Avaliação 1 P1 - Gabarito Samir Maghous

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AVALIAÇÃO 1
Enunciado e Resolução
x
y
z
D
A
22
B
O
P1
P2
P3
6
(m)
3
1,5
C
Usando a formulação vetorial, determinar o momento resultante no ponto O devido ao sistema de forças (P1, P2, P3) 
aplicadas no poste.
Exercício 1 - Enunciado
Observação: o ponto A está localizado no plano Oxy, enquanto o ponto D pertence ao plano Oyz.
Exercício 1 – Resolução
Os valores das forças P1 e P2 são considerados algebricamente � 1 1 2 2P =P k , P =P j
��� ���� �
1
1
 P 0 se a força está dirigida para cima
 
 P 0 se a força está dirigida para baixo
≥
 ≤
2
2
 P 0 se a força está dirigida para direita
 
 P 0 se a força está dirigida para esquerda
≥
 ≤
O (0 ; 0 ; 0) A(1,5 ; -3 ; 0) B(0 ; 0 ; 6) C (0 ; 0 ; 8) D (0 ; -2 ; 8) 
3 3P P com 0,2182 i 0,4364 j 0,8728 kF F
A B
U U
A B
−= = = − −
−
��� �� �� � � �
1 2 3P P PO D C BM r r r= × + × + ×
���� ��� ��� ��� ��� ��� ���
B O 6 k
com C O 8 k
D O 2 j + 8 k
B
C
D
r
r
r
 = − =
 = − =
 = − = −
��� �
��� �
��� � �
Momento resultante no ponto O �
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 3 3
1 2 3 3
2 j + 8 k P k 8 k P j 6 k 0,2182 P i 0,4364 P j 0,8728 P k
 2P i 8 P i + 6 0,2182 P j + 6 0,4364 P i
OM
× ×
= − × + × + × − −
= − −
���� � � � � � � � � �
�����
��������� ���������������������
� � � �
( )i j k j k i k i j× = × = × =� � �� � � � � �
( )3 1 2 3 2,6184 P 2P 8 P i + 1,3092 P jOM = − −
���� � �
Os produtos vetoriais definindo podem também ser calculados usando o determinanteOM
����
Exercício 2 - Enunciado
A lâmina da figura está submetida a um sistema de 5 forças paralelas (P1, P2, P3, P4, P5). Determine as componentes
da força resultante FR e do momento resultante MR = MRx i + MRy j equivalentes no ponto O.
z
y
x
P1
P2
P4
P5
6
11
(m)
O
3
8
2
5
P3
Exercício 2 - Resolução
Os valores das forças (P1, P2, P3, P4, P5) são considerados algebricamente � { }i iP =P k 1,2,3,4,5i∀ ∈
��� �
 Pi 0 se a força está dirigida para cima
 
 Pi 0 se a força está dirigida para baixo
≥
 ≤
Força resultante � ( )R 1 2 3 4 5F = P P P P P k + + + +
��� �
Momento resultante no ponto O �
( ) ( )R 1 2 3 4 5
1 2 2 3 4 4
M 11 i P k 11 i 13 j P k 5 i P k 6 i 3 j P k 11 j P k
 11P j 11P j + 13 P i 5 P j 6 P j + 3 P i + 11P
= × + + × + × + + × + ×
= − − − −
���� � � � � � � � � � � � �
����� ����� �������
��������� ���������
� � � � � �
5 i
�
( )i j k j k i k i j× = × = × =� � �� � � � � �
( ) ( )R 2 4 5 1 2 3 4M 13 P 3 P 11 P i + 11 P 11 P 5 P 6 P j= + + − − − −
���� � �
����������� ���������������
MRx MRy
Calcular as reações do pórtico da figura abaixo.
Exercício 3 – Enunciado (Configuração 1)
A: apoio simples
B: engaste
C: rótula
2,5
2,5
3
2
P1
P2
(m)
2 2 4
A
B
C
q
Exercício 3 – Resolução (Configuração 1)
Os valores das forças P1 e P2 são considerados algebricamente � 1 1 2 2P =P i , P =P i 
��� ���� �
2
2
 P 0 se a força está dirigida para direita
 
 P 0 se a força está dirigida para esquerda
≥
 ≤
1
1
 P 0 se a força está dirigida para direita
 
 P 0 se a força está dirigida para esquerda
≥
 ≤
2,5
2,5
3
2
P1
2q
P2
(m)
2 2 4
A
B
C
y
x
z
2
RA
HB
RB
MB
∑Fx =0 � B 1 2H P P= − −
∑Fy =0 � A BR R 2 q+ =
∑MC(a esquerda da rótula) = 0 � 1 AP 2,5 R 4 0× − × =
A 1 1R P 2,5 / 4 0,625 P= × =�
� B A 1R 2 q R 2 q 0,625 P= − = −
∑MC(a direita da rótula) = 0 � 2 B B B2 q 2,66 P 3 H 5 R 4 M 0− × + × + × + × + =
B 1M 2,66 q + 7,5 P + 2 P2= −�
2,66 ( )23 4 2, 66× =
Calcular as reações do pórtico da figura abaixo.
Exercício 3 – Enunciado (Configuração 2)
A: apoio simples
B: engaste
C: rótula
2,5
2,5
3
2
P1
P2
(m)
2 2 4
A
B
C
q
Exercício 3 – Resolução (Configuração 2)
O valor da força P2 é considerado algebricamente � 2 2P =P i 
��� � 2
2
 P 0 se a força está dirigida para direita
 
 P 0 se a força está dirigida para esquerda
≥
 ≤
2,5
2,5
3
2
2q
P2
(m)
2 2 4
A
B
C
2,66
RA
HB
RB
MB
P1
∑Fx =0 � B 2H P= −
∑Fy =0 � A B 1R R 2 q P+ = +
y
x
z
∑MC(a esquerda da rótula) = 0 � 1 AP 2 R 4 0× − × =
A 1R 0,5 P=�
� B 1 A 1R 2 q P R 2 q 0,5 P= + − = +
∑MC(a direita da rótula) = 0 � 2 B B B2 q 2,66 P 3 H 5 R 4 M 0− × + × + × + × + =
B 2M 2,66 q + 2 P 2 P1= − −�
1 1P = P j −
��� �
( )23 4 2, 66× =
Calcular os esforços nas barras da treliça.
Indicar as barras em tração e as barras em compressão. 
P1
P2
P3
5 2
3
5
(m)
A B
E
D F
C
P4
Exercício 4 – Enunciado
Exercício 4 – Resolução
Os valores das forças (P1, P2, P3, P4, P5) são considerados algebricamente � 1 1 4 4 2 2 3 3P =P i , P =P i , P =P j , P =P j 
��� ��� ��� ���� � � �
i P 0 se a força está dirigida para direita
Para i = 1,4 
 Pi 0 se a força está dirigida para esquerda
≥
 ≤
i P 0 se a força está dirigida para cima
Para i = 2,3 
 Pi 0 se a força está dirigida para baixo
≥
 ≤
y
x
z
P1
P2
P3
5 2
3
5
(m)
A
B
E
D F
C
P4
HA
RA RB
1º Passo: Equilíbrio global da treliça
As equações de equilíbrio da estática permitem 
determinar as reações nos vínculo A e B
A 1 4H P P= − −
A 1 2 4R 0,714 P 0,286 P 0,714 P= − − −
B 1 2 3 4R 0,714 P 0,714 P P 0,714 P= − − +
2º Passo: Equilíbrio estático de cada nó da treliça
Escrever o equilíbrio estático de cada nó � determinação dos esforços nas barras
AD A AE A AN 1,414 R N R H= − = −
BE BF BN 0 N R= = −
CD CF 3N 0 N P= =
DE A A DF 1 AN 2,5 R 2,5 H N P R+= − = − −
EF A AN 2,692 R 2.692 H= −