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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do S ul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 2010 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do S ul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 2010 Sistemas Fluidomecânicos Sumário I Nesta apostila são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação industrial é fornecido adicionalmente. O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equação geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar as atividades de aprendizado. Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agosto de 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. Porto Alegre, março 2010 Prof. Jorge Villar Alé villar@ee.pucrs.br Laboratório de Sistemas Fluidomecânicos – LSFM Centro de Energia Eólica www.pucrs.br/ce-eolica Sistemas Fluidomecânicos Sumário II Sistemas Fluidomecânicos Sumário III SUMÁRIO Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Capítulo 8 – Cavitação REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS – TABELAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS SSIISSTTEEMMAASS FFLLUUIIDDOOMMEECCÂÂNNIICCOOSS SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo Sistemas Fluidomecânicos Sumário IV Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo Cap.1 IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo Item Conteúdo Pag. Introdução 3 1. Máquinas de Fluxo 4 1.1 Máquinas Motrizes 5 1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 5 1.3 Ventiladores e Compressores 6 1.4 Turbinas 7 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 9 1.5 Bombas Hidráulicas 9 1.6 Bombas Volumétricas 10 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 10 1.6.2 Bombas Rotativas 10 1.7 Turbobombas 11 1.7.1 Bombas Centrífugas 12 1.7.2 Bombas Axiais 13 Sistemas Fluidomecânicos Sumário V Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas Cap.2 TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass Item Conteúdo Pag. 2.1 Introdução 3 2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 4 2.2.1 Simplificações 4 2.3 Potência e Energia Específica 7 2.4 Equação de Euler 7 2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 8 2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 9 2.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 12 2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 13 2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 14 2.9 Grau de Reação 15 2.10 Influência da Curvatura das Pás 16 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 17 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 18 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 18 Resumo Gráfico dos Resultados. 19 Recomendações para Ângulo das Pás 19 2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 20 2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) 22 Resumo das curvas H-Q e P-Q 23 2.13 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 24 2.14 Importância do Número Finito de Pás 25 Escoamento com Número Finito de Pás 25 Desvio da Velocidade Relativa 26 Dependência do Número de Pás 26 2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 27 Fator de Correção do número finito de pás 27 2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 28 Análise na entrada do canal das pás 28 Análise na saída do canal das pás: 29 2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 31 2.18 Exemplos Resolvidos 33 Sistemas Fluidomecânicos Sumário VI Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Cap.3 CCuurrvvaass CCaarraacctteerrííssttiiccaass ee AAssssoocciiaaççããoo ddee BBoommbbaass SSéérriiee ee eemm PPaarraalleelloo Item Conteúdo Pag. 3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 3 3.2 Rendimentos 3 RendimentoMecânico 3 Rendimento Hidráulico Rendimento Volumétrico Rendimento Total ou Global Potência de acionamento 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 5 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 6 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 6 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 7 3.7 Ponto de Operação das Bombas 8 3.8 Outras Representações de Curvas Características 9 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 10 3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores 12 3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 13 3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 15 3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 16 3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 17 3.11 Associação de Bombas em Série 19 3.11.1 Curva característica de bombas em serie 20 3.11.2 Rendimento de duas bombas em série 21 3.12 Associação de Bombas em Paralelo 22 3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: 23 3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 24 3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 25 3.14 Exemplo - Conexão Paralelo 26 3.15 Exemplo - Conexão Série 27 3.16 Outros Exemplos 28 3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 29 3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 30 3.19 Problemas Propostos 34 Sistemas Fluidomecânicos Sumário VII Capítulo 4 – Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Cap.4 CCooeeffiicciieenntteess AAddiimmeennssiioonnaaiiss ee LLeeiiss ddee SSiimmiillaarriiddaaddee Item Conteúdo Pag. 4.1 Coeficientes Adimensionais 3 4.1.1 Número de Reynolds 4 4.1.2 Número de Mach 4 4.1.3 Rugosidade Relativa 5 4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica 5 4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 5 4.1.6 Coeficiente de Potência 5 4.2 Efeitos de Escala 8 4.2.1 Efeito do Número de Reynolds 8 4.2.2 Efeito do Número de Mach 8 4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 8 4.2.4 Efeito de Espessura 8 4.3 Leis de Similaridade 9 4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 9 4.4 Utilizando as Leis de Similaridade 10 4.5 Modificação do Tamanho da Bomba 12 4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: 13 4.7 Rendimento Global Variando a Rotação 14 4.8 Determinação da Rotação Especifica 14 4.9 Rotação Específica Característica - nq 15 4.10 Número Específico de Rotações por Minuto 17 4.10.1 Relação entre ns - nq 17 4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 18 4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 18 4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 18 4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 18 4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 19 4.11.5 Outras Relações 19 4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 20 4.12 Exemplos Resolvidos 20 4.13 Atividade de Aprendizado 27 4.14 Atividade Proposta No1 31 4.15 Atividade Proposta No2 32 Sistemas Fluidomecânicos Sumário VIII Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Cap.5 CCuurrvvaass OOppeerraacciioonnaaiiss DDee SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo Item Conteúdo Pag. 5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 3 5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 4 5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 4 5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 5 5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa 5 5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga 6 5.2 Controle de Desempenho das Bombas. 7 5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 8 5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 9 5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 10 5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 12 5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 14 5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 15 5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 17 5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 19 5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 19 5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 20 5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 21 5.5 Exemplo do Procedimento 22 5.6 Equações Complementares 27 Sistemas Fluidomecânicos Sumário IX Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Cap.6 SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo Item Conteúdo Pag. 6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 4 6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 6 6.3 Definição de Alturas Estáticas 7 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 8 6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 8 6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 9 6.5 Altura Manométrica 10 6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 12 6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 12 6.5.3 Altura Útil de Elevação 13 6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 13 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 15 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 16 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 17 6.8.1 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 18 6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema 19 6.9 Exemplos Resolvidos 20 6.10 Atividade de Aprendizado 25 6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 26 6.12 Exemplo de Resultados 27 Sistemas Fluidomecânicos Sumário X Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Cap. 7 PPeerrddaa ddee CCaarrggaa eemm SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo Item Conteúdo pag 7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 3 7.2 Perda de Carga Total 3 7.3 Perda de por Tubulações 4 7.4 Diagrama de Moody 5 7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 8 7.5.1 Método do comprimento equivalente 8 7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 9 7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 10 7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 11 7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 12 7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 13 7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 15 Capítulo 8 – Cavitação Cap. 8 CCoonncceeiittooss ddee CCaavviittaaççããoo Item Conteúdo Pag. Introdução 3 8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 5 8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 7 8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 8 8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 9 8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 10 8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 11 8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 11 8.4.2 Margem prática de segurança 12 8.5 Exemplos de Cavitação 13 Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-1IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-2 Introdução às Máquinas de Fluxo SUMÁRIO INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 3 1. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4 1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES......................................................................................................... 6 1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9 1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS........................................................................................................................... 9 1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 1.6.2 Bombas Rotativas...................................................................................................................... 10 1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 1.7.2 Bombas Axiais .......................................................................................................................... 13 Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-3 Introdução Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que esteja inserido. As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais especializada. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-4 1. Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1 apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo. Pistão Diafragma Alternativas Parafuso Palhetas Lóbulos Engrenagens Rotativas Volumétricas Centrífugas Axiais Mistas Bombas Centrífugas Axiais Mistas Ventiladores Hidráulicas Vapor Gás Eólicas Turbinas Turbomáquinas Máquinas de Fluxo Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxo As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. • Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. • Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. • Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido. • As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. • Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) • Rotor Impulso ou Impelidor • Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. • Corpo, voluta ou coletor em caracol • Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo Designação Fluido de trabalho Turbina hidráulica e bomba centrífuga Líquido Ventilador, turbocompressor Gás (neutro) Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Vapor (água, freon, etc) Turbina a gás,motor de reação Gás de combustão Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento Designação Fluido de trabalho Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Líquido Compressor (alternativo, rotativo) Gás (neutro) Compressor (alternativo, rotativo) Vapor (freon, amônia) Motor alternativo de pistão Gás de combustão Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-5 1.1 Máquinas Motrizes Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica. Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes Máquinas Motrizes Característica Exemplos Turbinas hidráulicas • Transformam a energia hidráulica em trabalho mecânico. • A energia potencial se obtém por um desnível natural ou por embalse. • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Turbinas Francis, Propeller, Kaplan, Dériaz • Rodas hidráulicas ou rodas de água. Turbinas a vapor • Transformam a energia recebida por um vapor em trabalho mecânico. • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Turbinas a vapor. • Turbinas a gás. • Máquinas a vapor de descolamento positivo. Turbinas eólicas • Transforma a energia cinética dos ventos (eólica) em trabalho mecânico. • Utilizadas para gerar energia elétrica. • Turbinas eólicas • Turbinas Darreius • Turbinas Savonius. 1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o transformam em energia de pressão. Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes Máquinas Operatrizes Característica Classificação • Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos vencendo a resistências de tubulações e acessórios. Turbobombas • Centrífugas • Helicocentrífugas • Axiais Bombas Hidráulicas • Bombas de deslocamento positivo • Altas pressões • Alternativos • Rotativos Ventiladores • Fluido incompressível com gases a baixas pressões. • Geralmente o fluido utilizado é ar. • Transportam o gás por tubulações vencendo as resistências de dutos e elementos da instalação. • Utilizados em sistemas de exaustão ou em sistemas diluidores. • Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam os turbocompressores. Turboventiladores • Centrífugos • Helicocentrífugos • Axiais • Trabalha com gases compressíveis a altas pressões e temperaturas • Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até milhares de atmosferas. Turbocompressores • Centrífugos • Helicocentrífugos • Axiais Compressores • Compressores de deslocamento positivo • Alternativos • Rotativos Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-6 Tabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento Máquinas de fluxo Máquinas de deslocamento • Alta rotação • Baixas e médias rotações • Potência específica elevada (potência/peso) • Potência específica média p/ baixa (potência/peso) • Não há dispositivos com movimento alternativo • Várias têm dispositivos com movimento alternativo • Médias e baixas pressões de trabalho • Altas e muito altas pressões de trabalho • Não operam eficientemente com fluidos de viscosidade elevada • Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada • Vazão contínua • Na maior parte dos casos vazão intermitente • Energia cinética surge no processo de transformação de energia • Energia cinética não tem papel significativo no processo de transformação de energia • Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais complexas que as máquinas de deslocamento. • Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais simples que as máquinas de fluxo. 1.3 Ventiladores e Compressores Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso. Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-7 1.4 Turbinas As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas (água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixo vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, centrífugos ou helicocentrífugos. . (a) ( b ) ( c ) Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b). 1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica por meio de um bocal. • São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. • A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. • A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. • O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. • As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos. Figura 1.4 Turbina hidráulica Pelton Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-8 1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) • Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. • A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. • A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio da turbina. • Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume do que as turbinas de impulsão. • As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. • As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos. Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan • Nasturbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m. Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis 1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: Turbinas radial (Centrífugas) Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz). Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-9 1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar comprimido. São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas. 1.5 Bombas Hidráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas. Rotor aberto semi-aberto fechado Aspiração simples Aspiração dupla Radiais (centrífugas) Pás fixas variáveis Rotor aberto fechado Axias e Mistas Turbobombas Pistão Diafragma Alternativas Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso Rotativas Bombas Volumétricas Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicas Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-10 1.6 Bombas Volumétricas 1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros. 1.6.2 Bombas Rotativas Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas não apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de 3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes, argamassas e outros. ( a ) Bomba de Engrenagem A Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes. Figura 1.8 Bomba de Engrenagem ( b ) Bombas de Lóbulos As bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque. Figura 1.9 Bombas de Lóbulos ( c ) Bombas de Palhetas As bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocam- se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos. Figura 1.10 Bombas de Palhetas Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-11 1.7 Turbobombas Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em suspensão. Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 1-12 1.7.1 Bombas Centrífugas As bombas centrifugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam capacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia cinética em energia de pressão. Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até de 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para trabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar com temperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para líquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos com temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa) emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol.O eixo da bomba centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, e SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo. Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS – FENG - 2010 1-13 Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechados têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha. Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas 1.7.2 Bombas Axiais Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30 mca. Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axial Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-1 TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-2 Teoria de Bombas Centrífugas SUMÁRIO 2.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................................................... 3 2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4 2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA......................................................................................................... 7 2.4 EQUAÇÃO DE EULER.............................................................................................................................. 7 2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9 3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA.............................................................. 14 2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS...................................................................................................... 19 2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q)........................................................... 22 RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25 Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26 2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27 2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES................................................... 28 Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29 2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 33 Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-3 2.1 Introdução As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmasna energia transferida do rotor ao fluido. Rotor axial Rotor helico centrífugo Rotor centrífugo (a) Tipos de rotores de turbomáquinas (b) Bomba centrífuga ( c ) Rotor de bomba centrífuga Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-4 2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada por: ∫ ×+∫ ×=+×∫+× ∀∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc rrrrrrrrrr r ρρ∂ ∂ Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo o elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade angular constante (ω). 2.2.1 Simplificações (1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0 (2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria) (3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z) (4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina. (5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2). (6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle. Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-5 Com as simplificações: 0 (2) 0 (1) 0 (3) ∫ ×+∫ ∀×=+×∫+× ∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc rrrrrrrrrr r ρρ∂ ∂ ∫ ×= sceixo AdVVrT rrrrr ρ No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será zeixo TT = r o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma: ∫ ×= sceixo AdVVrT z )()( rrrr ρ O fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme 1V r e sai na posição radial r2 com velocidade absoluta 2V r . O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y como jviuV ˆˆ += r , onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser dado como nVtVV nt ˆˆ += r onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na direção normal ao raio. Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2): ( ) ( ) ( )∫∫∫ += 2 22222 1 11111 A z A z sc z AdVVxrAdVVxrAdVVxr rrrrrrrrrrrr ρρρ Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-6 As integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes considerações: • O produto vetorial ( )zVxr rr é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor. ( ) ( ) tyxz rVkurvrVr =−=× ˆ rr • Da equação da conservação da massa sabemos que: mAdV A & rr ±=∫ ρ onde fluxo de massa (m& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o fluido esta entrando v.c. Desta forma. ( ) mVrAdVVxr t A z & rrrr 11 1 11211 −=∫ ρ ( ) mVrAdVVxr t A z & rrrr 22 2 22222 +=∫ ρ Com as considerações acima obtemos: ( ) ( ) mVrmVrAdVVxrAdVVxr tt A z A z && rrrrrrrr 2211 2 22222 1 11111 +−=+ ∫∫ ρρ Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente: ( )mVrVrT tteixo &1122 −= Também sabemos que o fluxo de massa é dada por Qm ρ=& , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: ( ) ( ) QVrVrmVrVrT tttteixo ρ11221122 −=−= & Unidades (torque): ( ) ( )kg s m m s kgm s m N m Joule = = =2 . Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-7 2.3 Potência e Energia Específica ( )mVrVrTW tteixo && 1122 −== ωω Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: rU ω= ou também 60 Dn U π= U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) ω Velocidade angular do rotor (rad/s) D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). n Rotação do rotor (rpm) mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que: ( )mVUVUW tt && 1122 −= Unidades (potência): ( )kg s m s m s kgm s m s N m s J s Watts = = = =2 2.4 Equação de Euler Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como: ∞∞ = tt gQHW ρ Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de coluna de fluido. Unidades (potência): ( ) ( )kg m m s m s m kgm s m s N m s J s Watts3 2 3 2 = = = = Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina conhecida como altura de carga teórica: ( )1122 1 tt t t VUVUggm W H −== ∞∞ & & Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação é dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-8 2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C. Desta forma o vetor da velocidade absoluta 1V r é dada como C r , a componente tangencial da velocidade absoluta ( tV ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial nCtCC mu ˆˆ += r . Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por: ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto operacional para a qual foi projetada. Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: • Número Infinito de álabes (pás, palhetas). • Espessura das pás desprezível. • Simetria central do escoamento. • Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. • Escoamento em regime permanente. • Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. • Efeitos de atrito desprezíveis. Da mesma forma o Torque no eixo é dado por: ( )mCrCrT uueixo &1122 −= e a Potência Teórica como: ( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido. ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo dorotor. Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como ( )2211 1 uut CUCUg H −=∞ Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-9 2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entrada e saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real. Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor No impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C, ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor com uma velocidade angular ω=U/r , onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local. UWC rrr += Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de velocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice “2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada componente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu). O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica do rotor (-U). É denominado ângulo da pá. Pás Corpo Pás guias Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-10 Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga Na Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana da velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à velocidade periférica (U). Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor. Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-11 A componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades D Diâmetro do rotor b Largura do canal C Velocidade absoluta do fluido Cu Componente de C na direção da velocidade tangencial U Cm Componente meridional de C (na direção radial) W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor Wu Componente de W na direção da velocidade tangencial U. U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe α ângulo entre (C,U) β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: A D b1 1 1= π A D b2 2 2= π Pela equação da conservação da massa temos que: &m D b C D b Cm m= =ρ π ρ π1 1 1 1 2 2 2 2 Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por: Q D b C D b Cm m= =π π1 1 1 2 2 2 Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor. U D n 1 1 60 = π U D n2 260 = π Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás. Tabela 2.1 Resumo de Equações Básicas Termo Equação Unidades Altura teórica ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ m Torque teórico ( )mCrCrT uueixo &1122 −= Joule Potência teórica ( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω Watt Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-12 3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como mostra a Fig. 2.7 (b) Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ângulo formado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0. Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada radial. Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento angular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler fica simplificada dependendo das condições de saída do rotor. Equação de Euler para entrada ideal (entrada radial ou sem pré-rotação) 22 1 ut CUg H =∞ (a ) Polígono com entrada radial. (b) Bomba com indutor Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-13 2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas Pode-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total ou altura de carga teórica: ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ Do polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como: 222 um CCC −= ou também como: ( ) 222 22 222 2 uu u um CUCUW CUW WWC −+−= −−= −= Igualando os termos: Figura 2.8 Polígono e velocidades na entrada W U UC C C C UC C U W u u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 − + − = − = + −( ) Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém: ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 WUCWUCH oot −+−−+= { } { } { }3 2 1 222 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 ++ −+ −+ −=∞ g WW g UU g CC H t (1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da velocidade absoluta. (2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimentocircular em torno do eixo. (3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal divergente (difusor)do rotor. Representa a variação de pressão estática dentro do rotor. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-14 2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor: 2 2 22 1 2 11 22 z g u g p hHz g u g p LA ++=−+++ ρρ HA Energia adicionada ao fluido pela bomba. hL Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina. Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saída do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0): 2 2 22 1 2 11 22 z g C g p Hz g C g p t ++=+++ ∞ ρρ explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba: ( ) − + −+ − =∞ g CC zz g pp H t 2 2 1 2 2 12 12 ρ Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de energia cinética: cpt HHH +=∞ Onde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética. Por comparação da Eq. de Euler − + − + − =∞ g WW g UU g CC H t 222 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 − = g CC H c 2 2 1 2 2 ( )1212 2 2 2 1 2 1 2 2 22 zz g pp g WW g UU H p −+ −= −+−= Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-15 2.9 Grau de Reação A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação. ∞ = t p H H G G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido. O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no processo de transferência de energia: Ângulo da pá na saída Grau de reação β2 < 90º G > ½ β2 = 90º G = ½ β2 > 90º G < ½ O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. Turbomáquinas de Reação: Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. Representa o caso geral das bombas. Turbomáquinas de Ação: Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-16 2.10 Influência da Curvatura das Pás A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do ângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações: • Escoamento com entrada radial: α1=900 • Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9. As relações obtidas com tais simplificações são: ctp u c ut cPt HHH g C H CU g H HHH −= = = += ∞ ∞ ∞ 2 1 2 2 22 Obs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc . Htoo: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que atravessa uma bomba ideal. Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão. Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética. Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico. No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relação ao sentido de rotação do rotor. Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-17 Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga. (1) Pás voltadas para trás: Caso em que β2 < 900 Situação limite Cu2=0. (2) Pás radiais na saída: Caso em que β2=900 Desta forma: Cu2=U2. (3) Pás voltadas para frente: Caso em que β2 > 900 Situação limite: Cu2=2U2 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidade absoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900. 0 0 2 0 1 2 2 22 =−= == == += ∞ ∞ ∞ ctp u c ut cPt HHH g C H CU g H HHH Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900) Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. • Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior. Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β2 < 900 para as quais α2=900 já que o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-18 Caso 2 - Pás Radiais na Saída Quando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso: g U HHH g U g C H g U CU g H HHH ctp u c ut cPt 2 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 =−= == == += ∞ ∞ ∞ Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900) Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 torna- se a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2). • Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de energia cinética. Caso 3 - Pás Voltadas para Frente Escolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2. 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 =−= == == += ∞ ∞ ∞ ctp u c ut cPt HHH g U g C H g U CU g H HHH Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900) Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-19 Resumo Gráfico dos Resultados. Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos: (1) Pás voltadas para Trás: ββββ2 < 900 [H p > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. (2) Pás Radiais na Saída: ββββ2= 900 [H p= Hc] : A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia cinética. (3) Pás voltadas para Frente. ββββ2 > 900 [H c > HP] : A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética. Figura 2.14 Energia teóricacedida por um rotor com diferentes tipos de pás. Recomendações para Ângulo das Pás • As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética. • Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga. • Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas: Bombas Centrífugas Faixa de Operação: 15 400 2 0≤ ≤β Normalmente: 20 250 2 0≤ ≤β Ventiladores Normalmente: 40 450 2 0≤ ≤β Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 15 500 1 0≤ ≤β Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas centrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30” Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-20 2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equação de Euler é dada de maneira simplificada: H g U Ct u∞ = 1 2 2 do polígono de velocidades: C U Wu u2 2 2= − W C u m 2 2 2 = tanβ Substituindo Wu2 em Cu2: C U C u m 2 2 2 2 = − tanβ Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotor Onde: C Q D bm2 2 2 = π Substituindo Cu2 e U2 em Htoo 2 222 2 tan 1 U bDg Q U g H t −=∞ βπ Q bDg U g U H t 222 2 2 2 tanβπ −=∞ A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2 também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2. QkkH t 21 −=∞ Onde: g U k 2 2 1 = 222 2 1 tanβπ bDg U k = Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente. Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-21 Rotor com pás radiais na saída β2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: 1kH t =∞ Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H no ponto gU /22 . Rotor com pás inclinadas para trás β2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: QkkH t 21 −=∞ Htoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando pela ordenada no ponto gU /22 . Rotor com pás inclinadas para frente β2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: QkkH t 21 +=∞ Htoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza na origem o ponto gU /22 . Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação. • Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de pressão. • Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. • O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios em bancadas de laboratório. • A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com bombas centrífugas com pás voltadas para frente. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-22 2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) Considerando a potência teórica: ∞= tt gQHW ρ& onde a altura teórica é dada por: Q bDg U g U H t 222 2 2 2 tanβπ −=∞ A qual como foi visto pode ser simplificada QkkH t 21 −=∞ Introduzida esta última expressão da altura na equação de potência se tem: Figura 2.17 Curva teórica da potência 2 21 QgkQgkWt ρρ −=& desta forma considerando novas constantes: 2* 2 * 1 QkQkWt −=& Considerando Pás com Saída Radial • Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞ • Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por: QkQkQkWt * 1 2* 2 * 1 =−=& Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16). Considerando Pás Voltadas para Trás • Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+) 2* 2 * 1 QkQkWt −=& Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e sempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17). Considerando Pás Voltadas para Frente • Com β2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-) 2* 2 * 1 QkQkWt −=& Sistemas Fluidomecânicos Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS – FENG - 2010 2-23 Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta na origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17). Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba. Resumo das curvas H-Q e P-Q Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás Tabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência. Tipo de pás Altura teórica Potência teórica Pás com saída radial (β2= 900) 1kH t =∞ QkWt * 1=& Pás voltadas para trás (β2 < 900) QkkH t 21 −=∞ 2*2 * 1 QkQkWt −=& Pás voltadas para frente (β2 > 900) QkkH t 21 +=∞ 2*2 * 1 QkQkWt +=& � A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência mostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido. � Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás. Sistemas Fluidomecânicos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 2-24 2.13 Representação da Curva Característistica Teórica Podemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. de Euler: ( )1122 1 uut CUCUg H −=∞ Tal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão: −− −=∞ QbDg U g U Q bDg U g U H t )tan()tan( 111 1 2 1 222 2 2 2 βπβπ Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação: { } { }QkkQkkH
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