apostila cinemática

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Faculdade Anhanguera de Pelotas 
Curso de Licenciatura em Ciências Biológicas 
Professora Janaina Schulte 
 
CINEMÁTICA ESCALAR E VETORIAL 
 
 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1.1. Ponto Material e Corpo Extenso 
 
Ponto Material: 
 
 Consideremos um veiculo se deslocando de Porto 
Alegre a São Paulo. Se compararmos suas dimensões com o 
percurso da viagem, podemos considera-lo com um ponto 
material, pois suas dimensões são muito pequenas em relação 
ao percurso. Neste caso é possível desprezar as dimensões do 
veiculo já que não interferem no movimento. 
 Salientamos que o ponto material tem massa, o que é 
desprezível é o seu tamanho. 
 
Ponto Material ou Partícula é todo corpo cujas dimensões não interferem no 
estudo de um determinado fenômeno. 
 
Corpo Extenso: 
 
 Suponhamos agora o mesmo veiculo sendo 
manobrado no interior de uma garagem. Neste caso suas 
dimensões não podem ser desprezadas quando 
comparadas com a largura, o comprimento e a altura da 
garagem. Neste caso o veiculo deixa de ser considerado 
ponto material e passa a ser considerado um corpo 
extenso. 
 
Corpo extenso é todo corpo cujas dimensões interferem no estudo de um 
determinado fenômeno. 
 
 
1.2. Referencial, Repouso e Movimento 
 
Em todos os casos em que você percebe que um objeto está em movimento, a 
posição do objeto, em relação a você, está variando com o decorrer do tempo. 
Entretanto um mesmo movimento pode ser analisado em relação a diferentes 
referenciais. 
Suponha por exemplo um observador A, parado sobre a Terra, olhando a 
lâmpada presa ao teto da locomotiva que se desloca sobre os trilhos conforme a figura 
abaixo: 
 
 2 
 
 
Para o Observador A , a lâmpada está em movimento, pois sua posição em 
relação a ele está mudando no decorrer do tempo. Já para o observador B, dentro da 
locomotiva, a lâmpada está sempre na mesma posição em relação a ele próprio, ou seja, 
a lâmpada está em repouso em relação ao observador B . Em outras palavras, neste 
outro referencial a lâmpada está em repouso. 
O referencial que adotamos mais comumente é a Terra. Quando dizemos que 
um corpo está em movimento, devemos indicar sempre o referencial em relação ao qual 
estamos considerando este movimento. Entretanto, quase sempre tomamos a Terra 
como referencial, isto é, as posições do s objetos são tomadas em relação a um ponto 
fixo da Terra. Por convenção quando não mencionamos o referencial no estudo de certo 
movimento, é porque o referencial adotado é a Terra. 
 
Responda agora: A Terra está parada ou em movimento? E o Sol? 
 
a) em relação a Terra: 
b) em relação ao Sol: 
 
Referencial ou sistema de referência é um corpo ou um conjunto de corpos 
em relação ao qual ou aos quais podemos analisar se existe movimento ou não. 
 
Um corpo está em movimento em relação a um determinado referencial 
quando a sua posição, em relação a ele, varia no decorrer do tempo. 
 
Um corpo está em repouso em relação a um determinado referencial quando a 
sua posição, em relação a ele, não varia no decorrer do tempo. 
 
Conclusões: 
 
a) Relatividade do movimento: 
 A noção de repouso ou de movimento é relativa, pois relaciona-se com o 
referencial adotado. Ao mesmo tempo um corpo poderá em repouso ou em movimento; 
isto depende do referencial . 
 
b) Reciprocidade do movimento: 
 O movimento é recíproco: " Quando um corpo A está em movimento em 
relação a um corpo B, então o corpo B está em movimento em relação ao corpo A". Isto 
ocorre porque se a posição de A está variando em relação a B, obviamente, a posição de 
B está variando em relação à A, basta inverter o referencial. 
 
1.3. Trajetória 
 3 
 
 Trajetória é a linha geométrica formada pela união das sucessivas posições 
ocupadas por um móvel no decorrer do tempo. 
 
 
Assim por exemplo, temos a trajetória seguida por uma bola de futebol até o 
gol, a trajetória seguida por uma formiga até o formigueiro, o rastro de fumaça deixado 
por um avião a jato no céu. 
 
 O tipo de trajetória deixada pelo corpo depende do referencial adotado. 
 
Considere um trem em movimento retilíneo com velocidade constante em 
relação ao solo, conforme mostra a figura abaixo. A trajetória de um corpo que se 
desprende do teto do trem é um segmento de reta vertical em relação a um referencial 
fixo no trem (T), um passageiro, por exemplo. Em relação a um referencial (S) no solo, 
o corpo descreve uma curva. Essa curva é um arco de parábola, quando desprezamos a 
ação do ar. 
 
1.4. Grandezas Escalares e Vetoriais 
 
a) Grandeza física escalar: é aquela que fica perfeitamente caracterizada 
quando fornecemos seu valor numérico seguido de uma unidade de medida. 
Como exemplos de grandezas escalares podemos citar: A massa de um corpo, 
o comprimento de uma régua, a temperatura de um objeto o tempo gasto numa viagem, 
etc. 
b) Grandeza física vetorial: é aquela que para sua total caracterização deve ter 
especificada sua intensidade, que chamamos de módulo, seguida de uma unidade de 
medida, e ainda sua direção (horizontal, vertical, inclinada de 30
o
 com relação a 
horizontal, etc.), e também um sentido (da direita para a esquerda, de baixo para cima). 
Temos como exemplo de grandezas vetoriais: força, deslocamento, velocidade, 
aceleração, etc. 
 
 
2. Operações com vetores 
 Para trabalharmos com grandezas vetoriais é fundamental o conhecimento de 
algumas operações básicas com vetores. 
 
Vetor: Vetor é um ente matemático, sem qualquer significado físico 
representado por um segmento de reta orientado. As grandezas vetoriais são 
representadas por vetores. 
Elementos de um Vetor: Qualquer vetor ficará completamente definido se 
conhecermos seu módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 Para enfatizar o caráter vetorial de uma grandeza costuma-se colocar uma 
 4 
pequena seta em cima da letra que designa a grandeza considerada. Ex.: vetor 
deslocamento ( r

), vetor força ( F

). É também freqüente encontrarmos em alguns livros 
grandezas vetoriais simbolizadas em negrito. Ex.: vetor velocidade ( v ). 
 
2.1. Deslocamento e distância percorrida 
 
 Localizar e descrever posições e muito importante e fazemos isto de várias 
maneiras em nosso dia-a-dia. Tão freqüente como localizar é a necessidade de descrever 
nossos deslocamentos, isto é, nossa mudança de posição. 
 A distância percorrida por um móvel é a medida da trajetória seguida por ele 
. 
 O deslocamento é uma variação da posição, é a mudança que se estabelece 
entre a posição final e a posição inicial. 
Observe a figura: 
 
 
O automóvel sai do ponto A e chega em C, seguindo o caminho ABC 
conforme mostrado acima. Podemos dizer que a distância percorrida é a soma dos 
segmentos de 80 ( AB ) e 60 m ( BC ), ou seja, 140 metros. 
 No exemplo acima a menor distância entre a posição final e inicial do carrinho 
é 100 metros, então o módulo do vetor deslocamento é 100 m, a direção é um certo 
ângulo  com a vertical e o sentido é de A para C. 
 O que você responderia se um professor de física lhe perguntasse qual o valor 
numérico de seu deslocamento desde que você sai de casa, vem para a Escola Técnica e 
volta para sua casa? E sua distância percorrida? 
 
2.2 Adição de Vetores 
 
Consideremos o automóvel que se desloca de A para B e, em seguida, de B 
para C, na figura anterior. 
Estes deslocamentos estão representados na figura pelos vetores 1r

 e 2r

 . O 
efeito final destes dois deslocamentos combinados é levar o carro de A para C. 
evidentemente, o vetor r

, traçado de A para C, representa um deslocamento 
equivalente ao efeito combinado de 
1r

 e 2r

. Dizemos, então, que o vetor r

 é a soma ou 
resultante dos vetores 1r

 e 2r

 e escrevemos: 21 rrr

 
Esta maneira de adicionar dois deslocamentos é válida para qualquer grandeza 
vetorial. 
Observe que as grandezas vetoriais se adicionam de maneira diferente dasgrandezas escalares e as palavras "soma" ou "adição" e o sinal "+" tem, aqui, um 
significado especial. 
 
 5 
Regra do Paralelogramo: Uma outra maneira de obter a resultante de dois 
vetores é mostrada abaixo. Traçamos os vetores de modo que suas origens coincidam e 
em seguida construímos um paralelogramo. O vetor soma ou resultante será dado pela 
diagonal deste paralelogramo. 
Exemplo: Sejam as forças 1F

 e 2F

 aplicadas sobre um certo corpo. Como 
poderíamos aplicar uma única força (resultante) que tivesse o mesmo efeito que 1F

 e 
2F

? 
 
Regra do Polígono ( para mais de 2 vetores): Esta regra de adição de vetores 
já foi aplicada no exemplo do automóvel acima. Agora descreveremos o método para 
vários vetores. Traçamos os vetores de modo que a extremidade de um coincida com a 
origem do seguinte. Observe o exemplo no caso de vários deslocamentos: 
 
 
 
 
r

=
1r

+
2r

+ 3r

+
4r

 
 
 
 
 
O deslocamento resultante, isto é, o deslocamento capaz de substituir os 
deslocamentos sucessivos combinados será o vetor r

, que une a origem do primeiro 
vetor com a extremidade do último. 
2.3 Determinação analítica do vetor resultante 
 
A seguir faremos a determinação analítica do vetor resultante de dois vetores 
usando como exemplo duas forças 1F

 e 2F

 que formam entre si um ângulo : 
Pelo processo do paralelogramo determinemos o vetor força resultante ( RF

). 
 
 
A seguir aplicamos a lei dos cosenos ao triângulo OAB. 
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 – 2F1F2cos (180

 - ) , mas como cos(180

 - ) = -cos  , 
conclui-se que: 
 6 
 
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos 
 
Esta equação nos permite calcular o módulo da resultante de dois vetores. 
Para determinarmos a direção do vetor força resultante, basta determinarmos o 
ângulo que ela forma com qualquer uma das forças 1F

 ou 2F

, no caso 1 ou 2 . 
Para determinarmos estes ângulos, vamos aplicar a Lei dos Senos ao triângulo 
OAB: 
 
1
2
2
1
0
R
sen
F
sen
F
)180sen(
F





, mas como sen(180
0
-) = sen, teremos que: 
 
1
2
2
1R
sen
F
sen
F
sen
F





 
 
 
Casos Particulares 
 
O método que acabamos de expor para determinar o vetor força resultante de 
duas forças pode ser simplificado nos casos particulares em que os vetores a serem 
adicionadas formam entre si ângulos de 0
o
, 90
o
 e 180
º
 . 
 
 
a) Forças que tem a mesma direção e mesmo sentido (=0
0
) 
 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos  1F

 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos 0

 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2 2F

 
 FR
2
 = (F1+F2)
2 
1
F

 
2
F

 
 
 
21R
FFF  
R
F

 
 
b) Forças com mesma direção e de sentidos contrários ( =180
0
) 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos   1F

 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos 180
0
 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2( -1 ) 2F

 
 FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 – 2F1F2   1F

  
R
F

 
 FR
2
 = (F1 - F2)
2 

2
F

 
FR = F1 - 
F2 
 
 
 7 
R
F

 
maiorda :Sentido
 Fe Fde Mesma :Direção
F- F F:Módulo
21
21R

 
 
a) As Forças são ortogonais (=90
0
) 
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos  
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2cos 90
0
 
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 + 2F1F2( 0 ) 
FR
2
 = F1
2
 + F2
2
 
 
Para de terminar a direção da resultante, neste caso, podemos utilizar a 
definição de seno e coseno. 
 
 2.4 Decomposição de Vetores em Componentes Ortogonais 
 
 Para determinar a componente de um vetor segundo uma direção, fazemos a 
projeção ortogonal do mesmo naquela direção. 
 Assim, por exemplo, se quisermos determinar as componentes ortogonais de 
uma forma devemos projeta-la nas direções OX e OY: 
 
 Do triângulo OAB podemos escrever 
 
Cos  = 
F
Fx 
Fx = F.Cos  
 
Sen  = 
F
Fy
 
Fy = F.Sen  
 
 
3. Conceitos de Cinemática 
 
 3.1 Velocidade 
 
Imagine que de um helicóptero você esteja observando o movimento de um carro em 
uma estrada: 
 
 
 
 Trace na figura acima o vetor deslocamento ( r

) dos instantes inicial ao final de 
observação. 
 8 
 
 a) Módulo do vetor velocidade 
 A rapidez com que o veículo avança da posição inicial a posição final de 
observação é definida como o Módulo (valor) de sua velocidade. 
 
 Diremos que o Módulo do vetor velocidade média do veículo é: 
 
 Onde: 
 
 Vm = Módulo do vetor velocidade 
 r = Módulo do vetor deslocamento 
t
r
V
m

 
 t = intervalo de tempo 
 
 
 Nas corridas de fórmula 1, a melhor volta de cada piloto é definidas pela 
velocidade escalar média, cujo valor é dado com grande precisão, como 193,570 km/h. 
Por outro lado, a velocidade média, isto é, o vetor velocidade média de uma volta 
complete tem módulo zero, porque o vetor posição inicial coincide com o vetor posição 
final. 
 
 b) Velocidade escalar média (Vem ): é definida como a razão entre a distância 
percorrida por um móvel e o tempo gasto em percorre-la. 
 
t
d
Vem

 
 
 No movimento do veiculo observado na figura acima, imagine que o carro 
percorra do instante inicial ao instante final de observação, 150 Km e que você tenha 
ficado observando o movimento durante 1 h. Neste caso a velocidade escalar média do 
mesmo será: 
km/h150
1h
Km150
t
d
Vem 

 
 
 No entanto se você tivesse que ficar observando 2 h para que o carro 
percorresse a 
 mesma distancia, sua velocidade escalar média seria: 75 Km/h 
Obviamente a rapidez do movimento é maior no primeiro caso. 
 
c) Velocidade Instantânea: A velocidade escalar média não nos da detalhes 
sobre o movimento. No exemplo anterior quando dissemos que a velocidade escalar 
 9 
média do carro foi de 75 km/h, não significa que o velocímetro marcou sempre 75 km/h. 
O carro poderia ter andado mais rápido, mais devagar e até parado em algum ponto da 
estrada. A velocidade escalar que o carro possui em cada instante do seu movimento é 
acusada pelo próprio ponteiro do velocímetro. 
Até agora falamos somente no módulo do vetor velocidade Instantânea, 
entretanto num movimento qualquer a direção e o sentido da velocidade também 
podem variar. 
 
Numa pista de automobilismo, por exemplo nas curvas, o vetor velocidade 
varia em módulo e direção. Observe na figura acima que nas curvas o tamanho da seta 
diminui, indicando uma diminuição do módulo do vetor velocidade. Observa-se também 
que o vetor velocidade em cada ponto tem uma direção diferente e é tangente a 
trajetória, ou seja, a velocidade instantânea é tangente a trajetória do móvel no instante 
considerado, e o sentido é o mesmo do movimento da partícula. 
 No caso do movimento ser retilíneo, o vetor velocidade não muda de direção 
podendo variar em módulo e sentido: 
 
 
 
Em outro exemplo o vetor velocidade pode variar em direção e não varia em 
módulo: 
 
 
 
Uma pessoa numa roda 
gigante possui a mesma velocidade 
em cada ponto da trajetória? 
 
 
 
Observações: Quando falamos em velocidade escalar instantânea estamos nos 
referindo ao módulo do vetor velocidade instantânea. 
 
Unidade de velocidade no SI: m/s 
Outras Unidades: Km/h; cm/s: mm/s; m/h ... 
 
3.2. Aceleração: 
 
É a grandeza física que mede a rapidez com que varia a velocidade de um 
móvel. 
 
Aceleração escalar média: Chama-se aceleração escalar média a razão entre a 
variação da velocidade escalar entre dois pontos e o intervalo de tempo em que essa 
 10 
variação ocorreu.a
v
t
em 


 
 
Unidade de aceleração: No sistema internacional a unidade de aceleração é o 
m/s
2
. 
Outras Unidades: Km/h/s; km/h
2
 ; cm/s
2
 ... 
Exemplo: O módulo da velocidade de um móvel varia de 10 m/s para 30 m/s 
em 4 s. 
Então o módulo de sua aceleração média será: 
 
a
5m / s
s
m / sem
2

 
30 10
4
5 
 
Interpretação: O resultado significa que a cada segundo o módulo da 
velocidade varia em média 5m/s. 
 
Aceleração Vetorial: Haverá aceleração vetorial sempre que variar o vetor 
velocidade. 
A velocidade vetorial 

v pode variar em módulo e em direção. A aceleração 
vetorial 

a é decomposta em duas componentes: aceleração tangencial 

a t que se 
relaciona com a variação do módulo da velocidade e a aceleração Normal (ou 
Centrípeta) 

a N que se relaciona com a variação da direção da velocidade. 
 
 
 Aceleração Tangencial (

a t ) 
 Componentes do vetor aceleração 
 Aceleração Normal (

a N ) 
 
 
A soma vetorial da aceleração tangencial com a aceleração 
normal determina o vetor aceleração do movimento (aceleração 
vetorial). 
 
 

a = 

a t + 

a N 
 
A aceleração tangencial possui as seguintes características: 
- Módulo: igual a aceleração Escalar 
- Direção: tangente a trajetória em cada ponto. 
- Sentido: o mesmo de

v , se o módulo da velocidade aumenta e oposto a 

v se o 
módulo da velocidade diminui. 
 
} 
 11 
 
Nos movimentos uniformes, o módulo da velocidade vetorial não varia. 
Portanto a aceleração tangencial é nula. A aceleração tangencial existe somente nos 
movimentos em que o módulo da velocidade varia, independente do tipo de trajetória ( 
retilínea ou curvilínea). 
 
Nos movimentos uniformes a aceleração tangencial é nula. 
 
A aceleração normal tem as seguintes características. 
 
- Módulo: é dado pela equação: a =
v
R
N
2
, onde v é o módulo da velocidade 
vetorial e R é o raio da curva no ponto considerado. 
- Direção: perpendicular A velocidade vetorial em cada ponto. 
- Sentido: orientado para o centro da curva no ponto considerado. 
 
Nos movimentos retilíneos, a direção do vetor velocidade não varia. Portanto a 
aceleração normal existe somente em movimentos de trajetória curva, independente do 
tipo de movimento ( uniforme, acelerado ou retardado). 
 
Nos movimentos retilíneos a aceleração normal é nula.