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Aula 44 - Equação exponencial: o que é e como resolver exercícios
Equações são expressões algébricas em que encontramos termos numéricos, letras e um sinal de igualdade. Ou seja, uma equação tem que ter um sinal de igual entre seus membros.
Além disso, toda equação tem uma característica própria como:
· A equação de 1º grau tem o expoente 1 na sua incógnita.
· Enquanto isso, a equação de 2º grau tem grau 2, isto é, o termo com maior grau tem expoente 2.
· Por fim, a equação exponencial tem uma incógnita em pelo menos um de seus termos como expoente.
Veja só: nas equações exponenciais o expoente é uma letra ou expressão algébrica! Tem uma letra x, y ou qualquer outra que indica que você não sabe seu valor numérico e terá que calcular.
Para que você não se perca em seus estudos, vamos dar significado aos termos importantes usados até aqui em nosso glossário matemático:
Expressão algébrica: fórmula que contém letras e números.
Grau de uma equação: é o número dado pela soma ou maior expoente.
Expoente: número que indica quantas vezes uma base deve multiplicada por ele mesmo.
Base: número ou letra que está elevado a um expoente.
O que é equação exponencial
Você já viu ou não lembra o que é uma equação exponencial? Quem sabe com alguns exemplos fica mais fácil, não é mesmo?
5a = 125
7(x+1) = 245
Entendeu onde ficam as letras agora? Estão no expoente.
Para a gente resolver esse tipo de equação, temos que conhecer algumas propriedades da potenciação.
Propriedades da potenciação
Produto de potências de mesma base
Conservamos a base e somamos os expoentes.
xn . xm = xn+m
5³ . 5² = 55
Quociente de potências de mesma base
Conservamos a base e diminuímos os expoentes.
Base com expoente negativo
O expoente negativo indica que temos que inverter a base.
Lembramos que o expoente -1 indica sempre o inverso da base.
Se tivermos um expoente negativo diferente de -1, temos que calcular a potência. Veja o seguinte exemplo:
Nesse exemplo, a gente primeiro inverte a base 7 pelo sinal negativo do expoente. O expoente permanece com mesmo valor numérico, no entanto, seu sinal fica positivo.
Só depois da inversão da base é que a elevamos ao quadrado, isto é, multiplicamos um sétimo por um sétimo.
Base elevada ao expoente zero
Nesse caso, qualquer que seja o valor da base, a potência é igual a 1.
Exemplos: 490 = 1 e x0= 1
Base elevada ao expoente 1
O resultado da potência é sempre o valor da base, como, 1000000¹ = 1000000 e 0¹ = 0.
Agora que já revisamos as principais propriedades da potenciação, podemos prosseguir na resolução das equações exponenciais.
Como resolver uma equação exponencial
Utilizaremos uma questão de alternativas para demostrar a resolução de uma equação exponencial:
(Autora, 2020) A solução da equação (0,5x) = 4(1-3x) é:
1. A) 0
2. B) 0,4
3. C) 0,5
4. D) 0,6
5. E) 0,7
Resolução:
1- Precisamos que as bases sejam iguais para aplicarmos as propriedades da potenciação. Então, devemos reescrever novamente a equação como o que sabemos:
0,5 = ½
4 = 2²
Em seguida, precisamos substituir na equação esses dados:
(0,5x) = 4(1-3x)
2- Analisar quais as propriedades da potenciação estão aplicadas nessa expressão:
E, em seguida, substituir na equação:
(2)-x = 2².(1-3x)
Note que sempre multiplicamos os expoentes pelos expoentes já existentes.
Uma dica aqui: por ser uma igualdade é que simplificamos as bases e só trabalhamos na solução com os expoentes:
(2)-x = 2².(1-3x)
-x = 2 . (1 – 3x)
No segundo membro da equação, multiplicamos por 2 todos os termos entre parênteses:
-x = 2 – 6x
E resolvemos como uma equação simples de 1º grau:
-x + 6x = 2
5x = 2
x = 2/5
A solução de uma equação exponencial é o valor numérico da variável. Analisando as alternativas percebemos que não temos frações. Então, dividimos o numerador pelo denominador da fração e chegamos ao valor 0,4. Portanto, a alternativa correta é a letra B.
Equação exponencial resolvida
Outro tipo de questão que aparece por aí nas provas de vestibulares e Enem sobre equação exponencial é essa em seguida.
(Enem/2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t) = 40 . 23t
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será: A) reduzida a um terço.
B) reduzida à metade.
C) reduzida a dois terços.
D) duplicada.
E) triplicada.
Resolução:
Nessa questão, temos uma equação exponencial a resolver de modo diferenciado. Nesse caso é o cálculo do valor numérico e precisamos substituir o tempo de 20 minutos na equação. Mas, para isso, temos que converter esses 20 minutos em horas.
Lembre que de minutos para horas sempre dividimos por 60.
Substituindo na fórmula dada:
Esse resultado indica 80000. Perceba que esse resultado é o dobro da quantidade inicial que era 40000, logo a alternativa correta é a D.
Existem ainda muitos outros tipos de equações exponenciais. Uma dica legal é estudar com materiais da OBMEP que são gratuitos e bem aprofundados.
Aula 45 - Retas no plano: definição, posições e classificação
Na matemática, representamos as retas através de letras minúsculas do nosso alfabeto, sendo as mais frequentes as letras r, s e t.
Veja na imagem em seguida as diferentes representações gráficas de uma reta.
Diferentes representações gráficas de uma reta no plano.
Quando pensamos em retas no plano temos duas opções: pensamos em uma reta sozinha ou em várias retas. Para cada uma dessas opções, temos diferentes posições para as retas. Quando estamos tratando de apenas uma reta, temos 3 posições possíveis:
· Horizontal;
· Vertical;
· Diagonal.
Veja cada uma dessas posições na imagem em seguida:
Retas paralelas e retas concorrentes
Se considerarmos duas retas no plano, elas podem ser ou paralelas ou concorrentes.
As retas paralelas são definidas como sendo aquelas que estão sempre a mesma distância uma da outra. Por outro lado, retas concorrentes são definidas como aquelas que se cruzam em um único ponto.
No caso de elas serem paralelas, existe a distinção entre retas paralelas distintas e retas paralelas coincidentes. Para o primeiro tipo, a distância entre elas é maior do que zero. Já para o segundo tipo, essa distância vale zero.
Logo, retas paralelas distintas não possuem nenhum ponto em comum, enquanto retas paralelas coincidentes possuem todos os pontos em comum.
Veja as diferentes posições na imagem abaixo.
Perceba que utilizamos o símbolo ≡ para nos referirmos às retas paralelas coincidentes e o símbolo // para nos referirmos às retas paralelas distintas.
Vale ressaltar que as retas concorrentes formam um ângulo entre si. Caso esse ângulo formado seja de 90°, elas são chamadas de perpendiculares.
Ou seja, retas perpendiculares são um caso especial de retas concorrentes. Veja sua representação na imagem abaixo:
Não se prenda no fato de ser apenas uma ou duas retas no plano, os exercícios podem facilmente tratar de três ou mais retas. Inclusive, retas paralelas cortadas por reta transversal é um assunto frequente em vestibulares.
Não sabe o que é isso? Fique tranquilo/a, até o final do post você vai entender, pois explicarei logo abaixo.
Retas paralelas cortadas por reta transversal
Considere duas retas paralelas distintas, r e s, cortadas por uma reta transversal t. Essa disposição das retas gera 8 ângulos, conforme mostrado na imagem abaixo.
Os ângulos que estão entre as retas paralelas (3, 4, 5 e 6) são chamados de ângulos internos. Enquanto isso, os que estão do lado de fora das retas paralelas (1, 2, 7 e 8) são chamados de ângulos externos.
Ainda, ângulos que estão de um mesmo lado da reta transversal são chamados de colaterais (1, 4, 5 e 8, bem como 2, 3, 6 e 7), e ângulos que estão em lados opostos da reta transversal são chamados de alternos (1 e 3, por exemplo).
CaracterísticasEntão é só isso que podemos retirar de informações a respeito dessa disposição? Não! Veja abaixo mais informações sobre isso:
· Os pares de ângulos 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7 e 4 e 8 são chamados de ângulos correspondentes.
· Os pares de ângulos 1 e 8 e 2 e 7 são chamados de ângulos colaterais externos.
· Os pares de ângulos 4 e 5 e 3 e 6 são chamados de ângulos colaterais internos.
· Os pares de ângulos 1 e 7 e 2 e 8 são chamados de ângulos alternos externos.
· Os pares de ângulos 3 e 5 e 4 e 6 são chamados de ângulos alternos internos.
· Os pares de ângulos 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7 e 6 e 8 são ângulos opostos pelo vértice.
Também vale ressaltar que os ângulos que compõem cada par de ângulos correspondentes são congruentes. O mesmo ocorre com os pares de ângulos alternos internos, alternos externos e ângulos opostos pelo vértice.
Além disso, cada par de ângulos colaterais externos e colaterais internos são suplementares.
Se você não sabe o que significa ângulos congruentes e/ou suplementares, dê uma olhada na nossa aula sobre tipos de ângulos.
Exemplo
Na figura abaixo, encontre o valor de x.
Perceba pela imagem acima que o ângulo  é correspondente ao ângulo 4 e, assim, tais ângulos são congruentes.
Perceba ainda que o ângulo 4 e o ângulo 75° são suplementares, ou seja, ângulos cuja soma vale 180°.
Agrupando essas duas informações, chegamos a uma equação. Assim, somos capazes de encontrar o valor procurado, conforme a seguir:
x + 45º + 75º = 180º
x = 180º – 75º – 45º
x = 60º
Exercícios
1 – (UniRV GO – 2014)    
A figura a seguir contém retas paralelas r e s e uma transversal t. Determine os valores dos ângulos indicados. Colocar V para as alternativas corretas e F para as alternativas falsas.
a) na figura o ângulo a vale 100° e o ângulo b vale 80°;
b) na figura o ângulo a vale 80° e o ângulo b vale 100°;
c) na figura o valor de x é 50°;
d) na figura o ângulo a vale 80° e o ângulo b vale 110°.
FVVF
 Aula 46- Simetria entre figuras 
Simetria por Reflexão
 A simetria por reflexão é, como o próprio nome indica, um reflexo, um espelhamento da imagem através de um eixo de simetria. Esse eixo de simetria pode ser uma reta ou até mesmo um ponto. Além disso, é importante salientar que o ponto original de uma imagem e seu correspondente na reflexão têm a mesma distância em relação ao eixo de simetria.
Veja os exemplos:
Na imagem, o segmento de reta em vermelho é o eixo de simetria, a casinha 1 é a imagem original e a casinha 2 é sua correspondente na reflexão. Perceba como os pontos que compõem a figura 1 e os pontos que compõem a figura 2 possuem a mesma distância do eixo de simetria. Isso significa que entre elas existe uma simetria.
Todo esse papo de eixo e pontos não lembrou alguma coisa pra você? Esses termos são bastante utilizados lá no estudo do plano cartesiano. O conceito de simetria é bastante utilizado também no estudo de gráficos e funções. Veja um exemplo:
Ex: qual é o ponto que corresponde ao simétrico do ponto P(3,2)  em relação ao eixo y?
S: perceba que o exemplo traz o eixo dos y como sendo o eixo de simetria. Logo, a distância entre o ponto correspondente e o eixo y precisa ser igual à distância entre o ponto P e o eixo y. Essa distância é 3 unidades, veja:
Logo, o simétrico do ponto P(3,2), em relação ao eixo dos y é o ponto Q (-3,2).
Além de ocorrer através de um eixo de simetria, a reflexão também pode ser dada através de um ponto de simetria. Mas, nesse caso, é preciso prestar atenção, pois a imagem correspondente não será somente a imagem espelhada, ela também estará invertida.
Exemplo: simetria por reflexão através de um ponto da letra F:
 
Perceba que ao criar um correspondente simétrico através de um ponto a imagem fica invertida, diferentemente da reflexão através de uma reta. Esse é um caso especial também de simetria por rotação que você verá a seguir.
Simetria por rotação
Para criar um correspondente simétrico através da rotação, basta apenas “girar” a imagem original ao redor de um ponto que chamaremos de centro de rotação. A distância entre a imagem  e o centro de rotação se mantém constante, e a medida que a imagem gira chamaremos de ângulo de rotação.
Exemplo:
Girar a figura 90º no sentido horário, em relação ao ponto L.
Para girar uma imagem e encontrar seu simétrico através de rotação, devemos prestar atenção ao ângulo da rotação e ao sentido da rotação, que será horário ou anti-horário.
Curiosidade: Existe uma rotação específica na simetria por rotação em que o correspondente simétrico é exatamente o mesmo do que se tivéssemos feito simetria por reflexão. Isso se dá quando utilizamos o ângulo de rotação de 180º, independente do sentido. Veja no exemplo através da imagem:
Exemplo: Gire a figura 180º no sentido horário, em relação ao ponto M.
Veja como todos os pontos da letra F e seus correspondentes fizeram o giro de 180º, mas também mantiveram a mesma distância em relação ao ponto M. Logo, ocorre simetria por reflexão e por rotação ao mesmo tempo.
E ai? Em quais dos tipos de simetria você acha que o exemplo inicial, da harmonização facial se encaixa? Continue estudando para as provas do vestibular e Enem e perceba a relação entre essa aula e aula de física óptica.
 Veja essa aula do professor Eloy com outros exemplos:
Exercícios:
Questão 01)    
Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:
  1) Gab: E
 Aula 46 - Estudo dos Triângulos: classificações, características e propriedades
A Matemática é uma ciência cheia de surpresas e aplicações, não é mesmo? A estabilidade é a palavra de ordem nos estudos da Geometria. E existem muitas aplicações no uso de triângulos.
Os engenheiros, por exemplo, devem entender como aplicar esses conhecimentos matemáticos para que se construam alicerces estáveis para que a construção fique rígida, isto é, sem rupturas e nem deformações.
Como podemos perceber, tudo envolve profundo conhecimento da Geometria, principalmente de quadriláteros, triângulos e suas relações métricas e trigonométricas.
Triângulos
Os triângulos são figuras geométricas que possuem uma característica essencial: a rigidez. Com esta forma geométrica, é difícil ocorrer ruptura e deformações.
Os engenheiros e projetistas fazem uso dessa característica para projetar as estruturas triangulares quando querem ter estabilidade e durabilidade em nossos projetos de construções.
Para compreendermos o que são triângulos, vou descrever para você, em linguagem matemática, essa figura geométrica. Veja o desenho a seguir e sua descrição:
· É um polígono;
· Possui três vértices A, B, C;
· Tem três lados AB, AC, BC;
· Possui três ângulos internos;
· Possui três ângulos externos.
Viu que temos sempre TRÊS ÂNGULOS? Por isso o nome TRIÂNGULO = TRI ( três) + ÂNGULO.
Como você pode ver no esquema, os principais elementos de um triângulo são os lados, vértices e ângulos (internos e externos).
Ângulos de um triângulo
Quanto aos ângulos devemos saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Isso significa que cada ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente e, sendo assim, a soma de suas medidas também é 180°.
Mediana, bissetriz e altura do triângulo: também são elementos de um triângulo.
· Mediana: é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado contrário a ele. Uma aplicação desse conceito é o Baricentro = centro de equilíbrio do triângulo.
· Bissetriz: é o segmento de reta que divide ao meio um dos ângulos internos do triângulo.
· Altura: do triângulo é segmento de reta que une perpendicularmente (formando 90°) um dos vértices ao seu lado contrário.
Classificação dos triângulos
Os triângulos são classificados quanto as medidas de seus lados e também quanto à medida de seus ângulos.
Quanto à medida de seus lados:
· Isósceles: são triângulos que tem dois lados com medidas idênticas e o outro com medida distinta.
· Equilátero: tem todosos lados com mesma medida.
· Escaleno: esse triângulo tem todos os lados com medidas diferentes.
Quanto à medida de seus ângulos
· Acutângulo: Esse triângulo tem todos seus ângulos internos Agudos, ou seja, são ângulos fechados e menores que 90°.
No triângulo abaixo os ângulos ^formados por BAC e BCA são agudos.
· Obtusângulo: Esse triângulo tem um ângulo interno Obtuso, ou seja, tem ângulo mais aberto e maior que 90°.
Observe que o ângulo maior é formado por ABC.
· Retângulo: esse triângulo tem um de seus ângulos internos igual a 90°.
Condição de existência de um triângulo
Para que um triângulo exista, a medida de um dos lados deve ser menor que a soma entre seus outros dois lados.
Por exemplo, se tivermos um triângulo que possua as medidas 10, 7 e 5. Para verificar se ele é um triângulo basta somar dois lados e comparar com o outro que sobrou.
Observe que se somarmos os lados 7 e 5 termos o valor 13. Esse valor é maior que o lado que sobrou: 10. Então esse triângulo existe.
Congruência de triângulos
Usamos a palavra congruência para dizer que duas medidas são iguais. No caso do estudo de triângulos são congruentes quando têm medidas dos lados iguais ou medidas de ângulos iguais.
· Caso de Congruência:
Caso Lado – Lado – Lado (LLL): Dois triângulos são congruentes quando possuem todos os lados com mesma medida.
· Caso Lado – Ângulo – Lado (LAL): Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados iguais e o ângulo formado entre eles são iguais.
· Caso Ângulo – Lado – Ângulo (ALA) : Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado adjacente a eles são iguais.
 Aula 47 - Condição de existência de um triângulo
Sendo assim, antes de detalharmos o conteúdo mais específico dessa aula, é importante relembrar a definição de triângulo e seus elementos.
Dados três pontos A, B e C não colineares (que não pertencem à mesma reta), chamamos de triângulo a união dos segmentos ,  e .
Os pontos A, B e C são chamados de vértice do triângulo, e os segmentos ,  e  são chamados de lados do triângulo.
A notação para este triângulo é ΔABC. Também podemos denotar esse triângulo de outras formas, por exemplo: ΔACB ou ΔBAC. Ou seja, a notação para o triângulo é um Δ seguido dos três vértices do triângulo, não importando a ordem dos mesmos.
Observe o triângulo representado na imagem em seguida.
Figura 1: Três pontos não colineares A, B e C formando um triângulo.
Perceba na figura acima que o lado  é oposto ao vértice A, o lado  é oposto ao vértice C, e o lado  é oposto ao vértice B. Com isso, podemos adotar a seguinte nomenclatura para os lados do triângulo:
E, assim, o triângulo da figura 1 pode ser representado da seguinte forma:
Figura 2: Três pontos não colineares A, B e C formando um triângulo de lados a, b e c.
Em muitas questões, as letras a, b e c são substituídas por números. Esse valor numérico é a chamada medida do lado do triângulo. E qual a relevância deste fato?
O ponto chave aqui é o seguinte: a condição de existência de um triângulo recai sobre essas medidas dos lados do triângulo.
Lembre-se que no começo do texto falamos que a condição de existência é o que faz o triângulo existir. Então, o que vale destacar aqui é o seguinte: não é qualquer conjunto de medidas dos lados do triângulo que fazem com que ele exista.
Condições de existência do triângulo
Mas, afinal, o que significa um triângulo existir? Significa ser capaz de ser construído.
Dando mais ênfase: é extremamente necessário se atentar aos possíveis valores das medidas dos lados do triângulo se quisermos que, de fato, o triângulo seja formado.
Vamos ao que interessa então:
Em todo triângulo, a medida de cada lado dele deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Essa relação descrita acima é conhecida como desigualdade triangular. Soa familiar para você?
Ela pode ser lida também da seguinte forma: em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados deve ser maior que a medida do terceiro lado.
Voltando ao nosso triângulo genérico de lados a, b e c, temos então que cada lado satisfaz o seguinte:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Ou seja, essas três desigualdades precisam ser satisfeitas para que o triângulo seja formado.
Essas três desigualdades formam, portanto, a condição de existência de um triângulo.
Exemplo 1
Imagine que temos os valores 1 u.c (unidade de comprimento), 2 u.c e 5 u.c. Será que com esses valores é possível formarmos um triângulo?
Suponhamos que os lados desse triângulo que tentamos formar sejam dados pelas letras a, b e c, tais que a = 1, b = 2 e c = 5. Se esses valores satisfizerem a condição de existência, é possível formarmos um triângulo. Caso contrário, não será possível formarmos um triângulo.
Em seguida, vamos ao teste:
a < b + c ⇒ 1 < 2 + 5 ⇒ 1 < 7
b < a + c ⇒ 2 < 1 + 5 ⇒ 2 < 6
c < a + b ⇒ 5 < 1 + 2 ⇒ 5 < 3
Perceba que a última desigualdade não é satisfeita e, por isso, não conseguimos formar o triângulo com essas medidas de lados.
Veja na imagem abaixo o que acontece se tentarmos formar um triângulo com essas medidas.
Figura 4: Três segmentos de reta de medidas 1 u.c, 2u.c e 5 u.c tentando formar um triângulo.
Se você não está convencido/a de que não é possível formar um triângulo com esses três valores, faça você mesmo/a em casa.
Pegue um pedaço de papel e desenhe nele um segmento de reta. Faça esse segmento de reta ser a sua unidade de comprimento. Depois desenhe 2 unidades de comprimento e, por fim, desenhe 5 unidades de comprimento. No final, tente rotacionar seus comprimentos criados e verifique que eles não formarão um triângulo.
Exemplo 2
Agora, por outro lado, imagine que temos os valores 3 u.c, 3 u.c e 4 u.c. Será que com essas medidas é possível formarmos um triângulo?
Suponhamos agora que a = 3, b = 3 e c = 4. Vamos tentar formar o triângulo verificando a condição de existência:
a < b + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7
b < a + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7
c < a + b ⇒ 4 < 3 + 3 ⇒ 4 < 6
Como as desigualdades foram satisfeitas, conseguimos, então, formar um triângulo com essas medidas de lados, conforme ilustrado na imagem abaixo.
Figura 5: Três segmentos de reta com medidas 3, 3 e 4 formando um triângulo
Observação: se você esbarrar em alguma desigualdade que faça com que ocorra, por exemplo, , a desigualdade, nesse caso, também não será satisfeita. Isso porque, na matemática, nenhum número é menor que ele mesmo.
Fique ligado(a): as figuras são meramente ilustrativas de triângulos. Não se prenda a desenhos perfeitos, pois muitas vezes o desenho do exercício não condiz com os valores dados nos enunciados.
 Aula 48- Semelhança entre Triângulos e o Teorema de Tales
A História da Matemática mostra que por volta de 2500 a.C. os povos não tinham a tecnologia que temos para construir obras faraônicas como as Pirâmides.
Imagine como as pessoas mediam as distâncias que precisavam percorrer entre cidades, o tempo que tinham para cumprir uma meta, ou medir a altura de montes, construções entre outras necessidades. Conseguiu?
Para resolver esse problema, Tales de Mileto achou uma estratégia lógico-matemática para medir a altura de uma pirâmide usou a comparação, percebendo a semelhança entre formas desenhadas pelas sombras. Saiba mais sobre a semelhança entre triângulos e o Teorema de Tales nesta aula de Matemática para o Enem.
A Semelhança entre Triângulos e o Teorema de Tales
O Teorema de Tales aplica o conceito de proporcionalidade entre segmentos de retas paralelas e perpendiculares. Já a semelhança entre triângulos aplica a proporcionalidade para estimar medidas, então aqui o ponto comum entre os dois temas é a proporção.
Mas, quem foi Tales? Tales foi um filósofo, matemático, engenheiro, astrônomo da Grécia Antiga. Nasceu na cidade de Mileto, e por isso ficou conhecido como Tales de Mileto.
Além de elaborar o Teorema de Tales, que é considerado o mais importante nos estudos de Geometria, também foi o primeiro matemático a explicar o eclipse solar.
Como sabemos existem várias aplicações para esse Teorema, porém existe uma histórica que diz que Tales mediu uma pirâmide comparando a medida de sua sombracom a sombra de uma estaca, na qual ele sabia a altura exata.
Como você faria para calcular a altura da pirâmide apenas com uma estaca?
Tales de Mileto percebeu que os raios do sol incidem paralelamente, como feixe de retas paralelas, fazendo assim com que as sombras dos objetos sejam proporcionais a sua altura.
Então, para descobrir a altura da pirâmide, Tales fincou uma estaca na areia, mediu as sombras da pirâmide e depois da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu uma proporção:
Sendo assim, a partir desse experimentou Tales enunciou seu Teorema:
“Um feixe de retas paralelas determina segmentos proporcionais em duas retas transversais quaisquer.”
O “matematiquês” complicou? Vamos traduzir essa frase para você:
Um conjunto de retas paralelas forma em duas retas transversais ( retas que cortam as paralelas) pedaços menores e proporcionais dessas retas (segmentos).
Com isso, quero que você entenda que:
· Retas paralelas são aquelas que estão separadas por uma mesma distância e nunca se tocam.
· Retas transversais: são retas que cortam outras retas formando ângulos e segmentos de retas.
· Segmentos de retas: são pedacinhos de uma reta.
Aplicação do Teorema de Tales:
Considere a figura abaixo e considere que AB = 4cm, DB = 6 cm, AE = 12 cm e EC = x.
Multiplicamos os meios pelos os extremos, isto é:
Para obtermos o valor de x precisamos multiplicar e dividir:
Então o valor do segmento 
O Teorema de Tales e a Semelhança de Triângulos:
Como vimos, a comparação entre triângulos foi a solução para que Tales descobrisse a altura da pirâmide.
Para que os triângulos sejam semelhantes devem obedecer a seguinte condição de semelhança:
“Dois triângulos serão considerados semelhantes se, e somente se, possuírem os três ângulos ordenadamente congruentes e os três lados homólogos e proporcionais.”
O que isso quer dizer? Se tivermos dois triângulos e formos compará-los, para que sejam semelhantes temos que observar se:
a) se seus três ângulos correspondentes têm mesma medida.
b) seus três lados devem ser parecidos e proporcionais.
Veja a imagem abaixo:
Fonte: Wikibooks < https://goo.gl/TMCvdF>
Esses dois triângulos são semelhantes? Sim, pois os lados AB e DE são homólogos e proporcionais aos outros lados BC e EF, AC e DF.
Se calcularmos as razões entre os lados AB e DE temos:
Se calcularmos as razões entre BC e EF, temos:
A razão entre AC e DF é:
Você já deve ter percebido que as razões entre os lados correspondentes dos triângulos deram o mesmo valor, não é mesmo? Isso ocorre porque os lados são proporcionais.
E quanto aos ângulos? Com certeza são iguais (congruentes).
Com isso podemos concluir que para dois triângulos semelhantes a razão entre seus lados correspondentes sempre será igual a uma constante de proporcionalidade.
Teorema Fundamental da Semelhança
O Teorema Fundamental da Semelhança usa o Teorema de Tales para o cálculo de segmentos de um mesmo triângulo cortado por uma reta paralela e diz que:
“Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que corta os outros dois lados em pontos diferentes vai formar outro triângulo semelhante ao primeiro.”
Vamos analisar o triângulo ABC:
Fonte: Wikimedia < https://goo.gl/7E1Y4K>
Nosso triângulo inicial era o ABC, a reta paralela que corta o triângulo é a DE e com isso forma outro triângulo semelhante ao primeiro que é o ADE.
Se a reta r é paralela à BC, então:
a) Os lados AB e AD são proporcionais.
b) Os lados AC e AE são proporcionais.
c) Os lados BC e DE são proporcionais.
E a constante de proporcionalidade deve ser a mesma.
A semelhança de triângulos e o Teorema de Tales deram origem as relações métricas e trigonométricas entre triângulos retângulos. Esse conhecimento ainda será aplicado a outras áreas da Geometria como na Geometria Espacial e Estudo de Quadriláteros e na Física no estudo da Estática de corpos Rígidos.
 Aula 49 - Triângulos Retângulos e Teorema de Pitágoras
Os triângulos retângulos são polígonos de três lados e três vértices onde encontramos dois ângulos agudos e um ângulo reto (formando um ângulo de 90º).
O ângulo reto é a característica principal desse triângulo e é assim que o diferenciamos de outros triângulos. Aplicando o Teorema de Pitágoras e as relações métricas do triângulo retângulo podemos calcular várias grandezas. Saiba mais sobre os triângulos neste post de Matemática para o Enem e para os vestibulares!
Características do triângulo retângulo
Além do ângulo reto, outra característica interessante do triângulo retângulo é que seus lados têm nomes específicos que os outros triângulos não têm.
Os nomes dos lados do triângulo retângulo são:
Hipotenusa: lado com a medida maior e se localiza do lado oposto ao vértice onde está o ângulo reto. No triângulo da figura abaixo a hipotenusa é representada pelo lado a.
Catetos: os lados que ajudam a formar o ângulo reto do triângulo. NO triângulo da figura são representados por c e b.
Por ser um tipo especial de triângulo, a literatura especializada dedica capítulos inteiros a seu estudo, pois essa figura é o pilar dos estudos da trigonometria.
Na história, os povos antigos, já utilizavam o triângulo retângulo como referência para a construção de suas casas e cidades, para projetar suas lavouras e até controlar o tempo.
Os egípcios, por exemplo, já tinham o conhecimento de triângulos de lados 3,4,5 unidades e os utilizavam como instrumento de medida na engenharia. Seu ângulo reto dava o equilíbrio que precisavam nos projetos.
Hoje, usamos sua teoria para projetos de construção civil, naval, agrimensura, topografia e também para cálculos de astronomia, como a distância de dois planetas. Suas aplicações são infinitas e por isso é que devemos conhecer sua teoria a fundo!
A figura mostra três quadrados: um cor verde e pequeno, um azul e de tamanho médio e um de cor vermelha e grande. Estão arranjados de forma a criar no centro um triângulo retângulo de cor amarela. Fonte: Wikimédia < https://goo.gl/sojcg9>
Esse triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, da demonstração de Euclides, recebeu o nome de Pitagórico e o Teorema sobre essa demonstração surgiu como o Teorema de Pitágoras:
“Se um triângulo retângulo tem catetos de medidas b e c e a hipotenusa de medida a, então: a² = b² + c².”
Vamos a um exemplo de como usar esse teorema:
Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é:
A) 2,3m B) 3,0m C) 3,2m D) 3,8m E) 1,6m
Resolução:
Nesta situação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
Onde:
h = b = ?
c = 2,4m
a = 4m
Substituindo no Teorema de Pitágoras, temos:
a² = b² + c²
h2 + (2,4)2 = 42
h2 + 5,76 = 16
Isolamos h²:
h2 = 16 – 5,76
Subtraímos:
h2 = 10,24
E extraímos a raiz quadrada (que é a operação inversa da potenciação) de
10,24:
h = 3,2 m.
Logo, a altura do muro é de 3,2 m.
Relações métricas dos triângulos retângulos:
Ao estudar os triângulos retângulos não podemos deixar de estudar suas relações.
Relações Métricas são operações que envolvem as medidas dos lados e altura de um triângulo, quando este tem seu ângulo de 90º partido ao meio por uma bissetriz, gerando dois triângulos menores.
Essas relações são obtidas através da teoria da semelhança entre triângulos.
Observe a figura abaixo:
Perceba que temos dois triângulos, onde o primeiro tem seus lados iguais a c, m e h. O outro triângulo tem seus lados iguais a b, n e h.
Dizemos que:
· m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa a do triângulo.
· n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa a do triângulo.
· h é a altura do triângulo.
· c e b são os catetos do triângulo.
As relações métricas em um triângulo retângulo são:
“O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.”
“O quadrado da medida de um cateto é o produto das medidas da hipotenusa e da projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa.”
“O produto das medidas dos catetos é igual ao produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa a ela.”
Para você entendermelhor vamos mostrar um exemplo do uso dessas relações. Vamos aplicar as relações métricas para descobrirmos os valores numéricos de a, b, c e h:
Nesse tipo de situação, temos que listar os dados que já temos que são:
m = 2
n = 4
Observe o triângulo e veja que a hipotenusa a é a soma de n com m, então:
a = n + m
a = 2 + 4
a = 6
O lado maior do triângulo é a hipotenusa e neste caso vale 6.
Com o valor da hipotenusa a e os valores das projeções m e n, podemos calcular facilmente os catetos b e c:
Após fatorarmos o número 24, temos:
Um dos catetos já está calculado, agora falta o outro:
Prontinho! Agora para calcular a altura do triângulo é só usar a expressão:
Fatorando o número 8, temos:
Então, concluímos que as relações métricas são utilizadas para descobrir uma ou mais medidas em um triângulo retângulo.
 Aula 50 - Relações trigonométricas do triângulo retângulo
Sabemos que triângulo retângulo é uma referência nas aplicações que envolvem a geometria plana. Em algumas profissões ficaria difícil entender diferentes fenômenos se não usássemos suas diferentes aplicações.
Seu ângulo reto, suas relações métricas e trigonométricas dão ferramentas para cálculos de distâncias muito grandes como entre dois planetas, por exemplo.
Sendo assim, você precisar saber tudo sobre as relações trigonométricas deste triângulo.
Para estudar as relações métricas do triângulo retângulo, é importante lembrar que além de ter um ângulo reto, o seus lados têm nomes específicos que os outros triângulos não têm.
Por ser um tipo especial de triângulo, a literatura especializada dedica capítulos inteiros a seu estudo, pois essa figura é o pilar dos estudos da trigonometria.
Os triângulos retângulos têm dois tipos de relações envolvendo lados e ou ângulos. Essas relações são: as Métricas e as Trigonométricas.
Nosso interesse é o estudo das relações trigonométricas que são usadas quando surgem cálculos entre as medidas dos lados e ângulos de um triângulo retângulo. São conhecidas como seno, cosseno e tangente.
Mas como calculamos essas relações?
Observe o triângulo retângulo abaixo:
Temos os lados:
a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto
E também temos os ângulos α, β e γ.
A relação de seno de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto do ângulo considerado é a medida da hipotenusa do triângulo. Lembramos que a palavra razão nos remete a uma divisão ou uma fração.
Para definirmos o seno devemos ver qual o ângulo a ser usado e qual é o cateto (lado) que fica do lado oposto a esse ângulo:
Se considerarmos o ângulo β, por exemplo, e usando o conceito de seno temos a seguinte expressão:
Mas se considerarmos o ângulo γ, temos:
A relação de cosseno de um ângulo é dada pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo.
Para o ângulo β, o cateto adjacente b, então:
Logo para o ângulo γ, temos:
Já, a tangente de um ângulo considerado é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Para o ângulo β, ficamos com:
E para o ângulo γ:
Podemos concluir que os valores das tangentes dos dois ângulos são valores inversos.
Aplicações:
As relações trigonométricas são utilizadas para cálculos de distâncias na agrimensura e astronomia.
Também são utilizadas por engenheiros nos projetos de construção civil pois os triângulos por si só são estáveis e muito rígidos evitando deformações nos projetos em andamento.
Na Física as aplicações das relações trigonométricas são infinitas. Como, por exemplo, nos estudos de lançamentos oblíquos, cálculo de tensões na estática de corpos rígidos, no estudo de sistema de forças entre tantos outros assuntos.
Sendo assim, podemos perceber que as relações trigonométricas dos triângulos retângulos são aplicáveis em diversas áreas.
Prática:
Agora que você já revisou a teoria, vamos a um exemplo de aplicação sobre esse assunto que adora aparecer no Vestibular e no Enem!
1) Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
Resolução:
Lendo o enunciado achamos um dado importante: o triângulo retângulo tem um ângulo formado com a parede de 45º. O ângulo reto formado nesse triângulo é entre a parede e a projeção da escada. Logo o ângulo formado entre a escada e o chão também é de 45º.
Veja o esboço abaixo:
Como o triângulo é isósceles temos dois lados iguais e esses lados são aqueles que formam os ângulos de 90º.
Precisamos então calcular a hipotenusa desse triângulo, através do seno do ângulo de 45º:
O cateto oposto ao ângulo de 45º mede 2m e a hipotenusa não sabemos.
O sen45º pela tabela trigonométrica é igual a 
Vamos substituir esses dados na fórmula do seno:
Multiplicando em xis, temos:
Passando  para o outro lado da igualdade, dividindo 4:
Não podemos deixar a  como denominador, então vamos racionalizar, isto é, multiplicamos a fração toda por 
E, chegamos ao resultado:
Como então o comprimento da escada é aproximadamente 2,84 m.
 Aula 51- Ângulos notáveis e identidade trigonométrica fundamental 
O que são ângulos notáveis
Quando pensamos em ângulos na trigonometria, os valores de 30°, 45° e 60° nos vem à cabeça. Esses ângulos são conhecidos como ângulos notáveis e caem muito em questões de vestibulares, geralmente associados às suas razões trigonométricas. Além deles, a identidade trigonométrica fundamental é de suma importância na trigonometria.
Ângulos de 30º e 60º
Primeiramente vamos estudar os ângulos notáveis 30° e 60°.
Consideremos o triângulo ΔABC equilátero de lado l, conforme imagem abaixo.
Figura 1: Triângulo ΔABC equilátero de lado l, com ângulos internos iguais a 60°.
Perceba pela imagem acima que todo triângulo equilátero possui ângulos internos iguais a 60°.
Neste tipo de triângulo, a altura coincide com a sua bissetriz, mediatriz e mediana. Tracemos, então, a altura relativa ao lado . Seja D o pé da altura no segmento . Consequentemente, temos também a bissetriz do ângulo  e a mediana do lado .
Assim, passamos a ter a seguinte configuração no triângulo:
Figura 2: Triângulo ΔABC equilátero de lado l, com ângulos internos iguais a 60°, segmento AD como sendo a altura relativa ao lado BC, bissetriz do ângulo  e mediana do lado BC.
Consideremos agora o triângulo ΔADC. Como este triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras e considerando , em que h representa a altura do triângulo ΔABC, temos:
Temos então a expressão da altura do triângulo ΔABC em função de seu lado. Vamos dar um zoom no triângulo ΔADC:
Figura 3: Triângulo ΔADC, com ângulos internos de 30° em A, 60° em C e 90° em D. AC como hipotenusa medindo l, AD como um dos catetos medindo h e CD como outro cateto medindo l/2.
Já sabemos o valor de h. Agora, vamos descobrir os valores de sen 30º, cos 30º e tg 30º.
Com o mesmo raciocínio, descobriremos os valores de sen 60º, cos 60º e tg 60º:
Perceba pelas relações acima que:
· sen 30º = cos 60º
· sen 60º = cos 30º.
Isso ocorre porque 30° e 60° são ângulos complementares.
Ângulo de 45º
Agora já sabemos quais são os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°. Portanto, vamos ao ângulo de 45°.
Consideremos um quadrado ABCD de lado l, conforme imagem abaixo.
Figura 4: Quadrado ABCD de lado l.
Em seguida, tracemos uma das diagonais desse quadrado, digamos, . As diagonais do quadrado também são as bissetrizes dos seus ângulos internos. Dessa forma, sendo , ficamos com a seguinte configuração no quadrado:
Figura 5: Quadrado de lado l, segmento AC como sendo uma diagonal e, consequentemente bissetriz dos ângulos A e C.
Iniciamos descobrindo quanto vale a diagonal do quadrado em função da medida dos lados. Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ΔACD temos:
d² = l² + l²
d² = 2l²
d = l√2
Com essa informação e, dando um zoom no triângulo ΔACD, temos:
Figura 6: Triângulo ΔACD, com ângulos internos de 45° em A, 45° em C e 90° em D. AC como hipotenusa medindo d, AD como um dos catetos medindo l e CD como outro cateto medindo l.
Escolhendo qualquer um dos ângulos de 45°, vamos descobrir os valores de sen 45º, cos 45ºe tg 45º:
Dessa maneira, aprendemos o valor das razões trigonométricas dos ângulos notáveis.
Podemos agrupar essas informações em uma tabela, da seguinte forma:
Apesar de vários exercícios cobrarem os valores de seno, cosseno e tangente de vários ângulos, os notáveis são os mais frequentes. Veja o exemplo abaixo.
Resolução de exercício sobre ângulos notáveis
(Univag MT – 2020) Considere o triângulo retângulo ADE, o retângulo CFED e o triângulo retângulo ABC, com o ponto D sobre o lado AC, conforme mostra a figura.
A área do retângulo CFED é
a) 12√3 cm2
b) 16√3 cm2
c) 14√3 cm2
d) 10√3 cm2
e) 8√3 cm2
Solução:
Para encontrarmos a área do retângulo, precisamos descobrir quanto valem os seus lados (DE e DC) . E como faremos isso? Vamos utilizar as razões trigonométricas nos dois triângulos que compõem a figura, pois já sabemos os valores dos seus ângulos internos.
Para encontrarmos o valor da medida do lado DE, utilizamos o triângulo ΔADE:
Agora, perceba que DC = AC – AD. Como não possuímos nenhum desses dois valores, precisamos descobri-los antes.
Para descobrirmos o valor de AD, utilizamos o triângulo ΔADE:
E, para descobrirmos o valor de AC, utilizamos o triângulo ΔABC:
Logo,
DC = AC – AD ⇒ DC = 8√3 – 4√3 ⇒ DC = 4√3
A área do retângulo CFED é dada pelo produto da medida do comprimento pela altura. Ou seja, pelo produto DC x DE, conforme a seguir:
DC x DE = 4√3 x 4 ⇒ DC x DE = 16√3 cm²
Portanto, a alternativa correta é a letra B.
O exercício acima foi um exemplo de aplicação das razões trigonométricas. No final do post existe uma lista de outros exercícios envolvendo aplicações das razões trigonométricas.
Identidade trigonométrica fundamental
Para fechar nosso estudo, além dos ângulos notáveis, vamos falar de outro assunto extremamente importante: a identidade trigonométrica fundamental.
Consideremos para isso um ângulo α qualquer. A identidade trigonométrica fundamental é dada por:
sen²α + cos²α = 1
Ou seja, dado um ângulo α qualquer, se elevarmos os valores de seu seno e cosseno ao quadrado, e posteriormente somarmos esses dois valores, vamos obter o número 1 como resposta.
Vamos ver isso acontecendo com o ângulo de 30º:
Observação: sen² α = (sen α)². Mas por questão visual, é muito mais comum aparecer da forma sen² α. Essa observação é válida também para outras razões trigonométricas e para potências das razões trigonométricas.
Já vimos acima, mas vale ressaltar de novo: a identidade trigonométrica fundamental envolve o seno e o cosseno do mesmo ângulo!
Não é necessariamente válido então, por exemplo, que sen²30º + cos²60º resulte em 1. Faça em casa e comprove você mesmo/a.
Identidades trigonométricas
A partir da identidade trigonométrica fundamental, podemos derivar outras identidades trigonométricas.
Mas, antes de continuarmos, algumas definições são necessárias. Assim, considerando α um ângulo qualquer:
· A cossecante de α é o inverso do sen α, e é denotada por cossec α: cossec α = 1/sen α
· A secante de α é o inverso do cos α e é denotada por sec α: sec α = 1/cos α
· A cotangente de α é o inverso da tg α e é denotada por cotg α: cotg α = 1/tg α
· Como e , temos que .
Sabendo disso, para descobrir outras identidades trigonométricas fazemos o seguinte:
1- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por sen² α e obtemos:
Ou seja,
cossec² α = 1 + cotg² α
2- Dividimos a identidade trigonométrica fundamental por cos² α e obtemos:
Ou seja,
sec² α = tg² α + 1
Pronto! Agora, sempre que precisar, você pode lembrar que para chegar nessas identidades basta você dividir a identidade trigonométrica fundamental por sen² α ou cos² α.  Fica mais fácil do que decorar as três, não acha?
Aqui vale uma observação: as divisões feitas acima só são possíveis para valores de sen α ≠ 0 e cos α ≠ 0. Em consequentemente, sen²α ≠ 0 e cos²α ≠ 0, pois divisão por zero não existe.
Essas identidades podem ser muito úteis em exercícios de simplificação de expressões e equações e/ou inequações trigonométricas. Observe o exemplo abaixo.
Exemplo de questão sobre identidades trigonométricas
UEFS BA (2013) (Adaptada) Se , então senθ é igual a____, com senθ > 0.
a) -3/2
b) -3/4
c) -2/3
d) 2/3
e) 3/4
Solução: Precisamos desenvolver a igualdade para encontrarmos o valor procurado. Então, vamos encontrar este valor seguindo os passos abaixo:
Pela identidade trigonométrica fundamental, temos:
sen² θ + cos² θ = 1 ⇒ cos² θ = 1 – sen² θ
Logo,
Assim, resolvendo esta equação do 2º grau (se você não enxergou a equação, troque senθ por x que fica mais fácil de visualizar), chegamos em duas opções:
Pela condição imposta de que senθ > 0, segue que a resposta é . Portanto, a alternativa correta é a letra “d”.
 Aula 52- Lei dos Senos dos Cossenos
Lei dos senos
Primeiramente veremos a lei dos senos, que diz o seguinte:
Dados uma circunferência de raio R e um triângulo qualquer inscrito nesta circunferência, as medidas dos lados do triângulo são proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência.
Talvez tenha ficado um pouco difícil de entender da forma que foi exposta, não é? Por isso, vamos à parte visual.
Figura 1: Circunferência de raio R, com triângulo ΔABC inscrito. Ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.
Tomando como base o triângulo ΔABC da imagem acima, em seguida vamos ver como fica a lei dos senos.
Razão dos lados pelos seus ângulos opostos:
Os lados do triângulo são proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos:
A constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência: 2R.  Ou seja, considerando o triângulo da figura 1, temos que a lei dos senos estabelece que:
Se você quiser se aprofundar no conteúdo de lei de senos, veja a aula do canal Equaciona:
Terminamos de estudar a lei dos senos, mas lá no começo dessa aula eu falei também sobre a lei dos cossenos, então vamos a ela.
Lei dos cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado de um dos seus lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles.
Assim como na lei dos senos, vamos à parte visual para melhorarmos o nosso entendimento a respeito da lei dos cossenos.
Figura 2: Um triângulo qualquer ΔABC, com ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.
Tomando como base o triângulo ΔABC da imagem acima, vamos ver como fica a lei dos cossenos para cada um dos lados.
Primeiro, em relação ao lado a:
· O quadrado do lado a: a²
· Soma dos quadrados dos outros dois lados: b² + c²
· Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . b . c . cosα.
· Sendo assim, para o lado do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:
a² = b² + c² – 2 . b . c . cosα
Em relação ao lado b:
· O quadrado do lado b: b²
· Soma dos quadrados dos outros dois lados: a² + c²
· Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . a . c . cosβ
· Sendo assim, para o lado do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:
b² = a² + c² – 2 . a . c . cosβ
Por fim, para o lado c:
· O quadrado do lado c: c²
· Soma dos quadrados dos outros dois lados: a² + b²
· Dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo formado entre eles: 2 . a . b . cosγ
· Sendo assim, para o lado c do triângulo a lei dos cossenos estabelece que:
c² = a² + b² – 2 . a . c . cosγ
Ou seja, considerando o triângulo da figura 2, temos que a lei dos cossenos estabelece que:
a² = b² + c² – 2 . b . c . cosα
b² = a² + c² – 2 . a . c . cosβ
c² = a² + b² – 2 . a . c . cosγ
Fique ligado/a no fato de que a lei dos cossenos pode ser utilizada em qualquer um dos lados do triângulo. Muita gente acha que só é válida para um lado, mas isso não é verdade.
Em seguida, veja também uma videoaula sobre a lei dos cossenos:
Lei dos cossenos e o Teorema de Pitágoras
Agora vou te contar uma curiosidade: é possível chegar no Teorema de Pitágoras através da lei dos cossenos. Mas como isso é possível?
Vamos colocar novamente o mesmo triângulo da figura 2 aqui:
Figura 2: Um triângulo qualquer ΔABC,com ângulos internos com medida α, β e γ e lados com medidas a, b e c.
Vamos supor que α = 90º, ou seja, temos um triângulo retângulo, com ângulo reto em Â, hipotenusa a, e catetos b e c.
Lembrando que cos90º = 0, temos pela lei dos cossenos:
a² = b² + c² – 2 . b . c . cosα
a² = b² + c² – 2 . b . c . cos90º
a² = b² + c² – 2 . b . c . 0
a² = b² + c²
Perceba que a última igualdade acima é justamente o Teorema de Pitágoras, em que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Exemplos de aplicações de lei dos senos e dos cossenos
Pronto, você aprendeu até aqui a teoria a respeito da lei dos senos e lei dos cossenos. Percebeu que não teve exemplo no meio do texto? Foi proposital.
A teoria dessas duas leis tende a ser mais fácil em comparação a outros assuntos de matemática e os alunos tendem a gostar bastante.
Por outro lado, diante de um exercício, a parte mais complicada desse conteúdo pode ser descobrir quando usar uma ou outra lei.
Por isso, deixei dois exemplos aqui no final do post, para que você possa ver os exercícios sem o viés de estar lendo sobre lei dos senos ou cossenos na hora. Assim, você vai poder interpretar o exercício do “zero” e praticar esta interpretação.
Então, vamos aos exemplos:
1- (UNEMAT MT – 2016)
A cidade de Brasília (DF) foi projetada e seu mapa foi todo desenhado para ter o formato de um avião. Já Triangolândia foi projetada no formato de um triângulo, conforme a figura abaixo.
Figura 3: Triângulo qualquer com um lado medindo 3 km, outro lado medindo 8km, o terceiro lado medindo x e o ângulo interno oposto ao terceiro lado medindo 60°.
Qual é a medida da distância x?
a) 6 km
b) 5,5 km
c) 5 km
d) 7 km
e) 8 km
Solução:
O exercício forneceu apenas um ângulo interno, o valor de dois ângulos do triângulo e a incógnita é justamente o lado oposto ao ângulo dado.
Por causa desses dados, faz sentido resolvermos a questão por lei dos cossenos. Então vamos a ela:
x² = 3² + 8² – 2 . 3 . 8 . cos60º
x² = 9 + 64 – 2 . 3 .8 . ½
x² = 9 + 64 -24
x² = 49
x = ± 7
Como x é o lado de um triângulo, temos que x = 7 km. Dessa forma, a resposta do exercício é a letra D.
Aula 53 - Polígonos: definição, classificação e polígonos regulares
Primeiramente, nessa aula você irá aprender sobre polígonos, incluindo: definição e elementos, classificação, nomenclatura, diagonais, ângulos e polígonos regulares.
Os polígonos são de extrema importância na geometria plana e na geometria espacial. Além disso, eles aparecem frequentemente em questões do Enem e dos vestibulares. Portanto, compreender esse assunto é essencial para mandar bem nessas provas.
Para começarmos a estudar os polígonos, vamos começar nosso estudo com a sua definição e seus elementos. Depois, veremos suas possíveis classificações, suas diagonais e seus ângulos internos. Finalizaremos o nosso estudo com os polígonos regulares.
Definição e elementos dos polígonos
Dados um conjunto de pontos {A1, A2, A3, …, An} consecutivos e não colineares no plano (ou seja, que não se encontram em uma mesma reta), tais que este conjunto possua pelo menos três elementos (n ≥ 3), dizemos que um polígono é a união dos segmentos de reta.
A notação para polígonos é: A1A2A3 … An.
Por exemplo, temos os polígonos abaixo:
Na imagem acima, o polígono mais acima e mais à esquerda é denotado por A1A2A3, enquanto que o polígono cujo desenho é uma seta, é denotado por ABCDEFG.
Ou seja, a notação do polígono nada mais é do que a junção das letras que representam os pontos que o “formam”. Esses pontos são os chamados vértices do polígono. Além disso, perceba também na imagem acima que os vértices do polígono estão orientados.
Considere agora como exemplo o polígono que parece ser uma seta. Nesse sentido, perceba que ele é formado pelos seguintes segmentos de reta: 
Note agora que os vértices do polígono são os pontos extremos dos segmentos de retas. Esses segmentos de retas são os chamados lados do polígono.
Informações dos polígonos
· Em cada vértice do polígono há também um ângulo interno e um ângulo externo, os quais são conhecidos como ângulo interno do polígono e ângulo externo do polígono;
· Dois lados que possuem vértice em comum são chamados de lados consecutivos;
· Além disso, dois ângulos que possuem lado em comum são chamados de ângulos consecutivos;
· Em qualquer polígono, o número de vértices é igual ao número de ângulos e igual ao número de lados;
· Todos os vértices do polígono são distintos.
Perceba que a definição impõe que os lados do polígono sejam segmentos de retas consecutivos e não colineares.
Observe, na imagem abaixo, alguns exemplos de figuras que não são polígonos.
Exemplos de figuras planas que não são polígonos.
Classificação dos polígonos
Podemos classificar os polígonos em convexos e côncavos.
Os polígonos são ditos convexos se, ao traçarmos a reta suporte de qualquer um de seus lados, todos os demais lados do polígono estarão em um mesmo semiplano determinado por essa reta suporte. Caso contrário, o polígono é chamado de côncavo.
Por exemplo, veja a imagem abaixo:
Figura 3: À esquerda, polígono convexo P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 com reta suporte sobre o lado (P_2 P_3 ) ̅. À direita, polígono côncavo ABCDEFH com reta suporte sobre o lado (GF) ̅.
Na imagem acima, o polígono da esquerda é considerado convexo pois qualquer reta suporte de algum de seus lados deixa os demais lados no mesmo semiplano gerado por ela (semiplano da esquerda).
Em contrapartida, o polígono da direita é côncavo, pois existem lados que estão em semiplanos distintos considerando a reta suporte do lado (lado  e lado por exemplo).
Essa definição pode ser um pouco complicada de lembrar na prática, então fique ligado/a em duas outras formas de saber se o polígono é convexo ou côncavo:
Convexo ou côncavo?
· Se qualquer reta traçada cortar o polígono em no máximo dois de seus lados, o polígono é convexo. Caso contrário, se a reta traçada cortar o polígono em mais do que dois de seus lados o polígono é côncavo.
· Se, qualquer segmento de reta traçado no polígono entre dois de seus lados permanecer em seu interior, o polígono é convexo. Caso contrário, se pelo menos um segmento de reta não fique completamente em seu interior, o polígono é côncavo.
Por exemplo, observe a imagem abaixo:
Na imagem acima, o polígono da esquerda é convexo, já, o da direita é um polígono côncavo.
Nomenclatura
Nem todas as figuras planas são polígonos e existem alguns polígonos que possuem nomes diferenciados. Nesse sentido, isso ocorre porque dependendo do número de lados (ou vértices ou ângulos) que o polígono possui, tal polígono recebe um nome diferenciado.
Por exemplo, veja a tabela abaixo:
	Lados
	Nome
	3
	Triângulo
	4
	Quadrilátero
	5
	Pentágono
	6
	Hexágono
	7
	Heptágono
	8
	Octógono
	9
	Eneágono
	10
	Decágono
	12
	Dodecágono
	20
	Icoságono
	…
	…
	n
	Polígono de n lados
Perceba pela tabela acima que se não sabemos o número de lados do polígono, dizemos que ele possui n lados.
Diagonais
Dado um polígono, além da classificação e nomenclatura, também podemos falar das suas diagonais. Mas o que são as diagonais de um polígono?
Diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta com extremos em dois vértices não consecutivos do polígono. Por exemplo, veja a figura abaixo:
Figura 5: À esquerda, hexágono P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 com 3 diagonais (P_1 P_3 ) ̅,(P_1 P_4 ) ̅ e (P_1 P_5 ) ̅ traçadas a partir do vértice P_1. À direita, o mesmo hexágono com todas as diagonais traçadas.
Na imagem acima, a partir do vértice P1 somos capazes de traçar três diagonais: 
Perceba na imagem mais à esquerda que os segmentos  são lados do polígono.
Além disso, perceba também na imagem mais à direita que algumas diagonais passam pelo centro do polígono, enquanto outras não.
Assim, conseguimos calcular o número total de diagonais de um polígono de n lados. Esse número de diagonais é denotada por d e é calculado da seguinte forma:
Atenção: o número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono é dado por (n – 3). A expressão acima nos informa o número total de diagonais.
Vamos usarcomo exemplo o hexágono (6 lados) da figura acima. A quantidade de diagonais dele é:
Volte na figura acima e conte o número de diagonais da imagem, lembrando que, por exemplo, as diagonaissão as mesmas, portanto, são contadas uma única vez.
Ângulos de um Polígono Convexo
Falamos anteriormente que em cada vértice do polígono há um ângulo interno e um ângulo externo. Mas qual a definição desses ângulos?
Dizemos que os ângulos compreendidos entre dois lados do polígono convexo são os ângulos internos do polígono. Bem como dizemos também que o suplemento dos ângulos internos do polígono convexo são os ângulos externos do polígono.
O ângulo interno é denotado por αi e o ângulo externo é denotado por αe. Assim, segue diretamente da definição de ângulo interno e externo do polígono que αi + αe = 180°.
Além disso, olhe que interessante:
· Em um polígono convexo todos os seus vértices apontam para fora do polígono, pois, todos os seus ângulos internos são convexos;
· Já, no caso de um polígono côncavo, pelo menos um vértice aponta para dentro do polígono, pois pelo menos um de seus ângulos internos é um ângulo côncavo.
Soma dos ângulos internos do polígono
É possível calcular a soma dos ângulos internos do polígono. Essa soma é denotada por Si e é calculada da seguinte forma:
Si = 180° . (n – 2)
Com n sendo o número de lados do polígono.
Como por exemplo, pense no caso do triângulo, no qual n = 3. Neste caso temos:
Si = 180° . (3 – 2)
E quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? 180°. Não poderia ser coincidência, concordam?
Soma dos ângulos externos do polígono
Além disso, também conseguimos calcular a soma dos ângulos externos do polígono. Nesse sentido, essa soma é denotada por e é calculada da seguinte forma:
Se = 360°.
Ué, mas não tem fórmula? Não! A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é fixa e vale sempre 360°! Nesse sentido, perceba que falamos de polígonos convexos neste pedaço do post.
Até aqui estudamos os polígonos em geral, mas dentro dos polígonos convexos, estão os chamados polígonos regulares, que são extremamente importantes.
Polígonos Regulares
Quando todos os lados do polígono possuírem a mesma medida e todos os seus ângulos (internos e externos) possuírem também a mesma medida, dizemos que o polígono é regular.
Exemplos de polígonos regulares: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular, hexágono regular e por aí vai.
Tanto a fórmula da soma Si quanto a da soma Se são válidas para os polígonos regulares também.  Assim como αi + αe = 180° também é válida para polígonos regulares.
O que torna os polígonos regulares mais interessantes é o fato de que conseguimos descobrir exatamente quanto vale seu ângulo interno e seu ângulo externo.
Nesse sentido, pense comigo: em um polígono qualquer, sempre é possível calcular a soma dos seus ângulos, mas como os ângulos podem ser diferentes, não tem como saber exatamente o valor de cada um.
Como nos polígonos regulares todos os ângulos possuem o mesmo valor, fica mais fácil descobrir.
Cálculos no polígono regular
O valor do ângulo interno de um polígono regular de lados é calculado da seguinte forma:
E o valor do ângulo externo de um polígono regular de lados é calculado da seguinte forma:
Tente você mesmo em casa usar essas relações de αi e αe para comprovar que αi + αe = 180°.
Lembre-se: as fórmulas de d, Si e Se são válidas para qualquer polígono, mas as fórmulas de αi e αe são válidas apenas para os polígonos regulares.
Exercícios
Questão 01 – (UECE – 2016)
Se a partir de cada um dos vértices de um polígono convexo com n lados podemos traçar tantas diagonais quantas são a totalidade das diagonais de um hexágono convexo, então, o valor de n é
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 12.
Gab: D
Questão 02 – (IFMA – 2016)
Leia as afirmativas.
I. O polígono que possui 9 lados é denominado decágono.
II. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360°.
III. Um polígono convexo regular tem todos os ângulos internos com a mesma medida.
IV. Se dois polígonos têm quantidades diferentes de lados, necessariamente eles têm a soma dos ângulos internos também diferentes.
Portanto, a(s) afirmação(ões) correta(s) são:
a) IV
b) I
c) I, II, III e IV
d) II, III e IV
e) II e IV
Gab: D
 Aula 54- Estudo dos Quadriláteros
Às vezes os vestibulares e o Enem propõem questões de Geometria que nos tiram o sossego. Geralmente as mais difíceis são aquelas que trazem a descrição de determinada figura e não tem sua imagem. É comum que essas questões comecem assim:
“(Unicamp) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α. Calcule a medida de α, em graus.”
E a gente lê esse tipo de questão e se pergunta: Por onde eu começo?
Pensando nesse tipo de questão, resolvi fazer uma revisão com você sobre os famosos quadriláteros, aquelas figuras que têm quatro lados com diferentes “nomes e sobrenomes”.
O que são quadriláteros?
Os quadriláteros são figuras geométricas essenciais na geometria. Os quadrados, losangos e retângulos são os mais conhecidos. Porém, existem outros que ganham visibilidade no estudo de áreas e perímetros como os paralelogramos e os trapézios.
Nesta aula vamos apresentar suas características principais para que você possa resolver com tranquilidade as questões do Enem e Vestibular que envolvem essas figuras.
Características gerais dos quadriláteros
O conceito de quadrilátero é simples. Um quadrilátero é um polígono simples de quatro lados.
Uma das características importantes dos quadriláteros é que a soma de seus ângulos que é igual a 360º. Outra característica importante de ser lembrada é que os quadriláteros têm duas diagonais. Existem dois tipos de classificação de Quadriláteros: Paralelogramos e Trapézios.
Vamos estudá-los separadamente:
Paralelogramos
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Essas figuras geométricas planas têm lados opostos paralelos. São quadriláteros convexos.
Propriedades dos Paralelogramos:
Os ângulos opostos são congruentes.
Os ângulos adjacentes são suplementares (α + β = 180º)
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais se interceptam nos pontos médios.
A área dos paralelogramos em geral se calcula através de:
Retângulos
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
São quadriláteros convexos equiângulos. Ou seja, são paralelogramos que têm quatro ângulos iguais a 90º(retos), dois lados opostos menores e dois lados oposto maiores. Tem diagonais congruentes.
Losango
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
É um quadrilátero convexo equilátero. Isto quer dizer que é um paralelogramo que tem quatro lados iguais e têm suas diagonais perpendiculares entre si.
Suas diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos.
Quadrado
É um quadrilátero convexo, equilátero e equiângulo, isto é, têm quatro lados com medidas iguais e quatro ângulos internos iguais a 90º (ângulos retos). Suas diagonais são perpendiculares entre si, e seu encontro dá seu ponto médio da figura.
Dizemos que o quadrado é um quadrilátero regular e é um retângulo e um losango.
Trapézios
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
São polígonos quadriláteros que têm dois lados paralelos, que são chamados de bases.
Sua área é calculada através da fórmula:
São classificados em:
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Trapézio Isósceles: essa figura tem seus lados opostos não paralelos congruentes, isto é, têm a mesma medida. Os ângulos de cada base e suas diagonais também são congruentes.
Trapézio Retângulo: um dos lados é perpendicular às bases, ou seja, forma um ângulo de 90º às bases.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Trapézio Escaleno: os lados não paralelos dessa figura não são congruentes, isto é, não tem a mesma medida.
 
Assista o vídeo com o Rafael Procópio para continuar estudando sobre os quadriláteros:
Agora que já sabemos as diferenças entre os quadriláteros podemos com facilidade resolver a questão da Unicamp:
Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponhaque, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.
Fonte: https://goo.gl/9V3se2
Calcule a medida de α, em graus.
E a questão está resolvida!
Como você pode perceber, cada quadrilátero tem suas características e você sabendo suas diferenças vai acertar todas as questões que os envolvem.
 Aula 55 - Área do triângulo, pentágono e hexágono: veja como calcular
Quando pensamos em geometria plana nos vem à cabeça a ideia de áreas. Na aula de hoje vamos falar sobre fórmulas de cálculo da área do triângulo, área do pentágono e área do hexágono.
Cálculo da área do triângulo
Primeiramente começaremos pelas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Mas, por que fórmulas? No plural? Isso porque na geometria plana existem 5 formas diferentes de calcular a área do triângulo.
São 5 fórmulas diferentes, pois cada fórmula depende das informações conhecidas a respeito do triângulo.
Consideraremos para esta aula a letra S como nomenclatura de área, mas, dependendo da bibliografia, você pode encontrar a letra A também.
Fórmulas para a área do triângulo
Primeiramente, vamos ver a área do triângulo conhecendo as medidas da base b e da altura h:
O triângulo ΔABC da imagem acima possui base BC e altura h conhecidas. Neste caso, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Você se recorda desta fórmula? Ela representa a famosa fórmula “a área de um triângulo é dada pela base vezes altura dividido por dois”.
Assim, agora que já vimos a expressão mais “clássica” para cálculo de área de triângulo, vamos conhecer as outras quatro formas possíveis.
Área de um triângulo conhecendo as medidas dos seus lados
O triângulo ΔABC da imagem possui lados de medida a,b e c conhecidos. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Em que p é o semiperímetro do triângulo:
Área de um triângulo conhecendo um ângulo interno seus lados adjacentes
O triângulo ΔABC da imagem possui o ângulo α  e os lados b e c de medidas conhecidas. Nesse sentido, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Neste caso, a fórmula muda dependendo do ângulo interno conhecido e os lados adjacentes, por exemplo:
Área de um triângulo conhecendo a medida de seus lados e raio da circunferência circunscrita
O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio R da circunferência circunscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
Figura 6: Triângulo com vértices A,B e C, lados a,b, e c conhecidos e raio r da circunferência inscrita conhecido.
O triângulo ΔABC da imagem possui os lados a,b e c e o raio r da circunferência inscrita de medidas conhecidas. Neste caso a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
S = p . r
Mas lembre-se: p é o semiperímetro do triângulo.
Agora que já aprendemos as diferentes formas de calcular a área de um triângulo, podemos passar para as fórmulas da área de um pentágono e de um hexágono.
Pentágonos e hexágonos
Antes disso, vale a pena destacar que estes polígonos podem ser decompostos em triângulos.
Os pentágonos e os hexágonos podem ser regulares ou não. Caso eles sejam regulares, é possível encontrarmos uma fórmula fechada para o cálculo da área; caso contrário, não é possível.
Sendo assim, se você se deparar com o cálculo de área de um pentágono ou um hexágono não regular, minha sugestão é que você decomponha o polígono em triângulos.
Assim encontre a área de cada triângulo separadamente e some essas áreas, a fim de encontrar a área do polígono de interesse.
Do triângulo equilátero ao pentágono e ao hexágono
A partir de agora vamos tratar da área do pentágono e do hexágono regular. Assim, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, então sua fórmula de área depende da fórmula da área do triângulo equilátero.
O mesmo não acontece com o pentágono regular, por isso a dedução da sua fórmula pode se tornar um pouco mais complicada.
Vamos, primeiramente, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero.
Área de um Triângulo Equilátero
Considere ΔABC um triângulo equilátero de lado l.
Dessa maneira, conseguimos encontrar uma expressão para a altura h deste triângulo através do Teorema de Pitágoras no triângulo ΔABD:
Agora, conhecida a base e a altura do triângulo e, se utilizando da 1ª fórmula vista neste post, encontramos a expressão para o cálculo da área do triângulo equilátero em função dos seus lados:
Assim podemos partir para o hexágono regular.
Área do Hexágono Regular
Considere o hexágono regular de lado l.
Como já falado anteriormente, o hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros:
Assim, por este motivo, temos que a sua área pode ser calculada através de:
Agora que já sabemos calcular a área de triângulo de diferentes formas e, também, sabemos calcular a área de um hexágono regular, vamos ao cálculo da área do pentágono regular.
Antes, fique ligado/a no seguinte: a área de um polígono regular pode ser calculada através de:
S = p . α (1)
Em que p é o semiperímetro do polígono e a é o apótema do polígono.
Observação: apótema do polígono é o segmento que sai do centro do polígono e vai até um dos lados do polígono, tocando esse lado no ponto médio e formando 90° com este mesmo lado.
Vamos então ao caso da área do pentágono regular.
Área do Pentágono Regular
Considere o pentágono regular de lado l e apótema a.
Figura 11: Pentágono regular com vértices A, B, C, D e E, lados de medida l e apótema de medida a.
Como o pentágono regular é um caso de polígono regular, podemos encontrar uma fórmula para o cálculo de sua área a partir da fórmula anterior.
O semiperímetro do pentágono é dado nesse caso por p = 5l/2 . Assim, a área do pentágono regular se torna:
Pronto, agora você já sabe como calcular a área de um triângulo, de um pentágono regular e de um hexágono regular.
Ainda, perceba que com a fórmula (1) e sabendo que em um hexágono regular o apótema coincide com a altura dos triângulos equiláteros que o formam, você consegue encontrar a mesma expressão para a área do hexágono regular.
exercícios.
Questão 01 – (UNICAMP SP/2020)
A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e  é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a
 
a) h2.
b) √2h².
c) √3h².
d) 2h2.
Gab: A
Questão 02 – (UNICAMP SP Adaptada /2020)
A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5cm e um dos ângulos internos igual a Θ , em que cos Θ = 3⁄5.
a) Calcule a área desse triângulo.
Gab:
a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos senΘ = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como
A = 1/2 x a x h = 1/2 x a x a x senΘ.
Como 0 < Θ < 180º, da equação fundamental (senΘ)² + (cosΘ)² = 1, temos:
Assim, a área é igual a A = 1/2 x 5 x 5 x 4/5 = 10 cm2.
Questão 03 – (UECE/2019)
Se as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, a medida da área desse triângulo, em m2, é
a) 5√6 .
b) 3√15 .
c) 6√5.
d) 4√15.
Gab: B
 Aula 56 - Círculo e Circunferência
Juntamente com o quadrado e o triângulo, o círculo é uma forma geométrica com a qual temos contato logo no início da vida através daqueles brinquedos coloridos de encaixe. Na verdade, desde a invenção da roda foram feitas inúmeras novas descobertas de como desenvolver os cálculos sobre o círculo e a circunferência e as metodologias acerca destas figuras geométricas foram aperfeiçoadas.
Antes era muito difícil calcular, por exemplo, uma área de terra delimitada por uma circunferência. Mas, depois da descoberta do pi, tudo ficou mais organizado. Vem comigo nesta aula de Matemática para o Enem aprender direitinho todos os elementos contidos em um círculo!
Entendendo a diferença entre o círculo e a circunferência
Antes de começarmos a falar sobre círculo e circunferência é bom termos em mente qual a diferença entre os dois. Assim evitamos confusões na hora da resolução de exercícios.
Em termos matemáticos, a circunferência é um conjunto de pontos em um determinado plano, organizados de tal forma que,em relação a um ponto central C, todos estes pontos são equidistantes do ponto central C. Para entender melhor, observe a imagem:
 
O ponto C é o ponto central ou o centro da circunferência. A distância r (que é a mesma distância para todos os pontos contidos na circunferência) representada pela reta pontilhada, é chamada de raio.
Em outras palavras, você já deve ter vistos em bicicletas aqueles ferrinhos que seguram a roda e o pneu na base.
O nome dado a esses ferrinhos é raio, justamente por ligarem todos os pontos da circunferência (roda) até o ponto central.
Já o círculo é uma figura geométrica plana. Ele corresponde ao conjunto de pontos que compõem uma área delimitada pela circunferência. Visualmente falando, o círculo é dado por toda a área pintada de marrom, na imagem a seguir:
No círculo podemos identificar alguns pontos notáveis. É imprescindível que você tenha conhecimento sobre esses pontos, já que eles te acompanharão por boa parte dos estudos na geometria. 
Raio
Como já citado anteriormente, o raio (r) é a distância entre o centro do círculo (muitas vezes denominado pela letra O) e qualquer ponto pertencente à circunferência (linha externa ao círculo).
Diâmetro
O diâmetro (D) é a medida da distância de um ponto A da circunferência até outro ponto B que seja simétrico ao ponto A e em relação ao centro.
Na verdade, em linguagem mais simplificada, como você pode observar na imagem, o diâmetro (D) nada mais é do que duas vezes o raio. Portanto, relembre sempre a relação D = 2.r.
Corda
Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda.
Importante: note que quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Ou seja, o diâmetro é um caso especial de corda. Sendo assim, o diâmetro é a maior corda contida em uma circunferência.
Comprimento e Área
 Foram dados ao matemático grego Arquimedes (287 – 212 a.C.) os créditos pela descoberta científica de que existe uma relação entre o comprimento e o diâmetro de um círculo. Mas, na verdade, povos mais antigos já faziam estudos sobre isso. Essa relação diz que, independente do tamanho da circunferência, a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro terá a mesma medida: 3.1415926… A essa razão foi dado o nome de pi, representado pelo símbolo . Isso significa que pi pode ser representado por:
como o diâmetro é igual a duas vezes o raio temos que:
De forma equivalente, podemos calcular o comprimento de uma circunferência através da fórmula:
Já para o cálculo da área você precisa se questionar: é possível calcular a área de uma circunferência? Na verdade, ao se falar de área de uma circunferência, o que é calculado é a área do círculo.
 A fórmula para a área do círculo é dada por:
Vamos ver um exemplo para entender melhor?
Exemplo: Calcule a área de um círculo de raio igual a 4 cm:
Substituindo os valores na fórmula, temos:
 Aula 57 - Circunferência e círculo: definição, elementos e cálculos de áreas
A circunferência e o círculo são tão importantes quanto os polígonos na geometria plana. Na aula de hoje vamos aprender sobre circunferência, sua definição, seus elementos e seu perímetro. Também, vamos aprender sobre o círculo, sua definição, seus elementos, o cálculo de áreas e de comprimentos de arco.
Circunferência
Dizemos que uma circunferência é o conjunto de todos os pontos equidistantes (mesma distância) de um ponto de referência. A essa distância damos o nome de raio da circunferência (denotado por r) e ao ponto de referência damos o nome de centro da circunferência.
Observe abaixo.
Perceba pela definição acima que a circunferência é apenas a borda. Ou seja, quando falamos de circunferência nos referimos apenas ao “caminho redondo” da imagem acima, sem considerarmos o seu interior.
Elementos da circunferência
O centro e o raio são dois personagens essenciais quando falamos de circunferências. Mas, além deles, precisamos mencionar outros elementos:
· Corda: qualquer segmento de reta cujas extremidades são 2 pontos distintos da circunferência;
· Diâmetro: é a corda da circunferência que passa pelo centro dela;
· Flecha: segmento de reta com uma extremidade em um ponto da circunferência e outra extremidade em um ponto de uma corda, sendo perpendicular à corda;
· Arco: é a porção da circunferência compreendida entre dois pontos dela.
Aqui vale ressaltar o seguinte:
· O raio pode ser definido como sendo qualquer segmento de reta cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência;
· O diâmetro possui medida igual ao dobro da medida do raio;
· O diâmetro é a maior corda da circunferência;
· Existem 2 notações para o arco da circunferência. Suponha, com o auxílio da imagem acima o arco compreendido entre os pontos A e B. Para este arco utilizamos a notação 
· A notação mais correta para medida de arco é mas vamos tratar  como sinônimo de arco(AB) por questão de praticidade.
Veja na imagem abaixo os seus elementos.
Da figura temos o seguinte:
· OA = raio;
· BF = diâmetro;
· CE = corda;
· DG = flecha;
· Arco(AB), arco(BC), arco(CD), arco(DE), arco(EF), arco(FA) representados.
Além dos elementos, existe um cálculo de extrema importância a respeito da circunferência: o cálculo do comprimento (ou perímetro – notação: 2p).
Cálculo do comprimento da circunferência
O comprimento é calculado através da seguinte expressão:
C = 2 . π . r
Com r sendo o raio da circunferência.
Este comprimento nada mais é do que a medida da “borda” da imagem, se essa borda pudesse “se abrir e virar um segmento de reta”. Você provavelmente já ouviu falar desse assunto alguma vez na sua vida, não é mesmo?
A partir do comprimento da circunferência somos capazes de encontrar o comprimento de um arco de circunferência, da seguinte forma:
360° – 2π . r
Ô – l
Para isso, precisamos saber o valor de r e de Ô.
Se o ângulo Ô for medido em radianos, a regra de três se torna:
2π – 2π . r
Ô – l
Agora que já estudamos sobre a circunferência, não podemos esquecer do círculo, então vamos começar a estudá-lo agora.
Círculo
Considere uma circunferência de centro O e raio r. Dizemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos cuja distância entre estes pontos e o ponto O seja menor ou igual a r.
Figura 4: Um círculo de centro O e raio r.
Perceba então que na definição do círculo consideramos tanto a “borda” (circunferência) quanto o “interior da imagem” com a condição da distância ser menor ou igual a r.
Essa é a diferença entre as definições de circunferência e círculo.
Existe ainda uma outra forma de definir o círculo, que é a seguinte: círculo é a região delimitada por uma circunferência. Perceba que o centro e o raio da circunferência coincidem com o centro e o raio do círculo.
Assim como a circunferência possui seus elementos, os círculos também os têm. Ainda, da mesma forma que conseguimos calcular o comprimento da circunferência, no círculo conseguimos calcular a sua área e a área dos seus elementos.
Elementos do círculo
Os elementos do círculo são:
· Centro;
· Raio;
· Diâmetro;
· Setor circular: porção do círculo delimitada por um arco de circunferência e raios cuja extremidades são o centro e os pontos extremos do arco;
· Segmento circular: porção do círculo delimitada por uma corda e por um arco de circunferência que possuem os mesmos pontos extremos;
· Coroa circular: considere dois círculos que possuem o mesmo centro. A coroa circular é a região compreendida entre o interior do círculo de maior raio e o exterior do círculo de menor raio.
Veja abaixo a representação destes elementos:
Figura 5: representação dos elementos do círculo.
Agora que já sabemos os elementos do círculo, vamos dar uma olhada nos cálculos de suas áreas.
Área do Círculo
Figura 6: Um círculo de centro O e raio r.
A área de um círculo pode ser calculada através de:
S = π . r²
Em que r é o raio do círculo.
Área do Setor Circular
Figura 7: Um setor circular.
A área do setor circular pode ser calcula de duas formas, ambas se utilizando de regra de três:
1. Conhecendo o valor do ângulo Ô:
360° — πr²
Ô — Ssetor