ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE APLICADA 2

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
ANÁLISE COMBINATÓRIA EANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
A u t o r : M e s t r e R a i m u n d o J o s é A l m e i d a J ú n i o r
R e v i s o r : H u g o E s t e v a m D e S a l e s C â m a ra
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Agora começaremos nosso estudo sobre probabilidade. Para isso, iniciaremos o
material abordando um pouco sobre os métodos de resolução de problemas de
contagem, que é o objeto de estudo da análise combinatória.
Após aprendermos a trabalhar com o Princípio Fundamental da Contagem e com
suas formulações subsequentes (permutação, arranjo e combinação), iniciaremos o
estudo da probabilidade, suas propriedades e técnicas de cálculo. Fecharemos a
unidade abordando o cálculo de probabilidade para eventos complementares e de
probabilidade condicional.
Todo o conteúdo desta unidade poderá ser aplicado na produção de relatórios
qualitativos e quantitativos, estudo de con�abilidade de um processo de produção
industrial, análise da qualidade de um serviço, predição do comportamento de uma
variável, dentre outras.
Bons estudos!
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Nesta primeira seção, trabalharemos com os princípios de contagem, cujo foco é
determinar o número de possíveis ocorrências de determinado fenômeno.
Começaremos nosso estudo com o Princípio Fundamental da Contagem e, em
sequência, trabalharemos com as fórmulas e resultados que nos ajudarão a
resolver problemas de contagem de modo muito mais rápido e prático. Vamos lá!
Princípio Fundamental da Contagem
Considere uma sequência de dois eventos. O evento 1 pode ocorrer de maneiras
e o evento 2 de maneiras. Então, juntos, os eventos podem ocorrer de 
maneiras.
Para ilustrar, considere o seguinte exemplo:
Um casal de pais deseja escolher duas atividades para que seu �lho realize no turno
oposto ao horário escolar. A primeira atividade deve ser um esporte e a segunda
deve ser uma atividade cultural ou de lazer. A Figura 2.1 ilustra as três opções de
atividades ligadas ao esporte e as duas opções ligadas a lazer/cultura.
Princípio Fundamental daPrincípio Fundamental da
ContagemContagem
m
n m n
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Quantas possibilidades de pares de atividades o casal dispõe para escolher?
A �gura a seguir corresponde a um diagrama, chamado de diagrama de árvore, que
indica todas as possibilidades para os pares de atividades possíveis:
Na Figura 2.2 podemos observar que existem 6 possibilidades de combinação de
pares de atividades. Uma outra forma de obter esse resultado consiste em
aplicarmos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Para isso, o primeiro
passo é veri�carmos o número de possibilidade para cada um dos 2 eventos e, por
�m, multiplicamos os números para obtenção do resultado �nal:
Figura 2.1 - Opções para esporte, cultura e lazer
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 1
Uma sala tem 5 portas:
1 - De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala?
2. De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala sem utilizar a mesma
porta?
Figura 2.4 - Quantidade de portas de uma sala
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 2
A partir de 2019, todas as placas veiculares brasileiras tiveram que ser atualizadas para
um novo padrão, formado por uma sequência de 3 letras, seguidas de 1 algarismo, mais 1
letra e mais 2 algarismos, conforme modelo a seguir.
Quantas placas podem ser feitas, assumindo que os três algarismos precisam ser distintos
e a quarta letra da placa precisa ser a uma das 3 primeiras letras do alfabeto?
Figura 2.7 - Modelo de uma placa de carro
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticar
Vamos Praticar
Uma �la para atendimento num posto médico deve ser formada respeitando-se as
prioridades:
1. idosos, grávidas e pessoas com crianças de colo;
2. adultos com crianças (que não necessitam de colo);
3. demais pessoas.
Numa determinada manhã, 7 pessoas (três adultos sem �lhos, uma gestante, um idoso,
uma mulher com criança de colo e um homem com criança que não necessita de colo)
precisam ser atendidas. De quantas maneiras a �la pode ser formada, respeitando-se as
prioridades estabelecidas?
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a)   42
b) 36.
c) 27
d) 64
e) 81
Figura - Pessoas para compor uma �la
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Antes de iniciarmos nosso estudo das permutações, combinações e arranjos,
vamos relembrar a de�nição de fatorial, que será muito utilizada nesta unidade. O
fatorial de um número $n$ (maior que 1) é dado pelo produto dos primeiros
números naturais. Notação: .
Por exemplo:
Exercício Resolvido:
Calcule o valor de .
Solução:
Como estratégia, desenvolveremos o numerador da fração para obtermos um fator
que se cancele com o denominador:
Permutações, Combinações ePermutações, Combinações e
ArranjosArranjos
n
n!
3! = 3 × 2 × 1 = 6
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
7!
5!
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Agora que você já sabe operar com o fatorial, vamos às de�nições principais do
capítulo.
= = 7 × 6 = 42.
7!
5!
7 × 6 × 5!
5!
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1. PERMUTAÇÃO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de possibilidades
de formação de uma sequência (�la).
Qual a fórmula?
Permutação de elementos:                                                        
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 5
pessoas: possibilidades   Nº de anagramas
da palavra RENATO: anagramas
2. ARRANJO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de diferentes
�las que podem ser formadas com elementos em
um conjunto com elementos. Neste caso, a ordem
da escolha dos elementos importa.
Qual a fórmula?
Arranjo de elementos tomados a :                             
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 3
pessoas, extraídas de um conjunto de 5 pessoas: 
 possibilidades
3. COMBINAÇÃO
Quando é Quando queremos contar o número de subconjuntos
n
= n!Pn
5! = 120
6! = 720
n
m
m n n
=Anm
n!
(n − p)!
= = 60A35
5!
2!
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Quadro 2.2 - Técnicas de contagem
Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, observe os exemplos a seguir para �xação das de�nições de permutação,
arranjo e combinação.
Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados a partir da palavra NÚMEROS?
Resposta: A resposta consiste no número de permutações de um conjunto de 7
elementos, logo
Exemplo 2:
Quantos anagramas possui a palavra NÚMEROS, sendo que a primeira letra é uma
consoante?
Resposta: Observe que existem 4 possibilidades para a primeiraletra (N, M, R e S).
Uma vez escolhida a primeira letra, as demais devem ser permutadas para
utilizado? com elementos que podem ser formados a partir de
um conjunto com elementos. Neste caso, a ordem
da escolha dos elementos não importa.
Qual a fórmula?
Combinação de elementos tomados a :
                         
Exemplo:
Nº de trios que podem ser formados por uma turma
de 8 estudantes: possibilidades
n
m
m n n
=Cnm
m!
n! (m − n)!
= = 56C38
8!
3!5!
= 7! = 5040 anagramas.P7
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formação dos anagramas ( ). Pelo PFC, temos:
Exemplo 3:
Quantas senhas de 4 dígitos podemos formar com os caracteres A, B, C, D, E e F?
Resposta: Observe que a senha ABCD é diferente da senha DCBA, ou seja, a ordem
da sequência importa na contagem. Sendo assim, a resposta consiste no arranjo de
6 tomados 4 a 4:
Exemplo 4:
Um torneio de tênis de mesa possui 18 competidores, no qual cada competidor
joga contra todos os outros. Sendo cada partida disputada por 2 jogadores, quantas
partidas teremos no torneio?
Resposta: Sendo A um jogador e B outro jogador, a disputa A B e a disputa B A
deve ser computada como uma só. Dessa forma, a ordem de escolha não interfere
no resultado. Sendo assim, o número de disputas será dado pelo número de
combinações de 18 tomados 2 a 2:
P6
3 × = 3 × 6! = 3 × 720 = 2160 anagramas.P6
= = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 senhas.A46
6!
(6 − 4)!
6!
2!
× ×
= = = = 153 partidas.C218
18!
2! (18 − 2)!
18!
2!16!
18 × 17
2
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praticar
Vamos Praticar
Anagramas correspondem às palavras formadas a partir da permutação entre as letras de
uma outra palavra. Por exemplo, ALMAREMO é um anagrama da palavra AMARELO.
Sendo assim, qual a quantidade de anagramas da palavra RAFAELA?
a) 760
b) 840 anagramas.
c) 940
d) 1024
e) 556
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Iniciaremos, agora, o nosso estudo sobre probabilidades. Começaremos a trabalhar
os conceitos iniciais vinculados a essa teoria. Na sequência, faremos um resumo
das principais propriedades decorrentes do conceito de probabilidade. Na última
seção, fecharemos nossa unidade com o conceito de probabilidade condicional.
Conceito de Probabilidade
Ao trabalharmos com probabilidade, estaremos tratando de experimentos nos
quais desejamos mensurar a chance da ocorrência de algum fato. Nesse contexto,
direcionaremos nosso estudo para os eventos aleatórios.
Um experimento aleatório é aquele cujo resultado não pode ser previsto antes da
realização e qualquer um tem a mesma chance de acontecer. Por exemplo, lançar
um dado é um experimento aleatório (cada resultado tem igual chance de
acontecer). Já o experimento realizar uma prova sem estudar não é aleatório (uma
vez que a chance de passar é diferente da chance de perder). Experimentos que
não são aleatórios são chamados de experimentos determinísticos.
Conceito e Cálculo deConceito e Cálculo de
ProbabilidadesProbabilidades
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Antes de entrarmos no conceito de probabilidade, vamos precisar compreender
duas de�nições preliminares: espaço amostral e evento.
Por exemplo:
EVENTO
é qualquer subconjunto do espaço amostra.
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Quadro 2.3 - Exemplo de espaço amostral e evento
Fonte: Elaborado pelo autor.
Dado um experimento, existem alguns tipos de eventos que possuem
nomenclatura especial. Por exemplo, no experimento do lançamento de um dado, o
evento sair número menor que 7 é dado por 
Nesse caso, dizemos que estamos tratando de um evento certo. Por outro lado, o
evento sair o número 9 é vazio, , logo é chamado de evento impossível.
Em um experimento, dizemos que dois eventos e são complementares se
1.  e
2. 
Por exemplo, no lançamento do dado, o evento sair número par e o evento sair
número ímpar são complementares, uma vez que a união dos dois eventos resulta
em todo o espaço amostral e que a interseção desses eventos é vazia.
Experimento lançar um dado
Espaço amostral
             
Eventos
Sair um número par
Sair um número menor
que 5
Sair o número 6
   
Ω = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6}
A = {2 ,  4 ,  6}
B = {1 ,  2 ,  3 ,  4}
C = {6}
A = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6} .
B = {   }
A B
A ∪B = Ω
A ∩B = {   } .
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Dado um experimento, considere o evento contido no espaço amostral . A
probabilidade de ocorrência de é dada por
em que signi�ca o número de elementos de e signi�ca o número
de elementos de .
Exemplo:
Uma urna contém três bolas verdes, duas bolas azuis e cinco bolas cinzas. Ao
retirarmos, aleatoriamente, uma bola dessa urna, qual a probabilidade de não sair
uma bola verde?
Solução:
Logo, .
Propriedades da Probabilidade
A seguir, seguem algumas propriedades da probabilidade, que podem ser úteis em
diversas situações e na resolução de problemas.
A Ω
A
P (A) =  ,
# (A)
# (Ω)
# (A) A # (Ω)
Ω
Figura 2.9 - Possibilidades de bolas a serem sorteadas
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ω = {V 1 ,  V 2 ,  V 3 ,  A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
A = {A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
P (A) = = = 0, 7 = 70%
#(A)
#(Ω)
7
10
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1. Se , então .
2. Se , então .
3. Para qualquer evento , temos: .
4. Se e são eventos complementares, então .
5. Regra da Adição: dados eventos e , temos sempre que 
.
Exemplo resolvido:
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade que o número seja par ou
múltiplo de 3?
Solução:
Considere os dois eventos (sair um número par) e (sair um múltiplo de 3).
Observe que   estamos procurando a probabilidade associado ao evento .
Sendo assim,
e
Logo, .
praticar
Vamos Praticar
A = {   } P (A) = 0
A = Ω P (A) = 1
A 0 ≤ P (A) ≤ 1
A B P (A) + P (B) = 1
A B
P (A ∪B) = P (A) + P (B) − P (A ∩B)
A B
A ∪ B
A = {2 ,  4 ,  6 ,  8 ,  10 ,  12 ,  14 ,  16 ,  18 ,  20}
B = {3 ,  6 ,  9 ,  12 ,  15 ,  18}  .
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = + − =10
20
6
20
3
20
13
20
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Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados diferentes, obter soma
igual a 8?
a) 5/36
b) 1/12
c) 5/12
d) 1/15
e) 1/4
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A probabilidade condicional de um evento é a probabilidade obtida com a
informação adicional de que outro evento já tenha ocorrido. denota a
probabilidade condicional de ocorrência do evento B, dado que já ocorreu o evento
. Para se calcular uma probabilidade condicional, utilizamos a fórmula a seguir.
Exemplo resolvido:
Qual a chance de extrair uma carta de um baralho comum (de 52 cartas) e obter um
3, sabendo que ela é uma carta de copas?
Solução:
Considere os eventos (sair 3) e (sair copas). A probabilidade procurada é 
. Observe que a probabilidade , pois só existe um
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
P(A | B)
A
P(A | B) = .
P (A ∩ B)
P (B)
A B
P(A | B) P (A ∩ B) = 1
52
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único 3 de copas dentre as 52 cartas. A probabilidade , pois existem
13 cartasde copas dentre as 52. Sendo assim,
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos são ditos
dependentes. Para o caso de eventos independentes, a fórmula da probabilidade
condicional pode ser reescrita como
uma vez que 
A fórmula anterior é bastante conhecida por Regra da Multiplicação. Ela deve ser
aplicada apenas quando estamos falando de eventos independentes. Nesses casos,
devemos calcular cada probabilidade separadamente e multiplicar as suas
respostas.
Exemplo resolvido:
Uma caixa tem 20 peças, sendo 8 delas peças do tipo X e 12 delas peças do tipo Y.
Se retirarmos duas peças, ao acaso e com reposição, qual a probabilidade de se
obter duas peças do tipo X?
Solução:
Como estamos tratando de um problema que envolve a reposição da primeira peça
sorteada (antes do sorteio da segunda peça), podemos a�rmar que estamos
trabalhando com eventos independentes. Dessa forma, a probabilidade de que
sejam retiradas duas peças do tipo X é dada pelo produto da probabilidade de se
retirar X no primeiro momento por ela mesmo:
P (B) = 13
52
P(A | B) = = = .
P (A ∩ B)
P (B)
1
52
13
52
1
13
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) ,
P(A | B) = P (A) .
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) = ⋅ = = .
8
12
8
12
64
144
4
9
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praticar
Vamos Praticar
Suponha que tenhamos um lote de 30 corpos de prova de concreto, dos quais 26
passaram pelo teste de tração e 4 foram reprovados. Se dois desses corpos de prova
forem selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que ambos tenham sido aprovados
no teste?
a) 75/87
b) 25/87
c) 45/87
d) 65/87
e) 55/87
saiba mais
Saiba mais
Para saber mais sobre o conteúdo desta unidade, você pode assistir ao vídeo através do
link abaixo. Nele, o professor aparece resolvendo uma sequência de exercícios sobre
cálculo de probabilidades, nos quais são aplicados os métodos de contagem e as
fórmulas trabalhadas nesta unidade.
ASS I ST IR
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indicações
Material Complementar
L I V R O
Introdução à Estatística - Atualização da
Tecnologia - Capítulo 4
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521622062
Comentário: Neste livro você encontrará outros exemplos
e aplicações de todo o conteúdo trabalhado na unidade,
além de inúmeros exercícios para fortalecer e �xar seu
aprendizado.
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F I L M E
Quebrando a Banca
Ano: 2008
Comentário: Esse �lme conta a história de um grupo de ex-
estudantes do M.I.T. que se juntaram para elaborar
estratégias e truques utilizando a matemática e a
estatística com o objetivo de trapacear em jogos de cartas.
É um �lme muito interessante e enche os olhos de qualquer
pessoa que gosta de matemática.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Parabéns por ter chegado até aqui! Isso mostra que você está com vontade de
aprender o conteúdo. Você já está apto a resolver problemas de análise
combinatória e cálculo de probabilidades, aplicar o Princípio Fundamental ou as
fórmulas de permutação, combinação e arranjo na solução de problemas de
contagem, além de aplicar as propriedades e as fórmulas da Regra da Adição e da
Regra da Multiplicação.
Agora é com você, não esqueça de exercitar todos os tópicos e tirar todas as suas
dúvidas. Boa sorte!
referências
Referências Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo:
Pioneira Thomson Learning, 2006.
MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
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TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia, v. único. 11. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2013.
07/05/2020 Ead.br
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