Respostas Unidade 1 Teoria de Controle I

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Teoria de 
controle 
moderno
APÊNDICE
UNIDADE 1
U1 - Introdução e fundamentos aos sistemas de controle1
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 1: Introdução e fundamentos aos sistemas de controle
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 1.1
1. Alternativa D.
Resposta comentada: A abertura da válvula é ditada pelo ângulo 
da haste, sendo que este é definido pela boia que, por sua vez, 
sempre está no nível da água. Em um sistema de controle de malha 
fechada, é muito importante que as variáveis que serão utilizadas 
na realimentação do sistema sejam possíveis de serem medidas e, 
nesse caso, a boia funciona como um sensor para o nível da água da 
caixa. Então, pode-se dizer que a variável que é realimentada para o 
sistema é o nível de água dentro da caixa d’água.
Perceba que a boia não mede o volume de água que há na caixa 
pois, por exemplo, caso seja submerso algum objeto dentro na 
caixa d’água, este fará com que o nível da água se eleve, ou seja, 
isso afetará a medição da boia, embora o volume de água não tenha 
sofrido alteração alguma.
2. Alternativa D.
Resposta comentada: Em I, do ponto de vista do usuário da máquina, 
sua utilização se dá em malha aberta, pois o intervalo de tempo 
despendido em cada etapa do processo de lavagem é predefinido, e 
o usuário escolhe qual dos processos disponíveis se adequa melhor 
ao nível de sujeira das peças de roupa, mas ainda assim, após a 
conclusão de todo o processo de lavagem, a limpeza de todas as 
peças de roupa não é assegurada.
Em II, o absorvedor de vibração (seja passivo ou ativo) vai dissipar 
a energia cinética da parte rotativa da máquina de acordo com 
seu nível de vibração, ou seja, existe a retroalimentação da 
movimentação da peça para o absorvedor, assim, caracteriza-se 
como uma malha fechada.
U1 - Introdução e fundamentos aos sistemas de controle2
Em III, o volume de água que a máquina consumirá vai depender da 
seleção do usuário. Há um sensor que é responsável por informar o 
sistema sobre o nível da água. Portanto, trata-se de um sistema em 
malha fechada.
3. Alternativa B.
Resposta comentada: Os auxílios para a locomoção de deficientes 
visuais atuam no sentido de suprir a falta de informação sobre o meio 
no qual o indivíduo está inserido, e não de agilizar a sua locomoção. 
Devido à sua deficiência, a visão, que é o sistema de captação de 
imagens que são analisadas pelo cérebro, não funciona de maneira 
adequada a ponto de que o indivíduo informações confiáveis sobre 
o ambiente para que ele tome decisões de locomoção que sejam 
seguras a ele ou às pessoas à sua volta. É justamente nesse sentido 
que os auxílios enumerados no texto servem de ajuda ao indivíduo. 
Eles são fontes de informações sobre, por exemplo, o piso e paredes 
(bengala e piso tátil) e o trânsito (semáforo sonorizado e cão guia). 
Logo, os auxílios fecham a malha do sistema com informações sobre 
o ambiente.
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 1.2
1. Alternativa A.
Resposta comentada: A transformada de Laplace é justamente a 
ferramenta matemática que transforma uma função de uma variável 
que, na prática, é justamente o tempo para uma função de uma 
variável complexa, que significa a frequência.
2. Alternativa B.
Resposta comentada: Aplicando-se diretamente a transformada de 
Laplace em ambas as equações, temos, respectivamente
− + + + + + + =X K Bs Ms U K Bs Y K Bs( ) ( ) ( )2 2 02
X K Bs Y K Bs Ms( ) ( )+ − + + =2 0 
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Isolando X na primeira equação e substituindo-o na segunda, temos 
a função transferência
3. Alternativa D.
Resposta comentada: A aplicação da transformada de Laplace é 
independente do tipo de modelo dinâmico (mecânico, elétrico, 
fluídico etc.). Inclusive, não é requisito que a função a ser transformada 
advenha da modelagem de um sistema dinâmico. 
Um sistema dinâmico elétrico pode ser representado por fasores, pois 
a tensão e a corrente podem se defasar no tempo. A representação 
em fasores existe para ser uma forma de interpretação das 
propriedades do sistema, mas não é a variável da transformada de 
Laplace, portanto, não restringe a aplicação da transformada.
A transformada de Laplace da entrada é
Aplicando esta entrada na função transferência dada na questão, 
temos:
Expandindo em frações parciais e montando o sistema de equações 
por identidade polinomial, temos:
U1 - Introdução e fundamentos aos sistemas de controle4
E, aplicando a transformada inversa de Laplace, temos:
i t et t( ) , cos( ) ( ) ,= ⋅ ⋅+ + ⋅− − −1187 10 10120 120 1187 103 4 3π π3,348 sen −− ⋅1337 10
3, t
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 1.3
1. Alternativa A.
Resposta comentada: I – Como visto ao longo da seção, realmente 
é possível solucionar analiticamente EDO com condições iniciais, 
mas é necessário ter em mente que o software tem suas limitações, 
então, ao resolver um problema muito complexo, é necessário estar 
atento às limitações que aparecem.
II – O MATLAB consegue lidar com variáveis simbólicas devido 
à Symbolic Math Toolbox. Com isso, o software consegue lidar 
com cálculo, álgebra linear, equações algébricas e diferenciais, 
simplificações e manipulação de equações. 
III – O software não possui uma tabela com todas as transformadas 
de Laplace, mas sim métodos computacionais matemáticos para 
lidar com o problema da transformada.
IV – Esta é justamente uma das maiores vantagens de se utilizar um 
software de matemática: agilizar a tarefa de prototipagem e testes de 
modelos matemáticos.
2. Alternativa B.
Resposta comentada: Pela primeira equação, sabemos que a massa 
de água dentro do tanque depende das vazões de entrada e saída. 
Como a vazão de entrada funciona em ciclos (120 s ligada e 120 
s desligada), podemos descrevê-la como uma onda quadrada por 
meio de uma soma de funções degrau transladadas. No MATLAB, 
essa entrada pode ser feita como descrito nas linhas 7 a 9 do quadro 
a seguir.
Para obter a saída para a entrada dada, é necessário resolver uma 
EDO. A equação a ser resolvida surge do seguinte procedimento:
I. Isolar h t( ) na segunda equação e substituir na terceira.
II. Substituir a pressão p t( ) que aparece depois do passo I pela 
expressão para a pressão da quarta equação.
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III. Substituir a expressão resultante (em que a massa fica em função 
da vazão de saída) na primeira equação.
Com isso, temos a equação:
Agora, podemos começar a resolvê-la no MATLAB, mas, depois de 
resolvê-la, o que obtemos é o comportamento da vazão de saída. 
Após isso, precisamos substituir a vazão de saída na equação que foi 
resultada do passo II.
A figura mostra o comportamento da massa ao longo do tempo. 
Nela, podemos ver que com a entrada que foi definida, o tanque não 
chegará a ter 2 toneladas de água. Pelo contrário: ficará por volta de 
700 kg abaixo do limite máximo que a estrutura suporta.
>> clear all
1 >> syms t rho A Rf g q_in(t) q_out(t) Q_in Q_out 
saida(t)
2 >> eq = rho*q_in-rho*q_out == A*Rf*diff(q_
out,t)/g
3 >> l_eq = laplace(eq)
4 >> l_eq = subs(l_eq,{‘laplace(q_in(t), t, 
s)’,...
 ‘laplace(q_out(t), t, s)’,’q_out(0)’},{Q_
in,Q_out,0})
5 >> Q_out = solve(l_eq,Q_out)
6 >> entrada = 0
7 >> for i=1:2:40 % 20 ciclos de entrada são o 
bastante para
 % avaliar o máximo de massa de água no 
tanque
8 entrada = entrada +.01*(heaviside(t - 120*i)...
 - heaviside(t-120*(i+1)));
9 end
10 >> Q_out2 = subs(Q_out,{Q_in,A,Rf,rho,g},...
 {laplace(entrada),2,981000,1000,9.81})
11 >> saida = ilaplace(Q_out2);
12 >> massa = 2*981000*saida/9.81;
13 >> ezplot(massa,[0 2000]);
U1 - Introdução e fundamentos aos sistemas de controle6
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Quantidade de massa de água no tanque ao longo do tempo
Resposta da temperatura medida ao longo do tempo
3. Alternativa C.
Resposta comentada: Para gerar a resposta desejada, podemos 
inserir o modelo dinâmico do sistema em questão noMATLAB 
utilizando as seguintes linhas de código:
A entrada do sistema será um degrau de amplitude 38, que é a 
temperatura do indivíduo. Substituindo as propriedades do sistema, 
condição inicial e aplicando a entrada, temos:
Traçando o gráfico da saída, temos a figura.
Ao analisarmos o gráfico, podemos ver que o termômetro indicará 
os 37,9°C após aproximadamente 3 minutos e 20 segundos
>> clear all
>> syms s t T_med t_med(t) T_l Rt C M
>> T_med = (T_l+Rt*M*C*t_med(0))/(Rt*M*C*s+1)
>> entrada = 38*heaviside(t);
>> T_med2 = subs(T_med,{Rt,C,M,T_l,t_med(0)},...
 {30,0.138072,10,laplace(entrada),24});
>> saida = ilaplace(T_med2);