Matematica-Financeira-com-HP12C-e-Excel

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Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 2 
Direitos autorais 
 
Copyright© by Anderson Dias Gonçalves 
 
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Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou 
transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, 
gravação ou quaisquer outros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves 
 
Educador Financeiro DSOP, sócio-diretor da empresa Treinart Educacional, com graduação em 
Matemática, pós-graduação em Matemática e Estatística, Mestre em Matemática e Estatística, 
MBA em Gestão Financeira Empresarial. Ministra palestras e cursos sobre Educação Financeira. 
Atua como professor de Matemática há mais de 15 anos, leciona a disciplina de Matemática 
Financeira e Gestão Estratégica de Custos no curso de pós-graduação em Gestão Financeira e 
Controladoria, leciona em cursos de graduação as disciplinas de Matemática Financeira, Cálculo 
Diferencial e Integral, Equações Diferenciais e Ordinárias, Estatística e disciplinas afins. Consultor 
em Avaliação Institucional e Clima Organizacional para empresas e instituições de ensino. 
Coordenador do curso de pós-graduação da Faculdade Senac – Minas em Gestão Financeira e 
Controladoria. Editor do blog sobre Educação Financeira – Clínica do Dinheiro 
(www.clinicadodinheiro.com.br) 
 
 
Contato: anderson@treinarteducacional.com.br 
 
facebook.com/andersonmatematico 
 
Site: www.treinarteducacional.com.br 
 
 
Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2013. 
 
 
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Sumário 
CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira ........................................................................ 6 
Introdução ........................................................................................................................................................ 6 
1.1 O valor do dinheiro no tempo ................................................................................................................. 6 
1.2 Fluxo de Caixa - Conceitos e Convenções Básicas ........................................................................... 7 
1.3 Regime de capitalização simples .......................................................................................................... 8 
1.3.1 Derivações da fórmula de juros simples ......................................................................................... 10 
1.3.2 Desconto “Por Dentro”, ou Racional ................................................................................................ 11 
1.3.3 Desconto “Por Fora” ou Comercial .................................................................................................. 12 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 13 
CAPÍTULO 2 - Juros Compostos ............................................................................................................... 16 
Introdução ...................................................................................................................................................... 16 
2.1 Juros compostos .................................................................................................................................... 16 
2.1.1 Dedução da Expressão Genérica. ................................................................................................... 16 
2.1.2 Definições de variáveis: ..................................................................................................................... 17 
2.2 Utilização da calculadora HP 12C para cálculos financeiros .......................................................... 18 
2.2.1 Zerando os registros financeiros da HP 12C ................................................................................. 18 
2.2.2 Fluxo de caixa - conceitos e convenções básicas ......................................................................... 18 
2.2.3 Principais elementos de um fluxo de caixa ..................................................................................... 19 
2.2.4 Cálculos para períodos fracionários ................................................................................................ 24 
2.3 Valor Presente (Atual) e Valor Futuro (Nominal) .............................................................................. 25 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 27 
2.4 Descontos compostos ........................................................................................................................... 28 
2.4.1 Desconto Racional .............................................................................................................................. 28 
2.4.2 Desconto Comercial ........................................................................................................................... 29 
2.5 Equivalências de capitais ...................................................................................................................... 30 
Exercícios complementares ........................................................................................................................ 31 
CAPÍTULO 3 – Taxas de juros ................................................................................................................... 33 
Introdução ...................................................................................................................................................... 33 
3.1 Taxa efetiva ............................................................................................................................................. 33 
3.2 Taxas Proporcionais – Juros Simples ................................................................................................. 33 
3.3 Taxas Equivalentes – Juros Compostos ............................................................................................ 34 
3.4 Taxa Nominal .......................................................................................................................................... 38 
3.5 Taxa Média de Juros ............................................................................................................................. 40 
3.6 Taxa real de juros .................................................................................................................................. 41 
3.7 Outras taxas do mercado financeiro ................................................................................................... 42 
Exercícios Propostos .................................................................................................................................... 42 
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CAPÍTULO 4 – Séries de Pagamentos ..................................................................................................... 44 
Introdução ...................................................................................................................................................... 44 
4.1 Renda ....................................................................................................................................................... 44 
4.2 Classificação de rendas ........................................................................................................................44 
4.3 Pagamentos ou recebimentos iguais .................................................................................................. 45 
4.2 - Cálculos com séries uniformes na HP 12C ..................................................................................... 46 
4.3 - Cálculos com séries uniformes no Excel ......................................................................................... 47 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 51 
4.4 Rendas perpétuas .................................................................................................................................. 52 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 53 
CAPÍTULO 5 - Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ...................................................... 55 
Introdução ...................................................................................................................................................... 55 
5.1 – Séries com prestações diferentes .................................................................................................... 55 
5.2 – Representação de fluxo de caixa não homogêneo ....................................................................... 55 
5.3 – Valor Presente Líquido ...................................................................................................................... 55 
5.4 – Valor Presente Líquido – EXCEL ..................................................................................................... 56 
5.5 Taxa Interna de Retorno – TIR ............................................................................................................ 62 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 65 
CAPÍTULO 6 - Sistemas de Amortização ................................................................................................. 67 
Introdução ...................................................................................................................................................... 67 
6.1 – Sistemas e metodologias de cálculos de juros e amortizações .................................................. 67 
6.2 – Sistema Francês – Tabela Price ...................................................................................................... 68 
6.3 – Sistema SAC ....................................................................................................................................... 70 
6.4 – Sistema Americano ............................................................................................................................ 71 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 72 
Exercícios complementares ........................................................................................................................ 74 
CAPÍTULO 7 – Conhecendo a HP 12 C ................................................................................................... 76 
Introdução ...................................................................................................................................................... 76 
7.1 Testando a calculadora ......................................................................................................................... 76 
7.2 Separadores de dígitos ......................................................................................................................... 76 
7.3 O teclado ................................................................................................................................................. 76 
7.4 Controlando o número de casas decimais ......................................................................................... 76 
7.5 Números negativos ................................................................................................................................ 77 
7.6 Clear (apagar) ......................................................................................................................................... 77 
7.7 As teclas “RPN” e “ALG” ....................................................................................................................... 77 
7.8 A pilha operacional ................................................................................................................................ 77 
7.8.1 Analisando a PILHA em cálculos aritméticos ................................................................................. 78 
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7.9 Cálculos aritméticos ............................................................................................................................... 78 
7.10 Memória - registro de armazenamento ........................................................................................... 79 
7.10.1 Armazenamento e recuperação de números ............................................................................... 79 
7.10.2 Zerando os registros de armazenamento ..................................................................................... 79 
7.10.3 Aritmética com registros de armazenamento ............................................................................... 80 
7.11 Funções de porcentagem ................................................................................................................... 80 
7.12 Funções calendário ............................................................................................................................. 82 
7.12.1 Formato data ..................................................................................................................................... 82 
7.12.2 Datas futuras ou passadas ............................................................................................................. 83 
7.12.3 Número de dias entre datas ............................................................................................................ 83 
Exercícios propostos .................................................................................................................................... 84 
Respostas ...................................................................................................................................................... 84 
Bibliografia ..................................................................................................................................................... 85 
 
 
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CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira 
 
Introdução 
 
Este capítulo introduz conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam 
o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa, 
convenções e simbologias adotadas nas suas representações. 
 
O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e 
indispensáveis ao desenvolvimento do estudo de Matemática Financeira. Esses 
conceitos, aparentemente simples, têm vários detalhes importantes que facilitam o 
entendimento do dinheiro ao longo do tempo. 
 
1.1 O valor do dinheiro no tempo 
 
Um velho ditado popular, “é melhor um pássaro na mão do que dois voando”. Ou 
seja, antes o pouco certo agora do que o muito duvidoso depois. Essa colocação nos dá o 
principal conceito estudos em finanças: o valor do dinheiro notempo. 
 
Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: dinheiro e tempo. Como 
o presente é certo e o futuro duvidoso, deve sempre existir alguma compensação para 
incertezas futuras. As compensações refletem o custo implícito ou explícito da transação 
financeira. 
 
Associado a uma operação de investimento, em que existe um sacrifício financeiro 
presente em prol da obtenção de benefícios futuros compensadores, o valor do dinheiro 
no tempo resulta de alguns componentes básicos: 
 
 Risco: sempre existe a possibilidade de os planos não ocorrerem conforme 
planejado. De outro modo, sempre haverá risco de não receber os valores 
programados em decorrência de fatos imprevistos. Quando se fala em “análise de 
crédito”, na verdade estamos concedendo crédito, mas na verdade o que está 
sendo analisado é o risco que envolver a operação de crédito. 
 
 Utilidade: o investimento implica em deixar e consumir algo hoje pra consumir no 
futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação. Essa 
compensação é medida através das taxas de juros (simples ou compostos) que é 
utilizada pelo mercado financeiro. 
 
 Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no 
presente, permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que possam aparecer. 
Quando uma empresa ou uma pessoa possui reservas financeiras no presente, 
podem buscar soluções que apresentam menores riscos e mais rentabilidade. Essa 
é a combinação perfeita, um investimento com menor risco possível (otimizado) e 
melhor rentabilidade. 
 
O dinheiro no tempo relaciona-se com a ideia de que, ao longo do tempo, o valor 
do dinheiro muda, quer em função de ter-se oportunidade de aplicá-lo, quer em função de 
sua desvalorização em relação à inflação, quer em função dos riscos corridos e das 
possibilidades de perda. 
 
 
 
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1.2 Fluxo de Caixa - Conceitos e Convenções Básicas 
 
Ao avanço das tecnologias disponíveis para a realização dos cálculos financeiros 
tem tornado gradualmente mais simples as operações algébricas e as operações do 
dinheiro no tempo. Calculadoras e planilhas eletrônicas tem sido utilizadas para 
descomplicar as operações algébricas. Embora facilitem os cálculos, não possuem a 
principal característica de tomada de decisão de transferir ou não os recursos financeiros 
ao longo do tempo. 
 
Para facilitar a representação das operações financeiras e a identificação das 
variáveis relevantes, costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa, ou 
simplesmente fluxo de caixa. 
 
Definição: Denomina-se fluxo de caixa a movimentação de recursos financeiros 
(entradas e saídas de caixa) ao longo de um período. Esse conjunto de entradas e saídas 
de dinheiro (caixa) ao longo do tempo pode ter fluxos em empresas, investimentos, 
projetos e planejamento pessoal. 
 
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um 
período. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de 
períodos relevantes para a análise. As entradas ou recebimentos são representadas por 
setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos, por setas verticais 
apontadas para baixo. 
 
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos 
de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e 
investimentos. 
 
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou 
diagramas, como mostra a figura abaixo. 
 
 
Na análise de operações financeiras, alguns princípios básicos sempre devem 
ser levados em consideração: 
 
1. Valores somente podem ser comparados se estiverem na mesma data 
2. Operações algébricas apenas podem ser feitas com valores na mesma data. 
 
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Exemplo 1 
Em empréstimo contraído no valor de $1.000,00, que será quitado mediante o pagamento 
de $1.200,00, daqui a seis meses, pode ser visto na seguinte figura. 
 
Exemplo 2 
Uma aplicação no valor de $300,00 que será resgatada em três parcelas iguais mensais, 
no valor de $120,00, pode ser vista a seguir: 
 
 
 
1.3 Regime de capitalização simples 
 
Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo quais os capitais 
são remunerados. Os regimes de capitalização normalmente utilizados na matemática 
financeira SIMPLES e COMPOSTOS, ou linear e exponencial, respectivamente. 
 
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de 
principal, rende juros. Nesse regime não se somam os juros do período ao capital para o 
cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros não são capitalizados e, em 
consequência disso, não rede juros. 
 
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para 
cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render 
juros. 
 
Os juros simples apresentam uma grande vantagem operacional sobre os juros 
compostos. Isso porque, para calculá-los, precisamos fazer apenas duas multiplicações, 
enquanto que os juros compostos são calculados com potenciação. Apesar de existirem 
fórmulas para o cálculo de juros simples, muitos preferem utilizar o conceito de 
porcentagem e o da lógica. 
 
Por exemplo, uma aplicação de R$ 2.000,00, que rende 3% a.m. (juros simples), 
após 4 meses renderá 4x3%=12%. Calculando 12% de R$2.000,00, teremos R$ 240,00. 
Inversamente, se tivermos o principal, os juros e a taxa, em nossas contas aparecerão 
também uma divisão se quisermos descobrir a prazo necessário para aplicação. 
 
Os cálculos poderiam ficar um pouco mais complicados se estivéssemos 
trabalhando com unidades diferentes para prazos e taxas. Por esse motivo, muitos 
preferem trabalhar com fórmulas matemáticas. Além disso, as planilhas eletrônicas 
exigem um bom relacionamento com as fórmulas. 
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Nesse contexto buscaremos encorajar você a criar suas próprias fórmulas, 
específicas para cada situação, mas isso não o obrigará a resolver a maior parte dos 
exercícios através delas. 
 
Exemplo 3 
Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco Delta, pelo prazo de 
quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. 
Determinar o valor do saldo credor desse investidor no Banco Delta no final de cada um 
dos quatros anos da operação. 
 
Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a. 
Ano 
Saldo no início do 
ano 
Juros no ano 
Pagamento do 
ano 
Saldo final do ano 
após o pagamento 
1 1.000,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 1.080,00 
2 1.080,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 1.160,00 
3 1.160,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 1.240,00 
4 1.240,00 8%x1.000,00=80,00 1.320,00 0,00 
 
 
Assim genericamente, os juros capitalizados por n períodos no regime de capitalização 
simples podem ser representados por: 
 
J = PV.n.i 
Onde: 
J =juros simples 
PV =Valor presente 
n = número de períodos de capitalização 
i =taxa de juros 
 
O montante ou valor futuro no regime de capitalização simples pode ser representado por: 
JPVFV  
 
inPVPVFV .. (colocando PV em evidência no segundo membro) 
 
).1( inPVFV  
 
Onde: 
 
1000
1080
1160
1240
1320
1400
0 1 2 3 4
Anos
Saldo($)
Juros simples(Linear)
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FV = Montante ou valor futuro 
PV =Valor presente 
J =Juros 
n =número de períodos de capitalização 
i =taxa de juros 
 
1.3.1 Derivações da fórmula de juros simples 
 
Da fórmula original de capitalização simples do valor futuro poderiam ser derivadas as 
seguintesfórmulas que permitem encontrar o valor presente e a taxa de juros. 
 in
FV
PV
.1
 (cálculo do valor presente) 
 
n
PV
FV
i








1
 (cálculo da taxa de juros) 
 
i
PV
FV
n








1
(cálculo do número de períodos capitalizados) 
 
Exemplo 4 
Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $750,00 após 
5 meses, a uma taxa de 1% a.m. Pede-se obter o valor do capital inicial da operação. 
 
Aplicando a fórmula para cálculo do valor presente temos: 
   
750
714,29
1 . 1 5.0,01
FV
PV
n i
  
 
 
 
Exemplo 5 
O valor de $2000,00 foi aplicado por cinco anos, permitindo a obtenção de $4000,00. 
Sabendo que e regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal 
aplicada durante a operação. 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula para cálculo da taxa de juros temos: 
4000
1 1
2000
0,0167 1,67%
60
FV
PV
i
n
   
    
       
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Exemplo 6 
A quantia de $1340,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $680,00 feita à taxa 
de 1,2% a.m. no regime de capitalização simples. Calcule o tempo dessa operação. 
 
Aplicando a fórmula para cálculo do número de períodos temos: 
 
1340
1 1
680
81
0,012
FV
PV
n
i
   
    
      
 
 
 
 
1.3.2 Desconto “Por Dentro”, ou Racional 
 
No regime de capitalização simples, a taxa de juros sempre incide sobre o valor aplicado 
inicialmente. Nesse regime, as operações de desconto por dentro, ou racional, 
representam a aplicação direta da fórmula de capitalização de juros simples. 
 
A taxa de juros i , também denominada taxa de rentabilidade, ou, ainda taxa de 
desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir de: 
 
).1( inPVFV  
 
Isolando algebricamente a taxa de juros i , temos: 
 
nPV
FV
i
1
1 





 
 
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro (FV), ou 
montante, e o valor presente (PV), ou principal, desta forma, temos: 
 
PVFVDd  
 
ou 
 
inPVDd .. 
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Exemplo 7 
Uma nota promissória com valor nominal igual a $7.200,00 e com vencimento 
programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo-se 
que o desconto sofrido foi igual a $480,00, encontre a taxa mensal efetiva da operação. 
PVFVDd  
 in
FV
FVDd
.1

 
 
%84,000840336,0
.5,81
7200
7200480 


i
 
Ou isolando a taxa de juros temos: 
( )
d
d
D
i
n FV D


 
 
 
1.3.3 Desconto “Por Fora” ou Comercial 
 
As operações de desconto por fora, ou comercial, ou ainda, desconto bancário, 
consistem em uma forma diferenciada da aplicação de juros simples. A taxa de juros 
incide sobre o valor futuro ou nominal da operação. Com a incidência do cálculo do 
desconto ou juros sobre o valor futuro, existe majoração dos valores. 
 
De modo geral, o desconto por fora, ou comercial é aquele valor que se obtém pelo 
cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do compromisso que será saldado n
períodos antes de seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valo 
nominal. Ou seja, a incidência da taxa de desconto por fora ou comercial se dá sobre o 
valor futuro da operação. 
 
Assim, o valor do desconto por fora, ou comercial, é dado por: 
 
df inFVD .. 
O valor presente PV , resultante do desconto sobre o montante FV , pode ser encontrado 
por: 
).1( dinFVPV  
 
Exemplo 8 
Sabe-se que o valor líquido resultante do desconto de uma duplicata três meses antes do 
prazo a uma taxa de desconto comercial igual 5%a.m. foi igual a $51.000,00. Encontre o 
valor nominal do papel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
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).1( dinFVPV  (isolando FV ) 
).1( din
PV
FV

 
00,000.60$
)05,0.31(
000.51


FV 
 
 
 
Exemplo 9 
Um título com valor nominal igual a $90.000,00 foi descontado dois meses antes de seu 
vencimento. O desconto aplicado foi de $7.200,00. Encontre a taxa de desconto mensal 
utilizada nessa operação. 
 
Sabemos que o se o desconto foi de $7.200,00, o valor liquido a receber é igual a 
$82800,00, logo: 
 
 
).1( dinFVPV  (isolando a 
taxa de desconto) 
n
FV
PV
id








1
 
%404,0
2
90000
82800
1








di a.m. 
 
 
Exemplo 10 
Aplicação de uma taxa de desconto igual a 4% ao mês resultou na obtenção de um valor 
líquido igual a $10.560,00, consequência do desconto de um título no valor nominal de 
$12.000,00. Encontre o tempo de duração dessa operação em meses. 
 
).1( dinFVPV  (isolando n ) 
di
FV
PV
n








1
 
3
04,0
12000
10560
1








n meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
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1-Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montante de 
$1.300,00 no prazo de 36 meses. Determinar, no regime de juros simples: 
 
a) a rentabilidade trimestral do investidor; 
b) a taxa de desconto anual ("por fora") que corresponde à rentabilidade do item a. 
 
2-Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com 
uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa forma, o valor 
líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar os $15.000,00 no final 
do 3°. mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de $1.500,00 ao longo de todo o 
prazo do empréstimo. Determinar a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa 
operação, a juros simples. 
 
3-Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa 
de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título tem um valor de 
$10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de 
$10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Determinar o valor a ser creditado pelo 
banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos. 
 
4-Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, com uma 
taxa de 1,2% ao mês (desconto "por dentro"), juros simples, que pode ser liquidado no 
final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar esse empréstimo 
com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de um novo empréstimo, com uma taxa 
de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos alguns meses, a empresa decide 
liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois 
empréstimos é de $981,60. Determinar: 
 
a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; 
b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo; 
c) o prazo do segundo empréstimo; 
d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois 
empréstimos em conjunto. 
 
5-Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No 
final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até 
aquela data totaliza $10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra 
instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período, o montante 
acumulado na segunda instituição é igual a $11.108,80. Sabendo-se que as duas 
instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, 
determinar: 
 
a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições; 
b) o valor do depósito inicial na primeira instituição. 
 
6) Um consumidor financiou um eletrodoméstico em 24 pagamentos de R$28,42 (parcelas 
fixas), vencendo a primeira parcela daqui a30 dias. Logo na primeira prestação, houve 
um atraso de 11 dias para o pagamento. Sabe-se que o valor pago de juros, foi de 
R$1,56. Qual a taxa mensal de juros praticada pelo estabelecimento comercial? 
 
7) A cliente da loja “Tudo Pode Ltda.” efetuou um pagamento de uma prestação de 
R$250,00 por R$277,08. Sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja foi de 5% ao 
mês, por quantos dias essa prestação ficou em atraso? 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 15 
8) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de 
capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a 
contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período. 
 
9) Um agente de mercado aplicou R$45.000,00 em determinado papel. Considerando que 
a taxa de juro foi de 1,45% ao mês, pelo prazo de 51 dias, calcule, no regime de 
capitalização simples, o valor de resgate desta operação. Admita que um mês possua 30 
dias corridos. 
 
10) Determinar o valor do montante acumulado no fim de quatro semestres e os juros 
recebidos a partir de um capital de R$15.000,00, com uma taxa de 1% ao mês, pelo 
regime de capitalização simples. 
 
 
Respostas 
 
1) a) i = 2,5 % ao trimestre ; b) d = 7,6923 % ao ano 
 
2) i = 1,1494 % ao mês 
 
3) PV = $19.100,00 
 
4) a) PV2 = $10.360,00 ; b) FV2 = $10.981,60 ; c) n2 = 6 meses ; d) i médio = 1,0907 % 
ao mês 
 
5) a) i = 1,2 % ao mês ; b) PV1 = $10.000,00 
 
6) 14,97% ao mês 
 
7) 65 dias 
 
8) R$166.200,00 
 
9) R$46.109,25 
 
10) R$18.600,00 (montante) e R$3.600,00 (juros) 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 16 
CAPÍTULO 2 - Juros Compostos 
“Os juros compostos são a mais poderosa invenção humana.” 
Albert Einstein 
Introdução 
 
No mundo real, a maior parte das operações que envolvem o valor do dinheiro no 
tempo costuma calcular juros incidentes sobre montantes obtidos em períodos 
imediatamente anteriores. A forma de capitalização em situações em que ocorrem 
incidências de “juros sobre juros” recebe o nome de regime de capitalização 
composta, ou, de uma forma resumida, regime de juros compostos. 
 
O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos, 
fluxo de caixa e sua simbologia, cálculo do Valor Atual (presente) e Valor Futuro 
(montante) e suas aplicações. As soluções serão apresentadas utilizando a calculadora 
HP 12C e Excel. 
 
No Brasil, a maioria das operações de mercado financeiro é calculada a juros 
compostos; por exemplo: 
 
 Certificados de Depósitos Bancários (CDB) 
 Fundos de Investimento 
 Caderneta de Poupança 
 Financiamentos 
 Crediários 
 Leasing 
 
2.1 Juros compostos 
 
No regime de juros compostos ou capitalização composta, os juros de cada 
período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e, 
consequentemente, também passam a render juros (“daí vem o nome usado 
popularmente juros sobre juros”) 
 
A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele acontece no 
regime de juros compostos é chamado de capitalização composta. 
 
2.1.1 Dedução da Expressão Genérica. 
 
Uma operação de empréstimo de $100,00 por três meses, a uma taxa de 60% 
a.m., os juros de cada período incidirão sobre o montante do final do período anterior. 
Assim, a composição dos valores futuros (montantes), mediante ao emprego de juros 
simples e compostos, pode ser vista na tabela abaixo. 
 
Tabela - Capitalização simples e composta. 
 
 
Período (meses) 
Valor Futuro (montante) 
Simples Composto 
0 $ 100,00 $ 100,00 
0,1 $ 106,00 $ 104,81 
0,5 $ 130,00 $ 126,49 
0,8 $ 148,00 $ 145,65 
1 $ 160,00 $ 160,00 
2 $ 220,00 $ 256,00 
3 $ 280,00 $ 409,60 
Observe que quando o 
período é igual a 1 (um) mês, 
os juros simples são 
equivalentes aos juros 
compostos. 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 17 
O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido 
no regime de capitalização simples para os períodos posteriores à unidade. Para períodos 
menores do que 1, o valor futuro, calculado mediante ao emprego de juros simples, é 
maior. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
 
2.1.2 Definições de variáveis: 
 
Definimos algumas variáveis para facilitar a utilização e adaptações aos recursos 
da calculadora HP12C e no Excel, vejamos: 
 
HP 12C Excel Descrição 
PV VP Valor Presente, capital, valor inicial. 
FV VF Valor Futuro, montante, valor de resgate. 
n Nper Período, medido em dias, meses, bimestres trimestres, semestres, 
anual, etc. 
i Taxa Taxa de juros, rentabilidade. 
 
Genericamente, a fórmula de capitalização de juros compostos pode ser deduzida da 
seguinte maneira: 
 
Suponha que um capital PV seja aplicado a uma taxa de juros i durante certo período de 
tempo, os montantes constituídos no fim de cada um dos n períodos em que o capital 
ficar aplicado serão, respectivamente: 
)1(1 iPVFV  
2
12 )1()1( iPViFVFV  
3
23 )1()1( iPViFVFV  
. 
. 
. 
n
nn iPViFVFV )1()1(1   
O montante no fim de n períodos, chamado de FV é dado: 
 
niPVFV )1(  
 
O capital também pode ser determinado a partir do montante. Daí segue-se que: 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 18 
 
ni
FV
PV
)1( 
 
ou: 
 
niFVPV  )1( 
 
A expressão 
ni)1(  é comumente chamada de fator (ou fator de multiplicação) de PV 
para FV, o que significa que é o fator que, multiplicado por PV, determina FV. Esse fator 
que só depende de n e i, são encontrados em tabelas financeiras para cada valor de n e 
i. 
 
E os juros podem ser calculados pela diferença: 
 
PVFVJ  
 
 
2.2 Utilização da calculadora HP 12C para cálculos financeiros 
 
A calculadora HP 12C além de possuir os registros de armazenamento de dados, 
tem cinco registros especiais para cálculos financeiros. Esses registros são denominados 
por [n], [i], [PV], [PMT] e [FV]. Essas teclas são responsáveis pelos cálculos financeiros 
e armazenagem do resultado no registro correspondente. 
 
 
 
Observações: 
1 - Para armazenar um número em um registro financeiro, digite o número e aperte a tecla 
correspondente [n], [i], [PV], [PMT] ou [FV]. 
 
2 – Para exibir um número armazenado em um registro financeiro, aperte [RCL] (Recall) 
seguida pela tecla correspondente. 
 
2.2.1 Zerando os registros financeiros da HP 12C 
 
Toda função financeira utiliza os números armazenados em algum dos registros 
financeiros. Antes de começar um novo cálculo financeiro, é recomendável apertar [f] 
CLEAR [FIN] para zerar todos os registros financeiros. 
 
2.2.2 Fluxo de caixa - conceitos e convenções básicas 
 
Registros financeiros. 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 19 
Denomina-se diagrama de fluxo de caixa, o simplesmente fluxo de caixa, o 
conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos 
de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras, etc. 
 
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos 
de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e 
investimentos. 
 
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou 
diagramas, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
2.2.3 Principais elementos de um fluxo de caixa 
 
A calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologia para definir os 
elementos de fluxo de caixa. 
 
n 
 
 
O número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos,semestres, testes, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 
2,3... 
Assim por exemplo, se os períodos correspondem a meses temos: 
n = 0 indica a data de hoje, ou a data do início do 1º mês; 
n = 1 indica a data do final do 1º mês e assim por diante. 
 
I 
 
 
Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem, e 
sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, 
trimestre, mês ou dia). Por exemplo: 
i=10% ao ano = 10% a.a.= 0,10 
 
PV 
 
 
Valor presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial (principal) 
aplicado. Representa na escala horizontal do tempo, o valor monetário 
colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0. 
 
FV 
 
 
Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final de n 
períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representam na escala 
horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas futuras, isto é, 
nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3... 
 
PMT 
 
 
Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periódic PayMenT) que ocorre no 
final de cada período (Série Postecipada). Representa na escala horizontal do 
tempo, o valor de cada uma das prestações iguais que ocorre no final dos 
períodos 1, 2, 3... 
 
No Excel, podemos encontrar as funções financeiras da seguinte maneira: 
 
0
2,87 cm
1 2 3 n
3,66 cm
meses
(-)Pagamento (-) Pagamento (+)Recebimento
(+)Recebimento
...
Eixo Horizontal: Tempo(períodos)
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 20 
 
 
 
 
Taxa: é a taxa de juros no período(i) 
 
Nper: número de período (n) 
 
Pgto: Valor de cada prestação da Série 
Uniforme (PMT) 
 
Vp: Valor presente 
 
Tipo: é o valor que representa o 
vencimento do pagamento; pagamento 
no início do período = 1 (END); 
pagamento no final do período =0 
(BEGIN) 
 
 
Exemplo 1 
 
Você realizou um depósito em uma conta poupança no dia 18 de janeiro de 2012 no valor 
de R$ 480,00. Considerando uma taxa de rentabilidade líquida (livre de qualquer tipo de 
imposto) de 0,78% ao mês, qual o valor acumulado no dia 18 de junho de 2012? 
 
Solução algébrica: 
 
niPVFV )1(  
5
5 5
5
0,78
480 1
100
100 0,78 100,78
480 480 480(1,0078)
100 100
480(1,039613)
499,01
FV
FV
FV
FV
 
  
 
   
     
   


 
 
 
 
 
Utilizando a HP 12C temos: 
Para inserir uma 
fórmula clique em 
fx e selecione a 
categoria 
Financeira. 
Nesse capítulo, 
apresentaremos 
as funções de 
capitalização 
composta. 
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Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
5 [n] 5 Registra o tempo que o dinheiro ficou depositado 
0,78 [i] 0,78 Registra os juros referentes a cada mês. 
480 [CHS] [PV] -480,00 Registra o valor depositado no dia 18 de janeiro 
de 2005 
0 [PMT] 0 Indica que não houve nenhum pagamento seriado 
uniforme nesse período. 
[FV] 499,01 Calcula o montante no dia 18 de junho de 2005. 
 
Utilizando o Excel podemos resolver de duas maneiras, usando a sintaxe com os 
comandos Nper, FV, Vp,Taxa ou o menu suspenso através do atalho fx . Vamos optar 
pelo menu suspenso, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Observe que a célula B2, onde foi colocado o VP deve 
ser formatada como valor negativo, devido o fluxo de 
caixa do exercício. 
 
Adicione os valores correspondentes clicando nas 
células com os valores iniciais do exercício. 
 
Observe que o resultado já se encontra no canto inferior 
esquerdo do menu suspenso (R$ 499,01), clique em Ok 
para que o resultado do VF seja inserido na planilha. 
 
 
 
Exemplo 2 
Determinar o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos, com 
uma taxa efetiva de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (principal) de 
$1.000,00. 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
[g] [BEGIN] Coloca a HP no modo antecipado 
6 [n] 6,00 Registra o período 
10 [i] 10,00 Registra a taxa de juros 
1000 [CHS] [PV] -1000,00 Registra o valor presente 
[FV] 1771,56 Retorna o montante acumulado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando o Excel temos: 
 
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Exemplo 3 
Determinar o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de 
juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produzir um montante 
acumulado de $1.000,00 no final de 12 meses. 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
12 [n] 12,00 Registra o período 
1 [i] 1,00 Registra a taxa de juros 
1000[FV] 1000,00 Registra o valor futuro 
[PV] -887,45 Retorna o valor presente. 
 
 
 
Exemplo 4 
Um investimento inicial (principal) de $1.000,00 produz um valor acumulado de $1.150,00, 
no final de 10 meses. Determinar a taxa de rentabilidade mensal desse investimento, no 
regime de juros compostos. 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
10 [n] 10,00 Registra o período 
1000 [CHS] [PV] -1.000,00 Registra o valor presente 
1150[FV] 1.150,00 Registra o valor futuro 
[i] 1,40743 Retorna a taxa de juros 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 23 
 
 
Exemplo 5 
Determinar o número de meses necessários para fazer um capital dobrar de valor, com a 
taxa de 6% ao ano, no regime de juros compostos. 
Suponha um capital de $100,00 (poderia ser qualquer valor) logo: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
6 [i] 12,00 Registra a taxa de juros 
100 [CHS] [PV] -100,00 Registra o valor presente 
200[FV] 200,00 Registra o valor futuro 
[n] 12,00 Retorna o tempo 
 
 
 
Exemplo 6 
Determinar o valor das prestações mensais iguais e consecutivas de um financiamento 
realizado com a taxa efetiva de 2,4% ao mês, no regime de juros compostos, sabendo-se 
que o valor do principal é $10.000,00 e que o prazo da operação é de cinco anos. 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
60 [n] 60,00 Registra o período 
2,4 [i] 2.40 Registra a taxa de juros 
10.000[PV] 10.000,00 Registra o valor presente 
[PMT] -316,20 Retorna o valor das prestações 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 24 
2.2.4 Cálculos para períodos fracionários 
 
Os exemplos apresentados até agora, foram transações financeiras em que os 
juros começam a acumular no início do período de pagamento regular. Porém, muitas 
vezes, os juros podem acumular antes do início do primeiro período de pagamento 
regular. Esse período, onde os juros começam a acumular antes do primeiro pagamento, 
não sendo um período igual aos períodos regulares é denominado de “período 
fracionário”. 
 
Você pode calcular i , PV , PMT e FV para transações com um período 
fracionário, simplesmente entrado com um “n” não inteiro. Com esse valor de “n” 
calculadora entra no modo de período fracionário. A parte inteira de “n” especifica o 
número de períodos inteiros de pagamento e a parte fracionária especifica o tamanho do 
período fracionário como uma fração do período inteiro. 
 
Os cálculos de i , PV , PMT e FV podem ser executados com juros simples os 
compostos acumulados durante o período fracionário. Se o indicador de estados C no 
mostrador não estiver ligado, os juros simples são calculados. Para especificar os juros 
compostos, ligue o mostrador C pressionando as teclas [STO] [EEX]. Pressionado 
novamente [STO] [EEX] o indicador C é desligado e os cálculos são executados com 
juros simples para o períodofracionário. 
 
 
Exemplo 7 
Um capital de $1000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3,5 meses, à taxa de 8% 
a.m.. 
a) Qual o montante usando juros compostos para o período fracionário? 
b) Qual o montante usando juros simples para o período fracionário? 
 
Resolução da parte (a) na HP 12C: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
[STO] [EEX] Habilita o indicador C no mostrador para que os 
juros compostos sejam usados para o período 
fracionário. Caso já esteja habilitado, não há 
necessidade de habilitá-lo. 
1000 [CHS] [PV] -1000,00 Registra o valor presente 
8 [i] 8 Registra a taxa 
3.5 [n] 3,5 Registra o tempo 
[FV] 1309,13 Retorna o valor futuro usando juros compostos 
para o período fracionário 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 25 
 
Resolução da parte (b) na HP 12C: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
[STO] [EEX] Desabilite o indicador C no mostrador para que 
os juros simples sejam usados para o período 
fracionário. Caso já esteja desabilitado, vá para 
o próximo passo. 
1000 [CHS] [PV] -1000,00 Registra o valor presente 
8 [i] 8 Registra a taxa 
3.5 [n] 3,5 Registra o tempo 
[FV] 1310,10 Retorna o valor futuro usando juros compostos 
para o período fracionário 
 
Observe que o montante obtido pelos juros simples aplicados no período fracionário é 
maior do que aplicando juros compostos ao período fracionário. Note que o montante 
produzido pelos juros simples é sempre maior quando o período é inferior a 1. 
 
Resolução no Excel: 
 
 
 
 
O Excel não possui uma função que calcula de forma direta as duas formas de 
capitalização em períodos fracionários. Para resolvermos esse problema, vamos calcular 
separado os juros simples para o período fracionário, como mostra na célula E1, na célula 
H2 está o valor do capital adicionado com os juros simples do período de 0,5 meses, na 
célula H1 usamos a função VF para encontrarmos o valor de –R$1.310,10. 
 
 
 
2.3 Valor Presente (Atual) e Valor Futuro (Nominal) 
 
Estes conceitos são análogos aos vistos em juros simples. Valor futuro (FV) de um 
valor presente (PV) é o valor na data de seu vencimento. Valor presente (PV) numa data 
anterior ao vencimento é o valor que, aplicado a juros compostos a partir desta data até a 
data do vencimento, produz um montante igual ao valor futuro. Chamamos de 0 a data 
focal (data de hoje) e sendo a data de vencimento igual a n , desta forma como já vimos 
anteriormente, temos que: 
 
niPVFV )1(  
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 26 
Exemplo 8 
 
Uma pessoa tem uma dívida de $10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual seu valor 
atual hoje considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m? 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
3 [n] 3 Registra o tempo que o dinheiro ficará 
depositado. 
1,5 [i] 1,5 Registra a taxa de juros. 
0 [PMT] 0 Indica que não há pagamento ao longo do 
período. 
10.000 [CHS] [FV] 10.000 Registra o valor futuro a ser resgatado. 
[PV] 9563,17 Valor atual a ser depositado. 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 27 
Exercícios propostos 
 
Considerar em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias. 
 
1. Determinar o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, 
no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00. 
 
2. Determinar o principal que deve ser investido para produzir um montante de 
$20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime 
de juros compostos. 
 
3. Um investidor aplicou $ 10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. 
Determinar a taxa de rentabilidade mensal investidor, no regime de juros compostos. 
 
4. Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal aplicado 
de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. 
 
5. Determinar o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar de valor, 
com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos. 
 
6. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 1,5% ao 
mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6º mês e outra de 
$20.000,00 no final do 12º mês, a contar da data de aplicação. Determinar o menor 
valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses 
indicados. 
 
7. Uma dívida de $80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros 
de 1,3% a.m., obtenha seu valor atual nas seguintes datas: 
a) hoje; 
b) daqui a 2 meses; e 
c) 2 meses antes do vencimento. 
 
8. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1,5% a.m. para fazer frente a 
um compromisso de $27.000,00 daqui a 2 meses? 
 
9. Uma dívida de $50.000,00 vence daqui a 2 meses e outra de $60.000,00 vence daqui 
a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1,8% a.m. para 
pagar essas duas dívidas? 
 
 
10. Uma pessoa tem as seguintes dívidas para pagar: 
 $60.000,00 daqui a 2 meses; 
 $70.000,00 daqui a 3 meses; 
 $80.000,00 daqui a 4 meses. 
Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 2% a.m. para sanar todas 
essas dívidas? 
 
Respostas 
1 - $12.395,08 2 - $12.710,36 3 - 0,9489% 
4 - %13.314,73 5 - 110<n<111 meses 6 - $25.873,17 
7 – a) $74.996,80 b) $76.959,39 c) $77.959,87 
8 - $26.207,87 9 - $104.115,07 10 - $197.540,32 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 28 
2.4 Descontos compostos 
 
Da mesma forma que os juros compostos podem se considerados como uma 
sucessão de juros simples calculados período por período, os descontos compostos 
também podem ser considerados como uma sucessão de descontos, calculados período 
a período. 
 
No sistema de capitalização composta também podem ser definidos os dois tipos 
de descontos que já foram discutidos no capítulo anterior, isto é, desconto racional(por 
dentro) e desconto comercial(por fora). 
 
Na prática desconto compostos tem pouca aplicação. O racional é utilizado por 
equivalência de capitais com juros compostos e o comercial é utilizado em uma técnica de 
depreciação. 
 
 
2.4.1 Desconto Racional 
 
A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de 
desconto e é muito utilizada pelo mercado financeiro. 
 
Pela expressão genérica de juros compostos podemos chegar a seguinte relação: 
 
 ni
FV
PV


1
 
 
Que fornece o valor principal PV a partir de FV , e função dos parâmetros n e i . 
O valor do desconto “por dentro”  dD ou racional, expresso em $, é obtido pela seguinte 
relação: 
 
PVFVDd  
Exemplo 9 
Determinar o valor de investimento inicial que deve ser realizado no regime de juros 
compostos, com uma taxa efetiva de 1% a.m., para produzir um montante acumulado de 
$1.000,00 no final de 12 meses. Determinar o valor do desconto por dentro, expresso em 
$. 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
12 [n] Registra o período 
1 [i] Registra a taxa de juros 
1000 [CHS] [FV] Registra o valor futuro 
[PV] 887,45 Retorna o valor presente do investimento 
1000[x><y][-] 112,55 Retorna o valor do desconto racional 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 29 
 
 
Observe que o valor presenteo investimento é de –R$887,45. Como o desconto em reais 
é dado por R$1.000,00 – R$887,45 = R$ 112,55 
 
2.4.2 Desconto Comercial 
 
 
O desconto comercial (“por fora”) é calculado sobre o valor futuro da operação. 
 
niFVPV )1(  
 
Que fornece o valor principal PV a partir de FV , e função dos parâmetros n e i . 
O valor do desconto “por fora”  fD ou comercial , expresso em $, é obtido pela seguinte 
relação: 
 
PVFVD f  
 
Exemplo 10 
Um título com valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no 
regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. 
Determinar o valor presente desse título e o valor do desconto composto, expresso em $. 
niFVPV )1(  
44,9761$)012,01(10000 2 PV 
PVFVD f  
56,238$44,976110000 fD 
 
 
 
Observação: O Excel não possui uma 
sintaxe direta para resolver desconto 
comercial, para essa solução, devemos 
programar a fórmula algébrica diretamente 
no exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 30 
2.5 Equivalências de capitais 
 
No regime de juros compostos, dois (ou mais) conjuntos de capitais são 
equivalentes com uma mesma taxa dada se as somas dos valores dos capitais de cada 
um desses conjuntos, calculados com essa taxa, em qualquer data, e em idênticas 
condições, produzem valores iguais. No regime de juros compostos consideraremos 
sempre a forma de desconto racional. 
 
Exemplo 11 
Gustavo deseja financiar um novo computador, no valor de $2.000,00, pagando uma 
entrada de $500,00, uma prestação com vencimento em 60 dias no valor de $1.000,00 e 
outra prestação com vencimento em 120 dias. Sabendo que a loja costuma cobrar uma 
taxa de juros igual a 2% ao mês, no regime de juros compostos, qual o valor do terceiro 
pagamento? 
 
Solução: Primeiramente, devemos calcular a diferença do valor presente financiado, ou 
seja, qual valor é equivalente a $1.000,00 daqui a 60 dias? 
 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 
2 [n] Registra o período 
2 [i] Registra a taxa de juros 
1000 [CHS] [FV] Registra o valor futuro 
[PV] 961,17 Retorna o valor presente 
500 [+] 1461,17 Valor pago a vista 
2000[x><y] [-] 538,83 Valor financiado para o terceiro 
pagamento 
[PV] 538,83 Registra o valor presente referente ao 3º 
pagamento 
4 [n] 4 Registra o no período, 120 dias 
[FV] -583,25 Retorna o valor do terceiro pagamento 
 
 
 
 
Observação: O valor a ser financiado no 3º pagamento (E2) foi calculado subtraindo o valor da entrada de 
R$ 500,00 (B2) e do VP da 1ª prestação que foi de R$ 961,17 (E1). 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 31 
Exercícios complementares 
 
1) A Corporação Paripiranga Ltda. assinou um contrato para a venda de um artigo por 
$92.000,00. A empresa receberá o pagamento apenas daqui a três anos. Sabe-se que o 
artigo custou á empresa um valor presente de $48.000,00 dois anos atrás. Qual a taxa 
efetiva mensal recebida pela empresa na operação da venda desse artigo? 
 
2) Mariana não sabe onde investir os $180.000,00 que economizou e que pretende dispor 
por 3 anos. Um corretor de imóveis lhe oferece a oportunidade de comprar um lote de 
terreno numa área que nos próximos três anos receberá benfeitorias que provocarão um 
aumento natural de valor. O corretor afirma que daqui a três anos esse terreno estará 
valendo no mínimo $230.000,00. Sabe-se que Mariana espera remunerar seu 
investimento com uma taxa de juro mínima de 1,4% ao mês. A compra do terreno é uma 
boa opção de investimento? Por quê? 
 
3) Uma pessoa tomou emprestados $10.000,00, obrigando-se a pagá-los em três 
parcelas mensais e iguais, com juros compostos de 5% a.m. De quanto serão essas 
parcelas se a primeira vencer a 90 dias do empréstimo? 
 
4) Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida a três 
meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $ 50.000,00 com cinco meses a 
decorrer até seu vencimento.Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela 
empresa para liquidar essas duas notas promissórias, levando em consideração uma taxa 
de 1,2% ao mês, juros compostos, e assumindo os meses com 30 dias. 
 
5) Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês está 
negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um único 
pagamento de $106.152,02, no final do 6º mês, a contar com a assinatura do contrato. 
Determinar o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo, no ato da 
contratação, para que esse pagamento seja limitado em $ 90.000,00, e para que a taxa 
de 1% ao mês seja mantida. 
 
6) Determinar o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de $ 
10.000,00 ao final de 21 dias, com uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros 
compostos. 
 
7) Uma financiadora empresta dinheiro a 3%ao mês. Na data em que é feito o 
empréstimo, ficam retidos 5% do valor do empréstimo a título de seguro. Uma pessoa que 
toma o empréstimo para aplicar o capital emprestado à taxa de 4,5% ao mês. 
a) Se o empréstimo for por 60 dias, será um bom negócio? Justifique. 
b) Se o empréstimo for por 120 dias, será um bom negócio? Justifique. 
 
8) Uma empresa tem dois pagamentos de $150.000,00 cada um, para efetuar no fim de 
dois e quatro meses, respectivamente. Propõe, em vez disso, pagar a dívida em três 
pagamentos iguais no fim de três, quatro e cinco meses, respectivamente. Calcule o valor 
desses pagamentos usando a taxa de 3,8%a.m. 
 
9) Faltando três pagamentos mensais de $50.400,00 para o término de um contrato de 
financiamento, o devedor deseja liquidá-lo (na data em que deveria quitar o primeiro dos 
três) . Quanto deverá pagar se a taxa é de 3%a.m de juros compostos? 
 
10) O capital de $20.000,00 aplicado no Banco do Futuro produziu, no fim de um ano, o 
montante de $34.000,00. Qual a taxa mensal no regime de juros compostos capaz de 
fazer a metade desse capital produzir esse mesmo montante no fim de um ano? 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 32 
 
RESPOSTAS 
 
1) 1,0902 
 
2) Calculando o PV para o terreno temos PV=139.431,67, como o preço do terreno é de 
$180.000,00 superior ao que Mariana desejaria pagar. Não seria uma boa alternativa. 
 
3) $4.048,47 
 
4) $57.469,39 
 
5) $15.215,93 
 
6) $9.896,32 
 
7) a) Não será bom negócio, pois receberá 4,5%a.m e pagará 5,6%a.m 
 b)Será bom negócio, pois receberá 4,5%a.m e pagará 4,3%a.m. 
 
8) $103.824,64 
 
9) $146.838,87 
 
10) 10,7363%a.m. 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 33 
 
CAPÍTULO 3 – Taxas de juros 
 
Introdução 
 
Atualmente, no mercado financeiro, existe uma série de terminologias e conceitos 
sobre as taxas de juros que muitas vezes confundem os próprios profissionais das 
instituições especializadas. 
 
Neste capítulo, procuraremos abordar, de forma simples e clara, o conceito das 
principais terminologias existentes. 
 
Quando utilizamos a HP-12C percebemos que ela está baseada na condição de que a 
unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade referencial de 
tempo dos períodos de capitalização. Um taxa de 6%, por exemplo, pode ser interpretada 
como sendo: 
 
a) uma taxa de 6% ao ano, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a 
anos; 
 
b) um taxa de 6% ao semestre, e nesse caso os períodos de capitalização (n) 
correspondem a semestres, e assim por diante. 
 
Entretanto, nos problemas práticos, as taxas de juros e os períodos de capitalização nem 
sempre satisfazem essas condições. 
 
3.1 Taxa efetiva 
 
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
coincidecom a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de 
taxas efetivas: 
 
 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 
 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 
 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 
 10% ao ano, capitalizados anualmente. 
 
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da 
taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer: 2% ao mês, 3% ao 
trimestre, 6% ao semestre, 10% ao ano. 
 
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras 
das planilhas eletrônicas, como por exemplo, o Excel. 
 
3.2 Taxas Proporcionais – Juros Simples 
 
Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, 
produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros 
simples. 
 
O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de 
juros simples, e é esclarecido pelos exemplos abaixo. 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 34 
 
 
Exemplo 1 
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de 
R$100, 00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 
 
a) 12% ao ano 
b) 6% ao semestre 
c) 1% ao mês 
 
Solução: 
a) 
(1 . )
100(1 4.0,12)
$148,00
FV PV n i
FV
FV R
 
 

 
 
b) 
(1 . )
100(1 8.0,06)
$148,00
FV PV n i
FV
FV R
 
 

 
c) 
(1 . )
100(1 48.0,01)
$148,00
FV PV n i
FV
FV R
 
 

 
 
Ressaltamos que os cálculos foram realizados no regime de juros simples, e que nos 
três casos o principal e o prazo foram os mesmos. Nota-se que, para esse tipo de cálculo 
a HP 12C não é muito eficaz. 
 
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$ 148, 00, 
podemos concluir que as taxas de 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. são proporcionais, pois 
produzem o mesmo montante, ao serem aplicadas sobre o mesmo principal, pelo 
mesmo prazo no regime de juros simples. 
 
 
3.3 Taxas Equivalentes – Juros Compostos 
 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo 
produzem um mesmo montante acumulado no final daquele tempo, no regime de juros 
compostos. 
 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de 
juros compostos, e é esclarecido pelos exemplos dados abaixo. 
 
Assim vemos que a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se 
prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se 
baseiam em juros simples e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. 
 
Exemplo 2 
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de 
R$100, 00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros: 
 
a) 12,682% ao ano 
b) 6,1520% ao semestre 
c) 1% ao mês 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 35 
Solução (a) 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
4 [n] 4,00 Armazena o tempo. 
12,682 [i] 12,68 Armazena a taxa de juros ao ano. 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 161,22 Valor futuro (montante) 
 
 
Solução (b) 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
8 [n] 8,00 Armazena o tempo. 
6,1520 [i] 6,15 Armazena a taxa de juros ao semestre. 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 161,22 Valor futuro (montante) 
 
Solução (c) 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
48 [n] 48,00 Armazena o tempo. 
1 [i] 1,00 Armazena a taxa de juros ao mês. 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 161,22 Valor futuro (montante) 
 
Observamos que os cálculos foram realizados no sistema de juros compostos, e que 
nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. 
 
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre o mesmo, $161,22, pode 
concluir que as taxas 12,682% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1% ao mês são taxas 
equivalentes, pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre o mesmo 
principal, pelo mesmo prazo, no regime de juros compostos. No Excel podemos fazer da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 36 
Exemplo 3 
Determinar a taxa anual e semestral que é equivalente à taxa de 1% ao mês. 
 
Solução: Suponha inicialmente que você tenha a disposição R$ 100,00 para realizar um 
investimento que lhe dê uma rentabilidade de 1% a.m. 
 
Taxa anual 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
12 [n] 12 Armazena o período de 12 meses 
1 [i] 1 Armazena a taxa de juros mensal 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 112,68 Calcula o valor futuro ao longo do 12 meses. 
100[-] 12,68 Taxa anual equivalente à 1% a.m. 
 
Taxa semestral 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
6 [n] 6 Armazena o período de 12 meses 
1 [i] 1 Armazena a taxa de juros mensal 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 106,15 Calcula o valor futuro ao longo do 6 meses. 
100[-] 6,15 Taxa anual equivalente à 1% a.m. 
 
Quando queremos encontrara a taxa equivalente algebricamente, podemos utilizar a 
seguinte fórmula: 
 
 1 1 .100
Nq
Nt
q ti i
 
   
 
 
Em que: 
 qi é a taxa que queremos encontrar 
 ti é a taxa que temos 
 Nq é o período que queremos encontrar 
 Nt é o período que temos 
 
Utilizando a fórmula acima no exemplo 3 para encontrarmos a taxa anual: 
 
Taxa anual equivalente a 1% 
a.m 
Taxa semestral equivalente a 
1% a.m 
 
 
12
1
1 1 .100
1 0,01 1 .100
12,68% .
Nq
Nt
q t
q
q
i i
i
i a a
 
   
 
 
   
 

 
 
 
6
1
1 1 .100
1 0,01 1 .100
6,15% .
Nq
Nt
q t
q
q
i i
i
i a s
 
   
 
 
   
 

 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 37 
 
Aplicando a fórmula acima no Excel: 
 
 
 
Exemplo 4 
Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano. 
 
Nesse caso, suponha que você tenha $100,00 para aplicar durante um ano; qual o valor 
futuro acumulado no final de um ano, sabendo que a taxa é de 10% a.a.? Logicamente, 
teremos um valor futuro de $ 110,00. Sendo assim, qual a taxa mensal que nos levaria a 
acumular um $ 110,00 em um ano com um investimento de $ 100,00? 
 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
12 [n] 12,00 Armazena o período 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
110 [FV] 110,00 Armazena o valor futuro (montante) 
[i] 0,80 Calcula a taxa mensal equivalente à 10% a.a. 
 
Taxa mensal equivalente a 
10% a.a 
 
 
1
12
1 1 .100
1 0,10 1 .100
0,8% .
Nq
Nt
q t
q
q
i i
i
i a m
 
   
 
 
   
 

 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 38 
3.4 Taxa Nominal 
 
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal 
geralmente é fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser 
semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 
 
 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 
 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 
 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 
 18% ao ano, capitalizados diariamente. 
 
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada nomercado, não representa uma taxa 
efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros 
compostos. 
 
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa 
de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é 
sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. 
 
Nos exemplos anteriores, a taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das 
taxas nominais são as seguintes: 
 
 12% ao ano, capitalizados mensalmente; mês ao %1
meses 12
a.a %12
 
 
 24% ao ano, capitalizados semestralmente; semestre ao %12
semestres 2
a.a %24
 
 
 
 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; trimestreao %5,2
s trimestre4
a.a %10
 
 
 18% ao ano, capitalizados diariamente; dia ao %05,0
dias 360
a.a %18
 
 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os 
cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com valores das taxas efetivas 
correspondentes, ou seja, 1% ao mês. 12% ao semestre, 2,5% ao trimestre e 0,05% ao 
dia. 
 
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é 
sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva 
implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é 
sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior 
quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal. 
 
Exemplo 5 
Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao 
ano, com os seguintes períodos de capitalização: 
a) Mensal; 
b) Trimestral; 
c) Semestral. 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 39 
Como a taxa nominal é de 9% ao ano, basta dividir por 12 meses, para obtermos a taxa 
mensal. Assim, temos: 
 
%75,0
12
9
12
 Nm
i
i ao mês 
 
a) Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
12 [n] 12 Armazena o período de 12 meses 
0,75 [i] 0,75 Armazena a taxa de juros mensal 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 109,38 Calcula o valor futuro ao longo dos 12 
meses. 
100[-] 9,38 Taxa anual equivalente à 0,75% a.m. 
 
b) Capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral 
 
%25,2
4
%9
4
 Nt
i
i ao trimestre 
Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
4 [n] 4 Armazena o período de 4 trimestres 
2,25 [i] 2,25 Armazena a taxa de juros trimestral 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 109,30 Calcula o valor futuro ao longo dos 4 
trimestres. 
100[-] 9,31 Taxa anual equivalente à 2,25% a.t. 
 
 
c) Capitalização Semestral – Taxa efetiva semestral 
 
%5,4
2
%9
2
 Ns
i
i ao semestre 
 
Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: 
 
Teclas (modo RPN) Visor 
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 
2 [n] 2 Armazena o período de 2 semestres 
4,5 [i] 4,5 Armazena a taxa de juros semestral 
100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 
[FV] 109,20 Calcula o valor futuro ao longo dos 2 semestres. 
100[-] 9,20 Taxa anual equivalente à 4,5% a.s. 
 
 
 
 
 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 40 
No Excel, usando a fórmula de taxa equivalente encontramos: 
 
 
 
Se repetirmos esse mesmo problema para as taxas nominais de 12% a.a., 24%a.a. e 
36%a.a., obtemos os resultados indicados na tabela abaixo, com duas casas 
decimais: 
 
Taxa nominal 
anual (%) 
Taxas efetivas anuais equivalentes (em %) quando o 
período de capitalização for 
anual semestral trimestral Mensal 
9,0 9,0 9,20 9,31 9,38 
12,0 12,0 12,36 12,55 12,68 
24,0 24,0 25,44 26,25 26,82 
36,0 36,0 39,24 41,16 42,58 
 
Ao analisarmos os valores da tabela acima, podemos tirar as seguintes conclusões: 
 
a) a taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal anual correspondente; 
 
b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando: 
- aumenta o número de períodos de capitalização; 
- aumenta o valor da taxa nominal. 
 
3.5 Taxa Média de Juros 
 
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito matemático de média 
geométrica. 
 
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um 
conjunto de taxas extraindo a raiz n-ésima, tomando-se como base o número de termos 
do próprio conjunto de taxas. 
 
Suponha um conjunto de taxas (5%, 7% e 2%); nesse exemplo, temos 3 termos. 
 
 
1
( ) 1 21 .(1 )....(1 ) 1 .100
n
média ni i i i
 
       
 
 
 
Em que n = número de taxas analisadas 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 
Abaixo temos a variação do IGP-M (FGV) acumulada cinco meses. Calcule a taxa média. 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 41 
IGP-M/FGV (mês 1)=0,62% 
IGP-M/FGV (mês 2)=0,23% 
IGP-M/FGV (mês 3)=0,56% 
IGP-M/FGV (mês 4)=1,00% 
IGP-M/FGV (mês 5)=0,86% 
 
1
5
( )
( )
1 0,0062 .(1 0,0023).(1 0,0056).(1 0,01).(1 0, 0086) 1 .100
0,65% .
média
média
i
i a m
 
         
 

 
3.6 Taxa real de juros 
 
A taxa real de juros nada mais é que a apuração de ganho ou perda em relação a 
uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que a 
taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. 
 
Se considerarmos que determinada aplicação financeira render 10% em um 
determinado período, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto 
afirmar que o ganho real dessa aplicação não foi 10%, tendo em vista que o rendimento 
correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período; dessa forma temos 
de encontrar qual é o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de 
encontrar a Taxa Real de Juros. 
 
O cálculo da taxa real pode ser feito através da seguinte expressão: 
 
 
 
1001
___1
_1
Re_ 









monetáriaoatualizaçãdetaxa
efetivataxa
alTaxa 
 
Exemplo 6 
Suponha que determinada aplicação financeira tenha rendido no mês de junho uma taxa 
efetiva de 5% e que a variação do IGP-M(Índice Geral de Preços de Mercado) no mesmo 
mês foi de 4%. Qual a taxa real que remunerou tal aplicação? 
Solução: 
 
 
1001
___1
_1
Re_ 









monetáriaoatualizaçãdetaxa
efetivataxa
alTaxa 
 
 
%96154,01001
)04,01(
05,01
Re_ 








alTaxa no período 
 
 
 
Observa-se que um capital corrigido pela taxa de atualização monetária de 4% e sobre o 
montante obtido aplica-se a taxa de juros real de 0,96154%, será obtido um capital mais 
uma taxa de juros de 5%. 
 
Suponha um capital hipotético =$100.000,00 
Taxa de atualização monetária =4% 
Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 42 
Taxa de juros real =0,96154% 
Valor principal corrigido=   00,000.104$04,01000.100  
Valor dos juros real = 00,000.1$
100
96154,0
.000.104 





 
Valor final de resgate =$105.000,00 
 
 
3.7 Outras taxas do mercado financeiro 
 
Taxa prefixada: possibilita ao aplicador ou tomador dos recursos saber, quando da data 
da contratação da operação o valor final a ser pago ou resgatado, sem depender do 
conhecimento da variação de algum indicador econômico ou financeiro. 
 
Taxa bruta: é aquela em que não são considerados os efeitos dos impostos sobre a 
rentabilidade da aplicação financeira. 
 
Taxa líquida: é aquela obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate 
líquido, já levando em conta o desconto dos impostos. 
 
Taxa over: é aquela taxa de juros que é dividida por 30 (mês comercial), encontrando-se