12 θθ FsenFsenF 21 θθ ∧ são os ângulos assinalados e F a tensão na corda. 
Como os ângulos são pequenos, ∑ −≈−=≈ )()F(senF , , 1212 θθθθθθ tagtagFsenentãotagsen 
A tangente do ângulo é a inclinação S e é igual a derivada de ),( tre em relação a x com t constante. 
∑ ∆=−=⇒∂
∂== sFSSFF
x
y
tagS )( 12θ . 12 SS ∧ são as inclinações nas extremidades do segmento e 
S∆ a variação da inclinação. 
Aplicando a lei do movimento, temos 
2
2
2
2
t
y
x
S
F
t
y
xSFmaF
∂
∂=
∆
∆⇔
∂
∂∆=∆⇔=∑ µµ . No limite de 
0→∆x temos 
0
 Então .lim
2
2
2
2
2
2
→∆
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂=
∆
∆
x
t
y
Fx
y
x
y
x
y
xx
S
x
S µ
 Equação de uma onda numa corda tencionada 
 
A solução desta equação diferencial é qualquer função do tipo ).( vtxy − 
Demonstração 
Seja vtx −=α . A função de onda toma o aspecto )()( αyvtxyy =−= . Se representarmos por y′ a 
derivada de y em relação a α temos 
t
y
t
y
t
y
x
y
x
y
x
y
∂
∂′=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂′=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ αα
α
αα
α
 . Com 
v
tx
−=
∂
∂=
∂
∂ αα
 e 1 , temos 
vy
t
y
y
x
y ′−=
∂
∂∧′=
∂
∂
. Tomando as da segunda ordem, temos: 
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2 1
 assim, ,
x
y
v
t
y
t
y
vx
y
yv
t
y
v
t
y
v
t
y
y
x
y
∂
∂=
∂
∂⇔
∂
∂=
∂
∂′′+=
∂
∂
∂
′∂−=
∂
′∂−=
∂
∂∧′′=
∂
∂ α
α
. Equação geral de 
uma onda. 
A solução desta equação diferencial é ).(),( tkxAsentxy ω−= Tal pode ser demonstrado a partir da 
equação. 
)())cos((
).cos().)((
2
2
2
tkxsenAktkxAk
x
y
x
y
tkxAktkxAsen
x
y
x
y
ωω
ωω
−−=−
∂
∂=
∂
∂
−=−
∂
∂=
∂
∂
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 53 
 
Em relação a t as duas derivadas tem o seguinte aspecto 
)())cos((
).cos().)((
2
2
2
tkxsenAtkxA
t
y
t
y
tkxAtkxAsen
t
y
t
y
ωωωω
ωωω
−−=−
∂
∂=
∂
∂
−−=−
∂
∂=
∂
∂
 
Fazendo uma verificação na equação diferencial, 
k
 v ))((
1
)(
1 2
2
2
2
2
22
2 ωωωω =−−=−−⇔
∂
∂=
∂
∂
setkxAsen
v
tkxsenAk
t
y
vx
y
 
Em uma dimensão a equação de onda para das ondas sonoras tem o seguinte aspecto 
2
2
22
2 1
t
y
vx
S
S ∂
∂=
∂
∂
 onde S é o deslocamento na direcção x e Sv a velocidade do som 
Ondas harmónicas 
 São ondas originadas por fontes harmónicas, ou seja, as que se propagam obedecendo as leis sen 
e cos. 
Como durante um período 
f
T
1= a onda avança uma distância λ , então a velocidade f
T
v λλ == 
A lei que descreve o deslocamento de uma partícula em movimento Harmónico, é 
)()( δ+= kxAsenxy 
No estudo de uma única onda temos de escolher a posição de origem e tomamos 0=δ 
Um ponto 1x separado do outro 2x por λ de modo que λ+= 12 xx ; os dois pontos apresentar – nos 
–ão deslocamentos iguais 
λ
ππλλλ 22)()()()( 112121 =⇔=⇒+=+==⇒= kkkkxsenxsenksenkxsenkxxyxy 
Se a onda avança para a direita com velocidade v, substituimos o x na equação )()( δ+= kxAsenxy 
por vtx − ( pulsos ondulatórios ) com uma constante de fase nula, temos: 
)(),()
22
()
22
()()(),( tkxAsentxyt
T
xAsent
T
xAsenkvtkxAsenvtxAsenktxy ωπ
λ
πλ
λ
π
λ
π −=∨−=−=−=−= 
vkv
λ
πω 2== 
Equação da onda 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 54 
 
e
t
e ∇=
∂
∂ 2
2
2
ϕ onde: e∇ - operador do Laplace 
 ϕ - velocidade da propagação 
2
2
2
2
2
2
z
e
y
e
x
e
e
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ 
Ondas unidimensionais 
 
Sol: ( ) ( )ϕω +−= kxtsenee tx 0, 
Onde: K- é o numero de ondas. 
λ
π2=k 
( ) ( ) ( )[ ]ϕωϕω
ϕϕ
ϕω
ϕ
+−++−=
+=
+− kxtkxtisenee
isene
kxti
i
cos
cos
00
 
 
Grandezas que caracterizam uma onda 
 
1. Numa corda: 
s
f
vou
f
v tt
ρµ
== onde: ft- tensão do fio 
e
m=µ - densidade linear. 
2
2
2
2
2
x
e
t
e
∂
∂=
∂
∂ ϕ
Elaborado por Alberto Marcos Halar 55 
 
s- área da secção transversal 
v
m=ρ - Densidade volumétrica 
 
{ adiabaticatecongasdooapressppk tan;~ −−= γγ 
M
RT
v
VM
mRT
v
M
m
n
V
nRT
v
V
nRT
p
p
v
γ
ρ
γ
ρ
γ
ρ
γ =⇒=⇒==⇒== ;; 
2. Para uma onda Sonora dentro de um fluido 
P
v
β= ; onde: β - constante de Bulde; p - massa especifica do ar. 
β - é a razão negativa entre o aumento da pressão e a diminuição do volume. 
VV
p
/∆
∆−=β 
Energia cinética e potencial numa corda 
 
A energia cinética é dada pela expressão: 
Pela função de onda pode – se calcular a energia mecânica de um segmento. Considerando x∆ o 
comprimento do fio e x∆µ a sua massa, a energia cinética procurada é 2)(
2
1
dt
dy
xk ∆=∆ µ . Como 
)cos( v),( y tkxAdt
dy
tkxAseny ωωω −==−= , então ⇔−∆=∆=∆ )cos(
2
1
)(
2
1 222 tkxAx
dt
dy
xk ωωµµ 
( )tkxxAk ωωµ −∆=⇔ 222 cos
2
1
 
Energia potencial 
O trabalho realizado na elongação de uma corda depende da inclinação 
dx
dy
 e corresponde a energia 
potencial. 
Para pequenas amplitudes, a energia potencial, a inclinação e a tensão do fio relacionam – se pela 
expressão 
x
dx
dy
FU ∆=∆ 2)(
2
1
. De )(cos
2
1
)cos(),( 222 tkxAxkFUtkxkA
dx
dy
tkxAseny ωωω −∆=∆⇒−=−= 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 56 
 
22 )(;
k
F
k
vvF
ωµωµ =⇔==
 
 A energia mecânica total será dada 
por:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )tkxkAE
tkxAmtkxxAtkxxAtkxAE
tkxxAtkxAxk
k
E
tkxxAtkxAxkFkE
ω
ωωωωµωωµωµω
ωωµωµω
ωωµωϕ
−=⇔
−=−∆=−∆+−=⇔
−∆+−∆=
⇔−∆+−∆⇔+=
22
222222222222
222222
2
2
222222
cos
coscoscos
2
1
)(cos
2
1
cos
2
1
)(cos
2
1
cos
2
1
)(cos
2
1
 
Energia media de um segmento 
22222
2
1
2
1
2
1
kAmAxAEmed ==∆= ωωϕ 
Potência media de transmissão de energia 
Potência de transmissão 
 
 
 
 Uma onda de λ =35 cm e A= 12cm, desloca-se ao longo de uma corda de 15m cuja massa é de 
80g, e sujeita a uma tensão uniforme de 12N. 
a) Qual é o valor da velocidade e da frequência angular da onda? 
b) Qual é a energia média da onda. 
 considere ρ=5,33x10-33 kg/m. 
k
vcom
k
A
A
k
vAP
dt
dE
P med
ωµωωωµωϕ ====⇔= ;
2
1
2
1
2
1 232222
Elaborado por Alberto Marcos Halar 57 
 
Propagação das ondas 
As ondas podem – se propagar de três maneiras 
Unidimensionais quando – se propagam em uma só direcção. 
),( txee = 
Bidimensionais- aquelas que – se propagam no plano, ou seja, em duas dimensões 
),,( tyxee = 
 
Ondas em três dimensões 
Estas ondas são geradas por uma fonte pontual que se desloca para cima e para baixo em MHS. O 
comprimento da onda e a distância são medidos entre duas cristas consecutivas, as quais neste 
caso são círculos concêntricos. A cada um destes círculos chamamos de frente de onda. 
),,,( tzyxee = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma frente pontual de ondas sonoras, as ondas movem-se em três dimensões, sendo as 
frentes de ondas superficiais esféricas concertinas. 
 
Intensidade das ondas 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 58 
 
Se um fonte pontual emite ondas uniformemente em todas direcções, então a energia a uma 
distância (l) a partir da fonte é distribuída uniformemente sobre uma superfície esférica de raio (R) e 
área 24 rA π= . Se P for a potência emitida pela fonte então a potência por unidade da área é a razão 
24 r
P
π
. 
A potência média por unidade de área ( que é incidente de forma perpendicular á direcção de 
propagação) é chamada Intensidade. 
 
 
 
A intensidade da corrente e a energia especifica relacionam – se entre sí através da relação 
vI med.η= onde: medη - é a energia especifica media 
 
Nível de intensidade e sonoridade 
 
A percepção de sonoridade não é proporcional à intensidade do som masvaria de forma logarítmica. 
Assim, foi adoptada uma escala logarítmica para descrever o nível de intensidade de uma onda 
Sonora a qual é medida em (dB ). 
0
log10
I
I=β ; onde: I- intensidade do som; 0I - limiar de audição 2
12
0 10
m
w
I −= 
Escala: 
B =0 dB – limiar de audição 
B =120 dB – limiar de audição dolorosa. 
Ondas contra obstáculo 
Quando uma onda incide em uma fronteira que separa duas regiões de diferentes velocidades, parte 
da onda é reflectida e outra parte é transmitida 
PP
r
P
I
med
med
2
1
4 2
=
=
π
Elaborado por Alberto Marcos Halar 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Os dois pulsos transmitido e reflectido não são invertidos 
Pi – pulso incidente Pr- pulso reflectido Pt- pulso transmitido 
 
Velocidade de grupo 
Quando se analisa um movimento ondulatório não harmónico, não se observa necessariamente a 
velocidade de fase 
k
v
ω= . Para uma onda harmónica contínua, ou seja, um trem de ondas de 
comprimento infinito, a onda tem um só comprimento de onda e uma só frequência, porém, uma 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 60 
 
onda destas já não é adequada a transmissão de um sinal, dado que sinal significa algo que começa 
num dado instante e termina noutro posterior. Medir a velocidade com que um conjunto codificado 
de pulsos, (sinal) é transmitido, equivale a medir essencialmente a velocidade com que os pulsos se 
deslocam. 
O pulso contém várias frequências e comprimentos de onda. Num meio dispersivo, cada componente 
do pulso tem a sua velocidade de propagação que é diferente da velocidade da fase. 
Se o movimento ondulatório é composto por dois movimentos com frequências ω e ω ′ , quase 
iguais, de modo que ω - ω ′ seja muito pequena, e com amplitudes iguais, 
então,
[ ]



 +′−+′



 −′−−′
=′−′+−=′−′+−=
2
)()(
*
2
)()(
cos2
)()()()(
0
000
txkk
sen
txkk
txksentkxsentxksentkxsen
ωωωωξ
ωωξωξωξξ
 
Para ω e ω ′ assim como k e k′ quase iguais, pode se substituir 
2
ωω +′
 por ω e 
2
kk +′
 por k de 
modo que ( )tkxsentxkk ωωωξ −


 −′−−
′
*
2
)(
2
)(
cos2 0 
Que representa um movimento ondulatório determinado pelo factor ( )tkxsen ω− e cuja amplitude 
é modulada de acordo com 


 −′−−
′
2
)(
2
)(
cos2 0
txkk ωωξ . Este movimento ondulatório se assemelha a 
uma série de pulsos. A amplitude modulada em si representa um movimento ondulatório que se 
propaga com velocidade 
dk
d
kk
vg
ωωω =
−′
−′= chamada velocidade de grupo. Esta é a velocidade com 
que um sinal se transmite num meio dispersivo. Tomando kv=ω , temos, 
dk
dv
kvkv
dk
d
dk
d
kk
vg +===−′
−′= )(ωωω 
Nos meios não dispersivos a velocidade de fase é independente do comprimento de onda. Neste 
contexto, 0=
dk
dv
 e as velocidades de fase e de grupo são iguais, facto que não acontece para meios 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 61 
 
dispersivos onde a velocidade de fase depende do comprimento de onda. Nestes meios a velocidade 
do grupo pode ser superior ou inferior à velocidade de fase. 
 
 
 
OBS: 
a) No caso das 
ondas superficiais num líquido, na aproximação de onda longa, a velocidade de fase é dada por 
k
v
k
g
kdk
dv
então
k
gg
v
22
1
, ,
2
=−===
π
λ
( Ondas de gravidade) 
Neste contexto a velocidade do grupo é precisamente metade da velocidade de fase, vvg 2
1= , o que 
mostra que ao produzir uma perturbação num líquido, a velocidade do pico máximo da perturbação 
é metade da velocidade de propagação de cada componente harmónico 
b) Para aproximação de onda curta temos 
ρρλ
π Γ=Γ= kv 2 então, 
k
v
kdk
dv
22
1 =Γ=
ρ
( ondas 
capilares ) devido a sua dependência da tensão superficial. 
De modo que vvg 2
3= . Portanto a velocidade do grupo é superior que a de fase, onde Γ é a 
densidade superficial medida em 1−Nm , ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração de gravidade 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 62 
 
Efeito Doppler na acústica 
Diz se efeito Doppler ao fenómeno que consiste nas diferenças entre as frequências das ondas 
observadas e as da sua fonte quando esta e o observador estão em movimento relativo em relação 
ao meio em que a onda se propaga. Christian J. Doppler (1803 – 1853) foi o primeiro a observar o 
fenómeno em ondas sonoras. 
Considerando uma fonte de ondas ( um corpo vibrando), movendo – se para a direita num meio 
tranquilo (ar ou água), se a fonte se move ocupando as posições 1,2, 3, 4..., nota – se algum tempo 
depois contado a partir do momento em que a fonte estava na posição 1, que as ondas emitidas nas 
posições sucessivas ocupam as esferas 1,2,3,4,..., não concêntricas. Estas ondas estão menos 
espaçadas no lado para o qual a fonte se move e mais espaçadas no lado contrário. Um observador 
em repouso em qualquer dos dois lados, isto corresponde a um comprimento de onda mais curto e 
mais longo respectivamente. Se o observador estiver em movimento se aproximando da fonte desde 
a direita, este observará um comprimento de onda mais curto dado mover – se em direcção ás 
ondas. Se o observador se afasta da fonte destas ondas, verifica o contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 63 
 
Designando por Fv e 0v as velocidades da fonte e do observador em relação ao meio em que as 
ondas se propagam com velocidade de fase v da fonte e v′ a registrada pelo observador, movendo 
se ambos na direcção e sentido de propagação, temos o seguinte 
esquema. 
 
A exemplo da figura acima, o observador e a fonte se movem ao longo da mesma linha e que o 
observador O está a direita da fonte F . Toma – se como positivo o sentido de FO . 
Supondo que no instante 0=t quando a fonte e o observador estão separados por uma distância ,l 
a fonte emite uma onda que chega ao observador t segundos mais tarde. Neste tempo o observador 
terá se deslocado tv0 e a distância total percorrida pela onda é de tvl 0+ . Se v for a velocidade de 
propagação de onda, esta distância é também vt , então, 
0
0 vv
l
ttvlvt
−
=∨+= . 
No instante τ=t , a fonte estará em F ′ e a onda emitida nesse instante chegará ao observador num 
tempo t ′ medido desde a mesma origem temporal do caso anterior. Neste contexto, a distância total 
percorrida pela onda até ser percebida pelo observador é tvvl F ′+− 0)( τ . O tempo real da 
propagação da onda é τ−′t e a distância percorrida é )( τ−′tv , por isso, 
 
0
0
)(
)(
vv
vvl
ttvvltv FF −
−+
=′⇔′+−=−′
τττ 
O intervalo de tempo medido pelo observador entre as ondas emitidas pela fonte em F e ′F é 
ττ
0vv
vv
tt F
−
−
=−′=′ 
Agora se f for a frequência da fonte, o número de ondas emitidas no intervalo de tempo τ é τf . 
Elaborado por Alberto Marcos Halar 64 
 
Como as ondas são recebidas pelo observador no intervalo de tempo τ , a frequência observada é 
f
vv
vv
f
f
f
F−
−=′⇔
′
=′ 0
τ
τ
 
Onde Fvev 0 consideram – se positivas se tiverem a mesma direcção e sentido que o vector FO 
que vai da fonte para o observador e negativas se tiverem o sentido oposto. 
 
Dividindo o numerador e o denominador por v temos f
v
v
v
v
f
vvv
vvv
f F
F
100 )1)(1()
/
/
( −−−=
−
−
=′ 
Tomando os dois primeiros termos da expansão do binómio, teremos 
(1- vvsevvvv FFF / ),/1()/
1 +≅− <<1 
 
Então temos f
v
vv
v
v
v
v
f
v
v
v
v
f FFF )1()1)(1(
2
0010 −+−=−−=′ − 
Como na multiplicação consideramos apenas os primeiros dois termos, desprezamos Fvv0 e 
verificamos que a frequência medida pelo observador se reduz a f
v
v
f
v
vv
f FF )1()1( 00 −=
−
−=′ , ou 
seja, 
Para F0 ve v muito pequenas em relação a v , a expressão que relaciona a frequência f da fonte e 
a frequência f ′ registrada pelo observador é f
v
v
f F )1( 0−=′ 
FF vvv −= 00 é a velocidade do observador em relação à fonte. 
NB: Se OFv for positiva, o observador afasta – se Da fonte e a frequência observada é menor. Se OFv 
for negativa, o observador e a fonte aproximam – se um do outro e a frequência