Módulo 02 - Funções parte 1

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Álgebra 1
	
	
	MÓDULO 02
 Prof. Carlos
FUNÇÕES
1. DEFINIÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de função de A em B toda relação 
y = f(x), de A em B, em que cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Exemplos:
Sejam A = {–1, 0, 1, 2}, B = {–2, –1, 0, 1, 4} e as relações:
R1 = {(x,y) A B y = x},
R2 = {(x,y) A B y < x} e
R3 = {(x,y) A B y = x2}.
Representaremos por diagrama as relações, para verificar se são funções.
 (
Não é função, pois existe elemento de 
A
 sem corres-pondente em 
B
.
)
 (
Não é função, pois há ele-mento em 
A
 com mais de um elemento corresponden-te em 
B
.
)
 (
É função, pois 
todos
 os ele-mentos de 
A
 têm 
exata-mente
 um correspondente em 
B
.
)
Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x,y) f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é, D = A.
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x,y) f; portanto: imagem é subconjunto do contradomínio, isto é, Im B.
Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos:
OBS: Restrição de Domínio (BIZUUUU!!!)
a) Não existe divisão por zero:
 Domínio: 
b) Não existe raiz de índice par de número negativo.
Domínio: 
2. FUNÇÕES INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS 
a) Função Sobrejetora
Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado:
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
b) Função Injetora
Vejamos agora este outro diagrama de flechas:
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
c) Função Bijetora
Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:
Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.
3. FUNÇÃO DO 1° GRAU
É toda função redutível à forma f(x) = ax + b, com a e b reais e a 0. A função do 1o grau é também chamada de função afim.
1. Se b = 0, a função do 1o. grau é chamada de linear. Seu gráfico passa sempre pela origem.
1. Se a = 0, a função não é do 1o. grau. É uma função constante da forma f(x) = b. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x, passando por todos os pontos de ordenada b.
· O gráfico de uma função do 1o. grau é sempre uma reta.
· Dependendo do sinal de a, a função afim pode ser crescente ou decrescente.
· Se a > 0, a função é crescente.
· Se a < 0, a função é decrescente. 
4. FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
É toda função redutível à forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0.
a) Gráfico
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima:
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo: 
b) Raízes ou zeros da função
São obtidas igualando-se a função a zero e resolvendo-se a equação do 2°. grau resultante.
Se > 0, a função apresenta duas raízes reais e distintas. A parábola corta o eixo x em dois pontos.
Se = 0, a função apresenta duas raízes reais e iguais. A parábola tangencia o eixo x.
Se < 0, a função apresenta duas raízes não-reais. A parábola não corta, nem tangencia o eixo x.
c) Vértice
É o ponto de coordenadas:
· Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo.
· Se a < 0, o vértice é ponto de máximo.
CONJUNTO IMAGEM
a > 0Im = {y IR y yv}
a < 0Im = {y IR y yv}
5. FUNÇÃO INVERSA
Sendo f: A B uma função bijetora, diremos que a função g: B A é a inversa de f se, e somente se:
Indica-se a inversa de uma função f por f– 1.
A função inversa f– 1 “faz o caminho de volta” da função f, portanto: 
Obtenção da inversa (BIZUUUUU!!!!!!)
Para obter a lei que define a inversa de uma função y = f(x), devemos:
· trocar y por x e x por y;
· isolar y, obtendo a lei que define a inversa f – 1 (x).
6. FUNÇÃO MODULAR
É a função de IR em IR, definida por f(x) =| x |, ou seja:
f (x) = 
a) Gráfico
O gráfico da função modular é a reunião das bissetrizes do 1o. e 2o. quadrantes.
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES
01) (EEAR 1/2019) Seja a função quadrática f(x) = ax² + bx + 1. Se f(1) = 0 e f(–1) = 6, então o valor de a é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
02) (EEAR 2/2018) Se com e , é uma função invertível, o valor de
a) –2
b) –1
c) 3
d) 5
03) (EEAR 2/ 2018) Seja uma função. Essa função pode ser
a) 
b) 
c) 
d) 
04) (EEAR 2/2017) O domínio da função real é.
a) e 
b) e 
c) 
d) e 
05) (EEAR 2/2017) Considere a função definida por . Se f(2a) = 0, então o valor de a é
a) -1/2
b) 1/2
c) -1
d) 1
06) (EEAR 2/2017) Sejam as funções polinomiais definidas por f(x) = 2x + 1 e . O valor de g(3) é
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
07) (EEAR 1/2017) Se é uma função, seu domínio é .
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
08) (EEAR 1/2017) Seja f(x) = |x - 3| uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2 é
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
09) (EEAR 1/2017) Sabe-se que a função é invertível. Assim, é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 12
10) (EEAR 2/2016) Dada a função o valor de f (-2) é
a) 
b) 
c) 
d) 
11) (EEAR 2015) A função f(x) = x² - 2x - 2 tem um valor ________, que é ________.
a) mínimo; -5
b) mínimo; -3
c) máximo; 5
d) máximo; 3
12) (EEAR 2015) Se f(x) = ax + b é uma função tal que f(0) = 4/3 e f(-1) = 1, então o valor de “a” é:
a) 1	
b) 2	
c) 1/2	
d) 3/2
13) (EEAR 2015) Seja a função real f(x) = . A sentença que completa corretamente a expressão do conjunto domínio D = { x / ___} dessa função é:
a) x > 1		
b) x ≠ 1		
c) x > 0 	
d) x ≠ 0
14) (EEAR 2014) Seja f : a função definida por f(x) = 4x – 3. Se f-1 é a função inversa de f. Então, f-1 (5) é:
a) 17		
b) 1/17		
c) 2		
d) 1/2
15) (EEAR 2014) O ponto de intersecção dos gráficos das funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x – 1 pertence ao ______ quadrante.
a) 1°
b) 2°
c) 3°
d)4°
16) (EEAR 2014) O gráfico abaixo representa uma função π cujo domínio é D. O conjunto imagem da função π é [a, b]. O valor de a + b é ___.
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
17) (EEAR 2013) Se a função f : N → N é crescente e se f(1) = 3 e f(3) = 7, um possível valor para f(2) é ___.
a) 0	
b) 2	
c) 4	
d) 8
18) (EEAR 2013) Seja uma função. Um valor que não pode está no domínio de f é:
a) 1
b) 2
c) 3
d)5
19) (EEAR 2013) A menor raiz da função f(x) = x² - 5x + 4 é _______ e a maior é ________. Completam corretamente a afirmação , na devida ordem, as palavras:a) par e par
b) par e ímpar
c) ímpar e par 
d) ímpar e ímpar
20) (EEAR 2013) Seja a função real definida por . Se f(2) = 6, então m é igual a:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
21) (EEAR 2013) Para que uma função seja invertível, é necessário que ela seja
a) sobrejetora e positiva.
b) bijetora e positiva.
c) apenas bijetora.
d) apenas injetora.
22) (EEAR 2012) Seja a função f : D → , com D = {1, 2, 3}, definida por f(x) = x2 – 5x + 6. Seu conjunto imagem é:
a) {1, 2, 3}	
b) {0, 1, 2}	
c) {0, 2}		
d) {1, 3}
23) (EEAR 2012) Considerando que o domínio de uma função é o maior subconjunto de constituído por todos os valores que podem ser atribuídos à variável independente, o domínio da função é:
a) 			
b) 
c) 	
d) 
24) (EEAR 2012) O conjunto imagem da função f : → definida por , contém o elemento:
a) 0	
b) 2	
c) 	
d) –1
25) (EEAR 2/2011) Considerando D = [0, 10] o domínio de uma função y = f(x), um gráfico que poderia representá-la é:
a)
 
b)
c)
d)
26) (EEAR 2/2011) A função g: [–5, 5] B tem como imagem o conjunto I = [20, 30]. Para que ela seja sobrejetora é necessário que B seja igual ao intervalo
a) [5, 20].
b) [–5, 20].
c) [–5, 30].
d) [20, 30].
27) (EEAR 2/2011) A função modular é decrescente para todo x real tal que
a) 0 < x < 4.
b) x > 0.
c) x > 4.
d) .
28) (EEAR 1/2011) Dada a função f(x) = 3x + k, para que se tenha f(2) = 5, o valor de k deve ser:
a) 3.	
b) 0.	
c) –1.	
d) –2.
29) (EEAR 1/2011) A função definida por y = m(x – 1) + 3 – x, m , será crescente, se:
a) m ≥ 0		
b) m > 1	
c) –1 < m < 1		
d) –1 < m ≤ 0
30) (EEAR 1/2011) A função f:NN, definida por f(x)=3x+2,
a) é apenas injetora.
b) é apenas sobrejetora.
c) é injetora e sobrejetora.
d) não é injetora e nem sobrejetora.
31) (EEAR 1/ 2010) Seja a função . Os valores inteiros do domínio de f são tais que seu produto é igual a
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
32) (EEAR 2/2010) Se f é uma função real definida por f(x) = 2x – 3 e g é a inversa de f, o valor de g(1) é:
a) 0.	
b) 1.	
c) 2.	
d) 3.
33) (EEAR 2/2010) Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais, tal que . Se f(0)=0, então f(2) é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
 
34) (EEAR 2010) Um dos subconjuntos do Domínio da função é:
a) {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.	
b) {–3, –2, –1, 0, 2}.
c) {–2, –1, 0, 1, 2}.	
d) {–2, –1, 0, 2}.
35) EEAR 1/2009) Se f(x) = mx² + (2m – 1)x + (m – 2) possui um zero real duplo, então o valor de m é
a).
b) .
c) 4.
d) 5.
36) (EEAR 2/2009) Sejam os gráficos de f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que
a) a > 0 e b < 0.
b) a < 0 e d > 0.
c) b > 0 e d > 0.
d) c > 0 e d < 0.
37) (EEAR 1/2008) Ao comparar o valor de f(1) e f(-1) da função
, obtém-se
a) f(1) < f(-1).
b) f(1) = f(-1).
c) f(1) > 2f(-1).
d) f(1) = 2f(-1).
38) (EEAR 1/2008) O conjunto Imagem da função , definida por , contém o elemento
a) 
b) 
c) 
d) 
39) (EEAR 1/2008) Considere os gráficos.
É(são) injetora(s) a(s) função(ões)
a) I e III, apenas.
b) III, apenas.
c) I, apenas.
d) I, II e III.
40) (EEAR 2008) Se f(x) = 2x – 4 é uma função real, então
 f -1(x) é igual a:
a) 2x 	 
b) 	 
c) 	
d) 2x + 2
41) (EEAR 2008) Dada a função f : → , definida por f(x) = , o elemento do Domínio de f, cuja imagem é –3, é:
a) –3.	
b) –2.	
c) –1.	
d) 0.
42) (EEAR 2008) Se f(x) = (k – 4)x + 2 é uma função do 1º grau decrescente, então:
a) k < 4.	
b) k > 6.	
c) k = 5.	
d) k = 8.
43) (EEAR 2008) Para que f(x) = (2m – 6)x + 4 seja crescente em , o valor real de m deve ser tal que:
a) m > 3.	
b) m < 2.	
c) m < 1.	
d) m = 0.
44) (EEAR 2008) Seja f(x) = uma função real. A soma dos valores de x para os quais f(x) = 5 é:
a) 10.	
b) 12.	
c) 14.	
d) 16.
45) (EEAR 2/ 2007) Seja f : a função definida por f(x) = e g a função inversa de f. Então, g(2) é:
a) -4	
b) -1	
c) 3	
d) 5
46) (EEAR 2/2007) Para que a função f(x) = (k – 4) x² + kx – (k –2) seja quadrática, deve-se ter k≠ 
a) –2.
b) 0.
c) 2.
d) 4.
47) (EEAR 2/2007) Considere o gráfico da função : f ℜ→ℜ e as afirmativas a seguir: 
I) D(f) = ℜ
II) Im(f) = ℜ 
III) f(−1) = f(1) 
IV) f é crescente no intervalo [1, 3]. 
Das 4 afirmativas, 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas uma é falsa. 
c) duas são falsas. 
d) apenas uma é verdadeira.
48) (EEAR 1/2007) A função , definida ,tem conjunto domínio A igual a
a) { / x 1 ou x 3}.
b) { / x < 1 ou x > 3}.
c) { / x < – 3 ou x > – 1}.
d) { / x 3 ou x 1}
49) (EEAR 1/2007) No conjunto solução da inequação , a quantidade de números inteiros pares é
a) 14.
b) 12.
c) 10.
d) 8.
50) (EEAR 1/2006) Se para quando “n” for par e para “n” ímpar, e define uma função , então
a) f é apenas injetora.
b) f é bijetora.
c) f não é injetora, nem sobrejetora.
d) f é apenas sobrejetora.
51) (EEAR 1/2006) Seja a função . O valor da razão 
a) 
b) 
c) 
d) 
52) (EEAR 1/2006) conjunto dos valores reais de x para os quais a expressão é estritamente positiva é
a) 
b) 
c) 
d) 
53) (EEAR 2 /2006) Para que a função real f(x) = 2x² + (m – 1)x + 1 tenha valor mínimo igual a 1, o valor de m deve ser
a) – 1 ou 2.
b) – 2 ou 1.
c) 1.
d) – 2.
54) (EEAR 1 /2005)A soma das raízes da equação é
a) 1
b) 
c) 
d) 5
55) (EEAR 1 /2005) O maior valor inteiro de k que torna crescente a função , definida por f (x) = 2 – (3 + 5k) x, é
a) 1. 
b) 0. 
c) –1. 
d) –2.
56) (EEAR 2 /2005) Seja a função f de ℜ em ℜ, definida por . Pela inversa de f, o número 5 é imagem do número
a) 
b) 
c) 4.
d) 3.
57) (EEAR 2 /2005) Para que a equação x² + mx + m² – m – 12 = 0 tenha uma raiz nula e outra positiva, o valor de m, deve ser
a) – 4. 
b) – 3. 
c) 4. 
d) 3.
58) (EEAR 2004) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação y = −4x² + 12x − 8. A área desse retângulo, em unidades de área, é
a) 1.
b) 1,5. 
c) 2. 
d) 2,5.
59) (EEAR 2004) Considere a equação . Com respeito às raízes dessa equação, podemos afirmar que elas pertencem ao intervalo
a) [1, 2]. 
b) ]2, 5[. 
c) ]0, 4]. 
d) ]1, 4].
GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	D
	D
	B
	A
	A
	C
	D
	C
	D
	A
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	B
	D
	A
	C
	A
	C
	C
	D
	C
	C
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	C
	C
	C
	C
	B
	D
	D
	C
	B
	A
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	A
	C
	A
	D
	A
	D
	C
	B
	B
	C
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
	B
	A
	A
	B
	D
	D
	B
	D
	A
	D
	51
	52
	53
	54
	55
	56
	57
	58
	59
	D
	D
	C
	C
	C
	C
	B
	B
	C
	
	- 7 -
	
	
4
<
x
1
±
¹
x
4
-
<
x
1
-
¹
x
4
-
>
x
Î
1
-
¹
x
5
3
)
(
+
=
x
x
f
)
3
(
1
-
f
2
²
2
)
(
-
+
=
x
x
x
x
f
2
17
2
15
2
9
2
7
1
5
-
+
x
x
)
5
)(
2
(
)
1
4
)(
3
2
(
)
(
-
+
+
-
=
x
x
x
x
x
f
1
).
1
(
)
(
-
+
=
x
m
x
x
f
4
x
 
h(x)
+
=
*
Â
{
}
4
-
Â
{
}
4
x
/
x 
<
Â
Î
{
}
4
x
/
x 
-
³
Â
Î
2
x
1
1
 
f(x)
+
=
2
1
®
2
)
(
-
=
x
x
f
2
£
x
®
1
2
1
)
(
+
-
+
+
=
x
x
x
f
3
)
(
2
)
1
(
+
=
+
x
f
x
f
1
2
f(x)
-
+
=
x
x
4
1
-
5
3
-
1
3
²
4
5
)
(
6
-
+
+
=
x
x
x
x
f
Â
®
Z
f
:
²
1
1
)
(
x
x
f
+
=
4
1
5
1
Ì
2
1
-
3
1
-
2
x
2
4
+
x
2
4
-
x
6
-
x
3
1
x
+
Â
®
A
f
:
3
4
²
)
(
+
+
=
x
x
x
f
Â
Î
x
£
³
Â
Î
x
Â
Î
x
Â
Î
x
£
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5
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