Coletanea de Exercicios - Mercados e Investimentos financeiros

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MERCADOS E INVESTIMENTOS FINANCEIROS 
 
COLECTÂNEA DE EXERCÍCIOS 
 
(ACÇÕES, OBRIGAÇÕES, GESTÃO DE CARTEIRAS, 
OPÇÕES, FORWARDS e FUTUROS, SWAPS, 
PRODUTOS ESTRUTURADOS, VaR e TCE, 
AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE, ÉTICA E 
DEONTOLOGIA) 
 
 
 
 
João Duque 
Junho de 2004 – versão 1.1
 
 2
 
Índice 
 
PARTE I - Exercícios e Problemas..................................................................................... 3 
I - ACÇÕES ........................................................................................................................ 4 
II – OBRIGAÇÕES ............................................................................................................ 5 
III – GESTÃO DE CARTEIRAS ....................................................................................... 7 
IV – OPÇÕES................................................................................................................... 24 
V – FORWARDS E FUTUROS FINANCEIROS ........................................................... 38 
VI – SWAPS..................................................................................................................... 42 
VII – PRODUTOS ESTRUTURADOS ........................................................................... 44 
VIII – VaR e TCE............................................................................................................. 46 
IX – AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE ..................................................................... 49 
X – ÉTICA E DEONTOLOGIA....................................................................................... 50 
PARTE II - Perguntas de Resposta Múltipla .................................................................... 52 
 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 4
 
I - ACÇÕES 
 
 
Exercício 1.1 
 
Durante 6 meses observaram-se as rendibilidades instantâneas mensais das acções da PT 
e da EDP que se deixam no quadro abaixo: 
 
Mês RPT,t REDP,t 
1 -0,0125 0,0125
2 0,0250 -0,0250
3 0,0500 0,0250
4 -0,0250 0,0500
5 0,0250 0,0250
6 0,0125 -0,0125
 
a) Qual a taxa instantânea de rendibilidade média mensal de cada um dos activos? 
b) Qual a volatilidade de cada uma das acções? 
c) Qual a covariância entre ambas? 
d) Qual o coeficiente de correlação entre ambas? 
e) Qual o coeficiente de assimetria e achatamento de cada uma? 
f) Se as observações forem representativas de duas distribuições normais de média e 
variância igual à calculada em a) e b), qual das acções apresenta maior risco total? 
g) Qual a probabilidade das acções da PT apresentarem uma rendibilidade negativa? 
h) Se o preço das acções da PT e da EDP forem respectivamente 10.00€ e 3.5€ 
respectivamente, no início do período de observação, qual a cotação no final dos 6 
meses? 
 
 
Exercício 1.2 
 
Suponha que comprou uma acção por 100.00 € e que a manteve 3 anos na sua 
carteira de investimentos financeiros. Ao fim do 1º ano a cotação estava em 110.00 
€, ao fim de 2 anos estava em 102,50 € e ao fim de 3 anos voltou para os 100.00 €. 
 
 
 5
a) Qual a taxa de rendibilidade de cada ano se o activo pagou 2.00 € de 
dividendos em cada um dos anos? 
b) E qual a taxa de rendibilidade instantânea equivalente para cada ano? 
c) Qual a taxa média de rendibilidade no período de 3 anos usando as 
metodologias aritméticas e geométricas? (considere ambas as taxas 
instantâneas e não instantâneas) 
d) Qual a taxa de remuneração por via de distribuição de dividendos (dividend 
yield) de cada ano? 
e) Quais as taxas que obteríamos como respostas às alíneas a), b) e c) se não 
considerássemos os dividendos? 
f) Qual das metodologias, aritmética ou geométrica, lhe parece mais correcta? 
Porquê (Justifique num máximo de 5 linhas). 
 
 
II – OBRIGAÇÕES 
 
Exercício 2.1 
 
Um gestor de carteiras de obrigações tem na sua carteira obrigações representativas de 
dois empréstimos obrigacionistas: 
i) o empréstimo obrigacionista emitido por uma empresa nacional à taxa de 
cupão fixa de 6% ao ano e vencimento dentro de 5 anos; 
ii) o empréstimo obrigacionista emitido por uma empresa espanhola à taxa de 
cupão fixa de 5% ao ano e vencimento dentro de 3 anos; 
 
Ambos os empréstimos são de emissões em euros e ambas as obrigações pagam juros 
semestrais e o valor nominal é 1.000€. Ambas acabaram agora mesmo de pagar um 
cupão. A taxa de juro apropriada para o desconto dos cash-flows de ambas as emissões é 
igual (7,5% ao ano) e a estrutura temporal de taxas de juro está “flat”. 
a) Qual a duração de cada emissão? 
b) Qual a convexidade de cada emissão? 
c) Se a taxa de juro descer dos 7,5% para os 7,25% ao ano: 
i. Qual espera que venha a ser a emissão mais beneficiada? 
ii. Qual espera que venha a ser o preço da primeira emissão em 
resposta desta descida de taxa de juro? 
 
 
 
 6
Exercício 2.2 
 
Um fundo de pensões prevê responsabilidades a 5 anos com o seguinte padrão: 
 
Anos Responsabilidades 
(€) 
Estrutura de 
Taxas de juro 
1 250.000 4.25% 
2 250.000 4.50% 
3 250.000 4.75% 
4 250.000 5.00% 
5 500.000 5.25% 
6 5.25% 
7 5.25% 
8 5.25% 
9 5.25% 
10 5.25% 
 
No mercado estão disponíveis obrigações a taxa fixa com vencimentos a 3, 5 e 10 anos. 
As características de cada emissão são as seguintes: 
 
Vencimento 3 anos 5 anos 10 anos 
Taxa de cupão 8,00% 7,00% 6,00% 
Periodicidade do cupão Anual Anual Anual 
Data de pagamento do último cupão hoje hoje hoje 
Valor Nominal 10.000€ 2.000€ 100€ 
 
a) Qual o preço de mercado de cada emissão? 
b) Se o fundo quiser construir uma carteira de obrigações que faça face às 
responsabilidades futuras criando um programa de imunização qual a 
composição da carteira que acha que deve ser constituída (qual a quantidade 
de obrigações de cada emissão a incluir na carteira)? 
 
 
Exercício 2.3 
 
Um fundo de pensões prevê responsabilidades a 5 anos com o seguinte padrão: 
 
 
 
 
 
 
 7
Anos Responsabilidades 
(€) 
Estrutura de 
Taxas de juro 
Menos de 1 ano 5,00% 
1 250.000 5,00% 
2 350.000 5,00% 
3 450.000 5,00% 
 
No mercado estão disponíveis obrigações a taxa fixa com vencimentos a 2, e 3 anos. As 
características de cada emissão são as seguintes: 
 
Vencimento 2 anos 3 anos 
Taxa de cupão 8,00% 7,00% 
Periodicidade do cupão Anual Anual 
Data de pagamento do último cupão hoje hoje 
Valor Nominal 10.000€ 2.000€ 
 
a) Qual o preço de mercado de cada emissão? 
b) Se o fundo quiser construir uma carteira de obrigações que faça face às 
responsabilidades futuras criando um programa de encontro de cash-flows 
(cash-flow matching) qual a composição da carteira que acha que deve ser 
constituída (qual a quantidade de obrigações de cada emissão a incluir na 
carteira)? Assuma que não há capitalização de saldos. 
c) Assuma agora que há capitalização de saldos. Se o fundo quiser construir uma 
carteira de obrigações que faça face às responsabilidades futuras criando um 
programa de encontro de cash-flows (cash-flow matching) qual a composição 
da carteira que acha que deve ser constituída (qual a quantidade de obrigações 
de cada emissão a incluir na carteira)? 
 
 
III – GESTÃO DE CARTEIRAS 
 
Exercício 3.1 
 
Dada a informação abaixo especificada 
 Covariância 
Activo Rendibilidade Desvio Padrão A B C 
A 10% 4% 20 -40 
B 12% 10% 70 
C 18% 14% 
Sem Risco 5% 
 
 8
 
a) Qual o risco de uma carteira composta por 20% do Activo A e 80% do activo sem 
risco ? 
b) Se um investidor quiser uma rendibilidade esperada de 15% à custa do Activo A e 
do Activo sem risco, qual a combinação que propõe ? 
c) Se um investidor quiser aplicar 1/3 da sua fortuna numa carteira de activos com 
risco (A e B) em iguais proporções, e 2/3 no Activo sem risco, qual a 
rendibilidade esperada e o risco dessa carteira ? 
 
 
Exercício 3.2 
 
Dada a informação abaixo especificada 
 
 Covariância 
 Rendibilidade Desvio Padrão A B C 
A 10 4 20 -40 
B 12 10 70 
C 18 14 
 
a) Qual a composiçãoda carteira de variância mínima composta por activos A e C 
sendo permitidas vendas a descoberto? 
b) Qual o risco dessa carteira? E a rendibilidade? 
c) Qual a correlação entre A e C? 
d) Se a correlação entre A e C fosse -1 qual o impacto que isso teria em termos de 
composição de carteira de variância Mínima? 
e) Se a covariância passar de -40 para 0 qual é o impacto que espera que isso venha 
a ter nos preços dos 2 activos se todos os investidores na economia tiverem como 
objectivo a redução do risco ao mínimo? 
f) Desenhe a fronteira eficiente para os investidores que apenas podem aplicar nos 2 
activos A e C. 
g) Qual a rendibilidade e a volatilidade de uma carteira composta por A, B e C em 
iguais percentagens? 
 
 
Exercício 3.3 
 
Se as acções do BCP e do BPI apresentarem volatilidades esperadas no valor de 20% 
e 30%, respectivamente, e se a carteira de variância mínima composta por acções dos 
dois bancos tiver de rendibilidade esperada 21,25%, 
 
 9
 
a) Qual a proporção de cada activo na carteira de variância mínima se as 
rendibilidades esperadas para cada uma das acções for BCP 20% e BPI 25%? 
b) Qual o coeficiente de correlação entre ambas? 
c) Qual o risco da carteira de variância mínima? 
d) Qual a rendibilidade esperada de uma carteira que além dos activos de risco já 
enunciados, tiver uma posição em Bilhetes do Tesouro a 30 dias com 10% de 
rendibilidade, e com uma composição de 2/3 de activos com risco? 
e) Qual o risco da carteira definida em d)? 
 
 
Exercício 3.4 
 
Dada a informação abaixo especificada 
 
 Covariância 
 Rendibilidade Desvio Padrão A B C 
A 10 4 20 -40 
B 12 10 70 
C 18 14 
 
a) Qual a composição da carteira eficiente composta exclusivamente pelos activos A 
e B, se a taxa de juro mercado for 5%? 
b) Que alterações sugere à questão anterior se não forem permitidas vendas a 
descoberto? 
c) Qual o risco da carteira eficiente calculada em a)? 
d) Qual a rendibilidade da carteira eficiente calculada em a)? 
e) Se um investidor desejar obter uma rendibilidade de 10%, qual a proporção que 
deve deter em activos com e sem risco, tendo em conta a carteira eficiente 
calculada em a)? 
 
 
Exercício 3.5 
 
Assuma a existência de um mercado de capitais perfeito no qual os investidores podem 
emprestar e pedir emprestado à taxa de juro dos activos sem risco, e que a covariância 
entre os activos i e j é 109,8. Adicionalmente você sabe que a composição da carteira 
eficiente é de 1/4 de i e 3/4 de j. Além disso sabe que para i e j ainda são conhecidos os 
seguintes dados: 
 
 
 10
 Acção i Acção j 
Rendimento Esperado (%) 26 18 
Volatilidade (%) 15 9 
 
a) Qual é a taxa de juro dos activos sem risco deste mercado? 
b) Se um investidor pretendesse possuir uma carteira com uma volatilidade de 
apenas 6%, qual deveria ser a estratégia de investimento a seguir? 
c) Qual a volatilidade mínima que se consegue obter nesta economia? 
d) E se desejar obter a menor volatilidade apenas à custa de activos com risco? 
e) Se quiser investir apenas em activos de risco, que aplicações sugere a um 
investidor que deseja investir 500.000 euros e está disposto a suportar um risco de 
10%? 
 
 
Exercício 3.6 
 
Um empresário de sucesso decidiu investir no mercado dos passes dos jogadores de 
futebol, aplicando os conhecimentos da gestão de carteiras a esses investimentos. 
Mediante alguns contactos e fazendo algumas observações internacionais, seleccionou 3 
jogadores possíveis de adquirir: Figo, Simão e Hugo Leal. Os passes de cada um desses 
jogadores podem valorizar-se nos próximos anos possibilitando rendibilidades esperadas 
diversas. Para cada um desses jogadores estabeleceram-se 3 cenários possíveis de 
rendibilidade. Os cenários que afectam Figo e Simão são elaborados com base em 
condições semelhantes (na época em que ambos jogavam no Barcelona), mas os cenários 
que estão na base da elaboração das condições do Hugo Leal são diferentes dos anteriores 
(porque jogava num clube diferente). 
 
 Probabilidade FigoR SimãoR 
Cenário I 30% - 60% - 20% 
Cenário II 50% + 15% + 30% 
Cenário II 20% + 70% + 80% 
 
 Probabilidade HugoLealR 
Cenário I 40% - 20% 
Cenário II 40% + 30% 
Cenário II 20% + 80% 
 
Imagine que a compra dos passes respectivos exigira um investimento de 5.4 milhões de 
contos repartidos do seguinte modo: Figo 2.4, Simão 1.8 e Hugo Leal 1.2. 
 
a) Qual o risco do investimento global na compra dos 3 jogadores? 
b) Qual a rendibilidade esperada desse investimento (compra dos 3 jogadores)? 
 
 11
c) Se a correlação entre os jogadores Figo e Simão baixar para 0,75, qual o impacto 
que prevê em termos de risco total dessa carteira? 
d) Imagine que a rendibilidade esperada do mercado de capitais é 20%, o risco desse 
mercado é de 15% e a taxa de juro livre de risco é de 5% ao ano. Se um 
investidor quiser compor uma carteira de investimento à custa de um investimento 
numa carteira de jogadores de futebol (a representada pela compra dos 3 
jogadores em causa) e uma carteira de acções com um beta de 1,5, qual a 
proporção de investimento óptima que aconselha em cada uma dessas duas 
carteiras? Suponha que uma carteira de jogadores de futebol tem um beta de 2,5. 
 
 
Exercício 3.7 
 
Suponha que as rendibilidades dos activos Alpha e Theta estão dependentes de uma série 
de cenários alternativos relativos à exportação (subida, manutenção e descida). O índice 
representativo dos activos de risco também está dependente destes cenários. Assim 
temos, para cada cenário, e apresentando-se entre parênteses a probabilidade de 
ocorrência de cada cenário: 
 
 Subida 
(20%) 
Manutenção 
(50%) 
Descida 
(30%) 
Alpha 50% 30% 10% 
Theta 10% 20% 10% 
Mercado 40% 30% 20% 
 
a) Qual a composição da carteira eficiente construída a partir dos activos Alpha e 
Theta, supondo que a taxa de juro sem risco é 5% ao ano? 
b) Qual a risco dessa carteira? 
c) Suponha que para além dos activos Alpha e Theta dispunha ainda da seguinte lista 
de activos: 
Activo Volatilidade 
Gamma 20% 
Epsilon 30% 
Tau 17% 
Omega 30% 
Pi 50% 
Sigma 28% 
Rho 12% 
Vega 24% 
A média das covariâncias entre todos os pares de activos é de 300. Qual a 
variância de uma carteira composta por todos estes activos em iguais proporções? 
d) Qual o beta do activo Alpha? 
 
 12
 
 
Exercício 3.8 
 
Determinada instituição financeira desenvolveu um modelo de um índice para estudar o 
comportamento dos activos financeiros. Sabendo que a volatilidade de A é 20% e a de B 
é 15%, que a correlação entre A e B é de 0,5 e que a volatilidade do mercado é 15%, 
questiona-se: 
 
a) Qual o risco sistemático (beta) de cada um dos activos se a variância do erro do 
activo A for 76? 
b) Qual a variância do erro do activo B? 
c) Qual o risco total de uma carteira composta por 25% de A e 75% de B? 
d) Qual o risco sistemático da carteira definida em c)? 
e) Se a rendibilidade esperada para A e B for de 25% e de 15% respectivamente, 
qual a rendibilidade esperada para a carteira definida em c)? 
 
 
Exercício 3.9 
 
Considere que dispõe da possibilidade de investir em dois activos financeiros A e B com 
as seguintes características: 
 Activo A: rendibilidade normalmente distribuída com média 15% e desvio padrão 
de 20% 
Activo B: rendibilidades dependentes de 3 cenários equiprováveis alternativos em 
função do mercado, a saber: 
 
 Rendibilidade
do Activo B 
Rendibilidade 
do Mercado 
Cenário I - 10% - 5% 
Cenário II + 10% + 10% 
Cenário III + 30% +20% 
 
a) Qual o risco de uma carteira constituída por 50% de A e 50% de B? 
b) Qual a rendibilidade esperada dessa carteira? 
c) Qual o risco sistemático do Activo B? 
d) Qual dos 2 activos seleccionaria um investidor que quisesse apenas minimizar o 
risco das suas aplicações? 
 
 13
e) Acha que a escolha realizada em d) seria a mais eficiente se dispuser de um activo 
sem risco que remunera à taxa de 5%? Para esse nível de risco proporia outra 
alternativa? Qual? 
 
 
Exercício3.10 
 
Assuma os seguintes valores para os activos de rendimento variável e para o mercado em 
geral: 
 
Título Ri σ²i σim 
Cáspio 12% 144 120 
Pacifico 8% 16 80 
Indico 6% 25 110 
 
Assuma que σ²m=100 e que RF=5%. 
 
a) Qual o Beta de cada activo? 
b) Se a carteira de mercado for composta pelos 3 activos em partes iguais, quais os alfa 
de cada um deles? 
c) Formalize o problema para encontrar a composição óptima da carteira admitindo 
que não é permitido "short selling". 
d) Formalize o problema para encontrar a composição óptima da carteira admitindo 
que não é permitido "short selling" nem financiar-se à taxa sem risco e deseja uma 
rendibilidade de 25%. 
e) Qual a variância esperada para uma carteira em que os 3 activos estão em iguais 
proporções? 
f) Usando o modelo de Blume em que: 
i. βi2 = 0.343 + 0.677 βi1 
g) qual o valor previsível em relação ao próximo período para o risco não diversificável 
de cada um dos activos apresentados? 
 
 
Exercício 3.11 
 
Suponha que ao estimar o modelo de índice único para as acções A e B se obtêm os 
seguintes resultados: 
 
 14
i. RA = 1,0% + 0,9 RM + eA 
ii. RB = -2,0% + 1,1 RM + eB 
iii. σM = 20,0% 
iv. σ(eA )= 30,0% 
v. σ(eB )= 10,0% 
 
a) Determine o desvio-padrão de cada activo e a respectiva covariância. 
b) Se eu desejar construir uma carteira com uma rendibilidade esperada igual a 20%, 
qual o peso de A e B a incluir nessa carteira supondo que a rendibilidade esperada 
para o mercado, no período subsequente, é de 25%. 
c) Em que medida a solução apontada na alínea anterior pode ser alterada se dispuser de 
um activo sem risco que remunera à taxa de 5% e o investidor (avesso ao risco) 
deseja maximizar a sua função de utilidade. 
d) Suponha que apenas dispomos dos activos A e B e que é nossa intenção construir 
uma carteira em que as acções A são vendidas a descoberto, representando 20% do 
valor da carteira inicial de investimento. Qual será o desvio padrão correspondente à 
componente não sistemática do risco? 
e) Suponha agora que no mercado existem muitos outros activos para além de A e de B. 
A média dos betas (ponderada ou não ponderada pela capitalização bolsista) em 
determinado período é igual à unidade. Qual seria o beta estimado do activo A para o 
período subsequente recorrendo-se ao modelo de Blume? 
f) Em que condições o beta estimado de acordo com o modelo de Blume sugerido na 
alínea anterior, é equivalente à solução sugerida pela aplicação do modelo de 
Vasicek? Demonstre as condições de necessidade para que essa igualdade se 
verifique. 
 
 
Exercício 3.12 
 
Os Activos A e B têm a sua rendibilidade dependente de acontecimentos diversos. O 
activo A depende das condições do mercado e o activo B depende da procura externa. 
Activo A Rendibilidade 
Mercado em Alta 40% 
Mercado em Baixa -10% 
Rendibilidade Esperada 15% 
 
Activo B Rendibilidade 
Procura Externa em Alta 40% 
Procura Externa em Baixa -20% 
Rendibilidade Esperada 4% 
 
a) Qual a probabilidade de ocorrência de cada cenário de procura externa? 
 
 15
b) Qual a volatilidade de cada activo? 
c) Qual a correlação entre os activos? 
d) Qual o risco sistemático do activo A se a rendibilidade do mercado for de 20% 
verificando-se uma alta ou de 0% verificando-se uma baixa? 
e) Qual a composição da carteira eficiente à custa de A e de B, se a taxa sem risco 
for de 5%? 
 
 
Exercício 3.13 
 
Assuma que é válido o seguinte modelo de índice múltiplo (dois índices): 
 
R a b I b I ei i i i i= + + +1 1 2 2 
 
Assuma também que se observam os seguintes portfolios: 
 
Nome Rendibilidade 
Esperada 
αi bi1 bi2 σei 
MELGA & Cº 15,0% 3,0 0,7 0,5 2% 
MIKE & Cº 22,1% -1,0 1,5 0,2 1% 
M&W & Cº 22,5% 1,5 1,5 -0,5 4% 
 
O valor esperado para o índice 1 é de 15% para o próximo ano. As volatilidades 
esperadas para cada índice são 15% e 25% respectivamente. 
 
a) Qual o valor esperado para o índice 2? 
b) Qual a covariância que espera obter entre cada um dos activos ? 
c) Qual a volatilidade de cada activo? 
d) Construa a matriz de covariâncias a usar na determinação da carteira óptima de 
acordo com o modelo “Overall Mean Model” 
 
 
Exercício 3.14 
 
Assuma que se encontra face a um mercado cujos rendimentos são descritos pelo 
seguinte modelo a três factores (R1 rendibilidade do índice de mercado, R2 rendibilidade 
do índice do sector I e R3 rendibilidade do índice do sector II): 
 
Ri = ai + bi1 R1 + bi2 R2 + bi3 R3 + ei 
 
 16
 
Assuma ainda que três activos de risco, com as características descritas no quadro 
seguinte, existem no mercado: 
 
Activo Rendimento 
Esperado (%) 
ai bi1 bi2 bi3 σei 
X 12 - 28 1,0 1,5 0,0 5 % 
Y 13 - 26 1,5 1,2 0,0 12 % 
Z 17 0 0,5 0,0 0,8 4 % 
 
Estes activos não pertencem todos ao mesmo sector de actividade. O activo X e o activo 
Y fazem parte do mesmo sector, mas o activo Z pertence a um sector de actividade 
diverso. 
 
a) Qual a volatilidade que é admissível para o activo X se a volatilidade do mercado 
for 10% e as dos sectores 20% para cada ? 
b) Qual a o coeficiente de correlação admissível entre os activos X e Y? 
c) Qual a taxa de rendibilidade esperada para o mercado? 
d) Qual a taxa de rendibilidade esperada para cada sector? 
e) Se a rendibilidade do Sector I estiver associada à rendibilidade do mercado, não 
sendo os índices de rendibilidade ortogonais, e podendo a sua evolução ser 
representada por: 
R2 = −2 + 0,8 R1 
Qual a equação representativa da rendibilidade do activo X? 
 
 
Exercício 3.15 
 
Considere que a função de utilidade do investidor X é conhecida e dada pela seguinte 
expressão: 
U(w) = 40w - 2,5 w2 
 
a) Como caracteriza o perfil de risco do investidor X? 
b) Em que medida o perfil de risco traçado na alínea anterior está de acordo com a 
teoria financeira e com os resultados empíricos sobre o tema? 
c) Qual das carteiras abaixo indicadas deveriam ser seleccionadas pelo investidor 
que tem 10 unidades monetárias para aplicar? 
 
Quadro de Probabilidades de ocorrência de cenários de rendibilidades para cada carteira: 
 
 17
 
 Cenários de Rendibilidades 
Carteiras 28% 20% 18% 14% 10% 6% 
A 0,5 0,5 
B 0,4 0,6 
C 0,3 0,2 0,3 0,2 
D 0,1 0,3 0,6 
 
 
Exercício 3.16 
 
Admita as seguintes características para as acções de duas empresas: 
 
 Ri σi Dividend Yield 
Pesca Azul 10% 15% 5% 
Carnes Frescas 35% 45% 2% 
 
O coeficiente de correlação entre ambas é de -3/4 e a taxa de juro sem risco é de 5% 
 
a) Qual a composição da carteira de variância mínima composta exclusivamente por 
Pesca Viva e Carnes Frescas? 
b) E se impuser um dividend yield mínimo de 3%? (Despreze esta restrição nas 
alíneas seguintes) 
c) Se puder aplicar no instrumento de taxa de juro sem risco qual a composição da 
carteira de variância mínima e qual o seu respectivo valor? 
d) Qual investimento que sugere a um investidor que deseja obter uma rendibilidade 
de 25%, se a taxa de financiamento para compras financiadas for de 5%? 
e) Qual o risco correspondente à aplicação por si sugerida? 
f) Um investidor avesso ao risco apresenta uma curva de utilidade do tipo: 
bR iii ++−=
2σσ 
Qual a composição da carteira individual de um investidor (proporção de activo com 
e sem risco) por forma a maximizar a sua utilidade? 
 
 
Exercício 3.17 
 
Considere a figura seguinte e tome em consideração que o beta do activo A é igual ao 
beta do activo sem risco, que o beta do activo B é igual ao beta da carteira de 
mercado e que o beta do activo C é igual a 1,6. Responda às questões: 
 
 18
 
 
a) Qual o valor das variâncias residuais de cada um dos activos? 
b) Considere a carteira formada por 20% de A e os restantes 80% investidos em C. 
Qual o beta desta carteira? 
c) Comente a seguinte afirmação: “Os activos B e C têm o mesmo risco, uma vez 
que têm o mesmo desvio padrão”. 
d) Se o perfil de risco de um investidor for definido pela família de curvas expressa 
pela equação: 
keR 093.0 += σ 
i) Qual a carteira de activoscom e sem risco que aconselha a este investidor? 
ii) Se nesta economia não existir activo sem risco para empréstimos ou 
aplicações, qual a composição da carteira para este investidor, se ele insistir 
em manter o nível de risco da alínea anterior? Formalize apenas o problema. 
 
 
Exercício 3.18 
 
Um dos argumentos usados pelo então Ministro das Finanças Professor Sousa Franco 
para inviabilizar o negócio entre Champalimaud e o Banco Santander Central 
Hispano foi o de que a associação das instituições aumentaria o risco do conjunto de 
activos. 
 
Suponha que tinha realizado um estudo sobre ambos e tinha concluído que o risco do 
grupo Champalimaud era de 25% e o do Banco Santander Central Hispano era de 
30%. Assuma que a relação de grandeza entre ambos é de 1 para 4 favorável ao 
Banco espanhol. 
 
 
 19
a) Exclusivamente à luz da teoria financeira, comente a posição do então 
Ministro das Finanças calculando as condições limite a partir das quais as 
palavras do Ministro têm razão de ser. 
b) Se a função de utilidade do Professor Sousa Franco for do tipo: 
bR i
i
i ++−=
2
2
σ
σ
 
e se a rendibilidade esperada de cada grupo for de 25% para o grupo 
Champalimaud e 30% para o Banco Santander Central Hispano, supondo-os 
independentes, considera que a posição do Ministro está de acordo com a sua 
própria função de utilidade, ou terá agido de modo a dar voz a outros interesses 
que não os seus? (Estude em que medida as curvas de indiferença da função de 
utilidade do Ministro são optimizadas pela alternativa da consolidação de activos, 
face ao mesmo estudo tomando os activos separadamente). 
 
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
 
 
c) Como classifica o Ministro à luz da Teoria da Utilidade? Justifique. 
 
 
Exercício 3.19 
 
Suponha que se encontra neste momento com funções de gestão num fundo de 
investimento. O seu departamento de investigação acaba de lhe fornecer os seguintes 
dados: 
 E[Rm] = 0.10 Rf = 0.06 σm = 0.20 σSOBE&DESCE,m = 0.06 
 
a) Face a esta situação consideraria adequado recomendar a aquisição de 
acções de SOBE&DESCE, SA, cuja taxa de rendimento esperado é de 
15%? (Assuma que qualquer eventual desequilíbrio no preço das acções 
da empresa, não afecta de forma significativa o linha do mercado de 
 
 20
títulos. Assuma ainda que a empresa não prevê distribuir dividendos nos 
próximos anos) 
b) Até onde poderia variar o preço das acções da SOBE&DESCE, SA sem 
que o sentido da sua indicação de investimento / desinvestimento se 
alterasse? 
c) Admita agora que no período seguinte as acções da SOBE&DESCE, SA 
registaram uma rendibilidade de apenas 3%. No seu entender, quais são as 
explicações possíveis para este fenómeno? 
 
 
Exercício 3.20 
 
Assuma que conhece os seguintes dados referentes a dois activos financeiros: 
 
Activo σI,m σi E[R i] 
White Nights, Plc 0,3 0,4 0,12 
Black Days, Plc 0,2 0,3 ?? 
 
E [Rm] = 0,11 σm = 0,5 
 
a) Calcule os Betas dos activos White Nights, Plc e Black Days, Plc 
b) Calcule o Beta de uma carteira composta em 40% por títulos White Nights, 
Plc e o restante por títulos Black Days, Plc. 
c) Qual a rendibilidade esperada para a carteira apresentada em 2)? 
d) Desenhe a Linha do Mercado de Títulos e marque as posições dos activos 
White Nights, Plc e Black Days, Plc. 
e) Imagine que dispõe de um novo activo com as seguintes características: 
E(R)=0,09; β= 0,8. Que estratégia sugere que se desenvolva por forma a 
poder tirar vantagens de eventuais oportunidades de arbitragem? 
 
 
Exercício 3.21 
 
a) Complete o quadro seguinte, assumindo como válido o modelo CAPM: 
 
 
 
 
 
 
 21
Activo Rf A B C Mercado 
E[Ri] 6,0% 15,0% 
σe2 29,46 0,00 0,00 
σ2 73,54 89,36 
βi 1,29 0,86 0,68 
 
b) Qual a rendibilidade e a variância de uma carteira composta por 30% de A, 85% 
de B e o restante por C%? 
c) Qual a covariância observada entre os seguintes activos financeiros: 
 - Rf e A 
 - Rf e Mercado 
 - A e B 
 - A e Mercado 
 - B e C? 
 
 
Exercício 3.22 
 
Assuma que é válido o seguinte modelo de dois índices: 
R a b I b I ei i i i i= + + +1 1 2 2 
Assuma também que se observam os seguintes portfolios: 
 
Nome Rendibilidade 
Esperada 
bi1 bi2 
Portfolio A 12,0% 2 0,5 
Portfolio B 13,4% 1 0,2 
Portfolio C 12,0% 3 -0,5 
 
a) Formalize o problema de modo a que a resolução dessa formalização permita 
encontrar a equação que define o modelo de equilíbrio do mercado supondo 
que se validam os pressupostos do Arbitrage Pricing Model. 
b) Identifique as oportunidades de arbitragem que se observem se existir um 
activo financeiro que proporcione uma rendibilidade esperada de 10% e 
apresente betas de: bi1 = 2 e bi2 = 0, e assumindo que o modelo de equilíbrio 
encontrado na alínea anterior seria: 
21 2,25,64,5 iii bbR −+= 
Indique que estratégia seguir no caso de identificar qualquer estratégia de 
arbitragem. 
c) Qual a taxa sem risco deste mercado? 
 
 
 22
 
Exercício 3.23 
 
Assuma que é válido o seguinte modelo de índice múltiplo (dois índices): 
 
R a b I b I ei i i i i= + + +1 1 2 2 
 
Assuma que se observam os seguintes portfolios: 
 
Nome Rendibilidade Esperada bi1 bi2 
Portfolio A 12,0% 1,0 0,5 
Portfolio B 13,0% 1,5 2,0 
Portfolio C 17,0% 0,5 -3,0 
 
 
a) Encontre a equação que define o modelo de equilíbrio do mercado supondo 
que se validam os pressupostos do Arbitrage Pricing Model. 
b) Identifique as oportunidades de arbitragem que se observem se existir um 
activo financeiro que proporcione uma rendibilidade esperada de 10% e 
apresente betas de: bi1 = 2 e bi2 = 0. Indique que estratégia seguir no caso de 
identificar qualquer estratégia de arbitragem. 
c) Qual a taxa sem risco deste mercado? 
d) Assuma que a volatilidade dos 2 índices usados no modelo é de 8% e 15% 
respectivamente. Qual a covariância entre cada um dos pares de portfolios? 
 
 
Exercício 3.24 
 
Assuma que se encontra face a um mercado cujos rendimentos são descritos pelo 
seguinte modelo a dois factores (índices de mercado e sectorial): 
RI = aI + bI1 II + bI2 I2 + eI 
Assuma ainda que as três carteiras cujas características são descritas no quadro seguinte 
existem no mercado: 
 
Carteira Rendimento Esperado (%) bI1 bI2 
X 12 1.0 1 
Y 13 1.5 1 
Z 17 0.5 -3 
 
a) Qual é o plano capaz de descrever os rendimentos de equilíbrio ? 
 
 23
b) Admita agora que uma carteira W com as características descritas abaixo se 
encontra disponível: 
RW = 15% 
bW1 = 1 
bW2 = 0 
Qual seria a atitude de um investidor racional face a esta situação? Justifique. 
c) A qual dos factores a rendibilidade dos activos é mais sensível? 
d) Se o activo sem risco for independente (e indiferente) aos dois factores do 
modelo, qual é a taxa de remuneração do activo sem risco? 
 
 
Exercício 3.25 
 
a) Um gestor de um fundo de acções sediado no nosso país fez a seguinte 
afirmação: “Não vale a pena investir na bolsa espanhola pois o rendimento 
esperado é inferior ao rendimento esperado para o mercado português, 
especialmente depois da introdução do euro”. Comente a bondade desta 
afirmação à luz dos seguintes dados 
 
 Portugal Espanha 
iR 0,30 0,25 
iσ 0,30 0,20 
2
ie
σ 0,03 0,00625 
ifR , 0,04 0,04 
 
 
Onde iR simboliza a rendibilidade esperada para o mercado i, iσ a 
volatilidade do mercado i, 2
ie
σ a variância dos erros na determinação do 
modelo de índice único e ifR , a taxa de juro sem risco do mercado i. 
Adicionalmente sabe-se que o beta de cada um dos mercados, quando 
calculado com base num índice do mercado europeu é 2 para Portugal e 1,5 
para a Espanha. 
b) Dos testes empíricos que se têm realizado nos EUA, quais as conclusões que 
se têm retirado sobre o benefício da diversificação internacional nas carteiras 
dos investidores americanos para os diferentes tipos de activos financeiros? 
 
 
 
 24
Exercício 3.26 
 
Assuma que as taxas de rendibilidade esperadas e os riscos esperados para os três 
mercados abaixo indicadossão: 
 
 Rendibilidade Risco Doméstico Risco de Câmbio 
Portugal 25% 20% ----- 
Reino Unido 17% 15% 7,5% 
EUA 12% 12% 15% 
 
As correlações históricas, relativamente estáveis, observadas entre estes 3 mercados são 
 
 Portugal - Reino Unido 0,35 
 Reino Unido - EUA 0,60 
 Portugal - EUA -0,20 
 
a) Se a taxa livre de risco para Portugal for de 12% ao ano, será interessante para um 
investidor português diversificar internacionalmente? 
b) Qual a composição mais eficiente para uma carteira internacionalmente 
diversificada, entrando apenas em consideração com investimentos em Portugal e 
nos EUA? 
 
 
IV – OPÇÕES 
 
Exercício 4.1 
 
Usando a informação que lhe é fornecida pelo quadro abaixo sobre as opções cotadas 
sobre a empresa Worldfoods responda às seguintes alíneas: 
 
OPÇÕES DE COMPRA E DE VENDA SOBRE A WORLDFOODS 
Preço da acção a 2.54€ no dia 1 de Novembro 
PREÇOS OPÇÕES DE COMPRA OPÇÕES DE VENDA 
DE DATAS DE EXPIRAÇÃO DATAS DE EXPIRAÇÃO 
EXERCÍCIO JAN APR JUL JAN APR JUL 
2.40€ 25 35 42 6 10 12 
2.60€ 14 23 31 14 18 20 
2.80€ 7 15 23 27 29 30 
3.00€ 3 9 16 47 49 50 
 
 25
 
a) Quais as opções que estão in-the-money? 
b) Quais as opções de venda out-of-the-money 
c) Qual o Valor Intrínseco das opções que expiram em Abril? 
d) Qual o Valor Temporal das opções com preço de exercício 3.00€? 
e) Qual o rácio de moneyness das opções de compra com vencimento em Julho? 
f) Se a dimensão do contrato for de 100 acções, quanto deverá pagar se quiser comprar 
um contrato de opções de venda com vencimento em Julho e preço de exercício de 
2.80€? 
g) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da 
opção de compra com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€? 
h) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00€ qual o valor da 
opção de venda com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60€? 
i) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado 
(lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de compra com 
vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a 
cotadas a 2.45€? 
j) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15€ qual o resultado 
(lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de venda com 
vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60€? E se as acções estiverem a 
cotadas a 2.45€? 
 
 
Exercício 4.2 
 
Se as acções da PT estiverem hoje a cotar a 8,25€ e se você tem uma posição curta de 6 
contratos sobre opções PT com vencimento dentro de 3 meses com preço de exercício 
8,00€, quando as opções estiverem a cotar a 1,20€, qual deve ser o novo preço de 
mercado para essas opções e quantos contratos deve você comprar para fechar a posição 
curta se: 
a) a empresa proceder a um aumento de capital por incorporação de reservas em 
que dá a cada accionista uma nova acção por cada 3 acções que detiver em 
carteira? 
b) A empresa proceder a uma distribuição de dividendos através da atribuição de 
uma acção a cada accionista que detiver 6 acções em carteira? 
 
 
Exercício 4.3 
 
 
 26
Usando a informação do exercício 1, e admitindo que a taxa livre de risco continuamente 
composta é de 4% mostre se há a possibilidade de criação de carteiras de arbitragem 
usando os seguintes activos: 
a) Uma opção de venda com preço de exercício a 2.60€ e maturidade em Abril, 
admitindo que as opções são de estilo europeu; 
b) Uma opção de venda com preço de exercício a 3.00€ e maturidade em Abril, 
admitindo que as opções são de estilo americano; 
c) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho, 
admitindo que as opções são de estilo europeu; 
d) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Janeiro e preços de 
exercício a 2.80€, admitindo que as opções são de estilo europeu; 
e) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40€ e maturidade em Julho 
admitindo que as opções são de estilo europeu e admitindo ainda que vai pagar 
dividendos de 0.20€ em fins de Março. 
f) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Abril e preços de 
exercício a 2.60€, admitindo que as opções são de estilo americano; 
 
 
Exercício 4.4 
 
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de 
uma opção de venda e uma opção de compra ambas com preço de exercício de 2.60€ e 
vencimento em Abril e desenhe os gráficos de resultados: 
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: 
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? 
 
 
Exercício 4.5 
 
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de 
uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e venda 
de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.80€, e 
desenhe os gráficos de resultados: 
 
 27
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: 
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? 
 
 
Exercício 4.6 
 
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de 
uma opção de venda com preço de exercício de 2.60€ e vencimento em Abril e a compra 
de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados: 
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: 
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? 
 
 
Exercício 4.7 
 
Usando a informação do exercício 1, componha a estratégia que passa pela compra de 
duas opções de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40€ e a 
venda a descoberto de uma acção, e desenhe os gráficos de resultados: 
1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: 
1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: 
2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20€? 
2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60€? 
2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00€? 
 
 28
3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? 
 
 
Exercício 4.8 
 
No mercado de opções estão cotadas calls e puts de estilo europeu sobre a PT com 
vencimento a 9 meses e preço de exercício a 9.00€. As taxas de juro instantâneas sem 
risco a 9 meses estão a 3,125% - 3,250% (taxas bid e offer, respectivamente). As acções 
da PT estão neste momento a cotar a 10,15€ - 10,25€ (preços de compra e de venda, 
respectivamente). A cotação das opções de compra e de venda estão apresentadas no 
quadro abaixo. 
 
Cotação das Opções Compra (bid) 
Venda 
(ask) 
Opções de Compra 1,60€ 1,70€ 
Opções de Venda 0,10€ 0,15€ 
 
Assuma que os custos de transacção além dos spreads de preço apresentados são 
irrelevantes. 
a) Se não houver qualquer pagamento de dividendos até ao vencimento das opções, 
acha que a relação de paridade Put-Call está quebrada? 
b) Continuando a admitir que não vai haver pagamento de qualquer dividendo até aovencimento das opções, qual será o limite para os preços de compra e de venda no 
mercado do activo subjacente para que se possam observar condições vantajosas 
de arbitragem? 
c) Admitindo um pagamento de um dividendo de 0,50€ dentro de 6 meses, mas 
todos os restantes dados inalterados, acha que a relação de paridade Put-Call está 
quebrada? 
 
 
Exercício 4.9 
 
Em 22 de Março de 2004 a Brisa estava cotada a 5.49€ e a sua empresa quer avaliar 
opções de compra e de venda sobre a Brisa usando para isso o modelo binomial. 
Assumindo que a taxa de juro instantânea sem risco está a 2,00% e que a Brisa não 
distribuirá dividendos até ao vencimento dentro de 6 meses (22 de Setembro de 2004), 
qual o preço teórico que propõe para as opções com preço de exercício de 5,00€ e usando 
3 intervalos de tempo de 2 meses cada para a análise: 
a) Se as opções a cotar forem opções de compra europeias? 
b) Se as opções a cotar forem opções de venda europeias? 
 
 29
c) Se as opções a cotar forem opções de compra americanas? 
d) Se as opções a cotar forem opções de venda americanas? 
 
 
Exercício 4.10 
 
No departamento de avaliação de activos financeiros de uma instituição financeira 
desenvolveu-se a árvore binomial que se apresenta de seguida para estudar o valor de 
uma opção sobre a PT Multimédia e vencimento a 3 meses (por baixo dos valores em 
euros para o preço do activo subjacente em cada nódulo encontram-se os valores em 
euros para o preço do activo derivado em cada nódulo entre parênteses rectos). Como é 
facilmente observável, assume-se que não há pagamento de dividendos até ao vencimento 
da opção. 
 
Com base nessa árvore responda às seguintes questões: 
a) Que opção se está a valorizar? Defina o tipo de opção (de compra ou de 
venda) e o estilo (europeu ou americano) 
b) Qual o preço de exercício desta opção? 
c) Qual a volatilidade que se usou nesta árvore? 
d) Qual a taxa de juro que se usou nesta árvore? 
e) Qual a probabilidade neutra face ao risco de subida e de descida do activo 
subjacente? 
 
 
Exercício 4.11 
 
As acções do BPI estão hoje cotadas a 3,00 € e você pretende calcular o preço de uma 
opção de compra americana at-the-money com vencimento a 6 meses. Assuma que a taxa 
de juro a 6 meses é 5% ao ano e que a empresa não vai pagar dividendos dentro do 
vencimento da opção. A volatilidade que o mercado espera que se venha a verificar nos 
próximos 6 meses é 25%, mas a volatilidade histórica dos passados 6 meses foi de 30% e 
a volatilidade histórica dos últimos 5 anos foi de 20%. 
23,7822
22,4480 [4,7822]
21,1887 [3,6057] 21,1887
20,0000 [2,5262] 20,0000 [2,1887]
[1,6917] 18,8780 [1,2112] 18,8780
[0,6702] 17,8189 [0,0000]
[0,0000] 16,8193
[0,0000]
 
 30
a) Calcule o preço da opção construindo uma árvore binomial com 2 intervalos 
de tempo. 
b) Qual a probabilidade neutra face ao risco da opção se vencer in-the-money? 
c) Qual o delta da opção? 
d) Sem construir uma nova árvore de preços, qual o valor que espera para o 
preço da opção se a acção se valorizar instantaneamente 0,20€ e sem que se 
alterem quaisquer outros parâmetros? 
e) Assumindo que vende uma dessas opções de compra e constrói uma carteira 
neutra face ao risco, qual seria hoje o valor dessa carteira? 
 
 
Exercício 4.12 
 
Assuma que as acções do BES estão a cotar a 14,00€ e que as alterações de valor mensais 
para estes preços são bem representadas por um processo de Wiener do tipo 
tS δεδ = 
com (0,1)~ φε e tδ representando 1 mês (1/12 do ano). 
Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores 
apresentados em cada um dos 5 meses que se seguem no calendário bolsista: 
 
Dia ε 
1 -0.525 
2 +1.255 
3 -2.435 
4 +0.875 
5 +0.355 
 
a) Qual é o preço das acções BES no final do 1º período? 
b) Qual é o preço das acções BES no final do 5º período? 
c) Se em alternativa ao modelo anterior se tivéssemos assumido um processo de 
Wiener generalizado com uma inclinação de 12% ao ano e um b=1 
(volatilidade do processo), qual teria sido o valor para o preço das acções BES 
ao fim do 1º período, assumindo as condições da alínea a)? 
d) E qual teriam sido o valor para o preço das acções BES ao fim do 5º período, 
assumindo o processo de Wiener generalizado da alínea anterior e as 
condições da alínea b)? 
 
 
Exercício 4.13 
 
 
 31
Assuma que as acções do BCP estão a cotar a 2,00€ e que as alterações de valor mensais 
para estes preços são bem representadas por um processo de Ito do tipo 
tStSS δεσδµδ += 
com (0,1)~ φε e tδ representando 1 dia (1/250 do ano). 
Adicionalmente assuma que a variável aleatória ε assume, sucessivamente os valores 
apresentados em cada um dos 5 dias que se seguem no calendário bolsista: 
 
Dia ε 
1 +0.125 
2 +1.355 
3 -2.005 
4 -1.000 
5 +0.555 
 
a) Qual é o preço das acções BCP no final do 1º dia? 
b) Qual é o preço das acções BCP no final do 5º dia? 
c) Qual a probabilidade do preço das acções vir a estar acima dos 3 euros dentro 
de 1 ano? 
d) Qual o valor esperado para o preço das acções BCP dentro de um ano? 
 
 
Exercício 4.14 
 
Assuma que se desenvolve um produto derivado cujo valor é igual ao quadrado do preço 
do activo subjacente: 
2SG = 
Admite-se que o preço do activo subjacente segue um processo de Ito do tipo: 
tdSdtdSSd εµ += 
e que está hoje cotado a 20,00€ (S=20). Assuma que os parâmetros do activo subjacente 
são: 
 - 1,0=µ 
 - 3,0=σ 
a) Qual o valor esperado e o desvio padrão para as alterações de preço do activo 
derivado G? ( [ ]dGE ; [ ]dGVAR e [ ]dGSTD ) 
b) Qual o valor esperado e o desvio padrão para a rendibilidade do activo 
derivado G? ( 



G
dGE ; 



G
dGVAR e 



G
dGSTD ) 
c) Admitindo que o processo é aplicável a observações diárias, qual seria o preço 
amanhã se a realização da variável aleatória ε fosse igual a +0,750? 
 
 
 32
 
Exercício 4.15 
 
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a 
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. 
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As 
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €. 
 
a) Usando a equação de Black - Scholes determine o preço teórico de uma opção de 
compra europeia e de uma opção de venda europeia sobre a PT com as 
características acima descritas. 
b) Se prevê que as acções PT vão pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3 meses, qual 
o valor teórico de uma opção de compra europeia sobre a PT? 
c) Usando a aproximação de Black, qual seria o preço para a opção de compra 
americana assumindo que a acção vai pagar um dividendo de 0,5 € dentro de 3 
meses? 
d) Se possuir uma carteira de acções da PT e se estiver ligeiramente pessimista, 
prevendo apenas uma queda de 1 € nos próximos 9 meses, qual a estratégia estática 
que propõe para combinar com as acções para maximizar a rendibilidade da sua 
carteira? 
e) Qual o delta da opção de compra europeia avaliada na alínea a)? 
f) Se as opções de compra avaliadas na alínea a) estiverem cotadas no mercado a 0,5 
€ o que sugere que se faça esquecendo agora que tem uma carteira de acções e que 
pretende apenas retirar vantagens do mercado de opções? 
 
 
Exercício 4.16 
 
Se as acções da Brisa estiverem cotadas a 5,70€, se a volatilidade histórica da Brisa for de 
15%, se a estrutura temporal de taxas de juro for a que se observa no quadro abaixo e se 
quisermos cotar opções europeias at-the-money, com vencimento a 6 meses 
Prazos Taxas 
1 mês 2,25% 
3 meses 2,75% 
6 meses 3,25% 
1 ano 3,50% 
2 anos 3,50% 
a) Qual a cotação que sugere usando o modelo de Black-Scholes assumindo que 
não vai haver pagamento de dividendos até ao vencimento da opção? 
 
 33
b) Qual seria o resultado da alínea a) se em alternativa estivesse a cotar opções 
americanas usando os mesmos pressupostos? 
c) Se no mercado se estiverem a transaccionar essas opções a 0,35€, acha que a 
volatilidade implícitano preço das opções é superior ou inferior à volatilidade 
histórica? 
d) Se acredita que a volatilidade implícita se vai aproximar rapidamente dos 
níveis da volatilidade histórica, o que considera adequado fazer se quiser 
especular em opções? 
 
 
Exercício 4.17 
 
Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam 
exactamente a composição do índice europeu EuroStoxx 50. O índice está neste 
momento nos 1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira 
de acções vale hoje 3 milhões de euros. 
a) Se estiverem cotadas opções de compra e de venda sobre este índice, com 
vencimento para Dezembro e preço de exercício a 1500, estando as opções de 
compra cotadas a 120 pontos, e as opções de venda a 100 pontos, qual o valor 
destas opções no vencimento se o índice estiver nos 1600 pontos à data do 
vencimento? 
b) Quanto teria ganho ou perdido um investidor que hoje tivesse comprado dois 
contratos de cada uma dessas opções assumindo que cada ponto de índice é 
valorizado a 10€? 
c) Usando as opções referidas na alínea anterior, que posição sugere que a 
empresa tome por forma a cobrir o risco da carteira de acções de uma descida 
do índice? 
d) Se o índice estiver nos 1600 pontos em Dezembro (na data de vencimento) e 
tendo seguindo a estratégia proposta na alínea anterior, quais os resultados 
financeiros que a empresa obteve nas operações do mercado de capitais (à 
vista e em derivados)? 
 
 
Exercício 4.18 
 
Suponha que um gestor de uma carteira de acções composta por activos europeus, deseja 
cobrir o risco dessa carteira com recurso a opções sobre o índice FTSE €Stars. O 
contrato está desenhado por forma a cada ponto do índice ser valorizado a 10€, sendo o 
preço das opções estabelecido em pontos de índice e valorizado do mesmo modo. O 
preço mínimo de variação é de 1/2 ponto (5€). O índice está neste momento nos 5500 
 
 34
pontos e existem opções de venda cotadas com vencimento a 3 meses e diversos preços 
de exercício. 
 
 
Preços de exercício Cotações 
K = 5000 37 pontos 
K = 5250 95 pontos 
K = 5500 185 pontos 
K = 5750 325 pontos 
K = 6000 510 pontos 
 
a) Estando na disposição de arriscar um máximo de 10% do valor da carteira que vale 
hoje 10.000.000€, qual a posição a tomar, assumindo um beta de 1,8 para a carteira 
(calculado tendo por base o índice €Stars). Especifique qual a posição (compra ou 
venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar. 
b) Se no vencimento o índice estiver a 5200 pontos, qual teria sido a melhor solução? 
(especifique se teria sido tomar posição a futuro ou em que série de opções) 
c) Se desejar modificar o risco sistemático da sua carteira passando-o para 1 e se, 
simultaneamente, quiser garantir uma desvalorização máxima de 10% do valor da 
carteira qual deve ser a posição a tomar em opções? Especifique qual a posição 
(compra ou venda), o número de contratos e o preço de exercício a seleccionar. 
 
 
Exercício 4.19 
 
Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores 
mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções da Portugal 
Telecom, 25% em acções do BCP e 45% em acções da EDP. Os respectivos betas 
esperados para o próximo ano sâo 1,5, 1,2 e 0,8. O gestor da carteira está apreensivo 
sobre a evolução do índice durante o Outono que se aproxima. O índice PSI-20 está 
neste momento cotado a 7800 pontos e estão cotadas opções europeias sobre o índice 
com vencimento dentro de 5 meses (para finais de Dezembro). As séries de opções 
disponíveis são: 
 
 Opções de Compra Prémio Opções de Venda Prémio 
 X = 7600 635 X = 7600 217 
 X = 7800 518 X = 7800 294 
 X = 8000 416 X = 8000 386 
 
Assuma que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até 
Dezembro 
 
 
 35
a) Suponha que a taxa livre de risco se situa nos 7% ao ano e que a volatilidade 
esperada para o índice PSI20 para o período decorrente até Dezembro é de 20%. 
Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de opções (sinal e 
quantidade de contratos), se desejar cobrir 100% do valor da carteira de títulos 
nacionais de modo estático? 
b) Se no dia seguinte o índice se mover para os 7810 pontos qual o valor global da 
carteira? 
c) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 8100 pontos em Dezembro de 1996, que 
ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de opções e na carteira de acções se 
tivesse comprado opções de venda com preço de exercício X=7800? 
d) Se o índice distribuísse um dividend yield de 3% qual seria o impacto na cotação 
das opções de compra? 
 
 
Exercício 4.20 
 
Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O 
risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante 
sobre uma possibilidade de descida de cotações (após as eleições legislativas). O índice 
PSI20 está hoje cotado a 10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O 
valor da carteira de acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não 
se espera que de hoje até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a 
distribuir dividendos. Se estiverem cotadas opções sobre futuros com vencimento para 
Outubro e se a empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final 
do mês de Outubro (após as eleições legislativas) 
a) Qual o preço teórico para uma opção de compra sobre futuros sobre o índice com 
vencimento dentro de 6 meses e preço de exercício de 11.000 pontos? Assuma que o 
dividend yield é nulo para o prazo até ao vencimento que ocorrerá dentro de 3 meses e 
que o preço a futuro com vencimento para Outubro é de 10.545 pontos. 
b) Se desejar cobrir o risco de preço com o recurso a opções, o que sugere que se faça 
perante a hipótese de tomar posições em opções com vencimento em Outubro 
(indique contrato, número de contratos e posição a tomar seleccionando a partir das 
seguintes opções) 
 
Preço de Exercício Opções de Compra Opções de Venda 
X=9.000 1320 39 
X=10.000 565 265 
X=11.000 162 858 
c) Se no vencimento o PSI20 estiver nos 9.500, qual o resultado da estratégia enunciada 
na alínea anterior quer no mercado de derivados, quer na carteira em que tem 
posição? 
d) Comente a seguinte afirmação em não mais que 10 linhas: 
 
 36
“O recurso a opções para cobrir o risco de preço não tem qualquer utilidade, uma 
vez que o risco medido através do desvio padrão das rendibilidades não é 
eliminado integralmente.” 
 
 
Exercício 4.21 
 
Uma empresa importadora de materiais de construção foi recentemente facturada em 
libras esterlinas no valor de 1.000.000£. A empresa tem um prazo de pagamento a 90 dias 
e teme uma valorização da libra. A taxa de juro sem risco das aplicações a 90 dias em 
libras é de 7% e em euros de 3%. A cotação hoje da libra é de 1,545€/£. 
a) Qual o valor teórico para uma opção de compra sobre libras ao preço de 
exercício de 1,500€/£? 
b) Qual o valor teórico para uma opção de venda sobre libras ao preço de 
exercício de 1,500€/£? 
c) Se estiverem cotadas as opções sobre libras referidas nas alíneas anteriores 
aos preços teóricos por si calculados, e em que cada contrato representa a 
compra de 10.000£, em quantos contratos deve a empresa tomar posição, qual 
o estilo de opções em que deve abrir posição (de compra ou de venda)? 
d) Se a empresa executar o que sugeriu, calcule qual o valor total da factura 
admitindo que na data do vencimento da factura a libra estava a cotar a 
1,450£/€. 
 
 
Exercício 4.22 
 
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a 
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. 
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As 
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €. 
a) Qual o delta das opções de compra e de venda?b) Qual o gama das opções de compra e de venda? 
c) Qual o vega das opções de compra e de venda? 
d) Qual o theta das opções de compra e de venda? 
e) Qual o rho das opções de compra e de venda? 
 
 
 
 37
Exercício 4.23 
 
Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a 
Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 € e maturidade dentro de 6 meses. 
Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As 
acções da PT estão hoje cotadas a 9.00 €. 
a) Se as acções subirem bruscamente 1€, quanto deverá passar a custar uma opção de 
venda com as características referidas? 
b) Qual a posição (comprar / vender ) e qual a quantidade a tomar em acções e a se tiver 
vendido 1000 opções de venda resolver cobrir o risco com acções subjacentes às 
opções (delta hedging)? 
c) E se quiser cobrir a posição curta em 1000 opções de venda fazendo delta e gama 
hedging? 
 
 
Exercício 4.24 
 
Um gestor de um Fundo composto por uma carteira diversificada que replica 
sensivelmente o índice PSI20, tem sob a sua administração um património no valor de 
1.800.000€. O Índice está neste momento nos 13.500 pontos, tem uma volatilidade 
esperada para o próximo semestre de 12%, distribui em média 3% de dividendos e a taxa 
livre de risco a 6 meses está nos 11%. Cada contrato de opções é estabelecido com base 
no valor do índice multiplicado por 1€. No regulamento do Fundo define-se que as 
aplicações em derivados não podem exceder, avaliadas ao valor nominal dos contratos 
em que há posições abertas, 30% do valor do mesmo, quer para efeitos de cobertura de 
riscos quer para efeitos especulativos. O gestor do Fundo espera uma descida de 
cotações generalizada prevendo que em Dezembro o PSI20 venha a quedar-se pelos 
11.500 pontos. Não é política do Fundo o desinvestimento nos títulos que detém em 
carteira. Assim parece mais razoável um investimento em opções. 
 
As cotações das séries disponíveis em opções com vencimentos para Dezembro são as 
seguintes: 
 
Preço de 
Exercício 
Opções de 
Compra 
Opções de 
Venda 
11 000 2880 2 
13 000 1090 150 
15 000 140 1055 
 
a) Que estratégia sugere para o Fundo em causa tendo em vista uma cobertura 
estática até Dezembro e supondo que se vêm a confirmar as expectativas do 
 
 38
gestor do Fundo? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e 
o número de contratos. 
b) Se pretender efectuar uma cobertura dinâmica (delta hedging), que estratégia 
aconselha? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o 
número de contratos. 
c) Como explica a existência de diferentes volatilidades implícitas em opções 
sobre o mesmo activo subjacente e com a mesma data de vencimento? 
 
 
 
V – FORWARDS E FUTUROS FINANCEIROS 
 
 
Exercício 5.1 
 
Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam 
exactamente a composição do índice europeu Stoxx 50. O índice está neste momento nos 
1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira de acções vale 
hoje 3 milhões de euros. Existe um contrato a futuros sobre este índice com vencimento 
para Setembro cotado a 1550 e com vencimento para Dezembro cotado a 1600. 
a) Se na data de vencimento dos contratos a futuro o índice estiver nos 1570 
pontos qual o preço a futuro que se deve estar a praticar no mercado de 
futuros? 
b) Supondo que cada ponto é avaliado em 10 euros qual a posição a tomar em 
contratos a futuro (vencimento do contrato, posição - compradora ou 
vendedora - e quantidade de contratos) por forma a que a empresa esteja 
segura que os resultados do exercício de 2000 não serão afectados por 
quaisquer variações nos preços a futuro? 
c) Mostre, usando 2 cenários alternativos (por exemplo que o índice está nos 
1400 pontos ou que está nos 1600 pontos) que tomando a sua indicação dada 
em b), os resultados da variação do índice não teriam quaisquer efeitos sobre 
os resultados financeiros da empresa. 
 
 
Exercício 5.2 
 
 
 39
Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de euros de valores 
mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções e 65% em 
Obrigações e 5% em numerário e Depósitos à Ordem. Do montante investido em acções 
40% são de origem externa. Os restantes 60% constituem uma carteira diversificada com 
um Beta igual a 1,4. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice 
durante o “maldito Verão” que se aproxima. O índice PSI-20 está neste momento cotado 
a 4120 pontos e o preço dos futuros sobre o índice com vencimento para Dezembro de 
1996, está cotado a 4400 pontos. 
 
1) Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de futuros (sinal e quantidade 
de contratos), se desejar cobrir 50% do valor da carteira de títulos nacionais? 
2) Qual a taxa de juro que o mercado está a assumir como taxa livre de risco, se 
considerar que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% 
até Dezembro? 
3) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 4000 pontos em Dezembro de 1996, que 
ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de futuros? De que modo terá sido 
compensado pelas variações de valor da carteira? 
4) Caso o gestor da carteira pretenda alterar a composição da mesma, que estratégia 
deverá seguir usando futuros sobre índices e Obrigações do Tesouro por forma a obter 
uma composição de 20% de Obrigações e o remanescente de acções? 
 
 
Exercício 5.3 
 
Suponha que a prata é transacionada nos mercados mundiais e que, num determinado 
momento o preço spot é de 5.90 USD/oz de prata e que o futuro sobre a prata com 
vencimento a um ano está cotado a 6.55 - 6.75 USD/oz de prata (compra - venda). 
a) Que tipo de agente poderá estar interessado em comprar contratos a futuro sobre 
a prata? 
b) Se a taxa de juro sem risco estiver a 5% ao ano, haverá oportunidades de 
arbitragem (asuma que a convenience yield é nula)? Em caso afirmativo, explique 
qual a estratégia a montar para e qual o benefício líquido por cada onça a negociar. 
 
 
Exercício 5.4 
 
Suponha que um contrato forward sobre um activo financeiro se vence a um ano e 
estabelece um preço forward de 10.00 €. A taxa de juro sem risco é de 8%. Seis meses 
depois, novos contratos forward sobre o mesmo activo e com vencimentos a 6 meses 
 
 40
estão a ser negociados ao preço de 12.00 €. Qual é o valor do contrato forward original, 
no momento inicial e passado os 6 meses? 
 
 
Exercício 5.5 
 
Um gestor gere uma carteira de acções no valor de 20 milhões de euros, tendo por base 
uma aproximação ao índice EuroStoxx 50. Este gestor acredita que o mercado vai descer 
durante o próximo mês e decide eliminar o risco durante esse período. Existe a seguinte 
informação disponível: 
• Contrato Futuros de Stoxx 50 para entrega a 1 mês estão cotados a 1084.50. 
• Dividendo yield da carteira em causa é de 2.1% ao ano. 
• O beta da carteira é de 1,75. 
• O índice Stoxx 50 hoje está hoje a 1081.40. 
• Cada ponto do índice vale 10,00 €. 
 
a) Qual a estratégia de cobertura a realizar pelo gestor? 
b) Calcule a rendibilidade esperada a receber no próximo mês. Se necessário, 
assuma alguns pressupostos. 
 
 
Exercício 5.6 
 
A administração de uma empresa refinadora de petróleo enviou uma nota interna ao 
director financeiro, no sentido de estabelecer os procedimentos e rotinas apropriados à 
cobertura do risco. O director financeiro ficou inicialmente indeciso sobre que atitude 
tomar pois não estava especificado qual a natureza dos riscos a cobrir. 
a) Tratando-se do risco operacional, quais as medidas que em seu entender devem ser 
tomadas para cumprir os desejos da administração? 
b) E tratando-se do risco de preço, sabendo-se que a empresa refina anualmente 1000 
milhões de barris, cuja aquisição é feita trimestralmente em encomendas semelhantes, 
se a empresa estiver disposta a cobrir apenas 60% dessa quantidade, qual a política a 
seguir através de contratosa futuro? (explicite a quantidade de contratos, posição a 
tomar no mercado e respectivos vencimentos de acordo com os pressupostos que deve 
assumir no sentido de completar o problema) 
c) Se o preço a futuro na data de hoje, para um contrato com vencimento em Dezembro, 
estiver a $US 18.20 o barril, e se o preço spot for de $US17.80, qual o movimento na 
conta margem da empresa que adoptou a política proposta na alínea anterior ao longo 
de um período de 5 dias, se as liquidações de ganhos e perdas forem feitas 
diariamente? 
 
 41
Data Preço de liquidação diário Posições abertas 
T 18.20 12.500 
T+1 18.00 15.800 
T+2 17.70 15.000 
T+3 17.90 17.000 
T+4 18.30 18.000 
T+5 18.50 22.000 
 
d) Pode considerar-se que a empresa apurou um ganho ou uma perda? 
e) Se a taxa de juro sem risco for de 5% ao ano, determine se existem oportunidades de 
arbitragem no mercado do petróleo para os preços de hoje (condições da alínea c), e 
explique que procedimentos tomar para daí tirar as devidas vantagens. 
 
 
Exercício 5.7 
 
Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O 
risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante 
sobre uma possibilidade de descida de cotações. O índice PSI20 está hoje cotado a 
10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O valor da carteira de 
acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não se espera que de hoje 
até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a distribuir dividendos. Se 
estiverem cotados contratos a futuro com vencimento para Setembro e Dezembro e se a 
empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final do mês de 
Outubro (após as eleições legislativas) 
a) Que sugere à empresa como actuação mais adequada? (Explicite posição a tomar, 
número de contratos e contrato a seleccionar em concreto, assumindo que a 
correlação entre a rendibilidade do índice e a do preço a futuro é de 0.85 e que a 
volatilidade de ambos estes preços é de 20%) 
b) Se lhe sugerissem que cotasse o contrato com vencimento para Setembro, estando 
neste momento muito pessimista sobre a evolução das cotações nos próximos meses, 
qual o preço a futuro que proporia? 
c) Se no vencimento o índice estiver a 11.000 pontos quanto é esperado que se tenha 
valorizado/desvalorizado a sua carteira e quanto ganhou/perdeu no mercado a futuro? 
d) Em que medida o preço à vista e a futuro observados hoje, lhe sugerem a existência 
de uma convenience yield? 
 
 
 
 
 42
VI – SWAPS 
 
Exercício 6.1 
 
Uma empresa de construção civil emitiu obrigações a taxa variável há 2 anos atrás. Desde 
essa data que as taxas de juro se têm mantido baixas e por isso a empresa pensa que foi 
uma boa opção. No entanto, a empresa teme que nos próximos 5 anos em que a emissão 
ainda vai manter essa emissão no mercado, as taxas sofram uma subida brusca e que isso 
afecte a rendibilidade dos capitais próprios de modo acentuado. Pensa por isso converter 
a dívida de taxa variável em taxa fixa. Trata-se de uma emissão de 1.000.000 de euros e 
que foi emitida em 20 de Março de 2002. As condições de emissão estipulam uma 
emissão a 7 anos a uma taxa de cupão igual à euribor acrescida de um spread de 1% e 
com pagamentos anuais. Hoje em 20 de Março de 2004 a empresa consultou uma 
instituição financeira que lhe cotou um swap de taxa de juro a 5 anos nos seguintes 
termos: 4,0% - 4,5%. 
a) Se a empresa optar por estabelecer este swap, qual a taxa de juro que irá 
efectivamente suportar no empréstimo? 
b) Estando a taxa euribor a 3,5% em 20 de Março de 2004 qual o valor da posição de 
swap se a 31 de Dezembro de 2004 se a euribor estiver a 4,00%? (assuma uma 
estrutura temporal de taxas de juro “flat”) 
c) A posição de swap é uma posição activa ou passiva? 
d) Se em 20 de Março de 2005 a taxa euribor estiver a 5% e se nessa data a empresa 
previr que em breve as taxas de juro vão descer, o que sugere que a empresa faça? 
 
 
Exercício 6.2 
 
Uma pequena instituição financeira portuguesa está interessada em contrair uma 
empréstimo a taxa fixa a 5 anos para uma dívida de 100 milhões de euros. No mercado 
internacional ela verificou que as melhores cotações que consegui obter para 
empréstimos com pagamentos de cupão semestrais eram as seguintes: 
 
 Taxa 
Empréstimo a Taxa fixa Euribor a 6 meses + 1,25% ao ano 
Empréstimo a Taxa variável 5,125% ao ano 
 
Uma outra empresa pretende igualmente realizar um empréstimo com pagamentos de 
cupão semestrais mas a taxa variável e no montante de 150 milhões de euros. Junto do 
mercado ela conseguiu as seguintes condições: 
 
 43
 
 Taxa 
Empréstimo a Taxa fixa Euribor a 6 meses + 0,75% ao ano 
Empréstimo a Taxa variável 4,125% ao ano 
 
A taxa euribor a 6 meses está hoje a 2,5%. 
 
a) O que sugere às duas empresas por forma a obterem o menor custo de 
financiamento cada uma? 
b) A que taxas vai cada uma vai efectivamente suportar os respectivos 
empréstimos? 
c) Se passados 40 meses a taxa euribor a 6 meses estiver a 3% ao ano e se a 
taxa do próximo cupão foi fixada quando a euribor estava a 3,5% ao ano, 
qual o valor da posição swap para a pequena instituição financeira 
nacional? (assuma uma estrutura temporal de taxas de juro “flat”) 
 
 
Exercício 6.3 
 
Um fundo de pensões tem nas suas carteiras de activos uma carteira de obrigações a taxa 
fixa de valor significativo. As obrigações são pouco líquidas e se tentar vendê-las 
perderá significativamente com isso. O gestor do fundo receia uma subida brusca das 
taxas de juro e por isso pensa que o ideal seria converter a aplicação hoje a taxa fixa em 
taxa variável. A carteira ao valor nominal vale 20 milhões de euros e a taxa de cupão é de 
6% ao ano. O empréstimo paga juros anualmente e a emissão vence-se dentro de 5 anos 
(faltam ainda receber 5 cupões anuais, dos quais o 1º dentro de 1 ano). A estrutura de 
taxas euribor e as cotações de mercado para os swaps de pagamentos anuais são os 
seguintes: 
 
Prazo Taxa Bid Taxa Offer Euribor 
1 ano 5,250% 6,000% 3,500% 
2 anos 5,500% 6,250% 3,625% 
3 anos 5,750% 6,250% 3,625% 
4 anos 5,750% 6,250% 4,000% 
5 anos 5,875% 6,125% 4,125% 
10 anos 5,875% 6,250% 4,000% 
 
a) O que sugere que a empresa faça para se precaver contra eventuais subidas 
da taxa de juro? 
b) Qual a taxa de juro que o empréstimo vai produzir após a efectivação do 
swap? 
c) Se dentro de 6 meses a taxa euribor a 6 meses estiver a 4,5%, qual o valor 
da posição do swap previsto na alínea a)? 
 
 44
 
 
VII – PRODUTOS ESTRUTURADOS 
 
Exercício 7.1 
 
John Bull é um jovem director do departamento de produtos estruturados e quer 
emitir um novo produto. Já fez a primeira reunião com a CMVM e já sabe quais as 
condições que lhe são impostas para a emissão, nomeadamente o preenchimento de uma 
ficha técnica de emissão que acompanhará o prospecto de emissão. A emissão será 
pública e o produto colocado na rede de balcões dos CTT – Correios de Portugal. 
Após ter estudado o mercado de opções disponíveis e avaliado a carteira de 
clientes que possa estar eventualmente interessado no produto, pensa que os derivados 
sobre o índice DJ EURO STOXX 50 são os mais adequados. Por isso está a pensar 
desenvolver um produto que contenha as seguintes características: 
1) Compreenda uma Obrigação de Cupão Zero com vencimento a 2 anos e cujo 
valor nominal corresponda a 95% do Valor Nominal de subscrição; 
2) Compreenda uma posição longa numa Call Europeia binária (cash-or-
nothing) com vencimento a 2 anos e com preço de exercício igual a 115% 
acima do valor actual do DJ EURO STOXX 50; 
3) Compreenda uma posição longa numa Put Europeia binária com vencimento 
a 2 anos e com preço de exercício igual a 85% abaixo do valor actual do DJ 
EURO STOXX 50. 
 
Ajude o John Bull a seleccionar os elementos que considere indispensáveis para o 
lançamento do produto. O índice está hoje nos 2750 pontos e a empresa emitente quer 
fazer equivalerum ponto a um euro. No entanto falta ainda determinar: 
a. Os valores dos payoff das opções binárias, isto é, quanto é 
que a empresa pode pagar em caso de exercício das opções binárias. 
b. Formulação de valor no vencimento; 
c. Condições de exercício; 
d. Maturidade; 
e. Calcule os gregos deste produto, calculados à data de 
emissão, nomeadamente o delta, o gamma, o rho, o theta e o vega (ou 
lambda). 
 
 
 
 45
Exercício 7.2 
 
Suponha que vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido sobre o índice 
PSI20. O produto só permite o resgate no vencimento (dentro de 6 meses), o detentor 
deste produto (opção) recebe a diferença (contada em pontos de índice e convertida no 
mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 
8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só 
recebe 1.000 euros. A taxa de juro sem risco é de 6% ao ano e não se espera que as 
empresas constituintes do índice distribuam dividendos até ao vencimento. A 
volatilidade histórica dos últimos 6 meses foi de 25% ao ano, e o índice está neste 
momento nos 7.000 pontos. Assuma um ambiente semelhante e compatível com a 
equação de Black - Scholes. 
 
a) Usando uma árvore binomial em que as variações temporais para avaliação 
correspondem a 2 meses (árvore com 3 desdobramentos e 4 nódulos finais) qual o 
valor da opção? 
b) Qual o delta da opção? 
c) Qual o Theta da opção? 
d) Se a opção fosse americana o valor seria diferente? (Se acha que sim, basta 
exemplificar com um nódulo) 
e) Se uma instituição financeira emitir um produto semelhante, mas com as bandas 
mais afastadas (por exemplo preço de exercício inferior de 7.200 pontos e preço de 
exercício superior de 8.800 pontos) qual das duas opções deverá ser mais cara? 
Justifique. 
 
 
Exercício 7.3 
 
Um intermediário financeiro vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido 
sobre o índice IBEX35 e a que chamou Bullish Power. O Bullish Power só permite o 
resgate no vencimento (dentro de 2 anos). O titular deste produto (opção) recebe o dobro 
da diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), 
acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o 
índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 2.000 euros, mas se 
estiver cotado a 7.700 pontos o titular receberá 400 euros. A taxa de juro sem risco é de 
5% ao ano. O índice está neste momento nos 7.000 pontos e realizaram-se 10.000 
simulações para evolução do índice IBEX35 para os próximos dois anos. O quadro 
seguinte resume os valores obtidos para o índice ao fim de 2 anos. 
 
Resultados Número de simulações 
 
 46
6 000 pontos 450 
6.500 pontos 1.500 
7.000 pontos 2.000 
7.500 pontos 2.000 
8.000 pontos 2.500 
8.500 pontos 1.000 
9.000 pontos 500 
9.500 pontos 50 
TOTAL 10.000 
a) Recorrendo à técnica de simulação de Monte Carlo calcule o valor do Bullish 
Power (opção). 
b) Qual a probabilidade neutra face ao risco do Bullish Power (opções) não ter 
qualquer valor no final? 
c) O seu avô quer oferecer-lhe um destes produtos, mas a instituição financeira que 
os emite tem outro produto também desenvolvido sobre o IBEX35: o El Niño. O 
El Niño paga, no vencimento (dentro de 2 anos), o valor da diferença (contada em 
pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de 
exercício (6.500 pontos) até ao limite de 9.000 pontos. Isto é, se o índice estiver 
cotado a 9.000 pontos o titular desta opção recebe 2.500 euros, mas se estiver 
cotado a 6.700 pontos o titular receberá 200 euros. Qual e porquê pediria ao seu 
avô? 
 
 
VIII – VaR e TCE 
 
Exercício 8.1 
 
Um gestor de carteiras quer calcular o VaR da sua carteira por forma a informar a 
administração para elaboração do seu relatório anual. A sua carteira é composta por 
acções, obrigações e alguns futuros sobre energia. O gestor assumiu que a correlação 
entre estes 3 tipos de produtos é nula e quer calcular o VaR a 1 semana, com um nível de 
confiança de 95% e 99%. A carteira, a valorização das posições em cada um dos activos e 
ainda as expectativas de volatilidade e rendibilidade de cada estão apresentadas no 
quadro abaixo. 
 
Produtos Valor da Posição Rendibilidade Anual Esperada Volatilidade 
Acções 2.500.000€ 15% 25% 
Obrigações 5.000.000€ 5% 5% 
Futuros 1.000.000€ 35% 50% 
 
 47
 
a) Qual a resposta a dar à administração sobre qual o valor do VaR a 1 
semana com um nível de confiança de 95% e 99%? 
b) Se a administração quiser reduzir o VaR a metade do é actualmente, 
embora sem modificar os tipos de produtos que actualmente fazem parte 
da carteira, quais as alterações de composição de carteira que recomenda? 
 
 
Exercício 8.2 
 
Uma empresa seguradora quer calcular o VaR e a TCE da sua carteira de aplicações. Por 
isso desenvolveu um modelo de simulação de Monte Carlo para a avaliar o qual correu 
1.000 vezes. Em cada corrida de um mês cada estimou o valor da carteira bem como as 
perdas e os ganhos face ao nível da carteira actual. Depois de obter as 1.000 simulações a 
empresa ordenou os resultados por ordem crescente o no quadro abaixo apresentam-se 
apenas os 20 piores resultados das simulações (os mais baixos 2% da distribuição). A 
carteira actualmente vale no seu conjunto 10.000.000€. 
 
Simulação 
Perda ou Ganho 
Simulado na 
Carteira 
# 1 -1.824.352 
# 2 -1.500.635 
# 3 -1.125.498 
# 4 -1.102.258 
# 5 -1.006.747 
# 6 -1.000.025 
# 7 -897.524 
# 8 -752.582 
# 9 -725.698 
# 10 -725.563 
# 11 -702.654 
# 12 -658.241 
# 13 -526.321 
# 14 -321.002 
# 15 -320.005 
# 16 -300.002 
# 17 -289.250 
# 18 -274.258 
# 19 -256.698 
# 20 -201.221 
 
 
 48
 
a) Qual o VaR da carteira a um mês e a 99% de nível de confiança? 
b) Qual o TCE para um VaR de 99%? 
c) Se o regulador do mercado segurador impuser um rácio prudencial que obriga 
o capital próprio ser pelo menos maior do que 2/3 das perdas expressas pelo 
TCE para um VaR a um mês para um nível de confiança de 99% qual deve ser 
o nível mínimo do capital próprio da seguradora? 
 
 
Exercício 8.3 
 
Suponha uma economia onde existem 3 activos de risco (acções) disponíveis para 
investimento. Você tem a seu cargo a gestão dos fundos de investimento sob 
administração da sociedade gestora TOPFUNDOS que actualmente tem sob gestão dois 
fundos de investimento cuja composição das carteiras está apresentada no quadro abaixo 
e cuja dimensão é de 10.000.000 € e 50.000.000 €: 
 
 Composição dos Fundos 
Activos Fundo 50-50 Fundo 70-30 
Alpha 50% 30% 
Beta 70% 
Gamma 50% 
 
As características dos 3 activos de risco estão apresentadas no quadro seguinte: 
 
 Rendibilidade Esperada Volatilidade 
Alpha 35% 30% 
Be1ta 40% 40% 
Gamma 20% 10% 
 
Na TOPFUNDOS assume-se que a correlação entre qualquer dos activos é constante e 
igual a 0,20 e que a taxa de juro sem risco é de 4% ao ano. 
a) Qual o VaR de cada um dos Fundos para um intervalo de 1 dia e 5 dias para 95%, 
99% e 99,9%? 
b) Se usar o critério do Var para aplicar o seu dinheiro em qual dos Fundos 
investiria? Justifique. 
c) Verificou-se historicamente que do histograma da distribuição de rendibilidades 
diárias, o limite superior do percentil 5 é -2% para ambos os fundos da 
TOPFUNDOS. Em que medida esta observação vem pôr em causa a estimação 
realizada em a)? 
 
 
 49
 
IX – AVALIAÇÃO DA PERFORMANCE 
 
Exercício 9.1 
 
Várias equipas de um jogo de simulação de carteiras obtiveram os seguintes resultados 
após vários meses de simulação 
 
Nome Valor Global 
Carteira 
Rendibilidade 
Anual 
Volatilidade 
Anual 
Beta 
Os Crashes 102.646.027 7,15% 9,65% 0,106
Oásis 108.257.934 21,72% 4,46% 0,623
Devagar se Vai ao Longe 112.129.149 31,33% 8,13% 0,873
Tubarões 112.179.221 31,45% 5,65% 0,844
PSI 4 114.262.763 36,49% 5,05% 0,840
Kamikazes 105.736.377 15,27% 4,99% 0,745
Os Expertos 114.266.552 36,50% 5,36% 0,581
BVL30 112.351.459 31,87% 6,30% 1,000
 
O jogo era ganho, de acordo com os