Física Aplicada Cruzeiro do sul

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Física Aplicada
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Kelciane da Rocha Campos
Dinâmica de Partículas
• Introdução;
• Leis de Newton;
• Exemplos de Aplicação das Leis de Newton;
• Trabalho e Energia;
• Trabalho de uma Força;
• Conservação da Energia.
• Estudar a Dinâmica de Partículas, envolvendo o estudo das Leis de Newton ao tratar 
de problemas envolvendo os diversos tipos de interações mecânicas, como forças de 
contato, gravitacional, elástica e de atrito; 
• Apresentar os conceitos de trabalho e energia e o princípio da conservação da 
energia mecânica; 
• Tais tópicos são extremamente úteis para a composição de jogos digitais em 
situações envolvendo deslocamentos verticalizados, montanhas russas, pistas de 
skate e uma gama variada de situações práticas.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Dinâmica de Partículas
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Introdução
Uma das características da Cinemática é a descrição do movimento, porém 
sem levar em conta as causas desse mesmo movimento. A Dinâmica surgiu ao se 
introduzir as interações entre os corpos, cujos movimentos são causados por essas 
interações. O cientista Galileu Galilei iniciou o estudo sistemático e científico da 
Cinemática, pois até então apenas estudos filosóficos ocorreram. Galileu morreu 
em 1642, mesmo ano do nascimento de Isaac Newton. Após 45 anos da morte 
de Galileu, Newton publicou seu maior trabalho, conhecido por Principia, uma 
maneira breve de se referir ao título original em latim, Philosophiae Naturalis 
Principia Mathematica, de 1687. A forma como Newton tratou as interações de 
origem mecânica, por intermédio de três leis do movimento, juntamente com a 
conhecida Lei da Gravitação Universal, deu origem à Revolução Industrial do século 
XVIII e a uma nova concepção da Mecânica, em que a teoria conseguiu obter os 
resultados que a experiência já encontrara. Isso deu mostras de que haveria a 
possibilidade de estudar a natureza partindo-se de princípios físicos fundamentais e 
de métodos matemáticos.
Figura 1
Newton não sabia, mas em adição ao enorme impulso no desenvolvimento 
tecnológico e humano, o que ele fez tornou possível a produção de jogos digitais 
com a mimetização da realidade 300 anos após a publicação de seu trabalho. 
É este o tema desta Unidade e esta será, possivelmente, a forma de “ganhar a vida” 
daqueles que se dedicarem à produção de jogos digitais.
Leis de Newton
1º Lei de Newton: também conhecida como Lei da Inércia, ela pode ser 
enunciada da seguinte forma:
Todo corpo permanece parado ou em movimento retilíneo e uniforme, isto é, com 
velocidade constante, no caso de nenhuma força resultante ser aplicada a ele.
8
9
Inversamente, se a resultante de todas as forças aplicadas for nula, podemos garan-
tir que o movimento do corpo será retilíneo e uniforme, ou então ele estará parado.
A primeira lei de Newton é, na verdade, 
uma definição de força nula. Quando pergun-
tamos: em que situação uma força é nula? A 
resposta é: sempre que o movimento não va-
riar seu estado de movimento, isto é, sempre 
que ele não variar sua velocidade, que também 
é o mesmo que dizer que não há aceleração 
do corpo em relação a um referencial iner-
cial (um referencial que não é girante nem 
está sofrendo aceleração).
Assim, podemos entender que a inércia não 
é simplesmente ficar parado, mas é não variar 
seu estado de movimento. Se está parado, con-
tinua parado; se está se movendo com velocidade 
constante, continua com a mesma velocidade.
Figura 2 − Isaac Newton
Fonte: Wikimedia Commons
2º Lei de Newton: também conhecida como Princípio Fundamental da 
Dinâmica, pode ser enunciada da seguinte forma (não foi exatamente assim que 
Newton enunciou);
Na presença de uma força resultante 

F não nula, um corpo de massa m constan-
te sofrerá uma aceleração 
a que terá mesma direção e mesmo sentido que a força 
resultante 

F e ambas serão relacionadas por: 

F ma= . (1)
Esta é uma apresentação simplificada da 2 a Lei de Newton. Se prestarmos 
atenção, uma parte considerável dos objetos em movimento pode variar sua mas-
sa. Veja o caso de um foguete. Um de nossos foguetes nacionais lançadores de 
satélites consome 14 toneladas de combustível por segundo! A variação de massa 
é enorme. Podemos falar de carros, de navios e, em algumas situações, até mesmo 
de pessoas, principalmente os fundistas, que perdem dois, três quilos de massa nas 
longas corridas. Se Newton tivesse enunciado a 2 a lei dessa forma, sua teoria não 
teria tido sucesso ao resolver vários problemas que foram solucionados ao longo da 
história. Então, como Newton enunciou a 2 a Lei? Na verdade, a linguagem que ele 
usou está, atualmente, muito desatualizada, mas em essência, ele descreveu uma 
grandeza conhecida atualmente como momento linear 
p (alguns ainda a chamam 
de quantidade de movimento). O momento linear 
p é definido como o produto da 
massa m pelo vetor velocidade v :
 p mv= . (2)
9
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Newton afirmou que a força resultante 

F aplicada a um corpo de massa m, 
constante ou não, é dada pela taxa de variação do momento linear 
p em rela-
ção ao tempo t. Matematicamente, a expressão pode ser escrita da forma:


F dp
dt
= . (3)
O símbolo 
d
dt
 é um operador matemático que representa uma derivada tem-
poral. Não é uma fração em que se pode cancelar o d. Em outras palavras, é a 
taxa de variação de alguma quantidade em relação ao passar do tempo. 
A quantidade que é colocada no numerador da “fração” é a que está variando. 
Colocando-se o momento linear 
p , podemos ler: “é a taxa de variação do momen-
to linear 
p em relação ao tempo”.
E como fica essa taxa de variação da grandeza 
p se ela advém da multiplicação 
de duas grandezas que também podem variar? A resposta está em outra regra de 
derivação além da que foi vista na Unidade I, que é a da derivada de um produto de 
funções (produto em Matemática significa “multiplicação”). A taxa de variação é 
distribuída de forma alternada e somada:


F dp
dt
=
= d
dt
m t v t� � � ��� ��

= .
dm
dt
v m dv
dt�
�
�
�
�
� �


(4)
Podemos notar que, no primeiro termo, temos a taxa de variação da massa 
dm
dt
, que é a rapidez com que a massa varia com o passar do tempo, e no segundo 
termo, há a taxa de variação da velocidade no tempo 
dv
dt

, que é o vetor aceleração 
a. Assim, caso a massa seja constante no tempo, dm
dt
= 0 e ficamos com a 2 a Lei 
de Newton como 

F ma= .
A 2 a Lei de Newton é conhecida como Princípio Fundamental da Dinâmica 
justamente porque é a lei mais importante e que é mais utilizada na resolução de 
problemas práticos.
10
11
Figura 3
Fonte: iStock/Getty Images
3º Lei de Newton: também conhecida como Lei da Ação e Reação. Ela 
pode ser enunciada da seguinte forma:
Um corpo A que exerce uma ação sobre um corpo B sobre a reta que une os dois 
corpos receberá uma reação igual e oposta advinda do corpo B.
É importante salientar que não se trata da aplicação de forças iguais e opostas 
sobre o mesmo corpo e, por causa disso, haveria um cancelamento de forças. Isso 
é incorreto, pois as forças são aplicadas em corpos diferentes. Por exemplo, um 
murro com muita força sobre uma parede poderá danificar o reboque, fazendo 
um estrago, mas quanto maior o estrago na parede, mais a mão ficará danificada 
também, pois a parede reage com a mesma força e em sentido oposto.
Outro exemplo mais prático: o foguete sobe porque ele empurra os gases da 
queima de combustível para trás e, em consequência, os gases reagem contraria-
mente ao foguete, empurrando-o para frente.
Também temos de frisar que a regra só vale para forças situadas na mesma reta 
que une os dois corpos: forças em retas paralelas à linha de união entre os corpos 
transgridem a lei. No Eletromagnetismo há casos de violação da 3 a Lei de Newton.
Matematicamente, podemos escrever a força que o corpo A exerce em B como 

FAB e a força que B exerce em A como 

FBA , de forma que a 3
a Lei de Newton 
pode ser representada, simbolicamente, por:
 
F FAB BA= .− (5)
11
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Unidade de força
Pela 2 a Lei, F ma= , lembrando que, no Sistema Internacional (S.I.) de unida-
des, a massa é medida em quilogramas, isto é, m kg� � = , e a aceleração é medida 
em metros por segundo ao quadrado, isto é, a m s� � = / .2 Assim, a força é medida 
em quilogramas vezes metros por segundo ao quadrado, ou F kg m s N� � �= / =1 ,2 
em que N significa “newton”, a unidade de força. Devemos ressaltar que unidades 
batizadas com nomes próprios são escritas em letras minúsculas e K� � representa 
a(s) unidade(s) em que a grandeza K é medida.
Força normal de uma superfície
Em geral, a força normal de uma superfície é designada pelo vetor 

N ou n (não 
podemos confundir com a unidade de medida de força, o newton, que também é 
designada pela letra maiúscula ( N ). Uma força é dita normal de uma superfície 
sempre que ela formar ângulo de 90 o com esta, mesmo que a superfície seja arre-
dondada, abaulada ou mesmo plana, mas inclinada. Ela é uma força de reação e, 
por isso, algumas vezes, é chamada de força de reação normal 

N (ou n ) e ela é 
exercida pela superfície e não sobre a superfície.
Vamos, agora, apresentar algumas situações em que aparecem as forças nor-
mais e forças inclinadas com suas respectivas decomposições.
Decomposição de forças inclinadas: todas as vezes em que aparecer uma 
força, digamos 

F , que é inclinada de um ângulo θ a uma superfície, é possível 
fazer sua decomposição usando uma forma bastante semelhante à transformação 
das coordenadas x y,� � de um ponto em coordenadas polares (veremos esse tópico 
com mais detalhe na próxima Unidade).
F cos θ
θ
FF sin θ
n
mg
Figura 4 − Diagrama esquemático da decomposição de uma força 

F inclinada a uma 
superfície horizontal de um ângulo θ . No esquema, aparecem a força normal n e a força peso, mg
��
12
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A decomposição da força inclinada 

F é simples, pois é como se seu módulo 
fosse a coordenada polar r , de forma que é fácil de escrever o módulo de suas 
componentes Fx e Fy :
F Fx = ,cosθ (6)
F Fy = .sinθ (7)
A notação segue de forma convencional: a letra que representa um vetor, quan-
do aparece sem a flecha superior, indica o módulo do vetor. Assim, F indica o 
módulo do vetor 

F. Podemos notar que, na figura, a normal n, que é uma força 
de reação à força peso mg , é uma força exercida pela superfície.
Plano Inclinado: no caso de um plano inclinado de um ângulo θ com a hori-
zontal, temos a força peso mg dirigida naturalmente para baixo e a reação normal 
é dirigida para fora da superfície formando um ângulo reto (ou de 90 o ) com esta. 
Todavia, como o plano é inclinado, a força peso e a normal não estão na mesma 
reta suporte.
θ
mg cos θ θ
mg sin θ
n
mg
y
x
Figura 5 − A força peso mg é decomposta segundo um plano inclinado, em que 
aparecem as componentes paralela mg sinθ e normal à superfície do plano, mg cosθ
Podemos notar que o ângulo que o vetor força peso mg faz com a horizontal é 
90
o �� �� e como cos sin90 =o �� �� � e vice-versa, os papéis do seno e do cosseno 
na representação polar ficam trocados. Assim, as componentes do peso mg , se-
gundo as orientações paralela e perpendicular ao plano inclinado, são:
P mgx = ,sinθ (8)
P mgy = .� cos� (9)
É importante salientar que a reação normal 
n continua sendo perpendicular 
à superfície.
13
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Forças de atrito
As forças dissipativas podem estar presentes durante o movimento. Elas podem 
ter diversas origens, tais como a de contato mecânico entre duas superfícies, a 
de contato elétrico (estas chegam a ser tão intensas que servem como solda entre 
superfícies), a de indução magnética, as forças de resistência do ar, da água e de 
líquidos em geral. Enfim, durante um movimento, é sempre possível que encontre-
mos algum tipo de força que mina a movimentação, que dissipa o movimento, são 
as chamadas forças dissipativas. Veremos, mais adiante nesta disciplina, que as 
forças dissipativas farão com que a energia mecânica de um sistema não se conser-
ve e parte do movimento, ou parte da energia cinética do sistema, se transforme 
em calor. Assim, durante a atuação de forças dissipativas há sempre a produção de 
calor e a consequente interação, de forma a retardar o movimento.
Atrito de contato mecânico: a origem do atrito de contato é, basicamen-
te, conforme o nome já expressa, a intercalação de duas superfícies irregulares. 
É claro, quando observamos ao microscópio a superfície de um corpo, por melhor 
que esteja polida, ela apresentará irregularidades. Veja uma representação de tal 
superfície na Figura 6.
Figura 6 − Representação de duas superfícies polidas em contato. 
Mesmo polidas, há uma infinitude de rugosidades que dificultam o movimento.
Fontes: Wikimedia Commons
Notamos que, ao movermos um objeto que está parado sobre uma superfície 
- por exemplo, um móvel pesado -, é difícil fazê-lo sair do local quando o empurra-
mos. Em adição, quando conseguimos movê-lo, ainda há atrito, mas ele é menor, 
pois o movimento ocorre sem que o intercalamento entre as duas superfícies seja 
completo. Dessa forma, a dificuldade de movimento ocorre tão apenas pelas protu-
berâncias maiores que residem nas duas superfícies de contato. Como consequên-
cia, podemos classificar as força de atrito por contato mecânico em dois tipos: a 
força de atrito estático, em situações paradas, sem movimentação, e a força de 
atrito cinético (ou dinâmico), em situações em que há movimento relativo entre 
as duas superfícies de contato.
14
15
A força de atrito não depende da área de contato entre as superfícies, mas de-
pende basicamente da sua rugosidade e da força normal. O atrito ocorre sempre 
de forma a diminuir o movimento relativo entre as superfícies e aponta sempre em 
sentido contrário ao movimento. Desta forma, matematicamente, podemos carac-
terizar a força de atrito como:
F Nat = ,�� (10)
em que µ é o coeficiente de atrito e N é a forçanormal de reação que expressa 
a força de contato entre as superfícies. É fácil de entender por que a força de atrito 
depende da normal - e não do peso -, observando o que ocorre quando inclinamos 
uma tábua em que repousa sobre ela um bloco de madeira. Ao inclinarmos a tábua, 
haverá um ângulo θ para o qual o bloco de madeira começará a descer. Quanto 
maior o ângulo θ , também menor é o atrito entre o bloco e a tábua. Enquanto o 
peso continua constante conforme aumentamos o ângulo de inclinação, a força 
normal vai diminuindo seu valor e a força de atrito também. Logo, a força de atrito 
depende da normal e não do peso.
Podemos afirmar, então, que o atrito cinético é sempre menor do que o atrito 
estático e isso se reflete nos coeficientes de atrito:
µ µcin est< . (11)
Para que tenhamos uma ideia dos valores do coeficiente de atrito para diversos 
materiais, apresentaremos a tabela 1 a seguir.
Tabela 1 – Valores de atrito cinético e estático 
e diferentes tipos de materiais 
Materiais µc µc
madeira/madeira 0,4 0,2
gelo/gelo 0,1 0,03
metal/metal (c/lubrif.) 0,15 0,07
aço/aço (s/lubrif.) 0,7 0,6
borracha/cimento seco 1,0 0,8
articulações nos membros humanos 0,01 0,01
Para que possamos comparar o atrito de alguns pisos secos com os molhados, 
apresentamos a Tabela 2.
Tabela 2 – Comparação entre os coeficientes de atrito típicos 
entre alguns pisos secos e quando molhados
Descrição da superfície Seca Molhada
Concreto novo (rugoso) 0,84 0,61
Concreto trefegado 0,69 0,56
Asfalto novo (rugoso) 0,79 0,62
Asfalto trafegado 0,66 0,53
Paralelepípedo novo (ruguso) 0,78 0,60
Paralelepípedo trafegado 0,68 0,48
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UNIDADE Dinâmica de Partículas
Exemplos de Aplicação 
das Leis de Newton
1. Problemas envolvendo blocos de madeira: dois blocos de massas m
1
= 2 
kg e m
2
= 3 kg são colocados em contato sobre uma superfície lisa sem atrito e 
uma força F =100 N é aplicada sobre o primeiro bloco. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a força que o bloco 2 exerce sobre o bloco 1.
m1 m2
F
Figura 7 − Dois blocos são empurrados por uma força F 
 e deslizam por uma mesa plana sem atrito. 
Resp.: a) Para resolver o problema, vamos utilizar o chamado Diagrama de 
Corpo Livre, que é um método que auxilia na resolução de problemas princi-
palmente envolvendo forças de contato. O método é simples: isole cada um dos 
elementos participantes e introduza as forças que só atuam nele. Após, aplique a 
segunda lei de Newton para cada um dos elementos e elimine as forças de natureza 
interna ao sistema para, em seguida, determinar a aceleração do sistema e deter-
minar as forças desconhecidas. Seguindo esse procedimento, vamos isolar cada 
bloco e colocar todas as forças que nele estão atuando:
F
y
x m1
n1
m1g
P’ P
m2
n2
m2g
Figura 8 − Diagrama de corpo livre para os blocos 1 e 2
Aplicando a 2 a Lei de Newton ao bloco 1 e 2, podemos escrever que o soma-
tório de todas as forças na direção x é igual à soma das massas vezes a acelera-
ção do sistema, a saber, � �� �F m ax i= , de forma que, isoladamente para cada 
bloco, temos:
bloco 1: F P m a'− = ,
1 (12)
bloco 2: P m a=
2
+ (13)
F P P m m a'� � �� �= .1 2 (14)
16
17
Em adição, a 3 a Lei de Newton garante que P P' = , de modo a podermos can-
celar as duas forças da equação anterior para a simplificarmos:
F m m a= .
1 2
�� � (15)
Logo, o conjunto formado pelos dois blocos comporta-se como se fosse um 
objeto só de massa igual à soma da massa dos blocos m m
1 2
.�� � Dessa forma, a 
aceleração pode ser obtida:
a F
m m
= =
100
2 3
= 20 .
1 2
2
+ +
m/s (16)
b) A força que o bloco 2 faz no bloco 1, P' , é igual em módulo, mas de sentido 
oposto ao da força que o bloco 1 faz no bloco 2, P. Logo, utilizando a 2 a Lei de 
Newton para o bloco 2 (a segunda equação do sistema anterior) e usando o valor 
obtido da aceleração do conjunto, temos:
P P m a' = = = 3 20 = 60
2
× N. (17)
Observando-se com cuidado, a proporção que cada uma das massas possui em 
relação à massa total é justamente a proporção da força total que é absorvida pela 
massa. Neste exemplo, a massa m2 representa 60% da massa total m m1 2�� � e ela 
absorve 60% da força total aplicada.
2. Um bloco de massa m2 desliza rampa abaixo sem atrito e de inclinação θ . 
Preso a ele está uma esfera, de massa m
1
, que está pendurada fora do plano incli-
nado e que é ligada ao bloco por intermédio de um cabo que passa por uma polia 
(vide Figura 9). Determine:
a) a aceleração a do conjunto;
b) a tensão T no cabo.
Dados: Considere o cabo sem peso e inextensível e o plano inclinado sem atri-
to; a aceleração da gravidade local é g = 9.8 m/s 2 .
Sejam m
1
= 5.00 kg, m
2
= 10.0 kg e θ = 45 .o
θ
a
a
T
T
m1
m2
Figura 9 – Plano inclinado sem atrito em que o bloco puxa com seu peso a esfera
17
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Resp.: a) Vamos usar o método do Diagrama de Corpo Livre, da mesma for-
ma em que foi usado no exemplo anterior. Vamos escrever a 2 a Lei de Newton 
para as massas 1 e 2 e depois somá-las.
Figura 10 − Diagrama de corpo livre das duas massas presentes no problema
Massa 1: T m g m a−
1 1
= (18)
Massa 2: P T m ax � �= 2 (19)
Total: P m g m m ax � �� �1 1 2= . (20)
A força Px é igual a m g2 ,sinθ de forma que a aceleração do conjunto é:
a m
m m
g m
m m
g= 2
1 2
1
1 2
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�sin�
= .
2 1
1 2
m m
m m
gsin� �
�
�
�
�
�
�
�
(21)
Introduzindo os valores, temos:
a =
10.0
2
2
5.00
10.0 5.00
9.8 ,
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� (22)
resultando o valor:
a =1.35 2m/s (23)
b) A tensão T no cabo pode ser obtida para a equação da massa 1:
T m g m a−
1 1
= (24)
ou
T m g a= = 5.00 9.8 1.35 ,
1
�� � � �� �
cujo valor da tensão T é:
T = 55.75 55.8≅ N . (25)
18
19
3. Um bloco de massa m1 é puxado por uma força 

F inclinada de um ângulo 
θ que faz o bloco deslizar sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito 
cinético µcin com a superfície do bloco. Ligado ao bloco 1 há um fio inextensível 
e de massa desprezível, que passa por uma polia ideal (sem peso e sem atrito) em 
que é pendurada uma esfera de massa m
2
. A aceleração da gravidade no local é 
g. Determine a aceleração do conjunto e a tensão no fio em função dos dados 
apresentados.
Figura 11 – Uma força F inclinada de um ângulo θ é aplicada ao bloco 1, 
que está ligado por um fi o à massa pendurada após o fi o passar por uma polia ideal
Resp.: Vamos utilizar o método do Diagrama de Corpo Livre, apresentando 
em separado as forças em cada massa presente:
Figura 12 − Diagrama de corpo livre para as massas 1 e 2 do problema
A componente horizontal da força F que puxa o sistema como um todo é 
F cosθ . Precisamos descontar a força de atrito cinético f n m g Fcin cin cin= = 1� � ��� �sin 
19
UNIDADE Dinâmica de Partículas
e a tensão do fio, T . Então, podemos escrever as equações para a massa 1 e para 
a massa 2 usando a 2 a Lei de Newton:
Massa 1: F m g F T m acincos sin� � �� �� � �1 1= (26)
Massa 2: T m g m a� �
2 2
= (27)
Total: F m g F m g m m acin cincos sin� � � �� � � �� �1 2 1 2= .
Isolando a aceleração a, obtemos a seguinte expressão:
a
F m m g
m m
cin cin
= .
1 2
1 2
cos sin� � � ��� � � �� �
�
(28)
Para a determinação da tensão, basta utilizar a equação dinâmica para a massa 2, 
a saber:
T m g a=
2
�� �
=
2
1 2
1 2
m g
F m m g
m m
cin cin�
�� � � �� �
�� �
�
�
��
�
�
��
cos sin� � � �
=
2
1 2 1 2
1 2
m
m m g F m m g
m m
cin cin�� � � �� � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
cos sin� � � �
= 1
2
1 2
1
m
m m
F m gcin cin�
�
�
�
�
�
� �� � � �� ��� ��cos sin� � � �
(29)
Trabalho e Energia
A energia é um dos conceitos mais importantes da Física. A Física Newtoniana 
está completamente baseada em forças, velocidades, acelerações, que são grande-
zas vetoriais e possuem, portanto, orientação espacial. Sempre que temos de lidar 
com vetores, a consequência é ter de lidar com matrizes, ângulos, componentes e 
outras quantidadesque são de difícil visualização espacial e de complexo trato ma-
temático. O conceito de energia surgiu com novas descrições da Mecânica, novos 
formalismos e com a tentativa de se buscar descrever o movimento de um sistema 
tratando com quantidades físicas sem orientações, quantidades físicas conhecidas 
por escalares, as quais são grandezas em que basta um número e mais nada para 
descrevê-las. A energia é uma grandeza escalar, pois ela não possui orientação e 
um número a define. Como é uma quantidade escalar, quando tratamos com situa-
ções envolvendo várias porções de energia, podemos fazer um balanço, somá-las 
todas antes de um movimento ser executado e depois da movimentação, após, 
podemos conferir se a quantidade permaneceu constante antes e depois do movi-
mento, ou se ocorreu dissipação da energia e a quantidade inicial tenha variado. 
Dessa forma, podemos classificar os sistemas físicos em duas categorias: aquela 
20
21
que conserva a quantidade de energia constante e a que não mantém constante a 
energia. A primeira refere-se aos sistemas conservativos e a segunda aos siste-
mas dissipativos. É importante frisar que a energia adveio do conceito de trabalho 
de uma força e que, por sua vez, é proveniente da Mecânica Newtoniana. Assim, 
uma simplificação considerável no tratamento matemático da teoria veio com a 
introdução do conceito de energia, mas essa nova abordagem é equivalente, em 
essência, à Mecânica de Newton.
Com o passar do tempo, o conceito de energia foi abrindo seu leque e uma 
gama de novas modalidades de energia foi surgindo: energia mecânica, energia 
elétrica, energia magnética, energia cinética, energia térmica, energia luminosa, 
energia potencial. Esta última também foi dividida em energia potencial gravitacio-
nal, potencial elástica, potencial elétrica, potencial magnética, potencial química, 
potencial nuclear, entre outras. A conservação da quantidade de energia passou a 
ser monitorada para as transformações de uma modalidade de energia em outra. 
Por exemplo, podemos transformar a variação da energia potencial gravitacional 
em energia elétrica. É o que se faz em uma usina hidrelétrica. A monitoração do 
balanço energético consiste em se verificar se parte da energia que foi transforma-
da em outra modalidade de energia foi perdida para o meio ambiente. Neste caso, 
foi dissipada para o meio ambiente na forma de calor, que é a energia térmica que 
passa de um lugar para outro. Dizemos que o calor é a energia térmica em trânsi-
to. Sempre que há dissipação de calor, o sistema não é conservativo. Isto ocorre, 
principalmente, na presença de alguma forma de atrito ou de forças dissipativas.
A energia conservada é uma garantia de que o movimento não sairá de certos 
limites; logo, a quantidade de energia limita o movimento. Veremos que o Princípio 
da Conservação da Energia será uma das bases fundamentais de toda a Física.
Trabalho de uma Força
Agora, vamos introduzir o conceito de trabalho de uma força, pois a energia 
será definida adiante no texto como a capacidade que um corpo tem de realizar 
trabalho. Para entender o que significa trabalho de uma força em Física, vamos 
considerar uma situação em que uma força é aplicada a um bloco que repousa so-
bre uma superfície sem atrito. A força forma uma ângulo θ com a superfície em 
que o bloco poderá se mover.
Figura 13 − Uma força 

F é aplicada sobre um bloco formando um ângulo θ com
a horizontal que irá deslizar sobre uma superfície sem atrito em um deslocamento 

d
21
UNIDADE Dinâmica de Partículas
O trabalho W de uma força é definido como o produto do módulo da compo-
nente de uma força 

F na direção do deslocamento que ela causa 

d pelo módulo 
d desse deslocamento. Assim, matematicamente, o trabalho W de uma força 

F 
é definido por:
W F d= .cos�� � (30)
Como tanto a força 

F quanto o deslocamento 

d possuem orientação espacial, 
o trabalho poderá ser positivo ou negativo. Ele será positivo no caso em que a com-
ponente da força 

F e o deslocamento 

d estejam apontados no mesmo sentido; 
caso contrário, o trabalho W será negativo. Há ainda uma terceira possibilidade, 
quando o ângulo θ for reto (90 o ), o cos90 = 0o e o trabalho será nulo. Qual é o 
significado desses resultados?
1. 
a) W > 0, a força 

F causa um deslocamento 

d no mesmo sentido. É uma 
forma natural de executar trabalho, pois a atuação da força causa um 
deslocamento (trabalho realizado);
b) W < 0, a força 

F atua de forma oposta ao deslocamento 

d . É uma 
forma em que a atuação da força não produz o deslocamento, mas atua 
de forma a impedi-lo (trabalho sofrido);
c) W = 0, como a força 

F forma ângulo reto com o deslocamento 

d , não 
há a execução de trabalho (trabalho não realizado).
Portanto, percebe-se que só há produção de trabalho se a força atuar no movi-
mento, seja para causar um deslocamento, seja para impedir o deslocamento.
Há uma forma de escrever a equação para o trabalho W de forma mais simples 
e natural: é com a utilização do conceito de produto escalar entre dois vetores. 
Faremos uma breve explanação desse conceito matemático para, somente após, 
prosseguirmos.
Produto escalar entre dois vetores
Sejam dois vetores em 2-D, 

A e 

B, dados na base canônica 

i = 1,0� � e 

j = 0,1� � por:

 
A A i A jx y= ,+ (31)

 
B B i B jx y= .+ (32)
O produto escalar entre 

A e 

B é aquele que transforma os dois vetores, os 
quais são objetos com orientações, em um escalar, isto é, em um número, sem 
orientação. O produto escalar em 2-D é definido da seguinte forma:
 
A B A B A Bx x y y� �= . (33)
22
23
O 
 
A B⋅ é lido “o produto escalar de 

A por 

B ”. Devemos observar que, como 
o módulo das componentes, Ax , Ay , Bx e By , são números, o produto escalar é 
comutativo, isto é:
   
A B B A⋅ ⋅= . (34)
Devemos ter em mente que a palavra “produto”, em Matemática, sempre quer 
dizer alguma espécie de multiplicação. Em inglês, o produto escalar é conhecido 
como dot product, que pode ser traduzido como “produto ponto”, em contrapar-
tida ao cross product, ou produto cruz, cuja tradução melhor é produto vetorial, 
uma multiplicação entre vetores que transforma dois vetores em um terceiro vetor 
que é ortogonal a ambos (no espaço euclidiano cartesiano convencional, forma 
ângulo reto com ambos).
Conseguimos visualizar facilmente que um produto escalar de um vetor qualquer 
por ele mesmo resulta no módulo ao quadrado do vetor. Por exemplo:
  
A A A A A A A A A Ax x y y x y� � �= = = = .
2 2
2
2 (35)
É fácil mostrar, porém não é uma tarefa que está no escopo desta Unidade de 
aprendizado, que a seguinte relação também é válida para o produto escalar entre 
dois vetores 

A e 

B que formam um ângulo θ entre si (podemos manter, por sim-
plificação, 0 180� �� o ):
 
A B AB� = .cos� (36)
Figura 14 − Produto escalar entre dois vetores 

A e 

B. 
Ele é sempre o resultado da multiplicação da decomposição 
de um vetor sobre o outro pelo módulo do segundo
Assim, o ângulo θ pode ser agudo, obtuso ou reto, de maneira que poderemos 
afirmar que:
1.
a) 
 
A B⋅ > 0, se θ < 90o (ângulo agudo);
b) 
 
A B⋅ < 0, se 90o < 180� � o (ângulo obtuso);
c) 
 
A B⋅ = 0, se θ = 90o (ângulo reto).
23
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Isso nos faz lembrar de algo já visto? Sim, possui a mesma estrutura que o tra-
balho W de uma força. Logo, podemos definir o trabalho por intermédio do pro-
duto escalar da força 

F pelo deslocamento 

d :
W F d= .


⋅ (37)
Devemos salientar que o trabalho é uma transferência de energia, pois se 
a energia é transferida para o sistema, o trabalho é positivo, mas se a energia é 
transferida do sistema, o trabalho é negativo e se não houver transferência de 
energia, o trabalho é zero.
Notemos que para θ = 0 (

F e 

d alinhados na mesma direção e mesmo sentido), 
o trabalho é simplesmente W Fd= , poiscos0 =1.o No caso de θ =180o (

F e 

d 
estão na mesma direção, mas em sentidos opostos), o trabalho recebe um sinal ne-
gativo, W Fd= ,− já que cos180 = 1.o −
Unidade de trabalho
A unidade de trabalho, designada por W� �, é igual à unidade de força, F� �, que 
é o newton, multiplicada pela unidade do deslocamento, d� �, que é o metro. Logo:
W F d N m J� � � ��� � �= = = , (38)
em que J é também a unidade de energia conhecida como joule. Assim, um joule 
é o trabalho que uma força de um newton faz para deslocar um objeto em um des-
locamento de um metro na mesma direção e sentido que a força.
Trabalho feito por uma força variável
Durante um deslocamento, nem sempre a força permanece constante. Para que 
possamos calcular o trabalho de uma força que varia conforme o deslocamento, 
precisamos fazer uso do Cálculo Integral, como já foi mencionado, inventado por 
Newton e por Leibniz no século XVII. Mas também já dissemos que não é escopo 
desta disciplina estudar esse tipo de cálculo. Mais uma vez, daremos uma ideia de 
como é o princípio básico do Cálculo Integral sem, contudo, nos aprofundarmos 
aqui em seu estudo.
A maneira como usualmente é introduzida a resolução do problema é conside-
rarmos que uma força que varia durante um deslocamento pode ter sua situação 
completa dividida em pequenas porções. Como isso é feito?
Primeiramente, podemos dividir o deslocamento d em pequenos deslocamen-
tos ∆x, todos do mesmo tamanho, de tal forma que a força em cada pequeno 
deslocamento ∆x seja aproximadamente constante. Com a finalidade de numerar-
mos cada um desses deslocamentos, vamos colocar um rótulo ou índice nos deslo-
camentos e na força em cada deslocamento: ∆xk e Fk , em que k =1, 2, 3, , . n 
O valor de n corresponde ao número de pedaços.
24
25
O trabalho W será dado pela soma de todas as áreas dos retângulos formados:
W F x k n
k
n
k k= , =1,2, , .
=1
� ��  (39)
Figura 15 − Gráfi co de uma força variável Fx conforme 
varia o deslocamento x
O trabalho é obtido determinando-se a área sob a curva do diagrama força x 
deslocamento:
Figura 16 − A área sob a curva do diagrama força x 
deslocamento representa o trabalho W
Podemos nos perguntar: qual é o valor de n (o número de tiras retangulares) 
para que tenhamos a força Fk praticamente constante durante cada deslocamento 
∆xk? A resposta é: depende da flutuação da força. Quanto menos ela variar, de 
menos retângulos se precisará para se obter um bom resultado. A variabilidade 
da força sendo grande, retângulos mais finos serão necessários para dar um bom 
resultado. Caso a largura dos retângulos que seja feita tender a zero, tomando-se o 
limite, obtemos a integral definida:
W F x dx
xi
x f
= .� � � (40)
25
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Claro, não temos a intenção de ir além nesta disciplina, mas devemos deixar a 
mensagem de que existe uma forma de calcular o trabalho nessa situação de força 
variável que é dada pelo Cálculo Integral. Então, em quais situações poderemos 
trabalhar? A resposta é: em todas as situações em que seja possível fazer o cálculo 
de uma área de forma simples, sem a utilização de integrais.
Vamos apresentar alguns exemplos para que possamos esclarecer e realçar al-
guns pontos.
Exemplos
1. Considerando uma força que varia conforme ocorre o deslocamento, deter-
mine o trabalho realizado pela aplicação da força Fx sobre um objeto ao se deslo-
car da posição x = 0 até x = 6 m. Utilize o gráfico da Figura 17.
Figura 17 − Diagrama força x deslocamento para uma força constante 
que se torna linearmente variável após um certo ponto do percurso
Resp.: Objetivo: determinar o trabalho W , isto é, a área sob o gráfico entre 0 
e 6 m.
Área 1: Entre os pontos A e B, a área é a de um retângulo de base 4 m e altura 
5 N:
WAB = 4 5 = 20× J. (41)
Área 2: Entre os pontos B e C, a área é a de um triângulo de base 2 m (ou 6 4− ) e 
altura 5 N:
WBC =
1
2
2 5 = 5× × J . (42)
O trabalho total é W W WAB BC= = 20 5 = 25� �� � J.
2. Um sistema oscilante do tipo uma massa que está presa a uma mola de cons-
tante elástica k obedece à Lei de Hooke, um cientista contemporâneo de Newton. 
A Lei de Hooke é uma lei de força restauradora, em que a força cresce linearmen-
te com o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio, isto é F kx= ,− 
mas está sempre tentando restaurar o equilíbrio (sinal negativo) apontando para a 
posição x = 0 :
26
27
Figura 18 − Sistema de uma massa m presa a uma mola de 
constante elástica k. A posição x é contada a partir do ponto de 
equilíbrio, onde a mola não está esticada nem comprimida
Faça uma comparação entre os diversos trabalhos envolvidos:
a) com a mola totalmente comprimida até −xmáx ;
b) com a mola totalmente esticada até +xmáx ;
c) o trabalho total envolvido entre −xmáx e +xmáx ;
d) qual é o trabalho de um agente externo sobre a mola após a massa so-
frer deslocamento máximo até a posição ±xmáx?
Resp.: Fazendo o gráfico da Lei de Hooke em um diagrama de força x desloca-
mento, temos uma área delimitada por um triângulo:
 
Figura 19 − Gráfi co da força pelo deslocamento de uma mola que obedece à Lei de Hooke 
a) Consequentemente, o trabalho realizado pela mola de −xmáx até a posição de 
equilíbrio x = 0 é:
W kx x kx
1
2
=
1
2
=
1
2
> 0.�� � �� �máx máx máx (43)
27
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Podemos notar que, neste caso, a força da mola e o deslocamento estão na 
mesma direção e mesmo sentido. A rigor, como se trata de área de um triângulo, a 
medida de qualquer um de seus lados deve ser obrigatoriamente positiva. Contudo, 
como estamos lidando com funções, o procedimento que fizemos funciona.
b) O trabalho envolvido da posição de equilíbrio x = 0 e +xmáx é:
W kx x kx
2
2
=
1
2
=
1
2
< 0.�� � �� � �máx máx máx (44)
É possível notar, desta vez, que o trabalho é negativo porque o deslocamento 
está na mesma direção, mas em sentido oposto à força.
a) O trabalho total envolvido é W W W kx kx= = 1
2
1
2
= 0;
1 2
2 2� �máx máx
b) Um agente externo irá fazer uma força sempre oposta à da mola, ou 
seja, F kxext = , de forma que o trabalho será sempre igual W kxext =
1
2
,
2
máx 
não importando se está do lado negativo ou positivo de x.
3. Uma sonda lançada por uma agência espacial ao planeta Marte sofre a se-
guinte força de atração pelo Sol, que é do tipo inverso do quadrado da distância:
F
x
=
1.3 10
.
22
2
�
�
(45)
A variável x é a distância da sonda ao Sol e o sinal negativo indica uma força 
de atração.
Figura 20 − Uma sonda que varia sua distância em relação ao Sol ao ir da Terra ao planeta Marte
Determine o trabalho feito pelo Sol sobre a sonda entre as distâncias 1.5 1011× m 
e 2.3 1011× m.
Resp.: Sabemos que o trabalho é negativo, uma vez que a força tem sentido 
sonda → Sol, mas o deslocamento tem sentido contrário. Assim, é só contar os 
quadradinhos e colocar os fatores multiplicativos para a obtenção do trabalho. Al-
guns quadradinhos aparecem cortados, aproximadamente, ao meio, de forma que 
28
29
a cada dois desses formamos um. Então, são, aproximadamente, 59 quadradinhos. 
Cada um possui área 0.05 0.1 10 = 5.0 1011 8× × × J, resultando no trabalho 
W = 59 5.0 10 = 2.95 10 3 108 10 10� � � � � � � J.
Figura 21 − Diagrama força x deslocamento para a sonda lançada para Marte
Conservação da Energia
Em forças cuja estrutura matemática é complexa, o Princípio Fundamental da 
Dinâmica (ou 2 a Lei de Newton) pode ser de difícil aplicação na resolução de 
problemas de movimento. Ao calcularmos o trabalho realizado por uma força que 
atua em seu deslocamento, pode-se calcular também a variação de sua velocidade 
(devemos lembrar que sempre que uma força resultante atua sobre uma partícula, 
uma aceleração também existe e não é nula, de forma que podemos determinar 
sua variação de velocidade).
Vamos escrever o trabalho da seguinte forma, utilizando a 2 a Lei de Newton:
W F d madres= = . (46)
Mas, para aceleração constante, o deslocamentopode ser escrito como v tm , isto é:
d v t v v tm= =
2
,0
��
�
�
�
�
� (47)
lembrando que a velocidade média, vm , é a média aritmética entre a velocidade 
final v e a velocidade inicial v
0
. Já a aceleração a pode ser escrita a partir da 
equação para a velocidade em um MRUV:
a v v
t
= .
0
−
(48)
29
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Introduzindo as eqs. 48� � e 47� � na equação do trabalho W , temos:
W mad m v v
t
v v t mv mv= =
2
=
1
2
1
2
.
0 0 2
0
2��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� � (49)
A quantidade 
1
2
2mv representa, por definição, a energia associada ao movimen-
to da partícula de massa m e velocidade v e é conhecida como energia cinética 
da particula:
K mv= 1
2
.
2 (50)
Alguns livros a denotam por Ecin e outros por T , que é a notação utilizada 
em Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, formalismos ulteriores à Dinâmica 
de Newton.
Vamos escrever a eq. 49� � da seguinte forma, que é conhecida como Teorema 
do Trabalho e da Energia Cinética:
W K K K= = .
0
� � (51)
Percebemos que o trabalho W faz variar a energia cinética de um estado K0 
inicial para um estado K final. Ou, escrevendo de outra forma:
K K W= ,
0
+ (52)
de forma que o trabalho injeta ou retira energia, dependendo se é positivo ou nega-
tivo. O trabalho é o promotor da variação de movimento. A recíproca também 
é verdadeira: a energia cinética pode ser convertida em trabalho, como é o caso 
das hidrelétricas, que convertem energia cinética das águas que estão passando 
por suas turbinas em trabalho mecânico e, em seguida, em trabalho elétrico, para, 
finalmente, se transformar em energia elétrica.
Trabalho e energia cinética com forças de atrito
Todas as vezes em que lançamos um objeto em movimento para deslizar sobre 
um chão plano, o objeto diminui seu movimento até cessar definitivamente. Essa 
diminuição de movimento é causada por um trabalho negativo realizado pela força 
de atrito. Assim, a energia cinética inicial é dimuída pelo atrito, que dissipa em 
parte ou totalmente essa energia cinética inicial e a transforma em calor para o 
meio ambiente.
É bastante claro, neste ponto do texto, que a realização matemática do parágrafo 
anterior é:
�K f dat= � � (53)
ou
K f d Kat0 = .� � (54)
30
31
Nesse caso, K K< .
0
Se houver outras forças envolvidas, teremos de incluí-las na forma de uma soma 
de trabalhos, 
j j
W∑ , que serão incorporados a essa equação:
K W f d K
j
j at0 = .� � �� (55)
Exemplos Envolvendo Trabalho e Energia Cinética
1. Um bloco inicialmente em repouso é puxado para deslizar sobre uma superfí-
cie sem atrito e horizontal. Sabendo que a força com que está sendo puxado possui 
módulo constante de 12 N, calcule a velocidade do bloco após ele se mover por 
3.0 m. A massa do bloco é conhecida e vale 6.0 kg.
Resp.: O trabalho da força é W =12 3.0 = 36.0× J. Ele será usado para variar a 
energia cinética a partir do repouso K
0
= 0� � até K mv= 1
2
.
2 Logo:
1
2
6.0 = 36
2× v (56)
v2 = 12 ou v = 12 3.5≅ m/s.
2. Resolva o mesmo problema, mas agora com atrito, em que o coeficiente de 
atrito cinético é µcin = 0.15. A aceleração da gravidade local é g = 9.8 m/s
2
.
Resp.: O trabalho da força continua o mesmo, pois nada mudou: W = 36.0 J. 
A energia cinética inicial também continua nula, mas temos um termo que é 
� � � � � � � � �f d mgdat cin= = 0.15 6.0 9.8 3.0 26.5� J. Logo:
36.0 26.5 =
1
2
6.0 ,
2� � v (57)
cuja solução é v =1.77 1.8≅ m/s.
Energia potencial e conservação da energia
Energia potencial é a energia associada ao arranjo de um sistema de partículas 
que interagem mutuamente. Isto é o mesmo que armazenar energia em um sistema 
e deixá-la disponível para ser utilizada.
Utilizamos o conceito de energia potencial apenas quando estamos tratando de 
sistemas conservativos, em que a energia mecânica, que é a soma da energia ciné-
tica com a potencial, é mantida constante. Assim, podem ocorrer transformações 
de uma modalidade de energia em outra, porém sem variar a soma das energias. 
Este é o Princípio da Conservação da Energia Mecânica.
31
UNIDADE Dinâmica de Partículas
A energia potencial, denotada normalmente pela letra U, pode assumir diver-
sas formas ou modalidades. Para simplificar nosso trabalho, vamos abordar rapida-
mente as principais formas de energia potencial que podem ser úteis na produção 
de jogos digitais.
Energia Potencial Gravitacional: todo campo de forças gera um potencial 
em seu entorno de forma a interagir com as grandezas que são sujeitas à intera-
ção com o campo. Não é qualquer grandeza, pois o campo gravitacional somente 
se acopla (interage) com massas, o campo elétrico com cargas e correntes elétri-
cas e assim por diante. Assim, por exemplo, o campo gravitacional gerado pela 
Terra, 
g, interage com qualquer massa que esteja imersa nesse campo, produzin-
do uma força mg, o peso. Colocando-se essa massa m a uma altura h do solo 
e soltando-a, ela será acelerada para baixo, ganhando velocidade, de forma que, 
de maneira contrária, se aplicarmos uma força externa para movimentarmos a 
massa a partir do chão em y = 0 até a altura y h= , o trabalho que essa força 
externa dirigida verticalmente para cima deverá realizar para fazer esse desloca-
mento é W mghext = . O trabalho é positivo, pois o deslocamento foi no mesmo 
sentido que a força. Na altura h, portanto, a massa possui essa quantidade de 
energia armazenada, a energia potencial. Quem será o agente que fará com que, 
naturalmente, essa massa se movimente e ganhe velocidade? Resposta: o campo 
gravitacional da Terra.
Assim, a energia potencial gravitacional de uma massa a uma altura h do chão 
é dada pela expressão:
U mghg = . (58)
Energia Potencial Elástica: uma outra forma de energia potencial que aparece 
frequentemente em Mecânica é a energia potencial elástica, que pode ser arma-
zenada em um elástico ou, mais frequentemente, em uma mola. A força elástica, 
dentro de certas condições, obedece à Lei de Hooke, F kx= .− Já vimos que se 
uma força externa atuar sobre a mola, seja para comprimi-la ou seja para estendê-
-la, o trabalho realizado por esse agente externo é W kxext =
1
2
,
2 de forma que esse 
trabalho fica armazenado na mola na forma de energia potencial elástica. Assim, 
podemos escrever:
U kxe =
1
2
,
2 (59)
em que x é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
Conservação da energia mecânica
Em um sistema mecânico conservativo, isto é, em um sistema em que as for-
ças dissipativas (atrito, resistência do ar) não estão presentes, define-se a energia 
mecânica E como sendo a soma da energia cinética com a energia potencial:
32
33
E K U= .+ (60)
Uma característica de um sistema conservativo é que sua energia mecânica (ou 
energia total) conserva-se constante. Por não variar, podemos escrever que a ener-
gia em uma dada situação posterior (ou final) permanece igual a uma situação 
anterior (ou inicial), havendo a possibilidade de escrever:
K U K Uini ini fin fin+ += . (61)
Dessa forma, se o sistema ganha velocidade, ele deve perder energia potencial 
e vice-versa.
Exemplos envolvendo energia potencial, cinética e mecânica
1. Uma pequena bola de massa m = 2 kg é largada do alto de um edifício de 
uma altura h = 20 m acima do chão. Resolva os itens a) e b) a seguir:
a) Calcule a velocidade que a bola terá ao chegar à altura de y = 4 m aci-
ma do solo. Despreze a resistência do ar.
b) Determine a velocidade da bola em y para o caso de no momento em 
que ela passava por h = 20 m, ela se encontrava com velocidade inicial 
para baixo igual a 5 m/s.
Dado do problema: aceleração da gravidade local: g =10 m/s 2.
Resp.: a) Usando a conservação da energia mecânica, uma vez que a resistência 
do ar deve ser desprezada, podemos escrever:
E mgh mgy mv= = 1
2
.
2+ (62)
Podemos perceber que não havia energia cinética inicialmente.
Como a massa m apresenta-se de ambos os lados da equação, podemos supri-
mi-la por simplificação:
v g h y= 2 .�� � (63)
Introduzindo osvalores, obtemos a velocidade em y = 4 m:
v = 2 10 20 4 17.9� �� � � m/s. (64)
b) Nesta nova situação, a energia cinética está presente desde o início, o que 
mudará ligeiramente o problema e aumentará a velocidade final da bola. Vamos 
novamente utilizar a conservação da energia mecânica E :
E mgh mv mgy mv= 1
2
=
1
2
.
0
2 2+ + (65)
33
UNIDADE Dinâmica de Partículas
Novamente, a massa m pode ser eliminada da equação, o que mostra que o 
valor de 2 kg foi um dado desnecessário. Bem, Galileu já havia previsto que a queda 
dos corpos independe da massa de cada corpo. Então:
v g h y v= 2 .
0
2�� � � (66)
Introduzindo os valores, obtemos nova velocidade:
v = 2 10 20 4 5 18.62� �� � � � m/s . (67)
2. Um pêndulo com fio de comprimento L = 2 m está preso a uma estrutura 
rígida e possui uma massa m = 0.5 kg presa à outra extremidade do fio. A massa é 
largada do repouso de um ponto em que o fio forma um ângulo θA
o
= 30 com a 
linha vertical. Dado do problema: aceleração da gravidade local: g = 9.8 m/s 2.
Determine a velocidade da esfera no ponto mais baixo da trajetória do pêndulo.
Resp.: Em A, o pêndulo possui energia potencial:
U mg L L mgLA A A= = 1 .�� � �� �cos cos� � (68)
Figura 22 − Diagrama mostrando a trajetória de um 
pêndulo e sua projeção sobre o eixo vertical
Em B, vamos considerar a energia potencial nula, mas com energia cinética:
K mvB B=
1
2
.
2 (69)
Pela conservação da energia mecânica, temos que K UB A= , ou:
1
2
= 1 .
2mv mgLB A�� �cos� (70)
34
35
Novamente, a massa não participa do movimento e pode ser eliminada:
v gLB A= 2 1 .�� �cos� (71)
Introduzindo os números, obtemos:
vB = 2 9.8 2 1
3
2
2.3� � �
�
�
��
�
�
�� � m/s . (72)
3. Um rapaz foi à montanha para esquiar. Ao chegar a uma altura de 20.0 m, 
ele começou a descer montanha abaixo e, pela inclinação acentuada, o movimento 
foi considerado sem atrito. Mas, ao chegar ao chão, ele encontrou uma superfície 
horizontal com coeficiente de atrito cinético de 0.210. Qual é a distância que o 
rapaz irá percorrer na superfície horizontal até finalmente parar? Adote a acelera-
ção da gravidade local, g = 9.8 m/s 2.
Resp.: Vamos usar uma adaptação do teorema de conservação da energia me-
cânica, pois o sistema possui uma força dissipadora na horizontal. A adaptação é 
que a energia mecânica com que ele inicia o movimento de descida é totalmente 
convertida em trabalho da força de atrito, que por sua vez torna-se calor dissipado 
para o meio ambiente. Assim, podemos escrever:
E mg xcin� � � = 0 (73)
Figura 23 − Esquiador descendo uma montanha sem atrito e depois 
pegando um trecho plano, mas desta vez com atrito
Logo, a energia total E U mgh= = e, após a substituição na equação anterior, temos:
mgh mg xcin� � � = 0 . (74)
Tanto a massa m quanto a aceleração da gravidade g podem ser eliminadas, 
de forma a obter:
�x h
cin
= =
20.0
0.210
95.2
�
� m. (75)
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UNIDADE Dinâmica de Partículas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Leis de Newton
Mecânica - Aula 17 - Leis de Newton. Univesp. Prof. Dr. Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/N3yJFmc7k3I
Práticas para o Ensino de Física I
Práticas para o Ensino de Física I - aula 06 - Leis de Newton. Univesp. Prof. Dr. Gil 
da Costa Marques.
https://youtu.be/qENJtZb8r_Q
3ª Lei de Newton e Diagrama de Corpo Livre
Física I - Aula 14 – 3ª Lei de Newton e Diagrama de Corpo Livre. Univesp. Prof. Dr. 
Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/wbPH4OnSWdY
Correntes Alternadas 
Cursos Unicamp - Física Geral I - Aula 13 - Prof. Dr. Luiz Marco Brescansin.
https://youtu.be/cG-6uy-hbbc
Trabalho e Variação da Energia Cinética
Física I - Aula 24 - Trabalho e Variação da Energia Cinética. Univesp. Prof. Dr. Gil 
da Costa Marques.
https://youtu.be/g2o3V_gZcik
Work And Kinetic Energy
Chapter 7 - Work and Kinetic Energy.
https://youtu.be/uwXgjjLFHZo
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Referências
BOURG, D. M. Physics for game developers. Beijing: O’reilly, 2002.
CHAVES JUNIOR, José Fernandes. Ferramenta de desenvolvimento: engine. São 
Paulo: Erica, 2015. 1 (ebook). ISBN 9788536519210.
DUNN, F.; PARBERRY, I. 3d math primer for graphics and game development. 
Texas: Wordware Publishing, 2002.
EBERLY, D. H. 3d game engine design: a practical approach to real-time 
computer graphics. Estados Unidos: Morgan Kaufmann Publishers,inc, 2001. 
EBERLY, D. H. Game physics. Amsterdam: Elsevier, 2004.
HALLIDAY, David. Fundamentos de física. Volume.1: mecânica. 10. São Paulo: 
LTC, 2016. 1 (ebook). ISBN 9788521632054.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: mecânica. 4ª ed., v. 1. São Paulo: 
Blucher, 2012.
RAMTAL, Dev; DOBRE, Adrian. Physics for JavaScript games, animation, 
and simulations: with HTML5 Canvas. Apress, 2014.
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