Sistema Eletrico uninade 3

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Objetivos 
UNIDADE 3. 
Modelos de representação de linhas de transmissão 
Rafaela F. A. Guimarães 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Apresentar os modelos de linhas de transmissão com parâmetros distribuídos; 
• Abordar os modelos de componentes de sistemas para os geradores; 
• Aprofundar os conhecimentos acerca da representação matricial das redes elétricas de 
potência. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
 
Modelos de linha de transmissão 
– 
// Linha de transmissão: teoria básica 
// Uso da transformada de Laplace 
// Linha semi-infinita: o conceito de onda viajante 
// Linhas finitas: reflexões em descontinuidades 
// Comportamento das ondas em descontinuidades 
// Efeito Ferranti 
Representação dos geradores de energia 
– 
// Reatância subtransitória X''S 
// Reatância transitória X'S 
// Reatância síncrona XS 
Representação matricial das redes elétricas de potência 
– 
// Formulação básica 
// Modelagem de linhas, transformadores, geradores e carga 
Matrizes de rede 
– 
// Matriz de admitâncias nodais 
// Montagem da matriz de admitâncias nodais 
Modelos de linha de transmissão 
 
Nesta unidade, 
serão desenvolvidos os modelos π por fase de linhas de transmissão trifásicas em corrente 
alternada, utilizados no cálculo de fluxo de potência. Geralmente, conhecemos a tensão no final 
da linha (na carga) e precisamos calcular a tensão na geração para que, depois da queda de 
tensão devido a uma linha de transmissão, possamos ainda ter tensão suficiente para alimentar a 
carga. Para que as constantes mudanças de tensão ao longo do processo possam ser 
desconsideradas no nosso modelo, utilizamos os valores por unidade, chamados de valores pu 
(lê-se o nome das letras separadamente). A principal vantagem da utilização dos valores pu é 
que os resultados podem ser comparados com facilidade. Deste modo, se a tensão necessária na 
carga for de 1∠ 0º, a tensão na geração deve ser maior, por exemplo, 1,09 1∠ 0º (valores 
escolhidos como exemplo), assim, é sabido que a queda de tensão na linha é de 0,9 V. 
Para se obter os valores pu, adotamos como valores de base duas grandezas, geralmente tensão e 
potência, e calculamos as outras duas componentes de conversão com base na Lei de Ohm, ou 
seja, encontramos a corrente e a impedância de base. Depois, é só dividir todos os valores 
apresentados no circuito por estes valores de base, procedendo a uma adequação caso a rede 
requeira uma mudança de base, referenciando a base em uma tensão e a potência para outra. 
 
LINHA DE TRANSMISSÃO: TEORIA BÁSICA 
As linhas de transmissão em corrente alternada podem ter comprimento que varia de alguns 
metros até em torno de 2.500 quilômetros, no caso do Brasil. O equacionamento matemático 
varia de acordo com o tamanho da linha e, para facilitar estes cálculos, dividimos as linhas de 
transmissão em: 
CURTAS 
Comprimento inferior a 80 km. 
MÉDIAS 
Comprimento superior a 80 km e inferior a 249 km. 
LONGAS 
Comprimento superior a 249 km. 
O Brasil tem uma das maiores linhas de transmissão do mundo, que, em corrente contínua de 
800 kV, liga o Rio de Janeiro à usina de Belo Monte, instalada no Rio Xingu, e possui 
aproximadamente 2.500 km. 
 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/1.3088.23807/content/_2385044_1/scormcontent/index.html
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ASSISTA 
Recomendo um vídeo interessante sobre esta linha, que aborda um pouco dos desafios 
de se construir a terceira maior linha de transmissão do mundo. 
CLIQUE E ASSISTA 
 
// Modelo para linhas curtas 
As linhas de transmissão curtas podem ser representadas por seu modelo simplificado, conforme 
mostrado na Figura 1, composto de uma resistência r e uma reatância indutiva + j XL, sendo o j a 
raiz quadrada de menos um (√-̅1̅ = número imaginário). Podemos representar esta linha por um 
resistor em série com um indutor ou um retângulo para indicar uma carga desconhecida. A 
reatância indutiva XL é dada por 2 π f L. 
Neste caso, o 
valor da resistência e da indutância é dado em Ω / km e o tamanho da linha. Sua distância deve 
ser multiplicada aos valores tabelados para que se tenha o valor real destes parâmetros. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as tensões, temos: 
 V̇s = Icarga (R + j XL) + Icarga Zcarga 
 (1) 
 V̇s = Icarga (R + j XL + Zcarga) 
ou seja, a tensão no gerador (do inglês source) V̇s terá que suprir a queda de tensão na linha e 
alimentar a carga. 
// Modelo para linhas médias 
As linhas médias são representadas pelo modelo π (pi) nominal mostrado na Figura 2. Ao 
modelo de linhas curtas é acrescido um capacitor shunt (em paralelo), dividido em duas partes 
iguais a Yc / 2, sendo Y a admitância capacitiva. A admitância é o inverso da impedância 
capacitiva, dada por Xc = 1/(2 π f C), ligado nas duas extremidades do modelo de linha curta, o 
https://www.youtube.com/watch?v=HK24AGe232c
que faz com que este modelo se pareça com a letra grega pi (decorrendo daí o motivo de sua 
nomenclatura). 
 
Figura 2. Circuito equivalente de uma linha de transmissão média. Fonte: PINTO, 2014. (Adaptado). 
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as tensões, temos: 
Como queremos isolar Is e sabemos que o valor da 
corrente na capacitância em derivação é V̇S Y/2, podemos adicionar esta corrente do ramo ao 
circuito em série com o seguinte resultado: 
 
Agora o valor de V̇s dado pela Equação (1) pode ser substituído, e o resultado será: 
 
Podemos representar as Equações (3) e (4) por meio de letras A, B, C e D, denominadas 
constantes generalizadas do circuito da linha de transmissão, que são números complexos, sendo 
A e D adimensionais (se a linha possuir as mesmas características, esses números são os 
mesmos) e B e C dados em Ω e 1/Ω = Siemens, respectivamente. A representação destas 
equações é dada por: 
 V̇s = A V̇R + B iR 
 (5) 
is = C V̇R + D iR 
sendo que 
 
// Modelo para linhas longas 
Os parâmetros concentrados podem ser usados sem maiores problemas para linhas curtas e médias, o que 
não ocorre para linhas longas, cujo modelo está representado na Figura 3. Neste caso, é necessário utilizar os 
parâmetros distribuídos, assim como o equacionamento, que se torna um pouco mais complicado com a 
introdução dos senos e tangentes hiperbólicos. 
 
Figura 3. Circuito equivalente de uma linha de transmissão longa. Fonte: PINTO, 2014. (Adaptado). 
Para linhas longas, o equacionamento matemático é o mesmo para o modelo π nominal. O que 
muda é a maneira de se obter os valores de A, B, C e D que agora serão dados por: 
 
Como pode ser visto, as funções agora são cosh (cosseno hiperbólico) e senh (seno hiperbólico), 
e a variável γ é a constante de propagação da onda, dada pela raiz quadrada da multiplicação da 
impedância pela admitância, representadas por: 
 
O problema das linhas longas é que todo o equacionamento tem que ser feito com derivadas 
parciais devido ao fato de que as ondas senoidais viajam no tempo e na frequência. Por este 
motivo, as correntes e tensões senoidais passam a ser chamadas de ondas viajantes, porque 
agora, dependendo do momento em que a análise é feita, temos uma forma de onda. 
USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
Como a resolução de linhas de transmissão, considerando as ondas viajantes, é um pouco 
complicada matematicamente, optou-se pela utilização da transformada de Laplace. Ela é muito 
útil para o caso de equações diferenciais ordinárias, que é a maneira de se escrever as formas de 
onda da tensão e corrente em equações diferenciais de primeira e segunda ordem, pois temos 
que considerar os domínios do tempo e da frequência. Logo, a tensão pode ser escrita por: 
 
onde utilizamos letras maiúsculas para indicaras transformadas de Laplace, e as funções que 
variam no tempo foram escritas com letras minúsculas. 
Podemos substituir as derivadas parciais por totais e, com o mesmo raciocínio, obter 
a corrente. 
Considerando as condições iniciais iguais a zero, ou seja, I = 0 e V = 0, podemos escrever: 
 
Agora vamos derivar a Equação (11) em relação a x e substituir a derivada da corrente em 
relação a x pela Equação (12), o que resulta em: 
 
 
V(x, s) = A(s) e-γx + B(s) eγx (15) 
É possível utilizar essa equação para encontrarmos a corrente, que será 
 
em que 
 
As constantes A(s) e B(s), na verdade, constantes em relação a x, são determinadas a partir das 
condições de contorno no início e no final da linha. As funções γ(s) e Zc(s) são chamadas, 
respectivamente, de constante de propagação e de impedância característica da linha. Note que 
ambas são funções da variável s, que é complexa. 
Em alguns casos particulares de linhas, Zc(s) transforma-se em uma constante real pura 
– casos de linhas sem distorção e sem perdas. 
No caso de uma linha sem perdas (sem resistência e condutância) r = g = 0, temos: 
 
e podemos escrever 
 
em que v = 1/√lc. 
Para a definição de uma linha sem distorção, é necessário fazer primeiro 
 
e 
 
em que 
 
Uma linha sem distorção é definida como sendo aquela em que σ = 0. Assim, 
 
Independentemente de (s). Deste ponto em diante, para simplificar, a notação Zc, sem o (s), será 
usada para representar indistintamente a impedância característica de uma linha com ou sem 
distorção ou perdas. Quando o contexto deixar alguma dúvida, será explicitada a dependência 
com a frequência. 
As Equações (17) e (18) se transformarão em 
 
Comparando essa solução com as Equações (17) e (18), é possível compreender a razão pela 
qual δ é chamado fator de atenuação. 
LINHA SEMI-INFINITA: O CONCEITO DE ONDA VIAJANTE 
Teoricamente, uma linha semi-infinita é definida como uma linha que tem uma das 
extremidades acessível, normalmente chamada de início da linha, e a outra inacessível, por se 
encontrar no infinito. Dito de outra forma, uma linha semi-infinita é aquela em que, de uma das 
suas extremidades, aquela localizada no infinito, não chega nenhum sinal. 
Considere, então, uma linha semi-infinita sem perdas, inicialmente desenergizada, em que se 
aplica um degrau de tensão no tempo zero, como mostrado na Figura 4. A solução das Equações 
(17) e (18), para a tensão e corrente em qualquer ponto da linha e em qualquer instante de 
tempo, é obtida levando-se em conta as condições de contorno e iniciais do problema. Isto é, 
essas condições são usadas para a determinação das constantes de integração. 
 
Figura 4. Energização de uma linha semi-infinita. Fonte: ARAÚJO; NEVES, 2005, p. 144. (Adaptado). 
Considerando a equação da tensão 
 
as constantes A(s) e B(s), constantes apenas em relação à variável espacial, são determinadas a 
partir das seguintes considerações: 
// Condições de contorno 
Pela definição de linha semi-infinita, nada volta da extremidade à direita da linha. Como 
inicialmente a linha estava desenergizada, com corrente e tensão nulas em todos os pontos dela, 
então, B(s) = 0. Na outra extremidade, (x = 0), v(0, t) = u(t); 
// Condição inicial 
O degrau unitário (u(t) = 1, para t > 0, e u(t) = 0, para t £ 0) tem uma descontinuidade que ocorre 
em t = 0. Como a transformada inversa de Laplace do degrau unitário é 1/s, pode-se escrever 
V(0, s) = 1/s. Assim, colocando x = 0 na Equação (23) e igualando o resultado a 1/s, temos: 
 
Portanto, a solução geral para a linha semi-infinita sem perdas é: 
 
O significado físico dessa equação fica claro quando a análise é feita no domínio do tempo, 
utilizando o teorema da translação da transformada de Laplace: se f(t) . u(t) tem uma 
transformada de Laplace F(s), então a transformada de Laplace de f(t – T) . u (t – T) é e-sT. F(s). 
 
isto é, 
v(x, t) = u (t – x/v) (27) 
Com base na definição da função degrau u(t), sabemos que v(x, t) = u(t – x/v) = 1, se (t – x/v) > 
0 e u (t -x/v) = 0 para os outros pontos. Quando se fotografa a tensão em todos os pontos da 
linha em um determinado instante de tempo t = T, o resultado está mostrado na Figura 5. 
Fotografias tiradas subsequentemente com o passar do tempo, ou seja, com o aumento contínuo 
de T, mostrarão um valor unitário constante de tensão propagando-se ao longo da linha. 
 
Figura 5. Propagação de onda de tensão em linha semi-infinita. Fonte: ARAÚJO; NEVES, 2005, p. 145. 
(Adaptado). 
Considere duas fotografias tiradas em dois instantes T1 < T2. Podemos ver nelas dois pontos, 
X1 = v T1 e X2 = v T2, sendo energizados pela tensão. A velocidade de propagação da tensão 
pode ser calculada como: 
 
Portanto, o parâmetro v = 1/√lc é, na verdade, a velocidade com que o distúrbio de tensão se 
propaga ao longo da linha. 
Se um voltímetro for instalado em um determinado ponto da linha (X) e o tempo for 
cronometrado a partir do instante em que a chave da Figura 4 for fechada, temos que fazer as 
seguintes observações: 
• v(X, t) = u(t – X/v) = 1, se t > X/v; 
• v(X, t) = 0, se t ≤ X/v. 
Dito de outra forma, só há medição no voltímetro instalado em x = X para tempos maiores que 
X / v, quando, então, esse voltímetro marcará o valor unitário constante. 
A onda de tensão v(x, t) é acompanhada, em sua propagação, por uma onda de corrente i(x, t), 
que pode ser obtida pela Equação (18), considerando B(s) = 0 e transformando I(x, s) para o 
domínio do tempo: 
 
Essa equação mostra claramente a razão de Zc ser denominada impedância característica da 
linha – relação entre tensão e corrente (o nome impedância é indevido, pois, para as linhas sem 
perdas, ela é um número. Uma impedância real é uma resistência, o que não procede para o caso 
da impedância característica). 
 
ASSISTA 
As ondas viajantes em linhas de transmissão podem ser medidas. Recomendo um 
vídeo da SEL Brasil no qual é demonstrado um dos aparelhos para medição deste 
fenômeno. 
 
LINHAS FINITAS: REFLEXÕES EM DESCONTINUIDADES 
Para linhas monofásicas sem perdas com as duas extremidades acessíveis – linhas finitas –, vale 
a solução geral, em qualquer ponto da linha: 
 
Soluções do tipo de Vp(x, s) e Ip(x, s) são ondas propagando-se na direção do crescimento de x, 
isto é, ondas progressivas. Pode-se mostrar, da mesma forma, que Vr(x, s) e Ir(x, s) são ondas 
que se propagam na direção negativa de x, ou seja, regressivas. 
O sinal negativo da equação da corrente pode ser assim interpretado: a corrente tem a direção 
associada com a magnitude. 
Outra característica importante das ondas de tensão e corrente nas linhas é que elas respeitam o 
princípio da superposição. Assim, duas ondas viajando em sentido contrário somam-se no ponto 
de encontro e depois continuam suas propagações independentes. 
COMPORTAMENTO DAS ONDAS EM DESCONTINUIDADES 
As descontinuidades em linhas são definidas como mudanças súbitas da relação entre tensão e 
corrente em algum ponto. Terminais abertos, curto-circuito e junções de linhas diferentes são 
exemplos das tais descontinuidades. As ondas viajantes têm um comportamento singular quando 
encontram descontinuidades em seus caminhos. 
A Figura 6 mostra uma onda progressiva de tensão Vp(x, s), também chamada de tensão 
incidente à descontinuidade, acompanhada por uma onda progressiva Ip(x, s), incidindo em uma 
descontinuidade localizada em x = 0 e representada por uma impedância concentrada Z(s). 
 
Figura 6. Descontinuidade: impedância concentrada Z(s). Fonte: ARAÚJO; NEVES, 2005, p. 147. (Adaptado). 
Em x = 0, a razão entre a tensão e a corrente é: 
 
Essa condição não pode ser satisfeita nem por um par (tensão/corrente) de ondas progressivas, 
cuja relação é Zc, nem por um par de ondas regressivas, cuja relação é – Zc. Ambos os pares de 
ondas devem existir, obrigatoriamente, na descontinuidade, a despeito de, inicialmente, só 
existir o par de ondas progressivas.É comum dizer que a descontinuidade gera o outro par 
regressivo. Na verdade, o que gera o par de ondas regressivo é a condição de contorno do 
problema na descontinuidade, que deve ser obedecida pela equação da linha. 
No início, temos: 
 
Na descontinuidade, o par de ondas regressivas gerado é descrito por: 
 
O valor dessas grandezas, no ponto de descontinuidade (x = 0), é: 
 
Usando a propriedade da superposição, a tensão V0(s) e a corrente I0(s) na descontinuidade são: 
V0(s) = Vp(0, s) + Vr(0, s) = A1(s) + A2(s) (35) 
e 
 
Além disso, V0(s) = Z(s) . I0(s). Daí, podemos deduzir que: 
 
e 
 
ou seja, 
 
e 
 
Os coeficientes G(s) e H(s) são chamados, respectivamente, de coeficientes de reflexão e de 
refração da tensão. Analogamente, os coeficientes – G(s) e K(s) são chamados, respectivamente, 
de coeficientes de reflexão e da refração da corrente. Na Tabela 1, esses coeficientes são 
indicados mais claramente: 
 
Tabela 1. Coeficientes de reflexão e refração. 
// Terminação resistiva 
A análise da terminação resistiva de uma linha de transmissão mostra um fenômeno que só 
ocorre em circuitos de parâmetros distribuídos e tem um papel importante no entendimento dos 
transitórios eletromagnéticos em geral. A tabela pode ser modificada para o caso em pauta, ou 
seja, Z(s) = R: 
 
Tabela 2. Coeficientes de reflexão e refração 2. 
Note que, para o caso de linhas sem perdas, Zc é um número real, o que implica fatores de 
reflexão e refração reais. Não há, portanto, deformação da onda incidente quando ela se reflete e 
se refrata nessa terminação. 
Dois casos extremos são os da terminação aberta (R → ∞) e do curto-circuito (R = 0). No caso 
do circuito aberto por manipulações algébricas simples, chegamos a esta tabela: 
 
Tabela 3. Coeficientes de reflexão e refração 3. 
O fator de reflexão da tensão é 1, o que significa que Vr(0, s) = Vp(0, s). Coerentemente, o fator 
de refração é 2, pois V0(s) = Vp(0, s) + Vr(0,s) = 2 Vp(0, s), ou seja, a tensão na terminação em 
aberto é o dobro da tensão incidente na descontinuidade. 
Para o caso de uma linha terminada em curto-circuito, vale esta tabela: 
 
Tabela 4. Coeficientes de reflexão e refração 4. 
Análise análoga àquela apresentada para o circuito aberto pode ser feita. 
Nesses dois casos extremos, ou a tensão ou a corrente refratada dobra após a incidência. Esse 
fenômeno não ocorre em circuitos com parâmetros concentrados. É possível entendê-lo a partir 
de considerações sobre a energia eletromagnética que se propaga 
na linha. 
Já foi dito que as tensões e corrente na linha estão ligadas a campos eletromagnéticos em torno 
de seus condutores. A energia divide-se igualmente entre energia magnética (½ l i2) e elétrica (½ 
c e2), quando de sua propagação. 
Quando a onda alcança uma descontinuidade, parte dessa energia é absorvida e parte é refletida, 
conservando a energia total. No caso de um curto-circuito, a energia elétrica que desapareceria 
no momento da incidência [V0(s) = 0], na verdade, transforma-se totalmente em energia 
magnética. Para facilitar a análise, considere que I1 é a corrente incidente no curto, I2 é a 
corrente refletida e I3 é a corrente refratada. A energia eletromagnética total que viaja em 
direção ao curto é: 
 
A energia total, após a incidência, só será magnética e pode ser dada por: 
 
Essas duas energias têm que ser iguais, portanto: 
 
Como, por definição, a corrente refratada é a soma da corrente incidente com a refletida (I3 = 
I1 + I2), então I3 = 2 I1. 
Para o caso do circuito aberto, chega-se à conclusão de que V3 = 2 V1. 
A Figura 7 mostra os efeitos que a onda de tensão sofre após trafegar em uma linha de 
transmissão em direção a diversas terminações, como circuito aberto, resistor com a mesma 
impedância de surto da linha, curto-circuito, circuito aberto e centelhador ideal. 
 
Figura 7. Efeito da carga resistiva nos terminais da linha, na forma de onda da tensão. Fonte: ARAÚJO; NEVES, 
2005, p. 151. (Adaptado). 
O item (a) da Figura 7 mostra a linha com terminal em aberto (R → ∞), em que o coeficiente de 
reflexão da tensão é igual a 1. A tensão no terminal aberto é o dobro da tensão incidente. 
O item (b) indica a linha conectada a uma resistência igual à sua impedância de surto (R = Z); o 
coeficiente de reflexão da tensão e da corrente são nulos, não havendo reflexão. A tensão na 
carga é a própria onda incidente no terminal. 
O item (c) representa a terminação em curto-circuito (R = 0), em que a onda de tensão refletida é 
igual e tem sinal contrário ao da onda incidente. 
Por fim, o item (d) mostra a terminação em um centelhador, que se comporta como um circuito 
aberto até atingir a tensão de ruptura. Em seguida, comporta-se como um curto-circuito. 
// Terminação indutiva 
A terminação indutiva, assim como a capacitiva, introduz deformações nas ondas refletidas e 
refratadas, pois, agora, os fatores de reflexão e de refração são dependentes da frequência, como 
se mostra na Tabela 5: 
 
Tabela 5. Coeficientes de reflexão e refração 5. 
A tensão refletida pode ser colocada na seguinte forma: 
 
A mesma tensão, no domínio do tempo, fica, então: 
 
// Terminação capacitiva 
O comportamento de ondas incidentes em um capacitor pode ser analisado de forma análoga ao 
do indutor. Nesse caso, os coeficientes são dados na Tabela 6: 
 
Tabela 6. Coeficientes de reflexão e refração 6. 
Porque a tensão incidente é um degrau unitário, a tensão refletida é expressa como: 
 
Ou, no domínio do tempo, 
 
EFEITO FERRANTI 
O fenômeno conhecido por efeito Ferranti faz com que a tensão sustentada na extremidade 
aberta de uma linha de transmissão seja superior à tensão no lado da geração. Isso ocorre devido 
ao fluxo de corrente capacitiva por intermédio da indutância série da linha. 
Para melhor visualização desse fenômeno, considera-se a linha de transmissão como um circuito 
de dois terminais. A equação geral para a linha é dada, então, por: 
V1 = V2 cosh (γ l ) + Zc I2 senh (γ l ) (48) 
em que 
V1 é a tensão no lado da geração; 
V2 é a tensão no lado da carga; 
l é o comprimento da linha; 
Zc é a impedância característica da linha; 
γ é a constante de propagação. 
Admitindo-se a linha aberta na extremidade receptora, como no caso de energizações ou 
rejeições de carga, temos I2 = 0. Assim, 
V1 = V2 cosh (γ l ) (49) 
Dessa forma, para uma linha não compensada, se as perdas forem desprezadas, o efeito Ferranti 
é calculado, aproximadamente, pela fórmula: 
 
sendo β = ω √LC, e a constante de fase 7,2º/100 km em 60 Hz. A forma de onda da sobretensão 
resultante desse fenômeno é, em geral, senoidal à frequência industrial, chegando a 1,3 pu de 
sobretensão no final de uma linha de 600 km de comprimento, sem compensação. 
 
 
Representação dos geradores de energia 
 
 
Os geradores de 
energia são chamados de máquinas síncronas porque eles têm que manter um sincronismo com a 
rede. É esse sincronismo que garante a frequência de 60 Hz. Esta exigência é tão restrita que a 
variação da frequência só pode ser de ± 0,5 Hz em 60 Hz. Eles podem ser construídos com polos 
salientes ou lisos. Geralmente, o rotor é a parte que gira, enquanto o estator fica estático. É este 
movimento de rotação que transforma a energia primária (hidráulica, térmica) em energia 
elétrica. A energia é gerada a 13,8 kV e elevada para níveis de transmissão em transformadores 
elevadores que se localizam ao lado dos geradores. 
Os geradores de energia, por sua semelhança com os motores elétricos, são representados por 
uma impedância denominada impedância síncrona e representada por Xs. Ela é fornecida pelo 
fabricante do gerador de energia e, geralmente, dada em porcentagem, Xs = 10% (por exemplo), 
ou seja, Xs = j 0,1. Essa impedância é utilizada nos cálculos do regime permanente da rede. 
Existem duas outras impedâncias de rede que são fornecidas pelo fabricante, denominadas de 
impedâncias transitóriase subtransitórias dos geradores. 
REATÂNCIA SUBSTRANSITÓRIA X''s 
É o valor de reatância da máquina correspondente à corrente que circula na armadura durante os 
primeiros ciclos (período subtransitório). Ela pode ser usada tanto para ser calculada uma 
proteção para a máquina como para saber o valor necessário de torque para iniciar seu 
funcionamento, pois, no momento que utilizamos esta impedância, o gerador está totalmente 
parado. Seu valor pode ser obtido dividindo-se o valor da tensão da armadura antes da falta pela 
corrente no início da falta, para carga aplicada repentinamente e à frequência nominal. 
 
Onde E é o valor eficaz da tensão fase-neutro nos terminais do gerador síncrono, antes do curto-
circuito; 
I'' é o valor eficaz da corrente de curto-circuito do período subtransitório em regime permanente. 
Seu valor é dado por: 
 
 
REATÂNCIA TRANSITÓRIA X's 
É o valor de reatância da máquina correspondente à corrente que circula na armadura após o 
período subtransitório do curto, perdurando por um número maior de ciclos (maior tempo). Esta 
impedância também pode ser utilizada para sabermos o valor de tensão gerada quando o gerador 
já está em movimento, mas ainda não atingiu o sincronismo. Estes valores são importantes para 
proteção dos geradores em caso de um desligamento em cascata. Os geradores são equipados 
com sensores que monitoram esta impedância e acusam o seu aumento. Quando isto ocorre, é 
porque o gerador está tentando produzir uma potência acima de sua capacidade e o mesmo deve 
ser desligado. 
Seu valor pode ser obtido dividindo-se a tensão na armadura correspondente ao início do 
período transitório pela respectiva corrente, nas mesmas condições de carga. 
 
 
REATÂNCIA SÍNCRONA Xs 
É o valor da reatância da máquina correspondente à corrente de regime permanente do curto-
circuito, ou seja, após o término do período transitório do curto. Seu valor pode ser obtido 
dividindo-se a tensão nos terminais da armadura ao final do período transitório pela respectiva 
corrente. 
 
O desempenho do gerador está intimamente ligado à sua reatância e à maneira como foi 
parametrizada a sua proteção. Geradores com maiores potências de geração possuem mais 
parâmetros de proteção e resistores de aterramento contra descargas atmosféricas devido ao seu 
elevado valor econômico. 
O gerador síncrono é o único componente do sistema elétrico que apresenta três reatâncias 
distintas, cujos valores obedecem à inequação: 
 
A representação em forma de circuito das impedâncias síncrona, transitória e subtransitória é 
feita na Figura 8. 
 
Figura 8. Representação dos geradores de energia com as impedâncias síncrona (Xs), transitória (X's) e 
subtransitória (X''s). Fonte: MOHAN, 2016, p. 141. (Adaptado). 
Representação matricial das redes elétricas de potência 
 
Segundo o professor Alcir José Monticelli, que muito contribuiu, principalmente para os estudos 
sobre os sistemas de potência no Brasil, no livro Fluxo de carga em redes de energia elétrica, 
(1983, p. 1), 
os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados em dois 
grupos: elementos entre um nó qualquer e a terra (gerador, carga, reator, capacitor) 
e elementos entre dois nós da rede (linha de transmissão, transformador, defasador). 
Os geradores e as cargas são considerados como parte externa ao sistema e são 
modelados através de injeções de potência nos nós da rede. A parte interna ao 
sistema é formada pelos demais elementos (linha, transformadores, reatores, etc.). 
As equações básicas do fluxo de potência são obtidas, impondo-se à conservação 
das potências ativa e reativa em cada nó da rede, ou seja, a potência líquida injetada 
deve ser igual à soma das potências que fluem pelos componentes internos que tem 
este nó como um de seus terminais, uma utilização da Primeira Lei de Kirchhoff. A 
Segunda Lei de Kirchhoff é utilizada para expressar os fluxos de potência nos 
componentes internos como funções das tensões (estados) de seus nós terminais. 
FORMULAÇÃO BÁSICA 
Ainda de acordo com o professor Alcir Monticelli, no mesmo livro (1983, p. 2), constatamos 
que, na formulação mais simples do problema do fluxo de carga, isto é, na formulação básica, 
quatro variáveis são associadas às barras de rede, sendo que duas delas entram no problema 
como dados e duas como incógnitas: 
• Vk – valor da tensão nodal (barra k); 
• θk – ângulo da tensão nodal; 
• Pk – geração líquida (geração menos carga) de potência ativa; 
• Qk – injeção líquida de potência reativa. 
Dependendo de quais variáveis nodais entram como dados e quais são consideradas como 
incógnitas, definem-se três tipos de barras: 
• PQ – dados Pk e Qk calculados Vk e θ k (barras de carga); 
• PV – dados Pk e Vk calculados Qk e θ k (barras de geração); 
• REFERÊNCIA – dados Vk e θ k calculados Pk e Qk (barras de geração – geralmente 
uma unidade geradora de grande capacidade). 
Também considerando o que nos diz o professor Monticelli na obra já mencionada (1983, p. 2), 
as barras dos tipos PQ e PV são utilizadas para representar, respectivamente, barras 
de carga e barras de geração (incluindo-se os condensadores síncronos). A barra Vθ, 
ou barra de referência, tem uma dupla função: como o próprio nome indica, fornece 
a referência angular do sistema (a referência de magnitude de tensão é o próprio nó 
terra); além disso, é utilizada para fechar o balanço de potência do sistema, levando 
em conta as perdas de transmissão não conhecidas antes de se ter a solução final do 
problema. Por isto, a necessidade de se dispor de uma barra na qual não é 
especificada a potência ativa. 
O autor também afirma que o conjunto de equações do problema do fluxo de carga constitui-se 
por duas equações para cada barra, cada uma representando o fato de as potências ativas e 
reativas injetadas em uma barra serem iguais à soma dos fluxos correspondentes, que deixam a 
barra através de linhas de transmissão, transformadores etc. Isso pode ser expresso 
matematicamente por: 
 
em que: 
• k = 1, …, NB (sendo NB o número de barras da rede); 
• Ωk – conjunto das barras vizinhas da barra k; 
• Vk, Vm – magnitudes das tensões das barras terminais do ramo k – m; 
• θk, θm – ângulos das tensões das barras terminais do ramo k – m; 
• Pkm – fluxo de potência ativa no ramo k – m; 
• Qkm – fluxo de potência reativa no ramo k – m; 
• Qksh - componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt da 
barra k (Qksh = bkshVk2, sendo bksh a susceptância shunt ligada à barra k). 
Para finalizar, Alcir Monticelli, no livro de 1983 (p. 1), também afirma que os 
ângulos θk, θm aparecem sempre na forma θk – θm, significando que uma mesma distribuição de 
fluxos na rede pode ser obtida se for somada uma constante arbitrária a todos os ângulos nodais, 
ou seja, o problema do fluxo de carga é indeterminado nas variáveis θ, o que torna necessária a 
adoção de uma referência angular (como por exemplo uma barra tipo Vθ). As Equações (56) 
foram montadas considerando-se a seguinte convenção de sinais: as injeções líquidas de 
potência são positivas quando entram na barra (geração) e negativas quando saem da barra 
(carga); os fluxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos quando entram; 
para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção que para as injeções. 
Essas convenções de sentidos para as potências ativas e reativas são as mesmas utilizadas para 
correntes e estão indicadas na Figura 9. 
 
Figura 9. Convenção de sinais para fluxos e injeções de corrente, potência ativa e reativa. Fonte: MONTICELLI; 
GARCIA, 2011, p. 208. (Adaptado). 
O conjunto de inequações que fazem parte do problema do fluxo de carga é formado, entre 
outras, pelas restrições nas magnitudes das tensões nodais das barras PQ e pelos limites nas 
injeções de potência reativa das barras PV: 
 
É possível incluir também restrições quanto aos limites de valores dos taps dostransformadores 
em fase e defasadores, assim como também limites na capacidade de geração de barras 
responsáveis pelo controle de intercâmbio ou limites das tensões das barras PV. 
 
MODELAGEM DE LINHAS DE 
TRANSMISSÃO 
Agora vamos representar as linhas de transmissão, os transformadores, os geradores e a carga no 
fluxo de potência. Assim, poderemos efetuar a análise de toda a rede, desde a geração até o 
consumo da energia elétrica, para podermos verificar se a rede está funcionando em sua 
condição ótima ou submetida a alguma situação de emergência ou de falta. 
// Representação de linhas de transmissão 
Para linhas curtas (até 80 km), a capacitância da linha, por ser pequena, é desprezada, sendo a 
linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência e a indutância. 
O modelo equivalente π de uma linha de transmissão maior que 80 km é definido por três 
parâmetros: a resistência série rkm, a reatância série xkm e a susceptância shunt bshkm. 
A impedância do elemento série é: 
zkm = rkm + jxkm (58) 
enquanto a admitância série é: 
 
ou seja, a condutância série gkm e a susceptância série bkm são dadas por: 
 
Quando o modelo π representa uma linha de transmissão, temos rkm e xkm positivos, o que 
implica em gkm positivo e bkm negativo (tipo indutivo). O elemento bshkm é positivo, pois o shunt é 
do tipo capacitivo. 
A corrente Ikm é formada por uma componente série e uma componente shunt, e pode ser 
calculadada a partir das tensões terminais Ek e Em dos parâmetros do modelo equivalente π. 
Ikm = ykm (Ek – Em ) +j bshkm Ek (61) 
em que 
Ek = Vk e jθk ; Em = Vm e jθm (62) 
Analogamente, a corrente Imk é dada por: 
Imk = ykm (Em – Ek ) + j bshkm Em (63) 
// Representação do gerador 
Estuda-se a modelagem dos geradores (além dos motores e compensadores) síncronos do ponto 
de vista do cálculo de fluxo de carga em redes de energia elétrica. Há interesse em saber quais 
limites podem atuar e como eles influenciam a capacidade de geração de potência ativa e reativa 
dos geradores em diversas situações de operação. 
Em problemas de cálculo de potência e fluxo de potência ótimo, é comum serem introduzidas 
restrições do tipo: 
 
Se os limites Pmink, Pmaxk, Qmink, Qmaxk utilizados nestas restrições forem considerados fixos e 
independentes entre si, estas restrições equivalem a se especificar uma região de operação viável 
para o gerador k. 
Em muitas situações práticas, este tipo de aproximação pode levar a erros inaceitáveis. Em 
problemas de cálculo de fluxo de carga, normalmente são especificadas as tensões desejadas 
para operação do gerador e calculadas as injeções de potência reativa. Esses valores calculados 
(variáveis dependentes) devem obedecer a limites máximos e mínimos de geração de potência 
reativa do tipo dado na Figura 10, ou seja, os limites reativos considerados dependem do nível 
atual de geração de potência ativa. Em problemas de cálculo de fluxo de potência ótimo, por sua 
vez, é comum permitirem-se variações tanto dos níveis de geração ativa como de geração 
reativa, dentro dos limites, visando a operação ótima do sistema de acordo com algum critério; 
neste caso, a representação dos limites dados pela curva de capacidade de geração, dada na 
Figura 10, ou de uma aproximação adequada, torna-se fundamental. 
 
Figura 10. Curva de capacidade de geração. Fonte: MONTICELLI; GARCIA, 2011, p. 179. (Adaptado). 
Matrizes de rede 
 
São apresentadas, agora, as matrizes de admitâncias e impedâncias nodais de uma rede elétrica. 
Estas matrizes permitem o cálculo dos sistemas de potência, em particular para as redes em 
malha, para o caso de fluxo de potência e para o cálculo de curto-circuito. 
Inicialmente, a matriz de admitâncias nodais é definida para, em seguida, ser definida a matriz 
de impedâncias nodais. 
MATRIZ DE ADMITÂNCIAS NODAIS 
Dada uma rede genérica com n nós, conforme a Figura 11, os elementos da matriz de 
admitâncias nodais podem ser definidos como se segue. 
 
Figura 11. Definição da matriz Y. Fonte: KAGAN; OLIBEIRA; ROBBA, 2005, p. 308. (Adaptado). 
• Admitância de entrada na barra i: definida pela relação entre a corrente injetada na 
barra i e a tensão aplicada nesta, quando as demais barras da rede são curto-
circuitadas para a barra de referência: 
 
• Admitância de transferência entre as barras j e i: é definida pela relação entre a 
corrente injetada na barra j e a tensão aplicada na barra i, quando as barras da rede, a 
menos da i-ésima, são curto-circuitadas para a barra de referência: 
 
A aplicação da definição acima para a barra i permite a obtenção de uma coluna da matriz de 
admitâncias nodais. Ao aplicar tal definição para as demais barras da rede, obviamente, obtém-
se todas as colunas da matriz de admitâncias nodais, a denominada matriz Y. Para facilitar o 
cálculo dos elementos da matriz Y a partir da definição, é normal aplicar um gerador de tensão 
de 1 pu, dado que as redes são lineares – obviamente, o denominador das expressões (65) e (66) 
será unitário, e os elementos da Y serão numericamente iguais às respectivas correntes injetadas. 
MONTAGEM DA MATRIZ DE ADMITÂNCIAS NODAIS 
A matriz de admitâncias nodais pode ser facilmente montada quando não existem mútuas entre 
os elementos da rede. Podemos observar a Figura 12, na qual são representadas as ligações de 
uma barra i genérica com as demais barras da rede (inclusive a barra de referência). Aplica-se a 
definição para o cálculo da i-ésima coluna da Y, ou seja, aplicação de gerador de tensão de 1 pu 
na barra i e demais barras curto-circuitadas para a referência. 
 
Figura 12. Parte de rede genérica. Fonte: KAGAN; OLIVEIRA; ROBBA, 2005, p. 311. (Adaptado). 
Assim, a admitância de transferência entre uma barra qualquer e a barra i é determinada como se 
segue: 
 
e a admitância de entrada é dada por: 
 
As Equações (67) e (68) mostram a regra da montagem da Y sem mútuas: 
• A admitância de entrada da barra é determinada pela somatória das admitâncias que 
chegam neste nó; 
• A admitância de transferência entre dois nós é dada pela admitância existente entre 
eles, com o sinal negativo. 
Para o caso com mútuas, pode-se montar a matriz de admitâncias nodais de forma análoga, 
desde que os elementos com mútuas sejam tratados como blocos representados pelas suas 
correspondentes matrizes de impedâncias e admitâncias dos elementos de rede. 
Para ilustrar este procedimento, considere o trecho de rede trifásica da Figura 13. 
 
Figura 13. Trecho de rede trifásica. Fonte: KAGAN; OLIVEIRA; ROBBA, 2005, p. 312. (Adaptado). 
A relação entre as quedas de tensão por fase e as correntes de fase é dada pela matriz de 
impedâncias dos elementos, ΔV = z I, ou 
 
e a relação entre as correntes de fase e as quedas de tensão se dá pela matriz de admitâncias dos 
elementos, inversa da matriz de impedância dos elementos, I = y . V, ou: 
 
Para a montagem da matriz de admitâncias nodais dos seis nós, A, B, C, A’, B’ e C’, deve-se 
notar as seguintes relações: 
 
 
 
 
Assim: 
 
O que resulta na seguinte matriz Y: 
 
Sendo as barras 1 e 2 as terminais do trecho trifásico, podemos escrever que: 
 
onde: 
 
Ou seja, a montagem da matriz Y entre os dois nós se dá exatamente como a montagem por 
inspeção para a rede sem mútuas, bastando considerar os blocos de trechos com mútuas entre si, 
representados pelas correspondentes matrizes dos elementos como se fossem a admitância do 
trecho. 
 
ASSISTA 
Deixo aqui recomendando um vídeo no qual é possível ver como utilizar o software MatLAB para resolver 
um sistema de potência através do método de Newton-Raphson. O vídeo apresenta uma linha com 3 barras 
resolvidos via software. 
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Estudamos aqui a representação das linhas de transmissão para os três tipos de linhas: curtas, 
médias e longas, com parâmetros concentrados e distribuídos.O modelo mais comum é o 
modelo π, o qual é utilizado na maioria das análises de sistemas de potência, a não ser quando a 
linha é longa e temos que considerar as formas de onda da corrente e da tensão como ondas 
viajantes, o que exige a solução de derivadas parciais ou da transformada de Laplace. Também 
analisamos o efeito Ferranti e o fenômeno de incidência e reflexão para cargas capacitivas e 
indutivas. 
Depois, estudamos a representação dos geradores, transformadores, linhas de transmissão e da 
carga na análise dos sistemas de potência, com ênfase no estudo da impedância síncrona, 
transitória e subtransitória dos geradores, e quando devemos utilizar estas impedâncias na 
análise do sistema elétrico de potência. 
Por último, equacionamos a análise de rede e o fluxo de carga, introduzindo o equacionamento 
matemático e as definições de barras de tensão, de potência e fixa, assim como verificamos a 
defasagem que se forma entre a tensão gerada e a tensão na carga devido à linha de transmissão 
ter componentes indutivos e capacitivos. 
Com este estudo, chegamos à representação matricial das redes elétricas de potência através da 
matriz admitância de rede, com a sua obtenção analisando as indutâncias próprias e mútuas para 
chegarmos no equacionamento da corrente da rede. 
 
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CONTINUE 
 
 
 
 
 
 
 
 
CON 
 
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