19 Campo Magnético Estacionário

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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 19: Campo Magnético Estacionário
O Rotacional
Corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em
um outro campo vetorial.
Eletromagnetismo
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Campo Magnético Estacionário
Transformação linear 
𝜵 × A
𝛻 × 𝐻 = 𝐽
É empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo
e mecânica dos fluidos. No eletromagnetismo o rotacional do campo
magnético é igual a densidade de corrente.
Seja uma superfície infinitesimal cortada por um campo vetorial 𝑨,
tendo vetor normal a𝒏 à essa superfície .
O rotacional é um oprador que calcula
O rotacional é um operador que calcula o quanto os vetores de 𝑨 se
afastam ou se aproximam de a𝒏.
Considere o ponto P da Figura situado em uma área plana ΔS, delimitado por uma curva fechada C.
O rotacional (rot A) nos sistemas de coordenadas
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝐴 = 𝛻 × 𝐴 =
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
⟹
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𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧
𝑎𝑥 +
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥
𝑎𝑦 +
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
𝑎𝑧Cartesiano:
Cilíndrico: 𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
−
𝜕𝐴∅
𝜕𝑧
𝑎𝑟 +
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅ +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
𝑎𝑧
Esférico: 𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝐴∅𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
−
𝜕𝐴𝜃
𝜕∅
𝑎𝑟 +
1
𝑟
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
−
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
𝑎𝜃 +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴𝜃)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝜃
𝑎∅
Propriedades do operador rotacional (rot A)
(1) A divergência de um rotacional é nula
(2) O rotacional de um gradiente é nulo
𝛻. 𝛻 × 𝐴 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐴.
𝛻 × 𝛻𝑓 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑓.
Por exemplo, sob condições estáticas 𝐸 = −𝛻𝑉, de modo que, usando o rotacional : 𝛻 × 𝐸 = 0
Eletromagnetismo
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Eletromagnetismo
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Como determinar o rotacional
EXEMPLO 5 – Dado o campo vetorial 𝑨 = 𝟓𝒓𝒔𝒆𝒏∅𝒂𝒛 em coordenadas cilíndrica, calcule o rotacional de 𝑨 em (2,𝜋,0).
1º verificar se existe a componente do versor na equação do rotacional; se não existir, será igual a zero.
Como o campo A dado tem apenas componente z, então somente duas parcelas da expressão do rotacional em coordenadas
cilíndricas serão diferentes de zero.
Solução: 𝑨𝒛= 𝟓𝒓𝒔𝒆𝒏∅ C. Cilíndricas 𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
−
𝜕𝐴∅
𝜕𝑧
𝑎𝑟 +
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅ +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
𝑎𝑧
∇ × 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
−
𝜕𝐴∅
𝜕𝑧
𝑎𝑟 +
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅ +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
𝑎𝑧
𝟎 𝟎 𝟎
∇ × 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
𝑎𝑟 + −
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅
𝟎
=
1
𝑟
𝜕5𝑟𝑠𝑒𝑛∅
𝜕∅
𝑎𝑟 + −
𝜕5𝑟𝑠𝑒𝑛∅
𝜕𝑟
𝑎∅ =
5𝑟
𝑟
𝑐𝑜𝑠∅𝑎𝑟 − 5𝑠𝑒𝑛∅𝑎∅
∇ × 𝐴 = −5𝑎𝑟∇ × 𝐴 =
5. (2)
2
𝑐𝑜𝑠𝜋𝑎𝑟 − 5𝑠𝑒𝑛0
2º verificar se existe a derivada do vetor em relação a componente da coordenada; se não existir, será igual a zero. Neste caso existe, 
sendo função de 𝒓 e de ∅.
=
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
𝑎𝑟 + −
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅
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Como determinar o rotacional
EXEMPLO 6 (Proposto) – Dado o campo vetorial 𝑨 = 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽𝒂𝜽 em coordenadas esféricas, calcule o rotacional de
𝑨 em (2,𝜋/2 ,0).
Rotacional em coordenadas esféricas:
𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝐴∅𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
−
𝜕𝐴𝜃
𝜕∅
𝑎𝑟 +
1
𝑟
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
−
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
𝑎𝜃 +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴𝜃)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝜃
𝑎∅
∇ × 𝐴 = 5𝑎∅Resposta:
Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes e a lei de Ampére: 
Onde 𝒅𝒍, é tomado somente
no perímetro de S.
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Teo. Stokes - A soma das integrais de linha fechadas em
torno do perímetro de cada ∆𝑆 é a mesma que a
integral de linha fechada em torno do perímetro de 𝑆
por causa do cancelamento em cada caminho interno.
ර𝐻. 𝑑𝑙 = ර
𝑆
∇ × 𝐻 . 𝑑𝑆
ර
𝑙
𝐻. 𝑑𝑙 = ර
𝑆
∇ × 𝐻 . 𝑑𝑆 = න
𝑆
𝐽. 𝑑𝑆 (𝐴)
A relação entre J e H
𝛻 × 𝐻 = 𝐽
Se o vetor H é conhecido em toda uma região, então
𝜵 ×𝑯 fornece a densidade de corrente J para essa
região.
Esta é uma das equações de Maxwell para campos
estáticos.
Dentro do condutor:
𝑟 < 𝑎
H = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎∅
𝛻 × 𝐻 = 𝐽
𝐴∅ = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎
2
Solução: Trata-se de coordenada cilíndrica (condutor longo e retilíneo tem simetria cilíndrica).
(“∅” não varia)
EXEMPLO 7 – Um condutor longo e retilíneo, com seção reta de 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑎, possui um campo magnético H = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎∅
dentro do condutor (𝑟 < 𝑎) e H = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎 𝑎∅ para 𝑟 > 𝑎 (fora do condutor). Determine 𝐉 em ambas as regiões.
O resultado corresponde a uma corrente de módulo 𝐼 na direção +𝑧 , a qual está uniformemente distribuída sobre
a área da seção 𝜋𝑎2
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𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
−
𝜕𝐴∅
𝜕𝑧
𝑎𝑟 +
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅ +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
𝑎𝑧
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎
Fora do condutor:
𝐽 = 0
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H = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎 𝑎∅ para 𝑟 > 𝑎 (fora do condutor) 
𝑟𝑜𝑡 𝐴 =
1
𝑟
𝜕𝐴𝑧
𝜕∅
−
𝜕𝐴∅
𝜕𝑧
𝑎𝑟 +
𝜕𝐴𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑟
𝑎∅ +
1
𝑟
𝜕(𝑟𝐴∅)
𝜕𝑟
−
𝜕𝐴𝑟
𝜕∅
𝑎𝑧
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
A área de circulação da corrente é limitada pelo raio do condutor, logo: 𝑟 = 𝑎
𝐻 = Τ𝐼𝑟 2𝜋𝑎 𝑎∅ = Τ𝐼𝑎 2𝜋𝑎 𝑎∅ = Τ𝐼 2𝜋 𝑎∅ ⟹ 𝑯∅ = Τ𝑰 𝟐𝝅
𝟎 𝟎
𝐽 = ∇ × 𝐻
Não há circulação da corrente elétrica. Logo: 𝐽 = 0
Prova:
O Fluxo do Campo Magnético 𝚽𝒎 e Densidade de Fluxo Magnético B
𝚽𝐦 é determinado pela quantidade de linhas que atravessam
perpendicularmente essa superfície S (quantidade de linhas).
Define-se a densidade de fluxo magnético (ou indução magnética) B:
Unidade de B: Wb/m2 ou Tesla (T);
Numa superfície de área S próxima ao condutor, sendo atravessada por
um fluxo magnético 𝚽𝐦 criado pela corrente i :
𝑩 =
𝚽𝒎
𝑺
𝑊𝑏/𝑚2
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1 T = 1 Wb/m2
𝚽𝒎 = 𝑩. 𝑺 (𝑾𝒃) Unidade de 𝚽𝒎: Wb (Weber)
Fluxo que atravessa uma superfície, sendo 𝑩 uniforme:
Φ𝑚 = 𝐵𝑆𝑐𝑜𝑠 ∝ (𝑊𝑏)
Onde:
Φ𝑚 𝑊𝑏 − 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑆
∝ 𝑟𝑎𝑑 − â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 à á𝑟𝑒𝑎 𝑆 𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵
Se B não é uniforme sobre a área considerada:
O sinal de 𝜱𝒎 pode ser positivo ou negativo, dependendo da escolha da normal (direção) à superfície em 𝒅𝑺.
𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝑆 (𝑊𝑏)𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝑩.𝒅𝑺
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𝒅𝑺
𝐵 𝑊𝑏/𝑚2 −𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐵
Φ𝑚 = 𝐵. 𝑆 ⇒
As linhas de fluxo magnético Φ𝑚formam percursos fechados, sem ponto inicial ou final, contrastando com o fluxo
elétrico Ψ (do campo elétrico), que se origina nas cargas positivas e termina nas negativas.
Fluxo magnético sobre uma superfície fechada
As linhas de fluxo criadas por campos elétricos
estáticos ou iniciam ou terminam em cargas
elétricas, indicando a existência de uma fonte.
As linhas de fluxo provenientes de campos
magnéticos são fechadas sobre si mesmas, isto
é, são contínuas.
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Todo fluxo magnético ∅𝑚 𝑞𝑢𝑒 entra numa superfície fechada deve deixar a superfície.
Como não há divergência:
Então, o fluxo líquido que atravessa uma superfície fechada é nulo:
𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝑩.𝒅𝑺 = 0
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Fluxo magnético sobre uma superfície fechada (Cont.)
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𝒅𝑺
𝜱𝒎
𝑺
Relação entreH e B
O campo de forças associados a H é a densidade de fluxo magnético B, que é dada por: 𝑩 = 𝝁𝑯 (𝑻)
𝝁 = 𝝁𝟎𝝁𝒓 É a permeabilidade do meio
É a permeabilidade do vácuo e vale 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎𝟕 Henry por metro (H/m). 𝝁𝟎
É a permeabilidade relativa do meio.𝝁𝒓
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𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇0
EXEMPLO 8 – Em coordenadas cilíndrica, B = (2,0/r)aф (T). Determine o fluxo
magnético Φ que atravessa a superfície definida por 0,5 ≤ r ≤ 2,5 m e 0 ≤ z ≤ 2,0 m,
conforme mostrado na figura.
Φ𝑚 = න
0
2
න
0,5
2,52,0
𝑟
𝑎∅. 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑎∅ 𝜱𝒎 = 4,0 𝑙𝑛
2,5
0,5
= 𝟔, 𝟒𝟒𝑾𝒃
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𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝑩. 𝒅𝑺 (𝑊𝑏)
Solução:
A área diferencial é função de 𝒓 e de 𝒛 na direção 𝑎∅. 
Logo, 𝑑𝑆 = 𝑑𝑟. 𝑑𝑧 𝑎∅
EXEMPLO 9 – Considere uma corrente filamentar de 2,5 A ao longo do eixo z, no
sentido +𝑎𝑧. Calcule o fluxo, devido esta corrente, que atravessa a porção do plano
𝜙 =
𝜋
4
definida por 0,01 < 𝑟 < 0,05 𝑚 e 0 < 𝑧 < 2 𝑚 , conforme figura ao lado.
Solução:
𝐵 = 𝜇0𝐻 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅
𝑑𝑆 = 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑎∅
Φ = න
0
2
න
0,01
0,05 𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅. 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑎∅
Φ =
2𝜇0𝐼
2𝜋
𝑙𝑛
0,05
0,01
Φ = 1,61 × 10−6 𝑊𝑏
Da lei de Ampère: 
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅
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𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝑩. 𝒅𝑺 (𝑊𝑏)
EXEMPLO 10 (para estudo em casa) – O campo radial H, dado abaixo, existe no espaço livre (vácuo). Calcule o
fluxo magnético Φ que atravessa a superfície definida por –π/4 ≤ ф ≤ π/4 e 0 ≤ z ≤ 1 m.
Solução:
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𝛷𝑚 =ඵ
𝑺
𝑩. 𝒅𝑺 (𝑊𝑏)
239
239
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 𝐻/𝑚
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑∅𝑑𝑧𝑎𝑟
Assuntos da próxima aula:
Continuação de Campo Magnético Estacionário
Força Magnética