Aula 2 - Tensões e Deformações - Parte 2

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Engenharia Metalúrgica e Materiais 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
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Tensões e Deformações – Parte 2 
 
Slide 1 EEIMVR 
Deformação linear e deformação angular 
 1 direção na engenharia delinear deformação 
L
L
 
L
L - L
 
00
0f
1e 


 1 direção na dadeiralinear ver deformação 
L
L
ln 
L
dL
 
0
f
1
f
0
L
L
ε  
  1ln ou 11 eε 
B’ 
B 
C’ 
C D 
A 
A’ 
b 
a 
h1 
h2 
τ
τ
τ
τ
1θ
2θ
(%) 100 
L
L
 ou 
0
1e 


Vantagem da deformação verdadeira: 
incrementos parciais podem ser somados. 
Tensão cisalhante ⇒ deformação angular 
 θθγ 21 
2 1
21
θtgθtg
h
b
h
a
γ:pequenos ângulos para 
 
2
θθ
2
γ
 rígida rotação θθ
2 1
 2 1


deformação angular (por cisalhamento) 
Tensão normal ⇒ deformação linear 
L0 Lf 
1σ
1σ
(deform. convencional = deform. de engª) 
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Slide 2 EEIMVR 
Variação da deformação com a direção 
• Imagine uma folha de borracha não carregada, com 4 quadrados desenhados com diferentes 
orientações. Em seguida, a folha de borracha é solicitada por um estado uniaxial de tração. 
• Após a aplicação do esforço, o quadrado da figura (a) não apresenta deformação angular, mas 
apenas deformação linear de tração na direção vertical e de compressão na direção horizontal. 
• Ao passo que o quadrado vai se inclinando nas figuras (b), (c) e (d), vai variando o grau de 
deformação linear e de deformação angular, conforme se observa nas figuras tracejadas. 
• Os lados dos quadrados correspondem a diferentes planos de corte, nos quais variam os valores de 
deformação linear (ε) e de deformação angular (γ) com a direção dos tais planos. 
Quadrado não deformado 
Quadrado após 
deformação 
Folha de 
borracha 
(a) (b) (c) (d) 
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Slide 3 EEIMVR 
Deformações principais e deformação volumétrica 
• A figura (a) do slide anterior mostrou duas direções onde não ocorrem deformações angulares, mas 
apenas deformações lineares, de forma semelhante ao que se observa com as tensões normais e 
tensões de cisalhamento. 
• Logo, para cada ponto de um corpo carregado, é possível encontrar três direções perpendiculares 
entre si, nas quais as deformações angulares são nulas, e só ocorrem deformações lineares. 
• Tais deformações lineares são chamadas deformações principais (e1, e2 e e3) e são 
respectivamente colineares com σ1, σ2 e σ3 para materiais isotrópicos. 
11 e σ ,
33 e σ ,
22 e σ ,
2 l
1 l
3 l
• Considere um paralelepípedo de lados l1, l2 e l3 , em cujas faces atuam 
as tensões normais σ1, σ2 e σ3 , e com volume original V0 = l1 . l2 . l3 
• Após a aplicação das tensões σ1, σ2 e σ3 , as dimensões do corpo são: 
 l ’1 = l1 (1+ e1) ; l ’2 = l2 (1+ e2) ; l ’3 = l3 (1+ e3) 
• O volume final do paralelepípedo será: 
 Vf = l1 l2 l3 (1+e1) (1+e2) (1+e3) = 
 = l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3+e1e2+e1e3+e2e3+e1e2e3) 
 
• Se e1, e2 e e3 forem pequenas: Vf ≅ l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3) 
• A deformação volumétrica é então dada por: 
0
0f
V
 V- V
  ou ainda Δ = e1 + e2 + e3 
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Slide 4 EEIMVR 
Relações tensão-deformação no regime elástico 
1σ
1σ
1
2
3
Tensão 
aplicada 
Deformação provocada pela tensão na direção ... 
1 2 3 
σ1 σ1 / E - ν σ1 / E - ν σ1 / E 
σ2 - ν σ2 / E σ2 / E - ν σ2 / E 
σ3 - ν σ3 / E - ν σ3 / E σ3 / E 
• e1 de tração (positiva) σ1 = E e1 (Lei de Hooke) 
• e2 e e3 de contração (negativas) e2 = e3 = - ν e1 
   32 11 σσσ e - 
E
1
 ν 
   31 22 σσσ e - 
E
1
 ν 
   21 33 σσσ e - 
E
1
 ν 
 Lei de Hooke 
generalizada 
(estado triaxial 
de tensões) 
Um estado triaxial de tensões pode ser considerado como sendo a 
superposição de três estados uniaxiais: 
 Estado 
uniaxial de 
tensões 
E = Módulo de Elasticidade (Young) ; ν = Coeficiente de Poisson (0,33 p/ metais) 
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Slide 5 EEIMVR 
Deformação volumétrica no regime elástico 
 Δ = e1 + e2 + e3 
 







 

3
 
E
 2 1 3 3 21 σσσν 
 
-
 A partir da Lei de Hooke generalizada: 
 Chamando de σ0 a média aritmética das tensões principais, vem que: 
3
 
 
321
0
σσσσ 
 Assim, a deformação volumétrica pode ser representada por: 
 
0σ ν 
E
 2 1 3 -

• Note que a deformação volumétrica é diretamente proporcional a σ0 , e Δ será nula para σ0 = 0 
(admitindo que ν ≠ 1/2 ). 
• Mesmo para um cubo formado por planos não principais, onde atuam σx, σy e σz , a expressão 
da deformação volumétrica mostrada acima continua válida, sendo σ0 a média aritmética destas 
tensões. 
• Se σ1, σ2 e σ3 forem positivos, σ0 também o será. A deformação volumétrica Δ neste caso será 
positiva, uma vez que ν ≈ 0,3 , conforme já mencionado anteriormente. 
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Slide 6 EEIMVR 
Decomposição do estado inicial de tensões 
1σ
3σ
2σ
0σ
0σ
0σ
0 1 σσ -
0 3 σσ -
0 2 σσ -
= + 
Estado inicial 
Componente 
hidrostática 
Componente 
desviadora 
• Um estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de duas componentes: a 
componente hidrostática e a componente desviadora do estado de tensões. 
• Como mostrado no slide anterior, a componente hidrostática é a responsável pela deformação 
volumétrica, ou seja, pela mudança de volume do material exposto ao estado de tensões. 
• Por outro lado, a mudança de volume provocada pela componente desviadora é nula, pois: 
(σ1- σ0) + (σ2- σ0) + (σ3- σ0) = σ1 + σ2 + σ3 – 3 σ0 = 0 
• Portanto, a componente desviadora é a responsável pela mudança de forma, ou seja, pela 
deformação plástica do material exposto ao estado inicial de tensões. 
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Slide 7 EEIMVR 
Energia de deformação elástica 
• O estudo da energia elástica armazenada em um corpo durante a sua deformação elástica é 
importante para identificar a transição do regime elástico para o plástico. 
• Quando um corpo se alonga de l0 até l1 , o trabalho executado pela força 
externa P é transformado em energia elástica, como mostrado abaixo: 
P 
P 
A0 
l0 
 𝑃 𝑑𝑙
𝑙
1
𝑙
0
 σ1 𝑑𝑒1
𝑒
1
0
 Uel = = A0 l0 U0 el = σ1 𝑑𝑒1
𝑒
1
0
 
Energia elástica 
por unidade 
de volume 
• Pela Lei de Hooke, a relação entre tensão e deformação é linear, e portanto: 
11 e el 0 σ
2
1U   332211 0 eσeσeσ 
2
1
 U Estado Triaxial Estado Uniaxial 
• Considerando a componente hidrostática, a energia elástica para mudar volume é: 
 
     
 
 
 
3212
0
 03210 
H
0
σσσνσνσeeeσ
92E
 2 - 13
E
 2 - 13
2
1
2
1
2
1 2 
U


• E finalmente: 
 
  321H
0
σσσν 2 
6E
 2 - 1 
U 
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Slide 8 EEIMVR 
Energia de deformação elástica 
• Considerando as expressões da Lei de Hooke generalizada, e a expressão da energia elástica 
total por unidade de volume para um estado triaxial de tensões, vem que: 
   32 11 σσσ e - 
E
1
 ν     31 22 σσσ e - 
E
1
 ν     21 33 σσσ e - 
E
1
 ν 
 332211 0 eσeσeσ 
2
1
U
 
 
 
     323121321 0 σσσσσσ
νσσσν 



 

 2222 
6E
 1 
6E
 2 - 1 
U
 H
0
U D
0
U
• O primeiro termo à direita do sinal de igualdade é a energia elástica para mudança de volume, ou a 
energia elástica da componente hidrostática do estado de tensões ( ). 
• O segundo termo é a energia elástica para mudança de forma, também chamada de energia elástica 
de distorção, isto é, a energia elástica da componente desviadora do estado de tensões ( ). 
 H
0
U
 D
0
U
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Slide 9 EEIMVR 
Critérios para o início da deformação plástica 
• Experimentalmente, é possível observar que um material, ao ser solicitado além de 
um certo limite, não recupera suas dimensões iniciais após o descarregamento. 
P 
P 
A0 
l0 
σ1 = 
P
A
0
 
0
 
1e l
l

e1 
O 
LR 
D 
A 
F 
B 
σ1 
C 
E 
Comportamento em tração 
• Do ponto O ao ponto A, a deformação é elástica: removendo o esforço, o corpo retorna à dimensão 
inicial l0 . A partir do ponto A (σ1 > LE), ocorre deformação plástica simultaneamente com a elástica. 
• O ponto A é na verdade o Limite Elástico, mas na prática é considerado o Limite de Escoamento. 
• Ao se descarregar o corpo no ponto F, ele segue a reta FD, paralela a OA (reta elástica). 
• A deformação OD é permanente, DE é elástica, e OE é a deformação elasto-plástica total no ponto F. 
• A deformação plástica ocorre sem mudança de volume (Δ = 0), logo: 
LE = limite de escoamento em tração uniaxial 
LR = limite de resistência em tração uniaxial 
 A) ponto o (até - ν 132 eee 
A) ponto do (depois - 132 eee
2
1
 - 132 eee
2
1
LE 
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Slide 10 EEIMVR 
Critérios para o início da deformação plástica 
• O início da deformação plástica no ensaio de tração (estado uniaxial de tensão) é dado por: 
σ1 = LE 
Critério de Escoamento no ensaio de tração. Alguns autores utilizam a 
letra “Y” para representar o Limite de Escoamento LE no ensaio de tração. 
Critério de Tresca: 
• No caso mais geral, ou seja, para um estado triaxial de tensões, dois critérios são os mais usuais: 
• A deformação plástica começará a ocorrer quando a máxima tensão de cisalhamento (τmáx), 
decorrente do estado de tensões causado pelo carregamento externo imposto ao material, atingir 
um valor crítico, que é uma constante característica de cada material (τ0). 
 0
31
máx τσ στ 
2
  - Estado triaxial de tensões 0máx ττ
2
  LE
 0) σσσ  32 , 1 ( LE
Ensaio de tração 
• Se τ0 é uma constante do material, então pode-se escrever: 22
 0
31
máx τσ στ LE -
• Usualmente, o Critério de Tresca é representado pela expressão ao lado: σ1 - σ3 = LE 
OBS: Para um certo estado de tensões, (σ1 - σ3 ) pode ser menor, igual ou maior que o LE. Se for menor, o material não 
se deforma plasticamente. Se for maior, ocorre deformação plástica. (σ1 - σ3 ) = LE é a fronteira entre o regime elástico e o 
regime plástico. 
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Slide 11 EEIMVR 
Critérios para o início da deformação plástica 
Critério de Von Mises: 
• A deformação plástica começará a ocorrer quando a energia elástica de distorção por unidade de 
volume ( ), decorrente do estado de tensões causado pelo carregamento externo imposto ao 
material, atingir um certo valor crítico, que é uma constante característica de cada material ( ). 
• No caso do ensaio de tração, pode-se escrever: 
• Consequentemente, a expressão usual do Critério de Von Mises é apresentada abaixo: 
 D
0
U
 * D
0
U
 
      * 
6E
 1 D
0
D
0 UU
222 




 323121 σσσσσσ
ν
 
   
 *(LE) 2
6E
 1 
)( 2
6E
 1 D
01
D
0 UU
22 




ν
σ
ν
 
• Se é uma constante do material, então pode-se escrever: * D
0
U
 
     
 
 2222 (LE) 2
6E
 1 * 
6E
 1 D
0
D
0 UU
ν
σσσσσσ
ν
323121 







      LE 
2
1 1/2222 




323121 σσσσσσσ efetiva
OBS: Para um certo estado de tensões, a variável em função das tensões principais (também chamada de tensão efetiva) 
pode ser menor, igual ou maior que o LE. Se for menor, o material não se deforma plasticamente. Se for maior, ocorre 
deformação plástica. Quando a variável for igual ao LE, ocorre a fronteira entre o regime elástico e o regime plástico. 
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Slide 12 EEIMVR 
Tensão e Deformação Efetivas 
• Dois estados de tensão são mecanicamente equivalentes quando produzem o mesmo efeito em 
um material com relação à ocorrência do escoamento plástico. 
• Existe uma grandeza com unidade de tensão, cuja magnitude é a mesma para estes estados 
equivalentes, mesmo quando as tensões aplicadas (σ1, σ2 e σ3) são diferentes. Esta grandeza 
recebe o nome de tensão efetiva (σef) ou tensão de Von Mises, e é definida como: 
      323121 σσσσσσσef
1/2222 
2
1



 
• A deformação efetiva é definida em função da energia de deformação elástica e da tensão efetiva: 
• Para se obter a deformação efetiva total deef , deve-se integrar a equação acima ao longo do 
programa de deformação seguido no caso em questão. 
U0 = σef 
𝑒
0
       323121 1/2222ef
 dede dede dede
3
2de 




 deef 
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Slide 13 EEIMVR 
Tensão e Deformação Efetivas 
• Aplicando os conceitos de tensão e deformação efetivas ao ensaio de tração (estado uniaxial): 
 σ1≠ 0 ; σ2 = σ3 = 0     
tr
1ef σσσσ 11  


 1/222 
2
1
 de1≠ 0 ; de2 = de3 = 1de 
2
1 - 11
1
1
1
1ef dede
2
23 
3
2
2
de
de
2
de
de
3
2de 






















 
1/222
• Portanto, no ensaio de tração (estado uniaxial): 
tr
1ef
σσ  1ef dede 
• Conclui-se, então, que a curva σef x eef coincide com a curva σ1tr x e1tr . 
1σ
3σ
2σ
equivale a 
efσ
efσ
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Slide 14 EEIMVR 
Relações tensão-deformação no regime plástico 
• Conforme visto anteriormente, a componente hidrostática do estado de tensões não provoca 
deformação plástica, sendo a mesma resultante da componente desviadora. 
• Levy e Mises, levando em conta este fato, e supondo que se possa desprezar a deformação elástica 
frente à deformação plástica sofrida pelos metais, formularam uma lei para a relação entre tensão e 
deformação plástica, expressa pelas equações a seguir: 
  - d 
2
3
 d 01
ef
ef
1 σσ
σ
ee    - d 
2
3
 d 02
ef
ef
2 σσ
σ
ee    - d 
2
3
 d 03
ef
ef
3 σσ
σ
ee 
• Lembrando que 
3
 
 
321
0
σσσσ  , as expressões são escritas conforme abaixo: 
 



  32 1
ef
ef
1 σσσ
σ
ee 
2
1
 - 
d
 d 
 



  31 2
ef
ef
2 σσσ
σ
ee 
2
1
 - 
d
 d 
 



  21 3
ef
ef
3 σσσ
σ
ee 
2
1
 - 
d
 d 
Equações de Levy-Mises