Geometria - Caderno 04

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4
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
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1Transformações trigonométricas
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MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
Transformações trigonométricas
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 TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1 Transformações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 4
Fórmulas de adição e de subtração. . . . . . . . . . . . . . . . 4
Fórmulas do arco duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Fórmulas do arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Fórmulas de transformação em produto . . . . . . . . . . . . 14
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
2120619 (PR)
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MÓDULO
Transformações trigonométricas
O sextante é um instrumento destinado a medir 
ângulos horizontais e verticais, especialmente a altura 
dos astros. O sextante marítimo, devido à sua grande 
importância histórica na determinação da posição dos 
navios no mar, é o símbolo adotado pela navegação e 
pelos navegadores há mais de duzentos anos.
MÓDULO
Transformações trigonométricas
O sextante é um instrumento destinado a medir 
ângulos horizontais e verticais, especialmente a altura 
dos astros. O sextante marítimo, devido à sua grande 
importância histórica na determinação da posição dos 
navios no mar, é o símbolo adotado pela navegação e 
pelos navegadores há mais de duzentos anos.
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
No início do século XVI, os impérios europeus ha-
viam conquistado os mares e estavam expandin-
do seus domínios. Para garantir que os navios não 
se desviassem do curso, atracando em um local 
inesperado ou desconhecido, os navegadores 
utilizavam cálculos próprios da Astronomia, que 
consistiam em repetidas multiplicações e divisões 
de valores de seno e cosseno de arcos, por meio 
dos quais se de terminavam os lados e os ângu-
los de triângulos esféricos (triângulos traçados 
sobre a superfície terrestre), o que tomava muito 
tempo. Por volta de 1580, o matemático e astrô-
nomo alemão Christopher Clavius (1538-1612) 
encontrou um método eficiente para acelerar os 
cálculos. Aplicando esse método, os navegadores 
con seguiam uma substancial economia de tem-
po, com amplos benefícios para suas expedições.
Você conhece alguma das transformações tri-
gonométricas que eram utilizadas nessas expe-
dições? Sabe como se calcula sen  (a ± b), cos 
(a ± b) e tg (a ± b)? Ou o que seriam as fórmulas 
de arco duplo e de arco metade?
www.ser.com.br
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4 Transformações trigonométricas
CAPÍTULO
Objetivos:
c Aplicar as fórmulas 
da soma e da 
subtração de arcos, 
arco duplo, arco 
metade e fatoração 
trigonométrica 
na resolução dos 
exercícios.
c Simplificar expressões 
trigonométricas.
1
Transformações 
trigonométricas
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Vamos comparar sen (60° 1 30°) e sen 60° 1 sen 30°:
 sen (60° 1 30°) 5 sen 90° 5 1 sen 60° 1 sen 30° 5 
3
2
1
2
3 1
2
1 5
1
Logo, sen (60° 1 30°) Þ sen 60° 1 sen 30°.
De modo geral, podemos verificar que:
 sen (a 1 b) Þ sen a 1 sen b ou sen (a 2 b) Þ sen a 2 sen b
 cos (a 1 b) Þ cos a 1 cos b ou cos (a 2 b) Þ cos a 2 cos b
Veremos a seguir como é possível expressar sen (a ± b) e cos (a ± b) em função de sen a, sen b, cos a e
cos b, sendo a e b dois números reais quaisquer. Veremos também tg (a ± b) em função de tg a e tg b.
 FÓRMULAS DE ADIÇÃO E DE SUBTRAÇÃO
Expressão de sen (a 1 b)
Considere o triângulo:
I. Compare também:
 cos (60° 1 30°) e cos 60° 1 
1 cos 30°
 tg (60° 2 30°) e tg 60° 2 tg 30°
 sen (90° 1 0°) e sen 90° 1 sen 0°
II. As afirmações 
sen (a 1 b) 5 sen a 1 sen b 
e sen (a 1 b) ≠ sen a 1 sen b 
são  falsas para quaisquer a e b 
reais.
PARA
REFLETIR
Calculando as áreas dos triângulos:
 5 ? ?A k h sen a
2ABO 5
? ?
A
p h sen b
2BOC
 5
? ? 1
A
k p sen (a b)
2AOC
Temos ainda que:
 cos a h
k
h k cos a5 5 ?⇒ cos b
h
p
h p cos b5 5 ?⇒
A área do triângulo maior é igual à soma da área dos triângulos menores:
5 1
? ? 1
5
? ?
1
? ?
? 1
5
? ?
1
? ?
⇒ ⇒
⇒ ⇒
A A A
k p sen (a b)
2
k h sen a
2
p h sen b
2
kp sen (a b)
2
kp cos b sen a
2
pk cos a sen b
2
AOC ABO BOC
⇒ sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
Essa fórmula, embora tenha sido demonstrada em um triângulo, pode ser utilizada para 
quaisquer a e b reais.
C
n
B
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a
b
p
k
h
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5Transformações trigonométricas
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Exemplos:
1o) sen 75° 5 sen (45° 1 30°) 5 sen 45° ? cos 30° 1 sen 30° ? cos 45° 5
 
5 ? 1 ? 5 1 5
12
2
3
2
1
2
2
2
6
4
2
4
6 2
4
2o) sen (p 1 x) 5 sen p ? cos x 1 sen x ? cos p 5 0 ? cos x 1 sen x ? (21) 5 2sen x
Expressão de sen (a 2 b)
Sabemos que: 
a b a b
sen b senb
cos b cos b
2 5 1 2
2 52
2 5
( )
( )
( )





Daí temos: sen (a 2 b) 5 sen [a 1 (2b)].
Desenvolvendo o 2o membro, temos:
sen (a 2 b) 5 sen a ? cos (2b) 1 sen (2b) ? cos a, isto é:
sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a
para quaisquer a e b reais.
Exemplos:
1o) sen (15°) 5 sen (45° 2 30°) 5 sen 45° ? cos 30° 2 sen 30° ? cos 45° 5
5
2
2
3
2
1
2
2
2
6
4
2
4
6 2
4
? 2 ? 5 2 5
2
2o) sen (p 2 x) 5 sen p ? cos x 2 sen x ? cos p 5 0 ? cos x 2 sen x ? (21) 5 sen x
 Isso demonstra que ângulos suplementares têm senos iguais.
Expressão de cos (a 1 b)
Sabemos que cos x 5 sen 
p
2
2
x



 (arcos complementares). Então:
cos a b sen a b
sen a b
1 5
p
2 1 5
5
p
2 2
( ) ( )







2
2 










⇒
⇒ ( )


5
p
2 2
1 5
5
p
2
sen a b
a b
sen a
2
2
cos






? 2
p
2 ?cos cosb a sen b
2
Como sen 
p
2
2
a



 5 cos a e cos 
p
2
2
a



 5 sen a, temos:
cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
para quaisquer a e b reais.
Exemplos:
1o) cos (75°) 5 cos (45° 1 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 2 sen 45° ? sen 30° 5
2
2
3
2
2
2
1
2
6
4
2
4
6 2
4
5 ? 2 ? 5 2 5
2
2o) cos (p 1 x) 5 cos p ? cos x 2 sen p ? sen x 5 (21) ? cos x 2 0 ? sen x 5 2cos x
O 2o exemplo confirma o que já 
havia sido analisado por meio de 
figuras: sen (p 1 x) 5 2 sen x.
PARA
REFLETIR
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6 Transformações trigonométricas
Expressão de cos (a 2 b)
Sabemos que: 
a b a b
cos b cos b
sen b senb
2 5a b2 5a b a b1 2a b
2 5
2 52
( )a b( )a ba b1 2a b( )a b( )1 2
( )s b( )s b2 5( )2 5s b2 5s b( )( )2 5
( )n b( )n b2 5( )2 5n b2 5n b( )( )2 5

















Daí temos cos (a 2 b) 5 cos [a 1 (2b)].
Desenvolvendo o 2o membro, temos:
cos (a 2 b) 5 cos a ? cos (2b) 2 sen a ? sen (2b), ou seja:
cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b
para quaisquer a e b reais.
Exemplos: 
1o) cos (15°) 5 cos (45° 2 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 1 sen 45° ? sen 30° 5
2
2
3
2
2
2
1
2
6
4
2
4
6 2
4
5 ? 1 ? 5 1 5
1
2o) cos (p 2 x) 5 cos p ? cos x 1 sen p ? sen x 5 (21) ? cos x 1 0 ? sen x 5 2cos x
Expressão de tg (a 1 b)
Para a, b e 1 p 1 p±a b
2
k , com k [ Z: tg (a 1 b) 5 
1
2 ?
tg a tg b
1 tg a tg b
 
Expressão de tg (a 2 b)
Para a, b e ±2 p 1 pa b
2
k , com k [ Z: tg (a 2 b) 5 
2
1 ?
tg a tg b
1 tg a tg b
Quadro-resumo
 sen (a ± b) 5 sen a ? cosb ± sen b ? cos a
 cos (a ± b) 5 cos a ? cos b sen a ? sen b
 ±
±
tg (a b)
tg a tg b
1 tg a tg b?D
Justifique: cos (2b) 5 cos b e 
sen (2b) 5 2sen b.
PARA
REFLETIR
Calcule cos 15° usando cos (60° 2 
2 45°).
O que se pode concluir do 
2o exemplo?
PARA
REFLETIR
Procure demonstrar as duas fór-
mulas de tangente.
Dica: desenvolva o numerador e o 
denominador de
± 5tg (a b)
sen (a b±a b)
cos (a b±a b)
.
PARA
REFLETIR
1 Dado sen x
1
3
5 , com 0 x
2
, ,0 x, ,0 x
p , calcule sen 
6
x
p
2




 




.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos calcular o valor de cos x: 
sen x cos x 1
1
9
1 cos x 12 2n x2 2n x 2 21 c2 2os2 21 5co1 5s x1 52 21 52 2co2 21 51 52 2s x2 2s x1 51 52 2 1 52 21 5 x 15 2x 1⇒ ⇒⇒ ⇒
1
⇒ ⇒co⇒ ⇒s x⇒ ⇒1 c⇒ ⇒1 c2 2⇒ ⇒1 c2 2⇒ ⇒1 c⇒ ⇒2 21 5⇒ ⇒co1 5⇒ ⇒⇒ ⇒1 5s x1 5⇒ ⇒⇒ ⇒1 52 21 5⇒ ⇒⇒ ⇒1 5s x2 2s x1 51 52 2⇒ ⇒⇒ ⇒2 2s x1 5⇒ ⇒1 52 2
x 1
1
9
8
9
8
9
8
3
5 2x 15 2x 1 5 55 5 5⇒ ±co⇒ ±sx⇒ ±5 5⇒ ±5 5co5 5⇒ ±⇒ ±5 5sx5 5⇒ ±⇒ ±5 5 ±
Como 0 x
2
, ,0 x, ,0 x
p , temos cos x
8
3
5
Vamos aplicar a fórmula:
sen
6
x sen
6
cos x sen x cos
6




 x sx s

x s

x sx sx s

x s

x s
p
2 5x s2 5x sx sx s2 52 5x sx s

x s

x s2 52 5x s

2 5

 p
? 2co? 2s x? 2 ?
p
5
1
2
8
3
1
3
3
3
8
6
3
6
8 38 3
6
5 ?5 ? 2 ?2 ? 5 25 25 2 5
8 328 3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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7Transformações trigonométricas
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2 Dados sen x
3
5
5 e 5cos y 5
13
, calcule cos (x 1 y) sabendo 
que 0 x
2
, ,0 x, ,0 x
p
 e 
3
2
y 2
p
, ,y 2, ,y 2p.
RESOLUÇÃO:
Calculamos cos x, com , , p0 x, ,0 x, ,
2
:
5 1 2 5 2 52 5 5cos x 1 s2 51 s2 5en2 5en2 5x 1x 12 5x 12 5 92 592 5
25
16
25
4
5
2
2 5
2
2 5
Calculamos sen y, com 3
2
2
p
, , py, ,y, , :
5 2 2 5 2 2 5 2 5 2sen y 1 c2 51 c2 5os2 5os2 5y 1y 12 5y 12 5 2 2y 12 22 2y 1 25
169
144
169
12
13
2
2 5
2
2 5
Aplicamos a fórmula:
cos (x 1 y) 5 cos x ? cos y 2 sen x ? sen y 5
5 ?5 ? 2 ?2 ? 5 1 55 1 55 1 5( )( )2( )
4
5 ?
4
5 ?
5
5
13
3
5 ( )
12
( )( )13( )
20
5 1 5
20
5 1 5
65
5 1 5
65
5 1 5
36
5 1 5
36
5 1 5
65
5 1 5
65
5 1 5
56
65
3 Dados sen x
4
5
5 , com 0
2
, ,
p
x ,x ,
2
x ,, ,x ,, , e x y1 5x y1 5x y
p
3
, determine 
sen y.
RESOLUÇÃO:
Determinamos cos x, com , ,
p
0 x, ,0 x, ,
2
:
cosx 1 sen x 1x 1
16
25
9
25
3
5
2
5 1 2 51 s2 51 sen2 5x 12 5x 12 52 5 5
Isolamos y:
x y
3
y
3
x⇒1 5x y1 5x y
p
5
p
2
Calculamos sen y:
5
p
? 2 ?
p
5
5 ?5 ?5 ? 2 ?2 ? 5 25 25 2 5
2
( )( )
p
( )2 5( )sen y sen ( )3( )
x s2 5x s( )x s( )2 5( )2 5x s2 5x s( ) en 3
co? 2co? 2s x? 2s x? 2 sen x cos
3
3
2
3
5
4
5
1
2
3 33 3
10
4
10
3 33 3 4
10
4 Simplifique a expressão
y
sen x cos ( x)
cos x cotg ( x)
5
1 ?x c1 ?x c ( xp 2( x
1 ?x c1 ?x c p 1
( )( )2( )
x c( )x c
p
( )1 ?( )1 ?x c1 ?( )x c( )1 ?
( )( )
3
( )2( )
x c( )x c
p
( )1 ?( )1 ?x c1 ?( )x c( )1 ?
RESOLUÇÃO:
Vamos desenvolver separadamente:
 1 5 p ? 1 ? p 5
5 ? 1 ? 5
( )( )
p
( )1 5( )1 5sen ( )2( )
x s1 5x s( )x s( )1 5( )1 5x s1 5x s( ) en 2
co? 1co? 1s x? 1s x? 1 sen x cos
2
1 c5 ?1 c5 ? os x s1 ?x s1 ?en1 ?en1 ?x 01 ?x 01 ? cos x
 p 2 5 p ? 1 p ? 5
5 2 ? 1 ? 5 2
cos ( x) co5 pco5 ps c5 ps c5 p ? 1s c? 1os? 1os? 1x s? 1x s? 1 en sen x
1 c? 11 c? 1os? 1os? 1x 0? 1x 0? 1 se? 5se? 5n x? 5n x? 5 cos x
 1 5 p ? 2 p ? 5
5 ? 2 2 ? 5
( )( )
p
( )1 5( )1 5cos ( )
3
( )( )2( )
x c1 5x c( )x c( )1 5( )1 5x c1 5x c( ) os
3
2
co? 2co? 2s x? 2s x? 2 sen 3
2
se? 5se? 5n x? 5n x? 5
0 c5 ?0 c5 ? os x (2 2x (2 21) se? 5se? 5n x? 5n x? 5 sen x
 
 
cotg ( x)
cos ( x)
sen ( x)
cos cos x sen sen x
sen cos x sen x cos
1 cos x 0 sen x
0 cos x sen x ( 1)
cos x
sen x
cos x
sen x
( xp 1( x 5
p 1
p 1
5
5
s cp ?s c 2 px s2 px sen2 p ?
n cp ?n c 1 ?x s1 ?x sen1 ?x c1 ?x c p
5
5
2 ?1 c2 ?1 c 2 ?x 02 ?x 0
? 10 c? 10 cos? 1x s? 1x s ? 2x (? 2x (
5
5
2
2
5
Vamos substituir na expressão:
y
(cos x) ( cos x)
sesen xn x
cos x
sesen xn x
(cos(cos x)x) ( cos x)
cocos xs x
cos x5
( c2( c
?
5
( c2( c
5 2
5 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule tg x.
4
3
10
x
RESOLUÇÃO:
4
3
10
x
a
b
a 5 5
b 5 5 55 5
tg 3
10
0,3
tg 3 413 4
10
7
5 5
7
5 5
10
0,7
Mas: β α ⇒ β αx x⇒ βx x⇒ β5 1β α5 1β α 5 2⇒ β5 2⇒ β
Logo:
5 b 2 a 5 5
5
1 ?
5 5 55 5
β α2β α
β ⋅ α
tg x t5 bx t5 bg (5 bg (5 b )
tg β αtgβ α
1 t11 tg tβ ⋅g tg
0,7 027 0,3
1 01 ?1 01 ?,71 ?,71 ? 0,3
0, 4
1 011 0,21
0,
5 5
0,
5 5
4
1,21
40
121
Use a tabela de razões trigono-
métricas da página 22 e verifique 
qual destes é o valor mais próxi-
mo de x : 18°, 20° ou 25°?
PARA
REFLETIR
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8 Transformações trigonométricas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
1 Demonstre, usando as fórmulas da adição e subtração de 
arcos, que:
a) sen ( x) sen xp 2 5
sen sen x sen x( x)p 2 5 p ? 2 ? pcos cos =
= 0 ?? 2 ? 2 5( 1)cos x sen x sen x
b) sen x x
3
2
p
52+




cos
sen x sen x sen x x
3
2
3
2
3p
1 5
p
? 1 ?
p



cos cos
22
1 0
5
52 ? 1 ? 5 2cos cosx sen x x
c) cos (2p 1 x) 5 cos x
p 1 5 p ? 2 p ? 5
5 ? 2 ? 5
cos (2 x) cos 2 cos x sen 2 sen x
1 cos x 0 sen x cos x
d) tg (2p 2 x) 5 2tg x
p 2 5
p 2
1 p ?
5
2
1 ?
52tg (2 x)
tg 2 tg x
1 tg 2 tg x
0 tg x
1 0 tg x
tg x
2 (Espcex-SP) Os pontos P e Q 
representados no círculo tri-
gonométrico ao lado corres-
pondem às extremidades de 
dois arcos, ambos com origem 
em (1,0), denominados res-
pectivamente a e b, medidos 
no sentido positivo. O valor 
de tg (a 1 b) é: d
a) 
3 3
3
.
1
 c) 2 3.1 e) 1 3.2 1 
b) 
3 3
3
.
2
 d) 2 3.2 
Como P pertence ao segundo quadrante e ° 5sen 45
2
2
, segue 
que α 5 45° 1 90° 5 135°. Por outro lado, sabendo que Q é do 
terceiro quadrante e ° 5cos 60
1
2
, vem β 5 60° 1 180° 5 240°. 
Portanto, 
tg ( ) tg (135 240 ) tg (360 15 )
tg 15 tg (45 30 )
tg 45 tg 30
1 tg 45 tg 30
1
3
3
1 1
3
3
3 3
3 3
(3 3)
(3 3)
9 6 3 3
3 ( 3)
6(2 3)
6
2 3.
2 2
a1b 5 1 5 1 5
5 5 2 5
2
1 ?
5
5
2
1 ?
5
2
1
?
2
2
5
2 1
2
5
5
2
5 2
° ° ° °
° ° °
° °
° °
PARA CONSTRUIR
x
y
1
1
P
Q
O1
2
2
2
2
3 (Uerj) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras 
abaixo representam as trajetórias retilíneas AB 5 CD 5 EF 
contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
15° 45°
75°
B D
C
E
F
a
a
a
A
h
1
h
2
h
3
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, 
C e E são, respectivamente, h
1
, h
2
 e h
3
, conclui-se que h
1
 1 h
2
 
é igual a: d
a) h 3.3 b) h 2.3 c) 2h .3 d) 
h .3 
Como:
sen sen ( ) sen cos sen cos15 45 30 45 30 30° ° ° ° ° °5 2 5 2 45
2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
°5
5 ? 2 ? 5
2
Então: 
5 5
2
sen 15
h
a
h
a 6 2
4
.1
1
( )
° ⇔
Além disso,
5 5sen 45
h
a
h
a 2
2
2
2
° ⇔
Então:
h h
a 6 2
4
a 2
2
a 6 2
4
.
1 2
1 5
2
1 5
1( ) ( )
 
Por outro lado, 
sen 75 sen (45 30 )
sen 45 cos 30 sen 30 cos 45
2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
1 5
5 1 5
5 ? 1 ? 5
5
1
° = ° °
° ° ° °
Então:
5 5
1
sen 75
h
a
h
a 6 2
4
.3
3
( )
° ⇔
Portanto, 1 5h h h .
1 2 3
comprimento 
abaixo representam as trajetórias retilíneas AB 
contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
En
em
C-2
H-8
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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9Transformações trigonométricas
M
A
TE
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 FÓRMULAS DO ARCO DUPLO
Veremos agora as expressões das funções trigonométricas dos arcos duplos, ou seja, dos 
arcos de medida 2a. Trata-se de um caso particular das fórmulas de adição, sendo suficiente 
fazer 2a 5 a 1 a.
Retomando e desenvolvendo as fórmulas da adição, temos:
 sen 2a 5 sen (a 1 a) 5 
 5 sen a ? cos a 1 sen a ? cos a 5 
 5 2 ? sen a ? cos a ⇒
 ⇒ sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a
 cos 2a 5 cos (a 1 a) 5 
 5 cos a ? cos a 2 sen a ? sen a 5 
 5 cos2 a 2 sen2 a ⇒
 ⇒ cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a
Além dessa fórmula, para cos 2a podemos obter mais duas fórmulas alternativas apenas 
combinando a relação fundamental com ela:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ sen2 a 5 1 2 cos2 a I
ou
cos2 a 5 1 2 sen2 a II
Substituindo I em cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a, temos:
cos 2a 5 cos2 a 2 (1 2 cos2 a) ⇒
⇒ cos 2a 5 2 ? cos2 a 2 1
Substituindo II em cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a, temos:
cos 2a 5 (1 2 sen2 a) 2 sen2 a ⇒
⇒ cos 2a 5 1 2 2 ? sen2 a
Assim, podemos escrever:
cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a
cos 2a 5 2 ? cos2 a 2 1
cos 2a 5 1 2 2 ? sen2 a
 tg a tg a a
tg a tg a
tg a tg a
tg a
2
1
2
1
5 1 5
5
1
2 ?
5
5
?
( )
22 tg a2
,
 válida para quando existirem as tangentes envolvidas.
Portanto:
tg 2a
2 tg a
1 tg a2
5
2
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10 Transformações trigonométricas
6 Dado sen x
3
2
5 , com 0
2
, ,
p
x ,x ,
2
x ,, ,x ,, , determine sen 2x, cos 2x 
e tg 2x usando as fórmulas do arco duplo.
RESOLUÇÃO:
 Vamos calcular cos x, com 0 x
2
:, ,0 x, ,0 x p
 Sendo 0 x
2
, ,0 x, ,0 x
p
 e sen x
3
2
5 , temos x
3
5
p
. 
 Daí, cos coss cxs cs c5s c p 5
3
1
2
 Vamos calcular tg x:
 Como x
3
5
p
, então p 5tg x t5x tg
3
3
 Determinemos agora sen 2x, cos 2x e tg 2x:
 
sen x sen x x2 2n x2 2n x 22 3
22
1
2
3
2
5 ?2 25 ?2 2 ? 5x? 5? 5 ? ?? ? 5co? 5co? 5s? 5s? 5
 cos 2x 5 cos2x 2 sen2x 5 




 



 

















1
2
3
2
1
4
3
4
2
4
1
2
2 2
2 5 2 55 2 55 2 52 52 52
 5 5 5 5
2
2
( )( )
tg 2x
2 t?2 tg x
1 t21 tg x
2 32 3?2 3
1 321 3( )1 3( )( )1 3
2 32 3
1 321 3
2 32 3
2
3
2g x2g x 2
Como x
3
5
p , podemos também 
determinar sen 2x, cos 2x e tg 2x
calculando sen 2
3
p , cos 2
3
p e 
tg 2
3
p por meio da circunferên-
cia trigonométrica.
PARA
REFLETIR
7 Sabendo que sen x 1 cos x 5 0,2, determine o valor de 
sen 2x.
RESOLUÇÃO:
(sen x 1 cos x)2 5 (0,2)2 ⇒
1 1
1 5
� �� ���� � ���� ���� � ���� � �� ���� � ���� ���� � ����
⇒ ⇒1 ?⇒ ⇒? 1⇒ ⇒
⇒ ⇒1 1⇒ ⇒? ?⇒ ⇒
⇒ ⇒1 5⇒ ⇒
⇒ ⇒se⇒ ⇒⇒ ⇒n x⇒ ⇒⇒ ⇒2 s⇒ ⇒1 ?⇒ ⇒2 s1 ?2 s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒⇒ ⇒x c⇒ ⇒? 1⇒ ⇒x c? 1x c⇒ ⇒⇒ ⇒os⇒ ⇒? 1⇒ ⇒os? 1os⇒ ⇒⇒ ⇒x c⇒ ⇒? 1⇒ ⇒x c? 1x c⇒ ⇒⇒ ⇒os⇒ ⇒x 0⇒ ⇒x 0⇒ ⇒5⇒ ⇒x 0x 0⇒ ⇒,0⇒ ⇒,0⇒ ⇒4⇒ ⇒4⇒ ⇒
⇒ ⇒se⇒ ⇒⇒ ⇒n x⇒ ⇒⇒ ⇒co⇒ ⇒1 1⇒ ⇒co1 1co⇒ ⇒⇒ ⇒s x⇒ ⇒1 1⇒ ⇒s x1 1s x⇒ ⇒2 s⇒ ⇒2 s⇒ ⇒? ?⇒ ⇒2 s? ?2 s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒? ?⇒ ⇒en? ?en⇒ ⇒⇒ ⇒x c⇒ ⇒? ?⇒ ⇒x c? ?x c⇒ ⇒⇒ ⇒os⇒ ⇒x 0⇒ ⇒x 0⇒ ⇒5⇒ ⇒x 0x 0⇒ ⇒,0⇒ ⇒,0⇒ ⇒4⇒ ⇒4⇒ ⇒
1 s1 51 s⇒ ⇒1 s⇒ ⇒1 5⇒ ⇒1 s1 51 s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒1 5⇒ ⇒en1 5en⇒ ⇒2x1 52x1 5⇒ ⇒2x⇒ ⇒1 5⇒ ⇒2x1 52x⇒ ⇒0,⇒ ⇒0,⇒ ⇒04⇒ ⇒04⇒ ⇒ sen 2x 05 2x 0,96
1 sen 2x
2 2
1 ?
2 2
? 1
2 2
⇒ ⇒
2 2
⇒ ⇒1 ?⇒ ⇒
2 22 2
⇒ ⇒? 1⇒ ⇒
2 22 2
⇒ ⇒⇒ ⇒n x⇒ ⇒2 2⇒ ⇒2 2n x 2 s2 21 ?2 s1 ?2 22 22 s⇒ ⇒2 s⇒ ⇒2 22 22 s1 ?⇒ ⇒2 s1 ?2 s⇒ ⇒2 22 2⇒ ⇒1 ?2 s2 22 s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒2 22 2en⇒ ⇒x c⇒ ⇒2 22 2x c? 1⇒ ⇒x c? 1x c⇒ ⇒2 22 2⇒ ⇒? 1x c2 2x c⇒ ⇒? 1⇒ ⇒os? 1os⇒ ⇒2 2⇒ ⇒? 1osos⇒ ⇒⇒ ⇒x c⇒ ⇒2 22 2x c? 1⇒ ⇒x c? 1x c⇒ ⇒2 22 2⇒ ⇒? 1x c2 2x c⇒ ⇒⇒ ⇒os⇒ ⇒2 22 2os
2 2
1 1
2 2
1 1⇒ ⇒
2 2
⇒ ⇒1 1⇒ ⇒
2 2
1 1
2 2
⇒ ⇒⇒ ⇒n x⇒ ⇒2 2⇒ ⇒2 2n x 1 1⇒ ⇒co1 1co⇒ ⇒2 22 2⇒ ⇒1 1co2 2co⇒ ⇒1 1⇒ ⇒s x1 1s x⇒ ⇒2 21 12 2⇒ ⇒1 1s x2 2s x⇒ ⇒
O artifício usado no exercício re-
solvido 7 é muito empregado em 
Trigonometria.
PARA
REFLETIR
8 Demonstre a igualdade 5cos 2x
1 s11 sen 2x
1 t21 tg x
1 t11 tg x
. 
RESOLUÇÃO:
cos 2x
1 sen 2x
cos x sen x
1 2 sen x cos x
cos x sen x
sen x cos x 2 sen x cos x
(cos(cos x sx sen x) (cos x sen x)
(cos x sen x)
cos x sen x
cos x sen x
1 tg x
1 tg x
1 sen x
cos x
1 sen x
cos x
cos x sen x
cos x
cos x sen x
cos x
cos x sen x
cos x sen x
2 2s x2 2s x se2 2n x2 2n x
2 2s x2 2s x se2 2n x2 2n x
2 2n x2 2n x
222222222222222
1 s11 s
5
2
2 2
2
2 2
1 ?1 21 ?1 2 ?
5
2
2 2
2
2 2
1 1co1 1s x1 12 21 12 2co2 21 11 12 2s x2 2s x1 12 2 ? ?2 s? ?2 sen? ?x c? ?x c
5
1 21 2x s1 2x sx s1 2x sen1 2x)1 2(c1 2os1 2x s1 2x s
1x s1x s
5
2
1
5
5
1 t21 t
1 t11 t
5
2
1
5
2
1
5
2
1
=
=
 Então 5cos 2x
1 s11 sen 2x
1 t21 tg x
1 t11 tg x
.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PARA CONSTRUIR
4 Mostre que, se sen x 1 cos x 5 m, então sen 2x 5 m2 2 1.
(sen x 1 cos x)2 5 m2 ⇒
⇒ sen2 x 1 2 ? sen x ? cos x 1 cos2 x 5 m2 ⇒ 
⇒ 1 1 2 ? sen x ? cos x 5 m2 ⇒
⇒ 1 1 sen 2x 5 m2 ⇒
⇒ sen 2x 5 m2 2 1
5 Se sen x 1 cos x 5 
1
3
, calcule cos 2x.
(sen x 1 cos x)2 5 
1
9
 ⇒ 1 1 2 ? sen x ? cos x 5 
1
9
 ⇒ sen 2x 5 
8
9
− 
Mas:
sen2 2x 1 cos2 2x 5 1 ⇒ cos2 2x 5 1 2 sen2 2x 5 1 2 
8
9
2
( )2 5 
5 1 2 
64
81
 5 
17
81
 ⇒ cos 2x 5 
17
81
± ⇒ cos 2x 5 ± 17
9
 
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11Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 15 Para aprimorar: 1 e 2
8 Prove que sen 2x
(cos 2x) 12
 5 
1
tgx
2 , para todo x Þ 
2
p
 1 kp, com 
k [ Z.
2
5
2 2
? 5 2 ?
2
5
5 2
? ?
?
5 2 5 2 5 2
( )
sen 2x
(cos 2x) 1
sen 2x
(1 cos 2x)
2
2
1
2
sen 2x
1 cos 2x
2
2 sen x cos x
2 sen x
cos x
sen x
1
sen x
cos x
1
tg x2
 
9 (Fuvest-SP) Um guindaste, instalado em um terreno plano, 
tem dois braços articulados que se movem em um plano 
vertical, perpendicular ao plano do chão.
2 m
2 m
6 m
aO
P
1
P
2
Q
Na figura, os pontos O, P
1
 e P
2
 representam, respectivamen-
te, a articulação de um dos braços com a base, a articulação 
dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 
TOP
1
 tem comprimento 6 e o braço TP
1
P
2
u tem comprimento 2. 
Num dado momento, a altura de P
2
 é 2, P
2
 está a uma altura 
menor do que P
1
 e a distância de O a P
2
 é 2 10. Sendo Q o pé 
da perpendicular de P
2
 ao plano do chão, determine:
a) o seno e o cosseno do ângulo P
2
BOQ entre a reta $OP%
2
 e o 
plano do chão;
sen (POQ)
2
2 10
1
10
10
10
.
2
5 5 5n
b) a medida do ângulo OBP
1
P
2
 entre os braços do guindaste;
OBP
1
P
2
 5 90°, pois (OP
2
)2 5 (P
1
P
2
)2 1 (OP
1
)2
c) o seno do ângulo P
1
BOQ entre o braço TOP
1
 e o plano do 
chão. 
nOP
1
P
2
 > nOP
2
Q, logo, P
1
BOP
2
 5 P
2
BOQ 5 a
5 a 5 a ? a 5 ?Então, sen (P OQ) sen 2 2 sen cos 2
1
n
( ) 
5 ? ? 5 5s 2
2
2 10
6
2 10
6
10
3
5
.
tem dois braços articulados que se movem em um plano 
vertical, perpendicular ao plano do chão.
En
em
C-2
H-6
En
em
C-2
H-8
2 10
6 (Insper-SP) Movendo as hastes de um compasso, ambas de 
comprimento ,, é possível determinar diferentes triângulos, 
como os dois representados a seguir, fora de escala.
T
1
T
2
, ,
, ,
u
2u
Se a área do triângulo T
1
 é o triplo da área do triângulo T
2
, 
então o valor de cos u é igual a: a
a) 
1
6
. b) 
1
3
. c) 3
3
. d) 
1
2
. e) 6
6
.
Área T
1
 5 
1
2
 ? ,2 ? sen u
Área T
2
 5 
1
2
 ? ,2 ? sen 2u
Se a área T
1
 é o triplo da T
2
, temos:
1
2
 ? ,2 ? sen u 5 3 ? 
1
2
 ? ,2 ? sen 2u ⇔ sen u 5 3 ? sen 2u ⇔ 
⇔ sen u 5 3 ? 2 ? sen u ? cos u ⇔ cos u 5 
1
6
 
7 Seja a [ 



0,
2
,
p
 tal que sen a 1 a 5cos .2 Determine o 
valor de y
sen
sen
5
a
a 1 a
2
3 3cos
. 
( ) ⇒
⇒
⇒
(sen cos ) 2
sen cos 2 sen cos
1 2 sen cos 2 sen cos
2 1
2
1
2
22
2
2 2
a 1 a 5
a 1 a 1 ? a ? a 5
5 1 ? a ? a 5 a ? a 5
2
5
5
a
a 1 a
5
5
? a ? a
a 1 a 2 ? a 1 a 2 ? a1 a
5
2 ? a ? a ? a 1 a
5
2 ? ?
5
? 2
5
5 5
( )
( )
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
y
sen 2
sen cos
2 sen cos
(sen cos ) 3 sen cos 3 sen cos
1
2 3 sen cos (sen cos )
1
2 3
1
2
2
2
2 2 2 3 2
2
2
y
2 2
2y 2
3 3
3 2 2
3
3
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
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12 Transformações trigonométricas
 FÓRMULAS DO ARCO METADE
Estas fórmulas permitem relacionar as funções trigonométricas de um arco a com as funções 
trigonométricas do arco 
a
2
.
Expressão para o cálculo de sen a
2
Sabendo que cos 2x 5 1 2 2 ? sen2 x, temos:
cos 2x 5 1 2 2 ? sen2 x ⇒ 2 ? sen2 x 5 1 2 cos 2x ⇒ sen2 x 5 
21 cos 2x
2
 
Fazendo 2x 5 a, temos x 5 
a
2
, e daí: 
sen
a
2
1 cos a
2
2
5
2
Expressão para o cálculo de cos a
2
Sabendo que cos 2x 5 2 ? cos2 2 1, temos:
cos 2x 5 2 ? cos2 x 2 1 ⇒ 2 ? cos2 x 5 1 1 cos 2x ⇒ cos2 x 5 
1 cos 2x
2
1
 
Fazendo 2x 5 a, temos x 5 
a
2
, e daí: 
5
1
cos
a
2
1 cos a
2
2
9 Dado cos 45° 5 
2
2
, determine sen 22° 30', cos 22° 30' e tg 22° 30'.
Observação: 22° 30' é do 1o quadrante. Logo, sen > 0, cos > 0 e tg > 0. 
RESOLUÇÃO:
22° 30' 5 
45
2
°
 ⇒ 














a 45
a
2
22 30'
a 45a 4
5
°
°
 
Aplicando as fórmulas, temos:
 sen2 22° 30' 5 
°1 c21 cos 45
2
5 
1
2
2
2
2
 5 
2 22 222 2
2
2
 5 
2 22 222 2
4
 ⇒ sen 22° 30' 5 
2 22 222 2
4
 5 
2 22 2
2
2 222 2
 
 cos2 22° 30' 5 
1 cos 45
2
1 c11 c °
 5 
1
2
2
2
1
 5 
2 22 212 2
2
2
 5 2 22 2
4
2 212 2 ⇒ cos 22° 30' 5 
2 22 2
4
2 212 2
 5 
2 22 2
2
2 212 2
 
 tg 22° 30' 5 
°
°
sen 22 3°2 30'
cos 22 3°2 30'
 5 
2 22 2
2
2 22 2
2
2 222 2
2 212 2
 5 
2 22 2
2 22 2
2 222 2
2 212 2
 ? 
2 22 2
2 22 2
2 222 2
2 222 2
 5 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 ?( )2 ?
1 ?( )1 ?
( )2 2( )( )2 2( )2 ?( )2 2( )2 22 ?( )2 ?2 22 22 ? ( )2 2( )( )2 2( )2( )2 22 22
( )2 2( )( )2 2( )1 ?( )2 2( )2 21 ?( )1 ?2 22 21 ? ( )2 2( )( )2 2( )2( )2 22 22
 5 
2 12 14 42 14 42 12 22 12 22 1
4 224 2
 5 
6 4 2
2
6 426 4
 5 
5 3 2 23 223 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2120596_2021619_SER_EM_MAT_GEOM_CAD4_CAP1_01a24_AL_PR.indd 12 2/11/15 6:51 PM
13Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 16 a 19
PARA CONSTRUIR
10 Demonstre que sen x 5 
2 tg
1 tg
x
2
x
2
2
2 t?2 t
1 t11 t
, para cos 
x
2
 Þ 0.
RESOLUÇÃO:
2 t?2 tg
x
2
1 t11 tg
x
2
2
 5 
?
1
2
sen
x
2
cos
x
2
1
sen
x
2
cos
x
2
2
2
 5 
1
2 s?2 sen
x
2
cos
x
2
cos
x
2
sen
x
2
cos
x
2
2 2
1
2 2x2 2se2 2n2 2
2
 5 
? ?? ?2 s? ?2 s? ?en? ?en? ?
x
2
cos
x
2
1 c?1 cos
x
2
2
 5
5 2 ? sen  x
2
 ? cos  x
2
 5 sen ( )( )( )2( )( )
x
( )( )2( )( )
?( ) 5 sen x
11 Sendo 0 , x , 
2
p
 e cos 
x
2
 5 
4
5
, encontre o valor de sen x e de cos x.
RESOLUÇÃO:
 cos2 
x
2
 5 
1 c11 cos x
2
 ⇒ ( )( )( )
4
( )( )5( )
2
 5 
1 c11 cos x
2
 ⇒ 16
25
 5 
1 c11 cos x
2
 ⇒ 25 1 25 cos x 5 32 ⇒ 25 cos x ⇒ 7 ⇒ cos x 5 
7
25
 
 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ sen2 x 1 ( )( )( )
7
( )( )25( )
2
 5 1 ⇒ sen2 x 5 1 2 
49
625
 ⇒ sen2 x 5 
625 49
625
2
 ⇒ sen x 5 ± 
576
625
 ⇒ sen x 5 ± 
24
25
 Como 0 , x , 
2
p
, então sen x 5 
24
25
.
Considerando o exercício 
resolvido 10, demonstre que 
5cos x
1 t21 tg
x
2
1 t11 tg
x
2
, para cos
x
2
2
2
 Þ 0.
PARA
REFLETIR
10 Dado 
u
5
u
tg
4
1
2
, encontre o valor de cos
2
. 
Fazendo 5
u
5
u
x
4
, temos 2x
2
. 
⇒






−






⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
tg 2x
2 tg x
1 tg x
tg 2x
2
1
2
1
1
2
1
3
4
4
3
tg 2x
4
3
sen 2x
cos 2x
2 sen x cos x
cos 2x
4
3
cos 2x 2 sen x cos x
cos 2x
3
4
2 sen x cos x
2 2
5
?
2
5
?
5 5
5 5 5
? ?
? 5 ? ?
5 ? ? ?
 
Mas:
⇒ ⇒tg x tg
4
1
2
sen x
cosx
1
2
sen x
1
2
cosx5
u
5 5 5 ?
 
Substituindo esse valor em I , encontramos:
⇒cos 2x
3
4
2
1
2
cosx cosx cos 2x
3
4
cos x
2
5 ? ? ? ? 5 ?
 
Como sen x cos x 1 e sen x
1
2
cos x, temos:
2 2
1 5 5 ? 
⇒ ⇒sen x
1
4
cos x
1
4
cos x cos x 1 cos x
4
5
2 2 2 2 2
5 ? ? 1 5 5
 
Dessa forma, em II , teremos:
⇒cos 2x
3
4
4
5
cos 2x cos
2
3
5
5 ? 5
u
5
 
I
II
11 (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos2 36° é idêntico ao de: d
a) cos 36°
b) 2cos2 36°
c) cos2 36°
d) 2sen2 36°
e) sen2 36°
12 Se y 5 sen x 1 tg x, represente y em função tg
x
2
. 
5
?
1
1
?
?
5y
2 tg
x
2
1 tg
x
2
2 tg
x
2
1 tg
x
2
2 2
 
5
? ? 2
1 2
1
? ? 1
1 2
5




































2 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
2 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
2
2 2
2
2 2
5
? 2 ?
1 2
1
? 1 ?
1 2
5
( )( ) ( )( )
2 tg
x
2
2 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
2 tg
x
2
2 tg
x
2
1 tg
x
2
1 tg
x
2
3
2 2
3
2 2
5
?
2
4 tg
x
2
1 tg
x
2
4
cos 72° 2 cos2 36° 5 cos (36° 1 36°) 2 cos 36° ? 
? cos 36° 5 cos 36° ? cos 36° 2 sen 36° ? sen 36° 2 
2 cos 36° ? cos 36° 5 2sen2 36°
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14 Transformações trigonométricas
 FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Forma fatorada de sen x 1 sen y e sen x 2 sen y
Sabemos que:
 sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a I
 sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a II
Fazendo I 1 II e I 2 II , temos:
 sen (a 1 b) 1 sen (a 2 b) 5 2 ? sen a ? cos b
 sen (a 1 b) 2 sen (a 2 b) 5 2 ? sen b ? cos a
Indicando a 1 b 5 x e a 2 b 5 y, temos a 5 
x y
2
1
 e b 5 
x y
2
2
.
Logo:
sen x 1 sen y 5 2 ? sen 
x y
2
1
? cos 
x y
2
2
sen x 2 sen y 5 2 ? sen 
x y
2
2
 ? cos 
x y
2
1
 
Forma fatorada de cos x 1 cos y e cos x 2 cos y
Sabemos que:
 cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b I
 cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b IIII
Fazendo I 1 II e I 2 II , temos:
 cos (a 1 b) 1 cos (a 2 b) 5 2 ? cos a ? cos b
 cos (a 1 b) 2 cos (a 2 b) 5 2 2 ? sen a ? sen b
Indicando a 1 b 5 x e a 2 b 5 y, temos a 5 
x y
2
1
 e b 5 
x y
2
2
.
Assim:
cos x 1 cos y 5 2 ? cos 
x y
2
1
 ? cos 
x y
2
2
 
cos x 2 cos y 5 22 ? sen 
x y
2
1
 ? sen 
x y
2
2
 
12 Transforme em produto (ou fatore) a expressão sen 60° 1 
1 sen 30°.
RESOLUÇÃO:
sen 60° 1 sen 30° 5 2 ? sen 60° + 30°
2
 ? cos 
60° 30°
2
° 31° 3
 5 
5 2 ? sen 45° ? cos 15°
13 Fatore (ou transforme em produto) a expressão sen 2a 2
 2sen a.
RESOLUÇÃO:
2 5 ?
2
?
1
5 ?sen 2a s2 5a s2 5en2 5en2 5a 22 5a 22 5 sen
2a a
2
cos
2a a
2 
5 ? ?2 s5 ?2 s5 ? en
a
2
cos
3a
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2120596_2021619_SER_EM_MAT_GEOM_CAD4_CAP1_01a24_AL_PR.indd 14 2/11/15 6:51 PM
15Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
14 Transforme em produto a expressão cos 5x 1 cos 3x.
RESOLUÇÃO:
cos 5x 1 cos 3x 5 2 ? cos 5x 3x
2
1 ? cos 5x 3x
2
2 5 
5 2 ? cos 4x ? cos x
15 Demonstre que 1
1
5sen 3x s1x sen x
cos 3x c1x cos x
tg 2x. 
RESOLUÇÃO:
=
1
1
5
5
1 ? 2
1 ? 2
5
? ?
? ?
5 5
sen3x s1x sen x
cos 3x c1x cos x
2 s?2 sen 3x x
2
cos 3x x
2
2 c?2 cos 3x x
2
cos 3x x
2
2 s2 s? ?2 s? ?en? ?en? ?2x? ?2x? ? cocos xs x
2 c2 c? ?2 c? ?os? ?os? ?2x? ?2x? ? cocos xs x
se5 5se5 5n 25 5n 25 5x5 5x5 5
cos 2x
tg 2x
16 Transforme em produto a expressão y 5 1 1 cos x.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 1 5 cos 0°. Então, y 5 cos 0° 1 cos x.
5 ?
1
?
2
5 ? ?y 25 ?y 25 ? cos
0° x
2
cos
0° x
2
2 c5 ?2 c5 ? os
x
2
cos
( x2( x)
2 
Como 




 




2 52 5

2 5



2 52 5

cos
x
2
cos
x
2
, temos: 
y 2 cos x
2
cos x
2
2 c 2 cos x
2
2
2
5 ?y 25 ?y 2 ? 5? 5co? 5s? 5x? 5 5 ?2 c5 ?2 c( )( )2 c( )2 cos( )
x
( )2( ) 
17 Fatore a expressão y 5 sen x 1 sen 3x 1 sen 2x 1 sen 4x.
RESOLUÇÃO:
Agrupando os termos dois a dois, temos:
y 5 (sen x 1 sen 3x) 1 (sen 2x 1 sen 4x) 5 
5 2 ? sen x 3x
2
x 31x 3 ? cos x 3x
2
x 32x 3 1 2 ? sen 
2x 4x
2
1
 ? cos 2x 4x
2
2 5
5 2 ? sen 2x ? cos (2x) 1 2 ? sen 3x ? cos (2x)
 Como cos (2x) 5 cos x, colocando 2 ? cos x em evidência, 
vem:
 y 5 2 ? sen 2x ? cos x 1 2 ? sen 3x ? cos x 5 
 5 2 ? cos x ? (sen 2x 1 sen 3x) 5
 5 2 ? cos x ? 



 



2 sen
2x 3x
2
cos
2x x
2
2 s?2 s
1
?
2
 5
 5 2 ? cos x ? 2 ? sen 5x
2
 ? cos ( )( )( )
x
( )( )2( )( )
2( ) 
 Como cos ( )( )( )
x
( )( )2( )( )
2( ) 5 cos 
x
2
, temos:
 y 5 2 ? cos x ? 2 ? sen 
5x
2
 ? cos 
x
2
 5 4 ? sen 5x
2
 ? cos x ? cos x
2
18 Transforme em produto a expressão A 5 1 1 sen 2x.
RESOLUÇÃO:
Como a expressão contém sen 2x, vamos substituir 1 por sen 
2
p
.
A 5 1 1 sen 2x 5 sen 
2
p
 1 sen 2x 5 2 ? sen 
p
1
?
2
2x
2
? cos 2
– 2x
2
p
 5 2 ? sen ( )( )
p
( )1( )( )4( )( )
x( ) ? cos ( )( )
p
( )2( )( )4( )( )
x( ) 
19 Escreva em forma de produto a expressão A 5 sen 2x 1 2 ? 
? cos x.
RESOLUÇÃO:
5 1 ? 5 ? ? 1 ? 5A s5 1A s5 1en5 1en5 12x5 12x5 1 2 c? 52 c? 5os? 5os? 5x 2? 5x 2? 5 se? ?se? ?n x? ?n x? ? cos x 2 c1 ?2 c1 ? os x 







5 ? 1 5 ? ? 1
p
52 c⋅2 c5 ?2 c5 ?⋅5 ?2 c2 c5 ?os5 ?os5 ?x (5 ?x (5 ? sen x 1)1 51)1 52 c? ?2 c? ?os? ?os? ?x sx s

x s

x sx s

? ?x s? ? en x s1x sen
2 































5 ? ? ?
1
p
?
2
p
52 c5 ?2 c5 ? os x 2x 2

x 2

x 2x 2

? ?x 2? ?

? ?x 2x 2? ?


? ?? ?

x 2x 2


? ?x 2? ?

sen
x
2
2
cos
x
2
2
 
2 cos x 2 sen x
2
p
4
cos x
2
p
4
4 cos x sen x
2
p
4
cos x
2
p
4
5 ?2 c5 ?2 c ? ?x 2? ?x 2 1 ?1 ?
p
1 ?
4
1 ? 2 52 5
p
2 5
5 ?4 c5 ?4 c ? 1? 1x s? 1x sen? 1x? 1
2
? 1 ? 2? 2? 2co? 2s? 2

















 
1 ?


1 ?

1 ?





1 ?

1 ?1 ?

1 ?



1 ?

1 ?1 ?

1 ?1 ?

1 ?

1 ?


1 ?1 ?

1 ?

1 ?


1 ?

















 
2 5

2 5

2 5

2 52 5

2 5

2 5


2 5



2 5

2 52 5

2 5



2 5

2 52 5

2 52 5

2 5

2 5


2 52 5

2 5

2 5


2 5

? 1

? 1

? 1

? 1? 1

? 1

? 1


? 1



? 1

? 1? 1

? 1



? 1

? 1? 1

? 1? 1

? 1

? 1


? 1? 1

? 1

? 1


? 1

















 
? 2




? 2





? 2

? 2? 2

? 2











? 2

? 2

? 2


? 2? 2

? 2

? 2


? 2


















 
20 Demonstre que, fatorando a expressão A 5 1 1 tg x, obtém-
-se 5
? 2
p
? 2

? 2




? 2

? 2

? 2


? 2





A
2 c? 22 c? 2os? 2os? 2x? 2x? 2
4
cos x
. 
RESOLUÇÃO:
Vamos fazer 1 5 
p
tg
4
 e substituir na expressão dada:
5 1
p
1 5
p
p
1 51 5A 15 1A 15 1 tg x t5x tg
4
tg1 5tg1 5x1 5x1 5
sen
4
cos
4
se
1 5
se
1 5
n x
1 5
n x
1 5
cos x
 
5
p
? 1
p
?
p
?
5
sen
4
co? 1co? 1s x? 1s x? 1 cos
4
sen x
cos
4
cos x
 
5
? 1 ?
?
5
2
2
co? 1co? 1s x? 1s x? 1
2
2
sen x
2
2
cos x
 
5
1
?
5
1
22
2
(cos x s1x sen x)
22
2
cos x
cos x sen x
cos x
 
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16 Transformações trigonométricas
Como sen x 5 



 



p
2cos
2
x , vamos substituir na expressão 
e teremos:




 




5
1
5
1
p
2
5A
cos x sen x
cos x
cos x cos
2
x
cos x 
















































































5
?
1
p
2
?
2
p
1
5
2
xx
2
xx
2
cos
x
2
x
2
cos x 
















































































5
p
?
2
p
5
2 c?2 cos 2
2
cos
2x
2
2
cos x 







5
p
? 2
p
5
2 c?2 cos
4
co? 2co? 2s xs x

s x

s xs x

? 2s x? 2? 2s xs x? 2


? 2? 2

s xs x


? 2s x? 2
 4
cos x 











 




5
? ?? ? 2
p
5
5
? 2

? 2



? 2? 2

? 2
p
22
2
22
cos xs x

s x

s xs x
 4
cos x
2 c? 22 c? 2os? 2os? 2x? 2x? 2
4
cos x 
Logo, A 5 




 




? 2

? 2



? 2

? 2
p
2 c? 22 c? 2os? 2os? 2x? 2x? 2
4
cos x
.
14 Se u 5cos 3
4
, determine o valor de ?
u
?
u
16 sen
3
2
sen
2
. 
RESOLUÇÃO:
Comparando 16 sen
3
2
sen
2
?
u
?
u com o segundo termo da 
fórmula 2 52 ?
1
?cos x co2 5co2 5s y2 5s y2 5 2 s2 ?2 s2 ? en
x y1x y
2
sen
x y2x y
2
, teremos:
1
5
u
5
u
5 u 5 u

















⇒
x y1x y
2
3
2
x y2x y
2 2
x 25 ux 25 u e y
 
Substituindo na fórmula, sabendo que cos 2a 5 2cos2 a 2 1, 
temos:
⇒u2 u5
u
?
u
cos 2 cos 2u5s 22s 2sen
3
2
sen
2 
⇒ u 2 2 u 52cos 1 c2 u1 c2 u2 uos2 u2
⇒5 2
u
?
u
2 sen
3
2
sen
2 
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒? 2⇒ ⇒⇒ ⇒? 2⇒ ⇒2 5⇒ ⇒⇒ ⇒2 5⇒ ⇒2⇒ ⇒
u
⇒ ⇒
u
⇒ ⇒⇒ ⇒?⇒ ⇒
u
⇒ ⇒
u
⇒ ⇒2⇒ ⇒2⇒ ⇒
9
⇒ ⇒
9
⇒ ⇒
16
1⇒ ⇒1⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
4
2s⇒ ⇒2s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
2
⇒ ⇒se⇒ ⇒⇒ ⇒n⇒ ⇒
2 
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒2 5⇒ ⇒⇒ ⇒2 5⇒ ⇒2⇒ ⇒
u
⇒ ⇒
u
⇒ ⇒⇒ ⇒?⇒ ⇒
u
⇒ ⇒
u
⇒ ⇒
5
⇒ ⇒
5
⇒ ⇒
8
2s⇒ ⇒2s⇒ ⇒⇒ ⇒en⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
3
⇒ ⇒
2
⇒ ⇒se⇒ ⇒⇒ ⇒n⇒ ⇒
2 
⇒
u
?
u
516 sen
3
2
sen
2
5
Uma aplicação importante das fórmulas de adição é determinar as coordenadas do ponto A'(x', y') obtido do ponto A(x, y) por meio 
de uma rotação de ângulo b em torno da origem do sistema de eixos.
Ox e OA formam o ângulo a.
Sendo r 5 OA 5 OA', temos:
x 5 r ? cos a
x' 5 r ? cos (a 1 b)
y 5 r ? sen a
y' 5 r ? sen (a 1 b)
Aplicando as formulas de adição, obtemos:
x' 5 r ? cos a ? cos b 2 r ? sen a ? sen b 5 x ? cos b 2 y ? sen b
y' 5 r ? cos a ? sen b 2 r ? sen a ? cos b 5 x ? sen b 2 y ? cos b
Assim, a rotação do ângulo b em torno da origem é a função 
que associa a cada par ordenado (x, y) do plano o par ordenado 
(x ? cos b 2 y ? sen b, x ? sen b 1 y cos b) desse mesmo plano.
UMA APLICAÇÃO IMPORTANTE
O x'
y'
A'
y
x
A
b
a
y
x
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17Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
PARA CONSTRUIR
13 (UFSM-RS) O pioneiro do abstracionismo nas artes plásticas, 
Wassily Kandinsky, nasceu em Moscou, em 1866. Optou 
inicialmente pela música, o que refletiu em seu trabalho 
como pintor, conferindo-lhe noções essenciais de harmonia. 
A figura a seguir, adaptada de um quadro de Kandinsky, 
apresenta um triângulo ABC retângulo em A.
 
y
C
B
A
x
Sabendo-se que a diferença entre os ângulos x e y é 60°, o 
valor de sen x 1 sen y é: c 
a) 
1
2
.
b) 
3
2
.
c) 6
2
.
d) 3
3
.
e) 6
3
. 
De acordo com os dados do problema, temos o sistema:
x y 60
x y 90
°
°



2 5
1 5
Resolvendo o sistema, temos x 5 75° e y 5 15°.
Utilizando uma das fórmulas de transformação em produto, 
temos:
1 5 ?
1
?
2
5
5 ? ? 5 ? ? 5
sen 75 sen 15 2 sen
75 15
2
cos
75 15
2
2 sen 45 cos 30 2
2
2
3
2
6
2
.
° °
° ° ° °
° °
14 Demonstre que 
2
1
1 cos x
1 cos x
 5 tg2 
x
2
.
2
1
1 cos x
1 cos x
 5 
2
1
cos 0 cos x
cos 0 cos x
 5 
– 2 sen
x
2
sen
x
2
2 cos
x
2
cos
x
2
( )
( )
? ? 2
? ? 2
 5 
5 
sen
x
2
sen
x
2
cos
x
2
cos
x
2
?
?
 5 tg2 
x
2
 
En
em
C-2
H-8
15 Utilizando soma ou diferença de seno ou de cosseno, 
represente os produtos: 
a) 2 ? sen 3x ? cos x
2sen 3x ? cos x 5 2 ? sen 
a b
2( )
1
 ? sen 
a b
2( )
2
 5 sen a 1 sen b





1
5
2
5
a b
2
3x
a b
2
x
 ⇒ a 5 4x e b 5 2x 
2 ? sen 3x ? cos x 5 sen 4x 1 sen 2x
b) 2 ? sen 15° ? cos 75°
2 ? sen 15° ? cos 75° 5 2 ? sen 



2x y
2
 ? cos 




1x y
2
 5 
5 sen x 2 sen y





2
5
1
5
x y
2
15º
x y
2
75º
 ⇒ x 5 90° e y 5 60°
2 ? sen 15° ? cos 75° 5 sen 90° 2 sen 60° 5 1 2 sen 60°
c) 2 ? cos 20° ? cos 10°
2 cos 20 cos 10 2 cos
x y
2
cos
x y
2
? ? 5 ?
1
?
2
5 1° °












 
cos x cos y5 1
x y
2
20
x y
2
10
x 30° ey 10°
1
5
2
5
5 5
°
°





⇒
 
2 cos 20 cos10 cos 30 cos 10° ° ° °? ? 5 1
 
2120596_2021619_SER_EM_MAT_GEOM_CAD4_CAP1_01a24_AL_PR.indd 17 2/11/15 6:51 PM
18 Transformações trigonométricas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 20 a 24   Para aprimorar: 3 a 4
16 Qual é o valor de sen 
13
12
p
 ? cos 
13
12
p
?
sen 
13
12
p
 ? cos 
13
12
p
 5 
1
2
 ? sen 2 ? 
13
12
p
 5 
1
2
 ? sen 
26
12
p
 5 
1
2
 ? sen 
13
6
p
 5
5 
1
2
 ? sen 2 +
6( )
p
p
 5 
1
2
 ? sen 2 cos
6
sen
6
cos 2( )p?
p
1
p
? p 5
5 
1
2
 ? sen 
6
p
 5 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
 
d) 22 ? sen 2a ? sen a
−











2 sen 2a sen a 2 sen
x y
2
sen
x y
2
? ? 5 2 ?
1
?
2
5 2
cos x cos y5 2 
x y
2
2a
x y
2
a
x 3a e y a
1
5
2
5
5 5





⇒
 
2 sen 2a sen a cos 3a cos a2 ? ? 5 2 
PARA PRATICAR
1 Usando as fórmulas da adição, determine:
a) sen 75°
b) cos 135°
c) cos 195°
d) sen 165°
e) sen 225°
f ) cos 225°
g) cos 300°
h) sen 345°
2 Dado tg x 5 1
2
, calcule o valor de y 5 tg (x 1 45°) 1 tg (x 2 45°).
3 Sabe-se que sen a 5 
4
5
 e sen b 5 
12
13
, com 0 , a , 
2
p
 e 
0 , b , 
2
p
. Determine, então, sen (a 1 b), cos (a 2 b) e 
tg (a 1 b).
4 Se sen a 5 
3
5
 e tg b 5 2, com 0 , a , 
2
p
 e 0 , b , 
2
p
, calcule 
tg (a 1 b). 
5 Se tg (x 1 y) 5 2 e tg y 5 1, calcule tg x.
6 Determine o valor de:
a) sen 40° ? cos 20° 1 sen 20° ? cos 40°
b) cos 50° ? cos 10° 2 sen 50° ? sen 10°
c) sen 160° ? cos 70° 2 sen 70° ? cos 160°
d) cos 75° ? cos 15° 1 sen 75° ? sen 15°
e) 
1
2 ?
tg 46° tg 14°
1 tg 46° tg 14°
 
f ) 
1 2
1 1 ?
tg (45° x) tg x
1 (45° x) tg x
 
7 Sabendo que x 1 y 5 
4
p , encontre o valor de (1 1 tg x) ? 
? (1 1 tg y).
8 Encontre o valor de (sen x 1 cos y)2 1 (cos x 1 sen y)2, 
sabendo x 1 y 5 30°.
9 Dados x 1 y 5 
4
p
 e tg y 5 t, calcule tg x em função de t.
10 Dado A 5 [(sen x 1 cos x) 1 1] ? [(sen x 1 cos x) 2 1], mostre 
que A 5 sen 2x.
11 Se sen x 5 
3
5
 e cos x 5 4
5
, com 0 , x , 
2
p
, determine sen 2x, 
cos 2x e tg 2x.
12 Se tg x 5 
1
4
, calcule o valor de tg 2x.
13 Sabendo que sen a 2 cos a 5 2
5
, calcule sen 2a.
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As 
resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
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19Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
14 Simplifique a expressão A 5 
sen 2x
sen x
 2 
cos 2x
cos x
, para sen x Þ 0 
e cos x Þ 0. 
15 Sendo cos 2u 5 
3
4
 e 0 , u , 
2
p
, determine o valor de 
20 ? cos2 u 1 44 ? sen2 u.
16 Dado:
a) cos x 5 
1
2
, com 0 , x , 
2
p
, determine cos 
x
2
.
b) cos x 5 
2
3
, com 0 , x , 
2
p
, determine sen 
x
2
.
c) sen x 5 
3
5
, com 0 , x , 
2
p
, determine sen 
x
2
, cos 
x
2
 e tg 
x
2
.
d) cos 135° 5 2
2
2 , calcule sen 67° 37' e cos 67° 30'.
17 Dado tg 
x
2
 5 
1
4
, determine sen x, cos x e tg x.
18 Se tg 
x
2
 5 
1
2
, calcule sen x 1 cos x.
19 Dados tg 5 
a
2
 5 2 e tg 
b
2
 5 
1
2
, calcule tg (a 1 b). 
20 Transforme em produto as seguintes expressões: 
a) sen 60° 2 sen 40°
b) sen 3a 1 sen 5a
c) sen (2x 1 y) 1 sen (2x 2 y)
d) cos 50° 1 cos 30°
e) cos 5x 2 cos x
f ) cos (a 1 b 1 c) 1 cos (a 1 b 2 c)
g) y 5 sen 7x 1 sen 5x 1 sen 3x 1 sen x
h) y 5 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x 1 cos 8x
i) z
cos x cos y
cos x cos y
5
1
2
 
j) sen2 x 2 sen2 y
21 Transforme em produto estas expressões:
a) 1 1 cos x
b) 1 2 cos x
c) cos 2x 1 1
d) 1 1 sen 2x
e) sen x 2 cos x
f ) sen 60° 1 cos 40°
g) sen x ? cos x 1 cos2 x 
22 Simplifique as expressões:
a) 
sen a sen b
cos a cos b
1
1
b) 
cos 4a cos 2a
sen 4a sen 2a
1
2
23 Fatore as expressões:
a) y 5 sen 2x 2 2 ? sen x
b) y 5 sen x 1 sen x ? cos 4x
24 Simplifique 
1 1
1 1
sen 30° sen 40° sen 50°
cos 30° cos 40° cos 50°
.
PARA APRIMORAR
1 Demonstre que:
a) sen 3a 5 3 ? sen a 2 4 ? sen3 a (Sugestão: 3a 5 2a 1 a)
b) cos 3a 5 4 ? cos3 a 2 3 ? cos a
c) tg 3a 5 
? 2
2 ?
3 tg a tg a
1 3 tg a
2
2
2 (Fuvest-SP) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz
2
p , x , p e verifica a equação sen x 1 sen 2x 1 sen 3x 5 
5 0. Assim:
a) determine x;
b) calcule cos x 1 cos 2x 1 cos 3x.
3 (Aman-RJ) A expressão sen 7x 1 2sen 3x 1 sen 3x 2 sen x, 
transformada em produto, é:
a) 4 cos2 2x ? sen 3x
b) 4 cos2 2x ? sen 2x
c) 2 sen2 2x ? cos 3x
d) 2 sen2 2x ? cos 2x
e) n.d.a.
4 (PUC-SP) sen a 1 2sen 2a 1 sen 3a é igual a:
a) 2cos a ? sen2 
2
a 
b) 4sen 2a ? cos2 
2
a
c) sen 2a ? cos 2a
d) 3sen 2a ? cos 2a
e) 3sen 2a ? cos 2a
ANOTAÇÕES
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20 Transformações trigonométricas
Veja, no Guia do Professor, as repostas da “Revisão”. As resoluções encontram-se no 
portal, em Resoluções e Gabaritos.
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.REVISÃO
1 (Escola Naval-RJ) Sabendo que sen x ? cos x 5 
1
6
, o valor 
de E na expressão E 5 sen6 x 1 cos6 x é igual a:
a) 1. d) 1
2
2 .
b) 21. e) 0.
c) 
1
2
 .
2 (Mack-SP) Se tg (x 2 y) 5 
a b
a b
a b2a b
a b1a b
 e tg (y 2 z) 5 
b a
a b
b a2b a
a b1a b
, 
a 1 b ≠ 0, então tg (x 2 z) vale:
a) ab. b) a
b
. c) b
a
. d) 1. e) 0.
3 (Uerj) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros 
de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do 
chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte 
desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhado à base B, 
conforme demonstra a figura abaixo:
 B
A
C D
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a 
medida do ângulo C BAD corresponde a:
a) 60°.
b) 45°.
c) 30°.
d) 15°.
4 (UEPG-PR) Analise as proposições e dê a soma da(s) 
correta(s). 
(01) cos 247° sen 337°5 
(02) A igualdade a seguir é uma identidade trigonomé-
trica: 
? ?
? ?
5
sen a tg? ?tg? ?a c? ?a c? ? ossec a
cos a co? ?co? ?tg? ?tg? ?a s? ?a s? ? ec a
tg a2 
(04) Se cos x
1
2
,. então sec x , 2
(08) Se x [ 











3
2
, 2 ,
p
p então cos x 2 sen x . 0
(16) ( )( )sen 2( )n 2( )( )x( )( )2( )
cos 2x( )1( )( )
p
( )5 
5 (ESPCEX-SP) O retângulo ABCD está dividido em três qua-
drados, como mostra a figura a seguir.
 A
D C
B2 cm
2 cm
2 cm2 cm
uba
Nessas condições, pode-se concluir que a 1 b 1 u é 
igual a:
a) 
2
.
p b) 
4
.
p
c) 
3
.
p
d) 
6
.
p
e) p.
6 (Uece) A expressão cos
17
sen
17
4 4se4 4n4 4
p4 4p4 4
2
p
 é igual a:
a) 21. c) 
p
tg
4
17
.
b) 4 sen
17
cos
17
p p
. d) 
p
cos
2
17
.
7 (UFU-MG) O valor de tg 10° ? (sec 5° 1 cossec 5°) ? (cos 5° 2
2 sen 5°) é igual a:
a) 2. b) 1
2
. c) 1. d) 2. 
8 (ITA-SP) O valor de x que satisfaz a equação 
p
x t5x tg
12
 é:
a) x 4 3x 45x 4 . c) x 7 35 2x 75 2x 7 . e) x 9 4 34 35 2x 95 2x 9 .
b) x 5 4 34 35 2x 55 2x 5 . d) 5 2x 75 2x 75 2 4 34 3 . 
9 (UFSM-RS) Para facilitar o trânsito em um cruzamento 
muito movimentado, será construída uma ponte sobre a 
qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em re-
lação à outra, deverá ser de 5,0 m. O ângulo da inclinação 
da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5°.
d
5 m
22,5°
A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa 
que dará acesso à ponte, medida a partir da margem da 
outra via, conforme mostra a figura, deverá ser de:
(Dados: tg 2u 5 
u
2 u
2tg
1 t2 u1 t2 ug2 ug2 u22 u22 u e tg 45° 5 1)
a) ( )( )5 2( )5 2( )( )5 2( )1( )( )1( ). 
b) ( )( )
5
2
( )2 1( )( )2 12( )22 1 . 
c) ( )( )
5
3
( )2 1( )( )2 11( )12 1 .
d) ( )( )
5
3
( )3 1( )( )3 12( )23 1 .
e) ( )( )
5
4
( )3 1( )( )3 11( )13 1 .
En
em
C-2
H-6
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
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21Transformações trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
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IC
A
 
 
G
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O
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O
M
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IA
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do professor de Matemática, v. 1-2)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 . Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
ANOTAÇÕES
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22 Transformações trigonométricas
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
1°
2°
3°
4°
5°
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
46°
47°
48°
49°
50°
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
6°
7°
8°
9°
10°
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
51°
52°
53°
54°
55°
0,777
0,788
0,799
0,809
0,819
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
11°
12°
13°
14°
15°
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
56°
57°
58°
59°
60°
0,829
0,839
0,848
0,857
0,866
0,559
0,545
0,530
0,515
0,500
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
16°
17°
18°
19°
20°
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
61°
62°
63°
64°
65°
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
21°
22°
23°
24°
25°
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
66°
67°
68°
69°
70°
0,914
0,921
0,927
0,934
0,940
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
26°
27°
28°
29°
30°
0,438
0,454
0,469
0,485
0,500
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
71°
72°
73°
74°
75°
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
31°
32°
33°
34°
35°
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
76°
77°
78°
79°
80°
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,242
0,225
0,208
0,191
0,174
4,011
4,332
4,705
5,145
5,671
36°
37°
38°
39°
40°
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
81°
82°
83°
84°
85°
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,156
0,139
0,122
0,105
0,087
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
41°
42°
43°
44°
45°
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
86°
87°
88°
89°
0,998
0,999
0,999
1,000
0,070
0,052
0,035
0,017
14,301
19,081
28,636
57,290
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ENEMMAIS
23
A ligação entre os bairros Vila Honra, Jardim Marim e Cidade 
Luca é feita por apenas uma avenida, a qual fica congestionada 
diariamente pelo excesso de veículos em direção ao centro da cidade. 
Para solucionar esta questão, a Prefeitura irá construir dois túneis que 
sairão dos bairros Vila Honra, Jardim Marim e os ligarão ao centro. 
Observe o projeto: 
Vila Honra
Jardim Marim
Cidade Luca Centro
Túnel 1
Túnel 2
a
a
Sabe-se que, atualmente, uma pessoa que sai do Jardim Marim 
demora em média 1,3 hora para chegar ao centro, a uma velocidade 
média de 10 km/h, sendo que a distância da Cidade Luca até o centro 
é de 10 km. 
Com auxílio de uma calculadora e baseando-se no texto acima, 
responda às questões 1 e 2.
1 Um motorista que mora na Vila Honra, ao ir pelo túnel 2, redu-
zirá seu trajeto em aproximadamente: d
(Dado: cos 2a 5 0,5)
a) 1 km.
b) 2 km.
c) 3 km.
d) 4 km.
e) 5 km.
2 Se, com a construção do túnel 1, o morador do Jardim Ma-
rim puder chegar ao centro em aproximadamente 0,2 h, a 
velocidade média aproximada com que ele percorrerá o tú-
nel será de: d
a) 30 km/h.
b) 35 km/h.
c) 40 km/h.
d) 45 km/h.
e) 50 km/h.
3 O sextante é um instrumento destinado a medir ângulos 
horizontais e verticais, especialmente os que possibili-
tam determinar a altura dos astros. O sextante marítimo, 
devido à sua grande importância histórica na determina-
ção da posição dos navios no mar, é o símbolo adotado 
pela navegação e pelos navegadores há mais de duzentos 
anos.
Este instrumento tem uma extensão angular de 60° (ori-
gem da designação “sextante”) e está graduado de 0° a 120°. 
Um sistema de dupla reflexão, formado por um espelho mó-
vel e um espelho fixo, permite efetuar o ângulo entre duas 
imagens do horizonte (no caso de se pretender medir o ângu-
lo entre elas).
O sextante marítimo, o mais comum, permite realizar 
medições angulares com uma exatidão de cerca de 0,5 minu-
to de arco. 
Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Sextante>.
Acesso em: 19 nov. 2014. Adaptado.
Um navio encontra-se no ponto A, e os astros, nos pontos B, C 
e D indicados na figura a seguir:
B
A
CD
Sabe-se que o navio, em A, está a 450 mil quilômetros de dis-
tância do astro B e forma uma perpendicular com o alinha-
mento dos demais astros.
Se o ponto B dista 300 mil quilômetros de C e 2 250 mil quilô-
metros de D, a medida do ângulo C BAD encontrado pelo sex-
tante localizado no navio corresponde a: c
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.
C
A
S
A
 D
E
 T
IP
O
S
/A
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Q
U
IV
O
 D
A
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D
IT
O
R
A
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 Matemática e suas Tecnologias
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QUADRO DE IDEIAS
sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a
cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a
cos 2a 5 1 2 2 ? sen2 a
cos 2a 5 2 ? cos2 a 2 1
tg 2a 5 
?
2
2 tg a
1 tg a2
Fórmulas de adição 
e de subtração
Fórmulas do 
arco duplo
Fórmulas do 
arco metade
Fórmulas de 
transformação em 
produto
sen2 
a
2
 5 
21 cos a
2
cos2 
a
2
 5 
11 cos a
2
sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a
cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b
tg (a 1 b) 5 
1
2 ?
tg a tg b
1 tg a tg b
sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a
cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b
tg (a 2 b) 5 
2
1 ?
tg a tg b
1 tg a tg b
 
sen x 1 sen y 5 2 ? sen 
1x y
2
 ? cos 
2x y
2
cos x 1 cos y 5 2 ? cos 
1x y
2
 ? cos 
2x y
2
sen x 2 sen y 5 2 ? sen 
2x y
2
 ? cos 
1x y
2
cos x 2 cos y 5 22 ? sen 
1x y
2
 ? sen 
2x y
2
Presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Carlos Roberto Piatto
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Conselho editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves, 
Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
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Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, 
Tania Fontolan
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Edição: Tatiana Leite Nunes (coord.), Pietro Ferrari
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 Sistema de ensino ser : ensino médio,
caderno 4 : geometria : PR / Luiz Roberto Dante. --
2. ed. -- São Paulo : Ática, 2015.
 1. Geometria (Ensino médio) 2. Matemática
(Ensino médio) I. Título.
14–12034 CDD–510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática : Geometria : Ensino médio 510.7
2015
ISBN 978 85 08 17162-0 (AL)
ISBN 978 85 08 17164-4 (PR)
2ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
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Transformações trigonométricas
 LUIZ RO BERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP.
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela 
PUC/São Paulo.
Mestre em Matemática pela USP .
Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
(Sbem).
Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação 
Matemática (Ciaem).
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp 
– Rio Claro/SP .
Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de 
Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção 
Aprendendo Sempre – Matemática (1o ao 5o ano); Tudo é Mate-
mática (6o ao 9o ano); Matemática – Contexto & Aplicações –
Volume único (Ensino Médio); Matemática – Contexto & Aplica-
ções – 3 volumes (Ensino Médio).
MÓDULO
 Transformações trigonométricas (8 aulas)
MATEMÁTICA 
GUIA DO PROFESSOR
geomeTria e TrigonomeTria
2120619_SER_EM_MAT_GEOM_CAD4_CAP1_GuiaProf.indd 1 2/13/15 9:49 AM
2 GUIA DO PROFESSOR
MÓDULO
Transformações trigonométricas
Plano de aulas sugerido
Carga semanal de aulas: 2
Número total de aulas do módulo: 8
Competências
 c Construir noções de 
grandezas e medidas para a 
compreensão da realidade e 
para a solução de problemas 
do cotidiano.
 c Construir noções de 
variação de grandezas para a 
compreensão da realidade e 
para a solução de problemas 
do cotidiano.
Habilidades
 c Identificar relações entre 
grandezas e unidades de 
medida.
 c Resolver situações-problema 
que envolvam medidas de 
grandezas.
 c Avaliar o resultado de uma 
medição na construção de 
um argumento consistente.
 c Identificar a relação 
de dependência entre 
grandezas.
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em 
questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique 
aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) 
competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área 
de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; 
Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: 
azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está 
disponível no portal.
 1. Transformações TrigonoméTricas
Objeto do conhecimento
Conhecimentos geométricos.
Objeto específico
Grandeza, unidades de medida e escalas. Comprimentos, área e 
volumes. Ângulos. Trigonometria do ângulo agudo.
aulas 1 e 2
 Páginas: 4 a 8
fórmulas de adição e de subtração
objetivos
 Apresentar as transformações trigonométricas.
 Explicar aos alunos a adição de arcos.
estratégias
Apresente as seis fórmulas utilizadas para calcular senos, cossenos 
e tangentes envolvendo adição e subtração de arcos: sen (a ± b), 
cos (a ± b), tg (a ± b). Aproveite os exemplos fornecidos para com-
plementar sua explicação.
No item II do “Para refletir” da página 4, dê como exemplo o caso 
de a 5 b, substituindo a por 45º, ou 0.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 a 10 do “Para 
praticar” (página 18).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
aulas 3 e 4
 Páginas: 9 a 11
fórmulas do arco duplo
objetivo
 Apresentar as noções de arco duplo.
estratégias
Exponha as fórmulas do arco duplo por meio das explicações da 
página 9.
Explique os exercícios resolvidos 6 a 8 e peça aos alunos que, em 
duplas, resolvam os exercícios 4 a 9 da seção “Para construir”. Em se-
guida, corrija-os e explore os quadros “Para refletir” (página 10).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 11 a 15 do “Para prati-
car” (páginas 18 e 19) e as atividades 1 e 2 do “Para aprimorar” (página 19).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
aula 5
 Páginas: 12 e 13
fórmulas do arco metade
objetivo
 Apresentar as noções de arco metade.
estratégias
Exponha as fórmulas do arco metade por meio das explicações 
da página 12.
Explique os exercícios resolvidos 9 a 11 e peça aos alunos que, em 
duplas, resolvam os exercícios 10 a 12 da seção “Para construir”. Em 
seguida, corrija-os e explore o “Para refletir” (página 13).
Se possível, trabalhe em aula o exercício extra presente neste guia.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 16 a 19 do “Para 
praticar” (página 19).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
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Transformações trigonométricas
aulas 6 e 7 Páginas: 14 a 18
fórmulas de transformação em produto
objetivo
 Demonstrar as fórmulas de transformação em produto.
estratégias
Utilize as fórmulas de adição e de subtração de arcos para ensinar 
as fórmulas de transformação em produto.
Explique os exercícios resolvidos 12 a 21 e peça aos alunos que, 
em duplas, resolvam os exercícios 13 a 16 da seção “Para construir”. 
Em seguida, corrija-os e explore o boxe “Uma aplicação importante” 
(página 16).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 20 a 24 do “Para 
praticar” (página 19) e as atividades 3 a 4 do “Para aprimorar” 
(página 19).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
 reVisÃo e mais enem
aula 8 Páginas: 20 a 23
objetivos
 Desenvolver, por meio de exercícios, uma revisão dos conteúdos 
estudados no módulo.
 Desenvolver habilidades e competências.
 Apresentar conteúdos interdisciplinares.
estratégias
Selecione alguns exercícios da "Revisão" e resolva-os com os alunos. 
Identifique os conteúdos em que ainda há dúvidas e resolva os exer-
cícios correspondentes na lousa.
Proponha à classe a leitura e o desenvolvimento das atividades do 
“Mais Enem”. Em seguida, discuta as perguntas e faça a correção das 
questões 1, 2 e 3. Na questão 1, os alunos poderão perceber que, se 
cos 2a 5 0,5, então 2a 5 60° ⇒ a 5 30°, e a partir daí desenvolvê-la.
Já no exercício 2, eles irão revisar Pitágoras.
Para finalizar, discuta as perguntas e faça a correção das ques-
tões 1, 2 e 3.
eXercÍcio eXTra
 (Fuvest-SP) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto 
determinadodo caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente:
Dados: .3 1,73; sen
2
1 cos
2
.2 u 5 2 u( ) 
a) 7 m. b) 26 m. c) 40 m. d) 52 m. e) 67 m.
RESOLUÇÃO:
Considere a figura, em que h é a diferença pedida.
100 m
h
15°
Sabendo que cos 30
3
2
5° vem
.
.
.
.
sen 30
2
1 cos 30
2
sen 15
1
3
2
2
sen 15
2 1,73
2
sen15 1
2
27
100
sen15 1
2
3 1,73
10
sen15 0,26.
2 25
2
5
2
2
?
?
?
( )° ° ⇔ ° ⇒
⇒ ° ⇒
⇒ ° ⇒
⇒ ° ⇒
⇒ °
Portanto, 
h 5 100 ? sen 15° . 100 ? 0,26 5 25m. 
Alternativa b.
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4 GUIA DO PROFESSOR
resPosTas
 caPÍTulo 1 – Transformações 
geoméTricas
 Para PraTicar – páginas 18 e 19
 1. a) +2 6
4
b) − 2
2
 
c) − +6 2
4
d) −6 2
4
e) − 2
2
f ) − 2
2
g) 1
2
h) −2 6
4
 2. 8
3
 3. + =sen (a b)
56
65
;
 
− =cos (a b) 63
65
;
 
+ = −tg (a b) 56
33
 4. −11
2
 5. 1
3
 6. a) 3
2
 
b) 1
2
c) 1
d) 1
2
e) 3
f ) 1
 7. 2
 8. 3
 9. −
+
1 t
1 t
 10. A 5 (sen x 1 cos x)2 21 5 sen2 x 1 2 ? sen x ? cos x 1 cos2 x 1 1 5 
5 2 ? sen x ? cos x 5 sen 2x
 11. =sen 2x 24
25
;
 
=
=
cos 2x
7
25
;
tg 2x
24
7
 12. 8
15
 13. 21
25
 14. sec x
 15. 47
2
 16. a) 3
2
b) 6
6
c) =sen x
2
10
10
;
 
=cos x
2
3 10
10
;
 
=tg x
2
1
3
d) sen 67 30'
2 2
2
;5
1°
 
° = −cos 67 30' 2 2
2
 17. =sen x 8
17
;
 
=
=
cos x
15
17
;
tg x
8
15
 18. 
7
5
 19. tg (a 1 b) 5 0
 20. a) 2 ? sen10° ? cos 50°
b) 2 ? sen 4a ? cos a
c) 2 ? sen 2x ? cos y
d) 2 ? cos 40° ? cos 10°
e) −2 ? sen 3x ? sen 2x
f ) 2 ? cos (a + b) ? cos c
g) 4 ? sen 4x ? cos x + cos 2x
h) 4 ? cos x ? cos 5x ? cos 2x
i) cotg
x y
2
cotg
x y
2
?−
−



+



j) sen (x + y) ? sen (x − y)
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Transformações trigonométricas
 21. a) 2 cos
x
2
2
?
b) 2 sen
x
2
2
?
c) 2 ? cos2 x
d) 2 sen
4
x2?
p +


e) 2 sen x
4
?
p−


f ) sen 60° + cos 40° 5 sen 60° + sen 50° 5 2 ? sen 55° ? cos 5°
g) 2 cos x cos
4
x? ?
p −


 22. a) tg
a b
2
+



b) cotg a
 23. a) y 4 sen x sen
x
2
2
5 2 ? ?
b) y 5 2 ? sen x ? cos2 2x
 24. tg 40°
 Para aPrimorar – página 19
 1. Há várias possibilidades de resposta; entre elas:
a) sen 3a 5 sen (2a 1 a) 5 sen 2a ? cos a 1 sen a ? cos 2a 5 
 5 2 ? sen a ? cos a ? cos a 1 sen a ? (cos2 a 2 sen2 a) 5 
 5 2 ? sen a ? cos2 a 1 sen a ? cos2 a 2 sen3 a 5 
 5 3 ? sen a ? cos2 a 2 sen3 a 5 3 ? sen a ? (1 2 sen2 a) 2 sen3 a 5 
 5 3 ? sen a 2 3 ? sen3 a 2 sen3 a 5 3 ? sen a 2 4 ? sen3 a
b) cos 3a 5 cos (2a 1 a) 5 cos 2a ? cos a 1 sen 2a ? sen a 5
 5 (cos2 a 2 sen2 a) ? cos a 2 2 ? sen a ? cos a ? sen a 5 
 5 cos a3 2 sen2 a ? cos a 2 2 ? sen2 a ? cos a 5
 5 cos3 a 2 3 ? sen2 a ? cos a 5
 5 cos3 a 2 3 ? (1 2 cos2 a) ? cos a 5 
 5 cos3 a 2 3 ? cos a 1 3 ? cos3 a 5 4 ? cos3 a 2 3 ? cos a
c)
 
;
tg 3a tg (2a a)
tg 2a tg a
1 tg 2a tg a
2 tg 2a
1 tg a
tg a
1
2 tg 2a
1 tg a
tg a
2 tg a tg a tg a
1 tg a
1
2 tg a
1 tg a
3 tg a tg a
1 tg a
1 tg a 2 tg a
1 tg a
3 tg a tg a
1 3 tg a
2
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2
2
3
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2 2
2
3
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5 1 5
1
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5
5
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2
1
2
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2
?
5
? 1 2
2
2
?
2
5
5
? 2
2
2 2 ?
2
5
? 2
2 ?
 2. a) x 2
3
5
p
b) 0 (zero)
 3. a.
 4. b.
 Para refleTir
 página 4
 cos (60° 1 30°) Þ cos 60° 1 cos 30°
 tg (60° 2 30°) Þ tg 60° 2 tg 30°
 sen (90° 1 0°) 5 sen 90° 1 sen 0°
página 6
 cos (2b) 5 cos (2p 2 b) 5
 5 cos 2p ? cos b 1 sen 2p ? sen b 5 cos b
 sen (2b) 5 sen (2p 2 b) 5 sen 2p ? cos b 2 sen b ? cos 2p 5
 5 2sen b
 6 2
4
0,966
1
. 
 Que o cosseno do ângulo suplementar é oposto ao cosseno do 
ângulo.
 tg (a b)
sen (a b)
cos (a b)
sen (a b)
cos a cos b
cos (a b)
cos a cos b
1 5
1
1
5
1
?
1
?
5 
 
sen a cos b
cos a cos b
sen b cos a
cos a cos b
cos a cos b
cos a cos b
sen a sen b
cos a cos b
tg a tg b
1 tg a tg b
5
?
?
1
?
?
?
?
2
?
?
5
1
?−
 tg (a b) tg a ( b)
tg a tg ( b)
1 tg a tg ( b)
2 5 1 2 5
1 2
2 ? 2
5[ ] 
 
tg a ( tg b)
1 tg a ( tg b)
tg a tg b
1 tg a tg b
5
1 2
2 ? 2
5
2
1 ?
 
página 7
x 5 18°
página 13
1 tg
x
2
1 tg
x
2
cos
x
2
sen
x
2
cos
x
2
cos
x
2
sen
x
2
cos
x
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
1
5
2
1
5
 
cos
x
2
sen
x
2
cos
x
2
sen
x
2
cos x
1
cos x
2 2
2 2
5
2
1
5 5
 reVisÃo – página 20
 1. c.
 2. e.
 3. b.
 4. 01 1 02 1 04 1 08 1 16 5 31
 5. a.
 6. d.
 7. a.
 8. d.
 9. e.
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6 GUIA DO PROFESSOR
referências bibliográficas
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do professor de Matemática, v. 1-2)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 ________. Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
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Transformações trigonométricas
ANOTAÇÕES
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8 GUIA DO PROFESSOR
ANOTAÇÕES
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518962PROFESSOR
O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da 
atualidade. Pensando nisso, apresentamos, no Ensino Médio, capas com animais da 
fauna brasileira em extinção. Esperamos que as imagens e as informações fornecidas 
motivem os estudantes a agir em favor da preservação do meio ambiente.
O lobo-guará (Chrysocyon brachyurus) é o animal de maior porte da família dos 
canídeos e pode atingir até 1 metro de altura e 1,2 metro de comprimento. Está 
ameaçado de extinção, por causa da destruição de seu hábitat, ocasionada pela 
exploração do cerrado para o plantio de soja e o pastoreio de gado. Ao contrário de 
outras espécies de lobo, ele raramente caça animais de grande porte, alimentando-se 
principalmente de roedores, pequenos répteis, caules doces, mel, aves e frutas.
Desde 2009, o Plano de Ação Nacional para a Conservação do Lobo-guará, que 
envolve institutos nacionais e internacionais, procura reverter o declínio populacional 
da espécie, reduzindo a categoria de ameaça atual.
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