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Lista I - POI
1ª Parte:Formule os problemas abaixo como modelo de PL (não resolva-os!)
1ª Questão: Um jovem estava saindo com duas namoradas: Maria e Luísa. Sabe, por experiência, que:
Maria, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$240,00.
Luísa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas custará R$160,00.
Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão.
Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua energia para atividades sociais.
Cada saída com Maria consome 5.000 calorias, mas com Luísa, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro.
Ele gosta das duas com a mesma intensidade.
Como ele deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas?
2ª Questão: Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos, P1 e P2. Levando-se os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120,00 por unidade e P2 R$150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos:
	Produto
	
	Recursos
	
	
	R1
	R2
	R3
	P1
	2
	3
	5
	P2
	4
	2
	3
	Disponibilidade
	100
	90
	120
Como deve ser a produção mensal de P1 e P2 para que a empresa obtenha o lucro máximo?
3ª Questão: De vez em quando Lucrécia Bórgia convidava 50 inimigos para jantar. O prato principal era temperado com veneno. Naqueles dias cruéis, havia dois tipos de veneno que ela costumava usar: A e B. Antes de preparar o jantar, ela considerava algumas limitações impostas às suas pretensões:
i) se ela usasse mais de 0,5 kg de veneno, os convidados iriam perceber pelo paladar e se recusariam a comer;
ii) Lucrécia acreditava muito em sua feiticeira particular que lhe havia recomendado: ”Um de A e dois de B, se menos que ½ então será você que morrerá”;
iii) O veneno A mata 75 pessoas por quilo e o veneno B, mais poderoso, mata 200 pessoas por quilo;
iv) O veneno A custa 100 peças de ouro e o veneno B 400 peças de ouro por quilo, respectivamente.
Lucrécia preparou um jantar maravilhoso, mas dispunha de quantia reduzida, que pretendia gastar de maneira que lhe sobrasse para promover outros jantares. Ajude Lucrécia a programar o jantar de custo mínimo.
4ª Questão: Uma fábrica produz três tipos de produtos: A, B e C. A quantidade de horas por semana que cada uma das três máquinas utilizadas na produção dos produtos bem como o lucro unitário obtido na venda dos produtos é apresentada na tabela abaixo.
	Máquina
	A
	B
	C
	Disponibilidade
	Frisadora
	8
	2
	3
	200
	Torno
	4
	3
	0
	100
	Polidora
	2
	0
	1
	50
	Lucro unitário
	20
	6
	8
	-
Modele o problema de modo a maximizar o lucro da fábrica considerando que uma pesquisa feita pelo departamento de vendas mostrou que a fábrica poderá vender no máximo 20 unidades do produto C.
Coloque o PPL da fábrica na forma padrão.
Diga o que representa cada uma das variáveis de folga.
 5ª Questão: Numa refinaria são produzidos três tipos de gasolina: Comum, Premium e Sem Chumbo. A tabela abaixo mostra a quantidade de barris de cada um dos tipos de gasolina que pode ser obtida do petróleo após ele ser submetido por um dos três processos. A demanda do mercado por cada um dos tipos de gasolina e o custo por hora de utilização de cada processo também estão na tabela.
	Processo
	Comum
	Premium
	Sem Chumbo
	Custo/hora
	1
	3
	2
	4
	160
	2
	6
	8
	6
	400
	3
	6
	4
	3
	300
	Demanda
	36
	30
	20
	-
Formule o PPL da refinaria com o objetivo de minimizar o custo.
6ª Questão: Devido ao número inconstante de passageiros, uma companhia de ônibus necessita de um número variado de motoristas dependendo do horário considerado. A tabela a seguir especifica a quantidade de motoristas necessários.
	Horário
	Quantidade de motoristas
	1 às 5 horas
	15
	5 às 9 horas
	30
	9 às 13 horas
	26
	13 às 17 horas
	32
	17 às 21 horas
	30
	21 à 1 hora
	19
Considerando que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o serviço pode ser iniciado às 1, 5, 9, 13, 17 ou 21 horas, elabore um plano de trabalho para os motoristas de modo que o número destes seja mínimo.
7ª Questão: Uma equipe de nutricionistas pretende criar um programa que determine, numa dieta para a redução calórica, as quantidades de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo.
Esta dieta alimentar é restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e uma salada de composições bem conhecidas. Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controladas por suas quantidades mínimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta.
	A tabela abaixo resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa.
	Restrições de Nutrientes na Dieta Alimentar
	Vitamina
	Leite (litro)
	Carne (Kg)
	Peixe (Kg)
	Salada (100g)
	Necessidade Mínima
	A
	2 mg
	2 mg
	10 mg
	20 mg
	11 mg
	C
	50 mg
	20 mg
	10 mg
	30 mg
	70 mg
	D
	80 mg
	70 mg
	10 mg
	80 mg
	250 mg
	Custo
	2 reais
	4 reais
	1,50 real
	1 real
	-
Formule o programa para a otimização dos recursos envolvidos.
8ª Questão: A Opinião Popular S/A é uma empresa especializada em avaliar a reação de consumidores a novos produtos, serviços e/ou campanhas de publicidade. Um cliente pediu à empresa para providenciar informações sobre a reação de consumidores para um produto recentemente lançado. O contrato do cliente necessita que sejam feitas entrevistas pessoais de porta em porta, respeitando as seguintes condições:
 a) Entrevistar pelo menos 400 famílias com crianças;
 b) Entrevistar pelo menos 200 famílias sem crianças;
 c) A quantidade de famílias entrevistadas durante a noite deve ser, pelo menos, tão grande quanto o número de entrevistados durante o dia.
 d) O total de entrevistados deve ser, pelo menos, 1000 famílias.
Baseando-se em entrevistas realizadas anteriormente, os custos das entrevistas são os seguintes:
	Família
	Custo da entrevista
	
	Dia
	Noite
	Com criança
	$10
	$12
	Sem criança
	$8
	$10
Para minimizar os custos das entrevistas, quantas entrevistas com cada tipo de família devem ser realizadas em cada um dos horários (dia ou noite), atendendo às restrições impostas?
9ª Questão: Uma fábrica tem dois tipos de inspetores, I e II, responsáveis pelo controle de qualidade. Há necessidade que pelo menos 1.800 peças sejam inspecionadas em 8 horas por dia. Os inspetores tipo I podem inspecionar peças numa taxa de 25 por hora, com uma confiabilidade de 98%; os tipos II inspecionam 15 peças por hora, com confiabilidade de 95%.
Os salários são de R$ 4,00/hora para o tipo I e de R$ 3,00/hora para o tipo II. Cada erro de qualquer dos inspetores custa à fábrica R$ 2,00. Há disponíveis 8 inspetores tipo I e 10 do tipo II.
Determine o número ótimo de inspetores que minimizam o custo total de inspeção.
10ª Questão: Uma fábrica produz tampas de dois tamanhos utilizando uma chapa de dimensões 1,00 m e 0,40 m. Na estamparia existem 3 tipos de matrizes que podem ser utilizadas para o corte; sabe-se que as estampas têm diâmetros de 0,2 e 0,4 respectivamente.
A fábrica deve produzir pelo menos 400 tampas pequenas e 300 tampas grandes, para atender compromissos já contratados. Determinar o esquema de produção que atenda a estes compromissos e que gaste a menor quantidade possível de chapas.
 MATRIZ I MATRIZ II
 MATRIZ III
11ª Questão Deseja-se realizar uma viagem aérea do Rio a Tóquio, mas não há vôo direto. Os vôos disponíveis,com as respectivas durações em horas, são:
	
	origens
	destinos
	1 - Rio
	2 - Recife
	3 - Lima
	4 - Hong Kong
	2 - Recife
	3
	
	4
	
	3 - Lima
	3
	
	
	
	4 - Hong-Kong
	
	11
	11
	
	5 - Tóquio
	
	16
	14
	3
Admitindo que não há perda de tempo nas escalas, especifique um modelo que forneça o esquema de vôo mais rápido.
12ª Questão A Madeireira Araucária fabrica tábuas e compensados a partir de 2 tipos de madeira: mogno e cedro. As tábuas de mogno são aparelhadas de tal forma que 1800 metros cúbicos de madeira em bruto fornecem 1000 metros cúbicos do produto acabado. O cedro, mais macio, gera uma perda de apenas 30% na fabricação de tábuas. No processo de fabricação do compensado, 2 volumes de cedro são combinados com 1 volume de mogno para gerar 2 volumes do produto acabado.
O IBDF permite, no período considerado, um abate de 32000 metros cúbicos de mogno e 72000 metros cúbicos de cedro. Os compromissos de venda já assumidos montam a 5000 metros cúbicos de tábuas de ambas as madeiras (cada) e 6000 de compensado. Os lucros por metro cúbico são de R$ 7,00, R$ 5,00 e R$ 8,00 para as tábuas de mogno e cedro e para o compensado, respectivamente.
Qual o esquema de produção ideal?
13ª Questão A Diretoria de Investimentos de uma corretora tem oportunidades de aplicação em Letras do Governo com prazos de resgate de 2 e 3 anos no início dos próximos 5 anos fiscais. As letras de 2 anos rendem, líquidos, 40% neste período e as de 3 anos 70%, ambas a tempo de serem reaplicadas de imediato.
Além disso, estarão disponíveis no início do segundo ano letras de 4 anos que rendem 100% e, no início do quinto ano, letras que rendem 30% um ano após.
Dispondo de R$ 10 milhões, qual o plano de investimentos que maximiza o lucro acumulado no início do sexto ano?
2ª Parte: Método Geométrico
14ª Questão Esboce a região que satisfaz cada um dos sistemas de desigualdades abaixo:
(a) x ≤ 4 (b) 2x - y ≤· 6 (c) x + y ≥ 4
x ≥ 2 2x + y ≤· 10 x + 4y ≥ 8
y ≤ 4 x ≥ 0 x ≥ 0
y ≥ 1 y ≥ 0 y ≥ 0
x + y ≤· 6 
15ª Questão Encontre o conjunto de pontos que maximiza z = 8x + 10y sujeito aos vínculos
2x + 3y ≤ 6
x + 2y ≥ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
.
16ª Questão Resolva graficamente os problemas de programação linear dados abaixo:
(a) Max z = 3x + 2y sujeito a 	 (b) Min z = 3x - y sujeito a
 2x - 3y ≤· 6 			 - 3x + 2y ≤· 6
 x + y ≤· 4 				 5x + 4y ≥ 20
 x, y ≥ 0 		 8x + 3y ≥ 24
 x ≥ 0, y ≥ 0
17ª Questão Considere o problema de programação linear (PPL) a seguir:
minimizar	 z = ax1 + bx2
sujeito a	 -x1 + 2x2 ( 4
		 x1 + x2 ( 6
		 x1 + 3x2 ( 9
		 x1,x2 ( 0
Determine os valores de a e b que fazem este PPL ter solução:
ilimitada ( z( - ()
um segmento de reta ligando 2 pontos extremos
uma semi-reta
um ponto extremo (identifique o ponto extremo que será solução)
18ª Questão Dado o seguinte modelo:
 max z = x1 + x2
 4x1 + 2x2 <=8
 3x1 + 5x2 <= 15
 x1, x2 >=0
Resolva-o graficamente (hachure o espaço solução e indique o ponto ótimo , caso exista).
 b) Qual o intervalo para os coeficientes da FO que mantém a solução ótima?
 c) Calcule o preço-sombra do recurso 2.
 d) O que aconteceria caso diminuíssemos a disponibilidade do recurso 2? Por que? 
19ª Questão Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponível de queijo é de 5 Kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, o dono da pizzaria deseja planejar a produção de forma o obter o maior lucro possível com três pizzaiolos trabalhando diariamente.
Qual o lucro máximo da pizzaria?
Como o dono da pizzaria deve planejar a produção de pizzas e calzones para obter o lucro máximo?
Existe sobra de queijo? Quanto?
Existe sobra de mão de obra? Quanto?
Para aumentar o lucro da pizzaria é necessário mais queijo ou pizzaiolos? Por quê?
20ª Questão A indústria Bonecas Sinistras SA produz dois tipos de boneca: a Vampiresca e a Lobimulher. O processo de montagem para cada uma destas bonecas requer duas pessoas, o montador 1 e o montador 2. O número de horas disponíveis do montador 1 por dia é igual a 8 horas e do montador 2 também é 8 horas por dia. Para produzir uma unidade da boneca Vampiresca são necessários 6 minutos do montador 1 e 2 minutos do montador 2. Para produzir uma unidade da boneca Lobimulher são necessários 3 minutos do montador 1 e 4 minutos do montador 2. Considerando que o mercado está disposto a comprar toda a produção da Bonecas Sinistras SA e que a firma tem um lucro de R$ 3,00 por cada Vampiresca produzida e R$ 1,00 por cada Lobimulher produzida, responda analisando a resolução geométrica do problema de programação linear associado.
Qual o lucro máximo que a indústria pode ter? 
Quantas bonecas devem ser produzidas por dia de forma que a indústria tenha lucro máximo?
A empresa decide abrir um processo seletivo para contratação de apenas um tipo de montador, você aconselha a contratar montadores 1 ou montadores 2? Por quê?