-CONTROLE I

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Modelagem de tanques de agitação através de funções de 
transferência desenvolvidas em Python 
Ágatha Turmina 
Universidade Federal do Pampa – UNIPAMPA – email: agathaturmina.aluno@unipampa.com.br 
Kamilla Sapata 
Universidade Federal do Pampa – UNIPAMPA – email: kamillasapata.aluno@unipampa.edu.br 
Larissa Gomes 
Universidade Federal do Pampa – UNIPAMPA – email: larissagomes.aluno@unipampa.edu.br 
Nayra Fogatti 
Universidade Federal do Pampa – UNIPAMPA – email: nayradamiani.aluno@unipampa.edu.br 
 
Resumo: A utilização de controle de processos dentro das indústrias tornou as atividades 
industriais mais eficientes, econômicas e seguras, o que não pode ser alcançado somente pelo 
controle manual. Por esse motivo um controle automático adequado é muito importante para 
que se obtenha o melhor desempenho possível em todas as etapas do processo. O uso de 
softwares para predizer o comportamento de variáveis de processos tem se tornando muito 
comum, as alternativas computacionais oferecem um conjunto de soluções que permitem olhar 
dentro e fora do processo produtivo, e oferecem informações muito relevantes para o setor 
industrial. Nesse trabalho analisou-se um sistema contendo três tanques agitados em série, 
utilizados para aquecimento de água, onde somente o primeiro possui sistema de aquecimento. 
Suas funções de transferência foram obtidas analiticamente e também por meio da linguagem 
Python, os resultados foram comparados para obter-se confiabilidade nos métodos 
computacionais e uma melhor compreensão do processo. 
 
Palavras-chave: Simulação, Python, Tanque, Aquecimento, Controle. 
 
 
1. Introdução 
 Com o avanço tecnológico, novas ferramentas tornam-se gradativamente uma opção 
mais viável para representação de fenômenos físicos através de um ambiente computacional. 
Nesse contexto, a simulação de processos permite que um processo seja analisado sem que ele 
ocorra de forma experimental, ou seja, permite analisar a operação de uma planta industrial e 
as condições do processo apenas simulando sua operação. 
 A modelagem matemática e a simulação numérica têm sido amplamente utilizadas no 
desenvolvimento e otimização de processos químicos, devido ao grande desenvolvimento dos 
computadores e dos métodos computacionais. Devido à flexibilidade, rapidez, economia e 
confiabilidade dos resultados, a simulação numérica é ferramenta indispensável no 
desenvolvimento e otimização de processos químicos e tende a ser cada vez mais utilizada 
(ALCÂNTARA, 2003). 
 Os simuladores de processo desempenham um papel crítico na modelagem e otimização 
de processos, possibilitando a criação de um ambiente virtual para testes bastante atrativo 
economicamente e ao mesmo tempo se apresenta mais seguro, devido a seus bancos de 
dados termodinâmicos abrangentes, flexibilidade em combinações de operações unitárias e 
métodos computacionais extensivos (VASCONCELOS, 2019). 
 A simulação de um processo em disciplinas que envolvem controle de processos, tais 
como instrumentação e controle, permite que haja um melhor entendimento do funcionamento 
e ajuste dos parâmetros. Através da simulação é possível obter os mesmos parâmetros que 
seriam obtidos a partir dos modelos matemáticos, porém de forma mais eficiente e rápida, além 
de se assemelhar mais ao que é utilizado fora do meio acadêmico (STRIEDER, 2010). 
 A linguagem de programação Python (python.org) destaca-se pela otimização em 
relação ao programador, permitindo até mesmo a mudança dinâmica da programação, ou seja, 
em tempo de execução. O destaque do Python em relação a outras linguagens também é 
evidente pela sua característica de ser multiplataforma, permitindo, sem grandes mudanças, a 
execução do mesmo código em diferentes sistemas operacionais como, por exemplo: 
Windows® (windows.microsoft.com), Mac OS X® (apple.com) e Ubuntu® (ubuntu.com). 
Também possui licença livre, o que é uma tendência mundial, e apresenta bibliotecas numéricas 
avançadas, como o NumPy (numpy.org), científicas, como o SciPy (scipy.org), gráficas, como 
o matplotlib (matplotlib.org), todas de excepcional qualidade (OLIVEIRA, 2014). 
 Este trabalho tem como finalidade estudar as funções de transferência tanto analítica 
quanto computacionalmente de tanques agitados em série, visando o aquecimento de água. A 
implementação dos modelos deste trabalho foi realizada na ferramenta livre Python® utilizando 
seus módulos científicos de resolução de funções de equações diferenciais. Esta ferramenta foi 
utilizada por ser uma linguagem livre, de fácil implementação e possuir alta performance nas 
simulações. 
 O aquecimento de água é essencial na indústria química, atuando como fonte de 
aquecimento. A indústria química também utiliza sistema de aquecimento de água para pré-
aquecer fluidos de processo, aquecimento de emulsões e aquecimento do ambiente da fábrica. 
Nas petroquímicas e empresas que utilizam óleos combustíveis pesados há a necessidade do 
aquecimento das tubulações e reservatórios de óleo, possibilitando que ele flua livremente e 
proporcione uma boa combustão, esse aquecimento é gerado por meio de caldeiras. 
Refervedores, trocadores de calor, torres de fracionamento e destilação, fornos, vasos de 
pressão, reatores e turbinas são alguns dos equipamentos deste tipo de indústria que necessitam 
do calor gerado pelas caldeiras. 
 Os aquecedores de água industrial podem ser utilizados para realizar o processo de 
aquecimento da água em diferentes locais e sistemas, por meio de diferentes fontes de energia 
e calor, tem como principal característica sua grande versatilidade, pois pode ser aplicado em 
indústrias alimentícias, de celulose e papel, químicas e petroquímicas, entre outros diversos 
processos que possam exigir altas temperaturas (NEWTHERMO, 2015). 
 
2. Fundamentação Teórica 
 O esquema do sistema estudado pode ser observado na Figura 1. 
 
 
 
Figura 1 - Desenho do sistema com três tanques em série 
Fonte: Arruda, 2020 
O sistema apresentado na figura 1 é composto por três tanques em série, sendo o 
primeiro tanque aquecido e agitado e os outros dois apenas agitados. A simbologia utilizada no 
esquema adota F, em kg/h, como vazões de entrada e saída dos tanques e T, em ºC, como 
temperatura também de entrada e saída em cada tanque. Sendo F1, T1 e F2, T2 as entradas e 
saídas do tanque 1, respectivamente. F2, T2 e F3, T3 entradas e saídas do tanque 3 e por fim, 
F3, T3 e F4, T4 entradas e saídas do tanque 4, respectivamente. Neste sistema, considera-se 
também o calor específico, cp em kcal/kgºC, e a massa específica da mistura, ρ em kg/m³. Os 
tanques possuem o mesmo volume V, em m³. 
 Controlar um processo químico é manter os valores das variáveis do processo (nível, 
fluxo, pressão, temperatura, pH, condutividade, concentração etc.) dentro de limites de projeto. 
As variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou 
substância dentro da malha de controle, sendo elas: variáveis de entrada e saída, variáveis 
perturbação, variáveis manipuladas, variáveis controladas e variáveis medidas. 
(COUGHANOWR, 1978). A natureza dos processos industriais é dinâmica, o que torna 
imprescindível um controle automático e contínuo de suas variáveis, de modo que condições 
de projeto − relacionadas a segurança, qualidade do produto e taxas de produção − sejam 
alcançadas (FRANCHI, 2011). As variáveis de entrada do sistema da figura 1 são a temperatura 
T1, a vazão F1 e o calor do aquecedor Q, e as variáveis de saída são a vazão F4 e a temperatura 
T4. Variáveis perturbação são as entradas do processo que não podem ser manipuladas, pois 
são definidas por outras partes da planta, para o esquema da figura 1, a variável perturbação é 
F1. Consideraram-se as variáveis T1 e Q como variáveis manipuladas, sendo elas as variáveis 
que podem ser alteradas a fim de se manter a variável controlada, T4, em um dado valor 
constante.O controle do processo é diretamente relacionado com o comportamento do mesmo no 
estado instável (ou seja, “com a resposta transitória", "dinâmica do processo"). Para isso faz-se 
necessário obter-se a modelagem matemática do sistema. O modelo matemático de um sistema 
dinâmico é composto por um conjunto de equações diferenciais (EDO e/ou EDP) que 
representam a dinâmica do sistema com exatidão ou, pelo menos, de uma forma admissível. Os 
princípios teóricos nos quais se fundamentam os modelos do processo para sua modelagem 
dinâmica e de controle de processos são principalmente baseadas nas Leis de Conservação 
(BEQUETTE, 2003). Para a modelagem matemática do sistema da figura 1, realizou-se um 
balanço de energia. 
 A equação do balanço de energia é descrito na equação 1: 
 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜−
+ = 𝐴𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 (1) 
 
 Para o tanque 1 do sistema, o balanço de energia fica na forma da equação 2: 
 
𝑑𝜌𝑐𝑝𝑉𝑇2
𝑑𝑡
= 𝑐𝑝𝐹1𝑇1 − 𝑐𝑝𝐹2𝑇2 + 𝑄 (2) 
 
 A equação 3 apresenta a análise dimensional da equação 2: 
 
𝑘𝑔
𝑚³
 
𝑘𝐶𝑎𝑙
𝑘𝑔 °𝐶
 
𝑚³ ℃
ℎ
=
𝑘𝐶𝑎𝑙
𝑘𝑔 °𝐶
 
𝑘𝑔
ℎ
 ℃ (3) 
 
 O balanço de energia no estado dinâmico para o tanque 1 segue a equação 4: 
 
𝜌𝑐𝑝𝑉𝑑𝑇2
𝑑𝑡
= 𝑐𝑝𝐹1𝑇1 − 𝑐𝑝𝐹2𝑇2 + 𝑄 (4) 
 
 
 O balanço de energia no estado estacionário é dado pela equação 5: 
 
𝑐𝑝𝐹1𝑇1 − 𝑐𝑝𝐹2𝑇2 + 𝑄 = 0 (5) 
 
 Seguindo a equação 1 do balanço de energia, e desenvolvendo as mesmas equações 
apresentadas acima para os tanques 2 e 3, obtêm-se as equações 6 e 7 que descrevem o modelo 
dinâmico e o estacionário do tanque 2 respectivamente, e as equações 8 e 9 para os modelos 
dinâmico e estacionário do tanque 3, respectivamente: 
 
𝜌𝑐𝑝𝑉𝑑𝑇3
𝑑𝑡
= 𝑐𝑝𝐹2𝑇2 − 𝑐𝑝𝐹3𝑇3 (6) 
 
𝑐𝑝𝐹2𝑇2 − 𝑐𝑝𝐹3𝑇3 = 0 (7) 
 
𝜌𝑐𝑝𝑉𝑑𝑇4
𝑑𝑡
= 𝑐𝑝𝐹3𝑇3 − 𝑐𝑝𝐹4𝑇4 (8) 
 
𝑐𝑝𝐹3𝑇3 − 𝑐𝑝𝐹4𝑇4 = 0 (9) 
 
 
3. Metodologia 
 Baseando-se na fundamentação teórica, é possível analisar o comportamento do sistema 
com três tanques agitados, em série, através da modelagem por funções de transferência. As 
resoluções matemáticas das mesmas são descritas em resultados e discussão. 
 Essa modelagem também pode ser desenvolvida e averiguada através do programa 
computacional Python. Nele foi gerado um código, apresentado e explicado através do anexo 
1, que resolve os problemas presentes nas funções de transferência gerando as soluções das 
mesmas e, assim sendo possível se analisar todos os parâmetros desejados dentro do sistema 
dos tanques de agitação. 
 Para se desenvolver as funções de transferências nos tanques de agitação algumas 
premissas devem ser adotadas, sendo elas: 
1. Massa específica das correntes é constante; 
2. Capacidade calorífica constante; 
3. Volume dos tanques constantes; 
4. Mistura perfeita no tanque; 
5. Não há evaporação de líquido no tanque; 
6. Seção transversal do tanque é constante = A. 
 Levando em consideração as simplificações acima, e sabendo-se que os tanques de 
agitação possuem volume de 1 m³ (V1=V2=V3=1 m³), que a vazão F1 é de 1000 kg/h, densidade 
ρ igual a 1000 kg/m³ e o calor específico cp vale 1 kcal/kgºC, é possível se definir os demais 
parâmetros desejados dos tanques. 
 O calor de aquecimento na condição inicial é igual a 40 kcal/h. O mesmo é obtido em 
resultados e discussão, através do desenvolvimento das Equações 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 
18, 19 e finalmente sendo mensurado através da Equação 20. 
 Essa condição inicial representa o estado estacionário, a partir do momento em que há 
um aumento de 30% no aquecimento o calor de aquecimento mudará para 52 kcal/h. As 
temperaturas que serão encontradas T2, T3 e T4, através das funções de transferência, são 
referentes a esse novo estado, com o aumento de 30% do aquecimento. 
 Os dados de processo no estado estacionário inicial são demonstrados na Tabela 1. 
 
 
Tabela 1 – Dados do processo em estado estacionário inicial 
Parâmetro Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3 
Vazão de entrada 
(kg/h) 
1000 1000 1000 
Vazão de saída 
(kg/h) 
1000 1000 1000 
Temperatura de 
entrada (ºC) 
40 - - 
Temperatura de 
saída (ºC) 
- - 80 
Fonte: Autores, 2020 
 
4. Resultados e Discussão 
 
A fim de descrever o comportamento dos sistemas foram relacionadas as entradas e saídas dos 
tanques agitados, conforme necessário, obtendo as funções de transferências a partir dos 
balanços. Os resultados da diferença entre os balanços de energia dos estados dinâmico e 
estacionário, são descritos nas Equações a seguir. 
Para o tanque 1: 
O resultado da modelagem para o tanque 1 e a representação matemática dos casos 1 e 2, são, 
respectivamente, as Equações 10 e 11. 
 
 
Caso 1, Q=cte: 
 
 
 
Caso 2, T1= cte: 
 
 
 
Para o tanque 2: 
A Equação 12 representa a modelagem para o tanque 2. 
 
 
 
 
 
 
𝜌𝐶𝑝𝑠𝑉𝑇
′
2(𝑠) = 𝐶𝑝𝐹1𝑇
′
1(𝑠) − 𝐶𝑝𝐹2𝑇
′
2(𝑠)+Q'(s) 
𝑇′2(𝑠)
𝑇′1(𝑠)
=
𝐹1
𝐹2
⁄
(
𝜌𝑉𝑠
𝐹2
+1)
 
𝑇′2(𝑠)
𝑄′(𝑠)
=
1
𝐶𝑝𝐹2⁄
(
𝜌𝑉𝑠
𝐹2
+1)
 
𝜌𝐶𝑝𝑠𝑉𝑇
′
3(𝑠) = 𝐶𝑝𝐹2𝑇
′
2(𝑠) − 𝐶𝑝𝐹3𝑇
′
3(𝑠) 
𝑇′3(𝑠)
𝑇′2(𝑠)
=
𝐹2
𝐹3
⁄
(
𝜌𝑉𝑠
𝐹3
+1)
 
(10) 
 (11) 
(12) 
Para o tanque 3: 
A Equação 13 representa a modelagem para o tanque 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 2, pode-se observar a representação das funções em diagrama de blocos. 
 
 
 
Figura 2 - Diagrama de blocos do sistema 
 
 
As funções de transferência foram obtidas da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o caso 1, Q=cte: 
 
 
Para o caso 2, T1=cte: 
 
 
𝜌𝐶𝑝𝑠𝑉𝑇
′
4(𝑠) = 𝐶𝑝𝐹3𝑇
′
3(𝑠) − 𝐶𝑝𝐹4𝑇
′
4(𝑠) 
𝑇′4(𝑠)
𝑇′3(𝑠)
=
𝐹3
𝐹4
⁄
(
𝜌𝑉𝑠
𝐹4
+1)
 
𝐺1 =
𝑇′2
𝑇′1
 
𝐺2 =
𝑇′2
𝑄′
 
𝐺3 =
𝑇′3
𝑇′2
 
𝐺4 =
𝑇′4
𝑇′3
 
𝑇′4
𝑇′1
= 𝐺1𝐺3𝐺4 
𝑇′4
𝑄′
= 𝐺2𝐺3𝐺4 
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18) 
(19) 
Em que Q é obtido através da Equação 20. 
 
 
 
 
 
 
 
Aumentando o calor em 30%, temos: 
 
 
 
 
Substituindo as modelagens e os valores propostos no problema, as funções de transferência 
para os casos 1 e 2 são, respectivamente: 
 
𝑇′4(𝑠)
𝑇′1(𝑠)
= 
1
(𝑠+1)3𝑠
 (21) 
 
 
𝑇′4(𝑠)
𝑄′(𝑠)
= 
1
(𝑠+1)3𝑠
 (22) 
 
 
O problema proposto na letra A foi executado conforme o desenvolvimento da Equação 
23. 
 
lim
𝑡→∞
𝑇′4(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠𝑇′4(𝑠) (23) 
 
 
𝑠𝑇′4(𝑠)= 
12
(𝑠+1)3𝑠
 
 
𝑇′4(𝑡) = 12 
 
 
T(𝑡) = 12 + 80 = 92°C 
Q= 𝐶𝑝𝐹4𝑇
′
4 − 𝐶𝑝𝐹1𝑇
′
1 
Q= 1 ∙ 1000 ∙ 80 − 1 ∙ 1000 ∙ 40 
Q= 40 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ 
Q= 52 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ 
Q'(s)=
12
𝑠
 
(20) 
 
O desenvolvimento do problema proposto na letra B é descrito a seguir. 
A função de transferência do caso1 foi resolvida utilizando o método das frações parciais 
(Equação 24) 
 
 
Aplicando o método das frações parciais, encontramos os valores de A, B, C e D. 
Substituindo-se os valores, a Equação 16 fica: 
 
 
Com as informações do degrau fornecidas no início do processo e a variação da resposta 
(T’4=5°C), é possível determinar o tempo gasto para que se alcance a variação, para tal é 
necessário aplicar a transforma de Laplace inversa. 
 
 
 
 
Com a finalidade de comparação, a mesma modificação que foi aplicada para obter o 
modelo matemático, foi utilizada para solução por meio de programação na linguagem Python, 
demonstrando o comportamento do gráfico frente a modificação em degrau na entrada. 
 
A Figura 3 mostra a variação da temperatura, inicialmente em 80°C, após o aumento de 30% 
na entrada de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Gráfico da variação de temperatura relação ao tempo 
 
 
 
A Figura 4 mostra a variação do calor frente à perturbação. 
−
𝐴
𝑠+𝑎
 − 
𝐵
(𝑠+1)²
−
𝐶
(𝑠+1)³
 + 
𝐷
𝑠
 
−
30
𝑠+𝑎
 − 
30
(𝑠+1)²
−
30
(𝑠+1)³
 + 
30
𝑠
 
ℒ−1 = −30𝑒−𝑡 − 30𝑒−𝑡 ∙ 𝑡 − 15𝑒−𝑡 ∙ 𝑡2 = 5 
𝑡 = 1,4 ℎ 
(24) 
(25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Figura 5 demonstra a variação da temperatura frente a perturbação de 30°C na entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Gráfico da variação de temperatura em relação ao tempo 
 
Figura 4 - Gráfico da variação de temperatura em relação ao tempo 
 
A variação do calor em relação ao tempo, também frente a pertubação de 30°C pode ser visto 
na Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando-se os resultados analíticos e o comportamento das curvas, é possível 
perceber que os valores são muito similares e concisos. 
 
A função transferência T’4/Q’ é de primeira ordem, sabe-se que para tais funções quanto 
maior for τ, maior o tempo de resposta do sistema precisa para se estabilizar e mais perto está 
o pólo do eixo imaginário, portanto, nesse caso, T4 se estabiliza rapidamente devido ao baixo 
valor de τ. O aumento em degrau do calor obteve uma nova temperatura de 92°C, conforme 
explicitado na Figura 3, ainda é possível se observar os atrasos no tempo de resposta de cada 
tanque, antes de atingir o estado estacionário. 
 
A relação T4’/T1’ também é uma função de transferência de primeira ordem. A 
programação em Python fornece as curvas para os tanques antes de alcançar o estado 
estacionário (Figura 5). É possível analisar que os tempos de resposta variam conforme o tanque 
se distancia da fonte de calor. Através do método analítico, obteve-se o tempo de resposta para 
perturbação de 1,4 h, esse valor é corroborado pelo o que pode ser visto na curva de resposta 
de T4 na Figura 5. 
 
Conclui-se que ambos os métodos são eficazes para resolução de problemas que 
envolvem controle de processos. 
 
 
 
 
Figura 6 - Gráfico da variação do calor em relação ao tempo 
 
 
5. Referências 
 
 
COUGHANOWR, D.R.; KOPPEL, L.B. Análise e controle de processos. Rio de Janeiro: 
Guanabara Dois, 1978. 
 
FRANCHI, C.M. Controle de processos industriais. São Paulo: Érica, 2011. 
 
BEQUETTE, B.W. Process control: modeling, design and simulation. New Jersey: Pearson 
Education, 2003. 
 
NEWTHERMO. Aquecedores de água industrial. Disponível em 
<https://www.newthermo.com/aquecedor-agua-industrial-gas>. Acesso em 22/11/2020 
 
STRIEDER, ANDRÉ; SCHUCH, CRISTINA; FRIAS, ALESSANDRO. Utilização de 
simuladores de processos como ferramenta para o ensino de Engenharia. Revista Ciência e 
Tecnologia, v. 9, n. 14, 2010. 
 
ALCÂNTARA, P. H. L. de. MODELAGEM E SIMULAÇÃO FLUIDODINÂMICA DE UM 
SECADOR DE LEITO FLUIDIZADO INDUSTRIAL. 89 f. 2003. - Dissertação de Mestrado. 
Pós-graduação em Engenharia Química. Universidade Federal de Campina Grande., [s. l.], 
2003. 
 
OLIVEIRA, J. A. F. de. Modelagem e Simulação da Solubilidade de Sais em Sistemas 
Aquosos com Monoetilenoglicol. 173 f. 2014. - Tese de doutorado. Programa de pós graduação 
em Engenharia Química. Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2014. 
 
VASCONCELOS, S. F. de. Universidade federal de campina grande centro de ciências e 
tecnologia programa de pós-graduação em engenharia química. 91 f. 2019. - Dissertação de 
Mestrado. Pós-graduação em Engenharia Química. Universidade Federal de Campina Grande, 
2019. 
 
https://www.newthermo.com/aquecedor-agua-industrial-gas