1 Medidas de posição - média, mediana e moda

Prévia do material em texto

MEDIDAS DE POSIÇÃO: Média, Mediana e Moda 
Vimos até agora a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições 
de frequências. Agora, vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitem representar um 
conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida. 
As medidas de posição são também chamadas medidas de tendência central, e 
estabelecem o valor em torno do qual os dados se distribuem. 
Vale a pena chamar a atenção que, para o cálculo dessas medidas, é necessário que a 
variável seja quantitativa. 
• As principais medidas de posição ou tendência central são a média, a mediana e a moda. 
Há também as medidas de posição chamadas de separatrizes, dentre as quais se 
destacam a própria mediana, os quartis, os decis e os percentis. 
 
MÉDIA (�̅�) 
São as medidas de tendência central mais comumente utilizadas para descrever 
resumidamente uma distribuição de frequência. 
A média também chamada de esperança matemática, valor esperado, ou ainda 
expectância, classifica-se em: 
• Média Aritmética Simples e Ponderada; 
• Média Geométrica Simples e Ponderada; 
• Média Harmônica Simples e Ponderada. 
 
a.1) Média Aritmética Simples (Ma ou �̅�) 
É dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e a frequência total (o número 
total de observações). 
- Para dados não agrupados temos: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
, onde ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 é a soma dos resultados observados (i = 1, 2, ..., n) e n 
é o tamanho da amostra (ou população), ou ainda, o número de observações. 
(Obs.: Quando estivermos calculando a média populacional representamos ela por µ e n por N.) 
Este tipo de média aritmética será calculada quando os valores não estiverem tabulados, 
ou seja, quando aparecerem representados individualmente, como é o caso dos dados brutos, 
por exemplo. 
 
 
Exemplo: Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus 
pesos (em kg): 
23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0 
n = 10 
�̅� = (23+20+22+19+25+28,2+24+21+27+21)/10 
�̅� = 23 kg 
Isso significa que o peso médio dessas crianças é de 23 kg. É claro que foram obtidos 
pesos de crianças desta idade que se encontram abaixo ou acima do valor médio. No entanto, a 
média representa um valor típico. 
 
a.2) Média Aritmética Ponderada (Mp ou �̅�𝑝) 
É utilizada quando as observações tiverem pesos diferentes que influenciam no valor da 
média. É indicada por: 
�̅�𝑝 𝑜𝑢 𝑀𝑝 =
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑝𝑖
∑ 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 
Onde: 
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑝𝑖 é a soma dos produtos de cada valor observado pelo seu respectivo peso. 
∑ 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 é a soma dos pesos. 
 
Exemplo: A classificação final de um determinado curso é a média ponderada (Mp) das 
classificações obtidas em três áreas: A, B e C. Um candidato obteve as seguintes classificações 
parciais: 
Área A = 17 pontos 
Área B = 24 pontos 
Área C = 20 pontos 
Sabendo que os pesos são 5 para a área A, 2 para a área B e 3 para a área C, determine a 
classificação do candidato. 
Resp.: �̅�𝑝 = [(17 × 5) + (24 × 2) + (20 × 3)]/10 = (85 + 48 + 60)/10 = 193/10 = 19,3 pontos. 
 
Havendo uma representação tabular podemos considerar: 
Pesos = frequências absolutas. 
Na média aritmética calculada quando os dados estiverem agrupados em distribuições de 
frequência, os valores x1, x2, ..., xn serão ponderados pelas respectivas frequências absolutas f1, 
f2, ..., fn. Assim, 
 
• Para dados tabulados (agrupados) sem intervalo de classe temos: 
�̅�𝑝 =
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 
Onde: 
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑓𝑖 é a soma dos produtos de cada resultado observado pela sua frequência absoluta 
simples. 
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 é a soma das frequências absolutas observadas. 
 
Exemplo: Determine a média aritmética da seguinte distribuição: 
xi fi xifi 
9 1 9 
10 3 30 
14 5 70 
15 1 15 
Total 10 124 
 
 
 
Resp.: �̅� =
(9×1)+(10×3)+(14×5)+(15×1)
1+3+5+1
=
(9+30+70+15)
10
= 12,4
 
• Para dados tabulados (agrupados) com intervalo de classe temos: 
�̅�𝑝 =
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 
Onde: 
𝑥𝑖 é o ponto médio da classe i, ou seja, 𝑥𝑖 =
𝑙𝑖+𝑙𝑠
2
. 
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 𝑖 𝑓𝑖 é a soma dos produtos de cada ponto médio de uma classe pela sua 
frequência absoluta simples. 
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 é a soma das frequências absolutas observadas. 
Exemplo: Determine a média da seguinte distribuição: 
Classes xi fi 
2 Ⱶ 4 3 3 
4 Ⱶ 6 5 5 
6 Ⱶ 8 7 10 
 8 Ⱶ 10 9 5 
10 Ⱶ 12 11 3 
Total 26 
 
 
 
 
Resp.: �̅� =
(3×3)+(5×5)+(7×10)+(9×5)+(11×3)
26
=
182
26
= 7 
DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA 
Definição: Denominamos desvio em relação à média, e indicamos por di, a diferença entre cada 
elemento de um conjunto de valores observados e média aritmética do conjunto de valores, ou 
seja: 
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅� 
PROPRIEDADES DA MÉDIA 
P.1 – A soma dos desvios (di) em relação à média é sempre igual a zero. 
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑑𝑖 = 0
𝑛
𝑖=1
 
P.2 – Somando ou subtraindo uma constante k a cada valor observado, a média do novo conjunto 
de dados ficará somada ou subtraída da constante k, em relação à média inicial. 
𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑘 → �̅�𝑖 = �̅� ± 𝑘 
P.3 – Multiplicando ou dividindo cada valor observado por uma constante k, a nova média ficará 
multiplicada ou dividida pela constante k. 
𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ∗ 𝑘 → �̅�𝑖 = �̅� ∗ 𝑘 
𝑦𝑖 =
𝑥𝑖
𝑘
 → �̅�𝑖 =
�̅�
𝑘
 
P.4 – A soma dos quadrados dos desvios em relação a uma constante k será mínima se 𝑘 = �̅�. 
𝑆𝑄𝐷 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑘)
2 é mínima se 𝑘 = 0. 
Exemplo: Para X = {1, 3, 5, 7, 9} a média de X é: 
�̅� =
1 + 3 + 5 + 7 + 9
5
= 5 
Resolva SQD para 𝑘 = 4 (≠ �̅�) e para 𝑘 = 5 (= �̅�): 
Para k=4: 𝑆𝑄𝐷 = ∑(𝑥𝑖 − 4)
2 = (1 − 4)2 + ⋯ + (9 − 4)2 = 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 45 
Para k=5: 𝑆𝑄𝐷 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2 = (1 − 5)2 + ⋯ + (9 − 5)2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 
 
b) Média Geométrica (�̅�𝑔 ou Mg) 
b.1) Simples 
�̅�𝑔 = √∏ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 (Obs. ∏ = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡ó𝑟𝑖𝑜.) 
 
Exemplo: Para X = {2,4,8} tem-se 3 observações, logo n=3 e a média geométrica é: 
Resp.: �̅�𝑔 = √2 × 4 × 8
3
= √64
3
= 4 
b.2) Ponderada 
 �̅�𝑔 = √∏ 𝑥𝑖
𝑓𝑖𝑘
𝑖=1
𝑛
 
Exemplo: 
xi fi 
1 2 
3 4 
5 3 
7 1 
Total n=10 
Resp.: �̅�𝑔 = √1
2 × 34 × 53 × 71
10
= √1 × 81 × 125 × 7
10
= √70875
10
≅ 3,055 
 
c) Média Harmônica (�̅�ℎ ou Mh) 
c.1) Simples 
�̅�ℎ =
𝑛
∑
1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: Para X = {2,4,9} tem-se n=3 e a média harmônica é: 
Resp.: 
�̅�ℎ =
3
1
2
+
1
4
+
1
9
=
3
18 + 9 + 4
36
=
3
31
36
= 3 ×
36
31
=
108
31
≅ 3,48 
 
c.2) Ponderada 
As frequências com que os números aparecem na amostra devem ser utilizados, em 
virtude de fornecerem a ponderação (peso): 
�̅�ℎ =
𝑛
∑
𝑓𝑖
𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
xi fi 
1 2 
3 4 
5 3 
7 1 
Total n=10 
Resp.: 
�̅�ℎ =
10
2
1
+
4
3
+
3
5
+
1
7
=
10
210 + 140 + 63 + 15
105
=
10
428
105
= 10 ×
105
428
=
1050
428
≅ 2,45 
 
DESIGUALDADE ENTRE MÉDIAS 
A média geométrica de um conjunto de n valores positivos é sempre maior ou igual à 
média harmônica e menor ou igual à média aritmética, ou seja: �̅�ℎ ≤ �̅�𝑔 ≤ �̅�. 
 
MEDIANA (Md) 
A mediana é aquele elemento que ocupa a posição central, ou seja, divide o conjunto de 
dados em duas partes iguais. 
• Para dados não tabulados (agrupados) - porém ordenados - a mediana é: 
- O número que ocupar a posição central se n for ímpar. 
- A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par. 
 
Exemplo: Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 11 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 
1, 3, 4, 5, 7, 0. Calcule a mediana? 
Resp.: Ordenando os valores tem-se: 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7. Logo, a mediana é o 
número do meio, isto é, Md = 3. 
 
Exemplo: As idades dos alunos de uma equipe são 12; 16; 14; 12; 13; 16; 16; e 17 anos. 
Calcule a mediana?Resp.: Ordenando os valores tem-se: 12; 12; 13; 14; 16; 16; 16; 17. Logo, a mediana é a 
média dos dois números do meio. Assim, Md = (14+16)/2 = 15. 
• Para dados agrupados sem intervalos de classe temos: 
𝑀𝑑 = 𝑥𝑖 , 𝑠𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑖 >
∑ 𝑓𝑖
2
 
𝑀𝑑 =
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
2
, 𝑠𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑖 =
∑ 𝑓𝑖
2
 
Onde 𝐹𝑎𝑐𝑖 é a menor frequência acumulada maior ou igual à semissoma das frequências 
absolutas. 
Exemplo: Determinar a mediana das seguintes distribuições de dados: 
a) b) 
xi fi Faci 
9 1 1 
10 2 3 
14 3 6 
15 4 10 
Total 10 
 
 
Resp.: a) 
∑ 𝑓𝑖
2
=
10
2
= 5, então 𝑀𝑑 = 14, pois (𝐹𝑎𝑐𝑖 = 6) > (
∑ 𝑓𝑖
2
= 5). 
Resp.: b) 
∑ 𝑓𝑖
2
=
18
2
= 9, então 𝑀𝑑 =
14+16
2
= 15, pois (𝐹𝑎𝑐𝑖 = 9) = (
∑ 𝑓𝑖
2
= 9). 
• Para dados agrupados com intervalos de classe temos: 
𝑀𝑑 = 𝐿𝐼𝑀𝑑 +
(
∑ 𝑓𝑖
2
− 𝐹𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛𝑡.𝑀𝑑)
𝑓𝑖𝑀𝑑
ℎ𝑀𝑑 
onde: 
𝐿𝐼𝑀𝑑 é o limite inferior da classe mediana; 
𝐹𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛𝑡.𝑀𝑑 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
𝑓𝑖𝑀𝑑 é a frequência absoluta da classe mediana; 
ℎ𝑀𝑑 é a amplitude da classe mediana, isto é, ℎ𝑀𝑑 = 𝐿𝑆𝑀𝑑 − 𝐿𝐼𝑀𝑑 . 
1º - Passo) Temos que determinar a classe na qual se acha a mediana - classe 
mediana. Tal classe será aquela correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior a
 ∑ 𝑓𝑖
2
. 
 
Exemplo: Calcule a mediana da seguinte série estatística: 
Estaturas dos alunos do colégio A (em cm) 
Estaturas (cm) Frequência Frequência acumulada 
150 Ⱶ 154 4 4 
154 Ⱶ 158 9 13 
158 Ⱶ 162 11 24 
162 Ⱶ 166 8 32 
166 Ⱶ 170 5 37 
170 Ⱶ 174 3 40 
Total 40 
Resp.: 
∑ 𝑓𝑖
2
=
40
2
= 20, então 𝑀𝑑 = 158 +
(20−13)
11
4 = 158 +
28
11
= 158 + 2,54 ≅ 160,54 𝑐𝑚 
xi fi Faci 
9 1 1 
10 2 3 
12 4 7 
14 2 9 
16 9 18 
Total 18 
MODA (Mo) 
A moda é o valor que ocorre com maior frequência entre os valores observados. A moda 
indicada por Mo, admite as seguintes formas: 
 
• Para dados não agrupados 
Para determinar a moda de um conjunto de dados não agrupados, basta identificar o 
valor que mais ocorre dentro da série, isto é, o valor que ocorre com maior frequência. 
 
Exemplo: Determine a moda do seguinte conjunto de dados 7; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 13; 15. 
Resp.: O valor que ocorre mais vezes é o 10, logo Mo = 10. 
 
Obs: 
- Se nenhum resultado da série estatística se repetir, dizemos que esta série é amodal, ou 
seja, não tem moda. 
Exemplo: 1; 3; 4; 7; 8. Resp.: Mo = amodal. 
- Se numa série estatística tivermos o maior número de repetições identificados em n 
elementos distintos diremos que a série é n-modal. 
Exemplo: 3; 6; 6; 7; 7; 8; 10 
Resp.: Mo = 6 e 7 é bimodal. 
Exemplo: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 6; 9; 9; 15 
Resp.: Mo = 2, 4 e 9 é tri-modal. 
 
• Para dados agrupados sem intervalos de classe temos: 
Para determinar a moda de um conjunto de dados agrupados sem intervalos de 
classe, basta identificar o valor correspondente à maior frequência absoluta simples. 
 
Exemplo: Determine a moda da seguinte distribuição de dados: 
 
 
 
 
Resp.: Mo = 15. 
 
 
 
xi fi 
9 1 
10 2 
14 2 
15 4 
 
• Para dados agrupados com intervalos de classe temos: 
- A classe que apresenta maior frequência absoluta é denominada classe-modal. 
- A forma mais simples de calcular a moda é calcular o ponto médio da classe modal, ou 
seja, 
𝑀𝑜 =
𝐿𝐼𝑀𝑜 + 𝐿𝑆𝑀𝑜
2
 
onde: 
𝐿𝐼𝑀𝑜 é o limite inferior da classe modal; 
𝐿𝑆𝑀𝑜 é o limite superior da classe modal. 
O valor calculado por esse processo é chamado de moda bruta. 
Existem outros processos mais elaborados para o cálculo da moda, tais como: 
• Fórmula de Czuber: 
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼𝑀𝑜 + (
∆1
∆1 + ∆2
) ℎ𝑀𝑜 
onde, 
 𝐿𝐼𝑀𝑜 é o limite inferior da classe modal; 
∆1= 𝑓𝑖𝑀𝑜 − 𝑓𝑖𝑎𝑛𝑡.𝑀𝑜, onde 𝑓𝑖𝑀𝑜 é a frequência absoluta da classe modal e 𝑓𝑖𝑎𝑛𝑡.𝑀𝑜 é a 
frequência absoluta da classe imediatamente anterior à classe modal; 
∆2= 𝑓𝑖𝑀𝑜 − 𝑓𝑖𝑝𝑜𝑠𝑡.𝑀𝑜, onde 𝑓𝑖𝑀𝑜 é a frequência absoluta da classe modal e 𝑓𝑖𝑝𝑜𝑠𝑡.𝑀𝑜 é a 
frequência absoluta da classe imediatamente posterior à classe modal; 
ℎ𝑀𝑜 é a amplitude da classe modal, isto é, ℎ𝑀𝑜 = 𝐿𝑆𝑀𝑜 − 𝐿𝐼𝑀𝑜. 
Exemplo: O quadro abaixo representa a distribuição de frequência do peso (em kg) de pessoas 
de uma certa faixa etária. Calcular a moda pelo método de Czuber e interpretar. 
Pesos (kg) fi 
40 Ⱶ 45 3 
45 Ⱶ 50 8 
50 Ⱶ 55 16 
55 Ⱶ 60 12 
60 Ⱶ 65 7 
65 Ⱶ 70 3 
70 Ⱶ 75 1 
Total 50 
Resp.: 𝑀𝑜 = 50 + (
16−8
(16−8)+(16−12)
) 5 = 50 + (
8
8+4
) 5 = 50 +
40
12
= 50 + 3,33 ≅ 53,33 𝑘𝑔.