13 (2ª parte) Energia e Potencial Elétrico

Prévia do material em texto

CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 13 (2ª parte): Energia e Potencial Elétrico
Energia Potencial de uma distribuição discreta de cargas
Até agora foi tratado o movimento de uma carga imersa num campo elétrico uniforme e preexistente.
Analisaremos o trabalho necessário para montar uma configuração de cargas.
Energia em campos elétricos estáticos
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
Inicialmente a região está desprovida de carga, não havendo
trabalho para trazer uma carga do infinito (uma distância
muito grande).
Energia Potencial para uma carga
𝑊 = 0
Energia Potencial para duas cargas
Já admitindo a existência de uma carga inicial
puntiforme e estática, a chamaremos de 𝒒𝟏.
O trabalho necessário para aproximar uma segunda
carga 𝒒𝟐, vinda do infinito, será calculado em termos
do campo elétrico produzido pela primeira.
Sendo a força coulombiana conservativa, o trabalho realizado para mover 𝒒𝟐 depende apenas de seu ponto
inicial e final, independente da trajetória. Portanto:
𝑊 = න
𝑎=𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑏=𝑓𝑖𝑚
𝑭. 𝑑𝒍
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
𝑟12 é a distância final entre as cargas 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐
𝑊 =
𝑞1𝑞2
4𝜋𝜖0𝑟12
𝑊 = න
𝑟𝑎=∞
𝑟𝑏=𝑟12 1
4𝜋𝜖0
.
𝑞1𝑞2
𝑟2
=
𝑞1𝑞2
4𝜋𝜖0
.
1
𝑟12
−
1
∞
Para trazermos uma terceira carga 𝒒𝟑 do infinito,
calculamos o trabalho, a partir da energia potencial, que
encontraremos na nova configuração:
Energia Potencial para três cargas
Onde 𝑅13 é a distância da carga 𝒒𝟏 até a 𝒒𝟑, e 𝑹𝟐𝟑 a da 
carga 𝒒𝟐 à carga 𝒒𝟑.
=
1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞3
𝑟13
+
1
4𝜋𝜖0
𝑞2𝑞3
𝑟23
𝑊 = − න
∞
𝑟13 1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞3
𝑟2
𝑑𝑟 + න
∞
𝑟23 1
4𝜋𝜖0
𝑞2𝑞3
𝑟2
𝑑𝑟
𝑊 = −
1
4𝜋𝜖0
−
𝑞1𝑞3
𝑟13
−
𝑞2𝑞3
𝑟23
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
Das três situações pode-se perceber que o trabalho
é calculado aos pares de interações.
0 +𝑊 +𝑊 = 𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2𝑊 = 𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑊 =
1
2
1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞3
𝑟13
+
1
4𝜋𝜖0
𝑞2𝑞3
𝑟23
𝑊 =
1
2
𝑞3
1
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑟13
+
1
4𝜋𝜖0
𝑞2
𝑟23
Energia Potencial para 𝒏 cargas
Perceba que esse mesmo trabalho será realizado, se desejarmos desmantelar a configuração, retirando as cargas
uma a uma. Além disso, enquanto não mexermos nesse sistema, ele será também o valor da energia potencial
elétrica do próprio sistema.
𝑊 =
1
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖 ෍
𝑗=1
𝑗≠𝑖
𝑛
1
4𝜋𝜖0
𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗
Generalizando para 𝒏 cargas a quantidade de trabalho total para reunir todas elas é
O termo entre parêntese na equação é o valor de potencial absoluto.
Logo, o trabalho total pode ser expresso por
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
potencial absoluto
Para uma região com uma densidade de cargas 𝝆 (C/m3), a somatória se torna uma integral: 𝑾𝑬 =
𝟏
𝟐
න
𝒗𝒐𝒍
𝝆𝒗. 𝑽. 𝒅𝒗
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
Energia em campos elétricos estáticos (Cont.)
Outras formas de expressão para a energia armazenada no campo elétrico, são:
Em se tratando de densidade de energia (J/m3), as expressões acima tornam-se em valor de derivada de 𝑾𝑬:
𝑑𝑊𝐸 =
1
2
𝐷2
𝜖
𝑑𝑊𝐸 =
1
2
𝜖𝐸2𝑑𝑊𝐸 =
1
2
𝐷. 𝐸
Exemplo 9 – Determine a energia armazenada (a) em um sistema de quatro cargas pontuais idênticas, Q = 4nC,
localizadas nos vértices de um quadrado de lado de 1m. (b) Qual é a energia armazenada, quando se
consideram apenas duas cargas colocadas em vértices opostos do quadrado?
Tome a carga localizada em (1) como referência.
Solução:
(a)
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
𝑊𝐸 =
1
2
𝑄1𝑉1 + 𝑄2𝑉2 + 𝑄3𝑉3 + 𝑄4𝑉4
As quatro cargas são iguais e o potencial absoluto precisa ser 
calculado em (1):
𝑊𝐸 =
1
2
𝑄1𝑉1 + 𝑄1𝑉1 + 𝑄1𝑉1 + 𝑄1𝑉1 =
4
2
𝑄1𝑉1 = 2𝑄1𝑉1
Solução (Cont.):
(b) Determinação com duas cargas em vértices opostos
𝑉 =
𝑄3
4𝜋𝜖0𝑅13
=
4 × 10−9
4𝜋𝜖0 2
= 25,42 𝑉
𝑊𝐸 =
1
2
𝑄1𝑉1 + 𝑄3𝑉3
𝑊𝐸 = 101,68 𝑛𝐽
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
𝑊𝐸 =
1
2
2𝑄𝑉 = 𝑄𝑉
𝑉1,3 = 𝑉3,1 = 𝑉 𝑄1 = 𝑄3 = 𝑄e
𝑊𝐸 = 410
−9 × 25,42
Solução:
Dados:
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Exemplo 10 – Dois semiplanos condutores, no vácuo, localizados em ∅ = 0 e ∅ =
𝜋
6
, estão isolados entre si o longo
do eixo z. Dado que a função potencial para 0 ≤ ∅ ≤
𝜋
6
é 𝑉 = −60
∅
𝜋
𝑉, calcule energia armazenada entre os
dois semiplanos para 0,1 ≤ 𝑟 ≤ 0,6 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1𝑚.
Eletromagnetismo
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Energia e Potencial Elétrico
Exemplos práticos de distribuição de potenciais
• Potencial de um condutor isolado
P - Os pontos dentro e na superfície de
um condutor qualquer estão ao mesmo
potencial?
R - Sim, pois dentro do condutor: E = 0
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não:
• O volume é equipotencial
• A superfície é uma equipotencial
AULA 12: Energia e Potencial Elétrico
Eletromagnetismo
Leitura obrigatória
AULA 13: Energia e Potencial Elétrico
Leitura obrigatória– Aplicação prática: linhas de fluxo e dipolo
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
ER-1: O campo para uma linha de carga de comprimento infinito no eixo z é 𝑬 = ( ൗ
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟)𝒂𝑟. Supondo que a densidade 
de carga 𝜌𝑙 seja 100 nC/m, encontre:
(a) O trabalho realizado para mover uma carga de 10 nC de r = 3 m (ponto a) para r = 1 m (ponto b). 
(b) A ddp Vba.
Resolução:
𝑊 = −𝑄න
𝑎
𝑏
𝐄. 𝑑𝐥
𝑉𝑏𝑎 = −
𝑊
𝑄
= −න
𝑎
𝑏
𝐄. 𝑑𝐥
𝑊 = −10 × 10−9න
3
1
(
100 × 10−9
2𝜋
10−9
36𝜋 𝑟
)𝒂𝑟 . 𝑑𝑟 𝒂𝑟
𝑊 = −18 × 10−6[0 − 𝑙𝑛3] ≅ 𝟐𝟎𝝁𝑱
𝑉𝑏𝑎 = −
𝑊
𝑄
= −න
3
1
(
100 × 10−9
2𝜋
10−9
36𝜋 𝑟
)𝒂𝑟 . 𝑑𝑟 𝒂𝑟 ≅ 𝟐𝒌𝑽
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-2: Dada a função potencial no espaço livre: V = 2.x + 4.y (V), obter a energia acumulada num volume com 1m3
centrado na origem. 
Resolução: (trata-se de calcular a densidade de energia, no caso J/m3).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-3: Uma distribuição linear de cargas 𝜌𝑙 = 400 Τ
𝑝𝐶
𝑚 está ao longo do eixo x e a superfície de potencial nulo passa
através do ponto (0, 5, 12)m em coordenadas cartesianas. Pede-se o potencial no ponto (2, 3, -4)m.
Solução: 𝑉𝐴 > 𝑉𝐵
𝑟𝐴 = 32 + 42 = 5𝑚
𝑟𝐵 = 52 + 122 = 13𝑚
𝑉𝐴𝐵 = −න
𝑟𝐵
𝑟𝐴 𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑑𝑟 =
−𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑟𝐴
𝑟𝐵
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-4: Uma carga total de (40/3)nC está uniformemente distribuída na forma
de um disco circular de raio de 2m. Calcule o potencial devido a esta
distribuição de cargas em um ponto sobre o eixo z, a 2m do centro do disco,
conforme fig. Compare este potencial com aquele que resulta se toda a carga
estiver concentrada no centro do disco.
Solução:
Carga no centro da origem: carga pontual
𝑽 = 𝟔𝟎 (𝑽)
𝑑𝑄
𝑧
𝑦
𝑥
𝑑𝑄 = 𝜌𝑟𝑟𝑑∅
∅ 𝑟
𝑅
(0, 0, 2)
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-5: Dado o potencial V = 50.x2 .y.z + 20.y2 (V) no vácuo, pede-se:
Solução:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-6: Cinco cargas pontuais iguais, Q = 20nC , estão localizadas em x = 2, 3, 4, 5 e 6m. Calcular o potencial na
origem. Analisar o resultado obtido.
Solução: Devemos calcular o potencial que cada carga
provoca na origem e após, somar os resultados
(teorema da superposição).
𝜖0 =
10−9
36𝜋
= 8,854. 10−9
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
ER-7: O campo elétrico entre dois cilindros condutores concêntricos com r = 0,01m e r = 0,05m, é dado por :
𝐸 =
105
𝑟
𝑎𝑟 desprezando espraiamentos.
Pede-se a energia acumulada em 0,5m de comprimento, supondo meio vácuo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Eletromagnetismo
Dados: em coordenadas cilíndricas 𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Solução: 
𝑊𝐸 =
1
2
න
𝑧=0
0,5
න
∅=0
2𝜋
න
𝑟=0,01
0,05
8,854 × 10−12
105
𝑟
2
. 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑊𝐸 = 0,224 (𝐽)
𝑊𝐸 =
1
2
(8,854 × 10−12). (1010).𝑙𝑛
0,05
0,01
(2𝜋).න
0
0,5
𝑑𝑧
EXERCÍCIO PROPOSTO 1 – Dado o campo E abaixo, em coordenadas esféricas, encontre o potencial no ponto (2m, π/2
rad, π/2 rad) em relação ao ponto (4 m,0,π rad).
Respostas: - 4 V
Descrição da solução:
Dada a simetria esférica do campo, as superfícies equipotenciais são cascas esféricas concêntricas. Tome a
equipotencial r=2m por A e a equipotencial r=4m por B.
Aplique :
Uma solução alternativa é aplicar a definição da relação entre E e V:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Eletromagnetismo
Resposta: 6,88 V
Descrição da solução:
Dado que a linha de cargas está ao longo do eixo x, a coordenada x do dois pontos pode ser ignorada. Calcule rA e rB.
Aplique em VAB (substituindo A por rA e B por rB):
EXERCÍCIO PROPOSTO 2 – Uma linha de cargas, com densidade 𝜌𝑙 = 400𝑝𝐶/𝑚
se estende ao longo do eixo x, e uma superfície de potencial igual a zero passa
através do ponto (0, 5, 12)m, em coordenadas cartesianas, conforme a figura.
Determine o potencial em (2, 3, -4)m.
EXERCÍCIO PROPOSTO 3 – Cinco cargas pontuais idênticas, Q=20nC, estão localizadas em X=2, 3, 4, 5, 6 m. Calcule o
potencial na origem.
Resposta: 261 V
(𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Eletromagnetismo
EXERCÍCIO PROPOSTO 4 – Uma carga total de (40)nC está uniformemente distribuída ao
redor de um anel circular de raio de 2m. Calcule o potencial em um ponto sobre o eixo z,
a 5m do centro do anel, conforme fig. Compare este potencial com aquele que resulta se
toda a carga estiver concentrada no centro do anel na forma de uma carga pontual.
Respostas: 6,88 V e 72V
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Eletromagnetismo
Assuntos da próxima aula:
Corrente Elétrica