UNIDADE 3 FUNÇÕES

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UNIDADE 3
Funções
3.1 Introdução
Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas
situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A
procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no
mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos
na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações são
matematicamente representadas por funções.
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A
associa um único elemento de B , e é indicada por BAf : . A relação entre os conjuntos
A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma )(xfy  .
Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ou
aplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está em
correspondência com um único elemento de B . Escrevemos :f A B definida por
( )y f x onde y é o valor de f em x .
Domínio: É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida.
Anotamos ( )D f A ou ( )Dom f A .
Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função ( )CD f B .
Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que ( )y f x para algum x .
Anotamos Im( )f B .
Assim:
 ( ) ( ) para algumD f x A y f x y B    ,
e
 Im( ) com ( )f y B x A y f x     .
Por exemplo, seja :f A B definida por ( ) 2f x x , onde  1,2,3A  e  1,2,4,6,7B  .
Neste caso,  ( ) 1,2,3D f  ,  ( ) 1,2,4,6,7CD f  e  Im( ) 2,4,6f  . Veja a figura a seguir:
2
Figura 1
Uma função :f A B é dita função real de uma variável real se A  e B   .
Figura 2
Normalmente, representamos por ( )y f x , x A e y B .
Exemplos de funções e seu domínio.
1) 2( )f x x , x  , ( )D f  
2) ( )f x x , x  ,  ( ) 0,D f  
3) ( )
2
x
f x
x


, 2x  ,  ( ) 2D f  
4) ( ) 2 3 2 3 0 3/ 2f x x x x        . Neste caso,  ( ) / 3 / 2D f x x    .
5) ( )
2
x
f x
x

6)
2
1
( )
1
f x
x


1
2
3
2
4
6
f
7
1
Im( )f
( )B CD f( )A D f
3
3.2 Gráfico de uma Função
É o subconjunto do plano formado pelos pontos  , ( )x f x , x  , quando x percorre o
campo de definição de função :f   . Im( ) ( )f G f .
Exemplo 1. Seja ( )f x x , x  . ( )D f   e Im( )f   .
Figura 3
Exemplo 2. Seja 2( )f x x , x  . ( )D f   e Im( )f   .
Figura 4
Exemplo 3. Seja :f    , ( )f x x , ( )D f   e Im( )f   .
4
Figura 5
3.3 Operações com Funções
Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:
(i) Soma de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x   ;
(ii) Diferença de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x   ;
(iii) Produto de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x   ;
(iv) Quociente de f e g :
( )
( )
( )
f f x
x
g g x
 
 
 
, ( ) 0g x  .
Por exemplo, dadas às funções 2( ) 2f x x  e
3
( )
1
g x
x


, então:
(i) 2
3
( )( ) 2
1
f g x x
x
   

, 1x  .  ( ) 1D f g  
(ii) 2
3
( )( ) 2
1
f g x x
x
   

, 1x  .  ( ) 1D f g  
(iii)  2 3( )( ) 2
1
f g x x
x
      
, 1x  .  ( ) 1D f g  
(iv)
    2 22 1 2
( )
3 3
1
x x xf
x
g
x
  
      
,  1fD
g
 
  
 
 , pois  ( ) 1D g   .
3.4 Funções Definidas por Várias Sentenças
São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.
5
Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções:
:f   .
Exemplo 4.
1, se 0
( ) 2, se 0 1
1, se 1
x
f x x
x

  
 
Resolução: ( )D f   ,  Im( ) 1,2f  .
Figura 6
Exemplo 5.
2
, se 0
( )
, se 0
x x
f x
x x
 
 

Resolução: ( )D f   , Im( )f   .
Figura 7
Exemplo 6.
1, se 3
( )
2 1, se 3
x x
f x
x x
 
   
Resolução: ( )D f   , Im( )f   .
6
Figura 8
3.5 Composição de Funções (Regra da Cadeia)
Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que
:f A B e :g B C .
Associado com f e g existe uma função :L A C denominada composição e
definida por
( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x  , x A  .
Observação: Em geral, g f f g  .
Exemplo 7. Sejam f , :g   definidas por ( ) 1f x x  e 2( )g x x . Então,
2 2( ) ( )( ) ( ( )) ( ) 1h x f g x f g x f x x     ,
e
 2 2( )( ) ( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g f x g x x x x        .
Agora,
2 21 2 1x x x    f g g f   .
Exemplo 8. Sendo :f   ,   2 1f x x  e   2g x x  . Calcular:
(i) 2 2( ( )) ( 2) ( 2) 1 4 3f g x f x x x x        .
(ii) 2 2 2( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g x x x       .
(iii) ( (1)) (3) 9 1 8f g f   
(iv) ( (0)) ( 1) 1 2 1g f g      .
7
3.6 Funções elementares
a) Função constante
A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do
contradomínio é chamada de função constante.
Exemplo 10. A função :[0, )f    , 2)( xf , é uma função constante. Seu gráfico é
apresentado na figura 10.
Figura 9
b) Funções afim ou linear
Chama-se função afim qualquer função dada por baxxf )( onde os coeficientes a e
b são números reais dados. Quando 0b , a função é chamada de linear.
Exemplo 11. O gráfico da função afim tomando-se 1a e 1b , ou seja, ( ) 1y f x x   ,
é mostrado na figura 11 a seguir.
Figura 10
8
Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma baxy  . Precisamos
apenas determinar a e b .
c) Função quadrática
Sejam , ea b c números reais quaisquer com 0a  . A função f definida em  e dada
por 2( )y f x ax bx c    recebe nome de função quadrática.
Exemplo 12.
(i) 2( ) 9 14y f x x x    1; 9; 14a b c    .
(ii) 2( ) 5 25y f x x x   5; 25; 0a b c   .
(iii) 2
2 3 1
( )
3 4 5
y f x x x    
2 3 1
; ;
3 4 5
a b c     .
d) Função polinomial
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,
01
1
1 ...)( axaxaxaxf
n
n
n
n 

 ,
onde os coeficientes naaa ,...,, 10 são números reais e n é número natural chamado de grau de
( )f x .
Exemplo 13. A função afim e a função linear são exemplos de funções polinomiais de grau
1n . A função quadrática cbxaxxf  2)( , 0a , é uma função polinomial de grau
2n  . A função 4 3 2( ) 2 3 5 1f x x x x x     é uma função polinomial de grau 4n  .
e) Função racional
É toda função f cuja regra de associação é do tipo
)(
)(
)(
xq
xp
xf  ,
onde )(xp e )(xq ( ( ) 0q x  ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida em
qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio )(xq .
Exemplo 14. Seja
3 2
2
3 1
( )
2 7
x x x
f x
x x
  

 
.A função f é uma função racional
.
9
3.7 Função exponencial e logarítmica
1) Função exponencial de base a
Seja a um número positivo e 1a . A função : (0, )f   , dada por xaxf )( , é
chamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:
Gráfico da função exponencial quando 1a  .
Figura 11
Exemplo 15. Algumas funções exponenciais de base 1a  ,
( ) 3xf x  , aqui 3a  ; ( ) 2xf x  , aqui 2a  e ( ) xf x e , aqui 2,7183e  .
Gráfico da função exponencial, quando 0 1a  .
Figura 12
Exemplo 16. Algumas funções exponenciais de base 0 1a  ,
1
( )
2
x
f x
   
 
, aqui
1
2
a  ;
1
( )
5
x
f x
   
 
, aqui
1
5
a  .
10
A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial de
base ea  onde ...71828,2e é a constante de Euler, que é um número
irracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial natural
ou, simplesmente, função exponencial.
2) Função logaritmo
Seja a um número positivo e 1a . A função definida por ( ) logay f x x  0x  ,
recebe o nome de função logarítmico de base a .
Vejamos os gráficos da função logarítmica:
Figura 13
Figura 14
11
3.8 Aplicações práticas das funções
A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de
exemplos.
a) Função receita
Exemplo 17. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade.Sendo x a quantidade vendida, a
receita de vendas será 300 x . Podemos dizer que ( ) 300R x x  é uma função que fornece a
quantidade vendida x a receita correspondente.
Exemplo 18. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidade
vendida.
a) obtenha a função receita ( )R x ;
b) calcule (50)R ;
c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?
Resolução:
a) ( ) 6R x x  .
b) (50) 6 50 300R    .
c) Devemos ter 1.200 6 200x x    .
Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.
b) Função custo e lucro do primeiro grau
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , e
a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por ( )C x . Existem custos que
não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma desses
custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por
CF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por
( )CV x . Logo, podemos escrever
( ) ( )C x CF CV x  .
A função lucro ( )L x é definida como a diferença entre a função receita ( )R x e a
função custo ( )C x e temos
( ) ( ) ( )L x R x C x  .
Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custo
variável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por
( ) 6.000 15C x x  .
Se um produto é vendido a R$30,00 a unidade, logo a função receita será ( ) 30.R x x , assim
o lucro ( )L x será  ( ) ( ) ( ) 30 6000 15 15 6000L x R x C x x x x       .
Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...
12
Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão números
reais positivos.
c) Função demanda
Exemplo 20. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se com o
preço unitário  p conforme a função demanda
20 0,004p x  .
Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será
8 20 0,004x   0,004 20 8 16x     4.000x  .
d) Funções quadráticas receita e lucro
Exemplo 21. A função de demanda de certo produto é 20p x  , e a função custo é
( ) 30C x x  onde x é a quantidade demandada. Determinar:
a) a função receita e o preço que a maximiza.
b) a função lucro e o preço que a maximiza.
Resolução:
a) Por definição de receita, temos
  2( ) 20 20R x p x x x x x       .
Logo, a função receita é 2( ) 20R x x x   .Veja figura a seguir
Figura 15
De 2( ) 20R x x x   , temos 1; 20; 0a b c    .
13
Logo, o valor de x que maximiza 2( ) 20R x x x   é a abscissa do vértice
20
10
2 2 ( 1)V
b
x
a
    
 
para uma receita máxima de
 2(10) 10 20 10 100 200 100R         .
Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de 10x  itens do
produto.
b) A função lucro é ( ) ( ) ( )L x R x C x  .
Assim,
 2 2( ) 20 30 20 30L x x x x x x x         2 19 30x x   ,
onde
1; 19; 30a b c     .
Veja a figura de ( )L x abaixo
Figura 16
O valor de x que maximiza a função lucro 2( ) 19 30L x x x    é a abscissa do vértice
19 19
9,5
2 2 ( 1) 2V
b
x
a
     
 
para um lucro máximo de
 2(9,5) 9,5 19 9,5 30
90,25 180,5 30 60,25
L     
    
.
Portanto, temos um lucro máximo de R$240,75.