Unidade4 (1)

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Cálculo Diferencial e Integral I
RAE - Módulo 2
Plano da Unidade 4
Carga horária Conteúdos da unidade Atividades
Integral definida - Apresentação do conteúdo.
5 horas método da substituição Atividades de aprendizagem com
exercícios propostos.
Aplicações: Apresentação do conteúdo.
5 horas Integral Definida Atividades de aprendizagem com
exercícios propostos.
Técnicas de Apresentação do conteúdo.
4 horas Integração Atividades de aprendizagem com
exercícios propostos.
Atividade Avaliativa da P4- Prova dissertativa: síntese dos conteúdos
4 horas Unidade 4: Revisão Pontuação: 10 pontos
dos conteúdos Data para entrega até 30/09/2020.
Carga horária total da unidade: 18 horas
Prof. Dra. Vanderléa Bazão
Conteúdo
1 Conteúdo 1 da Unidade 1
1.1 Integral definida - Método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Conteúdo 2 da Unidade 9
2.1 Aplicações: Deslocamento e Espaço Percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Aplicação: Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Conteúdo 3 da Unidade 15
3.1 Algumas Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ii
Capítulo
1
Conteúdo 1 da Unidade
1.1 Integral definida - Método da substituição
Proposição 1.1. Sejam f e g funções integráveis em [a, b] e c uma constante. Então
1.
∫ b
a
f(x)± g(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx±
∫ b
a
g(x) dx;
2.
∫ b
a
c · f(x) dx = c ·
∫ b
a
f(x) dx;
3.
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx;
4.
∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
a
f(x) dx+
∫ b
d
f(x) dx;
sendo f integrável em [a, d] e [d, b].
Proposição 1.2. Cálculo de Integrais por Substituição ( Regra da Cadeia para
Integrais ): Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquer em I.
Seja g : [c, d]→ I, com g′ contínua em [c, d], tal que g(c) = a e g(d) = b. Nestas condições∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(g(u))g′(u) du.
1
2 CAPÍTULO 1. CONTEÚDO 1 DA UNIDADE
Exemplo 1.3. Calcule
∫ 1
0
(x− 1)10 dx
Solução: Façamos x− 1 = u, ou seja, x = u+ 1. Então,
dx = (u+ 1)′du = du
Ainda, se
x = 0 =⇒ u = x− 1 = 0− 1 = −1
x = 1 =⇒ u = x− 1 = 1− 1 = 0
Calculamos a integral∫ 1
0
(x− 1)10 dx =
∫ 0
−1
(u)10 du =
u11
11
∣∣∣∣0
−1
=
0
11
− (−1)
11
11
=
1
11
Exemplo 1.4. Calcule
∫ 1
1
2
√
2x− 1 dx
Solução: Façamos 2x− 1 = u, ou seja, x = u+1
2
. Então,
dx =
1
2
du
Ainda, se
x =
1
2
=⇒ u = 2x− 1 = 1− 1 = 0
x = 1 =⇒ u = 2x− 1 = 2− 1 = 1
Calculamos a integral
∫ 1
1
2
√
2x− 1 dx =
∫ 1
0
√
u
1
2
du =
1
2
u(
1
2
+1)
(1
2
+ 1)
∣∣∣∣∣
1
0
=
1
2
u
3
2
(3
2
)
∣∣∣∣∣
1
0
=
1
2
· 2
3
√
u3
∣∣∣∣1
0
=
1
3
(1− 0) = 1
3
Exemplo 1.5. Calcule
∫ 0
1
e3x dx
Solução: Façamos 3x = u, ou seja, x = u
3
. Então,
dx =
1
3
du
Ainda, se
x = 1 =⇒ u = 3x = 3 · 1 = 3
1.1. INTEGRAL DEFINIDA - MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 3
x = 0 =⇒ u = 3x = 3 · 0 = 0
Calculamos a integral∫ 0
1
e3x dx =
∫ 0
3
eu
1
3
du =
1
3
eu
∣∣∣∣0
3
=
1
3
e0 − 1
3
e3 =
1
3
− 1
3
e3
Exemplo 1.6. Calcule
∫ 1
0
x
x2+1
dx
Solução: Façamos x2 + 1 = u, daí du = 2x dx. Então,
xdx =
1
2
du
Ainda, se
x = 0 =⇒ u = x2 + 1 = 0 + 1 = 1
x = 1 =⇒ u = x2 + 1 = 1 + 1 = 2
Calculamos a integral∫ 1
0
x
x2 + 1
dx =
∫ 2
1
1
u
· 1
2
du =
1
2
lnu
∣∣∣∣2
1
=
1
2
ln 2− 1
2
ln 1 =
1
2
ln 2
Exemplo 1.7. Calcule
∫ 2
1
x
√
x2 + 1 dx
Solução: Façamos x2 + 1 = u, daí du = 2x dx. Então,
xdx =
1
2
du
Ainda, se
x = 2 =⇒ u = x2 + 1 = 4 + 1 = 5
x = 1 =⇒ u = x2 + 1 = 1 + 1 = 2
Calculamos a integral
∫ 2
1
x
√
x2 + 1 dx =
∫ 5
2
√
u · 1
2
du =
1
2
u
3
2
3
2
∣∣∣∣∣
5
2
=
1
2
· 2
3
√
u3
∣∣∣∣5
2
=
1
3
√
53− 1
3
√
23 =
5
3
√
5− 2
3
√
2
4 CAPÍTULO 1. CONTEÚDO 1 DA UNIDADE
1.2 Teorema do Valor Médio para Integrais
Se f é uma função contínua em [a, b], então existe z ∈ (a, b) tal que∫ b
a
f(x) dx = f(z)(b− a)
ou seja, existe z ∈ (a, b) tal que
f(z) =
1
(b− a)
∫ b
a
f(x) dx
Interpretação Geométrica: Se f(x) ≥ 0 , para todo x ∈ [a, b], então a área sob o
gráfico de f é igual à área do retângulo de lados (b− a) e f(z).
Observação 1.8. O valor médio de f em [a, b] é dado por
VM =
1
(b− a)
∫ b
a
f(x) dx
Exemplo 1.9. Um pesquisador estima que t horas depois da meianoite, em um período
típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por
T (t) = 3− 2
3
(t− 13)2, 0 ≤ t ≤ 24
graus Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?
Solução: Como 6 horas da manhã e 4 horas da tarde correspondem a t = 6 e t = 16,
respectivamente, estamos interessados em calcular a temperatura média, T (t), no intervalo
1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 5
6 ≤ t ≤ 16 , o que corresponde à integral:
VM =
1
(16− 6)
∫ 16
6
3− 2
3
(t− 13)2 dt
Para calcular a integral
∫ 16
6
3− 2
3
(t−13)2 dt, fazemos a mudança de variável u = t−13,
então du = (t− 13)′dt = dt.
Se t = 6 então u = t− 13 = 6− 13 = −7
Se t = 16 então u = t− 13 = 16− 13 = 3
Calculamos a integral∫ 16
6
3− 2
3
(t− 13)2 dt =
∫ 3
−7
3− 2
3
u2 du
= 3u− 2
3
· u
3
3
∣∣∣∣3
−7
= 3u− 2
9
u3
∣∣∣∣3
−7
=
(
3 · 3− 2
9
· 33
)
−
(
3 · (−7)− 2
9
· (−7)3
)
=
(
9− 2
9
· 27
)
−
(
3 · (−7)− 2
9
· (−343)
)
=
(
9− 54
9
)
−
(
−21 + 684
9
)
= 9− 54
9
+ 21− 684
9
= 30− 740
9
=
270− 740
9
= −470
9
Então, voltando ao cálculo de
VM =
1
(16− 6)
∫ 16
6
3− 2
3
(t− 13)2 dt = 1
10
· (−470
9
) = −470
90
= −5, 22
Assim, a temperatura média no período é −5, 22oC.
6 CAPÍTULO 1. CONTEÚDO 1 DA UNIDADE
Exemplo 1.10. Encontre o valor médio de f(x) = 3
√
x+ 1 no intervalo [−1, 8] e deter-
mine o valor de x que corresponde ao valor médio de f.
Solução:
VM =
1
(8− (−1))
∫ 8
−1
3
√
x+ 1 dx =
1
9
∫ 8
−1
3
√
x+ 1 dx
Para calcular a integral
∫ 8
−1 3
√
x+ 1 dx, fazemos a mudança de variável u = x + 1,
então du = (x+ 1)′dx = dx.
Se x = −1 então u = x+ 1 = −1 + 1 = 0
Se t = 8 então u = x+ 1 = 8 + 1 = 9
Calculamos a integral ∫ 8
−1
3
√
x+ 1 dx =
∫ 9
0
3
√
u du
= 3 · u
1
2
+1
1
2
+ 1
∣∣∣∣∣
9
0
= 3 · u
3
2
3
2
∣∣∣∣∣
9
0
= 3 · 2
3
√
u3
∣∣∣∣9
0
= 2
√
u3
∣∣∣9
0
= 2
√
93 − 2
√
03
= 2
√
729
= 2 · 27 = 54
Então, voltando ao cálculo de
VM =
1
9
∫ 8
−1
3
√
x+ 1 dx =
1
9
· 54 = 6.
Portanto, o valor médio de f em [−1, 8] é igual a 6. Pelo Teorema do Valor Médio para
integrais, existe z ∈]− 1, 8[ tal que f(z) = VM = 6 , ou seja,
f(z) = 3
√
z + 1 = 6
1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 7
Resolvendo a equação 3
√
z + 1 = 6 temos
√
z + 1 =
6
3
√
z + 1 = 2
(
√
z + 1)2 = 22
z + 1 = 4
z = 4− 1 = 3
Portanto, f(3) coincide com o valor médio de f em [−1, 8].
8 CAPÍTULO 1. CONTEÚDO 1 DA UNIDADE
1.3 Exercícios
1. Calcule as integrais
(a)
∫ 2
1
(x− 2)5 dx
(b)
∫ 1
0
√
3x+ 1 dx
(c)
∫ 2
1
2
(3x−2)2 dx
(d)
∫ 0
1
xex
2
dx
(e)
∫ π
0
sin 3x dx
(f)
∫ π
0
cos 2x dx
(g)
∫ 1
−2
3
4+x
dx
Capítulo
2
Conteúdo 2 da Unidade
2.1 Aplicações: Deslocamento e Espaço Percorrido
Consideremos uma partícula que se desloca sobre o eixo x com equação de posição
x = x(t) e com velocidade v = v(t) contínua em [a, b]. Sabemos que x′(t) = v(t), ou seja,
x(t) é uma primitiva de v(t). Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
x(b)− x(a) =
∫ b
a
v(t) dt
que é o deslocamento da partícula entre os instantes a e b.
Para calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos que con-
siderar os intervalos quando v(t) ≥ 0 e também quando v(t) ≤ 0. Portanto, definimos
por ∫ b
a
|v(t)| dt
o espaço percorrido pela partícula entre os instantes a e b .
Notamos que se v(t) ≥ 0, para todo t ∈ [a, b], então o espaço percorrido pela partícula
e o seu deslocamento coincidem entre os instantes a e b e são iguais à∫ b
a
v(t) dt
que determina a àrea do conjunto limitado pelas retas t = a, t = b, pelo eixo 0t epelo
9
10 CAPÍTULO 2. CONTEÚDO 2 DA UNIDADE
gráfico de v = v(t). Então o deslocamento da partícula é dado por
x(b)− x(a) =
∫ b
a
v(t) dt = ÁreaA1 − ÁreaA2
mas a distância percorrida entre os instantes a e b é dada por∫ b
a
|v(t)| dt =
∫ c
a
v(t) dt−
∫ b
c
v(t) dt = ÁreaA1 + ÁreaA2
Logo, neste caso, a distância percorrida percorrida e o deslocamento não coincidem.
Exemplo 2.1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2− t .
(a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3.
(b) Calcule a distância percorrida entre os instantes 1 e 3.
2.1. APLICAÇÕES: DESLOCAMENTO E ESPAÇO PERCORRIDO 11
Solução:
x(3)− x(1) =
∫ 3
1
2− t dt
= 2t− t
2
2
∣∣∣∣3
1
= 2 · 3− 3
2
2
− (2 · 1− 1
2
2
)
= 6− 9
2
− 2 + 1
2
= 4− 8
2
= 4− 4 = 0
Em [1, 2[, v(t) > 0, o que significa que no intervalo de tempo [1, 2] a partícula avança
no sentido positivo; em ]2, 3], v(t) < 0, o que significa que neste intervalo de tempo a
partícula recua, de tal modo que no instante t = 3 ela volta a ocupar a mesma posição
por ela ocupada no instante t = 1.
12 CAPÍTULO 2. CONTEÚDO 2 DA UNIDADE
(b) A distância ou espaço percorrido entre os instantes 1 e 3 é∫ 3
1
|2− t| dt =
∫ 2
1
2− t dt−
∫ 3
2
2− t dt
=
(
2t− t
2
2
∣∣∣∣2
1
)
−
(
2t− t
2
2
∣∣∣∣3
2
)
=
(
2 · 2− 2
2
2
− 2 · 1 + 1
2
2
)
−
(
2 · 3− 3
2
2
− 2 · 2 + 2
2
2
)
=
(
4− 4
2
− 2 + 1
2
)
−
(
6− 9
2
− 4 + 4
2
)
=
(
2− 3
2
)
−
(
2− 5
2
)
= 2− 3
2
− 2 + 5
2
=
2
2
= 1
Observe que o espaço percorrido entre os instantes 1 e 2 é∫ 2
1
2− t dt = 2t− t
2
2
∣∣∣∣2
1
= 4− 4
2
− 2 + 1
2
= 2− 3
2
=
1
2
e que o espaço percorrido entre os instantes 2 e 3 é
−
∫ 3
2
2− t dt = −
(
2t− t
2
2
∣∣∣∣3
2
)
= −
(
6− 9
2
− 4 + 4
2
)
= −
(
2− 5
2
)
=
1
2
2.2 Aplicação: Trabalho
O termo trabalho é usado na linguagem cotidiana significando a quantidade de esforço
necessária para executar uma tarefa. Na física esse termo tem um significado técnico que
depende do conceito de força. Intuitivamente, você pode pensar em força como descre-
vendo um empurrar ou puxar sobre um objeto, por exemplo, um empurrão horizontal em
um livro sobre uma mesa ou a ação da gravidade terrestre sobre uma bola.
No caso de uma força constante F , o trabalho realizado é definido pelo produto da
força pela distância d que o objeto se move:
τ = Fd
Mas o que acontece se a força for variável? Consideramos uma força F que atua sobre
uma partícula que se desloca sobre o eixo x. Suponhamos que esta força seja paralela ao
2.2. APLICAÇÃO: TRABALHO 13
deslocamento e variável com a função de posição x. Então escrevemos
~F (x) = f(x)~i,
f(x) é a componente de ~F (x) na direção do deslocamento (isto é, na direção de ~i).
Consideremos o deslocamento da partícula de de x = a até x = b com a < b e
suponhamos que f(x) seja contínua no intervalo [a, b]. Seja P = (xi) uma partição do
intervalo [a, b] e escolhemos arbitrariamente ci ∈ [xi−1, xi] , i = 1, ..., n. Se ∆xi = xi−xi−1
for suficientemente pequeno, f será praticamente constante no intervalo, e então podemos
dizer que trabalho realizado por ~F de xi−1 até xi será aproximadamente
τi = f(ci)∆xi.
Logo podemos aproximar o trabalho realizado por ~F de a até b pela soma dos trabalhos
realizados nos intervalos [xi−1, xi], i = 1, 2, ..., n, isto é
τ ≈
n∑
i=1
f(ci)∆xi.
A intuição acima nos motiva a definirmos trabalho como segue.
Definição 2.2. O trabalho τ realizado por uma força ~F (x) = f(x)~i sobre uma partícula
no deslocamento de x = a até x = b é dado por
τ = lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
∫ b
a
f(x) dx
Exemplo 2.3. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força paralela
ao deslocamento e de componente f(x) =
1
x2
. Calcule o trabalho realizado pela força no
deslocamento de x = 1 até x = 2.
Solução: O trabalho realizado por ~F (x) =
1
x2
~i de x = 1 a x = 2 é
τ =
∫ 2
1
1
x2
dx =
x−2+1
−2 + 1
∣∣∣∣2
1
=
x−1
−1
∣∣∣∣2
1
= − 1
x
∣∣∣∣2
1
= −1
2
+ 1 =
1
2
J
14 CAPÍTULO 2. CONTEÚDO 2 DA UNIDADE
2.3 Exercícios
1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t− 3, t ≥ 0.
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3.
b) Qual o espaço percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3?
c) Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t = 1 e t = 3.
2. Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = sen 2t, t ≥ 0.
Calcule o deslocamento e o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = π.
3. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força paralela ao
deslocamento e de componente f(x). Calcule o trabalho realizado pela força no
deslocamento de x = a até x = b, sendo dados:
(a) f(x) = 3, a=0 e b=2
(b) f(x) = x, a=-1 e b=3
(c) f(x) = cos 2x, a=0 e b=π
4
Capítulo
3
Conteúdo 3 da Unidade
3.1 Algumas Técnicas de Integração
Funções que não são algébricas são denominadas transcendentes. São funções trans-
cendentes as funções trigonométricas, logarítimicas, exponenciais ou a combinação entre
elas.
Vejamos algumas técnicas para calcular a integral de funções transcendentes.
Integrais Trigométricas: Vamos utilizar as seguintes fórmulas:
sin a cos b =
1
2
[sin(a+ b) + sin(a− b)]
cos a cos b =
1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)]
sin a sin b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
Exemplo 3.1. Calcule
∫
sin 3x cos 2x dx
15
16 CAPÍTULO 3. CONTEÚDO 3 DA UNIDADE
Solução: ∫
sin 3x cos 2x dx =
∫
1
2
[sin(3x+ 2x) + sin(3x− 2x)] dx
=
∫
1
2
[sin(5x) + sin(x)] dx
=
1
2
[
−1
5
cos(5x)− cos(x)
]
+ C
= − 1
10
cos(5x)− 1
2
cos(x) + C
Exemplo 3.2. Calcule
∫
sin 3x sin 5x dx
Solução: ∫
sin 3x cos 5x dx =
∫
1
2
[cos(5x− 3x)− cos(3x+ 5x)] dx
=
∫
1
2
[cos(2x)− cos(8x)] dx
=
1
2
[
1
2
sen(2x)− 1
8
sen(8x)
]
+ C
=
1
4
sen(x)− 1
16
sen(8x) + C
Exemplo 3.3. Calcule
∫
cos2 x dx
Solução: ∫
cos2 x dx =
∫
cosx cosx dx
=
∫
1
2
[cos(x+ x) + cos(x− x)] dx
=
∫
1
2
[cos(2x) + 1] dx
=
1
2
[
1
2
sen(2x) + x
]
+ C
=
1
4
sen(2x) +
x
2
+ C
3.2. EXERCÍCIOS 17
3.2 Exercícios
1. Calcule as integrais.
a)
∫
sin 2x sin 7x dx
b)
∫
sin 3x cos 5x dx
c)
∫
cos 4x sin 6x dx
d)
∫
sin2 x dx
Bibliografia
[1] Ávilva, G. S. S.; Araújo, L.C. L. Cálculo - Ilustrado, Prático e Des-
complicado. Grupo GEN, 06/2012. 978-85-216-2128-7. Disponível em:
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