Comportamento da Luz (dualidade onda-partícula)

Prévia do material em texto

Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 1
💡
Comportamento da luz 
(dualidade onda-partícula): 
Princípio da complementaridade (Bohr, 1928): A descrição ondulatória é 
complementar à descrição corpuscular. Ou seja, precisamos das duas descrições 
para completar nosso modelo da natureza, mas nunca precisaremos usar ambas as 
descrições simultaneamente para descrever uma determinada ocorrência.
Ondulatório: Descrito pelas equações de Maxwell (onda eletromagnética), e 
comprovada através do fenômeno de difração em fendas (Thomas Young)
Partícula: Explica fenômenos como reflexão e refração, além do efeito 
fotoelétrico (natureza quantizada, pacotes denominados fótons/quanta)
Efeito Fotoelétrico
Para se desprender da superfície, um elétron tem de absorver energia suficiente 
da luz para superar a atração dos íons positivos do material. Essas forças de 
atração constituem uma barreira de energia potencial (sua função trabalho). 
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 2
Aplicação - Óculos para visão noturna
Um tubo fotomultiplicador para visão noturna usa o efeito fotoelétrico. Os 
fótons que entram no tubo colidem com a placa, ejetando elétrons que 
passam através de um disco fino, no qual existem milhões de minúsculos 
canais. A corrente através de cada canal é ampliada eletronicamente e, a 
seguir, direcionada para uma tela que cintila quando atingida por elétrons. A 
imagem sobre a tela, formada por milhões de cintilações, é milhares de 
vezes mais nítida que a imagem formada a olho nu.
Experimento
Dois eletrodos condutores encontram-se no interior de um tubo de vidro a 
vácuo, são conectados por uma bateria e o catodo é iluminado. Dependendo 
da diferença de potencial entre os dois catodos, os elétrons emitidos 
pelo catodo iluminado (chamados de fotoelétrons) podem atravessar o 
anodo, produzindo uma corrente fotoelétrica no circuito externo (o tubo é 
submetido a vácuo total ou parcial para minimizar as colisões dos elétrons 
com as moléculas gasosas).
VAC
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 3
O catodo iluminado emite fotoelétrons com várias energias cinéticas. Se o 
campo elétrico aponta para o catodo, todos os elétrons são acelerados em 
direção ao anodo e contribuem para a corrente fotoelétrica. No entanto, ao 
reverter o campo e ajustar sua intensidade, podemos evitar que elétrons 
com energia menor alcancem o anodo. De fato, podemos determinar a 
energia cinética máxima dos elétrons emitidos fazendo o potencial do 
anodo relativo ao catodo, , negativo o suficiente para que a corrente 
pare. Isso ocorrerá quando , onde é chamada de potencial 
de corte. Na medida que um elétron se move do catodo para o anodo, o 
potencial diminui por e o trabalho negativo é exercido sobre o 
elétron (carregado negativamente). O elétron com mais energia deixa o 
catodo com energia cinética e possui energia cinética 
zero no anodo. Utilizando o teorema trabalho energia, temos:
Resultados experimentais:
A corrente fotoelétrica depende da frequência da luz. Para um 
determinado material, a luz monocromática com uma frequência abaixo 
da frequência de corte mínima não produz nenhuma corrente 
fotoelétrica, independentemente de sua intensidade. O único efeito do 
aumento da intensidade é o aumento do número de elétrons por 
segundo e, consequentemente, a corrente fotoelétrica .
Km xá
VAC
V =AC −V0 V0
Vo −eVo
K =m xá mv2
1
m xá
2
W = ΔK → qV = K −f K →i −eV =0 0 − mv2
1
max
2
K =m xá eV =o mv2
1
max
2
i
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 4
Não existe um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a 
luz é ligada e aquele em que o catodo emite fotoelétrons (supondo que a 
frequência da luz supere a frequência de corte). Essa é uma verdade, 
também, independentemente do quanto a luz é fraca.
Quanto maior a frequência da luz, maior é a energia dos fotoelétrons 
liberados. Chega-se a conclusão portanto que a energia dos fótons é 
proporcional a frequência da luz, com constante de proporcionalidade , 
denominada constante de plank. , sendo 
, ou (
)
Einstein postulou então, que um feixe de luz era constituído por pequenos 
pacotes de energia, chamados fótons ou quanta. Em sua teoria, um único fóton 
chegando em uma superfície é absorvido por um único elétron. Essa 
transferência de energia é um processo de tudo ou nada, contrastando com a 
transferência contínua de energia que existe na teoria de onda da luz; o elétron 
absorve toda a energia do próton ou absolutamente nenhuma. O elétron pode se 
desprender da superfície somente se a energia que ele adquirir for maior que a 
função trabalho (que corresponde a energia das interações que prendem o 
As curvas se estabilizam quando é suficientemente grande e positiva, pois nesse 
ponto todos os elétrons emitidos são coletados pelo anodo)
VAC
h
E = hf h =
6, 62606957(29) × 10  J ⋅ s−34 h = 4, 136 × 10 eV ⋅−15 s
1eV = 1, 602 × 10 J−19
ϕ
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 5
elétron ao material). Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se 
 ou . Portanto, o postulado de Einstein explica por que o efeito 
fotoelétrico ocorre apenas para frequências superiores a um limite mínimo de 
frequência. Esse postulado também é consistente com a observação de que 
maior intensidade provoca maior corrente fotoelétrica. O postulado de Einstein 
também explica por que não existe intervalo algum entre a iluminação e a 
emissão de fotoelétrons. Assim que fótons com energia suficiente atingem a 
superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados. A energia desses 
pacotes é dada pela relação .
Fótons também apresentam a dualidade onda-partícula: apesar de serem 
unidades de energia, fótons viajam na velocidade da luz e possuem zero massa 
de repouso. Além do mais, os fótons possuem características de onda 
(frequência e comprimento) que são facilmente observáveis.
Ou seja, expressando a tensão de corte como uma função linear da frequência, 
temos:
A tensão de corte corresponde a tensão através da qual o elétron ejetado 
pelo catodo é desacelerado (via campo elétrico) até , não sendo possível 
assim, detectar fluxo de corrente no circuito.
Sendo (teoria da relatividade de Einstein, que afirma que toda 
partícula que possui energia também deve possuir momento linear). Assim:
 Momento linear de um fóton
O efeito fotoelétrico fornece evidências convincentes de que a luz é absorvida na 
forma de fótons. No entanto, para físicos aceitarem o conceito radical de fótons 
elaborado por Einstein, também foi necessário mostrar que a luz é emitida como 
fótons. Uma experiência que demonstra isso de forma convincente é o inverso do 
efeito fotoelétrico: em vez da liberação dos elétrons de uma superfície pela 
hf > ϕ f > ϕ/h
E = hf
V (f) =0 ( )f−( )
e
h
e
ϕ
V0
v = 0
E = m c + p c2 4 2 2
p = =
c
E
=
c
hf
λ
h
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 6
incidência de radiação eletromagnética sobre ela, fazemos que essa superfície 
venha a emitir radiação — mais especificamente, raios X — ao bombardeá-la com 
elétrons de velocidades elevadas.
Bremsstrahlung
Raios X foram produzidos pela primeira vez em 1895, pelo físico alemão 
Wilhelm Röntgen. Quando o catodo é aquecido até uma temperatura muito 
elevada, ele libera elétrons em um processo chamado emissão termoiônica 
(assim como no efeito fotoelétrico, a energia mínima que um elétron individual 
precisa que lhe seja dado para se desprender da superfície do catodo é igual à 
função trabalho da superfície. Nesse caso, a energia é fornecida aos elétrons 
pelo calor em vez da luz). Os elétrons são então acelerados no sentido do anodo 
pela diferença de potencial . No bulbo é criado vácuo, para evitar colisões 
com moléculas de ar. Quando for maior que alguns milhares de volts, raios 
X são emitidos da superfície do anodo.
Um elétron possui carga e e ganha energia cinética quando acelerado por 
uma diferença de potencial . O fóton mais energético (maior frequência e 
menor comprimentode onda) é produzido se o elétron é freado e para de uma 
vez quando atinge o anodo, de modo que toda a energia cinética do elétron é 
usada para produzir um fóton, ou seja:
VAC
VAC
eVAC
VAC
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 7
Nessa equação não consideramos a função trabalho de um anodo-alvo e a 
energia cinética inicial dos elétrons “fervidos” do catodo. Essas energias são 
muito pequenas se comparadas à energia cinética obtida pela diferença 
de potencial. Se somente uma parte da energia cinética do elétron for usada na 
produção do fóton, a energia desse fóton será menor que e o 
comprimento de onda será menor que .
Difração e interferência do fóton
Em vez de registrar a imagem da figura de difração em uma placa fotográfica, 
podemos usar um tubo fotomultiplicador que serve, na verdade, para detectar 
até um único elétron. Neste experimento verificamos que, na média, a 
distribuição dos fótons concorda com nossas previsões baseadas na figura de 
bremsstrahlung (palavra alemã que significa “freio da radiação”): energia liberada após a 
colisão com o anodo.
eVAC
eVAC
λmin
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 8
difração. Em pontos correspondentes aos máximos contamos muitos fótons, nos 
mínimos não contamos quase nenhum fóton, e assim por diante. 
Suponha agora que a intensidade seja reduzida a tal ponto que somente alguns 
fótons por segundo passem através da fenda. Assim, registramos uma série 
discreta de colisões, cada uma representando um único fóton. Como não há 
uma maneira de prever o local exato em que um único fóton vai colidir, ao longo 
do tempo as colisões acumuladas formam a figura de difração esperada. Para 
reconciliar a descrição ondulatória com a descrição corpuscular da figura de 
difração, devemos encarar essa figura como uma distribuição estatística que nos 
informa quantos fótons, na média, atingem cada local. De modo equivalente, a 
figura nos diz a probabilidade de que um fóton individual atinja um determinado 
ponto. Se fizermos nosso feixe de luz brilhar em um dispositivo de fenda dupla, 
obtemos um resultado similar.
O princípio da complementaridade se aplica a essas experiências de 
interferência e difração de forma que o viés ondulatório explica as experiências 
da fenda única e da fenda dupla. Já a descrição corpuscular explica como um 
detector fotomultiplicador pode ser usado para construir a figura de interferência 
mediante a adição de pacotes discretos de energia. As duas descrições 
completam nossa compreensão dos resultados.
Natureza ondulatória das partículas
Louis De Broglie quem fez uma proposta marcante sobre a natureza da matéria. 
Seu pensamento foi: a natureza ama a simetria. A luz possui uma natureza dual, 
comportando-se em algumas situações como onda e em outras, como partícula. 
Se a natureza é simétrica, essa dualidade também deveria ser válida para a 
matéria. Verificou-se então que os elétrons podem interferir e refratar, assim 
como outros tipos de onda. A natureza ondulatória dos elétrons não é 
simplesmente uma curiosidade de laboratório: é o motivo fundamental para que 
os átomos, que, de acordo com a física clássica deveriam ser instáveis, sejam 
capazes de existir.
Se uma partícula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda 
e uma frequência. De Broglie postulou que uma partícula livre com massa de 
repouso , deslocando-se com velocidade não relativística , deve ter um 
comprimento de onda associada a seu momento linear do mesmo 
modo que um fóton, de tal forma que:
m v
λ p = mv
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 9
 e a energia de tal partícula é dada pela mesma relação que o 
fóton ( ). 
Para um elétron, temos:
 e se o elétron for acelerado de um ponto até um ponto 
 por um aumento de potencial temos que o trabalho realizado 
sob o elétron é e é igual ao seu acréscimo de energia cinética. Assim, o 
momento linear do elétron é e seu comprimento de onda de De 
Broglie se torna .
De acordo com De Broglie, cada partícula tem associado um comprimento de 
onda correspondente ao seu comportamento ondulatório. No entanto, para 
objetos do nosso cotidiano, o comprimento de onda associado é muito inferior as 
dimensões de um raio ou núcleo atômico, impossibilitando a observação das 
propriedades ondulatórias de por exemplo um grão de areia, que necessita de 
uma fenda de largura de grandeza (sendo que dimensões de um 
átomo típico estão por volta de ) para que seja possível observar seu 
comportamento ondulatório.
Materiais aquecidos emitem luz, e diferentes materiais emitem diferentes tipos de 
luz. Se a fonte de luz for um sólido quente (como o filamento de uma lâmpada 
incandescente) ou um líquido, o espectro é contínuo. Mas, se a fonte for um gás 
aquecido, como o neônio em uma placa, o espectro inclui apenas algumas cores na 
forma de linhas paralelas nítidas e isoladas. Um espectro desse tipo é chamado de 
linha espectral de emissão, e as linhas são chamadas de linhas espectrais. Cada 
linha espectral corresponde a um comprimento de onda e a uma frequência definida.
Embora um gás aquecido emita seletivamente apenas certos comprimentos de 
onda, um gás frio absorve seletivamente certos comprimentos de onda. Se 
passarmos uma luz branca (espectro contínuo) por um gás e examinarmos a luz 
transmitida com um espectrômetro, encontramos uma série de linhas escuras 
correspondentes aos comprimentos de onda que foram absorvidos. Isso é 
denominado linha espectral de absorção. Ou seja, determinado tipo de átomo ou 
molécula absorve um conjunto característico de comprimentos de onda quando está 
frio igual ao que emite quando está aquecido. Logo, os cientistas podem usar a linha 
λ = =
p
h
mv
h
E = hf
K = mv =
2
1 2
2m
p2
a
b V =ba V −b Va
eVba
p = 2meVba
λ = =
p
h
2meVba
h
≈ 10 m−24
10 m−10
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 10
espectral de absorção para identificar substâncias da mesma maneira que usam a 
linha espectral de emissão
Modelo atômico de Bohr
Devido a inconsistências no modelo atômico em vigor em 1913, Niels Bohr 
propôs uma nova explicação para explicar a estabilidade atômica, que de acordo 
com a teoria eletromagnética clássica, afirma que qualquer carga elétrica em 
aceleração (oscilando ou girando) irradia ondas eletromagnéticas. Dessa forma 
o elétron perderia energia de forma contínua, emitindo um espectro contínuo de 
emissão, e eventualmente colidindo com o núcleo.
O raciocínio de Bohr era este. A linha espectral de emissão de um elemento nos 
diz que os átomos desse elemento emitem fótons somente em certas 
frequências específicas e, portanto, com certas energias específicas . 
Durante a emissão de um fóton, a energia interna do átomo muda por uma 
grandeza igual à energia do fóton. Portanto, cada átomo só deverá ser capaz de 
existir com certos valores específicos de energia interna. Cada átomo possui um 
conjunto de níveis de energia possíveis. Um átomo pode ter uma quantidade de 
energia interna igual a qualquer um desses níveis, mas não pode ter uma 
energia intermediária entre dois níveis. Todos os átomos isolados de 
determinado elemento têm o mesmo conjunto de níveis de energia, mas os 
átomos de diferentes elementos têm diferentes conjuntos. De acordo com Bohr, 
um átomo excitado pode fazer uma transição de um nível de energia para um 
nível inferior emitindo um fóton com energia igual à diferença de energia entre os 
níveis inicial e final. 
A linha espectral de emissão mostra que muitos comprimentos de onda 
diferentes são emitidos por cada átomo. Logo, cada tipo de átomo precisa ter 
uma série de níveis de energia, com diferentes espaçamentos na energia entre 
eles. Cada comprimento de onda no espectro corresponde a uma transição 
entre dois níveis de energia atômicos específicos (número de raias no espectro 
, sendo o número de níveis possíveis).
A observação de que os átomos são estáveis significa que cada átomo tem o 
nívelde energia mais baixo, chamado nível básico. Os níveis com energias 
maiores que o nível básico são chamados níveis excitados. Um átomo em um 
nível excitado, chamado átomo excitado, pode fazer uma transição para o nível 
básico emitindo um fóton. Mas, como não existem níveis baixos do nível básico, 
um átomo no nível básico não pode perder energia e, portanto, não pode emitir 
um fóton. Se esse átomo inicialmente no nível de energia mais baixo for atingido 
f E = hf
hf = =
λ
hc
E −i Ef
= Cn,2 n
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 11
por um fóton exatamente com a quantidade de energia certa, o fóton pode ser 
absorvido e o átomo acabará no nível mais alto. Em outras palavras, um átomo 
absorve os mesmos comprimentos de onda que ele emite. Isso explica a 
correspondência entre a linha espectral de emissão de um elemento e sua linha 
espectral de absorção.
Um átomo que tenha sido excitado para um nível de energia alto, seja por 
absorção de fóton, seja por colisões, não permanece lá por muito tempo. Depois 
de pouco tempo, chamado tempo de vida do nível (normalmente em torno de 
 s), o átomo excitado emitirá um fóton e fará uma transição para um nível 
excitado mais baixo ou para o nível básico. Um gás frio que é iluminado pela luz 
branca para criar uma linha espectral de absorção, portanto, também produz 
uma linha espectral de emissão quando visto de lado, pois, quando os átomos 
perdem a excitação, eles emitem fótons em todas as direções.
Suponha que tomemos um gás de átomos hipotéticos e o iluminemos com luz 
violeta com 414 nm de comprimento de onda. Os átomos no nível básico podem 
absorver esse fóton e fazer uma transição para o nível de 3,00 eV. Alguns 
desses átomos farão uma transição de volta ao nível básico emitindo um fóton 
de 414 nm. Porém, outros átomos retornarão ao nível básico em duas etapas, 
primeiro emitindo um fóton de 620 nm para fazer a transição para o nível de 1,00 
eV, depois um fóton de 1.240 nm para fazer a transição de volta ao nível básico. 
Assim, esse gás emitirá radiação com comprimento de onda maior do que ele 
absorve, um fenômeno chamado fluorescência. Por exemplo, a descarga elétrica 
em uma lâmpada fluorescente faz com que o vapor de mercúrio no tubo emita 
radiação ultravioleta. Essa radiação é absorvida pelos átomos do revestimento 
no interior do tubo. Os átomos do revestimento, então, reemitem a luz no 
10−8
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 12
comprimento de onda maior, a parte visível do espectro. As lâmpadas 
fluorescentes são mais eficientes que as incandescentes na conversão de 
energia elétrica em luz visível, pois não desperdiçam tanta energia produzindo 
fótons infravermelhos (invisíveis).
A quantização dos níveis de energia postulado por Bohr resultou em outras 
grandezas também quantizadas, como o momento angular do elétron. De tal 
forma que .
Uma vez que elétrons em níveis estacionários não emitem continuamente 
energia, podemos usar a imagem de De Broglie das ondas eletrônicas. Em vez 
de visualizar o elétron orbitando como uma partícula que se move em torno do 
núcleo em uma trajetória circular, pense nele como uma onda estacionária 
senoidal com comprimento de onda , que se estende em torno do círculo. Uma 
onda estacionária em uma corda não transmite energia, e os elétrons nas órbitas 
de Bohr não irradiam energia. Para que a onda “saia uniforme” e se junte 
suavemente consigo mesma, a circunferência desse círculo precisa incluir algum 
número inteiro de comprimentos de onda. Logo, para uma órbita com raio e 
circunferência , precisamos ter , onde é o comprimento de 
onda e 
Átomo de Hidrogênio segundo Bohr
Para o átomo de hidrogênio, temos que a força que promove a ação 
centrípeta no elétron é de natureza Coulombiana. Assim:
 que é numericamente igual a . 
Logo, obtemos que os raios de cada nível energético possível, e suas 
velocidades correspondentes também são grandezas quantizadas, de 
L =n mv r =n n n2π
h
λ
rn
2πrn 2πr =n nλn λn
n = 1, 2, 3, ...
F =
4πϵ0
1
rn
2
e2
F =c
rn
mvn
2
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 13
acordo com:
 e 
Dessa forma, o menor raio orbital corresponde á . Esse raio mínimo é 
chamado raio de Bohr, e é dado por . Os demais 
raios são dados então como função do raio de Bohr, segundo a relação 
.
Níveis de energia
Conhecendo a velocidade de cada órbita, podemos encontrar a energia 
associada:
 e 
 logo 
Temos então a relação para a energia quantizada.
Utilizando a notação , onde (constante de 
Rydberg), podemos expressar o comprimento de onda do fóton emitido 
quando o elétron salta de uma órbita mais alta (upper) para uma mais baixa 
(lower) com a seguinte expressão:
r =n ϵ0
πme2
n h2 2
v =n
ϵ0
1
2nh
e2
n = 1
a =0 5, 29 × 10 m−11
r =m n a2 0
K =n mv =2
1
n
2
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
U =n
− =
4πϵ0
1
rn
e2
−
ϵ0
2
1
4n h2 2
me4
E =n K +n U =n −
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
E =n −
n2
hcR
R =
8ϵ h c0
2 3
me4
ΔE = =
λ
hc
E −nu E =nl (− )−(−nU
2
hcR
) =
nL
2
hcR
hcr( −
nL
2
1
)
nU
2
1
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 14
Um teste adicional do modelo de Bohr é seu valor previsto da energia de 
ionização do átomo de hidrogênio. Esta é a energia exigida para remover o 
elétron completamente do átomo. A ionização corresponde a uma transição 
do nível básico para um raio orbital infinitamente grande (
, de modo que a energia que deverá ser adicionada ao átomo é 
 (lembre-se de que E1 é negativo). A substituição das 
constantes na equação gera uma energia de ionização de 13,606 eV.
Átomos do tipo átomo de hidrogênio
Podemos estender o modelo de Bohr para outros átomos de um elétron, 
como o hélio unicamente ionizado ( ), o lítio duplamente ionizado (
) e assim por diante. Esses átomos são denominados átomos do tipo do 
átomo de hidrogênio. Neles, uma carga nuclear não é , mas , onde é 
o número atômico, igual ao número de prótons no núcleo. O efeito na 
análise anterior é substituir em todos os lugares por . É preciso 
observar que os raios orbitais dados tornam-se menores por um fator de 
, e os níveis de energia são multiplicados por .
Experiência de fenda dupla com elétrons
A figura formada no anteparo corresponde ao mesmo padrão de interferência 
visto para os fótons. Além do mais, o princípio da complementaridade nos diz 
que não podemos aplicar os modelos de onda e partícula simultaneamente para 
descrever qualquer elemento isolado dessa experiência. Assim, não podemos 
(n = 1) (n = ∞)
E −∞
E =1 0 −E =1 −E1
He+ Li2+
e Ze Z
e2 Ze2
rn
Z En Z
2
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 15
prever exatamente onde na figura (um fenômeno ondulatório) qualquer elétron 
individual (uma partícula) pousará. 
ATENÇÃO: Interferência de elétrons em fenda dupla não é interferência entre 
dois elétrons. Um erro de conceito comum é acreditar que o padrão se deve à 
interferência entre duas ondas de elétrons, cada uma representando um elétron 
que passa por uma fenda. Para mostrar que esse não é o caso, podemos enviar 
apenas um elétron de cada vez através do dispositivo. Não faz diferença; 
acabamos com a mesma figura de interferência. De certa forma, cada onda de 
elétrons interfere consigo mesma. Vemos assim, a dualidade onda-partícula do 
elétron, em um experimento de interferência, a partir de uma fenda de 
dimensões comparáveis com o o comprimento de onda de um elétron de De 
Broglie (espaçamento de grandeza próxima ao espaçamento entre átomos de 
um cristal).