Medidas de Dispersão e da Assimetria II aula

Prévia do material em texto

Medidas de Dispersão e de Assimetria
Alexandre Wilson Werkhaizer
Medir Dispersão de Dados 
Estatísticos
Significa avaliar o quanto esses dados variam em
torno da média. A avaliação do grau de dispersão
é possível através de algumas medidas cujos
valores nos auxiliam a conhecer uma outra
dimensão da distribuição, tão importante quanto
aquela que procuramos estudar usando as
medidas de tendência central
Medidas de dispersão ou de 
variação
Para estudarmos essas medidas de dispersão (ou de 
variação), consideremos dois conjuntos de dados que 
chamaremos de Xa e Xb:
Xa: 3,5; 2,95; 4,0; 3,5; 3,0
Xb: 5,05; 2,35; 3,5; 1,2; 4,85 
Se calcularmos as médias de Xa e Xb, 
constataremos que são iguais, indicando que têm um 
mesmo valor típico: 3,39. Por simples observação, 
podemos constatar também que Xa tem valores mais 
próximos Assim, Xa nos parece mais homogênea 
(concentrada), enquanto Xb apresenta resultados 
mais afastados uns dos outros.
Amplitude Total AT
É uma medida já apresentada quando vimos como montar uma 
distribuição de frequência por classes de valores. Seu cálculo 
simples é baseado nos valores máximo e mínimo de uma série:
AT = valor máximo – valor mínimo
Nas duas séries vistas anteriormente, temos:
Xa: máximo = 4,0 mínimo = 2,95
AT = 4,0 – 2,95 = 1,05
Xb: máximo = 5,05 mínimo = 1,2
AT = 5,05 – 1,2 = 3,85
A partir dos resultados para AT, afirmamos que Xa 
tem dispersão inferior a Xb. Devemos esclarecer que 
AT é muito pouco empregada para avaliar a 
variabilidade, pois considera apenas dois pontos da 
distribuição, servindo apenas como uma primeira (e 
superficial) idéia a respeito do campo de flutuação 
dos dados.
Desvio Médio (DM)
Em estatística, o desvio médio é uma medida da 
dispersão de uma amostra de dados em relação à 
sua média. Esta medida representa a média das 
distâncias entre cada elemento da amostra e seu 
valor médio.
N
XxXxXx
DM
n 

...21
Exemplo
Xa: 3,5; 2,95; 4,0; 3,5; 3,0
Xb: 5,05; 2,35; 3,5; 1,2; 4,85 
Calcule a média e 
depois o Desvio 
MédioN
XxXxXx
DM
n 

...21
Formula Desvio Médio de uma 
distribuição de frequência por 
valores(DM)
n
nn
fff
XxfXxfXxf
DM



...
...
21
2211
Exemplo
Xi fi
0 6
2 10
3 13
5 9
8 12
Total 50
Calcule a média e 
depois o Desvio 
Médio
n
nn
fff
XxfXxfXxf
DM



...
...
21
2211
Variância
É a média aproximada das diferenças entre o valor e 
a média ao quadrado. Medida que expressa um 
desvio quadrático médio 
n
nn
fff
XxfXxfXxf



...
...
21
22
22
2
11
2
Exemplo
Numero de 
reclamações 
por dia
Número 
de dias 
(fa)
Freq. 
Relativa
0 9 30%
1 5 16,66%
2 7 23,33%
3 5 16,66%
4 2 6,66%
5 2 6,66%
Total 30 100%
Calcule a média e 
depois o Desvio Médio e 
a Variância
n
nn
fff
XxfXxfXxf



...
...
21
22
22
2
11
2
DESVIO PADRÃO DADOS NÃO 
AGRUPADOS
É definido como a raiz quadrada positiva da 
variância. 
2
22
2
2
1
 
...
 ou
N
XxXxXx n 

DESVIO PADRÃO DADOS 
AGRUPADOS
É definido como a raiz quadrada positiva da 
variância. 
2
22
22
2
11
 
...
 ou
N
XxfXxfXxf nn 


Exemplo
Numero de filhos Quantidade 
de filho por 
pessoa 
0 5
1 6
2 5
3 4
4 3
5 3
Total
Calcule Desvio 
Padrão
n
nn
fff
XxfXxfXxf



...
...
21
22
22
2
11
2
Coeficiente de Variação (CV)
É uma medida de dispersão muito utilizada para 
comparar duas ou mais séries de valores relativos ao 
grau de variabilidade em torno da média das 
respectivas séries
X
CV

 100
O coeficiente de variação é geralmente expresso em
percentagem. O C.V. é independente das unidades adotadas.
Por essa razão, é vantajosa para a comparação de
distribuições cujas unidades podem ser diferentes. Uma
desvantagem do C.V. é que ele deixa de ser útil quando a
média esta próximo de zero.
Baixa dispersão: CV < 15%
Média dispersão: CV entre15-30%
Alta dispersão: CV > 30%
Exercícios
Dada a tabela abaixo, calcule:
Desvio médio, Variância, Desvio padrão, Coeficiente 
de variação.
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
2 - Um estudo foi conduzido para comparar dois 
meios de transporte de um certo produto. Abaixo 
estão listados os números de embarques do produto 
por ano, para o período de 1991 a 2006, para os dois 
meios de transporte.
(a) Obtenha o número de embarques mediano tanto para o meio ferroviário quanto 
para o meio rodoviário.
(b) Calcule o desvio Padrão tanto para o meio ferroviário quanto para o meio 
rodoviário.
(c) Utilizando as medidas calculadas anteriormente, calcule o Coeficiente de 
Variação para o meio ferroviário quanto para o meio rodoviário.
No. de embarques
Meio Ferroviário Meio Rodoviário
16 24 21 31
17 24 22 33
17 25 23 34
18 26 24 37
18 28 25 37
19 29 25 37
22 31 26 41
23 31
Organização de Dados Agrupados 
em Classe
Média Aritmética de uma distribuição de 
frequência por classes de valore
Ponto médio de classe, cuja notação é Pm, 
corresponde à média entre ls (limite superior do 
intervalo de classe) e li (limite inferior do intervalo de 
classe).
2
lils
Pm


A fórmula para se obter a média de 
dados em frequência de classes:
Ponto médio de classe;
os valores da frequência;
frequência total;
t
iim
i
iim
f
fX
f
fX
X




imX
1f
tf
Xi fi fi
10 –––| 14 4 12 48
14 –––| 18 9 16 144
18 –––| 25 15 20 300
ft 28 –– 492
imX
imX
5,17
28
492


t
iim
f
fX
X
Exemplo:
Moda distribuição por classes
• Quando o dados se apresentam grupados por 
classes, a moda é determinada por aproximação.
• Para encontrarmos o valor modal da distribuição, 
usaremos uma expressão matemática (fórmula de 
Czuber) que requer, além da frequência absoluta 
(fi) da classe modal, as frequências das classes 
imediatamente anterior e imediatamente posterior à 
modal.
Expressão da fórmula de 
Czuber
)(2
)(
11
1





iii
ii
i
fff
ffh
lMo 
Onde: 
il = limite inferior da classe modal 
h = intervalo da classe modal 
if = frequência da classe modal 
1if = frequência da classe imediatamente anterior à da classe modal 
1if = frequência da classe imediatamente posterior à da classe modal 
Exemplo
Xi fi 
150,5 |— 153,5 42 
153,5 |— 156,5 67 
156,5 |— 159,5 108 
159,5 |— 162,5 131 
162,5 |— 165,5 70 
165,5 |— 168,5 58 
168,5 |— 171,5 42 
171,5 |— 174,5 25 
Total 543 
 
então
il = 159,5 
h = 162,5 – 159,5 = 3,0 
if = 131 
1if = 108 
1if = 70 
 
Portanto a moda será igual a:
32,16082,05,159
84
69
5,159
178262
233
5,159
)10870(1312
)108131(3
5,159 





Mo
• É prudente verificarmos se o valor encontrado está 
efetivamente no intervalo modal, porque pode 
acontecer uma utilização indevida de dados da 
distribuição, ou até mesmo erros de cálculo. No 
exemplo Mo=160,32 é um valor realmente 
compreendido entre 159,5 e 162,5, a classe modal.
• Outra maneira de termos uma indicação bem rápida 
e prática do valor modal em distribuições de 
frequências por classes é calculando a chamada 
“moda bruta”, que é igual ao ponto médio da classe 
de maior frequência, a moda bruta é:
• Mob= (159,5+162,5)/2=161
Mediana distribuição por 
classes - fórmula
fm
fac,mEmh
liMd
)1( 
 
Onde: 
li = limite inferior da classe mediana 
fm = frequência da classe mediana 
1fac,m = frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana (m-1) 
h = amplitude da classe mediana 
Em = elemento mediano 
Exemplo
Xi fi fa 
0 |— 2 5 5 
2 |— 4 12 17 
4 |— 6 15 32 
6 |— 8 10 42 
8 |— 10 8 50 
ft 50 
 
li = 4 
fm = 15 
1fac,m = 17 
h = 2 
Em = 25 
fm
fac,mEmh
liMd
)1( 
 
5
15
)1725(2
4 

 MdMd