PET 3 - 3º ANO - 3º BIMESTRE

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PLANO DE ESTUDO TUTORADO
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS
SEMANA 1
EIXO TEMÁTICO: 
Números, Contagem e Análise de Dados.
TEMA/TÓPICO: 
Estatística – 41. Mediana e moda.
HABILIDADE(S):
41.1. Interpretar os conceitos de mediana e moda em situações-problema.
41.2. Resolver problemas que envolvam a mediana e a moda.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Revisão de médias. Mediana. Moda. Aplicações.
TEMA: Estatística.
O que é Estatística? Essa palavra vem do latim status, que significa “estado”. Portanto, a Estatística 
é basicamente o estudo de como se apresenta um conjunto de dados. A Estatística nasceu como um 
ramo da Matemática, assim como a Ciência da Computação nasceu das Engenharias; hoje ambas são 
Ciências Exatas independentes.
O conceito mais básico de Estatística é o conceito de MÉDIA. A média mais comum é a MÉDIA ARITMÉ-
TICA ou média aritmética simples. Vamos ver um exemplo? Suponhamos que as alturas dos alunos (em 
metro) em certa turma de 40 alunos de uma Escola Estadual sejam as seguintes:
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
ANO DE ESCOLARIDADE: 3º ANO – EM
PET VOLUME: 03/2021
NOME DA ESCOLA:
ESTUDANTE:
TURMA:
BIMESTRE: 3º
NÚMERO DE AULAS POR SEMANA: 
TURNO:
TOTAL DE SEMANAS: 
NÚMERO DE AULAS POR MÊS: 
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Tabela 1 – alturas hipotéticas dos alunos de uma turma com 40 alunos.
A altura média é:
Muitas pessoas têm a noção de que calcular a média aritmética consiste em somar todos os valores e di-
vidir pela quantidade de valores, mas nem todas têm um “sentimento” do seu significado. No exemplo, sig-
nifica que: se todos os alunos dessa turma tivessem a mesma altura então essa altura seria de 1,64825 m.
Outra média comum e importante é a MÉDIA PONDERADA. Para cada valor é atribuído um PESO. O peso 
funciona como uma medida do “grau de importância” do valor correspondente. A média ponderada é 
calculada assim: o numerador é a soma dos produtos das notas pelos pesos respectivos; e o denomina-
dor é a soma dos pesos. Como exemplo, vamos supor uma prova com quatro questões A, B, C e D, com 
pesos 2, 2, 4 e 2 respectivamente. Se nessas questões um aluno tirou notas 3, 4, 5 e 6 (respectivamente) 
então sua nota final será:
Observe que o peso maior “puxa” a nota final na direção da nota correspondente a ele.
Um terceiro conceito importante é o conceito de MEDIANA. Para a sua determinação, o conjunto de 
dados deve estar ordenado (em ordem crescente ou decrescente). A mediana é o “valor do meio”. Se a 
quantidade de dados é ímpar então sempre haverá um valor do meio. Se a quantidade de dados é par, a 
mediana é calculada como a média do par de valores do meio. Observe os exemplos:
Suponhamos que se queira sintetizar em um único número os salários das pessoas que trabalham em 
um restaurante (cozinheiros, copeiros, garçons, recepcionistas etc.). A tabela a seguir ilustra os salá-
rios, a média e a mediana:
Porém, se incluirmos o gerente do estabelecimento:
No segundo caso, verificamos que só existe um salário acima da média (o do gerente). Portanto, ela não 
será o melhor sintetizador dos salários do restaurante, mas sim a mediana. A média é mais sensível à pre-
sença de alguns valores extremos; a mediana é mais robusta. Valores extremos são chamados de outliers.
Finalmente, temos o conceito de MODA, que é simplesmente o valor que mais aparece em um conjunto 
de dados. Pode não haver repetições ou pode haver várias. A figura a seguir ilustra as possibilidades:
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Todas essas medidas da Estatística são chamadas de MEDIDAS DE CENTRO ou medidas de tendência 
central. Cada uma delas é uma tentativa diferente de sintetizar os dados em um valor único. Observe 
que a média aritmética, a média ponderada e a mediana podem ou não fazer parte do conjunto de da-
dos. Já a moda (ou as modas), se existir, necessariamente faz parte do conjunto de dados.
PARA SABER MAIS: 
ATIVIDADES
1 – Na estatística, uma maneira de lidar com conjuntos grandes de dados é usar uma planilha. Este 
exercício ilustra como. Um radar instalado em uma rodovia está em fase de teste e capturou as 
velocidades (em km/h) de vinte veículos, mostradas na figura a seguir. Digite os valores em uma planilha, 
conforme mostrado. Em seguida, em uma célula vazia, digite =MÉDIA( e depois selecione o conjunto de 
células contendo os dados. Para finalizar, feche o parêntese e tecle ENTER. Qual a velocidade média dos 
veículos (em km/h)?
(Caso não tenha computador some todos os valores e divida pela quantidade de valores para encon-
trar a média)
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2 – Outra maneira de usar a tecnologia para tratar dados estatísticos é usar uma linguagem de 
programação. Por exemplo, considere esta tabela hipotética com um levantamento do preço do litro da 
gasolina, em reais, em diversos postos de combustível de Belo Horizonte:
O código em Python a seguir calcula e mostra a média, a mediana e a moda. Quais os valores serão 
encontrados?
3 – Suponha que você seja Presidente da Agência Nacional de Petróleo – ANP e queira criar um índice 
que representa o preço médio do litro de combustível no Brasil. Esse índice será uma média ponderada 
dos valores dos preços médios dos combustíveis, na forma explicada a seguir.
Vamos admitir que, de cada 100 litros de combustível consumidos no país, 50 sejam de óleo diesel, 30 
sejam de gasolina e 20 sejam de etanol. Essas proporções serão usadas como pesos. Digamos que os 
preços médios desses combustíveis sejam: R$4,40 (diesel), R$5,50 (gasolina) e R$4,60 (etanol). Usando 
esses dados, qual será o índice encontrado por você?
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4 – (ENEM-2018 – 2ª Aplicação) O índice de massa corporal (IMC) de uma pessoa é definido como o 
quociente entre a massa dessa pessoa, medida em quilograma, e o quadrado da sua altura, medida em 
metro. Esse índice é usado como parâmetro para verificar se o indivíduo está ou não acima do peso 
ideal para a sua altura. Durante o ano de 2011, uma pessoa foi acompanhada por um nutricionista e 
passou por um processo de reeducação alimentar. O gráfico indica a variação mensal do IMC dessa 
pessoa, durante o referido período. Para avaliar o sucesso do tratamento, o nutricionista vai analisar as 
medidas estatísticas referentes à variação do IMC.
De acordo com o gráfico, podemos concluir que a mediana da variação mensal do IMC dessa pessoa 
é igual a
a) 27,40
b) 27,55
c) 27,70
d) 28,15
e) 28,45
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SEMANA 2
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO: 
Funções – 43. Estudo de funções.
HABILIDADE(S):
43.1. Reconhecer funções definidas por partes em situações-problema.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Introdução às funções. Domínio, contradomínio e imagem. Funções definidas por partes.
TEMA: Funções.
Uma FUNÇÃO é uma “regra” que associa um dado de entrada (input) a um dado de saída (output). Uma 
das melhores imagens de uma função é uma máquina real ou virtual. Vamos supor que você vai usar 
uma calculadora científica para calcular o valor da raiz quadrada do número 2. Isso significa que, dado 
o valor x = 2, devemos achar o valor de y usando a lei: y = . Porém, no conjunto dos números reais, só 
existe raiz quadrada de número não negativo. Vamos formalizar as ideias da seguinte maneira:
• LEI da função é a “regra” que para cada associa um e somente um valor de y.
• DOMÍNIO da função é o conjunto de valores de entrada permitidos para x.
• CONTRADOMÍNIO da função é o conjunto de valores de saída possíveis para y.
• IMAGEM da função é o conjunto de valores de saída resultantes para y, dentro do contradomínio.
Esta figura mostra diversas “visões” da função raiz quadrada:
Observe que a condição de que cada x produza um e somente um valor de y faz sentido. É como no caso 
da calculadora. Se for fornecido um x válido e não der um resultado, a função está com “defeito”. O mes-
mo se uma função, com o mesmo x, produzisse vários resultados y distintos: outro “defeito”...
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Outra representação possível é o diagrama de Venn, mostrado na 
figura à direita. Observe a diferença entre contradomínio e ima-
gem. O contradomínio é o conjunto de todos os númerosreais, 
no sentido de que a raiz quadrada de um número real é um nú-
mero real. Mas a imagem é formada apenas pelos números reais 
não negativos, pois o resultado da raiz quadrada é não negativo.
Cuidado! Embora não seja mostrado no diagrama, o domínio 
contém também valores não inteiros, tais como: etc. 
Assim, por exemplo: 
 também es-
tão no conjunto-imagem.
A notação padrão é a seguinte:𝑓𝑓: 𝑅𝑅$ → 𝑅𝑅; 	𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ou 𝑓𝑓: 𝑅𝑅$ → 𝑅𝑅; 	𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥. Isto é, o conjunto que vem antes 
da seta é o domínio e o conjunto que vem depois dessa seta é o contradomínio. A imagem (ou conjun-
to-imagem) não é dada explicitamente.
E o que acontece se for dada a lei da função, sem especificar o domínio ou o contradomínio? Assume-se 
que eles são os “maiores” subconjuntos possíveis do conjunto dos números reais. O contradomínio é o 
próprio R. O domínio é o maior possível tal que a lei da função faça sentido, isto é, tal que forneça um 
resultado. Por exemplo:
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥 − 3 .
• 1ª condição de existência: para que a raiz quadrada exista, o que está dentro dela não pode ser 
negativo. Portanto: 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥 ≥ 1
• 2ª condição de existência: o denominador não pode se anular. Portanto: 𝑥𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥𝑥 ≠ 3.
Então o domínio da função acima é: 𝐷𝐷 𝑓𝑓 = {	𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅	|	𝑥𝑥 ≥ 1	𝑒𝑒	𝑥𝑥 ≠ 3	} .
Um tipo de função interessante é a FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES. Nesse caso, em vez da função ter 
uma lei única, ela tem várias! Cada expressão corresponde a uma faixa do x. Por exemplo, suponhamos 
que uma concessionária de energia elétrica cobre uma taxa mínima de serviço de R$20,00, acrescida 
do valor correspondente ao consumo (vamos fazer a análise sem impostos). Porém o valor do quilowat-
t-hora varia de acordo com a faixa de consumo, da forma especificada a seguir.
• Até 100 kWh: R$0,50 a unidade.
• Mais de 100 até 200 kWh: R$0,60 a unidade.
• Acima de 200 kWh: R$0,80 a unidade.
Matematicamente, sejam x o consumo (em kWh) y = f (x)e o valor da conta (em reais). Fica:
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PARA SABER MAIS: 
ATIVIDADES
1 – Observe o panorama a seguir e responda o que se pede.
a) Qual é a lei da função?
b) Escreva o domínio 𝐷𝐷(𝑓𝑓) , o contradomínio 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑓𝑓)e a imagem 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) da função.
c) Complete a tabela mostrada com os valores correspondentes de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 .
d) Dado 𝑥𝑥 = 0,001 , qual o valor de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ?
e) Temos 𝑦𝑦 =
1
82 para que valor(es) de 𝑥𝑥?
f) Dado 𝑦𝑦 = 0,1, quanto vale 𝑥𝑥? E para 𝑦𝑦 = 0,9? E para 𝑦𝑦 = 2 ?
2 – Considerando o seguinte gráfico de uma função definida por partes, responda:
a) Qual é a lei da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 para 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4? E para 4 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 7?
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b) Qual é a imagem da função?
c) Determine: 𝑓𝑓 14 ; 	𝑓𝑓(𝑓𝑓 14 ); 	𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑓𝑓 14 ))	.
d) Quantos elementos tem este conjunto: 𝐴𝐴 = {	10; 	𝑓𝑓 10 ; 𝑓𝑓(𝑓𝑓 10 ); 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑓𝑓 10 ));… } ?
e) Para que valores de se tem 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 5 ?
f) Para quantos valores de 𝑥𝑥 se tem 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 4?
g) Quantas raízes tem essa função? (Raiz é todo valor de 𝑥𝑥 tal que 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0 ).
h) Qual é o valor de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0 para o qual só existe um 𝑥𝑥 tal que 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0?
3 – Qual o domínio da função a seguir?
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
1
𝑥𝑥& − 18𝑥𝑥 − 40
.
4 – Considere esta função com seu gráfico:
Que valores de x essa função aceita?
a) Somente valores positivos.
b) Somente valores negativos.
c) Somente valores positivos ou o valor nulo (𝑥𝑥 = 0 ).
d) Somente valores negativos ou o valor nulo (𝑥𝑥 = 0 ).
e) Quaisquer valores reais.
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SEMANA 3
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO:
Funções – 43. Estudo de funções.
HABILIDADE(S):
43.2. Reconhecer os efeitos de uma translação ou mudança de escala no gráfico de uma função.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Transformações gráficas.
TEMA: Transformações gráficas.
Prezado(a) estudante, nesta semana veremos como, a partir de um gráfico “conhecido”, é possível 
construir passo a passo um gráfico “desconhecido”. Não dispondo de tecnologia para gerar um grá-
fico, é uma técnica rápida e útil. E que vai ajudar também no próximo assunto: gráficos das funções 
trigonométricas.
Uma TRANSFORMAÇÃO GRÁFICA é mostrada em cada uma das figuras a seguir.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = f (x) + K.
• K > 0: o gráfico sobe K 
unidades.
• K < 0: o gráfico desce K 
unidades.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = f (x + K).
• K > 0: o gráfico se des-
loca K unidades para a 
esquerda.
• K < 0: o gráfico se desloca 
K unidades para a direita.
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Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = K * f (x). 
Deformação na escala vertical.
• K > 1: fica K vezes maior.
• 0 < K < 1: fica K vezes 
menor.
• Se K < 0, sofre também 
uma reflexão horizontal 
em torno do eixo x.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = f (K * x).
Deformação na escala 
horizontal.
• K > 1: fica K vezes maior.
• 0 < K < 1: fica K vezes 
menor.
• Se K < 0, sofre também 
uma reflexão vertical em 
torno do eixo y.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = | f (x) |. 
• As partes negativas do 
gráfico “rebatem” para 
cima.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = f (|x|).
• As partes do gráfico à 
direita do eixo vertical 
“rebatem” para o lado 
esquerdo.
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Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = | f (|x|) |.
• Combinação dos dois 
efeitos anteriores: o grá-
fico “rebate” para cima e 
para o lado esquerdo.
Gráfico original: y = f (x).
Novo gráfico: y = | f (|x|) |.
• Mantém os sinais.
• Inverte o crescimento e o 
decrescimento.
• Nas posições onde havia 
raízes, fica descontínuo.
Por exemplo, é fácil fazer o gráfico da parábola 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥$ . Mas como desenhar 𝑔𝑔 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥$
𝑥𝑥$ − 1
? Começa-
mos observando que 𝑔𝑔 𝑥𝑥 =
1
𝑥𝑥% − 1
+ 1 . Depois, aplicamos as seguintes transformações gráficas:
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥$ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥$ − 1 𝑦𝑦 =
1
𝑥𝑥% − 1
𝑦𝑦 =
1
𝑥𝑥% − 1
+ 1
ATIVIDADES
1 – A figura ao lado apresenta o gráfico de 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥 	 junto com qual 
outra função?
a) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 5𝑥𝑥 .	
b) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥
5
.	
c) 𝑦𝑦 = 5 $ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 .	
d) 
𝑦𝑦 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	 𝑥𝑥 	
5
.
e) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 5 + 𝑥𝑥 .	
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2 – Qual função está representada no gráfico a seguir?
a) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 1)2 c) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥$	 + 1 e) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥$	
b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 2 d) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥$	 − 1
3 – A figura abaixo mostra os gráficos da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥	 e o gráfico da função 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	 𝑥𝑥 −
𝜋𝜋
2 	 . 
Esses gráficos diferem um do outro por:
a) Um deslocamento vertical.
b) Um deslocamento horizontal.
c) Uma reflexão em relação ao eixo vertical.
d) Uma reflexão em relação ao eixo horizontal.
e) Uma rotação de quarenta e cinco graus.
4 – O gráfico de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 apresenta:
a) Simetria em relação à origem.
b) Simetria em relação ao eixo das abscissas.
c) Simetria em relação ao eixo das ordenadas.
d) Exatamente uma raiz real.
e) Duas ou mais raízes reais, mas não infinitas.
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SEMANA 4
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO: 
Funções – 42. Funções trigonométricas.
HABILIDADE(S): 
42.1. Identificar o gráfico das funções seno, cosseno e tangente.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Revisão das funções circulares.
TEMA: Funções trigonométricas.
Apresentamos a seguir uma ilustração com a revisão das definições e alguns valores notáveis das FUN-
ÇÕES TRIGONOMÉTRICAS no triângulo retângulo:
Mas e se o ângulo for inferior a 0° ou superior a 90°? A generalização das funções trigonométricas é con-
seguida através do CICLO TRIGONOMÉTRICO. Ele consiste em um círculo unitário – isto é, cujo raio tem 
medida de 1 unidade – no qual são definidas as seis funções trigonométricas para quaisquer ângulos, 
conforme ilustra a figura seguinte. É por causa desse círculo que as funções trigonométricas também 
são chamadas de FUNÇÕES CIRCULARES.
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Vamos exemplificar, com a função seno, o uso do ciclo trigonométricona construção de seu gráfico. 
Começando de zero grau e girando no sentido anti-horário, cada ângulo é marcado no círculo e a proje-
ção ortogonal correspondente (neste caso, no eixo do seno) é marcada. Portanto:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	0° = 0; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	30° =
1
2 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	60° =
3
2 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	90° = 1; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	120° =
3
2 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	150° =
1
2 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	180° = 0; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	210° = −
1
2 ;	 etc. Ob-
serve a figura:
O mesmo método se aplica para as outras funções. Apresentamos agora os gráficos das três funções 
trigonométricas principais: seno, cosseno e tangente. Veja:
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Deve-se observar que as funções trigonométricas são funções PERIÓDICAS. Ou seja, à medida que os 
valores de 𝑥𝑥 vão variando, os correspondentes valores de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se repetem infinitamente. Isso é 
visível nos três gráficos acima; é como se o gráfico fosse sendo “carimbado” para a esquerda e para a 
direita, infinitamente.
As funções seno e cosseno são limitadas, pois temos:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃	𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅:	−1 ≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 ≤ 1			𝑠𝑠		 − 1 ≤ 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠	𝑥𝑥 ≤ 1.	
Já a função tangente é ilimitada: −∞ < 𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑥𝑥 < +∞.	 Finalmente, observamos que a nomenclatura acima é 
um costume brasileiro. De fato, o padrão internacional é que as abreviaturas das funções trigonométri-
cas tenham três letras cada uma. Veja:
É assim que aparece nas calculadoras, nos aplicativos, nas linguagens de programação etc.
ATIVIDADES
1 – Por que as funções trigonométricas também são chamadas de funções circulares?
a) Porque todo triângulo retângulo contém um círculo.
b) Porque todo triângulo retângulo está contido dentro de um círculo.
c) Porque elas são funções periódicas.
d) Por causa do ciclo trigonométrico.
e) Por causa dos formatos dos seus gráficos.
2 – Observe a figura a seguir:
O valor do seno de ( 𝑥𝑥 ) está mais próximo do valor do seno de:
a) a b) b c) c d) d e) e 
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3 – Esboce o gráfico da função f (x) = cosec (x) = !
"
. Você pode fazer isso de diversas maneiras:
• Pesquisando em um livro real ou virtual.
• Pesquisando na internet.
• Usando uma calculadora (em radianos) para construir uma tabela e depois fazer o gráfico.
• Usando um aplicativo de celular.
• Usando uma linguagem de programação, caso você saiba programar.
• Etc.
4 – A tabela do início desta semana informa que não existe 𝑡𝑡𝑡𝑡	90°	. Usando essa mesma tabela e sabendo 
que 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑡𝑡	
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠	𝑡𝑡	
, explique por que não existe 𝑡𝑡𝑡𝑡	90°	.
PARA SABER MAIS: 
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SEMANA 5
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO: 
Funções – 42. Funções trigonométricas.
HABILIDADE(S): 
42.2. Reconhecer o período de funções trigonométricas.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Período. Funções circulares inversas. Aplicações.
INTERDISCIPLINARIDADE: 
Física.
TEMA: Período
Caro(a) estudante, nesta semana vamos nos aprofundar um pouco na questão da PERIODICIDADE das 
funções trigonométricas ou circulares. Observe o gráfico de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥.
Vemos que o gráfico é um padrão que se repete. Por exemplo, existem infinitos valores de x para os 
quais 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 = 0,72 (alguns deles são os pontos vermelhos na figura à esquerda). O menor intervalo pos-
sível entre dois valores de x tais que o gráfico inteiro comece a se repetir 2𝜋𝜋 é (veja a figura à direita). 
Esse valor é chamado o PERÍODO da função. Conforme já vimos, a função seno também tem período 
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 2𝜋𝜋, enquanto que a função tangente tem período 𝜋𝜋. Existem outras funções periódicas na Matemática, 
mas provavelmente as funções trigonométricas são os exemplos mais importantes.
Já vimos também que o gráfico da função cosseno tem o mesmo formato do gráfico da função seno, 
apenas com um “deslocamento horizontal”. Por isso, esse tipo de curva é chamado de SENÓIDE. Esse 
tipo de função tem importantes aplicações na Física, especialmente no estudo de ondas, eletromagne-
tismo etc. A ilustração a seguir mostra uma senóide generalizada.
Pelo fato das funções trigonométricas serem periódicas, temos um problema. Uma equação do tipo 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 = 0,72	 possui infinitas soluções! Já vimos uma figura ilustrando algumas delas. Então qual será a 
técnica para resolver essa equação? Como projetar uma calculadora para fornecer um resultado?
Para resolver essa questão, foram definidas as FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Isto é, fun-
ções que “voltam do valor para o ângulo”. Como o resultado é um ângulo ou arco, os nomes delas são for-
mados pela palavra ARCO mais o nome da função da qual se está “voltando”. A ideia para evitar infinitas 
soluções é pegar somente o pedaço do gráfico equivalente a um período da função. Veja:
Vamos supor que você precise justamente resolver a equação 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 = 0,72	. Ou seja, você precisa res-
ponder à pergunta: qual é o arco com cosseno de 0,72? Em outras palavras: qual o ARCO COSSENO 
de 0,72? De acordo com a figura acima, a calculadora ou aplicativo vai retornar um resultado entre 0 e 
180 (se for em graus) ou entre 0 e π (se a calculadora estiver configurada em radianos). A função ARCO 
SENO e a função ARCO TANGENTE são semelhantes, mas o intervalo de retorno é diferente (veja nova-
mente a figura acima).
Uma calculadora científica geralmente possui as teclas do seno, cosseno e tangente e acima delas – 
como segunda função – o acesso para arco seno, arco cosseno e arco tangente. Mas o leiaute varia de 
acordo com o modelo. Os nomes dessas funções geralmente aparecem de uma destas maneiras:
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Atenção! Não confunda INVERSO de uma função (inversão algébrica) com função INVERSA (inversão ló-
gica, funcional). Na Matemática, a questão do gênero também é importante... O inverso de uma função
 𝑓𝑓(𝑥𝑥)significa 1𝑓𝑓(𝑥𝑥) , no mesmo sentido que o inverso de 7 vale 1/7. Já a inversa significa desfazer o que
a função faz, no mesmo sentido do CTRL+Z de alguns sistemas operacionais. Quando dissermos “o” in-
verso, estaremos nos referindo ao inverso multiplicativo, ao passo que, quando dissermos “a” inversa, 
estaremos nos referindo à função inversa.
Veja o diagrama a seguir.
ATIVIDADES
1 – Usando tecnologia, resolva a equação 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 = 0,72	.
a) Qual a resposta em graus decimais?
b) Qual a resposta em graus, minutos e segundos?
c) Qual a resposta em radianos?
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2 – “O osciloscópio é um instrumento de medida de 
sinais elétricos/eletrônicos que apresenta gráficos 
a duas dimensões de um ou mais sinais elétricos 
(de acordo com a quantidade de canais de entrada). 
O eixo vertical (y) do ecrã (monitor) representa a 
intensidade do sinal (tensão) e o eixo horizontal (x) 
representa o tempo, tornando o instrumento útil para 
mostrar sinais periódicos. O monitor é constituído 
por um ‘ponto’ que periodicamente ‘varre’ a tela da 
esquerda para a direita.”
w
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Oscilosópio
Fonte: https://www.pexels.com/pt-br/foto/adulto-anonimo-
negocio-empresa-7858292/
Acesso em: 15 mai. 2021 Acesso em: 15 mai. 2021
A forma da curva mostrada no osciloscópio da foto chama-se:
a) Senóide. c) Logarítmica. e) Periodicidade.
b) Cossenóide. d) Exponencial.
3 – Na figura ao lado, temos dois ângulos x e y tais que:
0° < 𝑥𝑥 < 90°; 	𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑥𝑥 = 1,1;	
180° < 𝑦𝑦 < 270°; 	𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑦𝑦 = 1,1.	
Descubra os valores de x e y (em graus decimais).
DICA 1: 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(1,1).
DICA 2: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 180° .
4 – Em relação à senóide: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1
−10
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝜋𝜋
𝑥𝑥 + 1 	 , determine o que se pede.
a) A amplitude.
b) O período.
c) O deslocamento horizontal.
d) O deslocamento vertical.
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SEMANA 6
EIXO TEMÁTICO: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA/TÓPICO: 
Funções – 42. Funções trigonométricas.
HABILIDADE(S): 
42.3. Resolver equações trigonométricas simples.
CONTEÚDOS RELACIONADOS: 
Equações trigonométricas. Aplicações.
TEMA: Equações trigonométricas
O que é uma EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA? Como o nome sugere, é uma equação envolvendo trigo-
nometria. Na semana anterior,abordamos o uso das funções trigonométricas inversas para resolver 
equações do tipo:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 = 𝑎𝑎										𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠	𝑥𝑥 = 𝑏𝑏								𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠	𝑥𝑥 = 𝑐𝑐
A primeira observação a ser feita é que qualquer equação desse tipo possui INFINITAS soluções. Por 
exemplo, considere esta equação: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 = 0,5	. Uma solução é 𝑥𝑥 = 30° e outra é 𝑥𝑥 = 150° . Mas como o 
ciclo trigonométrico é infinito, podemos dar infinitas voltas para frente ou para trás no ciclo trigono-
métrico. Veja:
Então o conjunto-solução se escreve das seguintes formas:
• Em graus: 𝑆𝑆 = {	𝑥𝑥 = 30° + 𝑘𝑘 ⋅ 360°		𝑜𝑜𝑜𝑜		𝑥𝑥 = 150° + 𝑘𝑘 ⋅ 360°; 𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍	} .
• Em radianos: 𝑆𝑆 = {	𝑥𝑥 = 𝜋𝜋
6
+ 2𝑘𝑘𝜋𝜋		𝑜𝑜𝑜𝑜		𝑥𝑥 =
5𝜋𝜋
6
+ 2𝑘𝑘𝜋𝜋; 𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍	1 .
Como cada volta equivale 360° a ou a 2𝜋𝜋 radianos, o número inteiro 𝑘𝑘 indica a quantidade de voltas. 
Se for zero, estamos em 30° . Se for positivo, estamos girando no sentido anti-horário. Se for negativo, 
estamos girando no sentido horário. O sentido positivo do giro é o sentido anti-horário.
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Outro tipo de equação trigonométrica.
Para terminar, vamos resolver a seguinte equação trigonométrica: 4 − 2 $ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 − 5 $ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 = 0 . O primei-
ro fato a ser observado é que 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐$𝑥𝑥 é uma abreviação para 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥	 & , de forma a dispensar os parênte-
ses. O que está ao quadrado é o cosseno e não o 𝑥𝑥 (lê-se: “cosseno ao quadrado de 𝑥𝑥”). O mesmo vale 
para outras funções trigonométricas e outras potências positivas – exemplo: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐$𝐴𝐴 significa 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝐴𝐴 & .
A segunda observação é que o seno e o cosseno estão misturados na mesma equação. Para escre-
ver tudo usando somente seno ou somente cosseno, vamos precisar da RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
FUNDAMENTAL:
A partir da relação fundamental, obtemos: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐$𝑥𝑥 = 1 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠$𝑥𝑥 . Vamos usar isso na equação original:
4 − 2 $ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 − 5 $ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 = 0 ⇒ 4 − 2	 1 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 5 $ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 = 0 ⇒
4 − 2 + 2 % 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑥𝑥 − 5 % 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥		 = 0 ⇒ 2 + 2 % 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑥𝑥 − 5 % 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 = 0
Melhorou, mas ainda está muito complicado... Porém isso nada mais é do que uma equação do segundo 
grau “disfarçada”! Vamos chamar 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 e aplicar a fórmula de Bháskara:
2 + 2𝑦𝑦$ − 5𝑦𝑦 = 0 ⇒ 2𝑦𝑦$ − 5𝑦𝑦 + 2 = 0 ⇒ {𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = −5, 𝑐𝑐 = 2}	
𝛥𝛥 = 𝑏𝑏$ − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ 𝛥𝛥 = −5 $ − 4 2 2 ⇒ 𝛥𝛥 = 25 − 16 ⇒ 𝛥𝛥 = 9
𝑦𝑦 =
−𝑏𝑏 ± 𝛥𝛥
2𝑎𝑎
⇒ 𝑦𝑦 =
− −5 ± 9
2 , 2
⇒ 𝑦𝑦 =
5 ± 3
4
⇒ {𝑦𝑦 = 2	𝑜𝑜𝑜𝑜	𝑦𝑦 =
1
2
	
Como 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	, temos:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 = 2		𝑜𝑜𝑜𝑜	𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 =
1
2 .	
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A primeira possibilidade é impossível, pois o seno de qualquer 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 só assume valores no intervalo
 −1, 1−1, 1 , como já vimos. Resta a segunda possibilidade:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 =
1
2
⇒ {𝑥𝑥 = 30° + 𝑘𝑘 ⋅ 360°	𝑜𝑜𝑜𝑜	𝑥𝑥 = 150° + 𝑘𝑘 ⋅ 360°, 𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍8
PARA SABER MAIS: 
ATIVIDADES
1 – Seja x um ângulo do primeiro quadrante (ou seja: 0° < 𝑥𝑥 < 90° ). Sabe-se que 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥	 = 0,2021e deseja-
se determinar o valor de 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑥𝑥	 .
a) Primeira solução: calcule 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 = 1 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠+𝑥𝑥	 e depois calcule 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡	𝑥𝑥 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡	𝑥𝑥	
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠	𝑥𝑥	
	.
b) Segunda solução: calcule x = asen (0,2021) e depois calcule tan x.
2 – Quando uma função é inversa da outra, significa que uma “anula” o efeito da outra. Exemplo: elevar 
um número ao cubo e depois tirar a raiz cúbica do resultado. Explique por que
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 	 		𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠	é	𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖	𝑎𝑎	𝑥𝑥	
mas
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 	 		𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛	𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎	é	𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖	𝑎𝑎	𝑥𝑥.	
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3 – Seja x um ângulo do primeiro quadrante (ou seja: 0º < x < 90º). Resolva a seguinte equação 
trigonométrica:
2	𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐&𝑥𝑥 + 11𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐	𝑥𝑥 − 6 = 0.	
DICA: Comece trocando cos x por y e aplique a fórmula de Bháskara.
4 – No conjunto dos números reais, qual a solução da equação 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛$𝑥𝑥 − 4 = 0?
a) 𝑆𝑆 = {2} b) 𝑆𝑆 = {−2} c) 𝑆𝑆 = {±2} d) 𝑆𝑆 = {0} e) 𝑆𝑆 = {	}
REFERÊNCIAS
• FARIAS, A.A. et. al. Introdução à Estatística. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1991.
• IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993. 1-10 v.
• IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único. Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
• IME/UNICAMP. Derivando a Matemática – A primeira medição do raio da terra. Disponível em: 
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/a-primeira-medicao-do-raio-da-terra/. Acesso em: 17 
mai. 2021.
• INEP. ENEM – provas e gabaritos. Disponível em: http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabari-
tos. Acesso em: 17 mai. 2021.
• MATTHES, E. Python Crash Course – A Hands-on, Project-based Introduction to Programming. 
San Francisco (EUA): No Starch Press, 2016.
• PAIXÃO, A.C. A emocionante e inspiradora história de Florence Nightingale. Disponível em: 
https://claudia.abril.com.br/sua-vida/a-emocionante-e-inspiradora-historia-de-florence-
-nightingale/. Acesso em: 17 mai. 2021.
• TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
	EM_3ano_V3_PF.pdf